专题练测6 几何探究问题(课件PPT)-【中考导学案】2024年中考数学练测（甘肃专用）

专题练测6　几何探究问题 2024甘肃数学 1．【阅读理解】如图，△ABC的面积与△DBC的面积相等吗？为什么？ 解：相等． 在△ABC和△DBC中，分别作AE⊥l2，DF⊥l2，垂足分别为E，F. ∴∠AEF＝∠DFC＝90°.∴AE∥DF. ∵l1∥l2，∴四边形AEFD是平行四边形． ∴AE＝DF. 又∵S△ABC＝BC·AE，S△DBC＝BC·DF， ∴S△ABC＝S△DBC. 图1 返回首页 专题练测6　几何探究问题 首页 1 2 3 4 5 总目录 【类比探究】如图2，在正方形ABCD的右侧作等腰△CDE，CE＝DE，AD＝4，连接AE，求△ADE的面积． 解：过点E作EF⊥CD于点F，连接AF. 请将余下的求解步骤补充完整． 图2 返回首页 专题练测6　几何探究问题 首页 1 2 3 4 5 总目录 解：【类比探究】∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝CD＝4，∠ADC＝90°. ∵DE＝CE，EF⊥CD， ∴DF＝CF＝CD＝2，∠ADC＝∠EFD＝90°. ∴AD∥EF. ∴S△ADE＝S△ADF. ∴S△ADE＝×4×2＝4. 图2 返回首页 专题练测6　几何探究问题 首页 1 2 3 4 5 总目录 【拓展应用】如图3，在正方形ABCD的右侧作正 图3 方形CEFG，点B，C，E在同一直线上，AD＝4， 连接BD，BF，DF，直接写出△BDF的面积． 【拓展应用】S△BDF＝8. [连接CF. ∵四边形ABCD和四边形CGFE都是正方形， ∴∠BDC＝45°，∠GCF＝45°. ∴∠BDC＝∠GCF. ∴BD∥CF. ∴S△BDF＝S△BCD＝BC·DC＝8.] 返回首页 专题练测6　几何探究问题 首页 1 2 3 4 5 总目录 2．(2021·甘肃模拟) 综合与实践 【问题情境】 在数学活动课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动，如图，矩形纸片ABCD中，M，N分别是AD，BC的中点，点E，F分别在AB，CD上，且AE＝CF. 【动手操作】 将△AEM沿EM折叠，点A的对应点为P，将 △NCF沿NF折叠，点C的对应点为Q，点P，Q 均落在矩形ABCD的内部，连接PN，QM. 返回首页 专题练测6　几何探究问题 首页 1 2 3 4 5 总目录 【问题解决】 (1)判断四边形PNQM的形状，并证明； 解：四边形PNQM是平行四边形． 证明：如图，延长NQ交AD的延长线于点H. 返回首页 专题练测6　几何探究问题 首页 1 2 3 4 5 总目录 ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD＝BC，AD∥BC，∠A＝∠C＝90°. ∵M，N分别是AD，BC的中点， ∴AM＝NC.∴PM＝NQ. ∵AE＝CF， ∴△EAM≌△FCN(SAS)． ∴∠AME＝∠CNF. ∵∠AME＝∠EMP，∠CNF＝∠FNQ， 返回首页 专题练测6　几何探究问题 首页 1 2 3 4 5 总目录 ∴∠AMP＝∠QNC. ∵AD∥BC，∴∠AHN＝∠CNH. ∴∠AMP＝∠AHN. ∴PM∥NH. ∴四边形PNQM是平行四边形． 返回首页 专题练测6　几何探究问题 首页 1 2 3 4 5 总目录 (2)当AD＝2AB＝4，四边形PNQM为菱形时，求AE的长． 解：如图，连接MN，PQ交于点O，延长PQ交CD于点H，延长QP交AB于点G. ∵四边形PNQM是菱形， ∴MN⊥PQ. 由题意，得PQ∥AD∥BC， ∴AG＝DH＝OM＝AB＝1. 返回首页 专题练测6　几何探究问题 首页 1 2 3 4 5 总目录 ∵PM＝AM＝AD＝2， ∴sin ∠MPO＝.∴∠MPO＝30°. ∴OP＝. ∵OG＝2，∴PG＝2－. ∵∠EPM＝90°，∴∠EPG＝90°－30°＝60°. ∴EG＝PG·tan 60°＝2－3. ∴AE＝AG－EG＝1－＝4－2. 返回首页 专题练测6　几何探究问题 首页 1 2 3 4 5 总目录 3．已知O是线段AB的中点，P是直线l上的任意一点，分别过点A和点B作直线l的垂线，垂足分别为C和D.我们定义垂足与中点之间的距离为“足中距”． (1)【猜想验证】如图1，当点P与点O重合时，请你猜想、验证后直接写 出“足中距”OC和OD的数量关系是___________； 图1 OC＝OD 返回首页 专题练测6　几何探究问题 首页 1 2 3 4 5 总目录 解：OC＝OD　[∵AC⊥CD，BD⊥CD， ∴∠ACO＝∠BDO＝90°. ∵O为AB的中点，∴OA＝OB. 在△AOC和△BOD中， ∴△AOC≌△BOD(AAS)．∴OC＝OD.] 返回首页 专题练测6　几何探究问题 首页 1 2 3 4 5 总目录 (2)【探究证明】如图2，当P是线段AB上的任意一点时，“足中距”OC和OD的数量关系是否依然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由； 图2 返回首页 专题练测6　几何探究问题 首页 1 2 3 4 5 总目录 解：OC＝OD依然成立． 证明：延长CO交BD于点E. ∵AC⊥CD，BD⊥CD，∴AC∥BD. ∴∠A＝∠B. ∵O为AB的中点，∴AO＝BO. 又∵∠AOC＝∠BOE， ∴△AOC≌△BOE(ASA)．∴OC＝OE. 又∵∠CDE＝90°，∴OC＝OD. 图2 返回首页 专题练测6　几何探究问题 首页 1 2 3 4 5 总目录 (3)【拓展延伸】如图3， ①当P是线段BA延长线上的任意一点时，“足中距”OC和OD的数量关系是否依然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由； 图3 返回首页 专题练测6　几何探究问题 首页 1 2 3 4 5 总目录 解：OC＝OD依然成立． 证明：延长CO交DB的延长线于点E. ∵AC⊥CD，BD⊥CD，∴AC∥BD. ∴∠ACO＝∠BEO. ∵O为AB的中点，∴AO＝BO. 又∵∠AOC＝∠BOE， ∴△AOC≌△BOE(AAS)．∴OC＝OE. 又∵∠CDE＝90°，∴OC＝OD. 图3 返回首页 专题练测6　几何探究问题 首页 1 2 3 4 5 总目录 ②若∠COD＝60°，请直接写出线段AC，BD，OC之间的数量关系． 图3 解：AC＋BD＝OC. [∵∠COD＝60°，OC＝OD，∴△COD是等边三角形． ∴CD＝OC，∠OCD＝60°. ∵∠CDE＝90°， ∴tan ∠DCE＝tan 60°＝.∴DE＝. ∵△AOC≌△BOE，∴AC＝BE.∴AC＋BD＝BE＋BD＝DE＝CD.∴AC＋BD＝.] 返回首页 专题练测6　几何探究问题 首页 1 2 3 4 5 总目录 4.课本再现 (1)在证明“三角形内角和定理”时，小明只撕下三角形纸片的一个角拼成图1即可证明，其中与∠A相等的角是___________； 图1 ∠DCE′ 返回首页 专题练测6　几何探究问题 首页 1 2 3 4 5 总目录 类比迁移 (2)如图2，在四边形ABCD中，∠ABC与∠ADC互余，小明发现四边形ABCD中这对互余的角可类比(1)中思路进行拼合：先作∠CDF＝ ∠ABC，再过点C作CE⊥DF于点E，连接AE，发现AD，DE，AE之间 的数量关系是_____________________； 图2 AD2＋DE2＝AE2 返回首页 专题练测6　几何探究问题 首页 1 2 3 4 5 总目录 方法运用 (3)如图3，在四边形ABCD中，连接AC，∠BAC＝90°，O是△ACD两边的垂直平分线的交点，连接OA，∠OAC＝∠ABC. ①求证：∠ABC＋∠ADC＝90°； 图3　 返回首页 专题练测6　几何探究问题 首页 1 2 3 4 5 总目录 证明：连接OC，OD. ∵O是△ACD两边的垂直平分线的交点， ∴OA＝OC＝OD. ∴∠OAC＝∠OCA，∠ODC＝∠OCD， ∠OAD＝∠ODA. ∵2∠OAC＋2∠ODC＋2∠ODA＝180°， 即2∠OAC＋2∠ADC＝180°， ∴∠OAC＋∠ADC＝90°. ∵∠OAC＝∠ABC，∴∠ABC＋∠ADC＝90°. 图3 返回首页 专题练测6　几何探究问题 首页 1 2 3 4 5 总目录 ②连接BD，如图4，已知AD＝m，DC＝n，＝2，求BD的长(用含m，n的式子表示)． 图4 解：在射线DC的下方作∠CDT＝∠ABC，过点C 作CT⊥DT于点T，连接AT. ∵∠CTD＝∠CAB＝90°，∠CDT＝∠ABC， ∴△CTD∽△CAB. ∴∠DCT＝∠ACB，. 返回首页 专题练测6　几何探究问题 首页 1 2 3 4 5 总目录 ∴，∠DCB＝∠TCA.∴△DCB∽△TCA.∴. ∵＝2，∴AC∶AB∶BC＝CT∶DT∶CD＝1∶2∶. ∴BD＝AT. ∵∠ADT＝∠ADC＋∠CDT＝∠ADC＋∠ABC＝90°，DT＝n，AD＝m， ∴AT＝. ∴BD＝. 返回首页 专题练测6　几何探究问题 首页 1 2 3 4 5 总目录 5．(2022·张掖校级模拟) 【模型建立】 (1)如图1，在正方形ABCD中，E是对角线上一点，连接AE，CE.求证：△ADE≌△CDE； 图1 证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴DA＝DC，∠ADE＝∠CDE. 在△ADE和△CDE中， ∴△ADE≌△CDE(SAS)． 返回首页 专题练测6　几何探究问题 首页 1 2 3 4 5 总目录 【模型应用】 (2)如图2，在正方形ABCD中，E是对角线上一点，连接AE，CE.将EC绕点E逆时针旋转90°，交AD的延长线于点F，连接EF，CF.当AE＝3时，求CF的长； 图2 返回首页 专题练测6　几何探究问题 首页 1 2 3 4 5 总目录 解：设CD交EF于点J. ∵四边形ABCD是正方形，∴∠CDF＝90°. ∵∠CEF＝90°，∴∠CEJ＝∠JDF＝90°. ∵∠EJC＝∠DJF，∴∠ECJ＝∠DFJ. ∵△ADE≌△CDE，∴∠DAE＝∠DCE，EA＝EC， ∴∠EAD＝∠EFD. ∴EA＝EC＝EF＝3.∴CF＝. 返回首页 专题练测6　几何探究问题 首页 1 2 3 4 5 总目录 【模型迁移】 (3)如图3，在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，E是对角线上一点，连接AE，CE.将EC绕点E逆时针旋转交AD的延长线于点F，连接EF，CF，CD与EF交于点G.当EF＝EC时，判断线段CF与AE的数量关系，并说明理由． 返回首页 专题练测6　几何探究问题 首页 1 2 3 4 5 总目录 解：CF＝AE. 理由：∵四边形ABCD是菱形， ∴DA＝DC，∠ADE＝∠CDE. 在△ADE和△CDE中， ∴△ADE≌△CDE(SAS)． 返回首页 专题练测6　几何探究问题 首页 1 2 3 4 5 总目录 ∴EA＝EC，∠DAE＝∠DCE. ∵EC＝EF，∴EA＝EF. ∴∠EAF＝∠EFA.∴∠ECD＝∠EFD. ∵∠DGF＝∠EGC， ∴∠CEF＝∠CDF＝∠BAD＝60°. ∴△ECF是等边三角形．∴CF＝CE＝AE. 返回首页 专题练测6　几何探究问题 首页 1 2 3 4 5 总目录 本讲内容结束 $$