专题练测5 圆的证明与计算(课件PPT)-【中考导学案】2024年中考数学练测（甘肃专用）

专题练测5　 圆的证明与计算 2024甘肃数学 1．(2022·平凉一模) 如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠1＝∠2，延长BC到点E，使得CE＝AB，连接ED. (1)求证：BD＝ED； 证明：∵∠1＝∠2，∴.∴AD＝DC. ∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠BAD＋∠BCD＝180°. ∵∠ECD＋∠BCD＝180°，∴∠BAD＝∠ECD. 在△ABD和△CED中， ∴△ABD≌△CED(SAS)．∴BD＝ED. 返回首页 专题练测5　圆的证明与计算 首页 1 2 3 4 6 7 5 总目录 (2)若AB＝5，BC＝7，∠ABC＝60°，求tan ∠DCB的值． 解：过点D作DM⊥BE于点M.∵AB＝5，BC＝7，CE＝AB＝5， ∴BE＝BC＋CE＝12. ∵BD＝ED，DM⊥BE， ∴BM＝ME＝BE＝6. ∴CM＝BC－BM＝1. ∵∠ABC＝60°，∠1＝∠2，∴∠2＝30°. ∴DM＝BM·tan ∠2＝6×. ∴tan ∠DCB＝. 返回首页 专题练测5　圆的证明与计算 首页 1 2 3 4 6 7 5 总目录 2．(2022·武威模拟) 如图，BE是△ABC的角平分线，∠C＝90°，点D在AB边上，以DB为直径的⊙O经过点E，交BC于点F. (1)求证：AC是⊙O的切线； 返回首页 专题练测5　圆的证明与计算 首页 1 2 3 4 6 7 5 总目录 证明：连接OE. ∵OE＝OB， ∴∠OEB＝∠OBE. ∵BE是△ABC的角平分线， ∴∠OBE＝∠EBC. ∴∠OEB＝∠EBC. ∴OE∥BC.∴∠OEA＝∠C. ∵∠C＝90°，∴∠OEA＝90°.∴OE⊥AC. ∵OE为⊙O的半径，∴AC是⊙O的切线． 返回首页 专题练测5　圆的证明与计算 首页 1 2 3 4 6 7 5 总目录 (2)若sin A＝，⊙O的半径为5，求△BEF的面积． 解：连接OF，过点O作OH⊥BF于点H， 则BH＝HF＝BF. ∵∠C＝90°，∴AC⊥BC. ∵OH⊥BF，∴OH∥AC.∴∠HOB＝∠A. ∵sin A＝，∴sin ∠HOB＝. ∵sin ∠HOB＝，⊙O的半径为5， 返回首页 专题练测5　圆的证明与计算 首页 1 2 3 4 6 7 5 总目录 ∴BH＝3. ∴BF＝6，OH＝＝4. 由(1)知，OE∥BC，∴S△BEF＝S△BOF. ∵S△BOF＝×6×4＝12， ∴S△BEF＝12. 返回首页 专题练测5　圆的证明与计算 首页 1 2 3 4 6 7 5 总目录 3．(2021·甘州区校级开学)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以直角边BC为直径的⊙O交斜边AB于点D.E为边AC的中点，连接DE并延长交BC的延长线于点F. (1)求证：直线DE是⊙O的切线； 证明：连接OD，CD， ∵OC＝OD， ∴∠OCD＝∠ODC. 又∵BC是⊙O的直径， ∴∠BDC＝90°. 返回首页 专题练测5　圆的证明与计算 首页 1 2 3 4 6 7 5 总目录 ∴△ACD是直角三角形． 又∵E是斜边AC的中点， ∴EC＝ED. ∴∠ECD＝∠EDC. 又∵∠ECD＋∠OCD＝∠ACB＝90°， ∴∠EDC＋∠ODC＝∠ODE＝90°. ∴直线DE是⊙O的切线． 返回首页 专题练测5　圆的证明与计算 首页 1 2 3 4 6 7 5 总目录 (2)若∠B＝30°，AC＝4，求阴影部分的面积． 解：由(1)可得，∠ODF＝90°. ∵∠B＝30°，∴∠DOF＝60°. ∴∠F＝30°. 在Rt△ABC中，AC＝4， 返回首页 专题练测5　圆的证明与计算 首页 1 2 3 4 6 7 5 总目录 ∴BC＝.∴OD＝2. 在Rt△ODF中，DF＝＝6， ∴阴影部分的面积为π ×2＝6－2π. 返回首页 专题练测5　圆的证明与计算 首页 1 2 3 4 6 7 5 总目录 4．(2022·日照)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，D为边AB的中点，点O在边BC上，以O为圆心的圆过顶点C，与边AB交于点D. (1)求证：直线AB是⊙O的切线； 证明：连接OD，CD. ∵∠ACB＝90°，∠B＝30°， ∴AC＝AB，∠A＝90°－∠B＝60°. ∵D为AB的中点， ∴BD＝AD＝AB.∴AD＝AC. 返回首页 专题练测5　圆的证明与计算 首页 1 2 3 4 6 7 5 总目录 ∴△ADC是等边三角形． ∴∠ADC＝∠ACD＝60°. ∵∠ACB＝90°，∴∠DCO＝90°－60°＝30°. ∵OD＝OC，∴∠ODC＝∠DCO＝30°. ∴∠ADO＝∠ADC＋∠ODC＝60°＋30°＝90°，即OD⊥AB. ∵OD过圆心O，∴直线AB是⊙O的切线． 返回首页 专题练测5　圆的证明与计算 首页 1 2 3 4 6 7 5 总目录 (2)若AC＝，求图中阴影部分的面积． 解：由(1)可知：AC＝AD＝BD＝AB. 又∵AC＝，∴BD＝AC＝. ∵∠B＝30°，∠BDO＝∠ADO＝90°， ∴∠BOD＝60°，BO＝2DO. 由勾股定理，得BO2＝OD2＋BD2. 即(2OD)2＝OD2＋2，∴OD＝1. 设BC与⊙O交于点E，则S阴影部分＝S△BDO－S扇形DOE＝. 返回首页 专题练测5　圆的证明与计算 首页 1 2 3 4 6 7 5 总目录 5．(2022·定西二模) 如图，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，⊙O与边AB相交于点C，与AO相交于点E，连接CE， 已知∠AOC＝2∠ACE. (1)求证：AB为⊙O的切线； 返回首页 专题练测5　圆的证明与计算 首页 1 2 3 4 6 7 5 总目录 证明：∵OC＝OE， ∴∠OCE＝∠OEC. ∵∠AOC＝2∠ACE， ∴∠OCA＝∠OCE＋∠ACE＝(∠OCE＋∠OEC＋ ∠AOC)＝×180°＝90°.∴OC⊥AB. 又∵OC是⊙O的半径， ∴AB为⊙O的切线． 返回首页 专题练测5　圆的证明与计算 首页 1 2 3 4 6 7 5 总目录 (2)若AO＝20，BO＝15，求sin ∠OEC的值． 解：过点E作EH⊥AC于点H，过点C作CG⊥OA于点G. 在Rt△AOB中，AO＝20，BO＝15， ∴AB＝＝25. ∵OC⊥AB， ∴AB·OC，即20×15＝25OC. ∴OC＝12. ∴AE＝OA－OE＝20－12＝8. 返回首页 专题练测5　圆的证明与计算 首页 1 2 3 4 6 7 5 总目录 ∵EH⊥AC，OC⊥AC，∴EH∥OC. ∴△AEH∽△AOC. ∴，即.∴EH＝. ∵BC＝＝9， ∴AC＝AB－BC＝25－9＝16. ∵AH＝， ∴CH＝AC－AH＝16－. 返回首页 专题练测5　圆的证明与计算 首页 1 2 3 4 6 7 5 总目录 ∴CE＝. ∵∠B＝∠AOC＝90°－∠BOC， ∴sin B＝sin ∠AOC. ∴，即. ∴CG＝. ∴sin ∠OEC＝. 返回首页 专题练测5　圆的证明与计算 首页 1 2 3 4 6 7 5 总目录 6．(2022·庆阳二模) 如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC为⊙O的直径，点B平分，连接BO，BO的延长线与过点D的直线交于点P，与CD交于点F，且PD＝PF. (1)求证：PD为⊙O的切线； 返回首页 专题练测5　圆的证明与计算 首页 1 2 3 4 6 7 5 总目录 证明：连接OD. ∵PD＝PF， ∴∠PDF＝∠PFD. ∵∠CFO＝∠PFD， ∴∠PDF＝∠CFO. ∵点B平分，∴BA＝BC. ∵O为AC的中点，∴BP⊥AC. ∴∠FOC＝90°. 返回首页 专题练测5　圆的证明与计算 首页 1 2 3 4 6 7 5 总目录 ∴∠CFO＋∠OCF＝90°. ∴∠PDF＋∠OCF＝90°. ∵OC，OD为⊙O的半径，∴OC＝OD. ∴∠OCF＝∠ODC. ∴∠PDF＋∠ODC＝90°. ∴∠PDO＝90°.∴PD⊥OD. ∵OD为⊙O的半径， ∴PD为⊙O的切线． 返回首页 专题练测5　圆的证明与计算 首页 1 2 3 4 6 7 5 总目录 (2)若∠AED＝90°，AE＝2，tan ∠ADE＝，求△ACD的面积． 解：∵∠AED＝90°， ∴△AED为直角三角形． 在Rt△AED中， AE＝2，tan ∠ADE＝， ∴DE＝4. ∴AD＝. ∵AC为⊙O的直径，∴∠ADC＝90°. 返回首页 专题练测5　圆的证明与计算 首页 1 2 3 4 6 7 5 总目录 ∴∠ADC＝∠AED＝90°. 又∵∠DAE＝∠CAD， ∴△AED∽△ADC.∴. ∴AD2＝AC·AE，即20＝2AC. ∴AC＝10. ∴S△ACD＝×10×4＝20. 返回首页 专题练测5　圆的证明与计算 首页 1 2 3 4 6 7 5 总目录 7．(2022·眉山)如图，AB为⊙O的直径，C是⊙O上一点，CD与⊙O相切于点C，过点B作BD⊥DC，连接AC，BC. (1)求证：BC是∠ABD的平分线； 证明：连接OC. ∵CD与⊙O相切于点C，OC为⊙O的半径， ∴OC⊥CD. 又∵BD⊥CD，∴OC∥BD. ∴∠OCB＝∠DBC. ∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC. ∴∠DBC＝∠OBC. ∴BC是∠ABD的平分线． 返回首页 专题练测5　圆的证明与计算 首页 1 2 3 4 6 7 5 总目录 (2)若BD＝3，AB＝4，求BC的长； 解：∵BC平分∠ABD， ∴∠ABC＝∠CBD. ∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°. ∵BD⊥DC，∴∠D＝90°. ∴∠ACB＝∠D. ∴△ABC∽△CBD. 返回首页 专题练测5　圆的证明与计算 首页 1 2 3 4 6 7 5 总目录 ∴.∴BC2＝AB·BD. ∵BD＝3，AB＝4，∴BC2＝3×4＝12. ∴BC＝2或－2(舍去)． ∴BC的长为2. 返回首页 专题练测5　圆的证明与计算 首页 1 2 3 4 6 7 5 总目录 (3)在(2)的条件下，求阴影部分的面积． 解：过点C作CE⊥AO于点E. ∵AB是⊙O的直径，AB＝4，∴OA＝OC＝2. 在Rt△ABC中， AC＝＝2， ∴AO＝CO＝AC＝2. ∴△AOC是等边三角形．∴∠AOC＝60°. ∵CE⊥OA，∴OE＝OA＝1.∴CE＝. ∴S阴影部分＝. 返回首页 专题练测5　圆的证明与计算 首页 1 2 3 4 6 7 5 总目录 本讲内容结束 $$