专题8 二次函数的综合(课件PPT)-【中考导学案】2024年中考数学讲义（甘肃专用）

专题8　二次函数的综合 2024甘肃数学 目 录 1 命 题 分 析 2 典 例 精 析 1 命 题 分 析 二次函数的综合(压轴题)是一类涉及面广，能力要求较高，应用的解题方法多，技能技巧性强的数学问题，往往综合了方程、不等式、函数以及几何图形，包含动态问题、探究问题等． 返回首页 专题8　二次函数的综合 首页 总目录 2 典 例 精 析 二次函数与线段问题 类型 1 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 y＝－x2＋bx＋c经过点A(－1，0)和点B(0，3)，顶点为 C，点D在其对称轴上，且位于点C下方，将线段DC绕 点D按顺时针方向旋转90°，点C落在抛物线上的点P 处． 返回首页 专题8　二次函数的综合 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 总目录 (1)求抛物线的解析式； [分析]　利用待定系数法求抛物线的解析式； [解答]　解：把A(－1，0)和点B(0，3)代入 y＝－x2＋bx＋c，得 解得 ∴抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3. 返回首页 专题8　二次函数的综合 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 总目录 (2)求点P的坐标； [分析]　利用配方法得到抛物线的顶点式，根据二次函数的性质得到C点坐标和抛物线的对称轴，设CD＝t，表示出D点坐标，根据旋转性质得∠PDC＝90°，DP＝DC＝t，得到P点坐标，再代入抛物线解析式得到关于t的方程，从而解方程求出t，即可得到点P的坐标； 返回首页 专题8　二次函数的综合 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 总目录 [解答]　解：∵y＝－(x－1)2＋4，∴顶点C(1，4)，抛物 线的对称轴为直线x＝1. 如图，设CD＝t，则D(1，4－t)． ∵线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°，点C落在抛物 线上的点P处， ∴∠PDC＝90°，DP＝DC＝t. ∴P(1＋t，4－t)． 把P(1＋t，4－t)代入y＝－x2＋2x＋3，得－(1＋t)2＋2(1＋t)＋3＝4－t. 整理，得t2－t＝0. 解得t1＝0(舍去)，t2＝1. ∴点P的坐标为(2，3)． 返回首页 专题8　二次函数的综合 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 总目录 (3)将抛物线平移，使其顶点落在原点O，这时点P落在点E的位置，在y轴上是否存在点M，使得MP＋ME的值最小？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． [分析]　由(2)得点P和顶点C的坐标，利用抛物线的平移规律确定E点坐标，找出点E关于y轴的对称点F，连接PF交y轴于M，则MP＋ME＝MP＋MF＝PF的值最小，然后利用待定系数法求出直线PF的解析式，即可得到点M的坐标． 返回首页 专题8　二次函数的综合 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 总目录 [解答]　解：存在．∵P(2，3)，顶点C(1，4)，将抛物线平移，使其顶点落在原点O，这时点P落在点E的位置，∴E(1，－1)． 设点E关于y轴的对称点F(－1，－1)，连接PF交y轴于M，则MP＋ME＝MP＋MF＝PF的值最小． 设直线PF的解析式为y＝kx＋n(k≠0)，则 解得 ∴直线PF的解析式为y＝. ∴点M的坐标为. 返回首页 专题8　二次函数的综合 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 总目录 1．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝－x－4分别与x轴，y轴交于点A，B，抛物线y＝x2＋bx＋c恰好经过这两点． (1)求此抛物线的解析式； 返回首页 专题8　二次函数的综合 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 总目录 解：∵直线y＝－x－4分别与x轴，y轴交于点A，B，∴当x＝0时，y＝－4；当y＝0时，x＝－3.∴A(－3，0)，B(0，－4)． ∵抛物线y＝x2＋bx＋c经过点A，B， ∴解得 ∴此抛物线的解析式为y＝x－4. 返回首页 专题8　二次函数的综合 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 总目录 (2)若点C的坐标是(0，6)，将△ACO绕着点C逆时针旋转90°得到△ECF，点A的对应点是E. ①写出点E的坐标，并判断点E是否在此抛物线上； 解：∵将△ACO绕着点C逆时针旋转90°得到 △ECF，∴∠OCF＝90°，CF＝CO＝6， EF＝AO＝3，EF∥y轴．∴E(6，3)． 当x＝6时，y＝×6－4＝3. ∴点E在抛物线上． 返回首页 专题8　二次函数的综合 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 总目录 ②若P是y轴上的任一点，求BP＋EP取最小值时，点P的坐标． 解：过点E作EH⊥AB，交y轴于点P，垂足为H. ∵A(－3，0)，B(0，－4)， ∴OA＝3，OB＝4.∴AB＝5. ∵sin ∠ABO＝， ∴HP＝BP.∴BP＋EP＝HP＋PE. 返回首页 专题8　二次函数的综合 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 总目录 ∴HP＋PE的最小值为EH的长． 过点E作EG⊥y轴于点G. ∵∠GEP＝∠ABO，∴tan ∠EPG＝tan ∠ABO. ∴，即. ∴PG＝.∴OP＝. ∴P. 返回首页 专题8　二次函数的综合 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 总目录 二次函数与面积问题 类型 2 (2022·平凉一模) 如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交于点A(－2，0)，B(3，0)，与y轴交于点C(0，－3)，点P是二次函数图象上的一点． (1)求二次函数和直线BC的解析式； [分析]　把A，B，C三点坐标对应代入两个函数解析式，利用待定系数法求解即可； 返回首页 专题8　二次函数的综合 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 总目录 [解答]　解：把点A(－2，0)，B(3，0)，C(0，－3)代入y＝ax2＋bx＋c，得解得 ∴二次函数的解析式为y＝x－3. 设直线BC的解析式为y＝kx＋d(k≠0)，则 解得 ∴直线BC的解析式为y＝x－3. 返回首页 专题8　二次函数的综合 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 总目录 (2)若点P在直线BC的下方，当△PBC的面积最大时，求点P的坐标； [分析]　过点P作PD⊥x轴交BC于点D，PE⊥y轴于点E，延长EP与过点B垂直于x轴的直线交于点F，设出点P，D的坐标，然后根据S△PBC＝S△PDC＋S△PDB，求出△PBC的面积最大时点P的坐标； 返回首页 专题8　二次函数的综合 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 总目录 [解答]　解：过点P作PD⊥x轴交BC于点D， PE⊥y轴于点E，延长EP与过点B垂直于x轴的 直线交于点F. 设P，则D(m，m－3)． ∴PD＝m－3－m. ∵S△PBC＝S△PDC＋S△PDB＝PD·OB， 返回首页 专题8　二次函数的综合 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 总目录 ∴S△PBC＝ . ∴当m＝时，S△PBC取最大值， 此时P点坐标为. 返回首页 专题8　二次函数的综合 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 总目录 (3)当S△PBC＝S△ABC时，求点P的横坐标． [分析]　先求出S△ABC，再根据S△PBC＝，结合(2)的结论列出方程求解即可． 返回首页 专题8　二次函数的综合 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 总目录 [解答]　解：∵S△ABC＝，∴S△PBC＝S△ABC＝. 由(2)知，－. 解得m＝1或m＝2. ∴点P的横坐标为1或2. 返回首页 专题8　二次函数的综合 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 总目录 2．(2022·武威模拟) 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝－2x2＋bx＋c与x轴交于点A(－3，0)，B，与y轴正半轴交于点C，OC＝2OA，在直线AC上方的抛物线上有一动点E. (1)求抛物线的解析式； 返回首页 专题8　二次函数的综合 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 总目录 解：∵A(－3，0)，OC＝2OA， ∴OA＝3，OC＝6.∴C(0，6)． 把A(－3，0)，C(0，6)代入y＝－2x2＋bx＋c，得 解得 ∴抛物线的解析式为y＝－2x2－4x＋6. 返回首页 专题8　二次函数的综合 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 总目录 (2)连接BE，与直线AC相交于点F，当EF＝BF时，求点E的坐标； 解：在y＝－2x2－4x＋6中， 令y＝0， 得－2x2－4x＋6＝0. 解得x1＝－3，x2＝1. ∴B(1，0)． 过点E作EH⊥AB于点H，过点F作FG⊥AB于点G，则FG∥EH. ∴△BFG∽△BEH.∴. 返回首页 专题8　二次函数的综合 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 总目录 ∵EF＝BF，∴BF＝BE，即. ∴. 设直线AC的解析式为y＝kx＋n(k≠0)．把 A(－3，0)，C(0，6)代入上式，得 解得 ∴直线AC的解析式为y＝2x＋6. 返回首页 专题8　二次函数的综合 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 总目录 设E(t，－2t2－4t＋6)，则BH＝1－t，BG＝(1－t)． ∴OG＝(1－t)－1＝－. ∴G，点F的横坐标为. ∵点F在直线AC上， ∴点F的纵坐标为2. ∴F. ∴FG＝，EH＝－2t2－4t＋6. 返回首页 专题8　二次函数的综合 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 总目录 ∵，∴3FG＝2EH. ∴3＝2(－2t2－4t＋6)． 解得t1＝－2，t2＝－1. 当t＝－2时，－2t2－4t＋6＝－2×(－2)2－4×(－2)＋ 6＝6，∴E(－2，6)； 当t＝－1时，－2t2－4t＋6＝－2×(－1)2－4×(－1)＋6＝8， ∴E(－1，8)． 综上所述，点E的坐标为(－2，6)或(－1，8)． 返回首页 专题8　二次函数的综合 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 总目录 (3)连接AE，CE，BC，四边形AECB的面积是否存在最大值？若存在，求出此时点E的坐标和四边形AECB的面积；若不存在，请说明理由． 解：四边形AECB的面积存在最大值．理由如下： ∵S四边形AECB＝S△ABC＋S△ACE，S△ABC＝×4 ×6＝12，∴当S△ACE最大时，四边形AECB的面积最大． 设E(t，－2t2－4t＋6)，EH交AC于点M，则M(t，2t＋6)． ∴EM＝－2t2－4t＋6－(2t＋6)＝－2t2－6t. 返回首页 专题8　二次函数的综合 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 总目录 ∴S△ACE＝S△AME＋S△CME＝×(－2t2－6t)×3＝－3t2－9t＝ －3. ∴当t＝－时，S△ACE有最大值， －2t2－4t＋6＝－2×. ∴此时点E的坐标为，四边形AECB的最大面积为. 返回首页 专题8　二次函数的综合 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 总目录 二次函数与特殊图形问题 类型 3 (2022·庆阳二模) 如图，抛物线y＝ax2＋bx－3(a≠0)交x轴于A(－1，0)，B两点，交y轴于点C，且OB＝OC. (1)求抛物线的函数解析式； [分析]　求出B点坐标，又A(－1，0)，利用待定系数 法(或交点式)即可求解； 返回首页 专题8　二次函数的综合 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 总目录 [解答]　解：∵二次函数y＝ax2＋bx－3(a≠0)的图象交y轴于点C， ∴C(0，－3)．∴OB＝OC＝3. ∵二次函数y＝ax2＋bx－3(a≠0)的图象交x轴于点B，∴B(3，0)． 又∵A(－1，0)，∴y＝a(x＋1)(x－3)＝ax2＋bx－3. ∴－3a＝－3，即a＝1.∴b＝－2. ∴抛物线的函数解析式为y＝x2－2x－3. 返回首页 专题8　二次函数的综合 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 总目录 (2)设点D是y轴右侧抛物线上一点(D不与B重合)，过点D作DE⊥x轴，垂足为E，交直线BC于点F，若DF＝2EF，求点D的坐标； [分析]　设出D点坐标，表示出点E，F的坐标，由DF＝2EF，列方程求得D点坐标； 返回首页 专题8　二次函数的综合 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 总目录 [解答]　解：∵点D是y轴右侧抛物线y＝x2－2x－3上一点(D不与B重合)，∴设D(m，m2－2m－3)，其中m>0且m≠3. ∵DE⊥x轴，垂足为E，∴E(m，0)． 设直线BC的解析式为y＝kx＋n(k≠0)． ∵C(0，－3)和B(3，0)在直线y＝kx＋n(k≠0)上， ∴解得 返回首页 专题8　二次函数的综合 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 总目录 ∴直线BC的解析式为y＝x－3. ∵DE⊥x轴，交直线BC于点F， ∴F(m，m－3)． ∴DF＝|m－3－(m2－2m－3)|＝|－m2＋3m|， EF＝|3－m|. ∵DF＝2EF，∴当0<m<3时，－m2＋3m＝2(3－m)，解得m＝2或m＝3(舍去)； 当m>3时，m2－3m＝2(m－3)，解得m＝2(舍去)或m＝3(舍去)． ∴点D的坐标为(2，－3)． 返回首页 专题8　二次函数的综合 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 总目录 (3)在(2)的条件下，平面内是否存在点G，使得以B，C，D，G为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求直接写出点G的坐标；若不存在，请说明理由． [分析]　设G(x，y)，分别以BC，BD，BG为平行四边形的对角线求出点G的坐标． 返回首页 专题8　二次函数的综合 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 总目录 [解答]　解：存在．点G的坐标为(1，0)或(5，0)或(－1，－6)． [设G(x，y)． ①当BC为平行四边形的对角线时， 解得∴G(1，0)； ②当BD为平行四边形的对角线时， 解得∴G(5，0)； 返回首页 专题8　二次函数的综合 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 总目录 ③当BG为平行四边形的对角线时， 解得∴G(－1，－6)． 综上所述，点G的坐标为(1，0)或(5，0)或(－1，－6)．] 返回首页 专题8　二次函数的综合 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 总目录 3．(2022·酒泉肃州区模拟) 如图，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A，B两点，AB＝4，交y轴于点C，对称轴是直线x＝1. (1)求抛物线的解析式； 解：∵x轴上的点A，B关于直线x＝1对称，AB＝4， ∴A(－1，0)，B(3，0)． ∴y＝－(x＋1)(x－3)． ∴抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3. 返回首页 专题8　二次函数的综合 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 总目录 (2)请在抛物线的对称轴上找一点P，使△ACP的周长最小，并求此时点P的坐标； 返回首页 专题8　二次函数的综合 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 总目录 解：如图1，点A关于对称轴的对称点是B，连接BC，交对称轴(直线x＝1)于点P.点P就是使△ACP的周长最小的点． 在y＝－x2＋2x＋3中，令x＝0，得y＝3. ∴C(0，3)． 设直线BC的解析式为y＝mx＋n(m≠0)，则 解得 ∴直线BC的解析式为y＝－x＋3. 当x＝1时，y＝2.∴P(1，2)． 图1 返回首页 专题8　二次函数的综合 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 总目录 (3)动点M从点O出发，以每秒2个单位长度的速度向点B运动(到点B停止)，过M作x轴的垂线交抛物线于点N，交线段BC于点Q.设运动时间为t(t＞0)秒．△BOQ能否为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由． 返回首页 专题8　二次函数的综合 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 总目录 解：能．如图2，∵动点M从点O出发，以每秒2个单位长度的速度向点B运动(到点B停止)，运动时间为t(t＞0)秒， ∴OM＝2t，且0＜t≤.∴M(2t，0)． ∵MN⊥x轴，∴点Q的横坐标为2t. 当x＝2t时，y＝－x＋3＝－2t＋3＝3－2t. ∴Q(2t，3－2t)． ∴QM＝3－2t，BM＝3－2t.∴BM＝QM. 由△BOQ为等腰三角形，得 图2 返回首页 专题8　二次函数的综合 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 总目录 ①当OQ＝BQ时，QM⊥OB， ∴OM＝BM.∴2t＝3－2t.解得t＝； ②当OB＝BQ时，在Rt△BMQ中， ∵BM＝QM，∠BMQ＝90°， ∴△BQM是等腰直角三角形． ∴∠OBQ＝45°，BQ＝BM. ∴OB＝BM，即3＝(3－2t)． 解得t＝； 图2 返回首页 专题8　二次函数的综合 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 总目录 ③当OQ＝OB时，则点Q，C重合，此时t＝0. 而t＞0，此种情况不存在． 综上所述，当运动时间为秒或秒时，△BOQ为等腰三角形． 图2 返回首页 专题8　二次函数的综合 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 总目录 4．(2022·武威模拟) 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋4与x轴交于A，B两点(点A在原点左侧，点B在原点右侧)，与y轴交于点C，已知OA＝1，OC＝OB. (1)求抛物线的解析式； 返回首页 专题8　二次函数的综合 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 总目录 解：在y＝ax2＋bx＋4中，令x＝0，则y＝4.∴C(0，4)． ∵OC＝OB，∴B(4，0)． 又∵A(－1，0)， ∴y＝a(x＋1)(x－4)＝ax2＋bx＋4. ∴－4a＝4，即a＝－1.∴y＝－(x＋1)(x－4)． ∴抛物线的解析式为y＝－x2＋3x＋4. 返回首页 专题8　二次函数的综合 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 总目录 (2)若D(2，m)在该抛物线上，连接CD，DB，求四边形OCDB 的面积； 解：∵D(2，m)在抛物线y＝＋3x＋4上， ∴－4＋6＋4＝m，即m＝6. ∴D(2，6)． 如图1，过点D作DM⊥x轴于点M，则S四边形OCDB ＝S梯形OCDM＋S△BMD＝×(4＋6)×2＋×2×6＝10＋ 6＝16. 图1 返回首页 专题8　二次函数的综合 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 总目录 (3)设E是该抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，过点E作x轴的平行线交抛物线于另一点F，过点E作EH⊥x轴于点H，再过点F作FG⊥x轴于点G，得到矩形EFGH，在点E的运动过程中，当矩形EFGH为正方形时，求出该正方形的边长． 返回首页 专题8　二次函数的综合 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 总目录 解：∵抛物线的解析式为y＝－x2＋3x＋4， ∴抛物线的对称轴是直线x＝－. 图2 设该正方形的边长是n. ①如图2，当点E在x轴上方，E. ∴－＋4＝n. 解得n1＝－2＋(舍去)． ∴该正方形的边长是－2； 返回首页 专题8　二次函数的综合 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 总目录 ②如图3，当点E在x轴下方，E. ∴－＋4＝－n.解得 n1＝2＋(舍去)． ∴该正方形的边长是2＋. 综上可得该正方形的边长为2＋或－2. 图3 返回首页 专题8　二次函数的综合 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 总目录 二次函数与角度问题 类型 4 如图，二次函数y＝－x2＋2mx＋2m＋1(m是常数，且m＞0)的图象与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，顶点为D.其对称轴与线段BC交于点E，与x轴交于点F.连接AC，BD. 备用图 返回首页 专题8　二次函数的综合 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 总目录 (1)求A，B，C三点的坐标(用数字或含m的式子表示)，并求∠OBC的度数； 备用图 [分析]　令y＝0，解方程可得A，B两点坐标，令x＝0，可得点C的坐标，证明OC＝OB，可得∠OBC＝45°； 返回首页 专题8　二次函数的综合 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 总目录 [解答]　解：当y＝0时，－x2＋2mx＋2m＋1＝0.解得x1＝－1，x2＝2m＋1. ∵点A在点B的左侧，且m＞0， ∴A(－1，0)，B(2m＋1，0)． 当x＝0时，y＝2m＋1. ∴C(0，2m＋1)．∴OB＝OC＝2m＋1. ∵∠BOC＝90°，∴∠OBC＝45°. 返回首页 专题8　二次函数的综合 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 总目录 (2)若∠ACO＝∠CBD，求m的值； 备用图 [分析]　由题意D(m，(m＋1)2)，F(m，0)，根据tan ∠ACE＝，tan ∠DBF＝＝m＋1，构建方程，求出m即可； 返回首页 专题8　二次函数的综合 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 总目录 [解答]　解：连接AE. ∵y＝－x2＋2mx＋2m＋1＝－(x－m)2＋(m＋1)2， ∴D(m，(m＋1)2)，F(m，0)． ∴DF＝(m＋1)2，OF＝m，BF＝m＋1. ∵A，B关于对称轴对称，∴AE＝BE. ∴∠EAB＝∠OBC＝45°. ∴∠AEC＝90°. ∵∠ACO＝∠CBD，∠OCB＝∠OBC， 返回首页 专题8　二次函数的综合 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 总目录 ∴∠ACO＋∠OCB＝∠CBD＋∠OBC，即∠ACE＝∠DBF. ∵EF∥OC，∴tan ∠ACE＝.又tan ∠DBF＝＝m＋1，∴＝m＋1.∴m＝1或－1. ∵m＞0，∴m＝1. 返回首页 专题8　二次函数的综合 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 总目录 (3)若在第四象限内二次函数y＝－x2＋2mx＋2m＋1(m是常数，且m＞0)的图象上，始终存在一点P，使得∠ACP＝75°，请结合函数的图象，直接写出m的取值范围． 备用图 [分析]　证明∠CAO＜60°，推出2m＋1＜，可得结果． 返回首页 专题8　二次函数的综合 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 总目录 [解答]　解：设PC交x轴于点Q. 当点P在第四象限时，点Q总是在点B的左侧，此时 ∠CQA＞∠CBA，即∠CQA＞45°. ∵∠ACQ＝75°，∴∠CAO＜60°.∴2m＋1＜， 即m＜.∴0＜m＜. 备用图 返回首页 专题8　二次函数的综合 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 总目录 5．在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2－2x－3与 x轴相交于点A，B(点A在点B的左侧)，与y轴相交 于点C，连接AC. (1)求点B，C的坐标； 图1 解：当y＝0时，x2－2x－3＝0. 解得x1＝－1，x2＝3. ∴A(－1，0)，B(3，0)． 当x＝0时，y＝02－2×0－3＝－3. ∴C(0，－3)． 返回首页 专题8　二次函数的综合 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 总目录 (2)如图1，点E(m，0)在线段OB上(点E不与点B重合)，点F在y轴负半轴上，OE＝OF，连接AF，BF，EF，设△ACF的面积为S1，△BEF的面积为S2，S＝S1＋S2，当S取最大值时，求m的值； 图1 解：∵A(－1，0)，B(3，0)，C(0，－3)， ∴OA＝1，OB＝OC＝3. ∵E(m，0)，OE＝OF， ∴OE＝OF＝m，BE＝CF＝3－m. 返回首页 专题8　二次函数的综合 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 总目录 ∴S＝S1＋S2＝×(3－m) ×1＋×(3－m)×m＝－ (m－1)2＋2. ∵－＜0，∴当m＝1时，S取得最大值，即当S取 最大值时，m的值为1. 图1 返回首页 专题8　二次函数的综合 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 总目录 (3)如图2，抛物线的顶点为D，连接CD，BC，点P在第一象限的抛物线上，PD与BC相交于点Q，是否存在点P，使∠PQC＝∠ACD？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 图2 返回首页 专题8　二次函数的综合 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 总目录 解：存在．设P(n，n2－2n－3)，n>3. 在图2中，连接BD，过点Q作QM⊥x轴于点M， 过点D作DN∥x轴，过点P作PN∥y轴交DN于点N. ∵OB＝OC＝3，∠BOC＝90°， ∴△BOC为等腰直角三角形． ∴∠OCB＝45°，BC＝3. ∵抛物线的顶点为D， 图2 返回首页 专题8　二次函数的综合 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 总目录 ∴D(1，－4)． ∵B(3，0)，C(0，－3)， ∴BD＝＝2， CD＝. ∵BC2＋CD2＝2＋2＝20＝BD2， ∴∠BCD＝90°. ∴∠OCD＝∠OCB＋∠BCD＝45°＋90°＝135°. ∵QM∥OC， 图2 返回首页 专题8　二次函数的综合 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 总目录 ∴∠CQM＝180°－∠OCB＝180°－45°＝135°. ∵∠PQC＝∠ACD，∠PQC＝∠PQM＋∠CQM， ∠ACD＝∠ACO＋∠OCD， ∴∠PQM＝∠ACO. 又∵QM∥PN， ∴∠DPN＝∠PQM＝∠ACO. 图2 返回首页 专题8　二次函数的综合 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 总目录 又∵∠DNP＝∠AOC＝90°， ∴△DNP∽△AOC. ∴，即. 解得n1＝1(不合题意，舍去)，n2＝4. ∴点P的坐标为(4，5)． 图2 返回首页 专题8　二次函数的综合 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 总目录 二次函数与相似问题 类型 5 (2022·陇南一模) 如图，抛物线y＝ax2＋bx＋3(a≠0)与x轴交于点A(1，0)和点B(－3，0)，与y轴交于点C，抛物线的对称轴与x轴交于点N，连接BC，BC与抛物线的对称轴交于点E，顶点为D. (1)求抛物线的解析式； [分析]　由点A，B的坐标，利用待定系数法(或交点式)即可求得二次函数的解析式； 返回首页 专题8　二次函数的综合 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 总目录 [解答]　解：∵y＝ax2＋bx＋3(a≠0)与x轴交于点A(1，0)和点B(－3，0)，∴y＝a(x－1)(x＋3)，即－3a＝3.∴a＝－1. ∴抛物线的解析式为y＝－x2－2x＋3. 返回首页 专题8　二次函数的综合 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 总目录 (2)P是对称轴左侧抛物线上的一个动点，点Q在射线ED上，若以P，Q，E为顶点的三角形与△BOC相似，求点P的坐标． [分析]　设P(t，－t2－2t＋3)，根据题意得出△PQE是等腰直角三角形，分三种情况讨论，根据P是对称轴左侧抛物线上的点，分别列出方程即可求出点P的坐标． 返回首页 专题8　二次函数的综合 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 总目录 [解答]　解：令x＝0，则y＝3，∴OB＝OC＝3. ∴C(0，3)，△BOC是等腰直角三角形． 若以P，Q，E为顶点的三角形与△BOC相似，则△PQE是等腰直角三角形． ∵y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4， ∴抛物线的对称轴为x＝－1，D(－1，4)． 设直线BC的解析式为y＝kx＋d(k≠0)． 把C(0，3)，B(－3，0)代入上式，得 返回首页 专题8　二次函数的综合 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 总目录 解得 ∴直线BC的解析式为y＝x＋3. ∵点E在BC上，∴E(－1，2)．∴EN＝2. 设P(t，－t2－2t＋3)，t<－1. ①当Q为直角顶点时，PQ＝EQ，如图1，－1－t＝－t2－2t＋3－2. 解得t1＝－2，t2＝1(舍去)． 此时P(－2，3)； 图1 ②当P为直角顶点时，PQ＝PE，如图1，同①可得P(－2，3)； 返回首页 专题8　二次函数的综合 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 总目录 ③当点E为直角顶点时，PE＝QE，如图2，－t2－2t＋3＝2. 解得t1＝－1－(舍去)． 此时P. 综上所述，点P的坐标为或(－2，3)． 图2 返回首页 专题8　二次函数的综合 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 总目录 6．(2022·武威模拟) 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2＋bx经过点A(2，0)和点B(－1，m)，顶点为D. (1)求直线AB的解析式； 返回首页 专题8　二次函数的综合 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 总目录 解：将A(2，0)代入y＝x2＋bx，得 4＋2b＝0，即b＝－2. ∴y＝x2－2x. 将B(－1，m)代入y＝x2－2x，得 m＝3.∴B(－1，3)． 设直线AB的解析式为y＝kx＋n(k≠0)，则 解得 ∴直线AB的解析式为y＝－x＋2. 返回首页 专题8　二次函数的综合 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 总目录 (2)求tan ∠ABD的值； 解：∵y＝x2－2x＝(x－1)2－1， ∴D(1，－1)． ∴AD＝. ∴BD2＝AD2＋AB2. ∴△ABD是直角三角形，∠BAD＝90°. ∴tan ∠ABD＝. 返回首页 专题8　二次函数的综合 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 总目录 (3)设线段BD与x轴交于点P，如果点C在x轴上，且△ABC与△ABP相似，求点C的坐标． 返回首页 专题8　二次函数的综合 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 总目录 解：设直线BD的解析式为y＝k1x＋b1(k≠0)，则 解得 ∴直线BD解析式为y＝－2x＋1. 令y＝0，则x＝.∴P. 设C(t，0)． 当∠ABC＝∠APB时，△ABC∽△APB， 返回首页 专题8　二次函数的综合 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 总目录 ∴∠ACB＝∠ABP. 过点B作BQ⊥x轴交于点Q， 则tan ∠BCQ＝tan ∠ABP＝. ∴CQ＝9.∴CO＝10.∴C(－10，0)； 当∠ABC＝∠ABP，即点C与点P重合时， △ABC≌△ABP，此时C. 综上所述，点C的坐标为(－10，0)或. 返回首页 专题8　二次函数的综合 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 总目录 本讲内容结束 请完成《练测本》P76～78专题练测8 $$