专题7 动态问题(课件PPT)-【中考导学案】2024年中考数学讲义（甘肃专用）

专题7　动态问题 2024甘肃数学 目 录 1 命 题 分 析 2 典 例 精 析 1 命 题 分 析 动态问题就是在几何图形上设计一个或几个动点，并对这些点在运动变化的过程中存在的等量关系、变量关系、图形的特殊状态、图形间的特殊关系等进行研究考查．动态问题常常集几何、代数知识于一体，数形结合，有较强的综合性．运动型问题通常有直线运动、曲线运动、转动和滚动等． 解决运动变化型问题需要从运动与变化的角度去观察和研究图形，把握动点运动与变化的全过程，抓住其中的等量关系和变量关系，并特别关注一些不变量、不变关系或特殊关系，尽管一些试题大多属于静态的知识和方法，然而，这些试题中常常渗透着运动与变化的思想方法，需要化“动态”为“静态”，化“变化”为“不变”去研究和解决． 返回首页 专题7　动态问题 首页 总目录 运动变化型问题有时把函数、方程、不等式联系起来，当一个问题是求有关图形的变量之间的关系时，通常建立函数模型或不等式模型求解，当求图形之间的特殊位置关系和一些特殊的值时，通常建立方程模型去求解． 返回首页 专题7　动态问题 首页 总目录 2 典 例 精 析   以某一个几何图形为载体，在一些边上或平面内设置动点，探究这些点在运动的过程中所构成的特征情形或特殊图形，综合方程、函数、几何知识等解决相关问题． 几何图形上的动点 类型 1 返回首页 专题7　动态问题 首页 类型1 类型2 总目录 (2021·省卷) 如图1，在△ABC中，AB＝BC，BD⊥AC于点D(AD＞BD)．动点M从点A出发，沿折线AB→BC方向运动，运动到点C停止．设点M的运动路程为x，△AMD的面积为y，y与x的函数图象如图 2，则AC的长为(　　) 图1 图2 A．3　　　 B．6　　　 C．8　　　 D．9 B 返回首页 专题7　动态问题 首页 类型1 类型2 总目录 [解析]　由图2知，AB＋BC＝2. ∵AB＝BC，∴AB＝. ∵AB＝BC，BD⊥AC， ∴AC＝2AD，∠ADB＝90°. 在Rt△ABD中， AD2＋BD2＝AB2＝13①. 设点M到AC的距离为h，则S△AMD＝·h. 图2 ∵动点M从点A出发，沿折线AB→BC方向运动， 返回首页 专题7　动态问题 首页 类型1 类型2 总目录 ∴当点M运动到点B时，△AMD的面积最大，即h＝BD. 由图2知，△AMD的面积最大为3， ∴AD·BD＝3.∴AD·BD＝6②. ①＋2×②，得AD2＋BD2＋2AD·BD＝13＋2×6＝25， ∴(AD＋BD)2＝25.∴AD＋BD＝5. ∴BD＝5－AD③. 将③代入②，得AD(5－AD)＝6， ∴AD＝3或AD＝2. ∵AD＞BD，∴AD＝3.∴AC＝2AD＝6. 故选B. 图2 返回首页 专题7　动态问题 首页 类型1 类型2 总目录 1．(2017·兰州) 如图1，在矩形ABCD中，动点E从A出发，沿AB→BC方向运动，当点E到达点C时停止运动，过点E作FE⊥AE，交CD于点 F，设点E运动路程为x，FC＝y，如图2所表示的是y与x的函数关系的大致图象，当点E在BC上运动时，FC的最大长度是，则矩形ABCD的面 积是(　　) 图1　　　 图2 A． B．5 C．6 D． B 返回首页 专题7　动态问题 首页 类型1 类型2 总目录 2．(2019·省卷) 如图1，在矩形ABCD中，AB＜AD，对角线AC，BD相交于点O，动点P由点A出发，沿AB→BC→CD向点D运动．设点P的运动路程为x，△AOP的面积为y，y与x的函数关系图象如图2所示，则AD 边的长为(　　) 图1　　 　图2 A．3 B．4 C．5 D．6 B 返回首页 专题7　动态问题 首页 类型1 类型2 总目录 3．(2022·烟台) 如图1，△ABC中，∠ABC＝60°，D是BC边上的一个动点(不与点B，C重合)，DE∥AB，交AC于点E，EF∥BC，交AB于点F.设BD的长为x，四边形BDEF的面积为y，y与x的函数图象是如图2所 示的一段抛物线，其顶点P的坐标为(2，3)，则AB的长为. 图1 　图2 返回首页 专题7　动态问题 首页 类型1 类型2 总目录   由两个图形进行相对运动，在运动过程中形成不同的位置关系或不同的重叠部分，综合其他数学知识解决问题． 几何图形的运动 类型 2 返回首页 专题7　动态问题 首页 类型1 类型2 总目录 (2018·天水) 如图，在正方形ABCD和△EFG中，AB＝EF＝EG＝5 cm，FG＝8 cm，点B，C，F，G在同一直线l上．当点C，F重合时，△EFG以1 cm/s的速度沿直线l向左开始运动，t秒后正方形ABCD与△EFG重合部分的面积为S cm2.请解答下列问题： 返回首页 专题7　动态问题 首页 类型1 类型2 总目录 (1)当t＝3秒时，求S的值； [分析]　作EP⊥FG于点P，由EF＝EG，得出PF＝PG＝FG＝4，由勾股定理得出PE＝＝3.当t＝3时，FC＝3.设EF与DC交于点R，证明△FCR∽△FPE，由相似三角形的性质即可得出结果； 返回首页 专题7　动态问题 首页 类型1 类型2 总目录 [解答]　解：如图1，作EP⊥CG于点P. ∵EF＝EG，∴PF＝PG＝＝3.当t＝3时，FC＝3. 图1 设EF与DC相交于点R. ∵PE∥DC，∴△FCR∽△FPE， ∴. ∵S△FPE＝×4×3＝6， ∴S＝(cm2)． 返回首页 专题7　动态问题 首页 类型1 类型2 总目录 (2)当t＝5秒时，求S的值； [分析]　当t＝5时，CG＝3.设EG与DC交于点R，由相似三角形的性质得出，求出CR＝，S△RCG＝ cm2即可得出结果； 返回首页 专题7　动态问题 首页 类型1 类型2 总目录 [解答]　解：当t＝5时，CG＝3，此时点B与点F重合，如图2. 设EG与DC交于点R，由△RCG∽△EPG，得，即，∴CR＝. ∴S△RCG＝(cm2)． ∴S＝S△EBG－S△RCG＝12－(cm2)． 图2 返回首页 专题7　动态问题 首页 类型1 类型2 总目录 (3)当5秒＜t≤8秒时，求S与t的函数关系式，并求出S的最大值． [分析]　当5≤t≤8时，BF＝t－5，GC＝8－t. 设EF交AB于点H，由△FBH∽△FPE，PF ＝4，得出BF∶PF＝(t－5)∶4，得出S△FBH ＝(t－5)2，同理得S△RCG＝(8－t)2，得出S＝－，再把二次函数化成顶点式，即可得出结果． 返回首页 专题7　动态问题 首页 类型1 类型2 总目录 [解答]　解：当5＜t≤8时，如图3所示，BF＝t－5，GC＝8－t，设EF交AB于点H. ∵△FBH∽△FPE，PF＝4， ∴BF∶PF＝(t－5)∶4. ∴S△FBH∶S△FPE＝(t－5)2∶42. 又∵S△FPE＝6，∴S△FBH＝(t－5)2. 设EG交CD于点R，由△RCG∽△EPG， 图3 返回首页 专题7　动态问题 首页 类型1 类型2 总目录 同理可得S△RCG＝(8－t)2. ∴S＝12－(t－5)2－(8－t)2＝－. ∴当t＝时，S最大，最大值为 cm2. 图3 返回首页 专题7　动态问题 首页 类型1 类型2 总目录 4．(2021·兰州) 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6 cm，BC＝ 8 cm，将∠BAC绕点A顺时针旋转，角的两边分别交射线BC于D，E两点，F为AE上一点，连接CF，且∠ACF＝∠B(当点B，D重合时，点C，F也重合)．设B，D两点间的距离为x cm(0≤x≤8)，A，F两点间的距离为y cm. 返回首页 专题7　动态问题 首页 类型1 类型2 总目录 小刚根据学习函数的经验，对因变量y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究． 下面是小刚的探究过程，请补充完整． (1)列表：下表的已知数据是根据B，D两点间的距离x进行取点，画图，测量分别得到了x与y的几组对应值； x/cm 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 y/cm 6.00 5.76 5.53 5.31 5.09 4.88 4.69 x/cm 3.5 4 4.5 5 6 7 8 y/cm 4.50 4.33 4.17 4.02 3.79 3.65 a 请你通过计算补全表格：a＝__________； 3.60 返回首页 专题7　动态问题 首页 类型1 类型2 总目录 解：3.60　[如图1，连接DF. ∵∠BAC＝∠DAF，∴∠BAD＝∠CAF. ∵∠ADC＝∠B＋∠BAD，∠CFE＝∠ACF＋∠CAF，∠ACF＝∠B， ∴∠CFE＝∠ADC. ∴A，F，C，D四点共圆． ∴∠AFD＝∠ACD＝90°. 图1 返回首页 专题7　动态问题 首页 类型1 类型2 总目录 当BD＝8时，如图2， 在Rt△ACB中，AC＝6 cm，BC＝8 cm， ∴AB＝＝10(cm)． ∵cos ∠CAF＝cos ∠BAC， ∴. ∴AF＝＝3.6(cm)． ∴a＝3.60. 图2 返回首页 专题7　动态问题 首页 类型1 类型2 总目录 (另解：当BD＝8时，点C与点D重合． ∵∠CAF＝∠BAC，∠ACF＝∠B， ∴△ACF∽△ABC.∴. ∴.∴AF＝3.60.)] 图2 返回首页 专题7　动态问题 首页 类型1 类型2 总目录 (2)描点、连线：在平面直角坐标系xOy中，描出表中各组数值所对应的点(x，y)，并画出函数y关于x的图象； 返回首页 专题7　动态问题 首页 类型1 类型2 总目录 解：函数图象如图所示： 返回首页 专题7　动态问题 首页 类型1 类型2 总目录 (3)探究性质：随着自变量x的不断增大，因变量y的变化趋势：________________； 解：因变量y逐渐减小 因变量y逐渐减小 返回首页 专题7　动态问题 首页 类型1 类型2 总目录 (4)解决问题：当AF＝CD时，BD的长度大约是__________cm.(结果保留两位小数) 解：3.50　[∵BC＝8，BD＝x，∴CD＝8－ x.∴C，D两点间的距离为y1＝－x＋8，其函 数图象如图所示： 观察图象可知，当CD＝AF时，x≈3.54， ∴BD≈3.50 cm.] 3.50 返回首页 专题7　动态问题 首页 类型1 类型2 总目录 5．(2022·河北)如图1，四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，∠C＝30°，AD＝3，AB＝，DH⊥BC于点H.将△PQM与该四边形按如图方式放在同一平面内，使点P与点A重合，点B在PM上，其中∠Q＝90°，∠QPM＝30°，PM＝4. 图1 (1)求证：△PQM≌△CHD； 返回首页 专题7　动态问题 首页 类型1 类型2 总目录 证明：∵AD∥BC，∠ABC＝90°，DH⊥BC于点H，∴四边形ABHD是矩形． ∴AB＝DH＝2，∠DHB＝∠DHC＝90°. 在Rt△PQM中，∠Q＝90°，∠QPM＝30°，PM＝4， ∴QM＝.∴QM＝DH. 在△PQM和△CHD中， ∴△PQM≌△CHD(AAS)． 图1 返回首页 专题7　动态问题 首页 类型1 类型2 总目录 (2)△PQM从图1的位置出发，先沿着BC方向向右平移(图2)，当点P到达点D后立刻绕点D逆时针旋转(图3)，当边PM旋转50°时停止． ①边PQ从平移开始，到绕点D旋转结束，求边PQ扫过的面积； 图1　　 图2 图3 返回首页 专题7　动态问题 首页 类型1 类型2 总目录 解：如答图1，PQ扫过的面积＝平行四边形AQQ′D的面积＋扇形DQ′Q″的面积． 设QQ′交AM于点T. ∵AQ＝QM＝6，QT⊥AM， 答图1 ∴AT＝AQ·cos 30°＝3. ∴PQ扫过的面积为3×3＋5π. 返回首页 专题7　动态问题 首页 类型1 类型2 总目录 ②如图2，点K在BH上，且BK＝9－.若△PQM右移的速度为每秒1个单位长度，绕点D旋转的速度为每秒5°，求点K在△PQM区域(含边界)内的时长； 图2 返回首页 专题7　动态问题 首页 类型1 类型2 总目录 解：如答图2，连接DK.当PM运动到与DH重合时， ∵BH＝AD＝3，BK＝9－4， ∴KH＝3－＝4－6. ∴CK＝4. ∵CD＝2DH＝4，∴CD＝CK. ∴∠CKD＝(180°－30°)＝75°. ∴∠KDH＝15°. ∴∠QDK＝30°－15°＝15°. ∴点K在△PQM区域(含边界)内的时长为＝s. 答图2 返回首页 专题7　动态问题 首页 类型1 类型2 总目录 ③如图3，在△PQM旋转过程中，设PQ，PM分别交BC于点E，F，若BE＝d，直接写出CF的长(用含d的式子表示)． 图3 返回首页 专题7　动态问题 首页 类型1 类型2 总目录 解：CF＝.　[如答图3，在Rt△CDH中，DH＝2，∠C＝30°，∴CH＝DH＝6. ∵BH＝3，BE＝d， ∴EH＝|3－d|. ∵DH＝2，∠DHE＝90°， ∴DE2＝EH2＋DH2＝(3－d)2＋2. 答图3 返回首页 专题7　动态问题 首页 类型1 类型2 总目录 ∵∠DEF＝∠CED，∠EDF＝∠C＝30°， ∴△DEF∽△CED.∴DE2＝EF·EC. ∴(3－d)2＋12＝EF·(9－d)． ∴EF＝. ∴CF＝BC－BE－EF＝9－d－.] 答图3 返回首页 专题7　动态问题 首页 类型1 类型2 总目录 本讲内容结束 请完成《练测本》P73～75专题练测7 $$