专题6 几何探究问题(课件PPT)-【中考导学案】2024年中考数学讲义（甘肃专用）

专题6　几何探究问题 2024甘肃数学 目 录 1 命 题 分 析 2 典 例 精 析 1 命 题 分 析 近几年来，几何探究问题成为数学中考的热点题，主要考查考生探究问题的能力、阅读理解的能力、开放探索的能力，要求学生能进行知识的迁移和发散． 探究能力的考查题型有新定义型、阅读理解型、开放型、几何变换型等形式． 由于几何探究问题的知识覆盖面较广、综合性较强、解题方法灵活．除了要加强基础知识的巩固提高外，还应有意识地构建知识间的内在联系和迁移，此类问题的一般解题思路并无固定模式或套路，但可以从以下几个角度考虑： 返回首页 专题6　几何探究问题 首页 总目录 (1)利用特殊值法(包括特殊点、特殊量、特殊值、特殊位置)进行不完全归纳，在特殊情形的启示下，再从特殊到一般，得出规律和结论． (2)反演推理法，即从结论出发，逐步推演出所需条件，再抓住已知条件和所需条件间的联系进行思考求解． (3)分类讨论法，即命题的条件和结论不唯一，则需要按可能出现的情况进行分类讨论，将不同结论综合归纳得出正确的结果． (4)方法仿效法，即从特殊情形下解决问题的方法中汲取经验，仿效并借鉴其思路和方法解决一般情形下的问题． 以上的归纳并不能全面概括此类问题的解题策略，解答问题时，应注重数学思想方法的综合运用，要求思路开阔、方法灵活、敢于猜测和尝试． 返回首页 专题6　几何探究问题 首页 总目录 2 典 例 精 析   解答新定义的问题时，首先要认真阅读并理解“新定义”，从性质和判定两个角度做出分析，理清题中的条件与结论，然后分别运用“新定义”的性质与判定解决相应的问题． 新定义型探究问题 类型 1 返回首页 专题6　几何探究问题 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 总目录 (2019·省卷) 如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． (1)【概念理解】如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，问四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由； 返回首页 专题6　几何探究问题 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 总目录 [解答]　解：四边形ABCD是垂美四边形． 理由如下：∵AB＝AD， ∴点A在线段BD的垂直平分线上． ∵CB＝CD， ∴点C在线段BD的垂直平分线上． ∴直线AC是线段BD的垂直平分线． ∴AC⊥BD，即四边形ABCD是垂美四边形． 返回首页 专题6　几何探究问题 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 总目录 (2)【性质探究】如图1，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AC⊥BD.试证明：AB2＋CD2＝AD2＋BC2； 证明：∵AC⊥BD， ∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°. 由勾股定理，得 AD2＋BC2＝AO2＋DO2＋BO2＋CO2， AB2＋CD2＝AO2＋BO2＋CO2＋DO2， ∴AD2＋BC2＝AB2＋CD2. 返回首页 专题6　几何探究问题 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 总目录 (3)【解决问题】如图3，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE，BG，GE.已知AC＝4，AB＝5，求GE的长． 返回首页 专题6　几何探究问题 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 总目录 解：连接CG，BE. ∵∠CAG＝∠BAE＝90°， ∴∠CAG＋∠BAC＝∠BAE＋∠BAC，即∠GAB＝∠CAE. 在△GAB和△CAE中， ∴△GAB≌△CAE(SAS)． ∴∠ABG＝∠AEC. 又∵∠AEC＋∠AME＝90°， 返回首页 专题6　几何探究问题 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 总目录 ∴∠ABG＋∠AME＝90°. ∵∠AME＝∠BMC， ∴∠ABG＋∠BMC＝90°，即CE⊥BG. ∴四边形CGEB是垂美四边形． 由(2)得，CG2＋BE2＝CB2＋GE2. ∵AC＝4，AB＝5， ∴BC＝3，CG＝4. ∴GE2＝CG2＋BE2－CB2＝73. ∴GE＝. 返回首页 专题6　几何探究问题 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 总目录 1．(2021·天水张家川县模拟) 定义：若四边形有一组 对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角， 像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直 等补”四边形． 根据以上定义，解决下列问题： (1)如图1，正方形ABCD中E是CD上的点，将△BCE绕B点旋转，使BC 与BA重合，此时点E的对应点F在DA的延长线上，则四边形BEDF____ (填“是”或“不是”)“直等补”四边形； 图1 是 返回首页 专题6　几何探究问题 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 总目录 (2)如图2，已知四边形ABCD是“直等补”四边形，AB＝BC＝5，CD＝1，AD＞AB，过点B作BE⊥AD于点E. ①过点C作CF⊥BE于点F，试证明：BE＝DE，并求BE的长； 图2 备用图 返回首页 专题6　几何探究问题 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 总目录 证明：∵四边形ABCD是“直等补”四边形，AB＝BC＝5，CD＝1，AD＞AB， ∴∠ABC＝90°，∠ABC＋∠D＝180°. ∴∠D＝90°. ∵BE⊥AD，CF⊥BE， ∴∠DEF＝90°，∠CFE＝90°. ∴四边形CDEF是矩形． ∴DE＝CF，EF＝CD＝1. ∵∠ABE＋∠A＝90°，∠ABE＋∠CBE＝90°， 返回首页 专题6　几何探究问题 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 总目录 ∴∠A＝∠CBF. ∵∠AEB＝∠BFC＝90°，AB＝BC， ∴△ABE≌△BCF(AAS)． ∴BE＝CF，AE＝BF＝BE－1. ∵DE＝CF，∴BE＝DE. 设BE＝x，则AE＝x－1. 在Rt△ABE中，x2＋(x－1)2＝52， 解得x＝4或x＝－3(舍去)，∴BE的长是4. 返回首页 专题6　几何探究问题 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 总目录 ②若M是AD边上的动点，求△BCM周长的最小值． 图2 备用图 解：∵C△BCM＝BC＋BM＋CM， ∴当BM＋CM的值最小时，△BCM的周长最小，如备用图，延长CD到点G，使DG＝CD，连接BG交AD于点M′，过点G作GH⊥BC，交BC的延长线于点H. 返回首页 专题6　几何探究问题 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 总目录 ∵∠ADC＝90°， ∴点C与点G关于AD对称． ∴BM＋CM＝BM＋MG≥BG. 即BM＋CM≥BM′＋M′C. ∴当点M与点M′重合时，BM′＋M′C的值最小，即△BCM的周长最小． 由①知，AE＝BE－1＝3. ∵四边形ABCD是“直等补”四边形， ∴∠A＋∠BCD＝180°. ∵∠BCD＋∠GCH＝180°， 返回首页 专题6　几何探究问题 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 总目录 ∴∠A＝∠GCH. ∵∠AEB＝∠CHG＝90°， ∴△ABE∽△CGH. ∴. 即.∴GH＝. ∴BH＝BC＋CH＝. ∴BG＝. ∴△BCM周长的最小值为5＋. 返回首页 专题6　几何探究问题 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 总目录   解答阅读理解题的时候，首先要对材料的基本方法进行剖析，感悟数学思想方法，然后运用材料中的思想方法、结论、基本思路等解决新的问题． 阅读理解型探究问题 类型 2 返回首页 专题6　几何探究问题 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 总目录 (2023·兰州) 综合与实践： 【思考尝试】 (1)数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在矩 形ABCD中，E是边AB上一点，DF⊥CE于点F，GD⊥ DF，AG⊥DG，AG＝CF，试猜想四边形ABCD的形状， 并说明理由； [分析]　根据矩形的性质得到∠ADC＝90°，∠ADG＝∠CDF.根据全等三角形的性质得到AD＝CD，于是得到四边形ABCD是正方形； 返回首页 专题6　几何探究问题 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 总目录 [解答]　解：四边形ABCD是正方形． 理由如下：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ADC＝90°. ∵GD⊥DF， ∴∠FDG＝90°. ∴∠FDG＝∠ADC. ∵∠FDG＝∠ADG＋∠ADF， ∠ADC＝∠ADF＋∠CDF， 返回首页 专题6　几何探究问题 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 总目录 ∴∠ADG＝∠CDF. 又∵AG＝CF，∠G＝∠DFC＝90°， ∴△ADG≌△CDF(AAS)． ∴AD＝CD. ∴四边形ABCD是正方形． 返回首页 专题6　几何探究问题 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 总目录 【实践探究】 (2)小睿受此问题启发，逆向思考并提出新的问题： 如图2，在正方形ABCD中，E是边AB上一点，DF ⊥CE于点F，AH⊥CE于点H，GD⊥ DF交AH的 延长线于点G，可以用等式表示线段FH，AH，CF 的数量关系，请你思考并解答这个问题； 返回首页 专题6　几何探究问题 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 总目录 [分析]　根据矩形的判定定理得到四边形HFDG是矩形，求得∠G＝∠DFC＝90°.根据正方形的性质得到AD＝CD，∠ADC＝90°，求得∠ADG＝∠CDF.根据全等三角形的性质得到AG＝CF，DG＝DF.根据正方形的判定定理得到矩形HFDG是正方形，于是得到HG＝HF＝AH＋AG＝AH＋CF； 返回首页 专题6　几何探究问题 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 总目录 [解答]　解：HF＝AH＋CF. 理由如下：∵DF⊥CE，AH⊥CE，GD⊥DF， ∴四边形HFDG是矩形． ∴∠G＝∠DFC＝90°. ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝CD，∠ADC＝90°. ∴∠ADG＝∠CDF. 返回首页 专题6　几何探究问题 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 总目录 ∴△ADG≌△CDF(AAS)． ∴AG＝CF，DG＝DF. ∴矩形HFDG是正方形． ∴HG＝HF＝AH＋AG＝AH＋CF. 返回首页 专题6　几何探究问题 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 总目录 【拓展迁移】 (3)小博深入研究小睿提出的这个问题，发现并提出新 的探究点：如图3，在正方形ABCD中，E是边AB上一 点，AH⊥CE于点H，点M在CH上，且AH＝HM，连 接AM，BH，可以用等式表示线段CM，BH的数量关 系，请你思考并解答这个问题． [分析]　连接AC，根据正方形的性质得到∠BAC＝45°，根据等腰直角三角形的性质得到∠HAM＝45°，根据相似三角形的性质即可得到结论． 返回首页 专题6　几何探究问题 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 总目录 [解答]　解：连接AC. ∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAC＝45°. ∵AH⊥CE，AH＝HM，∴△AHM是等腰直角三角形． ∴∠HAM＝45°. ∴∠HAB＝∠MAC. ∵，∴△AHB∽△AMC. ∴. 即BH＝CM. 返回首页 专题6　几何探究问题 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 总目录 2．(2022·兰州) 综合与实践 【问题情境】 数学活动课上，老师提出了一个问题：如图1，在正方形ABCD中，E是BC的中点，AE⊥EP，EP与正方形的外角∠DCG的平分线交于点P.试猜想AE与EP的数量关系，并加以证明． 图1 返回首页 专题6　几何探究问题 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 总目录 解：AE＝EP.理由如下： 补图如图1，取AB的中点F，连接EF. ∵F，E分别为AB，BC的中点，∴AF＝BF＝BE＝CE，∴∠BFE＝45°.∴∠AFE＝135°. ∵CP平分∠DCG，∴∠DCP＝45°. ∴∠ECP＝135°.∴∠AFE＝∠ECP. ∵AE⊥PE，∴∠AEP＝90°. ∴∠AEB＋∠PEC＝90°. ∵∠AEB＋∠BAE＝90°，∴∠PEC＝∠FAE. ∴△AFE≌△ECP(ASA)．∴AE＝EP. 图1 返回首页 专题6　几何探究问题 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 总目录 【实践探究】 (2)希望小组受此问题启发，逆向思考这个题目，并提出新的问题：如图2，在正方形ABCD中，E为BC边上一动点(点E，B不重合)，△AEP是等腰直角三角形，∠AEP＝90°，连接CP，可以求出∠DCP的大小，请你思考并解答这个问题； 图2 返回首页 专题6　几何探究问题 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 总目录 解：如图2，在AB上取AF＝EC，连接EF. 由(1)可得，∠CEP＝∠FAE. ∵AF＝EC，AE＝EP， ∴△FAE≌△CEP(SAS)．∴∠ECP＝∠AFE. ∵AF＝EC，AB＝BC，∴BF＝BE. ∴∠BEF＝∠BFE＝45°.∴∠AFE＝135°. ∴∠ECP＝135°.∴∠DCP＝45°. 图2 返回首页 专题6　几何探究问题 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 总目录 【拓展迁移】 (3)突击小组深入研究希望小组提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3，在正方形ABCD中，E为BC边上一动点(点E，B不重合)，△AEP是等腰直角三角形，∠AEP＝90°，连接DP.知道正方形的边长时，可以求出△ADP周长的最小值．当AB＝4时，请你求出△ADP周长的最小值． 图3 返回首页 专题6　几何探究问题 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 总目录 解：如图3，连接CP，作DG⊥CP，交BC的延长线于点G，交CP于点O，连接AG，由(1)知，∠DCP＝45°，∴∠CDG＝45°. ∴△DCG是等腰直角三角形． ∴点D与点G关于CP对称． ∴AP＋DP的最小值为AG的长． ∵AB＝4，∴BG＝8，由勾股定理，得AG＝4. ∴△ADP周长的最小值为AD＋AG＝4＋4. 图3 返回首页 专题6　几何探究问题 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 总目录   解开放型探究问题的时候，最重要的是抓住题目的考点，围绕题目考查的知识点，补全条件或者结论，通过观察、猜想、论证解答问题，又或者是得出某一结论之后，再把条件向一般化推进，检验其结论是否正确，感受“动中有定”的数学特征． 开放型探究问题 类型 3 返回首页 专题6　几何探究问题 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 总目录 (2023·省卷) 【模型建立】 (1)如图1，△ABC和△BDE都是等边三角形，点C关 于AD的对称点F在BD边上． ①求证：AE＝CD； [解答]　证明：①∵△ABC和△BDE都是等边三角形， ∴AB＝CB，EB＝DB，∠ABC＝∠EBD＝60°. ∴∠ABE＝∠CBD. ∴△ABE≌△CBD(SAS)．∴AE＝CD； 返回首页 专题6　几何探究问题 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 总目录 解：AD＝BD＋DF. 理由如下： ∵△BDE是等边三角形， ∴BD＝DE. ∵点C与点F关于AD对称， ∴CD＝DF. 又∵AE＝CD，∴AE＝DF. ∵AD＝AE＋DE，∴AD＝DF＋BD. ②用等式写出线段AD，BD，DF的数量关系，并说明理由； 返回首页 专题6　几何探究问题 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 总目录 【模型应用】 (2)如图2，△ABC是直角三角形，AB＝AC，CD⊥BD，垂足为D，点C关于AD的对称点F在BD边上．用等式写出线段AD，BD，DF的数量关系，并说明理由； 返回首页 专题6　几何探究问题 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 总目录 解：BD＋DF＝AD. 理由如下： 如答图1，过点B作BE⊥AD于点E. ∵点C与点F关于AD对称， ∴∠ADC＝∠ADB. 又∵CD⊥BD， ∴∠ADC＝∠ADB＝45°. 又∵BE⊥AD， 返回首页 专题6　几何探究问题 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 总目录 ∴△BDE是等腰直角三角形． 又∵△ABC是等腰直角三角形， ∴，∠ABC＝∠EBD＝45°. ∴∠ABE＝∠CBD. ∴△ABE∽△CBD. ∴.又∵CD＝DF. ∴DF＝AE. 返回首页 专题6　几何探究问题 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 总目录 ∵△BDE是等腰直角三角形， ∴BD＝DE. ∴BD＋DF＝(DE＋AE)＝AD， 即BD＋DF＝AD. 返回首页 专题6　几何探究问题 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 总目录 【模型迁移】 (3)在(2)的条件下，若AD＝4，BD＝3CD，求cos ∠AFB的值． 返回首页 专题6　几何探究问题 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 总目录 解：如图②，过点A作AG⊥BD于点G. ∵∠ADB＝45°，∴△AGD是等腰直角三角形． 又∵AD＝4， ∴AG＝DG＝4，BD＋DF＝AD＝8. ∵BD＝3CD，CD＝DF，∴DF＝2. 又∵DG＝4， ∴FG＝DG－DF＝2. 在Rt△AFG中，由勾股定理，得AF＝， ∴cos ∠AFB＝. 返回首页 专题6　几何探究问题 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 总目录 3．(2021·白银模拟) (1)如图1，在正方形ABCD中， EF分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝45°，探究图 中线段BE，EF，FD之间的数量关系．小王同学探究 此问题的方法是将△ABE绕A点旋转90°使得B与D重 合，连接AG，由此得到_________，再证明_________， 可得出结论，他的结论应是________________. 图1 BE＝DG EF＝FG EF＝BE＋DF 返回首页 专题6　几何探究问题 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 总目录 解：BE＝DG　EF＝FG　EF＝BE＋DF [由旋转的性质，得DG＝BE，∠BAE＝∠DAG，AE＝ AG.∵∠EAF＝45°，∠BAD＝90°，∴∠FAG＝ ∠DAG＋∠DAF＝∠BAE＋∠DAF＝45°.∴∠FAG＝ ∠EAF.∵AF＝AF，∴△AFE≌△AFG(SAS)． ∴EF＝FG. ∵FG＝DF＋DG＝DF＋BE，∴EF＝BE＋DF.] 图1 返回首页 专题6　几何探究问题 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 总目录 【拓展延伸】 (2)如图2，等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，点G，H在边AC上，且∠GBH＝45°，写出图中线段AG，GH，CH之间的数量关系并证明． 图2 返回首页 专题6　几何探究问题 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 总目录 解：结论：GH2＝AG2＋CH2. 理由如下：如图2，将△BCH绕点B逆时针旋转90° 得到△BAM.∵BA＝BC，∠ABC＝90°，∴∠BAC ＝∠C＝45°.由旋转的性质，得CH＝AM，BH＝ BM，∠C＝∠BAM＝45°，∠ABM＝∠CBH， ∴∠MAG＝∠BAM＋∠BAG＝90°.∵∠HBG＝45°，∴∠GBM＝∠ABG＋∠ABM＝∠ABG＋∠CBH＝90°－∠HBG＝45°.∴∠HBG＝∠MBG.∵BG＝BG.∴△BGH≌△BGM(SAS)，∴GH＝GM.∵∠MAG＝90°，∴AM2＋AG2＝GM2，∴GH2＝AG2＋CH2. 图2 返回首页 专题6　几何探究问题 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 总目录   几何变换型探究问题是以几何知识和具体的几何图形为背景，通过图形的平移、翻折、旋转等把图形的有关性质和图形之间的数量关系、位置关系看作是在变化的、相互依存的状态之中，要求对变换过程中伴随的数量关系和图形的位置关系等进行探究．解决这类问题，要善于发现全等三角形、等边三角形、直角三角形和相似三角形，或添辅助线构造全等三角形、等边三角形、直角三角形和相似三角形，运用全等三角 几何变换型探究问题 类型 4 返回首页 专题6　几何探究问题 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 总目录 形来证明，运用勾股定理、相似三角形和锐角三角函数来计算．对于操作性试题，要认真阅读题干，理解操作的方法与步骤，在此基础上根据操作中所涉及的知识来思考，如操作中涉及平移、旋转等图形变换，就运用平移、旋转的相关知识来解答． 返回首页 专题6　几何探究问题 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 总目录 (2021·兰州模拟)【问题解决】 (1)如图1，将矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在点B′处，B′C与AD交于点E，求证：△AEC是等腰三角形； 图1 [分析]　由折叠的性质得出∠ECA＝∠ACB，由平行线的性质得出∠EAC＝∠ACB，则可得出结论； 返回首页 专题6　几何探究问题 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 总目录 [解答]　证明：∵将矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，使点B落到点B′的位置， ∴∠ECA＝∠ACB. ∵AD∥BC， ∴∠EAC＝∠ACB，∴∠EAC＝∠ECA， ∴AE＝CE，∴△ACE是等腰三角形． 图1 返回首页 专题6　几何探究问题 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 总目录 【继续探究】 (2)如图2，点O是矩形纸片ABCD对角线的交点，将该纸片沿过点O的线段EF折叠，使点A的对应点为A′，点B与点D重合，连接BF，求证：四边形FBED是菱形； 图2 [分析]　连接BD，证明△DOF≌△BOE(AAS)，由全等三角形的性质得出DF＝BE，得出四边形FBED是平行四边形，由菱形的判定可得出结论； 返回首页 专题6　几何探究问题 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 总目录 证明：如图2，连接BD.∵将该纸片沿过点O的线段EF折叠，点A的对应点为A′，点B与点D重合， ∴OB＝OD，BD⊥EF. ∵DF∥BE，∴∠DFE＝∠BEF. ∵∠DOF＝∠BOE＝90°， ∴△DOF≌△BOE(AAS)，∴DF＝BE， ∴四边形FBED是平行四边形． 又BD⊥EF，∴四边形FBED是菱形． 图2 返回首页 专题6　几何探究问题 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 总目录 【拓展应用】 (3)如图3，在平行四边形纸片ABCD中，点O是其对角线的交点．将该纸片沿过点O的线段EF进行折叠，点A，B的对应点分别为A′，B′，B′F与CD交于点G，A′B′分别与AD，CD交于点I，H，若ED＝4，ID＝2，求FG的长． 图3 [分析]　连接AC，证明△AOE≌△COF(ASA)，由全 等三角形的性质得出OE＝OF，AE＝CF.由折叠可知， AE＝A′E＝CF，∠A′＝∠BAC＝∠BCD，证明△A′IE ≌△CGF (AAS)，由全等三角形的性质得出FG＝EI.则可得出答案． 返回首页 专题6　几何探究问题 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 总目录 解：如图3，连接AC.∵对角线AC，BD相交于点O，∴AC经过点O. ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AE∥CF.∴∠EAO＝∠FCO. ∵AO＝OC，∠AOE＝∠COF， ∴△AOE≌△COF(ASA)． ∴OE＝OF，AE＝CF. 由折叠可知，AE＝A′E＝CF，∠A′＝∠BAD＝∠BCD. 图3 返回首页 专题6　几何探究问题 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 总目录 ∵∠A′IE＝∠DIH，∠ADC＝∠ABG＝∠B′，∠IHD＝∠B′HG， ∴∠DIH＝∠B′GH. ∵∠B′GH＝∠CGF， ∴∠A′IE＝∠CGF. ∴△A′IE≌△CGF(AAS)．∴FG＝EI. ∵ED＝4，ID＝2， ∴FG＝EI＝4－2＝2. 图3 返回首页 专题6　几何探究问题 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 总目录 4．(2023·攀枝花) 如图1，在△ABC中，AB＝BC＝2AC＝8，△ABC沿BC方向向左平移得到△DCE，点A，C的对应点分别是D，E.F是线段BE上的一个动点，连接AF，将线段AF绕点A逆时针旋转至线段AG，使得∠BAD＝∠FAG，连接FG. (1)当点F与点C重合时，求FG的长． 返回首页 专题6　几何探究问题 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 总目录 解：当点F与点C重合时，AF＝AC， 由平移可知，CD＝AB，CD∥AB， ∴四边形ABCD和四边形ACED是平行四边形． 如答图1，过点B作BH⊥AC交于点H， ∴AD＝BC，AD∥BC. ∴∠DAF＝∠ACB. ∵AB＝BC， ∴∠BAC＝∠ACB. ∵∠DAF＝∠ACB， 返回首页 专题6　几何探究问题 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 总目录 ∵∠BAD＝∠FAG， ∴∠DAC＝∠BAC＝∠BAG. ∴AB是∠CAG的平分线． ∵AC＝AG， ∴AB⊥CG. ∵AB＝BC＝2AC＝8， ∴AH＝2. ∴BH＝2. ∴sin ∠BAC＝. ∴CG＝FG＝2. 返回首页 专题6　几何探究问题 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 总目录 (2)如图2，连接BG，DF.在点F的运动过程中： ①BG和DF是否总是相等？若是，请证明；若不是，请说明理由； 解：DF＝BG，理由如下： 如答图2，∵AG＝AF，∵∠DAB＝∠FAG， ∴∠DAF＝∠BAG，AB＝AD. ∴△ABG≌△ADF(SAS)． ∴DF＝BG； 返回首页 专题6　几何探究问题 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 总目录 ②当BF的长为多少时，△ABG能构成等腰三角形？ 解：如答图2，过点A作AN⊥BC交于点N， 由①可知，S△ABC＝×8AN， ∴AN＝. 当AG＝AB时， ∵AB＝BC＝8， ∴AG＝8. ∵AG＝AF， 返回首页 专题6　几何探究问题 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 总目录 ∴AF＝8. 当点F与点B重合时，AF＝8，此时BF＝0. 当BF＝2BN时，AF＝8，在Rt△ABN中，BN＝＝7， ∴BF＝14； 当AG＝BG时，AF＝BG. ∵DF＝BG， ∴DF＝AF. 过点F作FM⊥AD交于点M， 返回首页 专题6　几何探究问题 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 总目录 ∴AM＝DM＝4. ∵FM⊥AD，AN⊥BC， ∴AM＝FN＝4. ∵BN＝7， ∴BF＝11； 当BA＝BG时， ∵DF＝BG， ∴AB＝DF. 返回首页 专题6　几何探究问题 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 总目录 ∵AB＝CD＝BC＝AD， ∴DC＝DF. 当F点在BE上时，CD＝DF，此时点C与点F重合， ∴BF＝BC＝8. 综上所述，BF的长为14或11或8或0. 返回首页 专题6　几何探究问题 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 总目录 本讲内容结束 请完成《练测本》P70～72专题练测6 $$