专题5 圆的证明与计算(课件PPT)-【中考导学案】2024年中考数学讲义（甘肃专用）

专题5　圆的证明与计算 2024甘肃数学 目 录 1 命 题 分 析 2 典 例 精 析 1 命 题 分 析 圆的证明与计算是甘肃中考数学解答题型的重要组成部分，主要考查圆与直线的位置关系，大部分考查切线的性质与判定及有关计算问题．近几年甘肃中考数学卷中每年安排一个大题，分值为8分，考点基本固定，大同小异． 常用辅助线作法 1．弧有中点：连圆心．利用等弧所对的圆心角相等、弦相等、圆周角相等可得到一系列的相等关系的量． 返回首页 专题5　圆的证明与计算 首页 总目录 2．弦有中点：连圆心．利用垂径定理的推论可得，所连半径垂直于弦．如果再把圆心和弦的一端连起来，就可以得到由半径、半弦、弦心距构成的直角三角形． 3．弦和直径同时出现：过圆心作弦的垂线．利用垂径定理构建由半径、半弦、弦心距构成的直角三角形． 4．两条半径同时出现：连接两条半径的外端．构建等腰三角形，利用等腰三角形性质解题． 5．条件中有直径和与直径有公共端点的弦：把弦的另一端点与直径的另一端点连起来．利用直径所对的圆周角是直角，可得到一个直角三角形． 返回首页 专题5　圆的证明与计算 首页 总目录 6．条件中有90°的圆周角：把圆周角所对的弦作出来．利用90°的圆周角所对的弦是直径，可得所作的弦是直径，同时得到一个直角三角形． 7．证明直线是圆的切线：当直线与圆有明确的公共点时，连接圆心和公共点，证明所连半径与直线垂直即可；当直线与圆没有明确的公共点时，过圆心作直线的垂线，证明所作垂线段等于半径即可． 8．条件中有切线，有切点：连接圆心和切点．利用切线的性质 ——圆的切线垂直于过切点的半径，可得到所连半径与切线垂直． 返回首页 专题5　圆的证明与计算 首页 总目录 解题规律 1．“圆内接四边形”往往是隐含条件，要注意分析观察，应用圆内接四边形的性质解决问题． 2．连接半径外端构建等腰三角形，往往容易被忽略，要善于用等腰三角形性质解决问题． 3．有弦和直径，常由半径、半弦、弦心距构建直角三角形，利用勾股定理和垂径定理解决问题． 4．圆中主要学了两种特殊的角：圆心角和圆周角，它们不仅在解题时用得多，而且它们之间的关系很特殊，要掌握利用． 返回首页 专题5　圆的证明与计算 首页 总目录 5．圆中得“线段相等、角相等”的方法比直线型问题要多得多，垂径定理，圆周角定理，弧、弦、圆心角关系定理，切线长定理都可以用． 6．垂径定理和“三线合一”定理既有联系又有区别，在做题时要分清(是弦时，直接用垂径定理，否则要用“三线合一”定理)． 7．三角形中位线定理和垂径定理的综合比较常见． 返回首页 专题5　圆的证明与计算 首页 总目录 2 典 例 精 析   圆中的切线问题一般就两类：一是已知圆的切线，根据圆的切线的性质，解决其他线段关系或图形性质，条件中有切线，有切点：连接圆心和切点，利用切线的性质——圆的切线垂直于过切点的半径，可得到所连半径与切线垂直．二是根据图形的已知条件判定圆的切线，当直线与圆有明确的公共点时，连接圆心和公共点，证明所连半径与直线垂直即可；当直线与圆没有明确的公共点时，过圆心作直线的垂线，证明所作垂线段等于半径即可．要记住：“连半径，证垂直；作垂直，证半径”这几个字，这类问题作为中考题的重点考查点．圆中的辅助线至关重要，作辅助线是解题的关键． 切线性质与判定的证明 类型 1 返回首页 专题5　圆的证明与计算 首页 类型1 类型2 总目录 (2023·省卷) 如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，D是⊙O上的一点，CO平分∠BCD，CE⊥AD，垂足为E，AB与CD相交于点F. (1)求证：CE是⊙O的切线； 返回首页 专题5　圆的证明与计算 首页 类型1 类型2 总目录 【解答】　证明：∵CE⊥AD，∴∠E＝90°. ∵CO平分∠BCD， ∴∠OCB＝∠OCD. ∵OB＝OC， ∴∠B＝∠BCO＝∠D. ∴∠D＝∠OCD. ∴OC∥DE. ∴∠OCE＝∠E＝90°. ∵OC是圆的半径， ∴CE是⊙O的切线． 返回首页 专题5　圆的证明与计算 首页 类型1 类型2 总目录 (2)当⊙O的半径为5，sin B＝时，求CE的长． 【解答】解：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°. ∵sin B＝，AB＝2OB＝2×5＝10，∴AC＝6. ∵∠OCE＝∠ACO＋∠OCB＝∠ACO＋∠ACE＝90°， ∴∠ACE＝∠OCB＝∠B. ∴sin ∠ACE＝sin B＝. 解得AE＝3.6. ∴CE＝＝4.8. 返回首页 专题5　圆的证明与计算 首页 类型1 类型2 总目录 1．(2021·兰州) 如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，E为AB上一点，BE＝BC，延长CE交AD于点D，AD＝AC. (1)求证：AD是⊙O的切线； 证明：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°，即∠ACE＋∠BCE＝90°. ∵AD＝AC，BE＝BC， ∴∠ACE＝∠D，∠BCE＝∠BEC. 又∵∠BEC＝∠AED，∴∠AED＋∠D＝90°. ∴∠DAE＝90°，即AD⊥AE. ∵OA是⊙O的半径，∴AD是⊙O的切线． 返回首页 专题5　圆的证明与计算 首页 类型1 类型2 总目录 (2)若tan ∠ACE＝，OE＝3，求BC的长． 解：由tan ∠ACE＝＝tan D可设AE＝a，则AD＝3a＝AC. ∵OE＝3，∴OA＝a＋3，AB＝2a＋6. ∴BE＝a＋3＋3＝a＋6＝BC. 在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB2＝BC2＋AC2， 即(2a＋6)2＝(a＋6)2＋(3a)2. 解得a1＝0(舍去)，a2＝2. ∴BC＝a＋6＝8. 返回首页 专题5　圆的证明与计算 首页 类型1 类型2 总目录 2．(2019·天水) 如图，AB，AC分别是⊙O的直径和弦，OD⊥AC于点D.过点A作⊙O的切线与OD的延长线交于点P，PC，AB的延长线交于点F. (1)求证：PC是⊙O的切线； 证明：连接OC. ∵OD⊥AC，OD经过圆心O， ∴AD＝CD.∴PA＝PC. 在△OAP和△OCP中， 返回首页 专题5　圆的证明与计算 首页 类型1 类型2 总目录 ∴△OAP≌△OCP(SSS)．∴∠OCP＝∠OAP. ∵PA是⊙O的切线，∴∠OAP＝90°. ∴∠OCP＝90°，即OC⊥PC. ∴PC是⊙O的切线． 返回首页 专题5　圆的证明与计算 首页 类型1 类型2 总目录 (2)若∠ABC＝60°，AB＝10，求线段CF的长． 解：∵OB＝OC，∠OBC＝60°， ∴△OBC是等边三角形．∴∠COB＝60°. ∵AB＝10，∴OC＝5. 由(1)知∠OCF＝90°， ∴CF＝OC·tan ∠COB＝5. 返回首页 专题5　圆的证明与计算 首页 类型1 类型2 总目录 3．(2022·辽宁) 如图，△ABC内接于⊙O，AC是⊙O的直径，过OA上的点P作PD⊥AC，交CB的延长线于点D，交AB于点E，F为DE的中点，连接BF. (1)求证：BF与⊙O相切； 证明：连接OB. ∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝90°. ∴∠ABD＝180°－∠ABC＝90°. ∵F为DE的中点， ∴BF＝EF＝DE.∴∠FEB＝∠FBE. 返回首页 专题5　圆的证明与计算 首页 类型1 类型2 总目录 ∵∠AEP＝∠FEB，∴∠FBE＝∠AEP. ∵PD⊥AC，∴∠EPA＝90°. ∴∠A＋∠AEP＝90°. ∵OA＝OB，∴∠A＝∠OBA. ∴∠OBA＋∠FBE＝90°.∴∠OBF＝90°. ∵OB是⊙O的半径，∴BF与⊙O相切． 返回首页 专题5　圆的证明与计算 首页 类型1 类型2 总目录 (2)若AP＝OP，cos A＝，AP＝4，求BF的长. 解：在Rt△AEP中，cos A＝，AP＝4， ∴AE＝＝5. ∴PE＝＝3. ∵AP＝OP＝4，∴OA＝OC＝2AP＝8. ∴PC＝OP＋OC＝12. ∵∠A＋∠AEP＝90°，∠A＋∠C＝90°， 返回首页 专题5　圆的证明与计算 首页 类型1 类型2 总目录 ∴∠AEP＝∠C. ∵∠APE＝∠DPC＝90°，∴△APE∽△DPC. ∴.∴.∴DP＝16. ∴DE＝DP－PE＝16－3＝13. ∴BF＝. 返回首页 专题5　圆的证明与计算 首页 类型1 类型2 总目录   圆中的计算问题一般设置在解答题的第(2)小问，综合考查的知识点很多是试卷中难度较大的部分．解题时，思维要开阔，要注意知识点之间的联系，如：有弧就要考虑利用“等弧所对的圆心角相等、弦相等、圆周角相等”，由此可得一系列相等关系的量；有弦有中点，就想垂径定理；有90°的圆周角，就把圆周角所对的弦作出来；有三角形相似，想到线段成比例；有阴影部分，需要求阴影面积，就结合图形特点，选择用公式法、和差法、等积转化法(割补、添补、平移、旋转)、容斥原理等方法解题．以上介绍的方法可以结合具体题目灵活选用． 圆中的计算问题 类型 2 返回首页 专题5　圆的证明与计算 首页 类型1 类型2 总目录 (2020·天水) 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，点O在AB上，以O为圆心，OA为半径的圆恰好经过点D，分别交AC，AB于点E，F. (1)试判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由； [分析]　连接OD，证出OD∥AC，进而证出OD⊥BC，再根据切线的判定得出即可结论； 返回首页 专题5　圆的证明与计算 首页 类型1 类型2 总目录 [解答]　解：直线BC与⊙O相切．理由如下： 连接OD. ∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA. ∵AD平分∠CAB， ∴∠OAD＝∠CAD. ∴∠CAD＝∠ODA. ∴AC∥OD. ∴∠ODB＝∠C＝90°，即BC⊥OD. 又∵OD为⊙O的半径， ∴直线BC与⊙O相切． 返回首页 专题5　圆的证明与计算 首页 类型1 类型2 总目录 (2)若BD＝2，AB＝6，求阴影部分的面积(结果保留π)． [分析]　根据勾股定理求出OD＝2，求出OB＝4，得出∠B＝30°，再分别求出△ODB和扇形DOF的面积即可． 返回首页 专题5　圆的证明与计算 首页 类型1 类型2 总目录 [解答]　解：设OA＝OD＝r，则OB＝6－r. 在Rt△ODB中，由勾股定理，得OD2＋BD2＝OB2， ∴r2＋2＝(6－r)2，解得r＝2. ∴OD＝2，OB＝4. ∴OD＝OB.∴∠B＝30°. ∴∠DOB＝180°－∠B－∠ODB＝60°. ∴S阴影＝S△ODB－S扇形ODF＝. 返回首页 专题5　圆的证明与计算 首页 类型1 类型2 总目录 4．(2023·枣庄) 如图，AB为⊙O的直径，C是的中点，过点C做射线BD的垂线，垂足为E. (1)求证：CE是⊙O的切线； 返回首页 专题5　圆的证明与计算 首页 类型1 类型2 总目录 证明：如图，连接OC. ∵C是的中点，∴. ∴∠ABC＝∠EBC. ∵OB＝OC，∴∠ABC＝∠OCB. ∴∠EBC＝∠OCB.∴OC∥BE. ∵BE⊥CE，∴半径OC⊥CE. ∴CE是⊙O的切线． 返回首页 专题5　圆的证明与计算 首页 类型1 类型2 总目录 (2)若BE＝3，AB＝4，求BC的长； 解：如图，连接AC. ∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°. ∴∠ACB＝∠CEB＝90°. ∵∠ABC＝∠EBC，∴△ACB∽△CEB. ∴.∴.∴BC＝2. 返回首页 专题5　圆的证明与计算 首页 类型1 类型2 总目录 (3)在(2)的条件下，求阴影部分的面积(用含有π的式子表示)． 解：如图，连接OD，CD. ∵AB＝4，∴OC＝OB＝2. 在Rt△BCE中，BC＝2，BE＝3， ∴cos ∠CBE＝. ∴∠CBE＝30°. ∴∠COD＝60°. ∴∠AOC＝60°. 返回首页 专题5　圆的证明与计算 首页 类型1 类型2 总目录 ∵OC＝OD，∴△COD是等边三角形． ∴∠CDO＝60°. ∴∠CDO＝∠AOC. ∴CD∥AB.∴S△COD＝S△CBD. ∴S阴影＝S扇形COD＝π. 答：阴影部分的面积为π. 返回首页 专题5　圆的证明与计算 首页 类型1 类型2 总目录 5．(2022·临沂) 如图，AB是⊙O的切线，B为切点，直线AO交⊙O于C，D两点，连接BC，BD.过圆心O作BC的平行线，分别交AB的延长线、⊙O及BD于点E，F，G. (1)求证：∠D＝∠E； 返回首页 专题5　圆的证明与计算 首页 类型1 类型2 总目录 证明：连接OB. ∵AB是⊙O的切线， ∴∠OBE＝90°.∴∠E＋∠BOE＝90°. ∵CD为⊙O的直径， ∴∠CBD＝90°.∴∠D＋∠DCB＝90°. ∵OE∥BC，∴∠BOE＝∠OBC. ∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB. ∴∠BOE＝∠OCB.∴∠D＝∠E. 返回首页 专题5　圆的证明与计算 首页 类型1 类型2 总目录 (2)若F是OE的中点，⊙O的半径为3，求阴影部分的面积． 解：∵F为OE的中点，⊙O的半径为3， ∴OF＝EF＝3.∴OE＝6.∴BO＝OE. ∵∠OBE＝90°，∴∠E＝30°. ∴∠BOG＝60°. ∵OE∥BC，∠DBC＝90°，∴∠OGB＝90°. 返回首页 专题5　圆的证明与计算 首页 类型1 类型2 总目录 ∴OG＝. ∴S△OBG＝，S扇形BOF＝π. ∴S阴影＝S扇形OBF－S△BOG＝π－. 返回首页 专题5　圆的证明与计算 首页 类型1 类型2 总目录 6．(2022·贵阳) 如图，AB为⊙O的直径，CD是⊙O的切线，C为切 点，连接BC.ED垂直平分OB，垂足为E，且交于点F，交BC于点 P，连接BF，CF. (1)求证：∠DCP＝∠DPC； 返回首页 专题5　圆的证明与计算 首页 类型1 类型2 总目录 证明：连接OC. ∵CD是⊙O的切线，C为切点， ∴∠DCO＝90°，即∠OCB＋∠DCP＝90°. ∵DE⊥OB，∴∠DEB＝90°. ∴∠OBC＋∠BPE＝90°. ∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC. ∴∠DCP＝∠BPE. ∵∠BPE＝∠DPC，∴∠DCP＝∠DPC. 返回首页 专题5　圆的证明与计算 首页 类型1 类型2 总目录 (2)当BC平分∠ABF时，求证：CF∥AB； 证明：连接OF. ∵ED垂直平分OB，∴OF＝BF. ∵OF＝OB，∴BF＝OF＝OB. ∴△BOF是等边三角形． ∴∠FOB＝∠ABF＝60°. ∴∠FCB＝∠FOB＝30°. ∵BC平分∠ABF，∴∠ABC＝∠ABF＝30°. ∴∠FCB＝∠ABC.∴CF∥AB. 返回首页 专题5　圆的证明与计算 首页 类型1 类型2 总目录 (3)在(2)的条件下，OB＝2，求阴影部分的面积． 解：由(2)知，∠ABC＝∠CBF＝30°， ∴∠COF＝2∠CBF＝60°. ∵OB＝2，即⊙O半径为2. ∴S扇形OCF＝. ∵OC＝OF，∠COF＝60°， ∴△COF是等边三角形． 返回首页 专题5　圆的证明与计算 首页 类型1 类型2 总目录 ∴CF＝OF＝OB＝2. ∵ED垂直平分OB， ∴OE＝BE＝OB＝1，∠FEB＝90°. 在Rt△FEB中， EF＝. ∴S△OCF＝. ∴S阴影＝S扇形OCF－S△COF＝. 返回首页 专题5　圆的证明与计算 首页 类型1 类型2 总目录 本讲内容结束 请完成《练测本》P67～69专题练测5 $$