专题3 应用型问题(课件PPT)-【中考导学案】2024年中考数学讲义（甘肃专用）

专题3　应用型问题 2024甘肃数学 目 录 1 命 题 分 析 2 典 例 精 析 1 命 题 分 析 应用型问题的取材面广泛，涉及生活生产、环境保护、国情国策、市场经济、社会热点、新闻事件等方面． 分析解答应用型问题时，首先要在阅读材料、理解题意的基础上，把实际问题抽象为数学问题，利用数学知识建立相应的数学模型，运用方程(组)、不等式(组)、函数、几何等知识对数学模型进行分析、研究，从而得出结论，然后把求得的数学结论返回到实际问题中． 这类题型涉及的数学内容十分广泛，涉及社会生产生活的方方面面．解题的关键是要学会运用数学知识去理解、分析、概括所给的实际问题，将其转化为数学模型． 返回首页 专题3　应用型问题 首页 总目录 2 典 例 精 析   以区域文化或热点话题为背景蕴含数量关系于其中的应用型问题，解答时要求能有条理地分析数量关系，引入适当的未知量，建立方程(组)或不等式求解． 方程与不等式的应用 类型 1 返回首页 专题3　应用型问题 首页 类型1 类型2 类型3 总目录 (2021·酒泉二模) 生活垃圾处理是关系民生的基础性公益事业，加强生活垃圾分类处理，维护公共环境和节约资源是全社会共同的责任．某小区购进A型和B型两种分类垃圾桶，已知购买一个B型垃圾桶比购买一个A型垃圾桶多花20元，购买A型、B型垃圾桶各花费了1 000元，且购买A型垃圾桶数量是购买B型垃圾桶数量的2倍． (1)购买一个A型垃圾桶和一个B型垃圾桶各需多少元？ 返回首页 专题3　应用型问题 首页 类型1 类型2 类型3 总目录 [分析]　设购买一个A型垃圾桶需x元，则购买一个B型垃圾桶需(x＋20)元，根据“数量＝总价÷单价”，结合“用1 000元购买A型垃圾桶的数量是购买B型垃圾桶数量的2倍”，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结果； [解答]　解：设购买一个A型垃圾桶需x元，则购买一个B型垃圾桶需(x＋20)元．根据题意，得.解得x＝20. 经检验，x＝20是原方程的解，且符合题意．∴x＋20＝40. 答：购买一个A型垃圾桶需20元，购买一个B型垃圾桶需40元． 返回首页 专题3　应用型问题 首页 类型1 类型2 类型3 总目录 (2)若小区一次性购买A型和B型垃圾桶共60个，要使总费用不超过2 000元，最少要购买多少个A型垃圾桶？ [分析]　设购买y个A型垃圾桶，则购买(60－y)个B型垃圾桶，利用“总价＝单价×数量”，结合“总价不超过2 000元”，即可得出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结果． [解答]　解：设购买y个A型垃圾桶，则购买(60－y)个B型垃圾桶．根据题意，得 20y＋40(60－y)≤2 000.解得y≥20. 答：最少要购买20个A型垃圾桶． 返回首页 专题3　应用型问题 首页 类型1 类型2 类型3 总目录 1．(2022·张家界) 中国“最美 扶贫高铁”之一的“张吉怀高 铁”开通后，张家界到怀化的 运行时间由原来的3.5小时缩短 至1小时，运行里程缩短了40千 米．已知高铁的平均速度比普 通列车的平均速度每小时快200千米，求高铁的平均速度． 返回首页 专题3　应用型问题 首页 类型1 类型2 类型3 总目录 解：设高铁的平均速度为x千米/时，则普通列车的平均速度为(x－200)千米/时．由题意，得 x＋40＝3.5(x－200)．解得x＝296. 答：高铁的平均速度为296千米/时． 返回首页 专题3　应用型问题 首页 类型1 类型2 类型3 总目录 2．(2022·泰安) 泰安某茶叶店经销泰山女儿茶，第一次购进了A种茶30盒，B种茶20盒，共花费6 000元；第二次购进时，两种茶每盒的价格都提高了20%，该店又购进了A种茶20盒，B种茶15盒，共花费5 100元．求第一次购进的A，B两种茶每盒的价格． 解：设第一次购进A种茶的价格为x元/盒，B种茶的价格为y元/盒．依题意，得 解得 答：第一次购进A种茶的价格为100元/盒，B种茶的价格为150元/盒． 返回首页 专题3　应用型问题 首页 类型1 类型2 类型3 总目录 3．(2023·淄博) 某古镇为发展旅游产业，吸引更多的游客前往游览，助力乡村振兴，决定在“五一”期间对团队旅游实行门票特价优惠活动，价格如下表： 购票人数m(人) 10≤m≤50 51≤m≤100 m＞100 每人门票价(元) 60 50 40 (题中的团队人数均不少于10人) 现有甲、乙两个团队共102人，计划利用“五一”假期到该古镇旅游，其中甲团队不足50人，乙团队多于50人． 返回首页 专题3　应用型问题 首页 类型1 类型2 类型3 总目录 (1)如果两个团队分别购票，一共应付5 580元，请问甲、乙团队各有多少人？ 解：设甲人数x人，乙人数(102－x)人． ∵当乙大于100人时，此时甲人数只能是1人，共花的价格不够5 580元， ∴乙人数在51到100人之间，甲人数在10到50人之间． ∴列方程，得60x＋50(102－x)＝5 580. 解得x＝48，102－x＝54. 答：甲团队48人，乙团队54人． 返回首页 专题3　应用型问题 首页 类型1 类型2 类型3 总目录 (2)如果两个团队联合起来作为一个“大团队”购票，比两个团队各自购票节省的费用不少于1 200元，请问甲团队最少有多少人？ 解：设甲人数x人，乙人数(102－x)人． 甲乙一起买的价格为102×40＝4 080(元)． 甲乙分开买的价格为60x＋50(102－x)． ∴60x＋50(102－x)－4 080≥1 200. 解得x≥18. 答：甲团队最少18人． 返回首页 专题3　应用型问题 首页 类型1 类型2 类型3 总目录 4．(2022·眉山) 建设美丽城市，改造老旧小区．某市2019年投入资金 1 000万元，2021年投入资金1 440万元，现假定每年投入资金的增长率相同． (1)求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率； 解：设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为x.依题意，得 1 000(1＋x)2＝1 440. 解得x1＝0.2＝20%，x2＝－2.2(不合题意，舍去)． 答：该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为20%. 返回首页 专题3　应用型问题 首页 类型1 类型2 类型3 总目录 (2)2021年老旧小区改造的平均费用为每个80万元.2022年为提高老旧小区品质，每个小区改造费用增加15%.如果投入资金年增长率保持不变，求该市在2022年最多可以改造多少个老旧小区． 解：设该市在2022年可以改造y个老旧小区．依题意，得 80×(1＋15%)y≤1 440×(1＋20%)．解得y≤. 又∵y为整数，∴y的最大值为18. 答：该市在2022年最多可以改造18个老旧小区. 返回首页 专题3　应用型问题 首页 类型1 类型2 类型3 总目录   构建变量之间的函数关系，运用函数的性质分析解答应用问题． 函数的应用 类型 2 返回首页 专题3　应用型问题 首页 类型1 类型2 类型3 总目录 (2023·兰州) 一名运动员在10 m高的跳台进行跳水，身体(看成一点)在空中的运动轨迹是一条抛物线，运动员离水面OB的高度y(m)与离起跳点A的水平距离x(m)之间的函数关系如图所示，运动员离起跳点A的水平距离为1 m时达到最高点，当运动员离起跳点A的水平距离为3 m时离水面的距离为7 m． 返回首页 专题3　应用型问题 首页 类型1 类型2 类型3 总目录 (1)求y关于x的函数表达式； [解答]　解：根据题意可得，抛物线过(0，10)和(3， 7)，对称轴为直线x＝1. 设y关于x的函数表达式为y＝ax2＋bx＋c， ∴解得 ∴y关于x的函数表达式为y＝－x2＋2x＋10. 返回首页 专题3　应用型问题 首页 类型1 类型2 类型3 总目录 (2)求运动员从起跳点到入水点的水平距离OB的长． [解答]　解：在y＝－x2＋2x＋10中，令y＝0得0＝ －x2＋2x＋10. 解得x＝＋1或x＝－＋1(舍去)． ∴运动员从起跳点到入水点的水平距离OB的长为 米． 返回首页 专题3　应用型问题 首页 类型1 类型2 类型3 总目录 5．(2022·武威模拟) 涛涛同学骑共享单车保持匀速从家到博学书店买书，选好书付好款后，以相同的速度原路骑共享单车返回家中．设涛涛同学距离家的路程为y(m)，运动时间为x(min)，y与x之间的函数图象如图所示． (1)a＝__________； 14 解：14 [由题意，得24－10＝14，∴a＝14.] 返回首页 专题3　应用型问题 首页 类型1 类型2 类型3 总目录 (2)在涛涛同学从书店返回家的过程中，求y与x之间的函数关系式； 解：设y与x之间的函数关系式为y＝kx＋b. 把(14，2 000)，(24，0)代入上式，得 解得 ∴y＝－200x＋4 800. 返回首页 专题3　应用型问题 首页 类型1 类型2 类型3 总目录 (3)在涛涛从家里出发的同时，小波同学以60 m/min的速度从博学书店匀速步行去涛涛家，当小波同学与涛涛同学在路上相遇时，直接写出涛涛同学的运动时间． 解： min.　[2 000÷10＝200(m/min)．设 涛涛同学从家里出发x min，与小波同学相遇， 则有(200＋60)x＝2 000，解得x＝. ∴涛涛同学的运动时间为 min.] 返回首页 专题3　应用型问题 首页 类型1 类型2 类型3 总目录 6．(2021·天水张家川县模拟) 小红经营的网店以销售文具为主，其中一款笔记本进价为每本10元，该网店在试销售期间发现，每周销售数量y(本)与销售单价x(元)之间满足一次函数关系，三对对应值如下表： 销售单价x(元) 12 14 16 每周的销售量y(本) 500 400 300 返回首页 专题3　应用型问题 首页 类型1 类型2 类型3 总目录 (1)求y与x之间的函数关系式； 解：设y＝kx＋b(k≠0)，则 解得 ∴y与x之间的函数关系式为y＝－50x＋1 100. 返回首页 专题3　应用型问题 首页 类型1 类型2 类型3 总目录 (2)通过与其他网店对比，小红将这款笔记本的单价定为x元(12≤x≤15，且x为整数)，设每周销售该款笔记本所获利润为w元，当销售单价定为多少元时，每周所获利润最大，最大利润是多少元？ 解：由题意，得 w＝(x－10)y＝(x－10)(－50x＋1 100)＝－50(x－16)2＋1 800. ∵－50＜0，∴当x＜16时，w随x的增大而增大． ∵12≤x≤15，且x为整数， ∴当x＝15时，w有最大值，此时w＝－50×(15－16)2＋1 800＝1 750. 答：当销售单价定为15元时，每周所获利润最大，最大利润是1 750元. 返回首页 专题3　应用型问题 首页 类型1 类型2 类型3 总目录 7．(2022·河南) 小红看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：测得喷水头P距地面0.7 m，水柱在距喷水头P水平距离5 m处达到最高，最高点距地面3.2 m；建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为y＝a(x－h)2＋k，其中x(m)是水柱距喷水头的水平距离，y(m)是水柱距地面的高度． 返回首页 专题3　应用型问题 首页 类型1 类型2 类型3 总目录 (1)求抛物线的表达式； 解：由题意知，抛物线顶点为(5，3.2)．设抛物线的表达式为y＝a(x－5)2＋3.2，将(0，0.7)代入，得0.7＝25a＋3.2，解得a＝－. ∴抛物线的表达式为y＝－(x－5)2＋3.2，即y＝－. 返回首页 专题3　应用型问题 首页 类型1 类型2 类型3 总目录 (2)爸爸站在水柱正下方，且距喷水头P水平距离3 m．身高1.6 m的小红在水柱下方走动，当她的头顶恰好接触到水柱时，求她与爸爸的水平距离． 解：当y＝1.6时，－＝1.6， 解得x＝1或x＝9. ∴她与爸爸的水平距离为3－1＝2(m)或9－3＝6(m)． 返回首页 专题3　应用型问题 首页 类型1 类型2 类型3 总目录   将实际问题化归为几何问题，运用几何图形的性质、规律来解答问题． 解直角三角形的应用 类型 3 返回首页 专题3　应用型问题 首页 类型1 类型2 类型3 总目录 题型1　生活情景或实物类 (2023·兰州) 如图1是我国第一个以“龙” 为主题的主题公园——“兰州龙源”，“兰州龙源” 的“龙”字主题雕塑以紫铜铸造，如巨龙腾空，气 势如虹，屹立在黄河北岸．某数学兴趣小组开展了 测量“龙”字雕塑CD高度的实践活动，具体过程如下．如图2， “龙”字雕塑CD位于垂直地面的基座BC上，在平行于水平地面的A处测得∠BAC＝38°，∠BAD＝53°，AB＝18 m，求“龙”字雕塑CD的高度． (B，C，D三点共线，BD⊥AB，结果精确到0.1 m．参考数据：sin 38° ≈0.62，cos 38°≈0.79，tan 38°≈0.78，sin 53°≈0.80，cos 53°≈0.60，tan 53 °≈1.33) 返回首页 专题3　应用型问题 首页 类型1 类型2 类型3 总目录 [分析]　在Rt△ABC中，由AB＝18 m，∠BAC＝38°，得BC＝AB·tan ∠BAC＝14.04(m)，在Rt△ABD中，由AB＝18 m，∠BAD＝53°，得BD＝AB·tan ∠BAD＝23.94(m)，然后由CD＝BD－BC即可得出答案. [解答]　解：在Rt△ABC中，AB＝18 m，∠BAC＝38°. ∵tan ∠BAC＝， ∴BC＝AB·tan ∠BAC＝18tan 38°≈18×0.78＝14.04(m)． 在Rt△ABD中，AB＝18 m，∠BAD＝53°. 返回首页 专题3　应用型问题 首页 类型1 类型2 类型3 总目录 ∵tan ∠BAD＝， ∴BD＝AB·tan ∠BAD＝18tan 53°≈18×1.33＝23.94(m)． ∴CD＝BD－BC＝23.94－14.04＝9.9(m)． 答：“龙”字雕塑CD的高度约为9.9 m. 返回首页 专题3　应用型问题 首页 类型1 类型2 类型3 总目录 8．(2022·兰州) 如图，小睿为测量公园的一 凉亭AB的高度，他先在水平地面点E处用高 1.5 m的测角仪DE测得∠ADC＝31°，然后 沿EB方向向前走3 m到达点G处，在点G处用 高1.5 m的测角仪FG测得∠AFC＝42°.求凉 亭AB的高度．(A，C，B三点共线，AB⊥BE， AC⊥CD，CD＝BE，BC＝DE.结果精确到0.1 m．参考数据：sin 31°≈0.52， cos 31°≈0.86，tan 31°≈0.60，sin 42°≈0.67，cos 42°≈0.74，tan 42° ≈0.90) 返回首页 专题3　应用型问题 首页 类型1 类型2 类型3 总目录 解：由题意，得BC＝FG＝DE＝1.5 m，DF＝GE＝3 m，∠ACF＝90°.设CF＝x m，则CD＝CF＋DF＝(x＋3)m. 在Rt△ACF中，∠AFC＝42°， ∴AC＝CF·tan 42°≈0.9x(m)． 在Rt△ACD中，∠ADC＝31°， ∴tan 31°＝≈0.6.∴x＝6. 经检验，x＝6是原方程的根． ∴AB＝AC＋BC≈0.9x＋1.5＝6.9(m)． 答：凉亭AB的高度约为6.9 m． 返回首页 专题3　应用型问题 首页 类型1 类型2 类型3 总目录 题型2　课题实践类 (2023·甘肃) 如图1，某人的一器官后面A处长了一个新生物，现需检测其到皮肤的距离(图1)．为避免伤害器官，可利用一种新型检测技术，检测射线可避开器官从侧面测量．某医疗小组制定方案，通过医疗仪器的测量获得相关数据，并利用数据计算出新生物到皮肤的距离方案如下： 返回首页 专题3　应用型问题 首页 类型1 类型2 类型3 总目录 课题 检测新生物到皮肤的距离 工具 医疗仪器等 示意图 返回首页 专题3　应用型问题 首页 类型1 类型2 类型3 总目录 请你根据上表中的测量数据，计算新生物A处到皮肤的距离．(结果精确到0.1 cm.参考数据：sin 35°≈0.57，cos 35°≈0.82，tan 35°≈0.70，sin 22°≈0.37，cos 22°≈0.93，tan 22°≈0.40) 说明 如图2，新生物在A处，先在皮肤上选择最大限度地避开器官的B处照射新生物，检测射线与皮肤MN的夹角为∠DBN；再在皮肤上选择距离B处9 cm的C处照射新生物，检测射线与皮肤MN的夹角为∠ECN. 测量数据 ∠DBN＝35°，∠ECN＝22°，BC＝9 cm. 返回首页 专题3　应用型问题 首页 类型1 类型2 类型3 总目录 [解答]　解：过点A作AF⊥MN，垂足为F. 设BF＝x cm. ∵BC＝9 cm，∴CF＝BC＋BF＝(x＋9)cm. 在Rt△ABF中，∠ABF＝∠DBN＝35°， ∴AF＝BF·tan 35°≈0.7x(cm)． 在Rt△ACF中，∠ACF＝∠ECN＝22°， ∴AF＝CF·tan 22°≈(0.4x＋3.6)cm. ∴0.7x＝(0.4x＋3.6)，解得x＝12. ∴AF＝0.7x＝8.4(cm)． ∴新生物A处到皮肤的距离约为8.4 cm. 返回首页 专题3　应用型问题 首页 类型1 类型2 类型3 总目录 9．(2022·省卷) 灞陵桥位于甘肃省渭源县城南清源河(渭河上游)上，始建于明洪武初年，因“渭水绕长安，绕灞陵，为玉石栏杆灞陵桥”之语，得名灞陵桥(图1)，该桥为全国独一无二的纯木质叠梁拱桥．某综合实践研究小组开展了测量汛期某天“灞陵桥拱梁顶部到水面的距离”的实践活动，过程如下： 图1 返回首页 专题3　应用型问题 首页 类型1 类型2 类型3 总目录 方案设计：如图2，点C为桥拱梁顶部(最高点)，在地面上选取A，B两处分别测得∠CAF和∠CBF的度数(A，B，D，F在同一条直线上)，河边D处测得地面AD到水面EG的距离DE(C，F，G在同一条直线上，DF∥EG，CG⊥AF，FG＝DE)． 图2 返回首页 专题3　应用型问题 首页 类型1 类型2 类型3 总目录 数据收集：实地测量地面上A，B两点的距离为8.8 m，地面到水面的距离DE＝1.5 m，∠CAF＝26.6°，∠CBF＝35°. 问题解决：求灞陵桥拱梁顶部C到水面的距离CG(结果保留一位小数)． (参考数据：sin 26.6°≈0.45，cos 26.6°≈0.89，tan 26.6°≈0.50， sin 35°≈0.57，cos 35°≈0.82，tan 35°≈0.70.) 根据上述方案及数据，请你完成求解过程． 返回首页 专题3　应用型问题 首页 类型1 类型2 类型3 总目录 解：设BF＝x m. 由题意，得DE＝FG＝1.5 m. 在Rt△CBF中，∠CBF＝35°， ∴CF＝BF·tan 35°≈0.7x(m)． ∵AB＝8.8 m， ∴AF＝AB＋BF＝(8.8＋x)m. 在Rt△ACF中，∠CAF＝26.6°， 返回首页 专题3　应用型问题 首页 类型1 类型2 类型3 总目录 ∴tan 26.6°＝≈0.5. ∴x＝22. 经检验，x＝22是原方程的根． ∴CG＝CF＋FG≈0.7x＋1.5＝16.9(m)． 答：灞陵桥拱梁顶部C到水面的距离CG约为16.9 m． 返回首页 专题3　应用型问题 首页 类型1 类型2 类型3 总目录 本讲内容结束 请完成《练测本》P62～64专题练测3 $$