专题2.5 一元一次方程全章十一类必考点（必考点分类集训）-【新教材】2024-2025学年七年级数学上册必考点分类集训系列（浙教版2024）

专题2.5 一元一次方程全章十一类必考点 【浙教版2024】 【考点1 一元一次方程的定义】 1 【考点2 等式性质的运用】 4 【考点3 一元一次方程的解法】 7 【考点4 一元一次方程含参问题】 12 【考点5 新定义方程】 15 【考点6 一元一次方程的应用（根据题中数量关系列方程）】 24 【考点7 一元一次方程的应用（根据常见公式列方程）】 28 【考点8 一元一次方程的应用（根据题中的规律列方程）】 31 【考点9 一元一次方程的应用（分段计费问题）】 38 【考点10 一元一次方程的应用（方案最优化问题）】 45 【考点11 一元一次方程的应用（动点问题）】 52 【考点1 一元一次方程的定义】 【方法点拨】只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程． 通常形式是ax+b=0（a，b为常数，且a≠0）．一元一次方程属于整式方程，即方程两边都是整式．一元指 方程仅含有一个未知数，一次指未知数的次数为1，且未知数的系数不为0．我们将ax+b=0（其中x是未知 数，a、b是已知数，并且a≠0）叫一元一次方程的标准形式．这里a是未知数的系数，b是常数，x的次数 必须是1． 【经典题型】 1．（2024春•萨尔图区校级期末）下列各式：①3+7＝10；②3x﹣5＝x2+3x；③2x+1＝1；④；⑤3x+2．其中是一元一次方程的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】含有一个未知数，并且未知数的最高次数为1的整式方程叫做一元一次方程． 【解答】解：①3+7＝10，不含未知数，不是方程，不符合题意； ②3x﹣5＝x2+3x，未知数的最高次数是2，不是一元一次方程，不符合题意； ③2x+1＝1，符合一元一次方程的定义，符合题意； ④，不是整式方程，不符合题意； ⑤3x+2，不是方程，不符合题意． 故选：A． 2．（2023秋•新吴区期末）已知下列方程：①5x+1；②x2﹣4x＝3；③0.3x＝1；④x+2y＝0．其中一元一次方程的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】根据一元一次方程的定义进行判断即可． 【解答】解：①5x+1是一元一次方程； ②x2﹣4x＝3不是一元一次方程； ③0.3x＝1是一元一次方程； ④x+2y＝0不是一元一次方程． 故选：B． 3．（2024春•商水县校级期中）若方程（2k+1）x2﹣（2k﹣1）x+5＝0是关于x的一元一次方程，则k的值为（　　） A．0 B．﹣1 C． D． 【分析】根据一元一次方程的定义“只含有一个未知数，且未知数的次数为1的方程是一元一次方程”，即可解答． 【解答】解：∵方程（2k+1）x2﹣（2k﹣1）x+5＝0是关于x的一元一次方程， ∴2k+1＝0，﹣（2k﹣1）≠0， 解得：， 故选：C． 4．（2023秋•任城区校级期末）若方程（a﹣2）x2|a|﹣3+3＝﹣2是关于x的一元一次方程，则这个一元一次方程为（　　） A．4x+3＝﹣2 B．﹣4x+3＝﹣2 C．4x﹣3＝﹣2 D．﹣4x2+3＝﹣2 【分析】根据一元一次方程的定义即可求出答案．只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的整式方程叫一元一次方程． 【解答】解：∵方程（a﹣2）x2|a|﹣3+3＝﹣2是关于x的一元一次方程， ∴， 解得a＝﹣2． ∴这个一元一次方程为﹣4x+3＝﹣2． 故选：B． 5．（2024春•项城市期末）若3xm+（n﹣2）y﹣5＝0是关于x的一元一次方程，则m+n＝　 　． 【分析】只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的整式方程叫做一元一次方程，它的一般形式是ax+b＝0（a，b是常数且a≠0）．据此可得出关于m、n的方程，可求出m、n的值，代入计算即可得出答案． 【解答】解：∵3xm+（n﹣2）y﹣5＝0是关于x的一元一次方程， ∴m＝1，n﹣2＝0， 解得m＝1，n＝2， ∴m+n＝1+2＝3． 故答案为：3． 6．（2023秋•兴城市期末）若（|a|﹣1）x2+（a﹣1）x+3＝0是关于x的一元一次方程，则a＝　 　． 【分析】根据原方程为一元一次方程得出二次项的系数为0，一次项的系数不为0解答即可． 【解答】解：若（|a|﹣1）x2+（a﹣1）x+3＝0是关于x的一元一次方程， 则|a|﹣1＝0，a﹣1≠0， 解得a＝﹣1， 故答案为：﹣1． 7．（2023秋•科左中旗校级期末）若关于x的方程（3﹣m）x2|m|﹣5+7x＝2是一元一次方程，则m＝　 　． 【分析】分3﹣m＝0和2|m|﹣5＝1两种情况求解即可． 【解答】解：当3﹣m＝0，即m＝3时，原方程变为7x＝2，符合题意； 当2|m|﹣5＝1，即m＝±3时，原方程变为7x＝2或6x+7x＝2，符合题意． 故答案为：±3． 【考点2 等式性质的运用】 【方法点拨】等式的性质 性质1、等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式； 性质2、等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式． 应用时要注意把握两关：①怎样变形；②依据哪一条，变形时只有做到步步有据，才能保证是正确的． 【经典题型】 1．（2024秋•武汉期中）下列由等式的性质进行的变形，不正确的是（　　） A．如果x＝y，那么ax＝ay B．如果，那么x＝y C．如果x＝y，那么 D．如果ax+b＝ay+b，那么x＝y 【分析】根据等式的性质可得答案． 【解答】解：A、如果x＝y，那么ax＝ay，正确，不符合题意； B、如果，那么x＝y，正确，不符合题意； C、如果x＝y，那么，正确，不符合题意； D、如果ax+b＝ay+b，那么x＝y，a＝0时，x不一定等于y，错误，符合题意； 故选：D． 2．（2023秋•瑶海区校级期末）下列等式的变形中，正确的是（　　） A．如果，那么a＝b B．如果|a|＝|b|，那么a＝b C．如果ax＝bx，那么a＝b D．如果a＝b，那么 【分析】根据等式的性质逐项判断即可． 【解答】解：如果，那么a＝b，则A符合题意； 如果|a|＝|b|，那么a＝±b，则B不符合题意； 如果ax＝bx，当x＝0时，a，b可能不相等，则C不符合题意； 如果a＝b，c2﹣1≠0时，，则D不符合题意； 故选：A． 3．（2024•船山区校级开学）下列等式根据等式的变形正确的有（　　） ①若a＝b，则ac＝bc；②若ac＝bc，则a＝b；③若，则a＝b；④若a＝b，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据等式的基本性质，逐一进行判断即可． 【解答】解：若a＝b，则ac＝bc；故①正确； 若ac＝bc，且c≠0，则a＝b；故②错误； 若，则c≠0，故a＝b；故③正确； 若a＝b，因为x2+1＞0，故；故④正确； 故选：C． 4．（2023秋•潮南区期末）如图，第一个天平的两侧分别放2个球体和5个圆柱体，第二个天平的两侧分别放2个正方体和3个圆柱体，两个天平都平衡，则6个球体的质量等于（　　）个正方体的质量． A．4 B．6 C．8 D．10 【分析】根据等式的性质：等式的两边同时乘以或除以同一个不为0的数或字母，等式仍成立，可得答案． 【解答】解：1个球等于2.5个圆柱体，6个球等于15个圆柱体； 一个圆柱体等于个正方体， 6个球体等于10个正方体， 故选：D． 5．（2023秋•曲阳县期末）已知8m+3n+2＝4m+7n，利用等式的性质比较m与n的大小关系：m 　 　n（填“＞”“＜”“＝”）． 【分析】把等式变形为m减n等于多少的形式，从而可得结论．注意：两个数的差大于0，被减数大于减数；两个数的差等于0，被减数和减数相等；两个数的差小于0，被减数小于减数． 【解答】解：8m+3n+2＝4m+7n， 移项得：8m﹣4m﹣7n+3n＝﹣2， 合并同类项得：4m﹣4n＝﹣2， 提取公因数得：4（m﹣n）＝﹣2， 化简：， ∵， ∴m﹣n＜0， ∴m＜n， 故答案为：＜． 6．（2024秋•长安区期末）下列条件：①a+2＝b+2；②﹣3a＝﹣3b；③﹣a﹣c＝b+c；④ac﹣1＝bc﹣1；⑤，其中根据等式的性质可以推导出a＝b的条件有 　 　（填序号即可）． 【分析】根据等式的性质：等式两边加同一个数或式子结果仍得等式；等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式，由此即可求解． 【解答】解：a+2＝b+2，等式两边同时减2，得到a＝b，故①符合题意； ﹣3a＝﹣3b，等式两边同时除以﹣3，得到a＝b，故②符合题意； ﹣a﹣c＝b+c，利用等式的性质不能得到a＝b，故③不符合题意； ac﹣1＝bc﹣1，等式两边同时加1，得到ac＝bc，当c≠0时，可以得到a＝b；当c＝0时，不能得到a＝b，故④不符合题意； ，可以得出c≠0，等式两边同时乘以c，得到a＝b，故⑤符合题意； 故答案为：①②⑤． 7．（2024•乾县开学）已知〇、△、口分别代表不同物体，用天平比较它们的质量，如图所示．根据砝码显示的质量，求〇＝　 　g，□＝　 　g． 【分析】设1个〇重a g，1个□重b g，1个△重c g，根据天平平衡情况列等式，根据等式的基本性质求出a和b的值即可． 【解答】解：设1个〇重a g，1个□重b g，1个△重c g． 根据题意，得3a＝2b，4a＝5c，2b+a＝3c+20． 根据等式的基本性质2，将3a＝2b的两边同除以2，得b， 将4a＝5c的两边同除以5，得c， 将b和c代入2b+a＝3c+20，得4a20， 根据等式的基本性质1，将4a20两边同时减，得20， 根据等式的基本性质2，将20两边同时除以，得a＝12.5， 将a＝12.5代入b，得b＝18.75， ∴〇＝12.5g，□＝18.75g． 故答案为：12.5，18.75． 【考点3 一元一次方程的解法】 【方法点拨】 ①去分母：在方程两边乘各分母的最小公倍数，当分母是小数时，要先利用分数的基本性质把小数转化为整数，然后再去分母（依据：等式的性质2） ②去括号：先去小括号，再去中括号，最后去大括号（也可以先去大括号，再去中括号，最后去小括号）（依据：乘法分配律；去括号法则） ③移项：把含有未知数的项都移到方程的一边，常数项都移到方程的另一边（依据：等式的性质1） ④合并同类项：把方程化为的形式（依据：合并同类项的法则） ⑤系数化为1：在方程的两边都除以未知数的系数a，得到方程的解（依据：等式的性质2） 【经典题型】 1．（2024秋•西城区校级期中）解方程： （1）5x﹣2（x﹣1）＝x﹣2； （2）． 【分析】（1）按照去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可； （2）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可． 【解答】解：（1）原方程可化为5x﹣2x+2＝x﹣2， 移项，得5x﹣2x﹣x＝﹣2﹣2， 合并同类项，得2x＝﹣4， 系数化为1，得x＝﹣2； （2）原方程可化为2（2x﹣1）+6＝3（x﹣2）， 去括号，得4x﹣2+6＝3x﹣6， 移项，得4x﹣3x＝﹣6+2﹣6， 合并同类项，得x＝﹣10． 2．（2024秋•南岗区校级期中）解下列方程： （1）5（y﹣2）+4＝y﹣2（3+y）； （2）． 【分析】（1）利用去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可； （2）利用去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可． 【解答】解：（1）原方程去括号得：5y﹣10+4＝y﹣6﹣2y， 移项，合并同类项得：6y＝0， 系数化为1得：y＝0； （2）原方程去分母得：3（2x﹣1）+12＝2（5x+7）， 去括号得：6x﹣3+12＝10x+14， 移项，合并同类项得：﹣4x＝5， 系数化为1得：． 3．（2023秋•陇县期末）解方程： （1）3x﹣7（x﹣1）＝3﹣2（x+3） （2）x＝3 【分析】（1）方程去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解； （2）方程去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解． 【解答】解：（1）去括号得：3x﹣7x+7＝3﹣2x﹣6， 移项得：3x﹣7x+2x＝3﹣6﹣7， 合并得：﹣2x＝﹣10， 解得：x＝5； （2）去分母得：4（1﹣x）﹣12x＝36﹣3（x+2）， 去括号得：4﹣4x﹣12x＝36﹣3x﹣6， 移项得：﹣4x﹣12x+3x＝36﹣6﹣4， 合并得：﹣13x＝26， 解得：x＝﹣2． 4．（2023秋•召陵区校级期中）解方程： （1）5（y+6）＝9﹣3（1﹣3y）； （2）． 【分析】（1）运用去括号，移项，合并同类项，系数化为1，求出y的值即可； （2）运用去分母、去括号，移项，合并同类项，系数化为1，求出x的值即可； 【解答】解：（1）5（y+6）＝9﹣3（1﹣3y）， 5y+30＝9﹣3+9y， 5y﹣9y＝9﹣3﹣30， ﹣4y＝﹣24， 解得，y＝6； （2）， 4（x+1）﹣6x＝12﹣3（2x+1）， 4x+4﹣6x＝12﹣6x﹣3， 4x+6x﹣6x＝12﹣4﹣3， 4x＝5， 解得， 5．（2024秋•镇海区校级期中）解方程： （1）2x﹣（x+10）＝5x； （2）． 【分析】（1）通过去括号、移项、合并同类项、系数化为1等过程，求得x的值； （2）先利用分式的基本性质进行变形，再通过去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1等过程，求得x的值． 【解答】解：（1）2x﹣（x+10）＝5x， 2x﹣x﹣10＝5x， 2x﹣x﹣5x＝10， ﹣4x＝10， x＝﹣2.5； （2）， 方程可化为， 3（2x﹣1）＝700x﹣30， 6x﹣3＝700x﹣30， 6x﹣700x＝﹣30+3， ﹣694x＝﹣27， x． 6．（2023秋•石景山区期末）本学期学习了一元一次方程的解法，下面是小亮同学的解题过程： 解方程：． 解：原方程可化为：．…第①步 方程两边同时乘以15，去分母，得：3（20x﹣3）﹣5（10x+4）＝15．…第②步 去括号，得：60x﹣9﹣50x+20＝15．…第③步 移项，得：60x﹣50x＝15+9﹣20．…第④步 合并同类项，得：10x＝4．…第⑤步 系数化1，得：x＝0.4．…第⑥步 所以x＝0.4为原方程的解． 上述小亮的解题过程中 （1）第②步的依据是 　 　； （2）第 　 　（填序号）步开始出现错误，请写出这一步正确的式子 　 　． 【分析】（1）根据解一元一次方程的基本步骤和依据逐一判断即可得； （2）依次去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得． 【解答】解：（1）等式基本性质2； 故答案为：等式基本性质2； （2）③；60x﹣9﹣50x﹣20＝15． 故答案为：③；60x﹣9﹣50x﹣20＝15． 7．（2024秋•台江区校级期中）在学习《求解一元一次方程》之后，老师在黑板上出了一道解方程的题，下面是小乐同学的解题过程，请仔细阅读并完成相应的任务． 解：3（x+1）﹣4（2x﹣1）＝2（5x+2）﹣12……第一步 3x+3﹣8x+4＝10x+4﹣12……第二步 3x﹣8x+10x＝4﹣12+3+4……第三步 5x＝﹣1……第四步 x第五步 填空： （1）以上解题过程中，第一步的变形的依据是 　 　；第二步去括号时依据的运算律是 　 　； （2）以上解题过程中从第 　 　步开始出现错误，这一步错误的原因是 　 　； （3）求该方程的正确解． 【分析】（1）（2）观察已知条件中的解题过程，根据解一元一次方程容易出现的错误，进行观察，从而解答即可； （3）按照解一元一次方程的一般步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，把未知数的系数化成1，从而解答即可． 【解答】解：（1）以上解题过程中，第一步的变形的依据是等式的性质2，第二步去括号时依据的运算律是乘法的分配律， 故答案为：等式的性质2，乘法的分配律； （2）以上解题过程中从第三步开始出现错误，这一步错误的原因是：移项时没有变号， 故答案为：三，移项时没有变号； （3）， 3（x+1）﹣4（2x﹣1）＝2（5x+2）﹣12， 3x+3﹣8x+4＝10x+4﹣12， 7﹣5x＝10x﹣8， 10x+5x＝7+8， 15x＝15， x＝1． 【考点4 一元一次方程含参问题】 1．（2024秋•越秀区校级期中）如果a、b是定值，且关于x的方程，无论k为何值时，它的解总是x＝1，那么2a+b的值是（　　） A．15 B．16 C．17 D．18 【分析】先将x＝1代入方程，整理得（4﹣b）k＝13﹣2a，再根据无论k为何值时，该方程的解总是x＝1得4﹣b＝0，13﹣2a＝0，进而得b＝4，2a＝13，由此可得2a+b的值． 【解答】解：将x＝1代入方程，得， 将的两边同时乘以6，得：4k+2a＝12+1+b， 整理得：（4﹣b）k＝13﹣2a， ∵关于x的方程，无论k为何值时，它的解总是x＝1， ∴4﹣b＝0，13﹣2a＝0， ∴b＝4，2a＝13， ∴2a+b＝17． 故选：C． 2．（2024春•德化县期末）已知关于x的一元一次方程5＝2024x+m的解为x＝2024，则关于y的一元一次方程2024（y﹣5）+5﹣m的解为（　　） A．y＝﹣2029 B．y＝2019 C．y＝﹣2019 D．y＝2029 【分析】把关于y的一元一次方程2024（y﹣5）+5﹣m两边同时乘﹣1得：，然后根据关于x的一元一次方程5＝2024x+m的解为x＝2024，列出关于y的方程，解方程即可． 【解答】解，∵关于y的一元一次方程2024（y﹣5）+5﹣m两边同时乘﹣1得： ， ， ∵关于x的一元一次方程5＝2024x+m的解为x＝2024， ∴5﹣y＝x，即5﹣y＝2024， 解得：y＝﹣2019， 故选：C． 3．（2023秋•沙坪坝区校级期末）若关于x的方程xb有无数个解，则ab的值为 　 　． 【分析】先根据等式的性质求出（3+a）x＝3b+1，根据关于x的方程有无数个解得出3+a＝0且3b+1＝0，求出a、b的值，最后求出答案即可． 【解答】解：， 3x+ax﹣1＝3b， 3x+ax＝3b+1， （3+a）x＝3b+1， ∵关于x的方程有无数个解， ∴3+a＝0且3b+1＝0， 解得：a＝﹣3，b， ∴ab＝（﹣3）×（）＝1， 故答案为：1． 4．（2024春•渝北区校级月考）已知关于x的方程的解为负整数，则整数a的所有取值的和为 　 　． 【分析】先解关于x的一元一次方程，再根据方程的解为负整数求出整数a的值，求和即可． 【解答】解：， 方程两边都乘以6得，3x﹣（2+ax）＝2（x﹣6）， 整理得（a﹣1）x＝10， 当a﹣1≠0，即a≠1时，方程的解为x， ∵关于x的方程的解为负整数，且a为整数， ∴a﹣1＝﹣1或a﹣1＝﹣2或a﹣1＝﹣5或a﹣1＝﹣10， 解得a＝0或a＝﹣1或a＝﹣4或a＝﹣9， ∴整数a的所有取值的和为0﹣1﹣4﹣9＝﹣14， 故答案为：﹣14． 5．（2024春•九台区校级月考）已知关于x的方程2kx+m＝x+4．当k、m为何值时： （1）方程有唯一解； （2）方程有无数个解； （3）方程无解． 【分析】方程移项合并整理得到结果， （1）由方程有唯一解，确定出k的范围即可； （2）由方程有无数个解，求出k与m的值即可； （3）由方程无解，确定出k的值，及m的范围即可． 【解答】解：方程移项合并得：（2k﹣1）x＝4﹣m， （1）由方程有唯一解，得到2k﹣1≠0，即k，m为任意实数； （2）由方程有无数个解，得到2k﹣1＝0，4﹣m＝0， 解得：k，m＝4； （3）由方程无解，得到2k﹣1＝0，4﹣m≠0， 解得：k，m≠4． 6．（2024秋•北京期中）小涵在解关于x的一元一次方程时，发现正整数“□”被污染了，于是就去问同学小李，小李也记不清“□”的具体值了，只记得这个方程的解是正整数．小涵经过深入思考，想出了一个好办法，她将“□”设为m，通过计算，很快得到了□的值．你知道她是怎么计算的吗？请你求出□的值． 【分析】设□＝m，则原方程为m＝3，解一元一次方程，可得出x，结合m，均为正整数，即可得出m的值． 【解答】解：设□＝m，则原方程为m＝3， 去分母得：3x﹣1+2m＝6， 移项、合并同类项得：3x＝7﹣2m， 将x的系数化为1得：x， 又∵m，均为正整数， ∴m＝2． 7．（2023秋•安康月考）已知和是关于x的一元一次方程，且有相同的解，求a的值和这个解． 【分析】先求出两个一元一次方程的解，再根据同解方程解的意义即可求解． 【解答】解：由，得：， 由，得：， 因为他们有相同的解， 所以， 解得：， 则． 【考点5 新定义方程】 1．（2024秋•南岗区校级期中）我们规定：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们称这两个方程为“仁爱”方程，例如：方程x+1＝0和2x﹣3＝1为“仁爱”方程． （1）方程4（x﹣1）﹣2＝2x和 　不是　“仁爱”方程；（填“是”或“不是”） （2）关于x的一元一次方程2x+m＝0和5x+3＝2x+15是“仁爱”方程，求m的值； （3）关于x的一元一次方程和是“仁爱”方程，求关于y的一元一次方程的解． 【分析】（1）先求出两个方程的解，然后根据“仁爱”方程的定义进行判断即可； （2）先解这两个方程，然后根据“仁爱”方程的定义，列出关于m的方程，解方程即可； （3）先求出这两个方程的解，然后根据“仁爱”方程的定义，列出关于k的方程，求出的值，然后把所求方程化简，从而求出y即可． 【解答】解：（1）4（x﹣1）﹣2＝2x， 4x﹣4﹣2＝2x， 2x＝6， x＝3， ， 2（x﹣1）+4＝4x+x+6， 2x﹣2+4＝5x+6， 2x+2＝5x+6， 3x＝﹣4， ， ∵， ∴这两个方程不是“仁爱”方程， 故答案为：不是； （2）2x+m＝0， 2x＝﹣m， ， 5x+3＝2x+15， 5x﹣2x＝15﹣3， 3x＝12， x＝4， ∵2x+m＝0和5x+3＝2x+15是“仁爱”方程， ∴， ﹣m+8＝2， 解得：m＝﹣6； （3）， 2x+8092＝6069x+2023k， 6067x＝8092﹣2023k， ， ， ， x＝﹣2024， ∵和是“仁爱”方程， ∴， ， ， ∵， ， ， ， ＝﹣1+2025 ＝2024． 2．（2024秋•香坊区校级期中）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程互为“统一方程”．例如，方程2x﹣1＝3的解为x＝2，方程x+1＝0的解为x＝﹣1，2+（﹣1）＝1，所以方程2x﹣1＝3与方程x+1＝0互为“统一方程”． （1）方程4x﹣（x+5）＝1与方程﹣2y﹣y＝3互为“统一方程”吗？请说明理由； （2）若关于x方程2x﹣n+3＝0与方程x+5n﹣1＝0互为“统一方程”，求n的值． 【分析】（1）分别求得两个方程的解，再利用“统一方程”的定义进行判断即可； （2）分别求得两个方程的解，利用“统一方程”的定义列出关于n方程． 【解答】解：（1）方程4x﹣（x+5）＝1与方程﹣2y﹣y＝3是“统一方程”，理由如下： 由4x﹣（x+5）＝1，解得x＝2； 由﹣2y﹣y＝3，解得y＝﹣1， ∵﹣1+2＝1，满足解之和为1， ∴方程4x﹣（x+5）＝1与方程﹣2y﹣y＝3是“统一方程”． （2）由2x﹣n+3＝0，解得； 由x+5n﹣1＝0，解得x＝1﹣5n； ∵关于x的两个方程是“统一方程”， ∴， 解得：． 3．（2024秋•香坊区校级期中）如果两个一元一次方程的解互为相反数时，则称这两个方程为“友好方程”． 如：一元一次方程x+2＝3的解为x＝1；一元一次方程1﹣2x＝3的解为x＝﹣1，则称一元一次方程x+2＝3和1﹣2x＝3为“友好方程”． （1）判断一元一次方程2x＝4x+8和2（x+2）＝3x是否为“友好方程”． （2）如果方程①2（x﹣1）﹣n＝0②x﹣1﹣m2＝0都是关于x的一元一次方程，它们是否会与2（x+2）＝3x为“友好方程”，并求出能成为“友好方程”时m或n的值，如果不能，请说明理由？ 【分析】（1）分别求出两个方程的解，根据它们的解是否互为相反数判断两个方程是否为“友好方程”； （2）将2（x+2）＝3x的解的相反数分别代入2（x﹣1）﹣n＝0和x﹣1﹣m2＝0，若能求出n或m的值，则对应的方程与2（x+2）＝3x为“友好方程”，否则，则对应的方程与2（x+2）＝3x不是“友好方程”． 【解答】解：（1）解方程2x＝4x+8，得x＝﹣4； 解方程2（x+2）＝3x，得x＝4， ∵﹣4与4互为相反数， ∴一元一次方程2x＝4x+8和2（x+2）＝3x是“友好方程”． （2）①∵2（x+2）＝3x的解为x＝4， ∴若2（x﹣1）﹣n＝0与2（x+2）＝3x为“友好方程”，则2（x﹣1）﹣n＝0的解为x＝﹣4， 将x＝﹣4代入2（x﹣1）﹣n＝0，得2×（﹣4﹣1）﹣n＝0， 解得n＝﹣10， ∴当n＝﹣10时，2（x﹣1）﹣n＝0与2（x+2）＝3x为“友好方程”． ②x﹣1﹣m2＝0与2（x+2）＝3x不是“友好方程”．理由如下： ∵2（x+2）＝3x的解为x＝4， ∴若x﹣1﹣m2＝0与2（x+2）＝3x为“友好方程”，则x﹣1﹣m2＝0的解为x＝﹣4， 将x＝﹣4代入x﹣1﹣m2＝0，得﹣4﹣1﹣m2＝0，即m2＝﹣5，无解， ∴x﹣1﹣m2＝0与2（x+2）＝3x不是“友好方程”． 4．（2024秋•镇海区校级期中）定义：如果两个一元一次方程的解互为倒数，则称这两个方程互为“优雅方程”．例如：2x＝4和2x﹣1＝0互为“优雅方程”． （1）判断：x+1＝0 　 　（填“是”或“不是”）﹣3x+5＝4x+12的“优雅方程”． （2）若方程2（x+4）﹣9＝0与关于x的方程2x﹣（a+10）＝6x互为“优雅方程”，求a的值． （3）若两个关于x的方程mx+2＝1（m为正整数）与1＝7﹣nx（n为负整数）互为“优雅方程”，求出所有满足条件的m、n的值． 【分析】（1）解已知条件中的两个一元一次方程，然后根据“优雅方程”的定义进行判断即可； （2）先解已知条件中的两个方程，根据新定义，列出关于a的方程，解方程即可； （3）先解含有字母参数的两个方程，然后根据新定义，列出关于m，n的方程，解方程即可． 【解答】解：（1）x+1＝0，解得：x＝﹣1， ﹣3x+5＝4x+12， 4x+3x＝5﹣12， 7x＝﹣7， x＝﹣1， ∵﹣1和﹣1是互为倒数， ∴x+1＝0是方程﹣3x+5＝4x+12的“优雅方程”， 故答案为：是； （2）2（x+4）﹣9＝0， 2x+8﹣9＝0， 2x＝1， ， 2x﹣（a+10）＝6x， 2x﹣a﹣10＝6x， 6x﹣2x＝﹣a﹣10， 4x＝﹣a﹣10， ， ∵程2（x+4）﹣9＝0与关于x的方程2x﹣（a+10）＝6x互为“优雅方程”， ∴， ﹣a﹣10＝8， ﹣a＝10+8， ﹣a＝18， a＝﹣18； （3）mx+2＝1， mx＝﹣1， ， 1＝7﹣nx， nx＝6， ， ∵于x的方程mx+2＝1与1＝7﹣nx互为“优雅方程”， ∴， ， mn＝﹣6， ∵m为正整数，n为负整数， ∴m＝1，n＝﹣6； m＝2，n＝﹣3； m＝3，n＝﹣2； m＝6，n＝﹣1； 综上可知：m＝1，n＝﹣6或m＝2，n＝﹣3或m＝3，n＝﹣2或m＝6，n＝﹣1； 5．（2024秋•南岗区校级月考）解一元一次方程时，发现这样一种特殊情况：的解为，恰巧，我们将这种类型的方程做如下定义：如果一个方程ax+b＝c的解满足x＝a+b﹣c，则称它为“巧合方程”，请解决以下问题． （1）请判断方程是否是巧合方程：　 　（直接写“是”或“不是”）； （2）已知方程是巧合方程，请求出b的值； （3）若4x+m＝n和都是巧合方程，请求出2mn﹣m+n的值． 【分析】（1）解原方程，利用“巧合方程”的定义进行验证即可； （2）先解方程，再根据“巧合方程”的定义，建立关于b的方程求解即可； （3）同理（2）求出m，n的值，代入2mn﹣m+n计算即可． 【解答】解：（1） ， 如果一个方程ax+b＝c的解满足x＝a+b﹣c，则称它为“巧合方程”， ∵， ∴是巧合方程； 故答案为：是； （2） x＝2﹣2b， ∵方程是巧合方程， ∴ ∴； 故b的值为； （3） 12x+2n＝15 12x＝15﹣2n ， ∵方程是巧合方程， ∴，即36+6n﹣45＝15﹣2n， 解得：n＝3； 4x+m＝n 解得：， ∵方程4x+m＝n是巧合方程， ∴， ∴5n﹣5m＝16， ∵n＝3， ∴5×3﹣5m＝16， 解得：， ∴ ＝2． 故2mn﹣m+n的值为2． 6．（2023秋•东台市期末）定义：关于x的方程ax﹣b＝0与方程bx﹣a＝0（a、b均为不等于0的常数）称互为“伴生方程”，例如：方程2x﹣1＝0与方程x﹣2＝0互为“伴生方程”． （1）若关于x的方程2x﹣3＝0与方程3x﹣c＝0互为“伴生方程”，则c＝　 　； （2）若关于x的方程4x+3m+1＝0与方程5x﹣n+2＝0互为“伴生方程”，求m、n的值； （3）若关于x的方程5x﹣b＝0与其“伴生方程”的解都是整数，求整数b的值． 【分析】（1）根据“错位方程”的定义直接可得答案； （2）将“错位方程”组成方程组求解可得答案； （3）根据“错位方程”2x﹣b＝0与bx﹣2＝0的解均为整数，可得与都为整数，由此可得答案． 【解答】解：（1）∵2x﹣3＝0与方程3x﹣c＝0互为“错位方程”， ∴c＝2． 故答案为：2； （2）将4x+3m+1＝0写成4x﹣（﹣3m﹣1）＝0的形式， 将5x﹣n+2＝0写成5x﹣（n﹣2）＝0的形式， ∵4x+3m+1＝0与方程5x﹣n+2＝0互为“错位方程”， ∴， ∴， ∴m、n的值分别是﹣2，6； （3）5x﹣b＝0的“错位方程”为bx﹣5＝0（b≠0）， 由5x﹣b＝0得，x， 当bx﹣5＝0，得x， ∵5x﹣b＝0与bx﹣5＝0的解均为整数， ∴与都为整数， ∵b也为整数， ∴当b＝5时，1，1，都为整数， 当b＝﹣5时，1，1，都为整数， ∴b的值为±5． 7．（2023秋•铁西区期末）如果两个方程的解相差1，则称解较大的方程为另一个方程的“后移方程”．例如：方程x﹣2＝0是方程x﹣1＝0的后移方程． （1）判断方程2x+1＝0是否为方程2x+3＝0的后移方程 　 　（填“是”或“否”）； （2）若关于x的方程3x+m+n＝0是关于x的方程3x+m＝0的后移方程，求n的值． （3）当a≠0时，如果方程ax+b＝0是方程ax+c＝0的后移方程，用等式表达a，b，c满足的数量关系 　 　． 【分析】（1）求出两个方程的解，利用“后移方程”的定义判断即可； （2）分别表示出两个方程的解，根据“后移方程”的定义列出关于n的方程，求出方程的解即可得到n的值； （3）分别表示出两个方程的解，根据“后移方程”的定义列出关系式即可． 【解答】解：（1）方程2x+1＝0， 解得：x， 方程2x+3＝0， 解得：x， ∵（）﹣（）1， ∴方程2x+1＝0是方程2x+3＝0的后移方程； 故答案为：是； （2）方程3x+m+n＝0， 解得：x， 方程3x+m＝0， 解得：x， 根据题意得：（）＝1， 解得：n＝﹣3； （3）方程ax+b＝0， 解得：x， 方程ax+c＝0， 解得：x， 根据题意得：（）＝1，即1， 整理得：a+b﹣c＝0． 故答案为：a+b﹣c＝0． 【考点6 一元一次方程的应用（根据题中数量关系列方程）】 1．（2024秋•南岗区校级期中）有一些相同的房间需要用地板装修地面，每一天4名熟练的装修工人可装修5间房，结果还剩3m2未能装修；每一天6名初级装修工人除了能装修7间房以外，还可以多装修5m2．若一名熟练工人每天比一名初级工人多装修3m2，设每个房间地面面积x m2，一名初级工人每天装修ym2，下列方程中正确的有（　　） ①；②；③；④ A．①③ B．②④ C．①④ D．②③ 【分析】设每个房间地面面积为x m2，一名初级工人每天装修ym2，则一名熟练工人每天装修（y+3）m2，根据一名熟练工人每天比一名初级工人多装修3m2，可得出方程②，根据每个房间底面面积不变，可得出方程③，此题得解． 【解答】解：设每个房间地面面积为x m2，一名初级工人每天装修ym2，则一名熟练工人每天装修（y+3）m2， 依题意，得：3或， ∴正确的方程为②③． 故选：D． 2．（2024秋•上海期中）一天，妙妙去问奶奶的年龄，奶奶说：“我若是你现在这么大，你还要35年才出生；你若是我现在这么大，我就118岁啦！”，请问奶奶现在的年龄是 　 　岁． 【分析】设奶奶现在的年龄是x岁，则妙妙现在的年龄是（2x﹣118）岁，根据妙妙与奶奶的年龄差不变，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【解答】解：设奶奶现在的年龄是x岁，则妙妙现在的年龄是（2x﹣118）岁， 根据题意得：x﹣（2x﹣118）＝2x﹣118+35， 解得：x＝67， ∴奶奶现在的年龄是67岁． 故答案为：67． 3．（2024秋•南岗区校级月考）我市计划把某一段公路的一侧全部换上丁香树，要求路的两端各栽一棵，并且每两棵树的间隔相等．如果每隔5米栽1棵，则树苗缺21棵；如果每隔6米栽1棵，树苗正好用完，道路共 　 　米． 【分析】根据“路的长度不变”列方程求解． 【解答】解：设原有树苗x棵， 根据题意得：5（x+21﹣1）＝6（x﹣1）， 解得：x＝106， ∴5×（106+21﹣1）＝630（米）， 故答案为：630． 4．（2024•中山市三模）中国古代人民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中《孙子算经》中有个问题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？其大意是：今有若干人乘车，每三人共乘一车，最终剩余2辆车；若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘．问共有　 　辆车． 【分析】设共有x辆车，根据人数相等，列出方程进行求解即可． 【解答】解：设共有x辆车，由题意，得：3（x﹣2）＝2x+9， 解得：x＝15； 答：共有15辆车； 故答案为：15． 5．（2024秋•永登县期中）为了全面提高学生的综合素养，启迪学生的数学思维，我校初一年级开展了“数学核心素养竞赛——有理数计算”活动，设立特等奖和一、二等奖共87人，其中二等奖人数比一等奖人数的2倍多10人．设一等奖的人数为x人． （1）请用含x的代数式表示：特等奖人数是 　 　人，二等奖人数是 　 　人（结果化为最简）； （2）若特等奖奖品的单价为18元，一等奖奖品的单价为16元，二等奖奖品的单价为12元，请用含x的代数式表示该校本次购买所有奖品需要的总费用，并将结果化为最简； （3）在（2）的基础上，若一等奖的人数为20人，则该校本次购买所有奖品共花费多少元？ 【分析】（1）根据题意和题目中的数据，可以写出相应的代数式； （2）根据题目中的数据，可以用含x的代数式表示购买87件奖品所需的总费用； （3）将x＝20代入（2）中的代数式，计算即可． 【解答】解：（1）∵一等奖的人数为x人，二等奖人数比一等奖人数的2倍多10人， ∴二等奖有（2x+10）人，特等奖有87﹣x﹣（2x+10）＝（77﹣3x）人， 故答案为：（77﹣3x），（2x+10）； （2）由题意可得，购买87件奖品所需的总费用为：18（77﹣3x）+16x+12（2x+10） ＝1386﹣54x+16x+24x+120 ＝（1506﹣14x）元， 即购买87件奖品所需的总费用为（1506﹣14x）元； （3）当x＝20时， 1506﹣14x＝1506﹣14×20＝1226（元）， 答：该校购买87件奖品共花费1226元． 6．（2024秋•南岗区校级期中）七年级四班共有学生48人，其中男生人数比女生人数多2人，劳技课上，老师组织同学们自己动手设计制作便携式垃圾盒，每名学生一节课能做盒身11个或盒底26个． （1）七年级四班有男生和女生各多少人？ （2）原计划女生负责做盒身，男生负责做盒底，每个盒身匹配2个盒底，那么这节课做出的盒身和盒底不能完全配套，最后决定男生去支援女生，问有多少男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套． 【分析】（1）设七年级四班有男生x人，则有女生（48﹣x）人，根据男生人数比女生人数多2人，可列出关于x的一元一次方程，解之可得出x的值（即男生的人数），再将其代入（48﹣x）中，即可求出女生人数； （2）设有y名男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套，根据这节课制作的盒底的总数量是制作的盒身总数量的2倍，可列出关于y的一元一次方程，解之即可得出结论． 【解答】解：（1）设七年级四班有男生x人，则有女生（48﹣x）人， 根据题意得：x﹣（48﹣x）＝2， 解得：x＝25， ∴48﹣x＝48﹣25＝23． 答：七年级四班有男生25人，女生23人； （2）设有y名男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套， 根据题意得：26（25﹣y）＝2×11（23+y）， 解得：y＝3． 答：有3名男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套． 7．（2024秋•香坊区校级期中）列一元一次方程解决实际问题（两问均需用方程求解） 第九届亚洲冬季运动会于2025年在中国黑龙江省哈尔滨市举行，而有着少数民族风格的“滨滨”“妮妮”吉祥物盲盒颇受大众关注．现有工厂生产吉祥物的盲盒，分为A、B两种包装，该工厂共有1000名工人． （1）若该工厂生产盲盒A的人数比生产盲盒B的人数的2倍少200人，请求出生产盲盒B的工人人数； （2）为了促销，工厂按商家要求生产盲盒大礼包，该大礼包由2个盲盒A和3个盲盒B组成．已知每个工人平均每天可以生产20个盲盒A或10个盲盒B，且每天只能生产一种包装的盲盒．该工厂应该安排多少名工人生产盲盒A，多少名工人生产盲盒B才能使每天生产的盲盒正好配套？ 【分析】（1）设生产盲盒B的工人人数为x人，则生产盲盒A的工人人数为（2x﹣200）人，根据该工厂共有1000名工人，列出一元一次方程，解方程即可； （2）设安排m人生产盲盒A，则安排（1000﹣m）人生产盲盒B，根据盲盒大礼包由2个盲盒A和3个盲盒B组成．列出一元一次方程，解方程即可． 【解答】解：（1）设生产B的人数为x人，则生产A的人数为（2x﹣200）人， 于是（2x﹣200）+x＝1000， 解得：x＝400， 所以生产盲盒B的工人人数为400人， 答：生产盲盒B的工人人数为400人； （2）设安排m人生产A，则安排（1000﹣m）人生产B， 于是3×20m＝2×10（1000﹣m）， 解得：m＝250， ∴1000﹣m＝1000﹣250＝750（人）， 所以该工厂应该安排250名工人生产A，750名工人生产B才能使每天生产的盲盒正好配套， 答：该工厂应该安排250名工人生产A，750名工人生产B才能使每天生产的盲盒正好配套． 【考点7 一元一次方程的应用（根据常见公式列方程）】 1．（2024秋•两江新区校级月考）张先生向商店订购某种商品80件，每件定价100元．张先生向商店经理说：“如果你肯减价，每减价1元，我就多订购4件．“商品店经理算了一下，如果减价5%，由于张先生多订购，仍可获得与原来一样多的利润，则这种商品的成本是 　 元． 【分析】设这种商品的成本是x元，先计算出减价5%可多买20件，再用代数式表示此时每件商品的利润为（100﹣100×5%﹣x）元，于是列方程得（80+20）（100﹣100×5%﹣x）＝80（100﹣x），解方程求出x的值即得到问题的答案． 【解答】解：设这种商品的成本是x元， ∵4×100×5%＝20（件）， ∴减价5%可多买20件， 根据题意得（80+20）（100﹣100×5%﹣x）＝80（100﹣x）， 解得x＝75， 故答案为：75． 2．（2024秋•南岗区校级月考）已知：商品利润率，某商人经营甲、乙两种商品，每件甲种商品的利润率为80%，每件乙种商品的利润率为50%，当售出的乙种商品比售出的甲种商品的件数多20%时，这个商人得到的总利润率为60%，甲、乙两种商品进价的比值是 　　． 【分析】根据甲种商品利润+乙种商品利润＝两种商品的总进价×总利润率列出等式，对等式进行化简即可求解 【解答】解：设甲、乙商品进价分别为a、b，售出甲种商品m件，则每件甲种商品的利润为80%a，每件乙种商品的利润为50%b，售出乙种商品（1+20%）m件， 根据题意得，80%am+50%b×（1+20%）m＝60%[am+b×（1+20%）m]， 化简得，4a+3b＝3a+3.6b， ∴a＝0.6b， ∴， 故答案为：． 3．（2024秋•香坊区校级期中）甲、乙两城相距780千米，一辆货车和一辆客车分别从两城同时出发，相向而行．货车每小时行50千米，货车每小时行驶的路程比客车每小时行驶的路程少，从出发开始经过 　 　小时两车相距130千米． 【分析】设从出发开始经过x小时两车相距130千米，利用路程＝速度×时间，结合两车的路程之和为（780﹣130）千米或者（780+130）千米，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【解答】解：设从出发开始经过x小时两车相距130千米， 根据题意得：50x+50÷（1）x＝780﹣130或50x+50÷（1）x＝780+130， 解得：x＝5或x＝7， ∴从出发开始经过5或7小时两车相距130千米． 故答案为：5或7． 4．（2024秋•南岗区校级期中）萧红中学社团活动开展的如火如荼，七年级无人机小组两名同学小汐和小岑，准备利用周日时间，制作一架无人机．小汐单独做3小时完成，小岑单独做5小时完成．为了不影响休息，所以两人准备一起先完成前的工作量，求两位同学应该合作几小时？ 【分析】根据工作效率×工资时间＝工作总量列方程求解即可． 【解答】解：小汐单独做3小时完成，小岑单独做5小时完成．两人准备一起先完成前的工作量， 设两位同学应该合作x小时，依题意得： ， 解得x＝1.5， 答：两位同学应该合作1.5小时． 5．（2024秋•上海期中）一个水池有甲、乙、丙三个水管，单开甲管6小时可以将空池注满；单开乙管4小时可以将空池注满；单开丙管12小时可以把满池的水放完；现在水池里有的水，开放乙、丙两管2小时后，三管齐开，求再过多少小时可以把水池注满？ 【分析】设再过x小时可以把水池注满，则甲管开放了x小时，乙管开放了（x+2）小时，丙管开放了（x+2）小时，利用水池中原有水量+甲管注入的水量+乙管注入的水量﹣丙管放出的水量＝整池水量，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【解答】解：设再过x小时可以把水池注满，则甲管开放了x小时，乙管开放了（x+2）小时，丙管开放了（x+2）小时， 根据题意得：1， 解得：x． 答：再过小时可以把水池注满． 6．（2024春•嘉定区期末）从夏令营营地到学校，先下山再走平路，一少先队员骑自行车以每小时12千米的速度下山，以每小时9千米的速度通过平路，共用了55分钟；回来时，通过平路的速度不变，但以每小时6千米的速度上山，共花去了1小时10分钟，问营地到学校有多少千米． 【分析】根据题意，设山路x千米，从营地回学校共用了55分钟，从学校回营地用了1小时10分钟，根据平路的速度不变，所以时间也不变，多用掉的时间是因为上山的速度降低了，可得出方程，解出即可得到山路的路程．由此求出上山的时间，再求出平路的时间，根据速度乘时间等于路程求出平路的路程，最后求和即可． 【解答】解：55分钟小时，1小时10分钟小时， 设山路x千米， ∵一少先队员骑自行车以每小时12千米的速度下山，以每小时9千米的速度通过平路，共用了55分钟；回来时，通过平路的速度不变，但以每小时6千米的速度上山，共花去了1小时10分钟， ∴， 解得：x＝3， （小时）， （小时）， （千米）， 3+6＝9 （千米）， 答：营地到学校有9千米． 7．（2024秋•汉阳区期中）甲、乙两人分别从AB两地同时出发，相向而行，出发时甲和乙的速度比是3：2，相遇后甲的速度提高，乙的速度提高，当甲到达B地时，乙离A地还有26km，两地相距多少千米？ 【分析】设两地相距x千米，则相遇时，甲行了x千米，乙行了x千米，利用时间＝路程÷速度，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【解答】解：设两地相距x千米，则相遇时，甲行了x千米，乙行了x千米， 根据题意得：， 解得：x＝90． 答：两地相距90千米． 【考点8 一元一次方程的应用（根据题中的规律列方程）】 1．（2024秋•浙江期中）相传有神龟出于洛水，其背上有此图案（图1），史称“洛书”，图2是洛书的数字表示．这也就是术数中常说的“九宫格”，就是将已知的9个数填入3×3的方格中，使每一行、每一列以及两条斜对角线上的数字之和都相等．在图3的“九宫格”中也有类似于图2的数字之和的这个规律，则x的值为（　　） A．﹣3 B．﹣8 C．5 D．9 【分析】首先由4+5+6＝15＝5×3，得到每一行、每一列以及两条斜对角线上的数字之和都相等，且等于中间的数的3倍，然后在图3的“九宫格”中，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【解答】解：∵4+5+6＝15＝5×3， ∴每一行、每一列以及两条斜对角线上的数字之和都相等，且等于中间的数的3倍， ∴在图3的“九宫格”中，每一行、每一列以及两条斜对角线上的数字之和等于中间的数（﹣5）的3倍， ∴﹣2﹣5+x＝﹣5×3， ∴x＝﹣8． 故选：B． 2．（2024秋•江阴市期中）如图，在探究“幻方”、“幻圆”的活动课上，学生们感悟到我国传统数学文化的魅力．一个小组尝试将数字﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，5，6这12个数填入“六角幻星”图中，使6条边上四个数之和都相等．部分数字已填入圆圈中，则a的值为 　 　． 【分析】根据将数字﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，5，6这12个数填入“六角幻星”图中，使6条边上四个数之和都相等，可得，再观察“六角幻星”图可知﹣a+3与﹣a﹣3相差6，只有﹣3，3或0，6满足，依此即可求解． 【解答】解：设右下边为x，由满足6条边上四个数之和都相等，它们的和为x﹣1，如图所示： 观察图形还有﹣4，﹣3，0，3，4，6五个数字，观察“六角幻星”图可知﹣a+3与﹣a﹣3相差6，只有﹣3，3或0，6满足， 则﹣a﹣3＝﹣3或﹣a﹣3＝0， 解得a＝0或a＝﹣3， 当a＝0时，x﹣（x+a﹣4）＝4，x或x+a﹣4又有1个为0（不合题意舍去）， 当a＝﹣3时，符合题意． 故答案为：﹣3． 3．（2024秋•雁塔区校级期中）将连续的奇数1，3，5，7，9，…排成如图所示的数表，记Pmn表示第m行第n个数，如，P32表示第3行第2个数是27． （1）P56＝ 　 　． （2）若将数表中的7字形框上下左右移动，当T字形框中的四个数之和等于288时，求出四个数中的最大数； （3）用含m，n的代数式表示Pmn＝ 　 　． 【分析】（1）利用P56＝P46+12，即可求出结论； （2）设四个数中的最大数的数是x，则另外三个数分别是x﹣14，x﹣12，x﹣10，根据T字形框中的四个数之和等于288，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论； （3）由Pmn表示第m行第n个数，即第6（m﹣1）+n个奇数，将其代入第a个奇数是2a﹣1中，即可得出结论． 【解答】解：（1）根据题意得：P56＝47+12＝59． 故答案为：59； （2）设四个数中的最大数的数是x，则另外三个数分别是x﹣14，x﹣12，x﹣10， 根据题意得：x﹣14+x﹣12+x﹣10+x＝288， 解得：x＝81． 答：四个数中的最大数是81； （3）根据题意得：Pmn表示第m行第n个数，即第6（m﹣1）+n个奇数， ∴Pmn＝2[6（m﹣1）+n]﹣1＝2（6m+n﹣6）﹣1＝12m+2n﹣13． 故答案为：12m+2n﹣13． 4．（2024秋•宿城区期中）三阶幻方是最基础的幻方，又叫九宫格，要求由连续的九个整数组成一个三行三列的数阵，其对角线、横行、纵行的和都相等． （1）如图1，请用1﹣9这九个整数填写幻方数阵； （2）如图2，一初慧泉中学数学兴趣小组的同学发现，对于三阶幻方，任何一个角上的数（如数a）都等于与这个数不在同一横行、竖列及对角线上的两个数（如数b、c）之和的一半，即a（b+c），你认为他们的发现正确吗？说说你的道理； （3）如图3，一初慧泉中学数学兴趣小组的同学研究了一个变形幻方，要求填入连续的8个整数，使每一横行（3个数）、每一纵行（3个数）以及外圈（4个数）的和都相等，请你填写出这8个数． 【分析】（1）按题意填空即可； （2）设九个数依次为m+1，m+2，…，m+9，其各数之和为（m+1）+（m+2）+…+（m+9）＝9m+45，则第一横行、纵行和对角线上三数之和为，那么正中间的数为，填表之后得出则a+2x﹣c＝b+2x﹣a，即； （3）按题意填空即可． 【解答】解：（1）如图所示，其对角线、横行、纵行的和都为15； 4 9 2 3 5 7 8 1 6 （2）正确，理由如下： 设九个数依次为m+1，m+2，…，m+9，其各数之和为（m+1）+（m+2）+…+（m+9）＝9m+45， 则第一横行、纵行和对角线上三数之和为， ∴正中间的数为， 即每一横（纵、对角线）之和是正中间数的3倍， 设正中间的数为x， 填表如下， 则a+2x﹣c＝b+2x﹣a，即； （3） 5．（2024秋•邳州市期中）三阶幻方又叫九宫格，它是由九个数字组成的一个三行三列的矩阵．三阶幻方有“和幻方”和“积幻方”之分．“和幻方”，指其每一横行、每一竖列、每条斜对角线上的三个数字之和均相等；“积幻方”，指其每一横行、每一竖列、每条斜对角线上的三个数字之积均相等． （1）如图1是一个“和幻方”，则a＝ 　 　，b＝ 　 　； （2）如图2是一个“积幻方”，求mn的值． 【分析】（1）根据每一横行、每一竖列、每条斜对角线上的三个数字之和均相等，可列出关于a（b）的一元一次方程，解之即可得出a（b）的值； （2）根据每一横行、每一竖列、每条斜对角线上的三个数字之积均相等，可列出关于m（n）的一元一次方程，解之可得出m（n）的值，再将其代入mn中即可求出结论． 【解答】解：（1）根据题意得：2+5+8＝6+a+8，2+5+8＝2+b+6， 解得：a＝1，b＝7． 故答案为：1，7； （2）根据题意得：2×（）×（﹣3）＝﹣3×2×m，2×（）×（﹣3）＝2×2×n， 解得：m，n＝2， ∴mn＝（）2． 6．（2024秋•东西湖区期中）观察下面有规律排列的三行数： （1）第一行数中，第7个数是 　 　，第二行数中，第7个数是 　 　，第三行数中，第7个数是 　 　； （2）取每行数的第2024个数，计算这三个数的和是多少？ （3）如图，在第二行、第三行数中，用两个长方形组成“阶梯形”方框，框住4个数，左右移动“阶梯形”方框，是否存在框住的4个数的和为﹣5118，若存在，求这四个数，若不存在，请说明理由． 【分析】（1）观察三行数，可找出“第一行数中，第n个数是（﹣2）n（n为正整数）；第二行中，第n个数是（﹣2）n﹣1（n为正整数）；第三行中，第n个数是（﹣2）n+1+2（n为正整数）”，代入n＝7，即可求出结论； （2）将每行数的第2024个数相加，即可求出结论； （3）根据框住的4个数的和为﹣5118，可得出（﹣2）n＝1024，解之可得出n的值，由该值符合题意，可得出存在框住的4个数的和为﹣5118，再将（﹣2）n＝1024代入（﹣2）n﹣1，（﹣2）n+1﹣1，（﹣2）n+2+2，（﹣2）n+3+2中，即可求出结论． 【解答】解：（1）∵第一行数中，第1个数是﹣2＝（﹣2）1，第2个数是4＝（﹣2）2，第3个数是﹣8＝（﹣2）3，第4个数是16＝（﹣2）4，…， ∴第n个数是（﹣2）n（n为正整数）， ∴第一行数中，第7个数是（﹣2）7＝﹣128； 观察三行数之间的关系，可得出第二行中，第n个数是（﹣2）n﹣1（n为正整数）；第三行中，第n个数是﹣2[（﹣2）n﹣1]＝（﹣2）n+1+2（n为正整数）， ∴第二行数中，第7个数是﹣128﹣1＝﹣129，第三行数中，第7个数是﹣2×（﹣128）+2＝258． 故答案为：﹣128，﹣129，258； （2）根据题意得：（﹣2）2024+（﹣2）2024﹣1+（﹣2）2025+2 ＝（﹣2）2024+（﹣2）2024﹣1﹣2×（﹣2）2024+2 ＝1； （3）根据题意得：[（﹣2）n﹣1]+[（﹣2）n+1﹣1]+[（﹣2）n+2+2]+[（﹣2）n+3+2]＝﹣5118， 整理得：（﹣2）n＝1024， 解得：n＝10，符合题意， ∴左右移动“阶梯形”方框，存在框住的4个数的和为﹣5118， ∴（﹣2）n﹣1＝1024﹣1＝1023；（﹣2）n+1﹣1＝﹣2×1024﹣1＝﹣2049；（﹣2）n+2+2＝4×1024+2＝4098；（﹣2）n+3+2＝﹣8×1024+2＝﹣8190． 答：左右移动“阶梯形”方框，存在框住的4个数的和为﹣5118，这四个数分别是1023，﹣2049，4098，﹣8190． 7．（2024秋•西城区校级期中）如图所示，将从1开始的自然数按某种规律填入方格表中，从上到下依次为第1行，第2行，……；从左到右依次为第1列，第2列，……． 请回答： （1）第6行第5列的数字是　 　；数字58在　 　行　 　列； （2）第m行第n列的数字是　 　； （3）用形如正方形的框框出9个数字，这9个数字的和能否等于234？如果可以，求出位于正方形框中心的数字；如果不可以，请说明理由． 【分析】（1）根据表格规律：7个一循环，每行的数字是上一行数字加7即可得解，再利用58÷7＝8.......2，即可得到答案； （2）根据表格得到规律写出即可得到答案； （3）根据（2）的规律列出几个数字，结合和为234，列式即可得到答案． 【解答】解：（1）由表格得到规律为：从第二行开始每行的数字是上一行数字加7，第一行数字为1、2、3、4、5、6、7， ∴第6行第5列的数字为7×（6﹣1）+5＝7×5+5＝35+5＝40， ∵58÷7＝8.......2，8+1＝9， ∴58在第9行，第2列； 故答案为：40；9；2； （2）由表格得到规律为：7个一循环，从第二行开始每行的数字是上一行数字加7，第一行数字为1、2、3、4、5、6、7， ∴第m行第n列的数字为：7×（m﹣1）+n＝7m+n﹣7，即第m行第n列的数字是7m+n﹣7； 故答案为：7m+n﹣7； （3）可以，理由如下： 设9个数字最中间的为x，由题意得， x﹣8+x﹣7+x﹣6+x﹣1+x+x+1+x+6+x+7+x+8＝234， 解得：x＝26， 所以位于正方形框中心的数字是26． 【考点9 一元一次方程的应用（分段计费问题）】 1．（2024秋•杭州期中）某市居民用电电费目前实行梯度价格表． 每月用电量 单价 不超出180千瓦时的部分 0.5元/千瓦时 超出180千瓦时不超出400千瓦时的部分 0.6元/千瓦时 超出400千瓦时的部分 0.8元/千瓦时 （1）若月用电140千瓦时，应交电费　 元，若月用电240千瓦时，应交电费　 元； （2）若居民王大爷家12月用电量为x千瓦（x＞400），请计算他们家12月应缴电费　 元（用含x的代数式表示）； （3）若居民李大爷家11、12月份共用电380千瓦时（其中11月份用电量少于12月份），设11月用电a千瓦时（80＜a＜180），求李大爷11、12月共交电费多少元？（用含a的代数式表示，并化简） 【分析】（1）根据表格可知，用电不超出180千瓦时，按照单价0.5元/千瓦时收费，即可求解；月用电超出180千瓦时，前面180千瓦时按照0.5元/千瓦时收费，超过部分按照0.6元/千瓦时收费，即可求解； （2）按照收费标准求解即可； （3）根据题意求解即可． 【解答】解：（1）月用电140千瓦时，应交电费：140×0.5＝70（元）， 月用电240千瓦时，应交电费：180×0.5+（240﹣180）×0.6＝126（元）， 故答案为：70，126； （2）180×0.5+（400﹣180）×0.6+（x﹣400）×0.8＝90+132+0.8x﹣320＝（0.8x﹣98）元， 故答案为：（0.8x﹣98）； （3）∵居民李大爷家11、12月份共用电380千瓦时（其中11月份用电量少于12月份），设11月用电a千瓦时（80＜a＜180）， ∴12月用电200＜380﹣a＜300， ∴11、12月共交电费为：0.5a+0.5×180+（380﹣a﹣180）×0.6＝（210﹣0.1a）元， 答：李大爷11、12月共交电费（210﹣0.1a）元． 2．（2024秋•黄埔区期中）水果批发市场批发丰水梨的价格如表： 购买丰水梨（千克） 单价 不超过10千克的部分 9元/千克 超过10千克但不超过20千克的部分 8元/千克 超过20千克的部分 6元/千克 （1）若陈阿姨第一次购买丰水梨5千克，需要付费 　 　元； 第二次购买丰水梨15千克，需要付费 　 　元； 第三次购买丰水梨x千克（x超过20千克），需要付费 　 　元（化简结果用含x的式子表示）． （2）若陈阿姨购买丰水梨花了200元，求她买了多少千克的丰水梨？ （3）若陈阿姨分两次共购买50千克的丰水梨，且第一次购买的数量为a千克（0＜a≤20），请问她这两次购买丰水梨共需要付多少元？（化简结果用含a的式子表示） 【分析】（1）当购买丰水梨5千克时，利用应付费用＝9×购买质量，可求出结论；当购买丰水梨15千克时，利用应付费用＝9×10+8×超过10千克的部分，可求出结论；当购买丰水梨x千克（x超过20千克），利用应付费用＝9×10+8×（20﹣10）+6×超过20千克的部分，即可用含x的代数式表示出应付费用； （2）设陈阿姨买了m千克的丰水梨，求出购买20千克的丰水梨应付费用，由该值小于200元，可得出m＞20，由（1）的结论结合应付费用为200元，可列出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论； （3）分0＜a≤10及10＜a≤20两种情况考虑，当0＜a≤10时，利用陈阿姨这两次购买丰水梨应付费用＝9×第一次购买的数量+6×第二次购买的数量+50，即可用含a的代数式表示出陈阿姨这两次购买丰水梨应付费用；当10＜a≤20时，利用陈阿姨这两次购买丰水梨应付费用＝9×10+8×（第一次购买的数量﹣10）+6×第二次购买的数量+50，即可用含a的代数式表示出陈阿姨这两次购买丰水梨应付费用． 【解答】解：（1）根据题意得：9×5＝45（元）； 9×10+8×（15﹣10）＝130（元）； 当x＞20时，需要付费9×10+8×（20﹣10）+6（x﹣20）＝（6x+50）（元）． 故答案为：45，130，（6x+50）； （2）设陈阿姨买了m千克的丰水梨， ∵9×10+8×（20﹣10）＝170（元），170＜200， ∴m＞20． 根据题意得：6m+50＝200， 解得：m＝25． 答：陈阿姨买了25千克的丰水梨； （3）∵陈阿姨分两次共购买50千克的丰水梨，且第一次购买的数量为a千克（0＜a≤20）， ∴陈阿姨第二次购买的数量为（50﹣a）千克． 当0＜a≤10时，需要付费9a+6（50﹣a）+50＝（3a+350）（元）； 当10＜a≤20时，需要付费9×10+8（a﹣10）+6（50﹣a）+50＝（2a+360）（元）． 答：若0＜a≤10，则陈阿姨这两次购买丰水梨共需要付（3a+350）元；若10＜a≤20，则陈阿姨这两次购买丰水梨共需要付（2a+360）元． 3．（2024秋•金水区期中）网约车已成为人们出行的首选便捷工具，某网约车行车计费规则如下表： 项目 时长费 里程费 远途费 单价 0.5元/分钟 1.6元/千米 0.4元/千米 乘客车费由时长费、里程费、远途费三部分构成．其中时长费按行车实际时间计算；里程费按行车的实际里程计算；远途费收取标准如下：行车里程10千米以内（含10千米），不收远途费，超过10千米的，超出部分每千米收0.4元． （1）张老师乘坐该网约车，行车里程为20千米，行车时间为30分钟，需付车费 　 　元； （2）若小明乘坐该网约车，行车里程为a千米，行车时间为b分钟．请用含a，b的代数式表示车费，并化简：当a≤10时，小明应付车费 　 　元；当a＞10时，小明应付车费 　 　元； （3）小明和张老师都乘坐该网约车，行车里程分别是7.5千米和12千米，如果两人所付车费相同，那么两人所乘的两辆网约车的行车时间相差 　 　分钟． 【分析】（1）利用乘客车费＝时长费+里程费+远途费，即可求出结论； （2）当a≤10时，利用小明应付车费＝时长费+里程费，可用含a，b的代数式表示出小明应付车费；当a＞10时，利用小明应付车费＝时长费+里程费+远途费，可用含a，b的代数式表示出小明应付车费； （3）设两人所乘的两辆网约车的行车时间相差x分钟，利用0.5×两人所乘的两辆网约车的行车时间之差＝1.6×两人所乘的两辆网约车的里程之差+0.4×张老师乘坐网约车的远途费，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【解答】解：（1）根据题意得：0.5×30+1.6×20+0.4×（20﹣10） ＝0.5×30+1.6×20+0.4×10 ＝15+32+4 ＝51（元）， ∴张老师需付车费51元． 故答案为：51； （2）根据题意得：当a≤10时，小明应付车费（0.5b+1.6a）元； 当a＞10时，小明应付车费0.5b+1.6a+0.4（a﹣10）＝（0.5b+2a﹣4）元． 故答案为：（0.5b+1.6a），（0.5b+2a﹣4）； （3）设两人所乘的两辆网约车的行车时间相差x分钟， 根据题意得：0.5x＝1.6×（12﹣7.5）+0.4×（12﹣10）， 解得：x＝16， ∴两人所乘的两辆网约车的行车时间相差16分钟． 故答案为：16． 4．（2024秋•南海区期中）美团外卖骑手分为专职和兼职两种，专职骑手月工资4000元保底，每送一单外卖可再得3元；兼职骑手没有保底工资，每送一单外卖可得4元，小张是一名专职美团骑手，小李是一名兼职美团骑手． （1）若10月小张和小李送出的外卖单数相同，且小张比小李多收入了2500元，求小张送出了多少单外卖． （2）根据国家个人所得税率标准，工资超过5000时，需要交纳个人所得税，税率如表所示： 级数 工资范围 个人税率 1 不超过5000元 0 2 超过5000元至不超过8000元的部分 3% 3 超过8000元至不超过17000元的部分 10% … … … 问题：如果小张在11月交了200元的个人所得税，请问小张在11月送出了多少单外卖？ 【分析】（1）设小张送出了送出了a单，根据小张比小李多收入了2500元，建立方程求解即可； （2）先表示小张送的钱数，再表格中的数据可以表示小张的个人所得税，建立方程求解即可． 【解答】解：（1）设小张送出了送出了a单，则小李也送出了a单， 根据题意可得，4000+3a﹣4a＝2500， 解得a＝1500， ∴小张送出了1500单外卖； （2）∵（8000﹣5000）×3%＝90，90＜200， ∴小张的收入高于8000元， 设小张送出了送出了b单， 则小张的收入为4000+3b， ∴3000×3%+（4000+3b﹣8000）×10%＝200， 解得：b＝1700， ∴小张11月份送了1700单外卖． 5．（2024秋•丽水期中）为了节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计量，将居民的每月生活用水水价分为三个等级：一级：20吨及以下，二级：大于20吨，不超过30吨，三级：30吨以上．以下是小青家水费发票的部分信息：（居民生活水费＝自来水费+污水处理费） （1）从以上信息可知，水费的收费标准（含污水处理费）：每月用水20吨及以内为 　 　元/吨，每月用水20～30吨（含30吨）为 　 　元/吨，30吨及以上为 　 元/吨． （2）随着气温的降低，小青家的用水量也在逐步下降，已知2024年2月份小青家所缴的水费为55.20元，请你计算小青家该月份的用水量为多少吨？ （3）为了提倡节约用水，小青家打算将水费控制在不少于48元，不超过74元，那么用水量应该如何控制？ 丽水市xx县自来水公司水费专用发票联 计费日期：2023﹣07﹣01至2023﹣08﹣11 付款期限： 上期抄见数 本期抄见数 加原表用水量/吨 本期用水量/吨 884 919 35 自来水费 污水处理费 用水量/吨 单价/元 金额/元 用水量/吨 单价/元 金额/元 阶梯一20 1.3 26.00 20 0.50 10.00 阶梯二10 19.00 10 0.50 5.00 阶梯三5 15.00 5 0.50 2.50 本期实付金额 （大写）柒拾柒元伍角整77.50元 【分析】（1）利用单价＝自来水费的单价+污水处理费的单价，即可求出结论； （2）设小青家该月份的用水量为x吨，由36＜55.2＜60，可得出20＜x＜30，利用2024年2月份小青家所缴的水费＝36+2.4×用水量超过20吨的部分，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论； （3）设小青家该月份的用水量为y吨，分水费为48元及水费为74元两种情况，求出y的值，再结合“小青家打算将水费控制在不少于48元，不超过74元”，即可确定结论． 【解答】解：（1）根据题意得：每月用水20吨及以内为1.3+0.5＝1.8（元/吨）； 每月用水20～30吨（含30吨）为19÷10+0.5＝2.4（元/吨）； 30吨及以上为15÷5+0.5＝3.5（元/吨）． 故答案为：1.8，2.4，3.5； （2）设小青家该月份的用水量为x吨， ∵26+10＝36（元），36+19+5＝60（元），36＜55.2＜60， ∴20＜x＜30． 根据题意得：36+2.4（x﹣20）＝55.2， 解得：x＝28． 答：小青家该月份的用水量为28吨； （3）设小青家该月份的用水量为y吨， 当水费为48元时，36+2.4（y﹣20）＝48， 解得：y＝25； 当水费为74元时，60+3.5（y﹣30）＝74， 解得：y＝34， ∴用水量应该控制在不少于25吨，不超过34吨． 6．（2024秋•建湖县期中）为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控的手段达到节水的目的，该市自来水收费的收费标准如表： 收费标准（注：水费按月份结算） 每月用水量 单价（元/立方米） 不超出6立方米的部分 2 超出6立方米不超出10立方米的部分 4 超出10立方米的部分 8 例如：某户居民1月份用水8立方米，应收水费为2×6+4×（8﹣6）＝20（元） 请根据上表的内容解答下列问题： （1）若某户居民2月份用水7立方米，则应收水费 　 元 （2）若某户居民4月份用水a立方米（其中6＜a≤10），请用含a的代数式表示应收水费 　 ． （3）若某户居民3月份交水费60元，则3月份用水量为 　 　立方米； （4）若某户居民5、6两个月共用水18立方米（6月份用水量超过了10立方米），设5月份用水x立方米，请用含x的代数式表示该户居民5、6两个月共交水费多少元？ 【分析】（1）根据用水7立方米，结合水费收费标准表，即可列式作答； （2）根据6＜a≤10，结合水费收费标准表，即可列式作答； （3）先算出刚用10立方米的水费，发现交水费60元的用水量大于10立方米，故设该月用水量为b立方米（10＜b），结合水费收费标准表，即可列式作答； （4）设5月份用水x立方米，则6月份用水（18﹣x）立方米，且9＜x≤18，结合水费收费标准表，即可列式作答． 【解答】解：（1）依题意，6×2+（7﹣6）×4＝12+4＝16（元）， 故某户居民2月份用水7立方米，则应收水费16元， 故答案为：16； （2）依题意， 6×2+（a﹣6）×4＝（﹣12+4a）（元）， 故某户居民4月份用水a立方米（其中6＜a≤10），应收水费（﹣12+4a）元， 故答案为：（﹣12+4a）； （3）依题意，当用水量刚好10立方米，则6×2+（10﹣6）×4＝12+16＝28（元）， ∵60＞28， ∴设3月份用水量为b立方米（b＞10）， 则6×2+（10﹣6）×4+（b﹣10）×8＝12+16+8b﹣80＝8b﹣52（元）， 即8b﹣52＝60， 解得b＝14， 故3月份用水量为14立方米； 故答案为：14； （4）依题意，设5月份用水x立方米，则6月份用水（18﹣x）立方米，且18﹣x＞10， 当10＜18﹣x＜12，6月份的水费： 6×2+（10﹣6）×4+（18﹣x﹣10）×8＝92﹣8x（元）， 此时该户居民5、6两个月共交水费：4x﹣12+﹣8x+92＝（80﹣4x）（元）； 当0≤x≤6时，5月份的水费：2x（元）， 当12≤18﹣x≤18，6月份的水费： 6×2+（10﹣6）×4+（18﹣x﹣10）×8＝（92﹣8x）（元）， 综上所述，该户居民5、6两个月共交水费：2x﹣8x+92＝（92﹣6x）（元）或（92﹣8x）（元） 【考点10 一元一次方程的应用（方案最优化问题）】 1．（2023秋•武都区期末）红领巾球馆计划购买某品牌的乒乓球拍和乒乓球．已知该品牌的乒乓球拍每副定价150元，乒乓球每盒定价15元．元旦期间该品牌决定开展促销活动，活动期间向客户提供两种优惠方案，即 方案一：买一副乒乓球拍送两盒乒乓球； 方案二：乒乓球拍和乒乓球都按定价的90%付款． 该球馆计划购买乒乓球拍10副，乒乓球x盒（x＞20，x为整数）． （1）当x＝40时，若该球馆按方案一购买，需付款 　 　元；若该球馆按方案二购买，需付款 　 　元； （2）当x为何值时，分别用两种方式购买所需费用一样？ （3）若x＝40，能否找到一种更为省钱的购买方案？如果能，请你写出购买方案，并计算出此方案所需费用；如果不能，请说明理由． 【分析】（1）认真读懂题意，按照两种付费方案列代数式； （2）由（1）得代数式相等，求x值即可； （3）购买20副球拍和20盒乒乓球采用第一种方案，10盒乒乓球采用第二种方案，计算出应付钱数． 【解答】解：（1）方案一需付款：150×10+（x﹣20）×15＝（15x+1200）元， 方案二需付款：（150×10+15x）×90%＝（13.5x+1350）元； 当x＝40时，方案一需付款＝15x+1200＝15×40+1200＝1800（元）， 方案二需付款：13.5x+1350＝13.5×40+1350＝1890（元）； 故答案为：1800元，1890元； （2）根据题意可列方程为：13.5x+1350＝15x+1200， 解得：x＝100， 答：当x＝100时，分别用两种方式购买所需费用一样； （3）购买10副球拍和20盒乒乓球采用第一种方案，20盒乒乓球采用第二种方案， ∴应付钱数：10×150+（40﹣20）×15×90%＝1770（元）． 2．（2023秋•潮阳区期末）某企业加工一批员工制服，现有甲、乙两个加工厂都想加工这批制服，已知甲工厂每天能加工这种制服18套，乙工厂每天能加工这种制服27套，且单独加工这批制服甲厂比乙厂要多用10天．在加工过程中，企业需付甲厂每天费用80元、付乙厂每天费用120元． （1）求这批制服共有多少套． （2）为了尽快完成这批制服，先由甲、乙两厂按原生产速度合作一段时间后，甲工厂停工，而乙工厂每天的生产速度提高，乙工厂单独完成剩余部分，且乙工厂的全部工作时间是甲工厂工作时间的2倍还少7天，求乙工厂共加工多少天． （3）经企业研究决定制定如下方案：方案一：由甲工厂单独完成：方案二：由乙工厂单独完成：方案三：按（2）问方式完成：并且每种方案在加工过程中，每个工厂需要一名工程师进行技术指导，并由企业提供每天15元的午餐补助费，请你通过计算帮企业选择一种最省钱的加工方案． 【分析】（1）设单独加工这批校服乙厂需要x天，则甲厂需要（x+10）天，利用学校加工的服装数量不变列出方程，解方程即可得出甲乙两长的生产时间，利用甲厂的生产时间×甲厂的工作效率即可得出结论； （2）设实际生产中甲厂的工作时间为y天，则乙厂的全部工作时间为（2y﹣7）天，利用甲乙合作共同完成了生产任务为等量关系，列出方程解方程即可得出结论； （3）分别利用所付费用＝生产时间×每天所付费用，计算出三个方案的费用，通过比较可得最省钱的加工方案． 【解答】解：（1）设单独加工这批校服乙厂需要x天，则甲厂需要（x+10）天， 由题意得：18（x+10）＝27x， 解得：x＝20． ∴这批校服共有：20×27＝540（套）． 答：这批校服共有540套． （2）设实际生产中甲厂的工作时间为y天，则乙厂的全部工作时间为（2y﹣7）天， 由题意得：（18+27）y+27（1）（2y﹣7﹣y）＝540， 解得：y＝10． ∴2y﹣7＝20﹣7＝13（天）． 答：乙工厂共加工13天． （3）由题意得：由（1）知：甲厂的设出时间为：x+10＝30（天）， ∴方案一所付费用为：（15+80）×30＝2850（元）； 方案二所付费用为：（15+120）×20＝2700（元）； 方案三所付费用为：（15+80）×10+（120+15）×13＝2705（元）． ∵2700＜2705＜2850， ∴学校选择方案二最省钱． 3．（2023秋•荔湾区期末）为进一步加强学生“学党史、知党情、跟党走”的信心，培养学生的民族精神和爱国主义情怀，某学校组织开展以“观看红色电影，点燃红色初心”为主题的教育活动．电影票价格表如下： 购票张数 1至40 41至80 80以上 每张票的价格 20元 18元 免2张门票，其余每张17元 该校七年级两个班共有83名学生去看电影，其中七（1）班的学生人数超过30，但不足40． （1）如果两个班都以班为单位单独购票，一共付了1572元．求七（2）班学生的人数； （2）在（1）所得的班级学生人数下，如果七（1）班有7名学生因有比赛任务不能参加这次活动，请你为两个班级设计购买电影票的方案，并指出最省钱的方案． 【分析】（1）设七（1）班有x名学生，则七（2）班有（83﹣x）名学生，由“七（1）班的学生人数超过30，但不足40”，可得出七（2）班超过43且不足53，结合“两个班都以班为单位单独购票，一共付了1572元”，可列出关于x的一元一次方程，解之可求出七（1）班学生的人数，再将其代入（83﹣x）中，即可求出七（2）班学生的人数； （2）分别求出以班为单位单独购票、两班联合购买（83﹣7）张票及两个班联合购买81张票所需费用，比较后即可得出结论． 【解答】解：（1）设七（1）班有x名学生，则七（2）班有（83﹣x）名学生， 根据题意得：20x+18（83﹣x）＝1572， 解得：x＝39， ∴83﹣x＝83﹣39＝44（人）． 答：七（2）班有44名学生； （2）方案1：以班为单位单独购票，所需费用为20×（39﹣7）+18×44＝1432（元）； 方案2：两个班联合购买正好张数的票，所需费用为18×（83﹣7）＝1368（元）； 方案3：两个班联合购买81张票，所需费用为17×（81﹣2）＝1343（元）． ∵1432＞1368＞1343， ∴最省钱的方案为两个班联合购买81张票． 4．（2023秋•和县期末）冬季已经来临，学校准备组织七年级学生参观冰雪大世界．参观门票学生票价为160元，冰雪大世界经营方为学校推出两种优惠方案，方案一：“所有学生门票一律九折”；方案二：“如果学生人数超过100人，则超出的部分打八折”． （1）求参观学生为多少人时，两种方案费用一样． （2）学校准备租车送学生去冰雪大世界，如果单独租用45座的客车若干辆，则有15人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出一辆，且其余客车恰好坐满，求我校七年级共有多少学生参观冰雪大世界？（司机不占用客车座位数） （3）在（2）的条件下，学校采用哪种优惠方案购买门票更省钱？ 【分析】（1）设参观学生为x人，根据两种优惠方案花费相等列出方程，解方程即可； （2）设学校租用45座的客车a辆，根据两个客车所拉学生人数相等列方程，解方程即可； （3）比较两种方案的花费得出结论． 【解答】解：（1）设参观学生为x人，两种方案费用一样， 根据题意得：160×0.9x＝160×100+（x﹣100）×160×0.8， 整理得：16x＝3200， 解得：x＝200， 答：参观学生为200人时，两种方案费用一样； （2）设学校租用45座的客车a辆， 由题意得：45a+15＝60（a﹣1）， 解得：a＝5， ∴七年级参观冰雪大世界的人数为：60（5﹣1）＝240（人）， 答：我校七年级共有240学生参观冰雪大世界； （3）采用方案一花费：160×0.9×240＝34560（元）； 采用方案二花费：100×160+140×160×0.8＝16000+17920＝33920（元）； ∵33920＜34560， ∴采用方案二购买门票更省钱． 5．（2023秋•曲阳县期末）甲、乙两城相距800千米，一辆客车从甲城开往乙城，车速为a（0＜a＜100）千米/小时，同时一辆出租车从乙城开往甲城，车速为90千米/小时，设客车行驶时间为t（小时） （1）当t＝5时，客车与乙城的距离为 　 　千米（用含a的代数式表示） （2）已知a＝70，丙城在甲、乙两城之间，且与甲城相距260千米 ①求客车与出租车相距100千米时客车的行驶时间；（列方程解答） ②已知客车和出租车在甲、乙之间的服务站M处相遇时，出租车乘客小王突然接到开会通知，需要立即返回，此时小王有两种返回乙城的方案： 方案一：继续乘坐出租车到丙城，加油后立刻返回乙城，出租车加油时间忽略不计； 方案二：在M处换乘客车返回乙城． 试通过计算，分析小王选择哪种方案能更快到达乙城？ 【分析】第一问用代数式表示，第二问中用到了一元一次方程的知识，也用到了相遇的知识，要求会画图形，数形结合更好的解决相遇问题． 【解答】解：（1）当t＝5时，客车与乙城的距离为（800﹣5a）千米 故答案为：（800﹣5a）； （2）①解：设当客车与出租车相距100千米时客车的行驶时间是t小时 a：当客车和出租车没有相遇时 70t+90t+100＝800 解得：t＝4.375 b：当客车和出租车相遇后 70t+90t﹣100＝800 解得：t＝5.625 当客车与出租车相距100千米时客车的行驶时间是4.375小时或5.625小时 ②小王选择方案二能更快到达乙城．【精思博考：选择方案一时，小王需要7小时到达乙城；选择方案二时，小王需要小时到达乙城】 解：设客车和出租车x小时相遇 70x+90x＝800 ∴x＝5 此时客车走的路程为350km，出租车的路程为450km ∴丙城与M城之间的距离为90km 方案一：小王需要的时间是（90+90+450）÷90＝7h 方案二：小王需要的时间是 450÷70 ∴小王选择方案二能更快到达乙城． 6．（2023秋•邵阳期末）为准备春节文艺汇演，甲、乙两所学校共92名学生（其中甲校学生多于乙校学生，且甲校学生不够90名）准备统一购买服装参加演出，下面是服装厂给出的演出服装的价格表： 购买服装的套数 1套至45套 46至90套 91套及以上 每套服装的价格 60元 50元 40元 如果两所学校分别单独购买服装，一共应付5000元． （1）甲、乙两校各有多少名学生准备参加演出？ （2）如果两校联合起来购买服装，那么比各自购买服装共可以节省多少钱？ （3）如果甲校有6名学生被调去参加书法比赛不能参加演出，请你为两校设计购买服装方案，并说明哪一种最省钱． 【分析】（1）设甲校有x名学生参加演出，则乙校有（92﹣x）名学生参加演出，根据总价＝单价×数量结合他们一共应付5000元，得出关于x的一元一次方程，解方程得出结论； （2）用5000﹣92套服装所需费用，即可求出结论； （3）分别求出购买服装、一起购买及购买91套服装所需费用，比较后即可得出结论． 【解答】解：（1）设甲校有x名学生准备参加演出，则乙校有（92﹣x）名学生参加演出， 根据题意得：50x+60（92﹣x）＝5000 解得，x＝52． ∴92﹣x＝92﹣52＝40， 答：甲校有52名学生准备参加演出，乙校有40名学生准备参加演出； （2）由题意得：5000﹣92×40＝1320（元）， 答：甲、乙两校联合起来购买服装比各自购买服装共可以节省1320元； （3）因为甲校有6名学生不能参加演出，则甲校有46名学生参加演出， ①若两校联合购买服装，则需要（46+40）×50＝4300 （元）． ②若两校各自购买服装，则需要（46+40）×60＝5160（ 元） ③若两校联合购买91套服装，则需要40×91＝3640 （元） 综上所述，最省钱的购买服装方案是两校联合购买91套服装． 7．（2023秋•兴宾区期末）某地生产一种绿色蔬菜，若在市场上直接销售，每吨利润为0.1万元；经粗加工后销售，每吨利润可达0.5万元；经精加工后销售，每吨利润涨至0.8万元．当地一家蔬菜公司收购这种蔬菜120吨，该公司加工厂的生产能力是：如果对蔬菜进行粗加工，每天可加工14吨：如果进行精加工，每天可加工5吨，但两种加工方式不能在同一天同时进行，受季节条件限制，公司必须在15天内将这批蔬菜全部销售或加工完毕，为此，公司研制了三种可行方案： 方案一；将蔬菜全部进行粗加工． 方案二：尽可能多的对蔬菜进行精加工，没来得及进行加工的蔬菜在市场上直接销售． 方案三：将部分蔬菜进行精加工，其余蔬菜进行粗加工，并恰好15天完成． 你认为哪种方案利润最大，为什么？ 【分析】由条件可知全部蔬菜均可进行粗加工，计算120×0.5可得到方案一的利润；由条件可知15天可精加工蔬菜75吨，计算75×0.8+45×0.1可得到方案二的利润；设用x天精加工蔬菜，则用（15﹣x）天粗加工蔬菜，列方程求出x的值，得精加工蔬菜50吨，粗加工蔬菜70吨，计算50×0.8+70×0.5可得到方案三的利润，对比即可得到结果． 【解答】解：方案一：由条件可知全部蔬菜均可进行粗加工， 120×0.5＝60（万元）， ∴将蔬菜全部进行粗加工再销售，可获得利润60万元； 方案二：由条件可知15天可精加工蔬菜15×5＝75（吨）， 则剩下120﹣75＝45（吨）在市场上直接销售， 75×0.8+45×0.1＝64.5（万元）， ∴尽可能多的对蔬菜进行精加工，没来得及进行加工的蔬菜在市场上直接销售，可获得利润64.5万元； 方案三：设用x天精加工蔬菜，则用（15﹣x）天粗加工蔬菜， 依题意得，5x+14（15﹣x）＝120， 解得x＝10， 得精加工蔬菜5×10＝50（吨），粗加工蔬菜14×5＝70（吨）， 50×0.8+70×0.5＝75（万元）； ∵60＜64.5＜75， ∴方案三获得利润最大，最大利润为75万元． 【考点11 一元一次方程的应用（动点问题）】 1．（2024秋•镇江期中）如图已知数轴上点A、B分别表示a、b，且|b+6|与（a﹣9）2互为相反数，O为原点．若电子蚂蚁M、N分别从点A、B同时出发，点M以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，点N以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动． （1）a＝ 　 　，b＝ 　 　； （2）若电子蚂蚁N向右运动遇到电子蚂蚁M就会按原速返回，返回至点B后立刻原速向右运动，遇到电子蚂蚁M就会按原速返回，返回至点B后立刻原速向右运动…，循环运动一直到电子蚂蚁M运动到点B处结束，此时电子蚂蚁N的运动路程为 　 　； （3）电子蚂蚁N到点A后立刻按原来的速度改变方向向左运动，设运动时间为t（t＞0）秒． ①求t为何值时，电子蚂蚁M、N与A的距离相同； ②求t为何值时，电子蚂蚁M与N相距4个单位长度，直接写出答案． 【分析】（1）由|b+6|与（a﹣9）2互为相反数，可得出|b+6|+（a﹣9）2＝0，结合绝对值及偶次方的非负性，即可求出a，b的值； （2）利用时间＝路程÷速度，可求出电子蚂蚁M的运动时间（即电子蚂蚁N的运动时间），再利用路程＝速度×时间，即可求出电子蚂蚁N的运动路程； （3）利用时间＝路程÷速度，可求出点N到达点A所需时间． ①当0≤t≤7.5时，电子蚂蚁M表示的数为9﹣t，电子蚂蚁N表示的数为﹣6+2t，由电子蚂蚁M、N与A的距离相同（同在点A左侧，相等即可），可列出关于t的一元一次方程，解之可得出t的值；当t＞7.5时，电子蚂蚁M表示的数为9﹣t，电子蚂蚁N表示的数为24﹣2t，由电子蚂蚁M、N与A的距离相同（同在点A左侧，相等即可），可列出关于t的一元一次方程，解之可得出t的值； ②当0≤t≤7.5时，电子蚂蚁M表示的数为9﹣t，电子蚂蚁N表示的数为﹣6+2t，由电子蚂蚁M与N相距4个单位长度，可列出关于t的含绝对值符号的一元一次方程，解之可得出t的值；当t＞7.5时，电子蚂蚁M表示的数为9﹣t，电子蚂蚁N表示的数为24﹣2t，由电子蚂蚁M与N相距4个单位长度，可列出关于t的含绝对值符号的一元一次方程，解之可得出t的值． 【解答】解：（1）∵|b+6|与（a﹣9）2互为相反数， ∴|b+6|+（a﹣9）2＝0， ∴b+6＝0，a﹣9＝0， 解得：a＝9，b＝﹣6． 故答案为：9；﹣6； （2）∵点A表示的数为9，点B表示的数为﹣6， ∴AB＝|9﹣（﹣6）|＝15， ∴电子蚂蚁M的运动时间为15÷1＝15（秒）， ∴电子蚂蚁N的运动时间为15秒， ∴电子蚂蚁N的运动路程为2×15＝30． 故答案为：30； （3）电子蚂蚁N从点B到点A所需的时间为15÷2＝7.5（秒）． ①当0≤t≤7.5时，电子蚂蚁M表示的数为9﹣t，电子蚂蚁N表示的数为﹣6+2t， ∴9﹣t＝﹣6+2t， 解得：t＝5； 当t＞7.5时，电子蚂蚁M表示的数为9﹣t，电子蚂蚁N表示的数为9﹣2（t﹣7.5）＝24﹣2t， ∴9﹣t＝24﹣2t， 解得：t＝15． 答：t为5或15时，电子蚂蚁M、N与A的距离相同； ②当0≤t≤7.5时，电子蚂蚁M表示的数为9﹣t，电子蚂蚁N表示的数为﹣6+2t， ∴|9﹣t﹣（﹣6+2t）|＝4， 即15﹣3t＝4或3t﹣15＝4， 解得：t或； 当t＞7.5时，电子蚂蚁M表示的数为9﹣t，电子蚂蚁N表示的数为9﹣2（t﹣7.5）＝24﹣2t， ∴|9﹣t﹣（24﹣2t）|＝4， 即15﹣t＝4或t﹣15＝4， 解得：t＝11或t＝19． 答：当t为或或11或19时，电子蚂蚁M与N相距4个单位长度． 2．（2024秋•海珠区期中）如图，A，B两点在数轴上分别表示有理数a，b，且满足|a+3|+（b﹣9）2＝0，点O为原点． （1）请直接写出a＝　 　，b＝　 　； （2）一动点P从A出发，以每秒2个单位长度向左运动，一动点Q从B出发，以每秒3个单位长度向左运动，设运动时间为t（秒）． ①试探究：P、Q两点到原点的距离可能相等吗？若能，请直接写出t的值；若不能，请说明理由； ②若动点Q从B出发后，到达原点O后保持原来的速度向右运动，当点Q在线段OB上运动时，分别取OB和AQ的中点E，F，试判断的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 【分析】（1）根据非负数的性质即可求出a、b的值； （2）①先表示出运动t秒后P点对应的数为﹣3﹣2t，Q点对应的数为9﹣3t，再根据两点间的距离公式得出PO＝|﹣3﹣2t|，OQ＝|9﹣3t|，利用建立方程，求解即可； ②先分别表示出点E表示的数，点F表示的数，再计算即可． 【解答】解：（1）∵|a+3|+（b﹣9）2＝0， ∴a+3＝0，b﹣9＝0， ∴a＝﹣3，b＝9， 故答案为：﹣3，9； （2）①∵若动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点Q从B出发，以每秒3个单位长度向左运动， ∴运动t秒后P点对应的数为﹣3﹣2t，Q点对应的数为9﹣3t， ∴|﹣3﹣2t|＝|9﹣3t|， 解得t或12， 答：点P的运动时间t为或12秒； ②的值是一个定值，理由如下： 当点Q运动到线段OB上时，OB中点E表示的数是， 当Q从B向O运动时，AQ中点F表示的数是， 则， 所以； 当Q从O向B运动时，Q点对应数为3t﹣9， AQ中点F表示的数是， 则， 所以； 故的值是一个定值，为2． 3．（2024秋•南沙区期中）已知式子M＝（a﹣16）x3+20x2+10x+5是关于x的二次多项式，且二次项的系数为b，在数轴上有A，B，C三个点，且点A，B，C三点所表示的数分别为a，b，c，如图所示，已知AC＝6AB． （1）a＝ 　 　，b＝ 　 　，c＝ 　 　； （2）若点P到A点的距离是点P到B点的距离的2倍，求点P的对应的数； （3）动点P从C出发，以每秒1个单位的速度向右移动，设移动时间为t秒．当点P运动到A点时，点Q也从C点出发，以每秒4个单位的速度向右运动，Q点到达B点后，再立即以同样的速度返回，运动到终点C．在点Q开始运动后第几秒时，P，Q两点之间的距离为8？请说明理由． 【分析】（1）由式子M是关于x的二次多项式，可求出a值，结合该多项式的二次项为b，可得出b的值，由AC＝6AB结合点C在点A的左侧，即可求出c的值； （2）设点P对应的数为x，根据点P到A点的距离是点P到B点的距离的2倍，可列出关于x的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论； （3）利用时间＝路程÷速度，求出点Q到达点B及点Q返回点C所需时间，设点Q的运动时间为m秒，当0≤m≤7时，点P对应的数是16+m，点Q对应的数是﹣8+4m，根据P，Q两点之间的距离为8，可列出关于m的含绝对值符号的一元一次方程，解之取其符合题意的值即可；当7＜m≤14时，点P对应的数是16+m，点Q对应的数是20﹣4（m﹣7）＝48﹣4m，根据P，Q两点之间的距离为8，可列出关于m的含绝对值符号的一元一次方程，解之取其符合题意的值即可． 【解答】解：（1）∵式子M＝（a﹣16）x3+20x2+10x+5是关于x的二次多项式，且二次项的系数为b， ∴a﹣16＝0，b＝20， ∴a＝16． ∵AC＝6AB，且点C在点A的左侧， ∴16﹣c＝6×（20﹣16）， ∴c＝﹣8． 故答案为：16，20，﹣8； （2）设点P对应的数为x， 根据题意得：|x﹣16|＝2|x﹣20|， 即x﹣16＝2（x﹣20）或x﹣16＝2（20﹣x）， 解得：x＝24或x． 答：点P对应的数为或24； （3）|﹣8﹣20|÷4＝7（秒），7×2＝14（秒）． 设点Q的运动时间为m秒， ∵当点P运动到A点时，点Q也从C点出发，且点A对应的数为16， ∴当0≤m≤7时，点P对应的数是16+m，点Q对应的数是﹣8+4m， 根据题意得：|16+m﹣（﹣8+4m）|＝8， 即24﹣3m＝8或3m﹣24＝8， 解得：m或m（不符合题意，舍去）； 当7＜m≤14时，点P对应的数是16+m，点Q对应的数是20﹣4（m﹣7）＝48﹣4m， 解得：|16+m﹣（48﹣4m）|＝8， 即32﹣5m＝8或5m﹣32＝8， 解得：m（不符合题意，舍去）或m＝8． 答：在点Q开始运动秒或8秒时，P，Q两点之间的距离为8． 4．（2024秋•香洲区校级期中）【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A，点B表示的数分别为a，b，则A，B两点之间的距离AB＝|a﹣b|，线段AB的中点表示的数为； 【问题情境】如图，已知数轴上有A、B两点，分别表示的数为﹣10，6，点P以每秒2个单位长度的速度从点A出发沿数轴向右匀速运动，点Q以每秒1个单位长度从点B出发沿数轴向左匀速运动，当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，设运动时间为t秒（t＞0）． （1）A、B两点的距离为 　 　个单位长度；线段AB的中点M所表示的数为 　 　； （2）当t＝2时，求出此时P，Q两点在数轴上表示的数； （3）用含t的代数式表示P，Q两点在数轴上对应的数； （4）求出当t为何值时，P，Q两点的距离为5． 【分析】（1）利用数轴上两点间的距离公式及线段中点表示的数，可求出A，B两点的距离及点M表示的数； （2）利用点P表示的数＝﹣10+点P的运动速度×运动时间及点Q表示的数＝6﹣点Q的运动速度×运动时间，即可得出结论； （3）利用点P表示的数＝﹣10+点P的运动速度×运动时间及点Q表示的数＝6﹣点Q的运动速度×运动时间，即可用含t的代数式表示出点P，Q表示的数； （4）根据P，Q两点的距离为5，可列出关于t的含绝对值的一元一次方程，解之即可得出结论． 【解答】解：（1）∵点A表示的数为﹣10，点B表示的数为6， ∴A，B两点的距离为|﹣10﹣6|＝16，线段AB的中点M所表示的数为2． 故答案为：16，﹣2； （2）根据题意得：当t＝2时，点P表示的数为﹣10+2×2＝﹣6； 点Q表示的数为6﹣1×2＝4； （3）根据题意得：当运动时间为t秒时，点P表示的数为﹣10+2t； 点Q表示的数为6﹣t； （4）根据题意得：|﹣10+2t﹣（6﹣t）|＝5， 即16﹣3t＝5或3t﹣16＝5， 解得：t或t＝7． 答：当t为或7时，P，Q两点的距离为5． 5．（2024秋•靖江市校级期中）【背景知识】若数轴上的点A、点B表示的数分别为a、b，则A，B两点之间的距离为|a﹣b|，线段AB的中点表示的数为． 利用数形结合思想解决下列问题：如图，数轴上点A表示的数为﹣2，点B表示的数为10，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t秒（t＞0）． （1）填空：A、B两点间的距离AB＝ 　 　，线段PQ的中点表示的代数式为 　 　； （2）若点M为PA的中点，点N为QB的中点，在运动过程中，当t为何值时，； （3）点P从A点向右匀速运动，同时点Q从B点向左匀速运动，P到B后以每秒4个单位长度的速度沿数轴向A匀速运动，到达A后停止运动，在此运动过程中P、Q两点之间的距离能否为2个单位．如果能，请求出此时点P表示的数；如果不能，请说明理由． 【分析】（1）利用数轴上两点间的距离公式，可求出AB的值，当运动时间为t（t＞0）秒时，点P表示的数为﹣2+3t，点Q表示的数为10﹣2t，再用含t的代数式表示出线段PQ的中点即可； （2）当运动时间为t（t＞0）秒时，点M表示的数为，点N表示的数为10﹣t，根据MNAB，可列出关于t的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论； （3）利用时间＝路程÷速度，可求出点P运动到点B及点P返回到点A所需时间，当0≤t≤4时，点P表示的数为﹣2+3t，点Q表示的数为10﹣2t，根据PQ＝2，可列出关于t的含绝对值符号的一元一次方程，解之可得出t的值，将其代入（﹣2+3t）中，即可求出结论；当4＜t≤7时，点P表示的数为26﹣4t，点Q表示的数为10﹣2t，根据PQ＝2，可列出关于t的含绝对值符号的一元一次方程，解之可得出t的值，将其代入（26﹣4t）中，即可求出结论． 【解答】解：（1）∵数轴上点A表示的数为﹣2，点B表示的数为10， ∴AB＝|﹣2﹣10|＝12； ∵点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动， ∴当运动时间为t（t＞0）秒时，点P表示的数为﹣2+3t，点Q表示的数为10﹣2t， ∴线段PQ的中点表示的代数式为． 故答案为：12，； （2）∵点M为PA的中点，点N为QB的中点， ∴当运动时间为t（t＞0）秒时，点M表示的数为，点N表示的数为10﹣t． 根据题意得：|（10﹣t）|12， 即12t＝6或t﹣12＝6， 解得：t或t． 答：当t为或时，MNAB； （3）12÷3＝4（秒），4+12÷4＝7（秒）． 当0≤t≤4时，点P表示的数为﹣2+3t，点Q表示的数为10﹣2t， ∴|﹣2+3t﹣（10﹣2t）|＝2， 即12﹣5t＝2或5t﹣12＝2， 解得：t＝2或t， ∴﹣2+3t＝﹣2+3×2＝4或﹣2+3t＝﹣2+3； 当4＜t≤7时，点P表示的数为10﹣4（t﹣4）＝26﹣4t，点Q表示的数为10﹣2t， ∴|26﹣4t﹣（10﹣2t）|＝2， 即16﹣2t＝2或2t﹣16＝2， 解得：t＝7或t＝9（不符合题意，舍去）， ∴26﹣4t＝26﹣4×7＝﹣2． 答：在此运动过程中P、Q两点之间的距离能为2个单位，此时点P表示的数为4或或﹣2． 6．（2024秋•广州期中）初一年级开设了丰富多彩的选修课，佳佳同学在“数学实验与探究”课上借助两根木棒PQ、MN研究数轴上的动点问题： 如图，数轴上有A，B，C三个点，分别表示有理数﹣24，﹣10和12、佳佳把两根木棒放在数轴上，使点Q与点A重合，点N与点B重合，点P在点Q的左边，点M在点N的左边，且PQ＝2，MN＝6．木棒MN从点B开始一直向右以每秒1个单位的速度匀速运动；木棒PQ同时从点A开始向右以每秒3个单位的速度匀速运动，当点Q运动到C时，木棒PQ立即以每秒2个单位的速度返回（返回过程中，仍然保持点P在点Q的左边），当点Q再次运动到点A时，两根木棒立即同时停止运动，设运动时间为t秒． （1）当t＝16时，点N表示的数为 　 ，点P表示的数为 　 　； （2）在整个运动的过程中，当线段PM和线段QN的长度之和为12时，求出对应的t的值； （3）点D为木棒PQ上一点，在整个运动过程中，是否存在某些时间段，使得点D到点P、Q、M、N的距离之和为一个定值？若存在，请求出这个定值和持续的总时长；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）根据题意列式计算即可得出答案； （2）分0＜t≤12时和12＜t≤30两种情况解答即可； （3）分0＜t≤12时和12＜t≤30两种情况进行讨论即可得出答案． 【解答】解：（1）当t＝16时，点N表示的数为：﹣10+16＝6， [12﹣（﹣24）]÷3＝12， P表示的数为：12﹣（16﹣12）×2﹣2＝2， 故答案为：6，2； （2）况1：当0＜t≤12时，P：﹣26+3t，M：﹣16+t，Q：﹣24+3t，N：﹣10+t， PM＝|（﹣26+3t）﹣（﹣16+t）|＝|2t﹣10|， QN＝|（﹣24+3t）﹣（﹣10+t）|＝|2t﹣14|， ∵PM+QN＝12， ∴|2t﹣10|+|2t﹣14|＝12，即|t﹣5|+|t﹣7|＝6， ∴t1＝3，t2＝9； 况2：当12＜t≤30时， P：10﹣2（t﹣12）＝34﹣2t，M：﹣16+t，Q：36﹣2t，N：﹣10+t， PM＝|50﹣3t|，QN＝|46﹣3t|， ∵PM+QN＝12， ， ∴t3＝14，t4＝18， 综上所述，对应t的值为3秒、9秒、14秒或18秒； （3）定值为8；持续总时长为秒，求解过程如下： ∵点D为小木棒PQ上任意一点， ∴在运动过程中PD+QD＝PQ＝2始终保持不变， ∴只要使DM+DN保持不变即可， ∴当PQ与MN完全重合时，点D到点P、Q、M、N的距离之和为一个定值，该定值为PQ+MN＝2+6＝8； 况1：当0＜t≤12时， 1°∵﹣26+3t＝﹣16+t， ∴t1＝5； 2°∵﹣24+3t＝﹣10+t， ∴t2＝7； ∴5≤t≤7， ∴持续时长：7﹣5＝2（秒）； 况2：当12＜t≤30时， ∵36﹣2t＝﹣10+t， ∴， 2°∵﹣16+t＝34﹣2t， ∴， ∴持续时长为（ 秒）， 2（ 秒）， ∴持续的总时长为秒． 7．（2024秋•天津期中）【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形进行完美地结合．研究数轴我们发现了很多重要的规律．如数轴上点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，则A、B两点之间的距离表示为AB＝|a﹣b|． 【综合运用一】如图，数轴上点E表示为﹣3，点F表示为2． （1）线段EF的长度是 　 　． （2）若x表示任意一个有理数．利用数轴回答下列问题： ①当|x+3|+|x﹣2|＝7，则x＝ 　 　． 式子|x+3|+|x﹣2|是否存在最小值？若不存在，请说明理由；若存在，请直接说出x的取值范围，并化简求出最小值？ 【综合运用二】已知点A、B、C为数轴上三个点，表示的数分别是a，b，c，满足（c﹣7）2+|b﹣13|＝0，且a为的倒数． （1）a＝ 　 　，b＝ 　 　，c＝ 　 　； （2）若动点P从点A出发沿数轴正方向运动，动点Q同时从点B出发也沿数轴正方向运动，点P的速度是每秒3个单位长度，点Q的速度是每秒2个单位长度．设运动的时间为t秒（t＞0）． ①用含t的式子表示：t秒后，点P表示的数为 　 　，点Q表示的数为 　 　； ②当PO＝6时，求t的值． （3）在（2）的条件下，P、Q出发的同时，动点M从点C出发沿数轴正方向运动，速度为每秒5个单位长度，点M追上点Q后立即返回沿数轴负方向运动．求点M追上点Q后再经过几秒，MQ＝2MP？ 【分析】综合运用一：（1）根据两点间的距离公式即可求解； （2）根据|x+3|+|x﹣2|的几何意义即可解答； 综合运用二：（1）根据平方和绝对值的非负性，倒数的定义即可解答； （2）①根据题意直接列出代数式即可； ②由PO＝6，结合两点间的距离公式即可得到关于t的方程，求解即可； （3）点M未追上点Q时，表示出点M表示的数，根据点M追上点Q时，点M，Q表示的数相同，可求出运动的时间和此时点M表示的数，从而可求出点M返回沿负方向运动时所表示的数，根据两点间的距离公式，根据MQ＝2MP可列出方程，求解即可． 【解答】解：综合运用一： （1）∵点E表示为﹣3，点F表示为2， ∴EF＝|﹣3﹣2|＝5； 故答案为：5； （2）①∵点E表示为﹣3，点F表示为2， 数轴上到点E的距离和到点F的距离之和为7的点表示的数是﹣4或3， ∴当|x+3|+|x﹣2|＝7时，x＝﹣4或3； 故答案为：﹣4或3 ②当﹣3≤x≤2时，|x+3|+|x﹣2|取得最小值，最小值为5； 综合运用二： （1）∵a为的倒数， ∴a＝﹣12， ∵（c﹣7）2≥0，|b﹣13|≥0，且（c﹣7）2+|b﹣13|＝0， ∴（c﹣7）2＝0，|b﹣13|＝0， ∴c＝7，b＝13． 故答案为：﹣12，13，7； （2）①当运动t秒时，点P表示的数为﹣12+3t，点Q表示的数为13+2t． 故答案为：﹣12+3t，13+2t； ②当PO＝6时，|﹣12+3t|＝6， ∴﹣12+3t＝±6， 解得t＝2或6； （3）点M未追上点Q时，点M表示的数为7+5t， 当点M追上点Q时，7+5t＝13+2t， 解得t＝2， 即当它们运动2秒时，点M追上点Q，此时点M表示的数为7+5×2＝17， ∵点M追上点Q后立即返回沿数轴负方向运动， ∴点M表示的数为17﹣5（t﹣2）＝﹣5t+19， 当MQ＝2MP时，|（﹣5t+19）﹣（13+2t）|＝2|（﹣5t+19）﹣（﹣12+3t）|， 解得或， ∴，， ∴点M追上点Q后再经过秒或秒，MQ＝2MP． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！16 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.5 一元一次方程全章十一类必考点 【浙教版2024】 【考点1 一元一次方程的定义】 1 【考点2 等式性质的运用】 2 【考点3 一元一次方程的解法】 3 【考点4 一元一次方程含参问题】 5 【考点5 新定义方程】 6 【考点6 一元一次方程的应用（根据题中数量关系列方程）】 8 【考点7 一元一次方程的应用（根据常见公式列方程）】 9 【考点8 一元一次方程的应用（根据题中的规律列方程）】 10 【考点9 一元一次方程的应用（分段计费问题）】 12 【考点10 一元一次方程的应用（方案最优化问题）】 15 【考点11 一元一次方程的应用（动点问题）】 18 【考点1 一元一次方程的定义】 【方法点拨】只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程． 通常形式是ax+b=0（a，b为常数，且a≠0）．一元一次方程属于整式方程，即方程两边都是整式．一元指 方程仅含有一个未知数，一次指未知数的次数为1，且未知数的系数不为0．我们将ax+b=0（其中x是未知 数，a、b是已知数，并且a≠0）叫一元一次方程的标准形式．这里a是未知数的系数，b是常数，x的次数 必须是1． 【经典题型】 1．（2024春•萨尔图区校级期末）下列各式：①3+7＝10；②3x﹣5＝x2+3x；③2x+1＝1；④；⑤3x+2．其中是一元一次方程的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（2023秋•新吴区期末）已知下列方程：①5x+1；②x2﹣4x＝3；③0.3x＝1；④x+2y＝0．其中一元一次方程的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（2024春•商水县校级期中）若方程（2k+1）x2﹣（2k﹣1）x+5＝0是关于x的一元一次方程，则k的值为（　　） A．0 B．﹣1 C． D． 4．（2023秋•任城区校级期末）若方程（a﹣2）x2|a|﹣3+3＝﹣2是关于x的一元一次方程，则这个一元一次方程为（　　） A．4x+3＝﹣2 B．﹣4x+3＝﹣2 C．4x﹣3＝﹣2 D．﹣4x2+3＝﹣2 5．（2024春•项城市期末）若3xm+（n﹣2）y﹣5＝0是关于x的一元一次方程，则m+n＝　 　． 6．（2023秋•兴城市期末）若（|a|﹣1）x2+（a﹣1）x+3＝0是关于x的一元一次方程，则a＝　 　． 7．（2023秋•科左中旗校级期末）若关于x的方程（3﹣m）x2|m|﹣5+7x＝2是一元一次方程，则m＝　 　． 【考点2 等式性质的运用】 【方法点拨】等式的性质 性质1、等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式； 性质2、等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式． 应用时要注意把握两关：①怎样变形；②依据哪一条，变形时只有做到步步有据，才能保证是正确的． 【经典题型】 1．（2024秋•武汉期中）下列由等式的性质进行的变形，不正确的是（　　） A．如果x＝y，那么ax＝ay B．如果，那么x＝y C．如果x＝y，那么 D．如果ax+b＝ay+b，那么x＝y 2．（2023秋•瑶海区校级期末）下列等式的变形中，正确的是（　　） A．如果，那么a＝b B．如果|a|＝|b|，那么a＝b C．如果ax＝bx，那么a＝b D．如果a＝b，那么 3．（2024•船山区校级开学）下列等式根据等式的变形正确的有（　　） ①若a＝b，则ac＝bc；②若ac＝bc，则a＝b；③若，则a＝b；④若a＝b，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（2023秋•潮南区期末）如图，第一个天平的两侧分别放2个球体和5个圆柱体，第二个天平的两侧分别放2个正方体和3个圆柱体，两个天平都平衡，则6个球体的质量等于（　　）个正方体的质量． A．4 B．6 C．8 D．10 5．（2023秋•曲阳县期末）已知8m+3n+2＝4m+7n，利用等式的性质比较m与n的大小关系：m 　 　n（填“＞”“＜”“＝”）． 6．（2024秋•长安区期末）下列条件：①a+2＝b+2；②﹣3a＝﹣3b；③﹣a﹣c＝b+c；④ac﹣1＝bc﹣1；⑤，其中根据等式的性质可以推导出a＝b的条件有 　 　（填序号即可）． 7．（2024•乾县开学）已知〇、△、口分别代表不同物体，用天平比较它们的质量，如图所示．根据砝码显示的质量，求〇＝　 　g，□＝　 　g． 【考点3 一元一次方程的解法】 【方法点拨】 ①去分母：在方程两边乘各分母的最小公倍数，当分母是小数时，要先利用分数的基本性质把小数转化为整数，然后再去分母（依据：等式的性质2） ②去括号：先去小括号，再去中括号，最后去大括号（也可以先去大括号，再去中括号，最后去小括号）（依据：乘法分配律；去括号法则） ③移项：把含有未知数的项都移到方程的一边，常数项都移到方程的另一边（依据：等式的性质1） ④合并同类项：把方程化为的形式（依据：合并同类项的法则） ⑤系数化为1：在方程的两边都除以未知数的系数a，得到方程的解（依据：等式的性质2） 【经典题型】 1．（2024秋•西城区校级期中）解方程： （1）5x﹣2（x﹣1）＝x﹣2； （2）． 2．（2024秋•南岗区校级期中）解下列方程： （1）5（y﹣2）+4＝y﹣2（3+y）； （2）． 3．（2023秋•陇县期末）解方程： （1）3x﹣7（x﹣1）＝3﹣2（x+3） （2）x＝3 4．（2023秋•召陵区校级期中）解方程： （1）5（y+6）＝9﹣3（1﹣3y）； （2）． 5．（2024秋•镇海区校级期中）解方程： （1）2x﹣（x+10）＝5x； （2）． 6．（2023秋•石景山区期末）本学期学习了一元一次方程的解法，下面是小亮同学的解题过程： 解方程：． 解：原方程可化为：．…第①步 方程两边同时乘以15，去分母，得：3（20x﹣3）﹣5（10x+4）＝15．…第②步 去括号，得：60x﹣9﹣50x+20＝15．…第③步 移项，得：60x﹣50x＝15+9﹣20．…第④步 合并同类项，得：10x＝4．…第⑤步 系数化1，得：x＝0.4．…第⑥步 所以x＝0.4为原方程的解． 上述小亮的解题过程中 （1）第②步的依据是 　 　； （2）第 　 　（填序号）步开始出现错误，请写出这一步正确的式子 　 　． 7．（2024秋•台江区校级期中）在学习《求解一元一次方程》之后，老师在黑板上出了一道解方程的题，下面是小乐同学的解题过程，请仔细阅读并完成相应的任务． 解：3（x+1）﹣4（2x﹣1）＝2（5x+2）﹣12……第一步 3x+3﹣8x+4＝10x+4﹣12……第二步 3x﹣8x+10x＝4﹣12+3+4……第三步 5x＝﹣1……第四步 x第五步 填空： （1）以上解题过程中，第一步的变形的依据是 　 　；第二步去括号时依据的运算律是 　 　； （2）以上解题过程中从第 　 　步开始出现错误，这一步错误的原因是 　 　； （3）求该方程的正确解． 【考点4 一元一次方程含参问题】 1．（2024秋•越秀区校级期中）如果a、b是定值，且关于x的方程，无论k为何值时，它的解总是x＝1，那么2a+b的值是（　　） A．15 B．16 C．17 D．18 2．（2024春•德化县期末）已知关于x的一元一次方程5＝2024x+m的解为x＝2024，则关于y的一元一次方程2024（y﹣5）+5﹣m的解为（　　） A．y＝﹣2029 B．y＝2019 C．y＝﹣2019 D．y＝2029 3．（2023秋•沙坪坝区校级期末）若关于x的方程xb有无数个解，则ab的值为 　 　． 4．（2024春•渝北区校级月考）已知关于x的方程的解为负整数，则整数a的所有取值的和为 　 　． 5．（2024春•九台区校级月考）已知关于x的方程2kx+m＝x+4．当k、m为何值时： （1）方程有唯一解； （2）方程有无数个解； （3）方程无解． 6．（2024秋•北京期中）小涵在解关于x的一元一次方程时，发现正整数“□”被污染了，于是就去问同学小李，小李也记不清“□”的具体值了，只记得这个方程的解是正整数．小涵经过深入思考，想出了一个好办法，她将“□”设为m，通过计算，很快得到了□的值．你知道她是怎么计算的吗？请你求出□的值． 7．（2023秋•安康月考）已知和是关于x的一元一次方程，且有相同的解，求a的值和这个解． 【考点5 新定义方程】 1．（2024秋•南岗区校级期中）我们规定：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们称这两个方程为“仁爱”方程，例如：方程x+1＝0和2x﹣3＝1为“仁爱”方程． （1）方程4（x﹣1）﹣2＝2x和 　 　“仁爱”方程；（填“是”或“不是”） （2）关于x的一元一次方程2x+m＝0和5x+3＝2x+15是“仁爱”方程，求m的值； （3）关于x的一元一次方程和是“仁爱”方程，求关于y的一元一次方程的解． 2．（2024秋•香坊区校级期中）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程互为“统一方程”．例如，方程2x﹣1＝3的解为x＝2，方程x+1＝0的解为x＝﹣1，2+（﹣1）＝1，所以方程2x﹣1＝3与方程x+1＝0互为“统一方程”． （1）方程4x﹣（x+5）＝1与方程﹣2y﹣y＝3互为“统一方程”吗？请说明理由； （2）若关于x方程2x﹣n+3＝0与方程x+5n﹣1＝0互为“统一方程”，求n的值． 3．（2024秋•香坊区校级期中）如果两个一元一次方程的解互为相反数时，则称这两个方程为“友好方程”． 如：一元一次方程x+2＝3的解为x＝1；一元一次方程1﹣2x＝3的解为x＝﹣1，则称一元一次方程x+2＝3和1﹣2x＝3为“友好方程”． （1）判断一元一次方程2x＝4x+8和2（x+2）＝3x是否为“友好方程”． （2）如果方程①2（x﹣1）﹣n＝0②x﹣1﹣m2＝0都是关于x的一元一次方程，它们是否会与2（x+2）＝3x为“友好方程”，并求出能成为“友好方程”时m或n的值，如果不能，请说明理由？ 4．（2024秋•镇海区校级期中）定义：如果两个一元一次方程的解互为倒数，则称这两个方程互为“优雅方程”．例如：2x＝4和2x﹣1＝0互为“优雅方程”． （1）判断：x+1＝0 　 　（填“是”或“不是”）﹣3x+5＝4x+12的“优雅方程”． （2）若方程2（x+4）﹣9＝0与关于x的方程2x﹣（a+10）＝6x互为“优雅方程”，求a的值． （3）若两个关于x的方程mx+2＝1（m为正整数）与1＝7﹣nx（n为负整数）互为“优雅方程”，求出所有满足条件的m、n的值． 5．（2024秋•南岗区校级月考）解一元一次方程时，发现这样一种特殊情况：的解为，恰巧，我们将这种类型的方程做如下定义：如果一个方程ax+b＝c的解满足x＝a+b﹣c，则称它为“巧合方程”，请解决以下问题． （1）请判断方程是否是巧合方程：　 　（直接写“是”或“不是”）； （2）已知方程是巧合方程，请求出b的值； （3）若4x+m＝n和都是巧合方程，请求出2mn﹣m+n的值． 6．（2023秋•东台市期末）定义：关于x的方程ax﹣b＝0与方程bx﹣a＝0（a、b均为不等于0的常数）称互为“伴生方程”，例如：方程2x﹣1＝0与方程x﹣2＝0互为“伴生方程”． （1）若关于x的方程2x﹣3＝0与方程3x﹣c＝0互为“伴生方程”，则c＝　 　； （2）若关于x的方程4x+3m+1＝0与方程5x﹣n+2＝0互为“伴生方程”，求m、n的值； （3）若关于x的方程5x﹣b＝0与其“伴生方程”的解都是整数，求整数b的值． 7．（2023秋•铁西区期末）如果两个方程的解相差1，则称解较大的方程为另一个方程的“后移方程”．例如：方程x﹣2＝0是方程x﹣1＝0的后移方程． （1）判断方程2x+1＝0是否为方程2x+3＝0的后移方程 　 　（填“是”或“否”）； （2）若关于x的方程3x+m+n＝0是关于x的方程3x+m＝0的后移方程，求n的值． （3）当a≠0时，如果方程ax+b＝0是方程ax+c＝0的后移方程，用等式表达a，b，c满足的数量关系 　 　． 【考点6 一元一次方程的应用（根据题中数量关系列方程）】 1．（2024秋•南岗区校级期中）有一些相同的房间需要用地板装修地面，每一天4名熟练的装修工人可装修5间房，结果还剩3m2未能装修；每一天6名初级装修工人除了能装修7间房以外，还可以多装修5m2．若一名熟练工人每天比一名初级工人多装修3m2，设每个房间地面面积x m2，一名初级工人每天装修ym2，下列方程中正确的有（　　） ①；②；③；④ A．①③ B．②④ C．①④ D．②③ 2．（2024秋•上海期中）一天，妙妙去问奶奶的年龄，奶奶说：“我若是你现在这么大，你还要35年才出生；你若是我现在这么大，我就118岁啦！”，请问奶奶现在的年龄是 　 　岁． 3．（2024秋•南岗区校级月考）我市计划把某一段公路的一侧全部换上丁香树，要求路的两端各栽一棵，并且每两棵树的间隔相等．如果每隔5米栽1棵，则树苗缺21棵；如果每隔6米栽1棵，树苗正好用完，道路共 　 　米． 4．（2024•中山市三模）中国古代人民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中《孙子算经》中有个问题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？其大意是：今有若干人乘车，每三人共乘一车，最终剩余2辆车；若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘．问共有　 　辆车． 5．（2024秋•永登县期中）为了全面提高学生的综合素养，启迪学生的数学思维，我校初一年级开展了“数学核心素养竞赛——有理数计算”活动，设立特等奖和一、二等奖共87人，其中二等奖人数比一等奖人数的2倍多10人．设一等奖的人数为x人． （1）请用含x的代数式表示：特等奖人数是 　 　人，二等奖人数是 　 　人（结果化为最简）； （2）若特等奖奖品的单价为18元，一等奖奖品的单价为16元，二等奖奖品的单价为12元，请用含x的代数式表示该校本次购买所有奖品需要的总费用，并将结果化为最简； （3）在（2）的基础上，若一等奖的人数为20人，则该校本次购买所有奖品共花费多少元？ 6．（2024秋•南岗区校级期中）七年级四班共有学生48人，其中男生人数比女生人数多2人，劳技课上，老师组织同学们自己动手设计制作便携式垃圾盒，每名学生一节课能做盒身11个或盒底26个． （1）七年级四班有男生和女生各多少人？ （2）原计划女生负责做盒身，男生负责做盒底，每个盒身匹配2个盒底，那么这节课做出的盒身和盒底不能完全配套，最后决定男生去支援女生，问有多少男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套． 7．（2024秋•香坊区校级期中）列一元一次方程解决实际问题（两问均需用方程求解） 第九届亚洲冬季运动会于2025年在中国黑龙江省哈尔滨市举行，而有着少数民族风格的“滨滨”“妮妮”吉祥物盲盒颇受大众关注．现有工厂生产吉祥物的盲盒，分为A、B两种包装，该工厂共有1000名工人． （1）若该工厂生产盲盒A的人数比生产盲盒B的人数的2倍少200人，请求出生产盲盒B的工人人数； （2）为了促销，工厂按商家要求生产盲盒大礼包，该大礼包由2个盲盒A和3个盲盒B组成．已知每个工人平均每天可以生产20个盲盒A或10个盲盒B，且每天只能生产一种包装的盲盒．该工厂应该安排多少名工人生产盲盒A，多少名工人生产盲盒B才能使每天生产的盲盒正好配套？ 【考点7 一元一次方程的应用（根据常见公式列方程）】 1．（2024秋•两江新区校级月考）张先生向商店订购某种商品80件，每件定价100元．张先生向商店经理说：“如果你肯减价，每减价1元，我就多订购4件．“商品店经理算了一下，如果减价5%，由于张先生多订购，仍可获得与原来一样多的利润，则这种商品的成本是 　 元． 2．（2024秋•南岗区校级月考）已知：商品利润率，某商人经营甲、乙两种商品，每件甲种商品的利润率为80%，每件乙种商品的利润率为50%，当售出的乙种商品比售出的甲种商品的件数多20%时，这个商人得到的总利润率为60%，甲、乙两种商品进价的比值是 　　． 3．（2024秋•香坊区校级期中）甲、乙两城相距780千米，一辆货车和一辆客车分别从两城同时出发，相向而行．货车每小时行50千米，货车每小时行驶的路程比客车每小时行驶的路程少，从出发开始经过 　 　小时两车相距130千米． 4．（2024秋•南岗区校级期中）萧红中学社团活动开展的如火如荼，七年级无人机小组两名同学小汐和小岑，准备利用周日时间，制作一架无人机．小汐单独做3小时完成，小岑单独做5小时完成．为了不影响休息，所以两人准备一起先完成前的工作量，求两位同学应该合作几小时？ 5．（2024秋•上海期中）一个水池有甲、乙、丙三个水管，单开甲管6小时可以将空池注满；单开乙管4小时可以将空池注满；单开丙管12小时可以把满池的水放完；现在水池里有的水，开放乙、丙两管2小时后，三管齐开，求再过多少小时可以把水池注满？ 6．（2024春•嘉定区期末）从夏令营营地到学校，先下山再走平路，一少先队员骑自行车以每小时12千米的速度下山，以每小时9千米的速度通过平路，共用了55分钟；回来时，通过平路的速度不变，但以每小时6千米的速度上山，共花去了1小时10分钟，问营地到学校有多少千米． 7．（2024秋•汉阳区期中）甲、乙两人分别从AB两地同时出发，相向而行，出发时甲和乙的速度比是3：2，相遇后甲的速度提高，乙的速度提高，当甲到达B地时，乙离A地还有26km，两地相距多少千米？ 【考点8 一元一次方程的应用（根据题中的规律列方程）】 1．（2024秋•浙江期中）相传有神龟出于洛水，其背上有此图案（图1），史称“洛书”，图2是洛书的数字表示．这也就是术数中常说的“九宫格”，就是将已知的9个数填入3×3的方格中，使每一行、每一列以及两条斜对角线上的数字之和都相等．在图3的“九宫格”中也有类似于图2的数字之和的这个规律，则x的值为（　　） A．﹣3 B．﹣8 C．5 D．9 2．（2024秋•江阴市期中）如图，在探究“幻方”、“幻圆”的活动课上，学生们感悟到我国传统数学文化的魅力．一个小组尝试将数字﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，5，6这12个数填入“六角幻星”图中，使6条边上四个数之和都相等．部分数字已填入圆圈中，则a的值为 　 　． 3．（2024秋•雁塔区校级期中）将连续的奇数1，3，5，7，9，…排成如图所示的数表，记Pmn表示第m行第n个数，如，P32表示第3行第2个数是27． （1）P56＝ 　 　． （2）若将数表中的7字形框上下左右移动，当T字形框中的四个数之和等于288时，求出四个数中的最大数； （3）用含m，n的代数式表示Pmn＝ 　 　． 4．（2024秋•宿城区期中）三阶幻方是最基础的幻方，又叫九宫格，要求由连续的九个整数组成一个三行三列的数阵，其对角线、横行、纵行的和都相等． （1）如图1，请用1﹣9这九个整数填写幻方数阵； （2）如图2，一初慧泉中学数学兴趣小组的同学发现，对于三阶幻方，任何一个角上的数（如数a）都等于与这个数不在同一横行、竖列及对角线上的两个数（如数b、c）之和的一半，即a（b+c），你认为他们的发现正确吗？说说你的道理； （3）如图3，一初慧泉中学数学兴趣小组的同学研究了一个变形幻方，要求填入连续的8个整数，使每一横行（3个数）、每一纵行（3个数）以及外圈（4个数）的和都相等，请你填写出这8个数． 5．（2024秋•邳州市期中）三阶幻方又叫九宫格，它是由九个数字组成的一个三行三列的矩阵．三阶幻方有“和幻方”和“积幻方”之分．“和幻方”，指其每一横行、每一竖列、每条斜对角线上的三个数字之和均相等；“积幻方”，指其每一横行、每一竖列、每条斜对角线上的三个数字之积均相等． （1）如图1是一个“和幻方”，则a＝ 　 　，b＝ 　 　； （2）如图2是一个“积幻方”，求mn的值． 6．（2024秋•东西湖区期中）观察下面有规律排列的三行数： （1）第一行数中，第7个数是 　 　，第二行数中，第7个数是 　 　，第三行数中，第7个数是 　 　； （2）取每行数的第2024个数，计算这三个数的和是多少？ （3）如图，在第二行、第三行数中，用两个长方形组成“阶梯形”方框，框住4个数，左右移动“阶梯形”方框，是否存在框住的4个数的和为﹣5118，若存在，求这四个数，若不存在，请说明理由． 7．（2024秋•西城区校级期中）如图所示，将从1开始的自然数按某种规律填入方格表中，从上到下依次为第1行，第2行，……；从左到右依次为第1列，第2列，……． 请回答： （1）第6行第5列的数字是　 　；数字58在　 　行　 　列； （2）第m行第n列的数字是　 　； （3）用形如正方形的框框出9个数字，这9个数字的和能否等于234？如果可以，求出位于正方形框中心的数字；如果不可以，请说明理由． 【考点9 一元一次方程的应用（分段计费问题）】 1．（2024秋•杭州期中）某市居民用电电费目前实行梯度价格表． 每月用电量 单价 不超出180千瓦时的部分 0.5元/千瓦时 超出180千瓦时不超出400千瓦时的部分 0.6元/千瓦时 超出400千瓦时的部分 0.8元/千瓦时 （1）若月用电140千瓦时，应交电费　 元，若月用电240千瓦时，应交电费　 元； （2）若居民王大爷家12月用电量为x千瓦（x＞400），请计算他们家12月应缴电费　 元（用含x的代数式表示）； （3）若居民李大爷家11、12月份共用电380千瓦时（其中11月份用电量少于12月份），设11月用电a千瓦时（80＜a＜180），求李大爷11、12月共交电费多少元？（用含a的代数式表示，并化简） 2．（2024秋•黄埔区期中）水果批发市场批发丰水梨的价格如表： 购买丰水梨（千克） 单价 不超过10千克的部分 9元/千克 超过10千克但不超过20千克的部分 8元/千克 超过20千克的部分 6元/千克 （1）若陈阿姨第一次购买丰水梨5千克，需要付费 　 　元； 第二次购买丰水梨15千克，需要付费 　 　元； 第三次购买丰水梨x千克（x超过20千克），需要付费 　 　元（化简结果用含x的式子表示）． （2）若陈阿姨购买丰水梨花了200元，求她买了多少千克的丰水梨？ （3）若陈阿姨分两次共购买50千克的丰水梨，且第一次购买的数量为a千克（0＜a≤20），请问她这两次购买丰水梨共需要付多少元？（化简结果用含a的式子表示） 3．（2024秋•金水区期中）网约车已成为人们出行的首选便捷工具，某网约车行车计费规则如下表： 项目 时长费 里程费 远途费 单价 0.5元/分钟 1.6元/千米 0.4元/千米 乘客车费由时长费、里程费、远途费三部分构成．其中时长费按行车实际时间计算；里程费按行车的实际里程计算；远途费收取标准如下：行车里程10千米以内（含10千米），不收远途费，超过10千米的，超出部分每千米收0.4元． （1）张老师乘坐该网约车，行车里程为20千米，行车时间为30分钟，需付车费 　 　元； （2）若小明乘坐该网约车，行车里程为a千米，行车时间为b分钟．请用含a，b的代数式表示车费，并化简：当a≤10时，小明应付车费 　 　元；当a＞10时，小明应付车费 　 　元； （3）小明和张老师都乘坐该网约车，行车里程分别是7.5千米和12千米，如果两人所付车费相同，那么两人所乘的两辆网约车的行车时间相差 　 　分钟． 4．（2024秋•南海区期中）美团外卖骑手分为专职和兼职两种，专职骑手月工资4000元保底，每送一单外卖可再得3元；兼职骑手没有保底工资，每送一单外卖可得4元，小张是一名专职美团骑手，小李是一名兼职美团骑手． （1）若10月小张和小李送出的外卖单数相同，且小张比小李多收入了2500元，求小张送出了多少单外卖． （2）根据国家个人所得税率标准，工资超过5000时，需要交纳个人所得税，税率如表所示： 级数 工资范围 个人税率 1 不超过5000元 0 2 超过5000元至不超过8000元的部分 3% 3 超过8000元至不超过17000元的部分 10% … … … 问题：如果小张在11月交了200元的个人所得税，请问小张在11月送出了多少单外卖？ 5．（2024秋•丽水期中）为了节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计量，将居民的每月生活用水水价分为三个等级：一级：20吨及以下，二级：大于20吨，不超过30吨，三级：30吨以上．以下是小青家水费发票的部分信息：（居民生活水费＝自来水费+污水处理费） （1）从以上信息可知，水费的收费标准（含污水处理费）：每月用水20吨及以内为 　 　元/吨，每月用水20～30吨（含30吨）为 　 　元/吨，30吨及以上为 　 元/吨． （2）随着气温的降低，小青家的用水量也在逐步下降，已知2024年2月份小青家所缴的水费为55.20元，请你计算小青家该月份的用水量为多少吨？ （3）为了提倡节约用水，小青家打算将水费控制在不少于48元，不超过74元，那么用水量应该如何控制？ 丽水市xx县自来水公司水费专用发票联 计费日期：2023﹣07﹣01至2023﹣08﹣11 付款期限： 上期抄见数 本期抄见数 加原表用水量/吨 本期用水量/吨 884 919 35 自来水费 污水处理费 用水量/吨 单价/元 金额/元 用水量/吨 单价/元 金额/元 阶梯一20 1.3 26.00 20 0.50 10.00 阶梯二10 19.00 10 0.50 5.00 阶梯三5 15.00 5 0.50 2.50 本期实付金额 （大写）柒拾柒元伍角整77.50元 6．（2024秋•建湖县期中）为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控的手段达到节水的目的，该市自来水收费的收费标准如表： 收费标准（注：水费按月份结算） 每月用水量 单价（元/立方米） 不超出6立方米的部分 2 超出6立方米不超出10立方米的部分 4 超出10立方米的部分 8 例如：某户居民1月份用水8立方米，应收水费为2×6+4×（8﹣6）＝20（元） 请根据上表的内容解答下列问题： （1）若某户居民2月份用水7立方米，则应收水费 　 元 （2）若某户居民4月份用水a立方米（其中6＜a≤10），请用含a的代数式表示应收水费 　 ． （3）若某户居民3月份交水费60元，则3月份用水量为 　 　立方米； （4）若某户居民5、6两个月共用水18立方米（6月份用水量超过了10立方米），设5月份用水x立方米，请用含x的代数式表示该户居民5、6两个月共交水费多少元？ 【考点10 一元一次方程的应用（方案最优化问题）】 1．（2023秋•武都区期末）红领巾球馆计划购买某品牌的乒乓球拍和乒乓球．已知该品牌的乒乓球拍每副定价150元，乒乓球每盒定价15元．元旦期间该品牌决定开展促销活动，活动期间向客户提供两种优惠方案，即 方案一：买一副乒乓球拍送两盒乒乓球； 方案二：乒乓球拍和乒乓球都按定价的90%付款． 该球馆计划购买乒乓球拍10副，乒乓球x盒（x＞20，x为整数）． （1）当x＝40时，若该球馆按方案一购买，需付款 　 　元；若该球馆按方案二购买，需付款 　 　元； （2）当x为何值时，分别用两种方式购买所需费用一样？ （3）若x＝40，能否找到一种更为省钱的购买方案？如果能，请你写出购买方案，并计算出此方案所需费用；如果不能，请说明理由． 2．（2023秋•潮阳区期末）某企业加工一批员工制服，现有甲、乙两个加工厂都想加工这批制服，已知甲工厂每天能加工这种制服18套，乙工厂每天能加工这种制服27套，且单独加工这批制服甲厂比乙厂要多用10天．在加工过程中，企业需付甲厂每天费用80元、付乙厂每天费用120元． （1）求这批制服共有多少套． （2）为了尽快完成这批制服，先由甲、乙两厂按原生产速度合作一段时间后，甲工厂停工，而乙工厂每天的生产速度提高，乙工厂单独完成剩余部分，且乙工厂的全部工作时间是甲工厂工作时间的2倍还少7天，求乙工厂共加工多少天． （3）经企业研究决定制定如下方案：方案一：由甲工厂单独完成：方案二：由乙工厂单独完成：方案三：按（2）问方式完成：并且每种方案在加工过程中，每个工厂需要一名工程师进行技术指导，并由企业提供每天15元的午餐补助费，请你通过计算帮企业选择一种最省钱的加工方案． 3．（2023秋•荔湾区期末）为进一步加强学生“学党史、知党情、跟党走”的信心，培养学生的民族精神和爱国主义情怀，某学校组织开展以“观看红色电影，点燃红色初心”为主题的教育活动．电影票价格表如下： 购票张数 1至40 41至80 80以上 每张票的价格 20元 18元 免2张门票，其余每张17元 该校七年级两个班共有83名学生去看电影，其中七（1）班的学生人数超过30，但不足40． （1）如果两个班都以班为单位单独购票，一共付了1572元．求七（2）班学生的人数； （2）在（1）所得的班级学生人数下，如果七（1）班有7名学生因有比赛任务不能参加这次活动，请你为两个班级设计购买电影票的方案，并指出最省钱的方案． 4．（2023秋•和县期末）冬季已经来临，学校准备组织七年级学生参观冰雪大世界．参观门票学生票价为160元，冰雪大世界经营方为学校推出两种优惠方案，方案一：“所有学生门票一律九折”；方案二：“如果学生人数超过100人，则超出的部分打八折”． （1）求参观学生为多少人时，两种方案费用一样． （2）学校准备租车送学生去冰雪大世界，如果单独租用45座的客车若干辆，则有15人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出一辆，且其余客车恰好坐满，求我校七年级共有多少学生参观冰雪大世界？（司机不占用客车座位数） （3）在（2）的条件下，学校采用哪种优惠方案购买门票更省钱？ 5．（2023秋•曲阳县期末）甲、乙两城相距800千米，一辆客车从甲城开往乙城，车速为a（0＜a＜100）千米/小时，同时一辆出租车从乙城开往甲城，车速为90千米/小时，设客车行驶时间为t（小时） （1）当t＝5时，客车与乙城的距离为 　 　千米（用含a的代数式表示） （2）已知a＝70，丙城在甲、乙两城之间，且与甲城相距260千米 ①求客车与出租车相距100千米时客车的行驶时间；（列方程解答） ②已知客车和出租车在甲、乙之间的服务站M处相遇时，出租车乘客小王突然接到开会通知，需要立即返回，此时小王有两种返回乙城的方案： 方案一：继续乘坐出租车到丙城，加油后立刻返回乙城，出租车加油时间忽略不计； 方案二：在M处换乘客车返回乙城． 试通过计算，分析小王选择哪种方案能更快到达乙城？ 6．（2023秋•邵阳期末）为准备春节文艺汇演，甲、乙两所学校共92名学生（其中甲校学生多于乙校学生，且甲校学生不够90名）准备统一购买服装参加演出，下面是服装厂给出的演出服装的价格表： 购买服装的套数 1套至45套 46至90套 91套及以上 每套服装的价格 60元 50元 40元 如果两所学校分别单独购买服装，一共应付5000元． （1）甲、乙两校各有多少名学生准备参加演出？ （2）如果两校联合起来购买服装，那么比各自购买服装共可以节省多少钱？ （3）如果甲校有6名学生被调去参加书法比赛不能参加演出，请你为两校设计购买服装方案，并说明哪一种最省钱． 7．（2023秋•兴宾区期末）某地生产一种绿色蔬菜，若在市场上直接销售，每吨利润为0.1万元；经粗加工后销售，每吨利润可达0.5万元；经精加工后销售，每吨利润涨至0.8万元．当地一家蔬菜公司收购这种蔬菜120吨，该公司加工厂的生产能力是：如果对蔬菜进行粗加工，每天可加工14吨：如果进行精加工，每天可加工5吨，但两种加工方式不能在同一天同时进行，受季节条件限制，公司必须在15天内将这批蔬菜全部销售或加工完毕，为此，公司研制了三种可行方案： 方案一；将蔬菜全部进行粗加工． 方案二：尽可能多的对蔬菜进行精加工，没来得及进行加工的蔬菜在市场上直接销售． 方案三：将部分蔬菜进行精加工，其余蔬菜进行粗加工，并恰好15天完成． 你认为哪种方案利润最大，为什么？ 【考点11 一元一次方程的应用（动点问题）】 1．（2024秋•镇江期中）如图已知数轴上点A、B分别表示a、b，且|b+6|与（a﹣9）2互为相反数，O为原点．若电子蚂蚁M、N分别从点A、B同时出发，点M以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，点N以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动． （1）a＝ 　 　，b＝ 　 　； （2）若电子蚂蚁N向右运动遇到电子蚂蚁M就会按原速返回，返回至点B后立刻原速向右运动，遇到电子蚂蚁M就会按原速返回，返回至点B后立刻原速向右运动…，循环运动一直到电子蚂蚁M运动到点B处结束，此时电子蚂蚁N的运动路程为 　 　； （3）电子蚂蚁N到点A后立刻按原来的速度改变方向向左运动，设运动时间为t（t＞0）秒． ①求t为何值时，电子蚂蚁M、N与A的距离相同； ②求t为何值时，电子蚂蚁M与N相距4个单位长度，直接写出答案． 2．（2024秋•海珠区期中）如图，A，B两点在数轴上分别表示有理数a，b，且满足|a+3|+（b﹣9）2＝0，点O为原点． （1）请直接写出a＝　 　，b＝　 　； （2）一动点P从A出发，以每秒2个单位长度向左运动，一动点Q从B出发，以每秒3个单位长度向左运动，设运动时间为t（秒）． ①试探究：P、Q两点到原点的距离可能相等吗？若能，请直接写出t的值；若不能，请说明理由； ②若动点Q从B出发后，到达原点O后保持原来的速度向右运动，当点Q在线段OB上运动时，分别取OB和AQ的中点E，F，试判断的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 3．（2024秋•南沙区期中）已知式子M＝（a﹣16）x3+20x2+10x+5是关于x的二次多项式，且二次项的系数为b，在数轴上有A，B，C三个点，且点A，B，C三点所表示的数分别为a，b，c，如图所示，已知AC＝6AB． （1）a＝ 　 　，b＝ 　 　，c＝ 　 　； （2）若点P到A点的距离是点P到B点的距离的2倍，求点P的对应的数； （3）动点P从C出发，以每秒1个单位的速度向右移动，设移动时间为t秒．当点P运动到A点时，点Q也从C点出发，以每秒4个单位的速度向右运动，Q点到达B点后，再立即以同样的速度返回，运动到终点C．在点Q开始运动后第几秒时，P，Q两点之间的距离为8？请说明理由． 4．（2024秋•香洲区校级期中）【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A，点B表示的数分别为a，b，则A，B两点之间的距离AB＝|a﹣b|，线段AB的中点表示的数为； 【问题情境】如图，已知数轴上有A、B两点，分别表示的数为﹣10，6，点P以每秒2个单位长度的速度从点A出发沿数轴向右匀速运动，点Q以每秒1个单位长度从点B出发沿数轴向左匀速运动，当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，设运动时间为t秒（t＞0）． （1）A、B两点的距离为 　 　个单位长度；线段AB的中点M所表示的数为 　 　； （2）当t＝2时，求出此时P，Q两点在数轴上表示的数； （3）用含t的代数式表示P，Q两点在数轴上对应的数； （4）求出当t为何值时，P，Q两点的距离为5． 5．（2024秋•靖江市校级期中）【背景知识】若数轴上的点A、点B表示的数分别为a、b，则A，B两点之间的距离为|a﹣b|，线段AB的中点表示的数为． 利用数形结合思想解决下列问题：如图，数轴上点A表示的数为﹣2，点B表示的数为10，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t秒（t＞0）． （1）填空：A、B两点间的距离AB＝ 　 　，线段PQ的中点表示的代数式为 　 　； （2）若点M为PA的中点，点N为QB的中点，在运动过程中，当t为何值时，； （3）点P从A点向右匀速运动，同时点Q从B点向左匀速运动，P到B后以每秒4个单位长度的速度沿数轴向A匀速运动，到达A后停止运动，在此运动过程中P、Q两点之间的距离能否为2个单位．如果能，请求出此时点P表示的数；如果不能，请说明理由． 6．（2024秋•广州期中）初一年级开设了丰富多彩的选修课，佳佳同学在“数学实验与探究”课上借助两根木棒PQ、MN研究数轴上的动点问题： 如图，数轴上有A，B，C三个点，分别表示有理数﹣24，﹣10和12、佳佳把两根木棒放在数轴上，使点Q与点A重合，点N与点B重合，点P在点Q的左边，点M在点N的左边，且PQ＝2，MN＝6．木棒MN从点B开始一直向右以每秒1个单位的速度匀速运动；木棒PQ同时从点A开始向右以每秒3个单位的速度匀速运动，当点Q运动到C时，木棒PQ立即以每秒2个单位的速度返回（返回过程中，仍然保持点P在点Q的左边），当点Q再次运动到点A时，两根木棒立即同时停止运动，设运动时间为t秒． （1）当t＝16时，点N表示的数为 　 ，点P表示的数为 　 　； （2）在整个运动的过程中，当线段PM和线段QN的长度之和为12时，求出对应的t的值； （3）点D为木棒PQ上一点，在整个运动过程中，是否存在某些时间段，使得点D到点P、Q、M、N的距离之和为一个定值？若存在，请求出这个定值和持续的总时长；若不存在，请说明理由． 7．（2024秋•天津期中）【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形进行完美地结合．研究数轴我们发现了很多重要的规律．如数轴上点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，则A、B两点之间的距离表示为AB＝|a﹣b|． 【综合运用一】如图，数轴上点E表示为﹣3，点F表示为2． （1）线段EF的长度是 　 　． （2）若x表示任意一个有理数．利用数轴回答下列问题： ①当|x+3|+|x﹣2|＝7，则x＝ 　 　． 式子|x+3|+|x﹣2|是否存在最小值？若不存在，请说明理由；若存在，请直接说出x的取值范围，并化简求出最小值？ 【综合运用二】已知点A、B、C为数轴上三个点，表示的数分别是a，b，c，满足（c﹣7）2+|b﹣13|＝0，且a为的倒数． （1）a＝ 　 　，b＝ 　 　，c＝ 　 　； （2）若动点P从点A出发沿数轴正方向运动，动点Q同时从点B出发也沿数轴正方向运动，点P的速度是每秒3个单位长度，点Q的速度是每秒2个单位长度．设运动的时间为t秒（t＞0）． ①用含t的式子表示：t秒后，点P表示的数为 　 　，点Q表示的数为 　 　； ②当PO＝6时，求t的值． （3）在（2）的条件下，P、Q出发的同时，动点M从点C出发沿数轴正方向运动，速度为每秒5个单位长度，点M追上点Q后立即返回沿数轴负方向运动．求点M追上点Q后再经过几秒，MQ＝2MP？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！16 学科网（北京）股份有限公司 $$