特训12 （一模）第19-23题 押题篇（上海最新精选，十大题型）-2024-2025学年九年级数学上学期期中期末挑战满分冲刺卷（沪教版，上海专用）

特训12 （一模）第19-23题 押题篇（上海最新精选，十大题型） 目录： 题型1: 第19-20题-1 特殊锐角三角比的运算 题型2: 第19-20题-2 比例线段 题型3: 第19-20题-3 三角形一边的平行线 题型4: 第19-20题-4 平面向量的线性运算 题型5: 第21-22题-1 解直角三角形 题型6: 第21-22题-2 解直角三角形的应用 题型7: 第21-22题-3 二次函数 题型8： 第23题-1 相似三角形的判定与性质 题型9： 第23题-2 相似三角形的判定与性质与特殊平行四边形结合 题型10：附加篇—圆与正多边形 题型1: 第19-20题-1 特殊锐角三角比的运算 1．计算： 【答案】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．根据特殊角的三角函数值进行计算即可． 【解析】解： ． 2．计算: 【答案】 【分析】将特殊角的三角函数值代入原式进行计算即可． 本题朱啊哟考查了特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． 【解析】解： ． 3．计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了特殊角度的锐角三角函数值的混合运算．先将各个特殊角度的锐角三角函数值化简，再进行计算即可． 【解析】解： ． 4．计算：． 【答案】 【分析】根据特殊角的三角函数值代入计算，化简解答即可． 本题考查了特殊角的三角函数值，分母有理化，二次根式的化简，熟练掌握三角函数值，分母有理化是解题的关键． 【解析】解： ． 题型2: 第19-20题-2 比例线段 5．已知三条线段，，满足，且. (1)求，，的值； (2)若线段是线段和的比例中项，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了比例的性质，比例线段； （1）设，用含的代数式分别表示出，再由，建立关于的方程，解方程求出的值，从而可求出的值； （2）由已知线段 是线段 和 的比例中项，可得到，代入计算求出的值． 【解析】（1）解：设，则， ∵ ∴ 即， 解得：， ∴； （2）解：∵线段是线段和的比例中项， ∴， ∵ ∴． 6．已知：． (1)求代数式的值； (2)当时，求a、b的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．令即可求解． （1）把代入即可求值； （2）把代入求出的值，即可得到答案． 【解析】（1）解：， 令， 原式； （2）解：， 令， 故， 解得， 7．已知 是的三边长，且， 求： (1)的值． (2)若的周长为24，求各边的长并判断该三角形的形状． 【答案】(1) (2),是直角三角形 【分析】此题主要考查了比例的性质，正确表示出各边长是解题关键． （1）直接设，，，进而代入求出答案； （2）直接设，，，利用周长建立等式求解，进而代入求出答案． 【解析】（1）解：， 设，，， ； （2）解：设，，， 的周长为24， 可得， 解得， ， ， 是直角三角形． 8．已知点C在线段AB上，且满足． (1)若AB=1，求AC的长； (2)若AC比BC大2，求AB的长． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据已知可得点C是线段AB的黄金分割点，从而可得AC=AB，然后进行计算即可解答； （2）根据已知可设AC=x,则BC=x-2，从而可得AB=2x-2，然后根据，可得，从而进行计算即可解答． 【解析】（1）∵点C在线段AB上，且满足， ∴点C是线段AB的黄金分割点， ∴AC=AB=， ∴AC的长为； （2）∵AC比BC大2， ∴设AC=x,则BC=x-2， ∴AB=AC+BC=2x-2， ∵， ∴， 解得：（舍去）， ∴AB=2x-2=， ∴AB的长为． 【点睛】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键． 9．若实数满足，求的值． 【答案】8或． 【分析】观察 与 发现，后者是通过前者相乘得来，那么只要找出的值解出，因此设，通过变换化为那么可能是或对这两种情况分别讨论求解即可． 【解析】解：∵， ∴， 设， 则， ， ， 即， 所以或， 当时，则， ，同理，， 所以 ； 当时， 所以 ， 综上，值为8或． 【点睛】本题考查了比例的性质，分式的化简求值，做好本题的关键是找出a、b、c三个变量间的关系，因而假设得到或． 题型3: 第19-20题-3 三角形一边的平行线 10．如图，已知直线，直线和被、、所截．若，，． (1)求、的长； (2)如果，，求的长． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据平行线间线段成比例即可求出答案； （2）如图，先将平移经过A点，把线段分成和两部分求解即可． 【解析】（1）∵直线， ∴， ∵，，， ∴， ∴． ∴长为，长为． （2）如图，将直线向左平移到直线交于H点，交于G点， ∵，，， ∴， 又， ∴， ∴， ∵，， ∴, ∴， ∴， ∴的长为． 【点睛】本题考查平行线间线段成比例定理，熟练掌握线段中的比例关系是解题关键． 11．如图，已知，与相交于点，点在线段上，，． (1)求证：； (2)求． 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】（1）由，推出，得到，即可得到； （2）由，推出，由，推出，据此即可求解． 【解析】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 12．如图，直线分别交直线于点A、B、C，交直线于点D、E、F，且． (1)如果，，求的长． (2)如果，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，能熟练地运用定理进行计算是解此题的关键． （1）利用平行线分线段成比例定理求得，可求得的长，进一步可求得的长． （2）利用平行线分线段成比例定理求得，代入数值可求得的长． 【解析】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 13．如图，在菱形中，点、、、分别在边、、、上，，，． (1)求证：； (2)分别连接、，求证：四边形是等腰梯形． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查了菱形的性质，等腰梯形的判定 （1）连结，可得，，进而即可得到结论； （2）欲证明四边形是等腰梯形，只需推知，，即可． 【解析】（1）证明：连结． ∵四边形是菱形， ∴； 又，， ∴，； ∴，； ∴． （2）证明：连接 ∵， ∴； ∵， ∴； 又， ∴； 又， ∴四边形是梯形； ∵,即； 又∵，即； ∵四边形是菱形， ∴； ∴； ∴； ∴梯形是等腰梯形． 14．如图，已知点A、C、E和点B、F、D分别是∠O两边上的点，且，，、交于点M，、交于点N． (1)求证：； (2)若，，求线段的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据平行线分线段成比例定理，由得到，由得到，所以，即＝，于是可判断； （2）先利用得到＝，则可设，再由得到，，所以，接着由得到，于是可设，则，然后证明四边形为平行四边形得到，最后利用得到，求出a从而得到的长． 【解析】（1）证明：∵， ∴， 即， ∵， ∴， 即， ∴， 即， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵， 即， 解得， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，平行线分线段成比例定理．平行线分线段成比例定理指的是两条直线被一组平行线所截，截得的对应线段的长度成比例． 题型4: 第19-20题-4 平面向量的线性运算 15．如图，点在平行四边形的边的延长线上，且，与交于点．设． (1)用向量、表示向量； (2)求作：向量分别在向量、方向上的分向量．（不要求写作法，但要保留作图痕迹，并指出所作图中表示结论的分向量） 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）根据平行四边形的性质 且．且，根据三角形法则得出； （2）作，，根据平行四边形法则，得出向量为向量分别在向量、方向上的分向量，即可求解． 【解析】（1）解：∵， ∴且．且 ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图所示，作,，根据平行四边形法则， 向量为向量分别在向量、方向上的分向量 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，平面向量的线性计算，掌握平面向量的线性运算是解题的关键． 16．如图，在梯形中，点E、点F分别在边、边上，，平分，边于点G．已知． (1)求的长； (2)填空：连接交于点H，如果，那么_____（用含的式子表示结果） 【答案】(1)10 (2) 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理及推论，向量的线性运算，等腰三角形的判定： （1）平行线和角平分线可构造出等腰三角形，据此求出，再根据平行线分线段成比例，得出，代入数值计算即可； （2）根据平行线分线段成比例的推论可得，再证，可得，推出，再用含的式子表示，即可求出． 【解析】（1）解：， ， 平分， ， ， ， ，， ， ， ， ， ； （2）解：如图， ， ； ， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ． 17．如图，点D、E分别是边、上的点，且，设，． (1)用的式子表示向量______，_______ (2)求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，向量的运算，解题的关键是熟练掌握相关性质定理，以及向量的运算法则． （1）过点A作，过点C作，、相交于点F，推出，则，即可得出，通过证明，，即可得出． （2）根据相似三角形的面积比等于相似比，即可得出，即可解答． 【解析】（1）解：过点A作，过点C作，、相交于点F， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：，． （2）解：由（1）可得：，， ∴， ∴． 18．如图，在梯形中，，且，过点作，分别交于点，若． (1)用表示和； (2)求作在方向上的分向量．（不要求写作法，但要保留作图痕迹，并指出所作图中表示结论的分向量） 【答案】(1)， (2)见解析 【分析】（1）利用向量的表示方法， 由即可求出，利用平行线分线段成比例，求出，即可求出； （2）过点作交于点，交于点，则、即为所求． 【解析】（1）解： 四边形是平行四边形，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， （2）解：如图所示，过点作交于点，交于点， 在、方向上的分向量如图所示，、即为所求； 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，平面向量的线性计算，掌握平面向量的线性计算解题的关键． 题型5: 第21-22题-1 解直角三角形 19．如图，在中，，点分别在边，上，平分，，，． (1)求的长． (2)求的值． 【答案】(1)6 (2) 【分析】（1）由，，，并结合勾股定理可求出、的长，由角平分线的性质可得，即可获得答案； （2）首先证明，由全等三角形的性质可得，然后由，求出的长，从而求出的值． 【解析】（1）解：∵，， 在，， 设，， 由勾股定理可得，即， 解得 （舍去）或， ∴，， ∵平分，，， ∴； （2）∵，，， 又∵， ∴， ∴， 设，在中，， 解得，即， ∴在中，． 【点睛】本题主要考查角平分线的性质定理、三角函数的定义、勾股定理以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 20．如图，在中，，，过点作，垂足为点． (1)求的值． (2)点是延长线上一点，连结，当时，求线段的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点A作，垂足为F，如图，根据等腰三角形的性质和勾股定理求出，，再根据正切的定义可得答案； （2）先根据锐角三角函数求出，即可勾股定理求出，再证明，根据相似三角形的性质列式求解即可． 【解析】（1）解：过点A作，垂足为F，如图， ∵，， ∴， ∴在中，， ∴； （2）解：∵， ∴， 在中， ， ∴在中，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴，即， ∴． 【点睛】本题考查了解直角三角形、等腰三角形的性质、勾股定理以及相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关图形的性质定理、证明三角形相似是解题的关键． 21．如图，在中，，，，是边上的一点，，交于点． (1)求的余切值； (2)求的比值． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）首先证明在中，由，，得，，利用余切的定义即可解决问题； （2）过作的垂线交的延长线于，利用相似三角形的判定和性质即可解决问题． 【解析】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴； （2）解:过作的垂线交的延长线于， 在中， ∵即， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∴ 【点睛】本题考查解直角三角形，相似三角形的判定和性质，同角的余角相等，余切定义等知识熟练运用相似三角形的判定和性质是解题关键． 22．如图，已知在中，点D是边上一点，且，点E是边上一点，且． (1)求证：； (2)若，，求的值． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角函数等知识，添加适当的辅助线是解答本题的关键． （1）证明即可； （2）过点作于点，再根据等腰三角形的性质以及三角函数即可求解． 【解析】（1）证明：， ， ， ∴， ； （2）解：过点作于点， ， ， ， ∴， 设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 题型6: 第21-22题-2 解直角三角形的应用 23．如图，山区某教学楼后面紧邻着一个土坡，坡面平行于地面，斜坡的坡比为，且米．为了防止山体滑坡，保障安全，学校决定对该土坡进行改造．经地质人员勘测，当坡角不超过时，可确保山体不滑坡． (1)求改造前坡顶与地面的距离的长． (2)为了消除安全隐患，学校计划将斜坡改造成（如图所示），那么至少是多少米？（结果精确到1米） （参考数据：，，，． 【答案】(1)24米 (2)8米 【分析】（1）根据坡度的概念得到，根据勾股定理计算列式即可； （2）作于，根据正切的概念求出，结合图形计算即可． 本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，掌握坡度是坡面的铅直高度和水平宽度的比是解题的关键． 【解析】（1）解： 斜坡的坡比为， ， 设，则， 由勾股定理得，，即， 解得，， 则，， 答：改造前坡顶与地面的距离的长为24米； （2）解：作于， 则， ， ， 答：至少是8米． 24．某大型购物中心为方便顾客地铁换乘，准备在底层至层之间安装电梯，截面图如图所示，底层与层平行，层高为9米，、间的距离为6米，．        (1)请问身高米的人在竖直站立的情况下搭乘电梯，在处会不会碰到头部？请说明理由． (2)若采取中段平台设计（如图虚线所示），已知平台，且段和段的坡度，求平台的长度．（参考数据：，，） 【答案】(1)不会，理由见解析 (2)7米 【分析】（1）先过点作，交于点，根据，，得出，再根据正切定理求出的长，然后与人的身高进行比较，即可得出答案； （2）根据的长求出，再过点作，垂足为点，过点作，垂足为点，设，则，根据段和段的坡度，求出和的长，最后根据，即可求出答案． 【解析】（1）解：过点作，交于点，        ，， ， 不会碰到头部； （2）， ， 过点作，垂足为点，过点作，垂足为点， 设，则， 段和段的坡度， ，， ， （米）．      【点睛】此题考查了解直角三角形的应用，用到的知识点是坡度角，关键是根据题意作出辅助线，构造直角三角形． 25．小杰在学习了“仰角、俯角、坡比”后，他在自己居住的小区设计了如下测量方案：小杰利用小区中的一个斜坡，首先在斜坡的底端测得高楼顶端的仰角是，然后沿斜坡向上走到处，再测得高楼顶端的仰角是，已知斜坡的坡比是，斜坡的底端到高楼底端的距离是米，且三点在一直线上(如图所示)．假设测角仪器的高度忽略不计，请根据小杰的方案，完成下列问题： (1)求高楼的高度； (2)求点离地面的距离（结果精确到0.1米）．（参考数据：，，，） 【答案】(1)高楼的高度为米 (2)点离地面的距离为米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用、矩形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线构造直角三角形是解此题的关键． （1）在中，解直角三角形即可得出答案； （2）作于，于，则四边形是矩形，得出，，设米，则米，米，在中，解直角三角形即可得出答案． 【解析】（1）解：由题意得：在中，米，， ∴（米）， ∴高楼的高度为米； （2）解：如图，作于，于， ， 则， ∴四边形是矩形， ∴，， 设米， ∴米， ∵斜坡的坡比是， ∴米， ∴米， 在中，， ∴， 解得：， 经检验，是原方程的解， ∴点离地面的距离为米． 26．好的座椅可以让人坐着更舒适．交大附中教师办公室座椅如图1所示，它的主要组成有支撑部分、座面和椅背，座面和椅背均可以进行调节．其纵截面如图2所示，支撑部分，与水平地面垂直，，，，． (1)求点D距离地面的高度； (2)相较于座面水平、椅背竖直的情况，座面稍向下倾斜，椅背与座面的夹角略大于时，坐起来更加舒适．已知当座椅的座面与水平面的夹角为，座面与椅背的夹角为时坐起来最舒适，求坐起来最舒适时点H距离地面的高度（小数点后保留1位小数）． 【答案】(1)点距离地面的高度为 (2)点距离地面的高度 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，通过作辅助线，构造出直角三角形是解题的关键． （1）延长交于，则，在中，解直角三角形即可求解； （2）过点作，过点作，则，在，中，分别解直角三角形即可求解． 【解析】（1）解：延长交于，则， ∵， ∴， ∴， 则点距离地面的高度为； （2）过点作，过点作，则， ∴，则， 在中，， ∴， ∵， ∴， 在中，， 则， ∴点距离地面的高度． 27．嘉嘉使用桌上书架如图1所示．嘉嘉发观，当书架与桌面的夹角时，顶部边缘处离桌面的高度的长为，此时舒适度不太理想．嘉嘉调整书架与桌面的夹角大小继续探究，最后发现当张角时（点是的对应点），舒适度较为理想． (1)书架在旋转过程中，求顶部边缘点到走过的路径长． (2)如图2这个平面图形，如果嘉嘉的眼睛在处，书上有一点，旋转点到点的距离为，嘉嘉看点的俯角为，眼睛到桌面高度为点到点的距离为，求此时眼睛到点的距离，即的长度．（结果精确到；参考数据：，，） 【答案】(1) (2) 【分析】（）利用平角定义先求出，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，进而利用弧长公式求解即可． （）过点作，于点、，则四边形是矩形，，在中，解直角三角形即可得解． 【解析】（1）解：∵， ∴， 在中，， ∴， 由题意得：， ∵， ∴， ∴边缘点到走过的路径长． （2）解：过点作，于点、，则四边形是矩形，，， ∵，， ∴， ∴， ∵向下看的俯角为， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形、度直角三角形的性质、求弧长以及矩形的判定及性质，熟练掌握解直角三角形、度直角三角形的性质是解题的关键． 题型7: 第21-22题-3 二次函数 28．已知二次函数 (1)用配方法把这个二次函数化为顶点式的形式，并写出这个函数图象的对称轴和顶点坐标； (2)将这条抛物线向左平移4个单位，再向上平移2个单位．直接写出平移后新抛物线的表达式：________． 【答案】(1)，对称轴是直线，顶点坐标 (2) 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的平移，熟练掌握平移规律是解答本题的关键． （1）先化为一般式，再配方化为顶点式，然后写出数图象的对称轴和顶点坐标； （2）按“上加下减常数项，左加右减自变量”的规律平移即可得出所求函数的解析式． 【解析】（1）解：∵ ， ∴对称轴是直线，顶点坐标； （2）解：这条抛物线向左平移4个单位，再向上平移2个单位，得 ． 29．在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点、、． (1)求抛物线的表达式； (2)点D与点E是抛物线上关于对称轴对称的两点，如果点D的横坐标为，试求点E的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据二次函数图象上的点的坐标以及待定系数法解决此题． （2）根据二次函数图象的对称性求得的横坐标，再将其代入函数解析式，进而求得的坐标． 【解析】（1）解：由题意得，，，． ，． 这个抛物线的表达式为． （2）由（1）得，． 该抛物线的对称轴是直线． 点与点是抛物线上关于对称轴对称的两点，点的横坐标为， 的横坐标是4． 当时，． ． 【点睛】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求函数解析式，熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征是解决本题的关键． 30．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和，与轴交于点． (1)求此抛物线的表达式及点的坐标； (2)将此抛物线沿轴向左平移个单位得到新抛物线，且新抛物线仍经过点，求的值． 【答案】(1)，点的坐标是 (2)6 【分析】（1）用待定系数法求出二次函数的解析式，进而求出点C的坐标； （2）把二次函数配方得到顶点式，根据题目进行平移解题即可． 【解析】（1）解：把和代入 ，解得 ∴抛物线的表达式为 ∴当时， ∴点的坐标是 （2） 设平移后的抛物线表达式为 把代入得 解得 ∵， ∴ 【点睛】本题考查二次函数的解析式和抛物线的平移，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 31．如图，已知抛物线与x轴交于原点O与点A，顶点为点B． (1)求抛物线的表达式以及点A的坐标； (2)已知点，若的面积为6，求点P的坐标． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）将原点代入解析式求出a即可求出表达式，并令求出点A坐标； （2）先求出顶点B的坐标，表示出，根据三角形面积公式列出等式，解得m即可． 【解析】（1）解：∵抛物线经过坐标原点O，代入得， 解得， ∴抛物线解析式为， ∵抛物线与x轴正半轴交于点A， ∴， 解得（舍去），， ∴点； （2）设与交于点H， ∵抛物线解析式为， ∴顶点， ∵， ∴， ∵，   即，   解得， ∴点． 【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，解题的关键是熟知二次函数的性质． 32．在直角坐标平面内，二次函数的图像经过点和点. (1)求这个二次函数的解析式； (2)将这个二次函数的图像向上平移，交轴于点，其纵坐标为，请用的代数式表示平移后函数图像顶点的坐标. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接利用待定系数法求解即可； （2）先求出平移前的顶点坐标和与y轴的交点坐标，再确定平移的距离，即可求解． 【解析】（1）将点和点代入解析式得到： ， ∴， ∴这个二次函数的解析式为； （2）∵， ∴该图象的顶点为，与y轴的交点为， 将这个二次函数的图像向上平移，交轴于点，其纵坐标为， 则函数图象向上平移了m个单位， ∴平移后顶点M的坐标为． 【点睛】本题考查了待定系数法求抛物线的解析式和抛物线的平移，解题关键是牢记待定系数法的解法步骤和图象的平移规律． 33．在直角坐标平面内，二次函数y＝ax2＋bx－3(a≠0)图象的顶点为A(1，－4)． (1)求该二次函数关系式； (2)将该二次函数图象向上平移几个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点？并直接写出平移后所得图象与轴的另一个交点的坐标． 【答案】(1)函数关系式为 y=(x－1)2－4； (2)向上平移3个单位．与x轴的另一个交点坐标为(2，0)． 【解析】解：(1)由题意，得 解得 ∴所求函数关系式为 y=(x－1)2－4； (2)由顶点式可知，向上平移3个单位．与x轴的另一个交点坐标为(2，0)． 题型8： 第23题-1 相似三角形的判定与性质 34．如图，点D在的边上，点E在的边的延长线上，联结交于边于点F且 (1)求证： (2)联结，如果，求证： 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，熟练掌握知识点，准确找准相似三角形是解题的关键． （1）证明即可； （2）先证明，则，，则，再证明，则，故，即可求证． 【解析】（1）证明：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：如图 ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴, ∴． 35．已知：如图，在梯形中，，，点M在边上，且，． (1)求证：； (2)作，垂足为点E，并交于点F．求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了梯形的性质、 直角三角形的性质、 相似三角形的判定和性质以及比例式的证明， 题目的综合性很强， 难度不小 ． （1） 首先证明，再根据已知条件证明，由相似的性质可得，进而证明，所以； （2） 由 （1） 可知是的中点， 所以是三角形斜边上的中线， 由直角三角形的性质可知，证明可得，所以，又因为，所以． 【解析】（1）证明：，，， ，， ， 又，即， ， ， ， ， ， （2）证明：如图， ， ， ， ， ， ． 36．已知：如图，在中，为边上一点，过点作，垂足为点，延长交边于点． (1)当为的中点时，求证：； (2)当为中点时，连结，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；灵活运用相似三角形的性质计算相应线段的长或表示线段之间的关系是解决问题的关键．也考查了直角三角形斜边上的中线． （1）先根据斜边上的中线性质得到，则，再证明，利用相似三角形的性质得到，接着证明，根据相似三角形的性质得到，则利用等量代换得到，然后根据比例的性质得到结论； （2）先由得到，用代换得到，接着证明，根据相似三角形的性质得到，然后利用比例的性质和得到结论． 【解析】（1）证明：如图， ∵，D为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）证明∵， ∴， ∵F为中点时， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 37．在中，点D、E分别在边、上，与交于点F. 若平分，． (1)求证： ； (2)若，交边的延长线于点G，求证：． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】（1）先根据“两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似”可得，则可得，再根据“等角的补角相等”可得，进而可得； （2）先证，，然后根据“两角对应相等，两三角形相似”可得，则可得，进而可得，再由可得，由此可得． 本题主要考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【解析】（1）证明：∵平分， ∴， 又∵， ， ， ， 又， ， 又， ． （2）证明：∵， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 38．已知：如图，在梯形中，，，对角线相交于点E，且． (1)求证：； (2)点F是边上一点，连接，与相交于点G，且，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，正确证得是解答本题的关键． （1）先证明可得，进而证明结论； （2）先证明可得，进而得到；再由可得，即，最后代入即可证明结论． 【解析】（1）证明：，， ， 又， ， ， ， ，即． （2）解：， ， ， ， ， ， ， ， 又， ， ， ． 题型9： 第23题-2 相似三角形的判定与性质与特殊平行四边形结合 39．如图，已知在矩形中，点G在边上，四边形的边经过点A，与交于点H，，．    (1)求证：； (2)如果四边形是矩形，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查的是矩形的性质，相似三角形的判定与性质； （1）先证明，结合，，可得，再利用三边对应成比例的两个三角形相似即可； （2）先证明，再证明，可得，可得，从而可得结论． 【解析】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∵，． ∴，， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 40．如图，在菱形中，，点E，F分别在边，上，且，与相交于点G． (1)求证：； (2)延长与的延长线交于点H，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题了菱形的性质，等边三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质等； （1）由菱形的性质得，由等边三角形的判定得为等边三角形，由可判定，由全等三角形的性质得，由三角形的外角性质得，即可得证； （2）由两角对应相等的三角形相似得，由相似三角形的性质得，由全等三角形的性质得，即可得证； 掌握相关的判定方法及性质是解题的关键． 【解析】（1）证明：四边形为菱形， ， ， 为等边三角形， ， 在和中， ， （）， ， ， ； （2）证明：四边形为菱形， ，， ， ， ， 由（1）知， ， ， ， ． 题型10：附加篇—圆与正多边形 41．如图，⊙A、⊙B、⊙C两两外切，AB＝10，BC＝21，sinB＝． （1）求AC的长； （2）求⊙A、⊙B、⊙C半径． 【答案】（1）17；（2）rA＝3，rB＝7，rC＝14 【分析】（1）如图作AH⊥BC于H，分别在，中，解直角三角形即可解决问题； （2）如图设切点分别为D、E、F，AE＝AD＝x，BE＝BF＝y，CF＝CD＝z，则有，解方程组即可解决问题； 【解析】 解：（1）如上图作AH⊥BC于H， 在中，∵AB＝10，＝， ∴AH＝8，BH＝6， ∵BC＝21， ∴CH＝15， 在中，AC＝＝＝17． ∴AC＝17 （2）如图设切点分别为D、E、F，AE＝AD＝x，BE＝BF＝y，CF＝CD＝z， 则有，解得 ∴＝3，＝7，＝14． 【点睛】本题考查了两圆外切的基本性质之一：如果有两圆外切，则两圆的圆心距为两圆的半径之和；直角三角形的勾股定理：在一个直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方．在一个三角形中作出一条边上的高后就可以得到一个直角三角形，进而通过勾股定理进行求解． 42．已知：如图，⊙O1与⊙O2外切于点T，经过点T的直线与⊙O1、⊙O2分别相交于点A和点B． (1)求证：O1AO2B； (2)若O1A＝2，O2B＝3，AB＝7，求AT的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）联结O1O2，即O1O2为连心线，欲证明O1AO2B，只需推知∠A＝∠B； （2）利用（1）中的结论，结合平行线截线段成比例得到，通过计算求得AT的值． 【解析】（1）证明：联结O1O2，即O1O2为连心线， 又∵⊙O1与⊙O2外切于点T， ∴O1O2经过点T． ∵O1A＝O1T，O2B＝O2T． ∴∠A＝∠O1TA，∠B＝∠O2TB． ∵∠O1TA＝∠O2TB， ∴∠A＝∠B． ∴O1AO2B； （2）∵O1AO2B， ∴． ∵O1A＝2，O2B＝3，AB＝7， ∴， 解得：． 【点睛】本题考查了圆与圆的位置关系，平行线分线段成比例，平行线的判定，掌握圆与圆的位置关系是解题的关键． 43．如图，在中，，以点O为圆心，长为半径的圆交于点C，点D在边上，且． (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若，求的半径． 【答案】(1)直线与相切，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了切线的证明、正切的应用等知识点，掌握相关几何结论是解题关键． （1）连接，由得，结合，即可求解； （2）设的半径为，可得，根据可得，即可求解； 【解析】（1）解：直线与相切，理由如下： 连接，如图所示： 则 ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵为半径， ∴直线与相切 （2）解：设的半径为， ∵ ∴, ∴ ∵ ∴， 解得： 44．已知：如图，⊙O1与⊙O2相交于点A和点B，AC∥O1O2，交⊙O1于点C，⊙O1的半径为5，⊙O2的半径为，AB=6． 求： (1)弦AC的长度； (2)四边形ACO1O2的面积． 【答案】(1)8 (2)21 【分析】（1）连接，过作于点D，设AB与交于点E，由圆的对称性可得AE的长，由勾股定理可求得，从而可得AD的长，由垂径定理即可得AC的长； （2）由勾股定理可求得，从而可得的长，则可分别求得、的面积，则可求得四边形ACO1O2的面积． 【解析】（1）解：连接，过作于点D，设AB与交于点E，如图 由圆的对称性知：， 在中，由勾股定理得： ∵，AC∥O1O2 ∴ ∵ ∴ ∴四边形是平行四边形 ∵ ∴四边形是矩形，且AD=CD ∴， ∴AC=2AD=8 （2）解：在中，由勾股定理得： ∴ ∴， ∴四边形ACO1O2的面积为： 【点睛】本题考查了圆的对称性，垂径定理，勾股定理，矩形的判定与性质等知识，熟练掌握并正确运用是关键． 45．如图，⊙和⊙相交于A、B两点，与AB交于点C，的延长线交⊙于点D，点E为AD的中点，AE=AC，连接． （1）求证：； （2）如果＝10，，求⊙的半径长． 【答案】（1）证明见解析；（2）5. 【分析】（1）连接，利用垂径定理，连心线与公共弦关系原理，证明△E≌△即可； （2）利用△E∽△CA即可解答． 【解析】（1）⊙和⊙相交于A、B两点， ∴是AB的垂直平分线， ∴∠CA=90°， ∵E为AD的中点， ∴E⊥AD， ∴∠EA=90°， ∴∠CA=∠EA， 如图,连接 ∵AE＝AC，A=A ∴△E≌△C， ∴E＝C. （2）∵E⊥AD， ∴∠E＝90°， 在Rt△E中，∠E＝90°，＝10，E＝6， ∵， ∴， ∴E＝8， ∵∠E＝∠CA＝90°，∠＝∠， ∴△E∽△CA， ∴, ∵＝10，AC＝AE＝E－A＝8－A，E＝6， ， ∴＝5， 即⊙的半径长为5. 故答案为5. 【点睛】本题考查圆，圆与圆的位置关系，三角形的相似，勾股定理，熟记圆垂径定理，连心线与公共弦的关系定理，三角形相似判定定理是解题的关键. 46．如图，已知是与的公共弦，与交于点C，的延长线与交于点P，连接并延长，交于点D． (1)连接如果．求证： ； (2)如果，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了相交圆的性质，综合运用垂径定理、直角三角形的判定以及平行线分线段成比例是本题解题的关键． （1）连接，由直角三角形的判定可知为直角三角形，然后根据圆周角定理求出的度数即可证明； （2）过作于E，过作于F，根据垂径定理和平行线分线段成比例来证明即可． 【解析】（1）连接，如图： ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴为直角三角形， ∴， 由圆周角定理可知，， ∵是与的公共弦，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴； （2）过作于E，过作于F，如图： ∴， ∴， ∴， 由垂径定理可知，， ∴， ∴． ( 第 1 页 共 16 页 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 特训12 （一模）第19-23题 押题篇（上海最新精选，十大题型） 目录： 题型1: 第19-20题-1 特殊锐角三角比的运算 题型2: 第19-20题-2 比例线段 题型3: 第19-20题-3 三角形一边的平行线 题型4: 第19-20题-4 平面向量的线性运算 题型5: 第21-22题-1 解直角三角形 题型6: 第21-22题-2 解直角三角形的应用 题型7: 第21-22题-3 二次函数 题型8： 第23题-1 相似三角形的判定与性质 题型9： 第23题-2 相似三角形的判定与性质与特殊平行四边形结合 题型10：附加篇—圆与正多边形 题型1: 第19-20题-1 特殊锐角三角比的运算 1．计算： 2．计算: 3．计算：． 4．计算：． 题型2: 第19-20题-2 比例线段 5．已知三条线段，，满足，且. (1)求，，的值； (2)若线段是线段和的比例中项，求的值. 6．已知：． (1)求代数式的值； (2)当时，求a、b的值． 7．已知 是的三边长，且， 求： (1)的值． (2)若的周长为24，求各边的长并判断该三角形的形状． 8．已知点C在线段AB上，且满足． (1)若AB=1，求AC的长； (2)若AC比BC大2，求AB的长． 9．若实数满足，求的值． 题型3: 第19-20题-3 三角形一边的平行线 10．如图，已知直线，直线和被、、所截．若，，． (1)求、的长； (2)如果，，求的长． 11．如图，已知，与相交于点，点在线段上，，． (1)求证：； (2)求． 12．如图，直线分别交直线于点A、B、C，交直线于点D、E、F，且． (1)如果，，求的长． (2)如果，求的长． 13．如图，在菱形中，点、、、分别在边、、、上，，，． (1)求证：； (2)分别连接、，求证：四边形是等腰梯形． 14．如图，已知点A、C、E和点B、F、D分别是∠O两边上的点，且，，、交于点M，、交于点N． (1)求证：； (2)若，，求线段的长． 题型4: 第19-20题-4 平面向量的线性运算 15．如图，点在平行四边形的边的延长线上，且，与交于点．设． (1)用向量、表示向量； (2)求作：向量分别在向量、方向上的分向量．（不要求写作法，但要保留作图痕迹，并指出所作图中表示结论的分向量） 16．如图，在梯形中，点E、点F分别在边、边上，，平分，边于点G．已知． (1)求的长； (2)填空：连接交于点H，如果，那么_____（用含的式子表示结果） 17．如图，点D、E分别是边、上的点，且，设，． (1)用的式子表示向量______，_______ (2)求的值． 18．如图，在梯形中，，且，过点作，分别交于点，若． (1)用表示和； (2)求作在方向上的分向量．（不要求写作法，但要保留作图痕迹，并指出所作图中表示结论的分向量） 题型5: 第21-22题-1 解直角三角形 19．如图，在中，，点分别在边，上，平分，，，． (1)求的长． (2)求的值． 20．如图，在中，，，过点作，垂足为点． (1)求的值． (2)点是延长线上一点，连结，当时，求线段的长． 21．如图，在中，，，，是边上的一点，，交于点． (1)求的余切值； (2)求的比值． 22．如图，已知在中，点D是边上一点，且，点E是边上一点，且． (1)求证：； (2)若，，求的值． 题型6: 第21-22题-2 解直角三角形的应用 23．如图，山区某教学楼后面紧邻着一个土坡，坡面平行于地面，斜坡的坡比为，且米．为了防止山体滑坡，保障安全，学校决定对该土坡进行改造．经地质人员勘测，当坡角不超过时，可确保山体不滑坡． (1)求改造前坡顶与地面的距离的长． (2)为了消除安全隐患，学校计划将斜坡改造成（如图所示），那么至少是多少米？（结果精确到1米） （参考数据：，，，． 24．某大型购物中心为方便顾客地铁换乘，准备在底层至层之间安装电梯，截面图如图所示，底层与层平行，层高为9米，、间的距离为6米，．        (1)请问身高米的人在竖直站立的情况下搭乘电梯，在处会不会碰到头部？请说明理由． (2)若采取中段平台设计（如图虚线所示），已知平台，且段和段的坡度，求平台的长度．（参考数据：，，） 25．小杰在学习了“仰角、俯角、坡比”后，他在自己居住的小区设计了如下测量方案：小杰利用小区中的一个斜坡，首先在斜坡的底端测得高楼顶端的仰角是，然后沿斜坡向上走到处，再测得高楼顶端的仰角是，已知斜坡的坡比是，斜坡的底端到高楼底端的距离是米，且三点在一直线上(如图所示)．假设测角仪器的高度忽略不计，请根据小杰的方案，完成下列问题： (1)求高楼的高度； (2)求点离地面的距离（结果精确到0.1米）．（参考数据：，，，） 26．好的座椅可以让人坐着更舒适．交大附中教师办公室座椅如图1所示，它的主要组成有支撑部分、座面和椅背，座面和椅背均可以进行调节．其纵截面如图2所示，支撑部分，与水平地面垂直，，，，． (1)求点D距离地面的高度； (2)相较于座面水平、椅背竖直的情况，座面稍向下倾斜，椅背与座面的夹角略大于时，坐起来更加舒适．已知当座椅的座面与水平面的夹角为，座面与椅背的夹角为时坐起来最舒适，求坐起来最舒适时点H距离地面的高度（小数点后保留1位小数）． 27．嘉嘉使用桌上书架如图1所示．嘉嘉发观，当书架与桌面的夹角时，顶部边缘处离桌面的高度的长为，此时舒适度不太理想．嘉嘉调整书架与桌面的夹角大小继续探究，最后发现当张角时（点是的对应点），舒适度较为理想． (1)书架在旋转过程中，求顶部边缘点到走过的路径长． (2)如图2这个平面图形，如果嘉嘉的眼睛在处，书上有一点，旋转点到点的距离为，嘉嘉看点的俯角为，眼睛到桌面高度为点到点的距离为，求此时眼睛到点的距离，即的长度．（结果精确到；参考数据：，，） 题型7: 第21-22题-3 二次函数 28．已知二次函数 (1)用配方法把这个二次函数化为顶点式的形式，并写出这个函数图象的对称轴和顶点坐标； (2)将这条抛物线向左平移4个单位，再向上平移2个单位．直接写出平移后新抛物线的表达式：________． 29．在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点、、． (1)求抛物线的表达式； (2)点D与点E是抛物线上关于对称轴对称的两点，如果点D的横坐标为，试求点E的坐标． 30．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和，与轴交于点． (1)求此抛物线的表达式及点的坐标； (2)将此抛物线沿轴向左平移个单位得到新抛物线，且新抛物线仍经过点，求的值． 31．如图，已知抛物线与x轴交于原点O与点A，顶点为点B． (1)求抛物线的表达式以及点A的坐标； (2)已知点，若的面积为6，求点P的坐标． 32．在直角坐标平面内，二次函数的图像经过点和点. (1)求这个二次函数的解析式； (2)将这个二次函数的图像向上平移，交轴于点，其纵坐标为，请用的代数式表示平移后函数图像顶点的坐标. 33．在直角坐标平面内，二次函数y＝ax2＋bx－3(a≠0)图象的顶点为A(1，－4)． (1)求该二次函数关系式； (2)将该二次函数图象向上平移几个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点？并直接写出平移后所得图象与轴的另一个交点的坐标． 题型8： 第23题-1 相似三角形的判定与性质 34．如图，点D在的边上，点E在的边的延长线上，联结交于边于点F且 (1)求证： (2)联结，如果，求证： 35．已知：如图，在梯形中，，，点M在边上，且，． (1)求证：； (2)作，垂足为点E，并交于点F．求证：． 36．已知：如图，在中，为边上一点，过点作，垂足为点，延长交边于点． (1)当为的中点时，求证：； (2)当为中点时，连结，求证：． 37．在中，点D、E分别在边、上，与交于点F. 若平分，． (1)求证： ； (2)若，交边的延长线于点G，求证：． 38．已知：如图，在梯形中，，，对角线相交于点E，且． (1)求证：； (2)点F是边上一点，连接，与相交于点G，且，求证：． 题型9： 第23题-2 相似三角形的判定与性质与特殊平行四边形结合 39．如图，已知在矩形中，点G在边上，四边形的边经过点A，与交于点H，，．    (1)求证：； (2)如果四边形是矩形，求证：． 40．如图，在菱形中，，点E，F分别在边，上，且，与相交于点G． (1)求证：； (2)延长与的延长线交于点H，求证：． 题型10：附加篇—圆与正多边形 41．如图，⊙A、⊙B、⊙C两两外切，AB＝10，BC＝21，sinB＝． （1）求AC的长； （2）求⊙A、⊙B、⊙C半径． 42．已知：如图，⊙O1与⊙O2外切于点T，经过点T的直线与⊙O1、⊙O2分别相交于点A和点B． (1)求证：O1AO2B； (2)若O1A＝2，O2B＝3，AB＝7，求AT的长． 43．如图，在中，，以点O为圆心，长为半径的圆交于点C，点D在边上，且． (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若，求的半径． 44．已知：如图，⊙O1与⊙O2相交于点A和点B，AC∥O1O2，交⊙O1于点C，⊙O1的半径为5，⊙O2的半径为，AB=6． 求： (1)弦AC的长度； (2)四边形ACO1O2的面积． 45．如图，⊙和⊙相交于A、B两点，与AB交于点C，的延长线交⊙于点D，点E为AD的中点，AE=AC，连接． （1）求证：； （2）如果＝10，，求⊙的半径长． 46．如图，已知是与的公共弦，与交于点C，的延长线与交于点P，连接并延长，交于点D． (1)连接如果．求证： ； (2)如果，求证：． ( 第 1 页 共 16 页 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$