第12讲 表示一组数据平均水平的量-中位数和众数（二类知识点+八大题型+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年九年级数学下册同步学与练（沪教版）

第12讲 表示一组数据平均水平的量—中位数和众数（八大题型） 学习目标 1、 了解中位数与众数的概念； 2、 学会计算中位数和众数，用合适的统计量决策； 3、 掌握平均数、中位数、众数的联系与区别。 一、中位数和众数 1.中位数的概念：将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数称为这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数称为这组数据的中位数. 要点：（1）一组数据的中位数是唯一的；一组数据的中位数不一定出现在这组数据中. （2）由一组数据的中位数可以知道中位数以上和以下数据各占一半. 2.众数的概念：一组数据中出现次数最多的数据称为这组数据的众数. 要点：（1）一组数据的众数一定出现在这组数据中；一组数据的众数可能不止一个；如果所有数据出现的次数都一样，那么这组数据就没有众数. （2）众数是一组数据中出现次数最多的数据而不是数据出现的次数. 二、平均数、中位数与众数的联系与区别 联系：平均数、众数、中位数都是用来描述数据集中趋势的量，其中以平均数最为重要. 区别：平均数的大小与每一个数据都有关，任何一个数的波动都会引起平均数的波动，当一组数据中有个别数据太高或太低，用平均数来描述整体趋势则不合适，用中位数或众数则较合适.中位数与数据排列位置有关，个别数据的波动对中位数没影响；众数主要研究各数据出现的频数，当一组数据中不少数据多次重复出现时，可用众数来描述. 【即学即练1】某校九年级有8个班级，人数分别为37，32，32，36，37，32，38，34．则这组数据的中位数为 ． 【答案】35 【分析】本题考查了确定一组数据的中位数的能力．注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数． 【解析】解：把这些书从小到大排列为：32，32，32，34，36，37，37，38， 则这组数据的中位数为． 故答案为：35． 【即学即练2】王老师统计了某一小组8个人的数学成绩，成绩如下（单位：分）：85，86，85，77，95，97，86，86，这组数据的众数是 ． 【答案】86 【分析】根据众数是一组数据中出现次数最多的数据，即可求解； 此题考查了众数的定义，掌握众数是一组数据中出现次数最多的数据是解题关键． 【解析】依题意得：86出现了3次，次数最多， 故这组数据的众数是86； 故答案为：86． 【即学即练3】一组数据：3，4，4，，5，5，9，其平均数是5，则众数是 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了众数、平均数等知识，熟练掌握相关定义是解题关键．首先根据平均数的定义解得的值，再根据“一组数据中出现次数最多的数据叫做众数”，即可获得答案． 【解析】解：根据题意，该组数据的平均数是5， 则有， 解得， 所以，这组数据为3，4，4，5，5，5，9， 其中出现次数最多的是5，共计3次， 所以，众数是5． 故答案为：5． 【即学即练4】一组数据2，3，5，6，a的众数与中位数相等，则 ． 【答案】3或5 【分析】本题主要考查众数、中位数，根据众数的可能情况分类讨论求解是解题的关键． 【解析】解：中位数可能是或5， 由于众数与中位数相等，故或5， 故答案为：3或5． 【即学即练5】一组2，，y，14中，平均数是12，唯一的众数是14，则数据的中位数是 ． 【答案】14 【分析】本题考查了平均数、中位数及众数的意义，解题的关键是熟练掌握相关概念并应用求解．先根据数据的平均数为12，得出，再根据唯一众数为14，得出或，然后按照从小到大排列即可得出答案． 【解析】解：数据，，，的平均数是， ，即， 数据，，，唯一的众数是14， 或， 当时，，将数据按照从小到大排列如下：，，，，得出中位数为：； 当时，，将数据按照从小到大排列如下：，，，，得出中位数为：； 故答案为：． 题型1：求一组数据的中位数 【典例1】．已知数据1，2，4，6，8，8，这组数据的中位数是 ． 【答案】5 【分析】本题考查中位数，根据中位数的求解方法求解即可． 【解析】解：将所给6个数据从小到大排列，第3个和第4个数据为4和6， ∴这组数据的中位数是， 故答案为：5． 【典例2】．某小组5名同学的英语口试成绩（满分30分）依次为：27，26，28，30、25，则这组数据的中位数为 ． 【答案】27 【分析】本题主要考查中位数．将一组数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数． 先将数据按照从小到大重新排列，再根据中位数的定义求解可得． 【解析】解：将这组数据按从小到大的顺序排列为： 25，26，27，28，30， 处于中间位置的数是27，即中位数是27， 故答案为：27． 【典例3】．在体育课上，小亮同学分别进行了五次跳远测试，成绩（单位：米）分别为1.93，1.90，2.12，1.95，2.05，则这组数据的中位数是 ． 【答案】1.95 【分析】本题考查了中位数的定义，根据题意先把成绩按大小顺序进行排序，然后找出中间的数即可． 【解析】解：根据题意把成绩排序：1.90，1.93，1.95，2.05，2.12，中间数为1.95，即这组数据的中位数是1.95． 故答案为：1.95． 【典例4】．如图所示为根据某市某天六个整点时刻的温度绘制成的折线统计图，则这六个整点时刻温度的中位数是 ℃． 【答案】 【分析】本题考查折线统计图、中位数的知识，解题的关键是熟练掌握中位数的基本概念． 【解析】解：这六个数据从小到大排列为：， 居于中间的两个数为 ∴中位数为， 故答案为：． 题型2：已知中位数求参数；平均数与中位数 【典例5】．一组数据1，3，5，x的平均数与中位数相同，则x的值是 ． 【答案】或3或7 【分析】本题主要考查了中位数和平均数，先根据平均数的定义求出平均数，再分当时，当时，当时，三种情况分别求出对应的中位数，再根据平均数和中位数相同建立方程求解即可． 【解析】解：由题意得，这组数据的平均数为， 当时，这组数据的中位数为， ∴， 解得； 当时，这组数据的中位数为， ∴， 解得； 当时，这组数据的中位数为， ∴， 解得； 综上所述，x的值是或3或7． 故答案为：或3或7． 【典例6】．已知一组数据，，，，，它们的中位数是，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了中位数，熟记中位数的概念是解题关键．根据中位数的定义可得将这组数据按从小到大进行排序后，即可求解． 【解析】解：∵一组数据，，，，，它们的中位数是， ∴， 故答案为：． 【典例7】．某校首届校园模拟电子射击比赛中，小宇和小轩两人在相同条件下各射击6次，命中的环数如下(单位：环)： 小宇：7，9，8，6，9，8； 小轩：10，5，6，9，，9， 如果两人的比赛成绩的中位数相同，那么小轩的第五次成绩是 环． 【答案】7 【分析】本题考查统计，涉及中位数的求法，根据题意，分别求出两人中位数，列方程求解即可得到答案，熟记中位数的求法是解决问题的关键． 【解析】解：将命中的环数从小到大重新排序， 小宇：6，7，8，8，9，9； 小宇比赛成绩的中位数是8； 小轩：5，6，，9，9，10， 小宇比赛成绩的中位数是； 两人的比赛成绩的中位数相同， ，解得， 故答案为：7． 【典例8】．现有一列数：6，3，3，4，5，4，3，若增加一个数后，这列数的中位数仍不变，则的值不可能为 ． 【答案】3（小于4即可，答案不唯一） 【分析】本题考查中位数，把这列数按从小到大排列，第四个、第五个数均为4，增加一个数后，数据由7个变为8个，要使中位数不变，则增加的数可以是4或大于4的数，从而可确定答案． 【解析】解：这列数从小到大排列为：3，3，3，4，4，5，6， 第四个、第五个数均为4，增加一个数后，数据由7个变为8个，要使中位数不变，则增加的数可以是4或大于4的数，不可能为小于4的数， 故答案为：3（小于4即可，答案不唯一）． 题型3：用中位数决策 【典例9】．在某次体育测试中，甲、乙两班成绩的平均数、中位数、方差如下表： 班级 人数 平均数/分 中位数/分 方差 甲班 45 82 91 19.3 乙班 45 87 89 5.8 规定学生个人成绩大于90分为优秀，则甲、乙两班中优秀人数更多的是 班（填“甲”或“乙”）． 【答案】甲 【分析】本题主要考查利用中位数做决策，根据平均分、中位数、方差的特点进行分析，班级人数相同，都为人，中位数为班级分数排序以后的第位同学的分数，甲班的分高于乙班分，则得出答案． 【解析】解：甲、乙两个班参赛人数都为人，由甲、乙两班成绩的中位数可知，甲班的优生人数大于等于人，乙班的小于等于人， 则甲班的优生人数较多， 故答案为：甲． 【典例10】．某企业生产部负责人为了合理制定产品的每天生产定额，统计了20名工人某天的生产零件个数，并绘制成如图所示的折线统计图，为了让一半以上的工人能完成，定额又尽量多，那么每人每天生产定额应定为 个．    【答案】 【分析】本题考查的是从折线统计图中获取信息，理解折线图的含义是解本题的关键． 【解析】解：由折线图得，第10，11个数据个，个， ∴中位数为， 而完成个（含个）以上的人数有（个） ∴每人每天生产定额应定为54个．因为这个数值，一半以上的工人能完成． 故答案为：54． 【典例11】．两台A、B型号的大米自动封装机包装的质量为的袋食品中各封装了10袋大米，测得其实际质量如下表（单位：）： A B 由上表可以判断 型号自动封装机性能更好． 【答案】B 【分析】计算出两个型号自动封装机的平均数和中位数，即可得解． 【解析】解：A型号自动封装机的平均数是， 从大到小排列为，，，，，，，，，，排在中间的两个数是，，中位数为； B型号自动封装机的平均数是， 从大到小排列为，，，，，，，，，，排在中间的两个数是，，中位数为； 从平均数和中位数看，B型号更接近， ∴B型号自动封装机性能更好． 故答案为：B． 【点睛】本题主要考查了求平均数和中位数，熟知求方差的公式是解题的关键． 题型4：求一组数据的众数 【典例12】．数据的众数为 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查众数的定义，在一组数据中，出现次数最多的数据叫做众数，(众数可能有多个)，据此可得答案． 【解析】解：5的次数出现3次，次数最多，据此可判断众数为5， 故答案为：5． 【典例13】．美美在“阳光大课间”活动中进行了5次一分钟跳绳练习，所跳个数分别为：163，163，160，157，161．这组数据的众数为 ． 【答案】163 【分析】本题考查了求一组数据的众数，理解众数的定义是解题关键．根据众数是一组数据中出现次数最多的数值求解即可． 【解析】解：这组数据中出现次数最多的是163，出现了两次， ∴这组数据的众数为163， 故答案为：163． 【典例14】．安全教育是素质教育的重要内容之一，为增强学生的安全意识，提升学生自我保护 能力，某校对学生进行了“中小学生安全知识100条”的讲座和实践活动，为检验学习效果，对学生进行了安全知识测试，并随机抽取了8位学生成绩如下（满分：100分）：98，85，90，88，92，95，82，90，则这一组数据的众数是 ． 【答案】90 【分析】根据众数的定义即出现次数最多的数据解答即可． 本题考查了众数的计算，熟练掌握定义是解题的关键． 【解析】解：根据题意，得90出线端的次数最多，2次， 故数据的众数为90． 故答案为：90． 题型5：已知众数求参数；平均数、中位数、众数 【典例15】．已知数据2，3，2，3，5，x的众数是2，则x的值是 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了众数，“一组数据中，出现次数最多的数是众数”．根据众数的定义，即可求解． 【解析】解：∵数据2，3，2，3，5，x的众数是2， ∴， 故答案为：2． 【典例16】．一组数据：、、、、、的众数是，在这组数据的中位数是 ； 【答案】 【分析】本题考查一组数据的中位数和众数，众数是一组数据中出现次数最多的数值,有时众数在一组数中有好几个. 中位数是一组数据按从小到大（或从大到小）的顺序依次排列，处在中间位置的一个数（或最中间的两个数据的平均数）．根据数据的众数是5可求得x的值，进而可求得中位数． 【解析】解：∵、、、、、的众数是， ∴， 即、、、、、的中位数为， 故答案为：． 【典例17】．已知一个样本为1，3，5，6，a，其中它的众数是5，则它的平均数为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了众数、求平均数．由题意可求得a的值，则由平均数计算公式即可求解． 【解析】解：∵数据1，3，5，6，a，其中它的众数是5， ∴； ∴数据的平均数为：， 故答案为：4． 【典例18】．一组从小到大排列的数据：，，，，（为正整数），唯一的众数是，则数据是 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了众数，根据众数的定义得出正整数的值即可．根据众数是一组数据中出现次数最多的数得出的值是解题的关键． 【解析】解：一组从小到大排列的数据：，3，4，4，为正整数），唯一的众数是4， 数据是1或2． 故答案为：1或2． 【典例19】．在一次引体向上测试中，某小组8名男生的成绩分别为：13，9，a，11，7，11，8，9，若这组数据的唯一众数为11，则这组数据的中位数为 ． 【答案】10 【分析】本题主要考查众数和中位数，先根据众数的定义得出，再根据中位数的定义求解即可．解题的关键是掌握众数和中位数的定义． 【解析】解：∵数据13，9，，11，7，11，8，9的唯一众数为11， ∴， 则这组数据为：7，8，9，9，11，11，11，13， 所以这组数据的中位数为， 故答案为：10． 【典例20】．五名同学进行投篮练习，规定每人投次，统计他们每人投中的次数，得到个数据，若这个数据的中位数是，唯一众数是设另外两个数据分别是，，则的值不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，，一定是小于的非负整数，且不相等，由此判断即可． 【解析】解：中位数是，唯一众数是， 两个较小的数一定是小于的非负整数，且不相等， ∴两个较小的数最大为和， 的值不可能是． 故选D． 【点睛】本题考查利用中位数和众数求未知数据，掌握中位数和众数的定义是解题的关键． 题型6：用众数决策 【典例21】．某班级计划利用暑假去研学旅行，他们准备订做一批容量相同的双肩包．活动负责人征求了全班40名同学的意向，得到如下数据： 容量/L 23 25 27 29 31 33 人数/人 4 3 5 23 3 2 为了满足大多数人的需求，此次订做的双肩包容量为 ． 【答案】29 【分析】本题考查了众数的定义，众数是一组数据中出现次数最多的数，众数可能没有，可能有1个，也可能有多个．根据众数的定义求解即可． 【解析】解： 出现次23，出现次数最多， ∴众数是， 故答案为：29． 【典例22】．某商店销售5种领口大小（单位：cm）分别为38，39，40，41，42的衬衫．为了调查各种领口大小衬衫的销售情况，商店统计了某天的销售情况，并绘制了如图所示的扇形统计图，则该商店应将领口大小为 cm的衬衫进的最少． 【答案】42 【分析】根据题意，应找出销量最少的尺寸的衬衫进的最少． 【解析】解：∵9%＜13%＜19%＜25%＜34% ∴该商店应将领口大小为42cm的衬衫进的最少 故答案为：42． 【点睛】此题考查的是众数的的意义，根据众数的意义：商店应将销量最多的尺寸的衬衫进的最多，相反，应将销量最少的尺寸的衬衫进的最少． 【典例23】．一家商店在一段时间内销售了四种饮料100瓶，各种饮料的销售量如表所示： 品牌 甲 乙 丙 丁 销售量/瓶 12 42 13 33 建议这家商店进货数量最多的品牌是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】B 【分析】本题属考查了确定一组数据的众数，熟练掌握众数的定义是解题关键．根据众数的意义和定义，众数是一组数据中出现次数最多的数据，则进货数量最多的品牌应该是销售量最多的品牌（特别说明，其它品牌也进货，只不过不是进货最多）． 【解析】解：在四个品牌的销售量中，乙的销售量最多， 故建议这家商店进货数量最多的品牌是乙． 故选：B． 题型7：选择合适的统计量决策 【典例24】．位学生分别购买如下尺码的鞋子：，，，，，，，，，单位：这组数据的平均数、中位数、众数三个指标中鞋店老板最不喜欢的是 ，最喜欢的是 ． 【答案】 平均数 众数 【分析】此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数的意义．反映数据集中程度的统计量有平均数、中位数、众数等，各有局限性，因此要对统计量进行合理的选择和恰当的运用．根据平均数、中位数、众数的意义分析判断． 【解析】解：平均数体现平均水平；众数体现数据的最集中的一点，故鞋店老板最不喜欢的是平均数，最喜欢的是众数． 故填平均数；众数． 【典例25】．某公司员工的月工资如下： 员工 经理 副经理 职员 职员 职员 职员 职员 职员 杂工 月工资/元 7000 4400 2400 2000 1900 1800 1800 1800 1200 经理、职员、职员从不同的角度描述了该公司员工的收入情况．设该公司员工的月工资数据（见上述表格）的平均数、中位数、众数分别为、、，请根据上述信息完成下列问题： （1）___________，_________，_________； （2）上月一个员工辞职了，从本月开始，停发该员工工资．若本月该公司剩下的8名员工的月工资不变，但这8名员工的月工资数据（单位：元）的平均数比原9名员工的月工资数据（见上述表格）的平均数减小了．你认为辞职的那名员工可能是___________． 【答案】（1）2700；1900；1800；（2）经理或副经理 【分析】（1）图片中信息即可得到平均数、中位数、众数； （2）根据平均数的定义即可得到辞职的那名员工信息． 【解析】（1）依题意可得平均数k=2700； 中位数m=1900； n=1800； 故答案为：2700；1900；1800； （2）∵辞职一人后平均数减小， ∴辞职的员工工资大于平均数， 故辞职的那名员工可能是经理或副经理． 【点睛】此题主要考查统计调查的应用，解题的关键是熟知平均数、中位数、众数的定义． 题型8：解答题 【典例26】．2024年4月25日，神舟十八号载人飞船计划成功发射，激发了同学们的爱国热情．某校为了解七、八年级学生对“航空航天”知识的掌握情况，对七、八年级学生进行了测试．现从七、八年级各随机抽取了15名学生的测试成绩进行了以下数据的整理与分析： 【数据收集】 七年级：68，70，72，73，78，82，83，84，85，85、89，92，93，96，98； 八年级：56，69，73，77，79，82，85，88，88，88，90，90，93，93，94； 【数据分析】 年级 平均数 中位数 众数 七年级 83 a 85 八年级 83 88 b 根据以上信息，解答下列问题： (1)______，______； (2)请推断哪个年级的测试成绩较好，并说明理由（写出一条理由即可）； (3)测试成绩在分的学生可以获得奖励，若该校七年级有600名学生，八年级有660名学生，估计七、八年级可以获得奖励的学生总人数为多少？ 【答案】(1) (2)八年级的成绩较好，理由见解析 (3)估计七、八年级可以获得奖励的学生总人数为380人 【分析】本题考查求中位数和众数，利用样本估计总体： （1）根据中位数和众数的确定方法，求出的值即可； （2）利用中位数和众数进行分析即可； （3）利用样本估计总体的思想进行求解即可． 【解析】（1）解：七年级位于中间位置的数据为：， ∴， 八年级出现次数最多的数据为：， ∴； 故答案为：； （2）解：八年级的成绩较好，理由如下： 两个年级的平均数相同，八年级的中位数和众数均比七年级高，所以八年级的成绩较好． （3）解：（人）； 答：估计七、八年级可以获得奖励的学生总人数为380人． 【典例27】．某校七、八年级各有350名学生，为了解该校七、八年级学生对党史知识的掌握情况，从七、八年级学生中各随机抽取15人进行党史知识测试，统计这部分学生的测试成绩（成绩均为整数，满分10分，8分及8分以上为优秀），相关数据统计整理如下： 七年级抽取学生的成绩：6，6，6，8，8，8，8，8，8，8，9，9，9，9，10． 七、八年级抽取学生的测试成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 8 8 众数 a 7 中位数 8 b 优秀率 80％ 60％ (1)填空：________，________． (2)请估计七、八年级学生对党史知识掌握能够达到优秀的总人数； (3)现从七、八年级获得10分的4名学生中随机抽取2人参加市党史知识竞赛，请用列表法或画树状图法，求出被选中的2人恰好是七、八年级各1人的概率． 【答案】(1)； (2)估计七、八年级学生对党史知识掌握能够达到优秀的总人数约为人 (3) 【分析】本题考查了列表法与树状图法求概率，统计图，数据的分析，熟悉掌握树形图的画法是解题的关键． （1）根据众数和中位数的定义求解即可； （2）由七，八年级的总人数分别乘以优秀率，再相加即可； （3）画出树形图求解即可． 【解析】（1）解：∵七年级抽取学生的成绩：6，6，6，8，8，8，8，8，8，8，9，9，9，9，10． ∴众数为，； ∵抽查了名学生， ∴中位数为从小到大排列第名学生的分数， ∴由统计图可得： 故答案为：；； （2）解：（人）， ∴估计七、八年级学生对党史知识掌握能够达到优秀的总人数为人； （3）解：把七年级获得分的学生记为，八年级记为， 则树状图如图： 共有种等可能的结果，被选中的人恰好是恰好是七、八年级各人的结果有种， ∴， ∴被选中的人恰好是恰好是七、八年级各人的概率为． 【典例28】．在2024巴黎奥运会上，中国运动代表团取得了优异的成绩，为了了解中学生对奥运会的关注程度，在八年级和九年级各自随机调查了20位学生在奥运会期间平均每天观看奥运会的时长（单位：分钟），并对收集的数据进行了整理、描述和分析（观看时长用x表示，共分为四个等级：其中，，，），下面给出部分信息： “八年级”观看时长在C等级中的全部数据为：40，40，40，50，50，50，50，50，50； “九年级”的观看时长中，B，D两等级的数据个数相同； A，C两等级的全部数据为：40，40，40，40，40，40，40，50，50，50 两个年级观看时长统计表 年级 八年级 九年级 平均数 45 45 中位数 a 40 众数 50 b 根据以上信息，回答下列问题： (1)填空：______，______；八年级组扇形统计图中C所在扇形的圆心角的度数为______； (2)根据以上数据分析，从两个年级的观看时长来看，哪个年级更关注奥运会？请说明理由； (3)九年级共有1600名学生，请根据调查数据估计九年级平均每天观看时长低于40分钟的学生人数有多少人； 【答案】(1)，， (2)八年级，理由见解析 (3) 【分析】（1）先求出八年级、等级的人数，然后利用“八年级”观看时长在C等级中的全部数据，即可得出八年级的中位数；先根据九年级A，C两等级的人数求出九年级B，D两等级的总人数，再根据“九年级”的观看时长中B、D两等级的数据个数相同，即可求出九年级B，D两等级各有多少人，再结合九年级A，C两等级的全部数据，即可得出九年级的众数；由扇形统计图可得出八年级组扇形统计图中C所在扇形所占的百分比，据此即可求出八年级组扇形统计图中C所在扇形的圆心角的度数； （2）根据平均数、中位数、众数的大小比较得出结论； （3）由九年级A，C两等级的全部数据可知九年级A等级的人数为，由（1）可知九年级B等级有人，因而可知九年级A，B两等级的总人数为人，利用样本估计总体，即可估计出在九年级的1600名学生中平均每天观看时长低于40分钟的学生人数大约有多少人． 【解析】（1）解：八年级、等级的人数为： （人）， 八年级的中位数：， 九年级A，C两等级共有人， 九年级B，D两等级共有：（人）， 又“九年级”的观看时长中，B，D两等级的数据个数相同， 九年级B，D两等级各有：（人）， 九年级的众数：， 八年级组扇形统计图中C所在扇形的圆心角的度数为： ， 故答案为：，，； （2）解：八年级更关注奥运会，理由如下： 由以上数据可知，两个年级观看时长的平均数相等，而八年级观看时长的中位数、众数均大于九年级，因而八年级更关注奥运会； （3）解：由九年级A，C两等级的全部数据可知：九年级A等级的人数为， 由（1）可知：九年级B等级有人， 九年级A，B两等级的总人数为：（人）， （人）， 在九年级的1600名学生中，估计平均每天观看时长低于40分钟的学生人数大约有人． 【点睛】本题主要考查了求中位数，求众数，求扇形统计图的圆心角，平均数的概念，中位数的概念，众数的概念，用样本估计总体等知识点，深刻理解相关概念是解题的关键． 【典例29】．为了加强社区居民对反诈知识的了解，鼓励社区居民在线参与作答“反诈”专项试题，社区管理员随机从甲、乙两个小区各抽取10名人员的答卷成绩，并对他们的成绩（单位：分）进行统计、分析、过程如下：收集数据： 甲小区 80 85 75 95 100 80 80 90 95 75 乙小区 90 75 80 90 80 85 95 90 100 90 整理数据： 成绩（分） 甲小区 5 2 3 乙小区 a 5 2 分析数据： 统计量 平均数 中位数 众数 甲小区 b c 乙小区 90 90 (1)求、、、的值； (2)根据以上的数据分析，请你判断哪个小区对“反诈”专项知识掌握更好？说明理由． 【答案】(1)，，，； (2)乙小区对“反诈”专项知识掌握更好，理由见解析 【分析】（1）找出乙小区中分数在的人数即可求解；根据中位数的定义可求b的值，根据众数的定义即可求出c的值，根据平均数的计算公式可求d的值； （2）比较甲小区、乙小区平均数、中位数、众数，即可得到答案； 【解析】（1）解：乙小区中分数在的有75分，80分，80分，共3人， ∴； 将甲小区数据从小到大排列为：75，75，80，80，80，85，90，95，95，100， ∵数据的个数是偶数， ∴中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数， ∴中位数； ∵甲小区数据中出现次数最多的数据是80， ∴众数； 乙小区平均数； （2）解：乙小区对“反诈”专项知识掌握更好．理由如下： 甲、乙小区随机抽取的10名人员中，“反诈”专项知识的答卷成绩中乙的平均分大于甲的平均分，乙的中位数90大于甲的中位数，乙的众数90大于甲的众数80； ∴乙小区对“反诈”专项知识掌握更好； 【点睛】本题考查了平均数、众数、中位数和统计表综合运用，掌握中位数、众数和平均数的计算方法是解题关键． 一、单选题 1．一组数据：，这组数据的中位数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查中位数，根据中位数的定义直接求解即可，解题的关键是正确理解将一组数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数． 【解析】解：由 从小到大排序为， ∴排在最中间，即这组数据的中位数是， 故选：． 2．五位裁判对某个体操运动员的打分数据是：，这组数据的众数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了众数，一组数据中出现次数最多的数，根据众数概念即可求解． 【解析】解：在数据中出现的次数最多，故众数为； 故选：A． 3．下表是我旗去年某日最高气温的统计结果： 旗（镇） 科尔沁镇 俄体镇 归流河镇 居力很镇 大石寨镇 索伦镇 阿力德尔镇 气温 26 26 25 25 25 23 22 则该日最高气温的众数和中位数分别是（   ） A．25，25 B．25，26 C．25，23 D．24，25 【答案】A 【分析】本题主要考查中位数，众数的计算，根据中位数的计算方法，先排序再找中间数字（当数字个位为奇数时，中间的数为中位数；当数字个数为偶数时，中间两数的平均数是中位数），众数的概念（出现次数最多的数，一组数据中众数可以没有，也可以是1个，2个或多个），由此即可求解． 【解析】解：出现了3次，出现的次数最多， 该日最高气温的众数是； 把这些数从小到大排列，22，23，25，25，25，26，26，中位数是， 故选：． 4．一组数据5，6，6，x，7，8，9的平均数是7，则中位数是（    ） A．6 B．6.5 C．7 D．8 【答案】C 【分析】本题考查平均数和中位数的计算，根据“平均数一组数据的总和这组数据的个数”求出这组数据的总和，然后用加法求出x的值，再根据中位数的求法求出这组数据的中位数. 【解析】解：∵， 解得：， ∴这列数排列为：5，6，6，7，8，8，9， 中位数为：7， 故选C 5．小明调查了班里40名同学一周的体育锻炼情况，结果如图所示．该班40名同学一周参加体育锻炼时间的众数、中位数分别是（   ） A．16小时15小时 B．8小时、9小时 C．10小时、小时 D．8小时、小时 【答案】B 【分析】本题主要考查了中位数、众数的知识，理解并掌握众数和中位数的定义是解题关键．众数是一组数据中出现次数最多的数；将一组数据从小到大排列，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．根据中位数、众数的概念分别求得这组数据的中位数、众数即可． 【解析】解：根据题意，可知这一组数据中出现次数最多的数是8，即该组数据的众数为8； 将这组数据从小到大的顺序排列，处于第20，21位两个数分别为9，9， 所以，这组数据的中位数是． 故选：B． 6．九年级学生完成课题学习“从数据谈节水”后，积极践行“节约用水，从我做起”，下表是从九年级400名学生中选出10名学生统计各自家庭一个月的节水情况： 节水量（） 家庭数（个） 1 2 2 4 1 那么这组数据的众数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了众数，根据众数的定义，即可得出答案，解题的关键是正确理解众数是在一组数据中，出现次数最多的数据． 【解析】解：众数是在一组数据中，出现次数最多的数据，这组数据中出现次，出现的次数最多，故这组数据的众数为； 故选：C． 7．4月23日是世界读书日．习总书记说“希望孩子们养成阅读习惯，快乐阅读，健康成长，”读书正当时，莫负好时光，某校积极开展全员阅读活动，小明为了解本组同学4月份的课外阅读量，对本组同学进行调查，并将调查结果绘制成折线统计图（如图），下列说法中，错误的是（    ） A．小明这组共有14名同学 B．本组同学4月份的课外阅读量的中位数是3本 C．本组同学4月份的课外阅读量的众数是3本 D．本组同学4月份的课外阅读量的平均数是本 【答案】A 【分析】本题考查折线统计图、中位数、众数、平均数，根据统计图的数据即可判断A；把一组数据按照一定的顺序排列，处在最中间的那个数据或处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数，据此可判断B；一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，据此可判断C；根据平均数的定义计算出平均数即可判断D． 【解析】解：A、随机选取了（名）同学，原说法错误，符合题意； B、将数据从小到大排列，位于第8个位置的阅读量为3本，则中位数为3本，原说法正确，不符合题意； C、课外阅读量为3的出现次数最多，则众数为3本，原说法正确，不符合题意； D、该组数据的平均数为（本），原说法正确，不要符合题意． 故选：A． 8．“跳绳”是我市今年初中毕业生升学体育考试选考项目之一，某校积极组织学生训练，最近抽查了部分学生每分钟跳绳次数（单位：次）．将所得数据统计如下（每组只含最低值，不含最高值）：    分组 一 二 三 四 五 六 50～70 70～90 90～110 110～130 130～150 150～170 人数 3 9 8 7 根据以上图表、信息提供的信息，则样本的中位数落在（   ） A．第二组 B．第三组 C．第四组 D．第五组 【答案】C 【分析】本题考查中位数，先根据已知条件求出第二组、第四组人数，再根据中位数的定义求解． 【解析】解：抽查的学生数， 第二组的学生数，第四组的学生数， ，， 第25位、第26位都在第四组， 样本的中位数落在第四组， 故选C． 9．某公司拟推出由7个盲盒组成的套装产品，现有10个盲盒可供选择，统计这10个盲盒的质量如图所示．序号为1到5号的盲盒已选定，这5个盲盒质量的中位数恰好为100，6号盲盒从甲、乙、丙中选择1个，7号盲盒从丁、戊中选择1个，使选定7个盲盒质量的中位数大于100，可以选择（    ） A．甲、丁 B．乙、戊 C．丙、丁 D．丙、戊 【答案】A 【分析】本题主要考查了用中位数确定未知量，由图像可知，要使选定7个盲盒质量的中位数大于100，则需要选择2个100克以上的盲盒，根据选项即可得出正确的答案． 【解析】解：∵7个盲盒， ∴排序后第4个盲盒的质量为中位数， ∴第4个盲盒的质量要大于100， ∴6号盲盒和7号盲盒的质量都要大于100， 故只能选择甲和丁， 故选A． 10．五名学生投篮球，规定每人投20次，统计他们每人投中的次数，得到五个数据，若这五个数据的中位数是7，唯一众数是8，则投中次数之和的最大值为（    ） A．35 B．34 C．33 D．32 【答案】B 【分析】本题考查了中位数，众数的定义，根据题意，可得最大的三个数的和是：，两个较小的数一定是小于6的非负整数，且不相等，则可求得五个数的和的范围，进而判断． 【解析】解：中位数是7．唯一众数是8， 则最大的三个数的和是：，两个较小的数一定是小于7的非负整数，且不相等，即，两个较小的数最大为5和6， 则投中次数之和的最大值为． 故选：B． 二、填空题 11．数据5，7，6，7，8，的众数数是 ．数据1、2、5、3、4、的中位数是 ，平均数是 ． 【答案】 7 3 3 【分析】分别根据众数，中位数以及算术平均数的定义解答即可． 【解析】解：在数据5，7，6，7，8中，7出现的次数最多，故众数为7； 把数据1、2、5、3、4从小到大排列为1、2、3、4、5，故中位数为3；平均数是． 故答案为：7；3；3． 【点睛】本题考查了算术平均数，众数与中位数的意义．将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）叫做这组数据的中位数；如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错． 12．一组数据1，2，5，3，a的平均数是3，则中位数是 ． 【答案】3 【分析】先根据平均数是3，求出a的值，然后根据中位数的定义求出结果即可． 【解析】解：根据题意，1，2，5，3，a的平均数是3， ， 解得，， 将这组数据从小到大排列为：1，2，3，4，5， 最中间的数是3，则这组数据的中位数是3． 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查了平均数和中位数，解题的关键是根据平均数的定义求出，并熟练掌握中位数的定义． 13．如图是容容前三次购买苹果单价的统计图，第四次又买的苹果单价是a元/千克，发现这四个单价的中位数恰好也是众数，则 ． 【答案】8 【分析】根据统计图中的数据利用中位数和众数的定义即可得到a的值． 【解析】由统计图可知，前三次的中位数是8， ∵第四次又买的苹果单价是a元/千克，这四个单价的中位数恰好也是众数， ∴当时，中位数是8.5，众数是9，不合题意； 当时，中位数是8，众数是8，符合题意； 当时，中位数是7，众数是6，不符合题意； 故答案为：8． 【点睛】本题考查条形统计图、中位数、众数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 14．某小组同学在一周内参加家务劳动的时间如表所示，关于“劳动时间”的这组数据，众数 中位数（用“”“”或“”填空） 劳动时间（） 3 3.5 4 4.5 人数 2 4 3 1 【答案】 【分析】根据众数和中位数的概念求解，再比较大小即可得到答案． 【解析】解：这组数据中3.5出现的次数最多， 众数为3.5， ， 中位数为第5、6个人的劳动时间的平均数， 中位数为3.5， ， 中位数＝众数， 故答案为：． 【点睛】本题考查了中位数、众数的概念，有理数的比较大小，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，熟练掌握中位数、众数的概念是解题的关键． 15．一组数据4，6，4，的众数只有一个，则的值不能为 ． 【答案】6 【分析】根据众数的概念求解即可． 【解析】解：一组数据4，6，4，的众数只有一个， 当时，众数为4和6， 的值不能为6， 故答案为：6． 【点睛】本题考查了众数，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，熟练掌握众数的概念是解题的关键． 16．某村小卖部一星期的营业额如图所示，这组数据的中位数是 ． 【答案】80 【解析】略 17．某校合唱团有90名成员，下表是合唱团成员的年龄分布统计表： 年龄（单位：岁） 13 14 15 16 17 频数（单位：名） 17 28 18 其中，队员年龄的众数是 、中位数是 ． 【答案】 14岁 14.5岁 【分析】由频数分布表可知年龄15岁和年龄16岁的两组的频数和为27，即可得知总人数，结合前两组的频数知出现次数最多的数据及第45、46个数据的平均数，可得答案． 【解析】解：由表可知，年龄为15岁与年龄为16岁的频数和为x+27-x=27， 则总人数为：17+28+27+18=90， 故该组数据的众数为14岁， 中位数为：（14+15）÷2=14.5（岁）． 故答案为：14岁，14.5岁． 【点睛】本题主要考查频数分布表及统计量的选择，由表中数据得出数据的总数是根本，熟练掌握中位数、众数的计算方法是解题的关键． 18．为了解某校学生每周课外阅读时间的情况，随机抽取该校a名学生进行调查，获得的数据整理后绘制成统计表如下： 每周课外阅读时间/小时 合计 频数 8 17 b 15 a 频率 0.08 0.17 c 0.15 1 表中组的频数b满足．下面有四个推断： ①表中a的值为100； ②表中c的值可以为0.31： ③这a名学生每周课外阅读时间的中位数一定不在6～8之间： ④这名学生每周课外阅读时间的平均数不会超过6． 所有合理推断的序号是 ． 【答案】①②/②① 【分析】①根据数据总数=频数÷频率，列式计算可求a的值； ②根据组的频数b满足，可求该范围的频数，进一步得到c的值的范围，从而求解； ③根据中位数的定义即可求解； ④根据加权平均数的计算公式即可求解． 【解析】解：①，故表中a的值为100，是合理推断； ②，， ，， 故表中c的值为，表中c的值可以为，是合理推断； ③表中组的频数b满足， ∴，， ∴这100名学生每周课外阅读时间的中位数可能在4~6之间，也可能在6~8之间，故此推断不是合理推断； ④这a名学生每周课外阅读时间的平均数可以超过6，故此推断不是合理推断． 综上，所有合理推断的序号是①②． 故答案为：①②． 【点睛】本题考查频数(率)分布表，中位数，从表中获取数量及数量之间的关系是解决问题的关键． 三、解答题 19．下表是从某校八年级150名女生中随机抽取的10名女生的身高统计表． 身高（cm） 154 158 161 162 165 167 人数 1 2 2 3 1 1 (1)依据样本估计该校八年级女生的平均身高． (2)写出这10名女生身高的中位数和众数． (3)请你依据这个样本，设计一个挑选40名女生组成方队的方案（要求选中女生的身高尽可能接近）． 【答案】(1)该校八年级女生的平均身高约为； (2)中位数是，众数为 (3)由于平均数为，中位数为，众数为，所以可挑选161﹣162的女生参加，比较整齐 【分析】本题考查了求平均数、中位数、众数、样本； （1）平均数就是把这组数据加起来的和除以这组数据的总数； （2）根据中位数和众数的定义解答； （3）根据中位数和众数的意义回答． 【解析】（1）解：平均数， 所以该校八年级女生的平均身高约为； （2）解：162出现了3次，次数最多，所以众数为， 10个数据按从小到大的顺序排列后，第5、第6个数是161、162， 所以中位数是； （3）解：由于平均数为，中位数为，众数为，所以可挑选161﹣162的女生参加，比较整齐． 20．在“慈善一日捐”活动中，为了解某校学生的捐款情况，抽样调查了该校部分学生的捐款数（单位：元），并绘制成下面的统计图． （1）本次调查的样本容量是________，这组数据的众数为________元； （2）求这组数据的平均数； （3）该校共有学生参与捐款，请你估计该校学生的捐款总数． 【答案】（1），；（2）平均数为12元；（3）学生的捐款总数为7200元. 【分析】（1）由题意得出本次调查的样本容量是，由众数的定义即可得出结果； （2）由加权平均数公式即可得出结果； （3）由总人数乘以平均数即可得出答案． 【解析】（1）本次调查的样本容量是，这组数据的众数为元； 故答案为，； （2）这组数据的平均数为（元）； （3）估计该校学生的捐款总数为（元）． 【点睛】此题考查的是条形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．本题也考查了平均数、中位数、众数的定义以及利用样本估计总体的思想． 21．某中学为加强学生的劳动教育，需要制定学生每周劳动实践（单位：小时）的合格标准，为此随机调查了若干名学生目前每周劳动时间，获得数据并整理，绘制出如下的统计图①和图②． 请根据相关信息，解答下列问题： (1)本次接受调查的学生人数为______人，图①中的值为______； (2)求统计的这部分学生每周劳动时间的平均数、众数和中位数． 【答案】(1)， (2)平均数为小时，众数为2小时，中位数为3小时 【分析】（1）用劳动时间为1小时的人数除以其人数占比即可求出参与调查的学生人数，再用劳动时间为2小时的人数除以参与调查的学生人数即可求出m的值； （2）根据中位数，众数和平均数的定义求解即可． 【解析】（1）解：人， ∴本次接受调查的学生人数为人， ∴， ∴， 故答案为：，； （2）解：由题意得，平均数为（小时）， 将参与调查的学生每周劳动时间从低到高排列，处在第名和第名的时间分别为小时，小时， ∴中位数为(小时)， ∵劳动时间为2小时的人数为人，人数最多， ∴众数为2小时． 【点睛】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图信息相关联，平均数，中位数和众数，灵活运用所学知识是解题的关键． 22．为全面增强中学生的体质健康，某学校开展“阳光体育活动”，开设了：A．跳绳：B．篮球；C．排球；D．足球，这4门选修课，要求每名学生只能选择其中的一项参加．全校共有100名男同学选择了A项目，为了解选择A项目男同学的情况，从这100名男同学中随机抽取了30人在操场进行测试，并将他们的成绩x（个/分钟）绘制成频数分布直方图． (1)若抽取的同学的测试成绩落在这一组的数据为160，162，161，163，162，164，则该组数据的中位数是______，众数是_____； (2)扇形统计图中D项目所占圆的圆心角为______度； (3)根据题中信息，估计选择B项目的男生共有多少人？ 【答案】(1)162，162 (2)108 (3)175 【分析】本题主要考查了频数分布直方图，扇形统计图， 对于（1），根据中位数和众数的定义解答即可； 对于（2），先求出D项目所占的百分比，即可求出答案； 对于（3），先求出全校的人数，进而求出答案． 【解析】（1）将数据重新排列为：， 所以中位数是，众数是162． 故答案为：162，162； （2）， 所以扇形统计图中D项目所占圆的圆心角为． 故答案为：； （3），． 所以，估计选择B项目的男生共有175人． 23．某校为了解九年级学生每天参加体育锻炼的时间，从该校九年级学生中随机抽取20名学生进行调查，得到如下数据（单位：分钟）： 30  60  70  10  30  115  70  60  75  90  15  70  40  75  105  80  60  30  70  5 对以上数据进行整理分析，得到表一和表二： 表一 时间（单位：分钟） 人数 3 4 10 3 表二 平均数 中位数 众数 58 根据以上提供的信息，解答下列问题： (1)填空：__________，__________． (2)如果该校现有九年级学生500名，请估计该校九年级学生每天参加体育锻炼的时间达到平均水平及以上的学生人数． (3)请你对该校九年级学生体育锻炼的情况给出评价和建议． 【答案】(1)65；70． (2)估计该校九年级学生每天参加体育锻炼的时间达到平均水平及以上的学生人数约为325人； (3)见解析 【分析】本题考查中位数，众数，平均数，样本估计总体的思想等知识． （1）根据中位数和众数的定义求解即可； （2）总人数乘以样本中达到平均水平及以上的学生人数所占比例即可； （3）答案不唯一，合理均可． 【解析】（1）解：将这组数据重新排列为：5、10、15、30、30、30、40、60、60、60、70、70、70、70、75、75、80、90、105、115， 所以这组数据的中位数，众数， 故答案为：65、70； （2）解：根据题意，平均数为58， ∴达到平均水平及以上的人数为：（人）， ∴（人， 答：估计该校九年级学生每天参加体育锻炼的时间达到平均水平及以上的学生人数约为325人； （3）解：该校九年级学生体育锻炼的平均时间为58分钟，不够1小时；达到1小时锻炼时间的学生为，偏低， 所以建议学校加强教育，促进更多的学生参加体育锻炼，拥有强健体魄，才会有更好精神状态投入文化课的学习中去（合理即可）． 24．某公司计划购入语音识别输入软件，提高办公效率．市面上有A、B两款语音识别输入软件，该公司准备择优购买． 【实践发现】 测试员小林随机选取了20段短文，其中每段短文都有10个文字．他用标准普通话以相同的语速朗读每段短文来测试这两款软件，并将语音识别结果整理数据如下． A款软件每段短文中识别正确的字数记录如下：5，5，6，6，6，6，6，6，7，9，9，9，9，9，10，10，10，10，10． 【实践探究】 A、B两款软件每段短文中识别正确的字数分析数据如下表： 软件 平均数 众数 中位数 识别正确9字及以上的段数所占百分比 A款 7.7 6 8 B款 a 8 b 【问题解决】 (1)上述表格中：______，______； (2)若你是测试员小林，根据上述数据，你会向公司推荐哪款软件？请说明理由（写出一条理由即可）； (3)若会议记录员用A、B两款软件各识别了800段短文，每段短文有10个文字，请估计这两款软件一字不差地识别正确的短文共有多少段？ 【答案】(1)7.7；8 (2)款，理由见解析 (3)280段 【分析】本题考查折线统计图、中位数、众数、平均数、用样本估计总体，解答本题的关键是读懂题意，理解各个概念的内涵和计算方法，利用数形结合的思想解答． （1）根据平均数、中位数的意义，可以得到，的值； （2）根据表格中的数据，由于平均数相同，因此可以从9字及以上次数所占百分比比较得出答案； （3）分别求出把款语音识别完全正确的百分比和款语音识别完全正确的百分比，再根据题意求解即可． 【解析】（1）， 故款的平均数为7.7，即， 由折线图可得，将款语音识别输入软件每次识别正确的字数从小到大排列，第10，11个数都是8， 故中位数为8，即， 款语音识别输入软件识别正确9字及以上的段数所占百分比为：． 故答案为：7.7，8； （2）会向公司推荐款软件；理由如下： 款语音识别输入软件中更准确，因为在9字及以上次数所占百分比中，款是，大于款，说明款识别准确率更高， 会向公司推荐款软件； （3）款语音识别完全正确的百分比是：， 款语音识别完全正确的百分比是：， 估计这800段短文中输入完全正确的有：（段）， 答：估计这两款软件一字不差地识别正确的短文共有280段． 25．2023年6月6日，学校七、八年级开展了“全国爱眼日”知识竞赛活动，并分别从七、八年级中各抽取20名学生的竞赛成绩（成绩均为整数，满分10分，6分及以上为合格），数据整理及统计分析如下： 八年级抽取的学生的竞赛成绩：5，5，5，5，6，6，7，7，7，7，7，8，8，8，9，9，9，10，10，10． 七、八年级抽取的学生的竞赛成绩统计表             年级 七年级 八年级 平均数 7.4 7.4 中位数 a b 众数 7 c 合格率 七年级抽取学生的竞赛成绩条形统计图 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空： ______， ______， _____； (2)若该校七年级有600名学生，八年级有800名学生，请估计两个年级竞赛成绩达到9分及以上的总人数； (3)请根据以上数据分析，从中位数、众数中任选其一，说明其在本题中的实际意义． 【答案】(1)7.5，7，7 (2)390人 (3)见解析 【分析】本题主要考查了条形统计图的相关知识，中位数，众数的定义以及意义，用样本估计总体等知识． （1）根据中位数以及众数的定义求解即可． （2）先用七年级的样本估计总体，再用八年级的样本估计总体，最后相加即可． （3）根据中位数、众数的定义回答即可． 【解析】（1）解：，， 八年级里面7分出现的次数最多， ∴， 故答案为：7.5，7，7 （2） 答：估计两个年级竞赛成绩达到9分及以上的总人数为390人中位数：七年级学生成绩的中位数为7.5分，说明七年级约有一半的学生成绩大于7.5分， （3）中位数：七年级学生成绩的中位数为7.5分，说明七年级约有一半的学生成绩大于7.5分， 八年级学生成绩的中位数为7分，说明八年级约有一半的学生成绩大于7分； 众数：七、八年级学生成绩的众数均为7分，说明两个年级学生成绩在7分的人数均最多．（答案不唯一，任选其一即可） 26．某学校七八两个年级各有学生500人．为了普及冬奥如识．学校在七八年级举行了一次冬奥知识竞赛，为了解这两个年级学生的冬奥知识竞赛成绩（百分制），分别从两个年级各随机抽取了20名学生的成绩进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息． a、七八年级的样本成绩分布如下： 七 0 0 0 0 4 3 7 4 2 0 八 1 1 0 0 0 4 6 5 2 1 （说明：成绩在50分以下为不合格．在分为合格，70分及以上为优秀） b、七年级成绩在一组的是：61，62，63，65，66，68，69 c、七八年级成绩的平均数、中位数、优秀率、合格率如下： 年级 平均数 中位数 优秀率 合格率 七 64.7 八 63.3 67 根据以上信息，回答下列问题： (1)上述表中________，________； (2)小军的成绩在此次抽样之中，与他所在的年级的抽样相比，小军的成绩高于平均数，却排在了后十名，则小军是________年级的学生；（选填“七”或“八”） (3)根据样本数据，请估计参加这次竞赛活动优秀学生人数； (4)根据样本数据，你认为哪个年级的竞赛成绩更好，请说明理由． 【答案】(1)64， (2)八 (3)350 (4)见解析 【分析】（1）根据中位数的求法求出的值，用样本中七年级优秀的学生人数除以20得到的值； （2）八年级的平均数是63.3分，而中位数是67分，因此成绩高于平均数，却可能排在后十名； （3）用1000乘样本优秀率即可； （4）从平均数、数据的离散程度等方面进行判断． 【解析】（1）将七年级成绩从小到大排列后处在第10、11位的两个数的平均数为，即， 分及以上为优秀， 优秀率． 故答案为：64，； （2）八年级的平均数是63.3分，而中位数是67分，因此成绩高于平均数，却可能排在后十名， 所以小军是八年级的学生． 故答案为：八； （3）（人． 故估计参加这次竞赛活动优秀学生人数是350人． （4）答案不唯一，合理即可． 比如：七年级的竞赛成绩更好． 理由如下：从平均数上看七年级的较高，从数据的离散程度上看七年级较整齐， 七年级的竞赛成绩更好． 又如：八年级的竞赛成绩更好． 理由如下：八年级成绩的中位数、优秀率、合格率都高于七年级，说明大部分同学的成绩较高， 八年级的竞赛成绩更好． 【点睛】本题考查了平均数、中位数、方差的意义以及频数分布表，明确平均数、中位数、方差所反映数据的特征是解决问题、做出判断的前提． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 34 页 共 34 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第12讲 表示一组数据平均水平的量—中位数和众数（八大题型） 学习目标 1、 了解中位数与众数的概念； 2、 学会计算中位数和众数，用合适的统计量决策； 3、 掌握平均数、中位数、众数的联系与区别。 一、中位数和众数 1.中位数的概念：将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数称为这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数称为这组数据的中位数. 要点：（1）一组数据的中位数是唯一的；一组数据的中位数不一定出现在这组数据中. （2）由一组数据的中位数可以知道中位数以上和以下数据各占一半. 2.众数的概念：一组数据中出现次数最多的数据称为这组数据的众数. 要点：（1）一组数据的众数一定出现在这组数据中；一组数据的众数可能不止一个；如果所有数据出现的次数都一样，那么这组数据就没有众数. （2）众数是一组数据中出现次数最多的数据而不是数据出现的次数. 二、平均数、中位数与众数的联系与区别 联系：平均数、众数、中位数都是用来描述数据集中趋势的量，其中以平均数最为重要. 区别：平均数的大小与每一个数据都有关，任何一个数的波动都会引起平均数的波动，当一组数据中有个别数据太高或太低，用平均数来描述整体趋势则不合适，用中位数或众数则较合适.中位数与数据排列位置有关，个别数据的波动对中位数没影响；众数主要研究各数据出现的频数，当一组数据中不少数据多次重复出现时，可用众数来描述. 【即学即练1】某校九年级有8个班级，人数分别为37，32，32，36，37，32，38，34．则这组数据的中位数为 ． 【即学即练2】王老师统计了某一小组8个人的数学成绩，成绩如下（单位：分）：85，86，85，77，95，97，86，86，这组数据的众数是 ． 【即学即练3】一组数据：3，4，4，，5，5，9，其平均数是5，则众数是 ． 【即学即练4】一组数据2，3，5，6，a的众数与中位数相等，则 ． 【即学即练5】一组2，，y，14中，平均数是12，唯一的众数是14，则数据的中位数是 ． 题型1：求一组数据的中位数 【典例1】．已知数据1，2，4，6，8，8，这组数据的中位数是 ． 【典例2】．某小组5名同学的英语口试成绩（满分30分）依次为：27，26，28，30、25，则这组数据的中位数为 ． 【典例3】．在体育课上，小亮同学分别进行了五次跳远测试，成绩（单位：米）分别为1.93，1.90，2.12，1.95，2.05，则这组数据的中位数是 ． 【典例4】．如图所示为根据某市某天六个整点时刻的温度绘制成的折线统计图，则这六个整点时刻温度的中位数是 ℃． 题型2：已知中位数求参数；平均数与中位数 【典例5】．一组数据1，3，5，x的平均数与中位数相同，则x的值是 ． 【典例6】．已知一组数据，，，，，它们的中位数是，则 ． 【典例7】．某校首届校园模拟电子射击比赛中，小宇和小轩两人在相同条件下各射击6次，命中的环数如下(单位：环)： 小宇：7，9，8，6，9，8； 小轩：10，5，6，9，，9， 如果两人的比赛成绩的中位数相同，那么小轩的第五次成绩是 环． 【典例8】．现有一列数：6，3，3，4，5，4，3，若增加一个数后，这列数的中位数仍不变，则的值不可能为 ． 题型3：用中位数决策 【典例9】．在某次体育测试中，甲、乙两班成绩的平均数、中位数、方差如下表： 班级 人数 平均数/分 中位数/分 方差 甲班 45 82 91 19.3 乙班 45 87 89 5.8 规定学生个人成绩大于90分为优秀，则甲、乙两班中优秀人数更多的是 班（填“甲”或“乙”）． 【典例10】．某企业生产部负责人为了合理制定产品的每天生产定额，统计了20名工人某天的生产零件个数，并绘制成如图所示的折线统计图，为了让一半以上的工人能完成，定额又尽量多，那么每人每天生产定额应定为 个．    【典例11】．两台A、B型号的大米自动封装机包装的质量为的袋食品中各封装了10袋大米，测得其实际质量如下表（单位：）： A B 由上表可以判断 型号自动封装机性能更好． 题型4：求一组数据的众数 【典例12】．数据的众数为 ． 【典例13】．美美在“阳光大课间”活动中进行了5次一分钟跳绳练习，所跳个数分别为：163，163，160，157，161．这组数据的众数为 ． 【典例14】．安全教育是素质教育的重要内容之一，为增强学生的安全意识，提升学生自我保护 能力，某校对学生进行了“中小学生安全知识100条”的讲座和实践活动，为检验学习效果，对学生进行了安全知识测试，并随机抽取了8位学生成绩如下（满分：100分）：98，85，90，88，92，95，82，90，则这一组数据的众数是 ． 题型5：已知众数求参数；平均数、中位数、众数 【典例15】．已知数据2，3，2，3，5，x的众数是2，则x的值是 ． 【典例16】．一组数据：、、、、、的众数是，在这组数据的中位数是 ； 【典例17】．已知一个样本为1，3，5，6，a，其中它的众数是5，则它的平均数为 ． 【典例18】．一组从小到大排列的数据：，，，，（为正整数），唯一的众数是，则数据是 ． 【典例19】．在一次引体向上测试中，某小组8名男生的成绩分别为：13，9，a，11，7，11，8，9，若这组数据的唯一众数为11，则这组数据的中位数为 ． 【典例20】．五名同学进行投篮练习，规定每人投次，统计他们每人投中的次数，得到个数据，若这个数据的中位数是，唯一众数是设另外两个数据分别是，，则的值不可能是（   ） A． B． C． D． 题型6：用众数决策 【典例21】．某班级计划利用暑假去研学旅行，他们准备订做一批容量相同的双肩包．活动负责人征求了全班40名同学的意向，得到如下数据： 容量/L 23 25 27 29 31 33 人数/人 4 3 5 23 3 2 为了满足大多数人的需求，此次订做的双肩包容量为 ． 【典例22】．某商店销售5种领口大小（单位：cm）分别为38，39，40，41，42的衬衫．为了调查各种领口大小衬衫的销售情况，商店统计了某天的销售情况，并绘制了如图所示的扇形统计图，则该商店应将领口大小为 cm的衬衫进的最少． 【典例23】．一家商店在一段时间内销售了四种饮料100瓶，各种饮料的销售量如表所示： 品牌 甲 乙 丙 丁 销售量/瓶 12 42 13 33 建议这家商店进货数量最多的品牌是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 题型7：选择合适的统计量决策 【典例24】．位学生分别购买如下尺码的鞋子：，，，，，，，，，单位：这组数据的平均数、中位数、众数三个指标中鞋店老板最不喜欢的是 ，最喜欢的是 ． 【典例25】．某公司员工的月工资如下： 员工 经理 副经理 职员 职员 职员 职员 职员 职员 杂工 月工资/元 7000 4400 2400 2000 1900 1800 1800 1800 1200 经理、职员、职员从不同的角度描述了该公司员工的收入情况．设该公司员工的月工资数据（见上述表格）的平均数、中位数、众数分别为、、，请根据上述信息完成下列问题： （1）___________，_________，_________； （2）上月一个员工辞职了，从本月开始，停发该员工工资．若本月该公司剩下的8名员工的月工资不变，但这8名员工的月工资数据（单位：元）的平均数比原9名员工的月工资数据（见上述表格）的平均数减小了．你认为辞职的那名员工可能是___________． 题型8：解答题 【典例26】．2024年4月25日，神舟十八号载人飞船计划成功发射，激发了同学们的爱国热情．某校为了解七、八年级学生对“航空航天”知识的掌握情况，对七、八年级学生进行了测试．现从七、八年级各随机抽取了15名学生的测试成绩进行了以下数据的整理与分析： 【数据收集】 七年级：68，70，72，73，78，82，83，84，85，85、89，92，93，96，98； 八年级：56，69，73，77，79，82，85，88，88，88，90，90，93，93，94； 【数据分析】 年级 平均数 中位数 众数 七年级 83 a 85 八年级 83 88 b 根据以上信息，解答下列问题： (1)______，______； (2)请推断哪个年级的测试成绩较好，并说明理由（写出一条理由即可）； (3)测试成绩在分的学生可以获得奖励，若该校七年级有600名学生，八年级有660名学生，估计七、八年级可以获得奖励的学生总人数为多少？ 【典例27】．某校七、八年级各有350名学生，为了解该校七、八年级学生对党史知识的掌握情况，从七、八年级学生中各随机抽取15人进行党史知识测试，统计这部分学生的测试成绩（成绩均为整数，满分10分，8分及8分以上为优秀），相关数据统计整理如下： 七年级抽取学生的成绩：6，6，6，8，8，8，8，8，8，8，9，9，9，9，10． 七、八年级抽取学生的测试成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 8 8 众数 a 7 中位数 8 b 优秀率 80％ 60％ (1)填空：________，________． (2)请估计七、八年级学生对党史知识掌握能够达到优秀的总人数； (3)现从七、八年级获得10分的4名学生中随机抽取2人参加市党史知识竞赛，请用列表法或画树状图法，求出被选中的2人恰好是七、八年级各1人的概率． 【典例28】．在2024巴黎奥运会上，中国运动代表团取得了优异的成绩，为了了解中学生对奥运会的关注程度，在八年级和九年级各自随机调查了20位学生在奥运会期间平均每天观看奥运会的时长（单位：分钟），并对收集的数据进行了整理、描述和分析（观看时长用x表示，共分为四个等级：其中，，，），下面给出部分信息： “八年级”观看时长在C等级中的全部数据为：40，40，40，50，50，50，50，50，50； “九年级”的观看时长中，B，D两等级的数据个数相同； A，C两等级的全部数据为：40，40，40，40，40，40，40，50，50，50 两个年级观看时长统计表 年级 八年级 九年级 平均数 45 45 中位数 a 40 众数 50 b 根据以上信息，回答下列问题： (1)填空：______，______；八年级组扇形统计图中C所在扇形的圆心角的度数为______； (2)根据以上数据分析，从两个年级的观看时长来看，哪个年级更关注奥运会？请说明理由； (3)九年级共有1600名学生，请根据调查数据估计九年级平均每天观看时长低于40分钟的学生人数有多少人； 【典例29】．为了加强社区居民对反诈知识的了解，鼓励社区居民在线参与作答“反诈”专项试题，社区管理员随机从甲、乙两个小区各抽取10名人员的答卷成绩，并对他们的成绩（单位：分）进行统计、分析、过程如下：收集数据： 甲小区 80 85 75 95 100 80 80 90 95 75 乙小区 90 75 80 90 80 85 95 90 100 90 整理数据： 成绩（分） 甲小区 5 2 3 乙小区 a 5 2 分析数据： 统计量 平均数 中位数 众数 甲小区 b c 乙小区 90 90 (1)求、、、的值； (2)根据以上的数据分析，请你判断哪个小区对“反诈”专项知识掌握更好？说明理由． 一、单选题 1．一组数据：，这组数据的中位数是（    ） A． B． C． D． 2．五位裁判对某个体操运动员的打分数据是：，这组数据的众数是（    ） A． B． C． D． 3．下表是我旗去年某日最高气温的统计结果： 旗（镇） 科尔沁镇 俄体镇 归流河镇 居力很镇 大石寨镇 索伦镇 阿力德尔镇 气温 26 26 25 25 25 23 22 则该日最高气温的众数和中位数分别是（   ） A．25，25 B．25，26 C．25，23 D．24，25 4．一组数据5，6，6，x，7，8，9的平均数是7，则中位数是（    ） A．6 B．6.5 C．7 D．8 5．小明调查了班里40名同学一周的体育锻炼情况，结果如图所示．该班40名同学一周参加体育锻炼时间的众数、中位数分别是（   ） A．16小时15小时 B．8小时、9小时 C．10小时、小时 D．8小时、小时 6．九年级学生完成课题学习“从数据谈节水”后，积极践行“节约用水，从我做起”，下表是从九年级400名学生中选出10名学生统计各自家庭一个月的节水情况： 节水量（） 家庭数（个） 1 2 2 4 1 那么这组数据的众数是（    ） A． B． C． D． 7．4月23日是世界读书日．习总书记说“希望孩子们养成阅读习惯，快乐阅读，健康成长，”读书正当时，莫负好时光，某校积极开展全员阅读活动，小明为了解本组同学4月份的课外阅读量，对本组同学进行调查，并将调查结果绘制成折线统计图（如图），下列说法中，错误的是（    ） A．小明这组共有14名同学 B．本组同学4月份的课外阅读量的中位数是3本 C．本组同学4月份的课外阅读量的众数是3本 D．本组同学4月份的课外阅读量的平均数是本 8．“跳绳”是我市今年初中毕业生升学体育考试选考项目之一，某校积极组织学生训练，最近抽查了部分学生每分钟跳绳次数（单位：次）．将所得数据统计如下（每组只含最低值，不含最高值）：    分组 一 二 三 四 五 六 50～70 70～90 90～110 110～130 130～150 150～170 人数 3 9 8 7 根据以上图表、信息提供的信息，则样本的中位数落在（   ） A．第二组 B．第三组 C．第四组 D．第五组 9．某公司拟推出由7个盲盒组成的套装产品，现有10个盲盒可供选择，统计这10个盲盒的质量如图所示．序号为1到5号的盲盒已选定，这5个盲盒质量的中位数恰好为100，6号盲盒从甲、乙、丙中选择1个，7号盲盒从丁、戊中选择1个，使选定7个盲盒质量的中位数大于100，可以选择（    ） A．甲、丁 B．乙、戊 C．丙、丁 D．丙、戊 10．五名学生投篮球，规定每人投20次，统计他们每人投中的次数，得到五个数据，若这五个数据的中位数是7，唯一众数是8，则投中次数之和的最大值为（    ） A．35 B．34 C．33 D．32 二、填空题 11．数据5，7，6，7，8，的众数数是 ．数据1、2、5、3、4、的中位数是 ，平均数是 ． 12．一组数据1，2，5，3，a的平均数是3，则中位数是 ． 13．如图是容容前三次购买苹果单价的统计图，第四次又买的苹果单价是a元/千克，发现这四个单价的中位数恰好也是众数，则 ． 14．某小组同学在一周内参加家务劳动的时间如表所示，关于“劳动时间”的这组数据，众数 中位数（用“”“”或“”填空） 劳动时间（） 3 3.5 4 4.5 人数 2 4 3 1 15．一组数据4，6，4，的众数只有一个，则的值不能为 ． 16．某村小卖部一星期的营业额如图所示，这组数据的中位数是 ． 17．某校合唱团有90名成员，下表是合唱团成员的年龄分布统计表： 年龄（单位：岁） 13 14 15 16 17 频数（单位：名） 17 28 18 其中，队员年龄的众数是 、中位数是 ． 18．为了解某校学生每周课外阅读时间的情况，随机抽取该校a名学生进行调查，获得的数据整理后绘制成统计表如下： 每周课外阅读时间/小时 合计 频数 8 17 b 15 a 频率 0.08 0.17 c 0.15 1 表中组的频数b满足．下面有四个推断： ①表中a的值为100； ②表中c的值可以为0.31： ③这a名学生每周课外阅读时间的中位数一定不在6～8之间： ④这名学生每周课外阅读时间的平均数不会超过6． 所有合理推断的序号是 ． 三、解答题 19．下表是从某校八年级150名女生中随机抽取的10名女生的身高统计表． 身高（cm） 154 158 161 162 165 167 人数 1 2 2 3 1 1 (1)依据样本估计该校八年级女生的平均身高． (2)写出这10名女生身高的中位数和众数． (3)请你依据这个样本，设计一个挑选40名女生组成方队的方案（要求选中女生的身高尽可能接近）． 20．在“慈善一日捐”活动中，为了解某校学生的捐款情况，抽样调查了该校部分学生的捐款数（单位：元），并绘制成下面的统计图． （1）本次调查的样本容量是________，这组数据的众数为________元； （2）求这组数据的平均数； （3）该校共有学生参与捐款，请你估计该校学生的捐款总数． 21．某中学为加强学生的劳动教育，需要制定学生每周劳动实践（单位：小时）的合格标准，为此随机调查了若干名学生目前每周劳动时间，获得数据并整理，绘制出如下的统计图①和图②． 请根据相关信息，解答下列问题： (1)本次接受调查的学生人数为______人，图①中的值为______； (2)求统计的这部分学生每周劳动时间的平均数、众数和中位数． 22．为全面增强中学生的体质健康，某学校开展“阳光体育活动”，开设了：A．跳绳：B．篮球；C．排球；D．足球，这4门选修课，要求每名学生只能选择其中的一项参加．全校共有100名男同学选择了A项目，为了解选择A项目男同学的情况，从这100名男同学中随机抽取了30人在操场进行测试，并将他们的成绩x（个/分钟）绘制成频数分布直方图． (1)若抽取的同学的测试成绩落在这一组的数据为160，162，161，163，162，164，则该组数据的中位数是______，众数是_____； (2)扇形统计图中D项目所占圆的圆心角为______度； (3)根据题中信息，估计选择B项目的男生共有多少人？ 23．某校为了解九年级学生每天参加体育锻炼的时间，从该校九年级学生中随机抽取20名学生进行调查，得到如下数据（单位：分钟）： 30  60  70  10  30  115  70  60  75  90  15  70  40  75  105  80  60  30  70  5 对以上数据进行整理分析，得到表一和表二： 表一 时间（单位：分钟） 人数 3 4 10 3 表二 平均数 中位数 众数 58 根据以上提供的信息，解答下列问题： (1)填空：__________，__________． (2)如果该校现有九年级学生500名，请估计该校九年级学生每天参加体育锻炼的时间达到平均水平及以上的学生人数． (3)请你对该校九年级学生体育锻炼的情况给出评价和建议． 24．某公司计划购入语音识别输入软件，提高办公效率．市面上有A、B两款语音识别输入软件，该公司准备择优购买． 【实践发现】 测试员小林随机选取了20段短文，其中每段短文都有10个文字．他用标准普通话以相同的语速朗读每段短文来测试这两款软件，并将语音识别结果整理数据如下． A款软件每段短文中识别正确的字数记录如下：5，5，6，6，6，6，6，6，7，9，9，9，9，9，10，10，10，10，10． 【实践探究】 A、B两款软件每段短文中识别正确的字数分析数据如下表： 软件 平均数 众数 中位数 识别正确9字及以上的段数所占百分比 A款 7.7 6 8 B款 a 8 b 【问题解决】 (1)上述表格中：______，______； (2)若你是测试员小林，根据上述数据，你会向公司推荐哪款软件？请说明理由（写出一条理由即可）； (3)若会议记录员用A、B两款软件各识别了800段短文，每段短文有10个文字，请估计这两款软件一字不差地识别正确的短文共有多少段？ 25．2023年6月6日，学校七、八年级开展了“全国爱眼日”知识竞赛活动，并分别从七、八年级中各抽取20名学生的竞赛成绩（成绩均为整数，满分10分，6分及以上为合格），数据整理及统计分析如下： 八年级抽取的学生的竞赛成绩：5，5，5，5，6，6，7，7，7，7，7，8，8，8，9，9，9，10，10，10． 七、八年级抽取的学生的竞赛成绩统计表             年级 七年级 八年级 平均数 7.4 7.4 中位数 a b 众数 7 c 合格率 七年级抽取学生的竞赛成绩条形统计图 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空： ______， ______， _____； (2)若该校七年级有600名学生，八年级有800名学生，请估计两个年级竞赛成绩达到9分及以上的总人数； (3)请根据以上数据分析，从中位数、众数中任选其一，说明其在本题中的实际意义． 26．某学校七八两个年级各有学生500人．为了普及冬奥如识．学校在七八年级举行了一次冬奥知识竞赛，为了解这两个年级学生的冬奥知识竞赛成绩（百分制），分别从两个年级各随机抽取了20名学生的成绩进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息． a、七八年级的样本成绩分布如下： 七 0 0 0 0 4 3 7 4 2 0 八 1 1 0 0 0 4 6 5 2 1 （说明：成绩在50分以下为不合格．在分为合格，70分及以上为优秀） b、七年级成绩在一组的是：61，62，63，65，66，68，69 c、七八年级成绩的平均数、中位数、优秀率、合格率如下： 年级 平均数 中位数 优秀率 合格率 七 64.7 八 63.3 67 根据以上信息，回答下列问题： (1)上述表中________，________； (2)小军的成绩在此次抽样之中，与他所在的年级的抽样相比，小军的成绩高于平均数，却排在了后十名，则小军是________年级的学生；（选填“七”或“八”） (3)根据样本数据，请估计参加这次竞赛活动优秀学生人数； (4)根据样本数据，你认为哪个年级的竞赛成绩更好，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $$