第二十七章 相似（B卷·培优·单元重点综合测试）-2024-2025学年九年级数学下册单元速记·巧练（人教版，江西专用）

第二十七章 相似（B卷·培优卷） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1．如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上，若线段，则线段BC的长为（　　） A． B． C．1 D． 2．如图，将△ABC的AB边与刻度尺的边缘重合，点A，D，B分别对应刻度尺上的整数刻度．已知，，，下列结论不正确的是（　　） A． B． C． D． 3．如图所示，在正方形网格上有6个三角形：①△ABC；②△BCD；③△BDE；④△BFG；⑤△FGH；⑥△EFK.其中②～⑥中与①相似的是（　　） A．②③④ B．③④⑤ C．④⑤⑥ D．②③⑥ 4．如图，在△ABC中，∠C＝90°，将△ABC沿直线MN翻折后，顶点C恰好落在AB边上的点D处，已知MN∥AB，MC＝6，NC＝ ，则四边形MABN的面积是（　　） A． B． C． D． 5．如图，已知在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD为BC边的中线，过点C作CE⊥AD于点E，交AB于点F．若AC＝2，则线段EF的长为（　　） A． B． C． D． 6．如图，正方形的边长为12，E是中点，F是对角线上一点，且，在上取点G，使得，交于H，则的长为（　　） A．4 B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7．如图，AC∥EF∥DB，若AC=8，BD=12，则EF=　 　． 8．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC交AC于点D．若BC＝2，则AD的长度为 　 　． 9．如图，点A在反比例函数y＝ （x＞0）的图象上，点B在x轴负半轴上，直线AB交y轴于点C，若 ＝ ，△AOB的面积为6，则k的值为　 　. 10．如图，BD是△ABC的中线，点E在线段BC上，连接AE交BD于点F，点G为AE中点，连接DG，若，则　 　． 11．如图，A、B、C、D依次为一直线上4个点，BC=2，△BCE为等边三角形，⊙O过A、D、E 三点，且∠AOD=120°．设AB=x，CD=y，则y与x的函数关系式为　 　．（写出自变量的取值范围） 12．如图，平面直角坐标系中有正方形 和正方形 ，若点 和点 的坐标分别为 ， ，则两个正方形的位似中心的坐标是　 　． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AC、AB上，AB＝2AD，AC＝2AE． （1）求证：△ADE∽△ABC； （2）如果△ADE的面积为2，求四边形BCDE的面积． 14． 如图，在平行四边形中，为边上一点，． （1）求证：∽； （2）若，，求的长． 15．在四边形ABCD中， ， ， ， ， 的平分线分别交AD、AC于点E、F，求 的值． 16．如图1，滹沱河是山西地区一条途经了舟山和太行山的知名河流，这条河流的流域面积达到了2.73万平方公里，其发源地处于山西省繁峙县泰戏山桥儿沟村，这条河流早在《山海经》中就有出现过，被叫做为虔池．为了估算河流的宽度，我们在河的对岸选定一个目标P，在近岸取点A和C，使点P、A、C共线且与河垂直，接着在过点C且与直线PC垂直的直线上选择适当的点D，确定PD与过点A且与PC垂直的直线交点B，测得AC＝50m，CD＝120m，AB＝80m，请根据这些数据求河的宽度PA． 17． 如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．的顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示． （1）在图1中，先在上画点D，使得，再在上画点E，使得； （2）先将线段绕点A逆时针旋转得到线段，画出线段，再在上画一点P，使的值最小． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18．如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为（2，3）．双曲线y= （x＞0）的图象经过BC的中点D，且与AB交于点E，连接DE． （1）求k的值及点E的坐标； （2）若点F是OC边上一点，且△FBC∽△DEB，求直线FB的解析式． 19．已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，对角线AC、BD交于点E，点F在边AB上，连接CF交线段BE于点G，CG2=GE•GD． （1）求证：∠ACF=∠ABD； （2）连接EF，求证：EF•CG=EG•CB． 20．如图．已知四边形 是矩形．点E在 的延长线上． 与 相交于点G，与 相交于点 （1）求证： ； （2）若 ，求 的长； （3）连接 ，求证： ． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21．【教材呈现】九年级上册63页例1． 如图，在△ABC中，点D是边AB的三等分点，DE∥BC，DE=5，求BC的长． 【应用拓展】 （1）如图①，在△ABC中，点D是边AB的中点，点F为BC延长线上一点，连接DF交AC于点E，若DE：EF=3：1，DG∥AC，EC=2，则AC的长为 　 　． （2）如图②，在△ABC中，点D为边BA延长线上一点，点E为BC上一点，连接DE交AC于点F，若点A为DB的中点，CE：EB=1：2，△DBE的面积为4，则△CFE（阴影部分）面积为 　 　． 22．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC.在平面内任取一点D，连结AD（AD＜AB），将线段AD绕点A逆时针旋转90°，得到线段AE，连结DE，CE，BD. （1）直线BD和CE的位置关系是　 　； （2）猜测BD和CE的数量关系并证明； （3）设直线BD，CE交于点P，把△ADE绕点A旋转，当∠EAC＝90°，AB＝2，AD＝1时，直接写出PB的长. 六、解答题（本大题共12分） 23．【阅读】如图1，若△ABD∽△ACE，且点B，D，C在同一直线上，则我们把△ABD与△ACE称为旋转相似三角形． （1）【理解】如图2，△ABC和△ADE是等边三角形，点D在边BC上，连接CE．求证：△ABD与△ACE是旋转相似三角形． （2）【应用】如图3，△ABD与△ACE是旋转相似三角形，AD∥CE，求证：AC＝DE． （3）【拓展】如图4，AC是四边形ABCD的对角线，∠D＝90°，∠B＝∠ACD，BC＝25，AC＝20，AD＝16，试在边BC上确定一点E，使得四边形AECD是矩形，并说明理由． 试卷第2页，共36页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十七章 相似（B卷·培优卷） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1．如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上，若线段，则线段BC的长为（　　） A． B． C．1 D． 【答案】C 【解析】解：如图，过点A作垂直于五线谱的横线，分别交于点D和点E， ∵五线谱是由 等距离、等长度的五条平行横线组成的， ∴，∠ABD=∠ACE，∠ADB=∠AEC=90°， ∴△ABD∽△ACE， ∴， 又∵AB=3， ∴AC=4， ∴BC=AC-AB=1， 故答案为：C. 2．如图，将△ABC的AB边与刻度尺的边缘重合，点A，D，B分别对应刻度尺上的整数刻度．已知，，，下列结论不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：观察可知AD=4，AB=10，BD=6. ∵DE//AC，EF//AB. ∴四边形ADEF是平行四边形， ∴DE=AF=1.8， EF=AD=4. ∵DE//AC， ∴△BDE∽△BAC， ∴，即， ∴AC=3.故选项A，C，D正确. ∵CF=AC-AF=3-1.8=1.2，EF=4， ∴4-1.2<CF<4+1.2，即2.8<CF<5.2， ∴B选项不一定正确. 故答案为：B 3．如图所示，在正方形网格上有6个三角形：①△ABC；②△BCD；③△BDE；④△BFG；⑤△FGH；⑥△EFK.其中②～⑥中与①相似的是（　　） A．②③④ B．③④⑤ C．④⑤⑥ D．②③⑥ 【答案】B 【解析】设第个小正方形的边长为1，则△ABC的各边长分别为1， ， ，则 ②△BCD的各边长分别为1， ， ， ③△BDE的各边长分别为2， ， ，（为△ABC对应各边长的2倍）， ④△BFG的各边长分别为5， ， ，（为△ABC对应各边长的 倍）， ⑤△FGH的各边长分别为2， ， （为△ABC对应各边长的 倍）， ⑥△EFK的各边长分别为3， ， ， 根据三组对应边的比相等的两个三角形相似得到与三角形①相似的是③④⑤． 故答案为：B. 4．如图，在△ABC中，∠C＝90°，将△ABC沿直线MN翻折后，顶点C恰好落在AB边上的点D处，已知MN∥AB，MC＝6，NC＝ ，则四边形MABN的面积是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：连接CD，交MN于E， ∵将△ABC沿直线MN翻折后，顶点C恰好落在AB边上的点D处， ∴MN⊥CD，且CE=DE。∴CD=2CE。 ∵MN∥AB，∴CD⊥AB。∴△CMN∽△CAB。 ∴ 。 ∵在△CMN中，∠C=90°，MC=6，NC= ，∴ ∴ 。 ∴ . 故答案为：C. 5．如图，已知在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD为BC边的中线，过点C作CE⊥AD于点E，交AB于点F．若AC＝2，则线段EF的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：如图，过点B作BH⊥BC，交CF的延长线于H， ∵AD为BC边的中线，AC＝BC＝2， ∴CD＝BD＝1， ∴AD＝＝＝， ∵， ∴CE＝＝， ∵∠ADC+∠BCH＝90°，∠BCH+∠H＝90°， ∴∠ADC＝∠H， 在△ACD和△CBH中， ， ∴△ACD≌△CBH（AAS）， ∴CD＝BH＝1，AD＝CH＝， ∵AC⊥BC，BH⊥BC， ∴AC∥BH， ∴△ACF∽△BHF， ∴＝， ∴CF＝， ∴EF＝CF-CE＝-＝， 故答案为：B． 6．如图，正方形的边长为12，E是中点，F是对角线上一点，且，在上取点G，使得，交于H，则的长为（　　） A．4 B． C． D． 【答案】C 【解析】解：如图，过点F分别作，垂足分别为M，N，过点E作于点E，则， 在正方形中，， ∴，是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴， ∵E是中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴． 故答案为：C 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7．如图，AC∥EF∥DB，若AC=8，BD=12，则EF=　 　． 【答案】 【解析】解：如图，∵AC∥EF， ∴ = ． 又∵EF∥DB， ∴ = ， 则由比例的性质知 = ，即 = ， ∴ = ， ∵AC=8，BD=12， ∴ = ∴EF= ． 故答案是： ． 8．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC交AC于点D．若BC＝2，则AD的长度为 　 　． 【答案】2 【解析】∵AB＝AC，∠A＝36° ， ∴， ∵BD平分∠ABC ， ∴， ∴， ∴， ∵BC=2， ∴AD=DB=BC=2. 故答案为：2. 9．如图，点A在反比例函数y＝ （x＞0）的图象上，点B在x轴负半轴上，直线AB交y轴于点C，若 ＝ ，△AOB的面积为6，则k的值为　 　. 【答案】6 【解析】解：过点 作 轴于 ，则 ， ， ， 的面积为6， ， ， 的面积 ， 根据反比例函数 的几何意义得， ， ， ， . 故答案为：6. 10．如图，BD是△ABC的中线，点E在线段BC上，连接AE交BD于点F，点G为AE中点，连接DG，若，则　 　． 【答案】 【解析】解：∵BD是△ABC的中线，点G为AE中点， ∴DG∥BC，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为． 11．如图，A、B、C、D依次为一直线上4个点，BC=2，△BCE为等边三角形，⊙O过A、D、E 三点，且∠AOD=120°．设AB=x，CD=y，则y与x的函数关系式为　 　．（写出自变量的取值范围） 【答案】 【解析】解：如图，连接AE、ED，在优弧AD上任取一点F，连接AF、DF， ∵∠AOD=120°， ∴∠AFD=60°， 在四边形AFDE中，∠AED=120°， ∵△BCE是等边三角形， ∴∠BEC=60°，则∠ABE=∠ECD=120°， ∴∠AEB+∠DEC=60°， 又∠DEC+∠EDC=∠ECB=60°， ∴∠AEB=∠EDC， ∴△ABE∽△ECD， ∴， 即 ， ∴y与x的函数关系式为． 故答案为： 12．如图，平面直角坐标系中有正方形 和正方形 ，若点 和点 的坐标分别为 ， ，则两个正方形的位似中心的坐标是　 　． 【答案】 或 【解析】解：∵平面直角坐标系中有正方形 和正方形 ，点 和点 的坐标分别为 ， ， ∴ ， ， ，（1）当点 和 是对应顶点， 和 是对应顶点时，位似中心就是 与 的交点， 如图所示：连接 ，交 轴于点 ， 点 即为两个正方形的位似中心， 设 所在直线解析式为： ，把 ， 代入得： 故 ， 解得： ， 故 ； 当 时，即 ，解得 ，即点坐标为 ， ， 两个正方形的位似中心的坐标是： ， ．（2）当点 和 是对应顶点， 和 是对应顶点时，位似中心就是 与 的交点， 如图所示：连接 ， ， ， 并延长交于点 ， 设 所在直线解析式为： ，把 ， 代入得： 故 ， 解得： ， 故 ； 设 所在直线解析式为： ，把 ， 代入得： ， 故 ， 联立直线BH、AG得方程组： ， 解得： ， 故 ， 综上所述：两个正方形的位似中心的坐标是： ， 或 ． 故答案为： ， 或 ． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AC、AB上，AB＝2AD，AC＝2AE． （1）求证：△ADE∽△ABC； （2）如果△ADE的面积为2，求四边形BCDE的面积． 【答案】（1）证明：∵AB＝2AD，AC＝2AE， ∴AE：AC＝AD：AB＝1：2， ∵∠A＝∠A， ∴△ADE∽△ABC． （2）解：∵△ADE∽△ABC， ∴， ∵△ADE的面积为2， ∴△ABC的面积为8， ∴S四边形BCDE＝S△ABC﹣S△ADE＝8﹣2＝6． 14． 如图，在平行四边形中，为边上一点，． （1）求证：∽； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明：平行四边形， ， ， 又， ∽． （2）解：四边形平行四边形， ， ， ， ∽， ， ， ． 15．在四边形ABCD中， ， ， ， ， 的平分线分别交AD、AC于点E、F，求 的值． 【答案】解：作FG⊥AB于点G， ∵∠DAB=90°， ∴EA∥FG， ∴ = ， ∵AC⊥BC， ∴∠ACB=90°， 又BE是∠ABC的平分线， ∴FG=FC， 在 中， ， ， ∴CB=GB， ∵AC=BC，∠ACB=90°， ∴AB= BC， ∴ = = =( －1)． 16．如图1，滹沱河是山西地区一条途经了舟山和太行山的知名河流，这条河流的流域面积达到了2.73万平方公里，其发源地处于山西省繁峙县泰戏山桥儿沟村，这条河流早在《山海经》中就有出现过，被叫做为虔池．为了估算河流的宽度，我们在河的对岸选定一个目标P，在近岸取点A和C，使点P、A、C共线且与河垂直，接着在过点C且与直线PC垂直的直线上选择适当的点D，确定PD与过点A且与PC垂直的直线交点B，测得AC＝50m，CD＝120m，AB＝80m，请根据这些数据求河的宽度PA． 【答案】解：由题意得，AB⊥PC，CD⊥PC，AC＝50m，CD＝120m，AB＝80m， ∴AB∥CD， ∴∠PAB＝∠PCD，∠PBA＝∠PDC， ∴△PAB∽△PCD， ∴，即， ∴， 解得PA＝100， 答：PA的长为100m． 17． 如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．的顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示． （1）在图1中，先在上画点D，使得，再在上画点E，使得； （2）先将线段绕点A逆时针旋转得到线段，画出线段，再在上画一点P，使的值最小． 【答案】（1）解：点D，点E如图所示，且满足； （2）解：线段，点P，如图所示，且满足的值最小． 【分析】（1）利用矩形对角线相互平分的性质作出点D，满足AD=3BD，再利用作出AF=AB，使∠DAF=90°，在AF上作出点G，满足AG=3GF，即AG=AD，连接DG交AC于点E，得到∠ADG=∠C=45°，∠BAC=∠EAD，即得到； （2）根据作出AH，再结合轴对称作H和关于BC对称，连接，与BC的交点即为点P，即可得到答案. 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18．如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为（2，3）．双曲线y= （x＞0）的图象经过BC的中点D，且与AB交于点E，连接DE． （1）求k的值及点E的坐标； （2）若点F是OC边上一点，且△FBC∽△DEB，求直线FB的解析式． 【答案】（1）解：∵BC∥x轴，点B的坐标为（2，3）， ∴BC=2， ∵点D为BC的中点， ∴CD=1， ∴点D的坐标为（1，3）， 代入双曲线y= （x＞0）得k=1×3=3； ∵BA∥y轴， ∴点E的横坐标与点B的横坐标相等，为2， ∵点E在双曲线上， ∴y= ∴点E的坐标为（2， ） （2）解：∵点E的坐标为（2， ），B的坐标为（2，3），点D的坐标为（1，3）， ∴BD=1，BE= ，BC=2 ∵△FBC∽△DEB， ∴ 即： ∴FC= ∴点F的坐标为（0， ） 设直线FB的解析式y=kx+b（k≠0） 则 解得：k= ，b= ∴直线FB的解析式y= 19．已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，对角线AC、BD交于点E，点F在边AB上，连接CF交线段BE于点G，CG2=GE•GD． （1）求证：∠ACF=∠ABD； （2）连接EF，求证：EF•CG=EG•CB． 【答案】（1）证明：∵CG2=GE•GD， ∴ ． 又∵∠CGD=∠EGC， ∴△GCD∽△GEC． ∴∠GDC=∠GCE． ∵AB∥CD， ∴∠ABD=∠BDC． ∴∠ACF=∠ABD． （2）证明：∵∠ABD=∠ACF，∠BGF=∠CGE， ∴△BGF∽△CGE． ∴ ． 又∵∠FGE=∠BGC， ∴△FGE∽△BGC． ∴ ． ∴FE•CG=EG•CB． 20．如图．已知四边形 是矩形．点E在 的延长线上． 与 相交于点G，与 相交于点 （1）求证： ； （2）若 ，求 的长； （3）连接 ，求证： ． 【答案】（1）解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BAD=∠EAD=90º，AO=BC，AD∥BC， 在△EAF和△DAB， ， ∴△EAF≌△DAB(SAS)， ∴∠E=∠BDA， ∵∠BDA+∠ABD=90º， ∴∠E+∠ABD=90º， ∴∠EGB=90º， ∴BG⊥EC； （2）解：设AE=x，则EB=1+x，BC=AD=AE=x， ∵AF∥BC，∠E=∠E， ∴△EAF∽△EBC， ∴ ，又AF=AB=1， ∴ 即 ， 解得： ， （舍去） 即AE= ； （3）解：在EG上截取EH=DG，连接AH， 在△EAH和△DAG， ， ∴△EAH≌△DAG(SAS)， ∴∠EAH=∠DAG，AH=AG， ∵∠EAH+∠DAH=90º， ∴∠DAG+∠DAH=90º， ∴∠EAG=90º， ∴△GAH是等腰直角三角形， ∴ 即 ， ∴GH= AG， ∵GH=EG-EH=EG-DG， ∴ ． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21．【教材呈现】九年级上册63页例1． 如图，在△ABC中，点D是边AB的三等分点，DE∥BC，DE=5，求BC的长． 【应用拓展】 （1）如图①，在△ABC中，点D是边AB的中点，点F为BC延长线上一点，连接DF交AC于点E，若DE：EF=3：1，DG∥AC，EC=2，则AC的长为 　 　． （2）如图②，在△ABC中，点D为边BA延长线上一点，点E为BC上一点，连接DE交AC于点F，若点A为DB的中点，CE：EB=1：2，△DBE的面积为4，则△CFE（阴影部分）面积为 　 　． 【答案】（1）16 （2） 【解析】解：[教材呈现] 点是边的三等分点， ， ， ， ， ， ； [应用拓展] （1）， ， ， ， ，即， 解得； 故答案为：16． （2）过点作， 点为的中点， ， ， ， 的面积为4， 的面积为1， 的面积2， ，即， 的面积为． 故答案为：． 22．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC.在平面内任取一点D，连结AD（AD＜AB），将线段AD绕点A逆时针旋转90°，得到线段AE，连结DE，CE，BD. （1）直线BD和CE的位置关系是　 　； （2）猜测BD和CE的数量关系并证明； （3）设直线BD，CE交于点P，把△ADE绕点A旋转，当∠EAC＝90°，AB＝2，AD＝1时，直接写出PB的长. 【答案】（1）BD⊥CE （2）解：BD和CE的数量是：BD＝CE； 由（1）知△ABD≌△ACE， ∴BD＝CE； （3）解：①当点E在AB上时，BE＝AB﹣AE＝1. ∵∠EAC＝90°， ∴CE＝ ＝ ， 同（1）可证△ADB≌△AEC. ∵∠AEC＝∠BEP， ∴∠BPE＝∠EAC＝90°， ∵∠PBE＝∠ABD， ∴△BPE∽△BAD， ∴ ＝ ， ∴ ＝ ， ∴BP＝ . ②当点E在BA延长线上时，BE＝3， ∵∠EAC＝90°， ∴CE＝ ＝ ， 由△BPE∽△BAD， ∴ ＝ ， ∴ ＝ ， ∴PB＝ ， 综上所述，PB的长为 或 . 【解析】解：（1）BD⊥CE， 理由：延长CE交BD于P， ∵将线段AD绕点A逆时针旋转90°，得到线段AE， ∴AD＝AE，∠DAE＝90°， ∵∠BAC＝90°，AB＝AC， ∵∠DAB+∠BAE＝∠CAE+∠BAE＝90°， ∴∠DAB＝∠EAC， ∴△DAB≌△EAC（SAS）， ∴∠ABD＝∠ACE， ∵∠ABC+∠ACB＝∠ABP+∠ABC+∠PCB＝90°， ∴∠BPC＝90°， ∴BD⊥CE， 故答案为：BD⊥CE； 六、解答题（本大题共12分） 23．【阅读】如图1，若△ABD∽△ACE，且点B，D，C在同一直线上，则我们把△ABD与△ACE称为旋转相似三角形． （1）【理解】如图2，△ABC和△ADE是等边三角形，点D在边BC上，连接CE．求证：△ABD与△ACE是旋转相似三角形． （2）【应用】如图3，△ABD与△ACE是旋转相似三角形，AD∥CE，求证：AC＝DE． （3）【拓展】如图4，AC是四边形ABCD的对角线，∠D＝90°，∠B＝∠ACD，BC＝25，AC＝20，AD＝16，试在边BC上确定一点E，使得四边形AECD是矩形，并说明理由． 【答案】（1）证明：∵△ABC和△ADE是等边三角形， ∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°， ∴∠BAD＝∠CAE，， ∴△ABD∽△ACE， ∵点D在边BC上， ∴点B、D、C在同一直线， ∴△ABD和△ACE是旋转相似三角形； （2）证明：△ABD与△ACE是旋转相似三角形， ∴△ABD∽△ACE， ∴，∠BAD＝∠CAE，∠B＝∠ACE， ∴∠BAC＝∠DAE， ∴△ABC∽△ADE， ∴∠B＝∠ADE，∠AED＝∠ACB， ∴∠ADE＝∠ACE， ∵AD∥CE， ∴∠ADE＝∠DEC， ∴∠ACE＝∠DEC． ∵∠AED＝∠ACB， ∴∠ACE+∠ACB＝∠AED+∠DEC， ∴∠AEC＝∠DCE， ∵CE＝EC， ∴△AEC≌△DCE（ASA）， ∴AC＝DE； （3）解：过点A作AE⊥BC，垂足为E，则四边形AECD是矩形， 理由：连接DE， ∵∠AEB＝∠ADC＝90°，∠B＝∠ACD， ∴△ABE∽△ACD， ∴，∠BAE＝∠CAD， ∴∠BAC＝∠EAD， ∴△ABC∽△AED， ∴，即， ∴DE＝20， ∵△ABE∽△ACD， ∴， ∴， ∵CD＝＝12， ∴， 设AE＝4k，则BE＝3k，CE＝25﹣3k， 在Rt△ACE中，AE2+CE2＝AC2， ∴（4k）2+（25﹣3K）2＝202，解得k＝3， ∴AE＝12， ∵AD＝16，DE＝20， ∴AE2+AD2＝DE2， ∴△ADE是直角三角形， ∴∠DAE＝90°， ∵∠AEC＝∠ADC＝90°， ∴四边形AECD是矩形． 试卷第2页，共36页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$