第二十六章 反比例函数（B卷·培优·单元重点综合测试）-2024-2025学年九年级数学下册单元速记·巧练（人教版，江西专用）

第二十六章 反比例函数（B卷·培优卷） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1．在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，，若反比例函数的图象恰好经过线段的中点，则k的值是（　　） A． B．9 C． D．6 2．如图，一次函数 的图象与反比例函数 的图象相交于点 ， 则不等式 的解是（　　） A． 或 B． 或 C． 或 D． 或 3． 某综合实践活动小组设计了简易电子体重秤： 制作一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻 （如图 1）， 当人站上踏板时， 通过电压表显示的读数 换算为人的质量 ）， 已知 随着 的变化而变化 （如图 2）， 与踏板上人的质量 的关系见图3. 则下列说法不正确的是 （　　） A．在一定范围内， 越大， 越小 B．当 时， 的阻值为 C．当踏板上人的质量为 时， D．若电压表量程为 ， 为保护电压表， 该电子体重科可称的最大质量是 4．定义新运算：a⊕b=例如：4⊕5=，4⊕（-5）=．则函数y=2⊕x（x≠0）的图象大致是（　　） A． B． C． D． 5．如图，在直角坐标系xOy中，点A，B分别在x轴和y轴，．∠AOB的角平分线与OA的垂直平分线交于点C，与AB交于点D，反比例函数y=的图象过点C．当以CD为边的正方形的面积为时，k的值是（　　） A．2 B．3 C．5 D．7 6．如图，反比例函数 的图象经过矩形OABC对角线的交点M，分别与AB、BC相交于点D、E．若四边形ODBE的面积为6，则k的值为（　　） A． B． C．2 D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7．反比例函数与正比例函数的一个交点为，则关于x的方程的解为　 　． 8．如果一个正比例函数的图象与反比例函数y=﹣ 的图象交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，那么（x2﹣x1）（y2﹣y1）的值为　 　． 9．如图，△OAC和△BAD都是等腰直角三角形，∠ACO=∠ADB=90°，反比例函数y= 在第一象限的图象经过点B，若OA2-AB2=6，则k的值为　 　 10．验光师通过检测发现近视眼镜的度数度与镜片焦距米成反比例，关于的函数图象如图所示经过一段时间的矫正治疗后，小雪的镜片焦距由米调整到米，则近视眼镜的度数减少了　 　度 11．如图，点A在双曲线y＝的第一象限的那一支上，AB垂直于y轴与点B，点C在x轴正半轴上，且OC＝2AB，点E在线段AC上，且AE＝3EC，点D为OB的中点，若△ADE的面积为3，则k的值为　 　． 12．如图， ▱ OABC的顶点O 是坐标原点，点 A 在x 轴的正半轴上，点 B，C在第一象限，反比例函数 ，y=kx(k≠0)的图象分别经过点 C，B.若 OC=AC，则k的值为　 　. 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13．如图，直线与双曲线（k为常数，交于，两点，与轴、轴分别交于，两点，点的坐标为． （1）求反比例函数的解析式． （2）结合图象直接写出当时，的取值范围． 14．已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB与x轴交于点A（﹣2，0），与反比例函数在第一象限内的图象的交于点B（2，n），连接BO，若S△AOB=4． （1）求该反比例函数的解析式和直线AB的解析式； （2）若直线AB与双曲线的另一交点为D点，求△ODB的面积． 15．在如图中，A、B两点在反比例函数y＝的图象上，AB过O点，△ABC是等边三角形，点D为AC的中点，请用无刻度的直尺按下列要求画图． （1）在图1中，在x轴上画出点F，使四边形ADBF为矩形； （2）在图2中，画出菱形ACBF． 16．如图，A、B两点的坐标分别为（-2，0），（0，3），将线段AB绕点B逆时针旋转90°得到线段BC，过点C作CD⊥OB，垂足为D，反比例函数y＝的图象经过点C. （1）直接写出点C的坐标，并求反比例函数的解析式； （2）点P在反比例函数y＝的图象上，当△PCD的面积为3时，求点P的坐标. 17．工匠制作某种金属工具要进行材料煅烧和锻造两个工序，即需要将材料烧到800℃，然后停止煅烧进行锻造操作，经过8min时，材料温度降为600℃．煅烧时温度y（℃）与时间x（min）成一次函数关系；锻造时，温度y（℃）与时间x（min）成反比例函数关系（如图）．已知该材料初始温度是32℃． （1）分别求出材料煅烧和锻造时y与x的函数关系式，并且写出自变量x的取值范围； （2）根据工艺要求，当材料温度低于480℃时，须停止操作．那么锻造的操作时间有多长？ 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18．类比二次函数的图象的平移，我们对反比例函数的图象作类似的变换： （1）将的图象向右平移1个单位，所得图象的函数表达式为　_________　，再向上平移1个单位，所得图象的函数表达式为　_________　； （2）函数的图象可由的图象向　_________　平移　_________　个单位得到；的图象可由哪个反比例函数的图象经过怎样的变换得到； （3）一般地，函数（ab≠0，且a≠b）的图象可由哪个反比例函数的图象经过怎样的变换得到？ 19．如图，在直角坐标系xOy中，直线y=mx与双曲线y= 相交于A(-1，a)，B两点，BC⊥x轴，垂足为C，△AOC的面积是1． （1）求m，n的值； （2）求直线AC的表达式； （3）点P在双曲线上，且△POC的面积等于△ABC面积的，求点P的坐标． 20．如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点D为BC边上的点，反比例函数y= （k≠0）在第一象限内的图象经过点D（m，2）和AB边上的点E（3， ）． （1）求反比例函数的表达式和m的值； （2）将矩形OABC的进行折叠，使点O于点D重合，折痕分别与x轴、y轴正半轴交于点F，G，求折痕FG所在直线的函数关系式． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21．如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点D为BC边上的点，反比例函数y= （k≠0）在第一象限内的图象经过点D（m，2）和AB边上的点E（3， ）． （1）求反比例函数的表达式和m的值； （2）将矩形OABC的进行折叠，使点O于点D重合，折痕分别与x轴、y轴正半轴交于点F，G，求折痕FG所在直线的函数关系式． 22．在直角坐标系中，我们不妨将横坐标，纵坐标均为整数的点称之为“中国结”. （1）求函数y=x+2的图像上所有“中国结”的坐标； （2）求函数y=（k≠0，k为常数）的图像上有且只有两个“中国结”，试求出常数k的值与相应“中国结”的坐标； （3）若二次函数y=（k为常数）的图像与x轴相交得到两个不同的“中国结”，试问该函数的图象与x轴所围成的平面图形中（含边界），一共包含有多少个“中国结”？ 六、解答题（本大题共12分） 23．如图所示，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝ 的图象交于A(1，t+1)，B(t-5，-1)两点. （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）若点(c，p)和(n，q)是反比例函数y＝ 图象上任意两点，且满足c＝n+1时，求 的值. （3）若点M(x1，y1)和N(x2，y2)在直线AB(不与A、B重合)上，过M、N两点分别作y轴的平行线交双曲线于E、F，已知x1＜-3，0＜x2＜1，当x1x2＝-3时，判断四边形NFEM的形状.并说明理由. 试卷第2页，共36页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十六章 反比例函数（B卷·培优卷） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1．在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，，若反比例函数的图象恰好经过线段的中点，则k的值是（　　） A． B．9 C． D．6 【答案】B 【解析】解：∵点A，B的坐标分别为（0,5）（6,1），C为AB的中点时， ∴点C的坐标为（3,3）， ∴， ∴k=9， 故选：B． 2．如图，一次函数 的图象与反比例函数 的图象相交于点 ， 则不等式 的解是（　　） A． 或 B． 或 C． 或 D． 或 【答案】A 【解析】解：∵A（2，3）在反比例函数上， ∴，解得k＝6． 又∵B（m，﹣2）在反比例函数上， ∴，解得m＝﹣3． ∴B（﹣3，﹣2）． 结合图象， ∴当，﹣3＜x＜0或x＞2. 故答案为：A. 3． 某综合实践活动小组设计了简易电子体重秤： 制作一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻 （如图 1）， 当人站上踏板时， 通过电压表显示的读数 换算为人的质量 ）， 已知 随着 的变化而变化 （如图 2）， 与踏板上人的质量 的关系见图3. 则下列说法不正确的是 （　　） A．在一定范围内， 越大， 越小 B．当 时， 的阻值为 C．当踏板上人的质量为 时， D．若电压表量程为 ， 为保护电压表， 该电子体重科可称的最大质量是 【答案】C 【解析】解：A、图2中的图象可知， 在一定范围内， 越大， 越小，故A不符合题意； B、由图2可知，图象经过点（50，3）， 当U0=3V时，R1的阻值为50Ω，故B不符合题意； C、当m=90kg时，R1=-2m+240=60Ω， ∴当U0=2V时，对应的是90Ω， ∴当踏板上人的质量为90kg时，U0=2V错误，故C符合题意； D、∵R1=-2m+240， ∴R1随m的增大而减小， ∴R1的最小值为10， ∴-2m+240=10， 解之：m=115， ∴m的最大值为115kg， ∴ 若电压表量程为 ， 为保护电压表， 该电子体重科可称的最大质量是 ，故D不符合题意； 故答案为：C. 4．定义新运算：a⊕b=例如：4⊕5=，4⊕（-5）=．则函数y=2⊕x（x≠0）的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据题意可得y=2⊕x=，再根据反比例函数的性质可得函数图象所在象限和形状，进而得到答案． 试题解析：由题意得：y=2⊕x=， 当x＞0时，反比例函数y=在第一象限， 当x＜0时，反比例函数y=-在第二象限， 又因为反比例函数图象是双曲线，因此D选项符合． 故答案为：D． 5．如图，在直角坐标系xOy中，点A，B分别在x轴和y轴，．∠AOB的角平分线与OA的垂直平分线交于点C，与AB交于点D，反比例函数y=的图象过点C．当以CD为边的正方形的面积为时，k的值是（　　） A．2 B．3 C．5 D．7 【答案】D 【解析】设OA=3a，则OB=4a，设直线AB的解析式是y=kx+b，则根据题意得：，解得：，则直线AB的解析式是y=﹣x+4a， 直线CD是∠AOB的平分线，则OD的解析式是y=x．根据题意得：，解得：则D的坐标是（，）， OA的中垂线的解析式是x=，则C的坐标是（，），则k=．∵以CD为边的正方形的面积为，∴2（﹣）2=，则a2=， ∴k=×=7．故选D． 6．如图，反比例函数 的图象经过矩形OABC对角线的交点M，分别与AB、BC相交于点D、E．若四边形ODBE的面积为6，则k的值为（　　） A． B． C．2 D． 【答案】C 【解析】解：由题意得：E、M、D位于反比例函数图象上， 则 ， ， 过点M作 轴于点G，作 轴于点N， 则 ， 又 为矩形 对角线的交点， 则S矩形ABCO ， 由于函数图象在第一象限， ， 则 ， ∴ ． 故答案为：C． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7．反比例函数与正比例函数的一个交点为，则关于x的方程的解为　 　． 【答案】x=±1 【解析】解：把代入得：， 解得：， 即正比例函数的解析式是， 解方程组得：，， 即两函数的交点坐标是，， 关于的方程的解是，， 故答案为：x=±1． 8．如果一个正比例函数的图象与反比例函数y=﹣ 的图象交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，那么（x2﹣x1）（y2﹣y1）的值为　 　． 【答案】﹣20 【解析】解：∵正比例函数的图象与反比例函数y=﹣ 的图象交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，关于原点对称，依此可得x1=﹣x2，y1=﹣y2， ∴（x2﹣x1）（y2﹣y1） =x2y2﹣x2y1﹣x1y2+x1y1 =x2y2+x2y2+x1y1+x1y1 =﹣5×4 =﹣20． 故答案为：﹣20． 9．如图，△OAC和△BAD都是等腰直角三角形，∠ACO=∠ADB=90°，反比例函数y= 在第一象限的图象经过点B，若OA2-AB2=6，则k的值为　 　 【答案】3 【解析】解：∵ △OAC和△BAD都是等腰直角三角形，∠ACO=∠ADB=90°， ∴OC=AC，AD=BD，OA=OC，AB=BD， ∵ OA2-AB2=6 ， ∴OC2-BD2=3， ∴（OC+BD）（OC-BD）=3， ∵点B的横坐标为OC+BD，纵坐标为OC-BD， ∴k=3. 故答案为3 10．验光师通过检测发现近视眼镜的度数度与镜片焦距米成反比例，关于的函数图象如图所示经过一段时间的矫正治疗后，小雪的镜片焦距由米调整到米，则近视眼镜的度数减少了　 　度 【答案】200 【解析】解：近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）之间的函数关系式为， 则由函数图象可得：，即：， ∴， 当时，， 当时，， ∴400-200=200，即度数减少了200度． 故答案为：200. 11．如图，点A在双曲线y＝的第一象限的那一支上，AB垂直于y轴与点B，点C在x轴正半轴上，且OC＝2AB，点E在线段AC上，且AE＝3EC，点D为OB的中点，若△ADE的面积为3，则k的值为　 　． 【答案】 【解析】解：连接DC， ∵AE=3EC，△ADE的面积为3， ∴△CDE的面积为1， ∴△ACD的面积为4. 设A（a，b），则AB=a，OC=2AB=2a， ∵D为OB的中点， ∴BD=OD=b. ∵SOBAC=S△ABD+S△ADC+S△ODC， ∴(a+2a)b=a×b+4+×2a×b， ∴ab=. ∵点A在双曲线y=的图象上， ∴k=ab=. 故答案为：. 12．如图， ▱ OABC的顶点O 是坐标原点，点 A 在x 轴的正半轴上，点 B，C在第一象限，反比例函数 ，y=kx(k≠0)的图象分别经过点 C，B.若 OC=AC，则k的值为　 　. 【答案】3 【解析】解：如图，过点C作CF⊥OA于点F，连接OB，过点B作BD⊥x轴于点D， ∴∠CFO=∠BDA=90° ∵点C在反比例函数的图象上， ∴S△OCF=， ∵△ACO中，OC=CA，CF⊥OA， ∴OA=2OF， ∴S△OAC=2S△OCF=1， ∵四边形OABC是平行四边形， ∴BC∥OA，OC=AB，OC∥AB， ∴S△OAC=S△OAB=1，∠COF=∠BAD， 在△OCF与△ABD中， ∵∠COF=∠BAD，∠CFO=∠BDA=90°，OC=CA， ∴△OCF≌△ABD（AAS）， ∴S△ABD=S△OCF=， ∴S△OBD=S△ABO+S△ABD==|k|， ∴k=±3， ∵图象经过第一象限， ∴k＞0， ∴k=3. 故答案为：3. 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13．如图，直线与双曲线（k为常数，交于，两点，与轴、轴分别交于，两点，点的坐标为． （1）求反比例函数的解析式． （2）结合图象直接写出当时，的取值范围． 【答案】（1）解：把代入直线，可得， 解得， ， 把代入双曲线为常数，(k≠0)，可得， 双曲线的解析式为； （2）解：，得或， ， 由图象可知，当时，的取值范围或． 14．已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB与x轴交于点A（﹣2，0），与反比例函数在第一象限内的图象的交于点B（2，n），连接BO，若S△AOB=4． （1）求该反比例函数的解析式和直线AB的解析式； （2）若直线AB与双曲线的另一交点为D点，求△ODB的面积． 【答案】（1）解：由题意得：S△AOB= •|xA|•yB， 即 ×2×yB=4， yB=4， ∴B（2，4）， 设反比例函数的解析式为：y= ， 把点B的坐标代入得：k=2×4=8， ∴y= ， 设直线AB的解析式为：y=ax+b， 把A（﹣2，0）、B（2，4）代入得： ， 解得： ， ∴y=x+2； （2）解：由题意得：x+2= ， 解得：x1=﹣4，x2=2， ∴D（﹣4，﹣2）， ∴S△ODB=S△OAD+S△OAB= ×2×2+4=6． 15．在如图中，A、B两点在反比例函数y＝的图象上，AB过O点，△ABC是等边三角形，点D为AC的中点，请用无刻度的直尺按下列要求画图． （1）在图1中，在x轴上画出点F，使四边形ADBF为矩形； （2）在图2中，画出菱形ACBF． 【答案】（1）解：连接BD并延长BD交反比例函数图象于M，连接MO，并延长MO交反比例函数图象于N，连接AN交x轴于F，连接BF，如图，四边形ADBF即为所求； （2）解：如图，延长BP和CO相交于点F，连接AF，则四边形ACBF即为所求， 【解析】（1）∵A、B两点在反比例函数y＝的图象上，AB过O点， ∴点A、B关于原点对称， ∴OA=OB， 由作图可知：点M、N关于原点对称， ∴AN与BM关于原点对称， ∵BM与x轴交于D，AN与x轴交于F， ∴点D、F关于原点对称， ∴OD=OF， ∴四边形ADBF是平行四边形， ∵D是AC的中点， ∵△ABC是等边三角形， ∴BD⊥AC， ∴∠ADB=90° ∴四边形ADBF是矩形， ∴四边形ADBF即为所要求作的矩形； （2）由（1）得：四边形ADBP是矩形，OA=OB， ∴AD∥BP，即AC∥BF， ∴∠OAC=∠OBF，∠ACO=∠BFO， ∴△AOC≌△BOF， ∴AC=BF， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠OAC=∠OBF=60°，AB=AC=BC， ∴AB=BF， ∴△ABF是等边三角形， ∴AF=BF=AB=BC=AC， ∴四边形ADBF是菱形， ∴四边形ADBF是所要求作的菱形． 16．如图，A、B两点的坐标分别为（-2，0），（0，3），将线段AB绕点B逆时针旋转90°得到线段BC，过点C作CD⊥OB，垂足为D，反比例函数y＝的图象经过点C. （1）直接写出点C的坐标，并求反比例函数的解析式； （2）点P在反比例函数y＝的图象上，当△PCD的面积为3时，求点P的坐标. 【答案】（1）解：C（3，1）； k＝3×1＝3， ∴反比例函数的解析式为：. （2）解：设P（，m）， ∵CD⊥y轴，CD＝3， 由△PCD的面积为3得：， ∴×3|m−1|＝3， ∴m−1＝±2， ∴m＝3或m＝−1， 当m＝3时，，当m＝−1时，， ∴点P的坐标为（1，3）或（−3，−1）. 【解析】（1）解：∵将线段AB绕点B逆时针旋转90°得到线段BC， ∴AB＝BC，∠ABC＝90°， ∵CD⊥OB， ∴∠CDB＝∠AOB＝∠ABC＝90°， ∴∠ABO＋∠CBD＝∠CBD＋∠DCB＝90°， ∴∠ABO＝∠DCB， ∴△ABO≌△BCD（AAS）， ∴CD＝OB＝3，BD＝OA＝2， ∴OD＝3−2＝1， ∴C点的坐标为（3，1）， 17．工匠制作某种金属工具要进行材料煅烧和锻造两个工序，即需要将材料烧到800℃，然后停止煅烧进行锻造操作，经过8min时，材料温度降为600℃．煅烧时温度y（℃）与时间x（min）成一次函数关系；锻造时，温度y（℃）与时间x（min）成反比例函数关系（如图）．已知该材料初始温度是32℃． （1）分别求出材料煅烧和锻造时y与x的函数关系式，并且写出自变量x的取值范围； （2）根据工艺要求，当材料温度低于480℃时，须停止操作．那么锻造的操作时间有多长？ 【答案】（1）解：材料锻造时，设y= （k≠0）， 由题意得600= ， 解得k=4800， 当y=800时， 解得x=6， ∴点B的坐标为（6，800） 材料煅烧时，设y=ax+32（a≠0）， 由题意得800=6a+32， 解得a=128， ∴材料煅烧时，y与x的函数关系式为y=128x+32（0≤x≤6）． ∴锻造操作时y与x的函数关系式为y= （6＜x≤150）； （2）解：把y=480代入y= ，得x=10， 10﹣6=4（分）， 答：锻造的操作时间4分钟． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18．类比二次函数的图象的平移，我们对反比例函数的图象作类似的变换： （1）将的图象向右平移1个单位，所得图象的函数表达式为　_________　，再向上平移1个单位，所得图象的函数表达式为　_________　； （2）函数的图象可由的图象向　_________　平移　_________　个单位得到；的图象可由哪个反比例函数的图象经过怎样的变换得到； （3）一般地，函数（ab≠0，且a≠b）的图象可由哪个反比例函数的图象经过怎样的变换得到？ 【答案】 （1）可设新反比例函数的解析式为y=，可从原反比例函数找一点（1，1），向右平移1个单位得（2，1），代入解析式可得：a=﹣1．故所得图 象的函数表达式为；再向上平移1个单位，所得图象的函数表达式为． （2）先把函数化为标准反比例的形式y=+1，然后即可根据反比例函数图象平移的性质解答：y=可转化为．故函数y=的图象可由的图象向上移1个单位得到；的图象可由反比例函数的图象先向右平移2个单位，再向上平移1个单位得到． （3）函数（ab≠0，且a≠b）可转化为． 当a＞0时，的图象可由反比例函数的图象向左平移a个单位，再向上平移1个单位得到； 当a＜0时，的图象可由反比例函数的图象向右平移﹣a个单位，再向上平移1个单位得到． 19．如图，在直角坐标系xOy中，直线y=mx与双曲线y= 相交于A(-1，a)，B两点，BC⊥x轴，垂足为C，△AOC的面积是1． （1）求m，n的值； （2）求直线AC的表达式； （3）点P在双曲线上，且△POC的面积等于△ABC面积的，求点P的坐标． 【答案】（1）∵直线y=mx与双曲线y=相交于A(-1，a)，B两点， ∴点B的横坐标为1，即点C的坐标为(1，0)． ∵△AOC的面积为1， ∴点A的坐标为(-1，2)． 将A(-1，2)代人y=mx，y=可得m=-2，n=-2． （2）设直线AC的表达式为y=kx+b， ∵直线y=kx+b经过点A(-1，2) ，C(1，0)， ∴，解得 ∴直线AC的表达式为y=-x+1． （3）∵A(-1，2) ，C(1，0)，∴B(1， -2)，∴S△ABC=×2×2=2． ∵△POC的面积等于△ABC面积的，S△POC= ∵S△POC=OC·|yp|，∴=×1·|yp|，解得yp=±1， ∴点P的坐标为(-2，1)或(2，-1)． 20．如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点D为BC边上的点，反比例函数y= （k≠0）在第一象限内的图象经过点D（m，2）和AB边上的点E（3， ）． （1）求反比例函数的表达式和m的值； （2）将矩形OABC的进行折叠，使点O于点D重合，折痕分别与x轴、y轴正半轴交于点F，G，求折痕FG所在直线的函数关系式． 【答案】（1）解：∵一次函数与x轴，y轴交于点A，B， ∴，， ∵点B恰好为的中点，设， ∴，解得， ∴， 把代入解得， ∴反比例函数的解析式 （2）解：过作轴于，设， ∵把线段绕点M顺时针旋转90°得到线段， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵在上， ∴，解得， ∵点M为x轴正半轴上的动点， ∴， ∴． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21．如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点D为BC边上的点，反比例函数y= （k≠0）在第一象限内的图象经过点D（m，2）和AB边上的点E（3， ）． （1）求反比例函数的表达式和m的值； （2）将矩形OABC的进行折叠，使点O于点D重合，折痕分别与x轴、y轴正半轴交于点F，G，求折痕FG所在直线的函数关系式． 【答案】（1）解：∵反比例函数y= （k≠0）在第一象限内的图象经过点E（3， ）， ∴k=3× =2， ∴反比例函数的表达式为y= ． 又∵点D（m，2）在反比例函数y= 的图象上， ∴2m=2，解得：m=1 （2）解：设OG=x，则CG=OC﹣OG=2﹣x， ∵点D（1，2）， ∴CD=1． 在Rt△CDG中，∠DCG=90°，CG=2﹣x，CD=1，DG=OG=x， ∴CD2+CG2=DG2，即1+（2﹣x）2=x2， 解得：x= ， ∴点G（0， ）． 过点F作FH⊥CB于点H，如图所示． 由折叠的特性可知：∠GDF=∠GOF=90°，OG=DG，OF=DF． ∵∠CGD+∠CDG=90°，∠CDG+∠HDF=90°， ∴∠CGD=∠HDF， ∵∠DCG=∠FHD=90°， ∴△GCD∽△DHF， ∴ =2， ∴DF=2GD= ， ∴点F的坐标为（ ，0）． 设折痕FG所在直线的函数关系式为y=ax+b， ∴有 ，解得： ． ∴折痕FG所在直线的函数关系式为y=﹣ x+ 22．在直角坐标系中，我们不妨将横坐标，纵坐标均为整数的点称之为“中国结”. （1）求函数y=x+2的图像上所有“中国结”的坐标； （2）求函数y=（k≠0，k为常数）的图像上有且只有两个“中国结”，试求出常数k的值与相应“中国结”的坐标； （3）若二次函数y=（k为常数）的图像与x轴相交得到两个不同的“中国结”，试问该函数的图象与x轴所围成的平面图形中（含边界），一共包含有多少个“中国结”？ 【答案】（1）解：∵x是整数，x≠0时，x是一个无理数， ∴x≠0时，x+2不是整数， ∴x=0，y=2， 即函数y=x+2的图象上“中国结”的坐标是（0，2） （2）解：①当k=1时，函数y=（k≠0，k为常数）的图象上有且只有两个“中国结”：（1，1）、（﹣1、﹣1）； ②当k=﹣1时，函数y=（k≠0，k为常数）的图象上有且只有两个“中国结”：（1，﹣1）、（﹣1，1）. ③当k≠±1时，函数y=（k≠0，k为常数）的图象上最少有4个“中国结”：（1，k）、（﹣1，﹣k）、（k，1）、（﹣k，﹣1）， 这与函数y=（k≠0，k为常数）的图象上有且只有两个“中国结”矛盾， 综上可得，k=1时，函数y=（k≠0，k为常数）的图象上有且只有两个“中国结”：（1，1）、（﹣1、﹣1）； k=﹣1时，函数y=（k≠0，k为常数）的图象上有且只有两个“中国结”：（1，﹣1）、（﹣1、1）. （3）解：令， 则， ∴ ∴， 整理，可得 ， ， 、都是整数， ∴或 ∴或 ①当时， ∵， ∴k=； ②当时， ∵， ∴k=k﹣1，无解； 综上，可得 k=，x1=﹣3，x2=1， ①当x=﹣2时， ②当x=﹣1时， ③当x=0时，y=， 另外，该函数的图象与x轴所围成的平面图形中x轴上的“中国结”有3个：（﹣2，0）、（﹣1、0）、（0，0）. 综上，可得,若二次函数（k为常数）的图象与x轴相交得到两个不同的“中国结”， 该函数的图象与x轴所围成的平面图形中（含边界），一共包含有6个“中国结”：（﹣3，0）、（﹣2，0）、（﹣1，0）（﹣1，1）、（0，0）、（1，0）. 六、解答题（本大题共12分） 23．如图所示，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝ 的图象交于A(1，t+1)，B(t-5，-1)两点. （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）若点(c，p)和(n，q)是反比例函数y＝ 图象上任意两点，且满足c＝n+1时，求 的值. （3）若点M(x1，y1)和N(x2，y2)在直线AB(不与A、B重合)上，过M、N两点分别作y轴的平行线交双曲线于E、F，已知x1＜-3，0＜x2＜1，当x1x2＝-3时，判断四边形NFEM的形状.并说明理由. 【答案】（1）解：∵A(1，t+1)，B(t﹣5，﹣1)两点在反比例函数y＝ 的图象上， ∴t+1＝﹣(t﹣5)＝m， 即t+1＝5﹣t， 解得t＝2. 当t＝2时，A(1，3)，B(﹣3，﹣1)， ∴m＝3， ∴反比例函数的解析式为：y＝ . ∵A、B在一次函数y＝kx+b的图象上， ∴ ，解得： ， ∴一次函数的解析式为：y＝x+2； （2）解：∵点(c，p)和(n，q)在反比例函数y＝ 图象上， ∴cp＝nq＝m＝3 c= ，n= ∵c＝n+1， ∴ ， ∴ （3）解：四边形MNFE为平行四边形， 由题意可知，M(x1，x1+2)，N(x2，x2+2)，E(x1， )，F(x2， )， 即ME＝x1+2﹣ ，NF＝x2+2﹣ ， ∵ME﹣NF=(x1+2﹣ )－(x2+2﹣ ) 即ME﹣NF=(x1﹣x2)(1+ ) ∵x1＜﹣3，0＜x2＜1， ∴x1﹣x2≠0， ∵x1x2＝﹣3 ∴1+ ＝0， ∴ME﹣NF＝0， 即ME＝NF 又∵ME∥NF， ∴四边形MNFE为平行四边形 试卷第2页，共36页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$