模拟卷02（全国高中数学联赛一试）-【竞赛】2024-2025学年高中数学竞赛能力培优全真模拟卷（全国通用）

2025年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛） 暨2025年全国高中数学联合竞赛 一试全真模拟试题2 一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分． 1．对于各数位均不为0的三位数，若两位数和均为完全平方数，则称是“筑梦数”，则“筑梦数”的个数为 ． 2．设集合，若，则正实数a的最小值为 ． 3．设，若，则的值为 ． 4．从1至9的9个整数中随机取4个不同的数，则这4个数的中位数是整数的概率为 ． 5．设椭圆的左右焦点分别为，右顶点为．已知上一点满足，则的离心率为 ． 6．设三点在棱长为2的正方体的表面上，则的最小值为 ． 7．已知函数的定义域为，且，则的值为 ． 8．将5个实数分别放在正五边形的各个顶点上，满足：任取3个依次相邻的顶点，设上面的实数为，均有．记这5个数的绝对值之和为，则的取值范围是 ． 二、解答题：本大题共3小题，满分56分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 9．（本题满分16分）已知等比数列的公比，且成等差数列．当取最小值时，求集合中所有元素之和． 10．（本题满分20分）已知抛物线与双曲线 交于两点，F是的右焦点，直线AF分别交于两点（异于），直线分别交x轴于两点．求的取值范围． 11．（本题满分20分）设复数的模均为1，令 ， 其中下标模10理解．求的最大值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛） 暨2025年全国高中数学联合竞赛 一试全真模拟试题2参考答案及评分标准 说明： 1．评阅试卷时，请依据本评分标准．填空题只设8分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次． 2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、11小题5分为一个档次，不得增加其他中间档次． 一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分． 1．对于各数位均不为0的三位数，若两位数和均为完全平方数，则称是“筑梦数”，则“筑梦数”的个数为 ． 答案：4． 解：注意到两位数的完全平方数有且仅有，因此可得所有的筑梦数为，共4个． 2．设集合，若，则正实数a的最小值为 ． 答案：． 解：当时，，又，故，不符合题意；当时，，此时，符合题意．因此正实数a的最小值为2． 3．设，若，则的值为 ． 答案：． 解：由于，故 ， 解得． 4．从1至9的9个整数中随机取4个不同的数，则这4个数的中位数是整数的概率为 ． 答案：． 5．设椭圆的左右焦点分别为，右顶点为．已知上一点满足，则的离心率为 ． 答案：． 解：设的半焦距，则． 不妨设点在第一象限，则． 由得，即 ， 所以． 因此的面积．再根据，可得．又由得，故． 将代入的方程，得，结合，有，解得．因此的离心率为． 6．设三点在棱长为2的正方体的表面上，则的最小值为 ． 答案：． 解：将正方体置于空间直角坐标系中，且A在平面中，点O和点的连线是一条体对角线． 设，和分别是点在平面上的投影． 则，当，且时等号成立． 7．已知函数的定义域为，且，则的值为 ． 答案：1． 解：由于，故，所以，即为偶函数． 又，结合 ， 可得． 故，又因为，所以，即6是的周期． 令，可得，故；再令，可得，故． 综上所述，所以． 8．将5个实数分别放在正五边形的各个顶点上，满足：任取3个依次相邻的顶点，设上面的实数为，均有．记这5个数的绝对值之和为，则的取值范围是 ． 答案：． 解：设正五边形的顶点上的数字依次为，记，其中．则 S的最小值显然为0，此时． 下面考虑S的最大值，注意到 ， 其中．上式对于任意变量，均为先减后增的函数，故S的最大值在时取到． 由对称性，不妨设中正数更多，共l个，．下面分情况讨论： ①若，则，故； ②若，不妨设，故； ③若，则不妨设或．若，则；若，则，此时． 综上所述，S的取值范围是． 二、解答题：本大题共3小题，满分56分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 9．（本题满分16分）已知等比数列的公比，且成等差数列．当取最小值时，求集合中所有元素之和． 解：由题意得，即，故．所以． ……………4分 考虑，则．令得，故在单调递减，在单调递增，因此的最小值点是，取最小值时，． ……………12分 此时．不是偶数，所以，． 所以当取最小值时，A中所有元素之和为． ……………16分 10．（本题满分20分）已知抛物线与双曲线 交于两点，F是的右焦点，直线AF分别交于两点（异于），直线分别交x轴于两点．求的取值范围． 解：设，则．再设直线AF的方程为． 由得，所以． 而直线BC的斜率为，方程为，令，得点P的横坐标为 ． ……………5分 设，由得 ， 所以． 而直线BD的方程为，令，得点Q的横坐标为 ． ……………15分 因此，即的取值范围是． ……………20分 11．（本题满分20分）设复数的模均为1，令 ， 其中下标模10理解．求的最大值． 解：注意到 ． ……………5分 令满足． 易知存在使得 又在上为上凸的，所以 ． ……………15分 使上式等号成立的一种情形是． 综上所述，的最大值为． ……………20分 注：本题改编自2021年上海市高三数学竞赛第12题，原题如下： 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 1 1 学科网（北京）股份有限公司 $$