期末解答题压轴题（考题猜想，10种必考题型）-2024-2025学年七年级数学上学期期末考点大串讲（人教版2024）

期末解答题压轴题（考题猜想，10种必考题型） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一：定线段计算与定直线上的动点（共7题） 1．（2023秋•献县期末）如图，已知点、、是数轴上三点，为原点．点对应的数为3，，． （1）则点对应的数是 　 　、点对应的数是 　　； （2）动点、分别同时从、出发，分别以每秒8个单位和4个单位的速度沿数轴正方向运动．在线段上，且，在线段上，且，设运动时间为． ①求点、对应的数（用含的式子表示）； ②猜想的长度是否与的大小有关？如果有关，请你写出用表示的代数式；如果无关，请你求出的长度． 【分析】（1）由图及已知，根据数轴上两点间的距离即可求得两点对应的数； （2）①由题意可求得、的长度，从而由、对应的数即可求得、对应的数； ②由题意可求得点对应的数，从而可得的长度，根据结果即可作出判断； 【解答】解：（1）由于点对应的数为3，且，由图知，点对应的数为：； 由及点在原点的左边，则点对应的数为：； 故答案为：，1； （2）①由于动点、分别同时从、出发，分别以每秒8个单位和4个单位的速度沿数轴正方向运动，则，， 又，， 所以，， 所以点对应的数为：，点对应的数为：； ②的长度与无关，为定值8，理由如下： 由于， 所以点对应的数为：， 则； 即的长度与无关，为定值8． 【点评】本题是数轴上动点问题，考查了数轴上两点间的距离，解含绝对值的方程，数轴的点表示的数等知识，数轴上两点间的距离关系式是解题的关键． 2．（2023秋•淮北期末）如图，线段，点从点出发以的速度在射线上向点方向运动； 点从点出发，先向点方向运动，当与点重合后立马改变方向与点同向运动，点的速度始终为，设运动时间为 ． （1）若点，同时出发，则当点与点重合时，求的值． （2）若点，同时出发，则当点把线段分成的两部分时，求的值． 【分析】（1）根据、两点间的距离两者速度之和相遇时间，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）分点、相遇前及点、相遇后两种情况考虑，点、重合前，根据点，的运动速度、方向及的长，可用含的代数式表示出、长，分及两种情况可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论；点、重合后，由点、运动方向一致和点，的运动速度及相遇的时间，即可用含的代数式表示出，的长，再分及两种情况可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论，综上即可得出结论． 【解答】（1）解：根据题意，得， 解得：， 当时，点与点重合； （2）①点、重合前， 点的速度为，点的速度为， ，， ， 当时，得， 解得：； 当时，得， 解得：； ②点，重合后， 点的速度为，点的速度为，且时，点与点重合， ，， 当时，得， 解得：； 当时，得， 解得：（不合题意，舍去）， 综上所述，当或或10时，点把线段分成的两部分． 【点评】本题考查两点间的距离以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）分点、相遇前及点、相遇后两种情况考虑． 3．（2023秋•夏邑县期末）定义：若线段上的一个点把这条线段分成的两条线段，则称这个点是这条线段的三等分点．如图1，点在线段上，且，则点是线段的一个三等分点，显然，一条线段的三等分点有两个． （1）已知：如图2，，点是的三等分点，求的长． （2）已知，线段，如图3，点从点出发以每秒1个单位长度的速度在线段上向点方向运动，点从点出发以每秒2个单位长度的速度在线段上向点方向运动，设运动时间为秒． ①若点点同时出发，且当点与点重合时，求的值． ②若点点同时出发，且当点是线段的三等分点时，求的值． 【分析】（1）根据三等分点的定义可得或，进而根据即可求得的长； （2）①点与点重合，则点运动的路程点运动的路程的长，列出方程，求解即可； ②分类探讨点是线段的三等分点，根据长列方程求解即可． 【解答】解：（1）①如图，． ， ； ②如图，． ． 答：长或； （2）①点与点重合， 点运动的路程点运动的路程的长． ． 解得：． 答：当点与点重合时，的值为7； ②Ⅰ、如图：． ， ． 解得：． Ⅱ、如图：． ， ． 解得：． 答：当点是线段的三等分点时，的值为4.2或6． 【点评】本题考查一元一次方程的应用．找到能解决问题的相等关系是解决本题的关键．注意一条线段的三等分点有两个． 4．（2023秋•南昌期末）已知：如图，点是线段上一定点，，、两点分别从、出发以、的速度沿直线向左运动，运动方向如箭头所示在线段上，在线段上） （1）若，当点、运动了，此时　 　，　　；（直接填空） （2）当点、运动了，求的值； （3）若点、运动时，总有，则　　；（直接填空） （4）在（3）的条件下，是直线上一点，且，求的值． 【分析】（1），； （2）当点、运动了，可求得、，，，可求得； （3）设运动时间为，则，，，，，又因，可解得的值； （4）因为线段一定是正数，所以，可得，即，因为，所以，即，可解得、，已知，可得． 【解答】解：（1）， 、两点分别从、出发以、的速度沿直线向左运动，点、运动了， ，， ，， 故答案为：，； （2）当点、运动了时，，， ； （3）设运动时间为，则，， ，， ， ， 解得：， 故答案为：； （4）当点在线段上时， ，， ，即， ， ，即， ，， ． 当点在点左侧时，，不符合题意； 当点在点右侧时，， ； 综上所述：或． 【点评】本题考查了线段的和差，关键是正确计算． 5．（2023秋•武侯区期末）【阅读理解】：定义：对于数轴上不同的三个点，，，若满足，则称点是点关于点的“倍特征点”．例如，如图，在数轴上，点，表示的数分别是，1，可知原点是点关于点的“3倍特征点”，原点也是点关于点的“倍特征点”． 【问题解决】：在数轴上，已知点表示的数是，点表示的数是，且，满足． （1）填空：若在线段上的点表示的数是，且点是点关于点的“4倍特征点”， 则　 　；　　；　　； （2）在数轴上取两点，，点在点的右侧，且． ①若，且点是点关于点的“倍特征点”，求的值； ②若点与点重合，现将线段从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴正方向运动，点运动到点时运动停止．设运动时间为秒，当，，三个点中，恰有一个点是另一个点关于第三个点的“倍特征点”时，求的值． 【分析】（1）由条件根据非负数的性质，可知，，再根据”4倍特征点“的定义求出． （2）由，则可能表示或，再根据列出方程计算的值． （3）用时间表示出动点．．再由条件需6种情形分类讨论，从而求出的值． 【解答】解：（1）． ．． 点是点关于点的“4倍特征点”． ． 故答案为，4，2． （2）①． 表示的数为或． 点是点关于点的“倍特征点”． ． 当表示时，表示． 解得：． 当表示时，表示． 解得：． ②由题意可知表示，表示，． 若是关于的” 倍特征点“ ，即． 若是关于的” 倍特征点“． ，与题意不符，此情况不存在． 若是关于的” 倍特征点“． ，即，． 若是关于的” 倍特征点“． ，即．．故舍去． 若是关于的” 倍特征点“． ，与题意不符，此情况不存在． 若是关于的” 倍特征点“． ，即．． 综上所述，，，． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键在于了解” 倍特征的“的定义． 6．（2023秋•朝阳区期末）如图①，已知点、在射线上，，．动点、分别从点、同时出发，点以每秒2个单位长度的速度沿射线匀速运动，点先以每秒4个单位长度的速度从点向点匀速运动，到达点后，再以每秒3个单位长度的速度沿射线匀速运动，当点与点第二次重合时，、同时停止运动．设点运动时间为． （1）线段的长为 　 　． （2）当点返回到点时，求的值． （3）在点从点向点的运动过程中，当时，求的值． （4）如图②，过点作直线，点、在直线上，且，．在、运动过程中，当与面积相等时，直接写出的值． 【分析】（1）由，，得； （2）由点先以每秒4个单位长度的速度从点向点匀速运动，到达点后，再以每秒3个单位长度的速度沿射线匀速运动，得； （3）当、相遇前：，当、相遇后：，解方程可得答案； （4）求出，，得，，①当时，，，，②当时，，，，③当时，，，，④当时，，，，分别解方程可得答案． 【解答】解：（1），， ， 故答案为：2； （2）点先以每秒4个单位长度的速度从点向点匀速运动，到达点后，再以每秒3个单位长度的速度沿射线匀速运动， 当点返回到点时，； 的值为； （3）当、相遇前： 根据题意得， 解得， 当、相遇后： 根据题意得， 解得， 综上所述，在点从点向点的运动过程中，当时，的值为1或； （4），， ，， ，， ①当时，，， ， 解得（舍去）； ②当时，，， ， 解得； ③当时，，， ， 解得； ④当时，，， ， 解得； 综上所述，的值为或或4． 【点评】本题考查三角形综合应用，涉及动点问题，解题的关键是用含的代数式表示相关线段的长度． 7．（2023秋•长寿区期末）如图，是定长线段上一点，、两点分别从、出发以、的速度沿直线先向左运动在线段上，在线段上）． （1）若、运动到任一时刻时，总有，请说明； （2）在（1）的条件下，是直线上一点，且，求的值； （3）在（1）的条件下，若、运动5秒后，恰好有，此时点停止运动，点继续运动点在线段上），、分别是、的中点，下列结论：①的值不变；②的值不变，只有一个结论是正确的，请你找出正确的结论并求值． 【分析】（1）设、运动时间是秒，由已知条件求得，依此即可求解； （2）由题设画出图示，根据求得；然后求得，从而求得与的关系； （3）当点停止运动时，有，从而求得与的数量关系；然后求得以表示的与的值，所以． 【解答】解：（1）设、运动时间是秒， ，，即， ， ， ； （2）如图： ， ； 又， ， ， ． 当点在的延长线上时 所以 所以； （3）② 的值不变． 理由：当时，点停止运动，此时，， ①如图，当，在点的同侧时 ； ②如图，当，在点的异侧时 ， ． 当点停止运动，点继续运动时，的值不变，所以． 【点评】本题考查了比较线段的长短．利用中点性质转化线段之间的倍分关系是解题的关键，在不同的情况下灵活选用它的不同表示方法，有利于解题的简洁性．同时，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系也是十分关键的一点． 题型二：直线上点的运动——中点问题（共12题） 1．（2023秋•锦江区校级期末）已知线段，点、点都是线段上的点． （1）如图1，若点为的中点，点为的中点，则线段长为 　 　； （2）若，点是线段的中点，点是线段的中点，请自己作图并求的长； （3）如图2，若，，点，分别从、出发向点运动，运动速度分别为每秒移动1个单位和每秒移动4个单位，设运动时间为秒，点为的中点，点为的中点，若，求的值． 【分析】（1）即可求出答案； （2）分两种情况讨论，点在点的左侧或点在点的右侧，结合图形，列式可求出答案； （3）可得，，由可得方程，解方程即可得出答案． 【解答】解：（1）为的中点，为的中点， ，， ， ． 故答案为：30． （2）如图，点在点的左侧， 点是线段的中点，点是线段的中点， ，， ； 如图，点在点的右侧， 点是线段的中点，点是线段的中点， ，， ， 综上，的长为25或35． （3）运动秒后，， 为的中点， ， ， ，为的中点， ， 又， ，或， 由得，或， 解得：或． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用及两点间的距离，分类讨论和正确列出方程是解题的关键． 2．（2023秋•科左中旗期末）如图，已知数轴上点表示的数为8，是数轴上位于点左侧的一点，且．动点从点出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． （1）数轴上点表示的数为 　 　，点表示的数为 　　（用含的式子表示）； （2）动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，且点，同时出发．问点运动多少秒时，？ （3）若为的中点，为的中点，则在点运动的过程中，线段的长度是否会发生变化？若会变化，请说明理由；若不会变化，请求出线段的长． 【分析】（1）根据，点表示的数为8，即可得出表示的数；再根据动点从点出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，即可得出点表示的数； （2）点运动秒时，，则或，，根据，列出方程求解即可； （3）分①当点在点、两点之间运动时，②当点运动到点的左侧时，利用中点的定义和线段的和差求出的长即可． 【解答】解：（1）点表示的数为8，在点左边，， 点表示的数是， 动点从点出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒， 点表示的数是． 故答案为：，； （2）点运动秒时，，则或，， 或， 或7， 答：点运动或7秒时，． （3）线段的长度不发生变化，都等于7；理由如下： ①当点在点、两点之间运动时： ， ②当点运动到点的左侧时： ， 线段的长度不发生变化，其值为7． 【点评】本题考查了数轴一元一次方程的应用，用到的知识点是数轴上两点之间的距离，关键是根据题意画出图形，注意分两种情况进行讨论． 3．（2023秋•滕州市期末）如图，已知数轴上点表示的数为8，是数轴上位于点左侧一点，且，动点从点出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． （1）写出数轴上点表示的数 　 　；点表示的数 　　；（用含的代数式表示） （2）动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点、同时出发，问点运动多少秒时追上？ （3）若为的中点，为的中点，在点运动的过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由，若不变，请你画出图形，并求出线段的长． 【分析】（1）根据已知可得点表示的数为；点表示的数为； （2）点运动秒时，在点处追上点，则，，根据，列出方程求解即可； （3）分①当点在点、两点之间运动时，②当点运动到点的左侧时，利用中点的定义和线段的和差求出的长即可． 【解答】（1）点表示的数为8，在点左边，， 点表示的数是， 设运秒， 点表示的数是， 故答案为：，； （2）如图，设点运动秒时，在点处追上点， 则，， ， ， 解得：， 点运动10秒时追上点； 答：点运动10秒时追上点； （3）线段的长度不发生变化，都等于10；理由如下： ①当点在点、两点之间运动时： ， ②当点运动到点的左侧时： ， 线段的长度不发生变化，其值为10． 答：线段的长度不发生变化，其值为10． 【点评】本题考查了数轴一元一次方程的应用，用到的知识点是数轴上两点之间的距离，关键是根据题意画出图形，注意分两种情况进行讨论． 4．（2023秋•自贡期末）如图，已知数轴上点表示的数为8，是数轴上一点，且．动点从点出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． （1）写出数轴上点表示的数 　 　，点表示的数 　　（用含的代数式表示）； （2）动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点、同时出发，问点运动多少秒时追上点？ （3）若为的中点，为的中点，点在运动的过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请你画出图形，并求出线段的长． 【分析】（1）根据，点表示的数为8，即可得出表示的数；再根据动点从点出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，即可得出点表示的数； （2）点运动秒时，在点处追上点，则，，根据，列出方程求解即可； （3）分①当点在点、两点之间运动时，②当点运动到点的左侧时，利用中点的定义和线段的和差求出的长即可． 【解答】解：（1）点表示的数为8，在点左边，， 点表示的数是， 动点从点出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒， 点表示的数是． 故答案为：，； （2）设点运动秒时，在点处追上点， 则，， ， ， 解得：， 点运动6秒时追上点； （3）线段的长度不发生变化，都等于6；理由如下： ①当点在点、两点之间运动时： ； ②当点运动到点的左侧时： ， 线段的长度不发生变化，其值为6． 【点评】本题考查了数轴一元一次方程的应用，用到的知识点是数轴上两点之间的距离，解答本题的关键是根据题意画出图形，注意分两种情况进行讨论． 5．（2023秋•渝北区期末）已知且、分别是点、在数轴上对应的数．若动点、同时分别从点、出发在数轴上运动，点的速度是每秒3个单位长度，点的速度是每秒1个单位长度． （1）直接写出、的值； （2）若点沿数轴向正方向匀速运动、点沿数轴向负方向匀速运动，求、相遇时在数轴上对应的数是多少？ （3）若点、均沿数轴向正方向匀速运动，为中点，为中点，求运动几秒后，点和点相距3个单位长度？ 【分析】（1）根据非负数的性质求解； （2）先根据“路程和”列方程求出时间，再根据点的移动规则求解； （3）根据两点之间的距离公式列方程求解． 【解答】解：（1）， 且， 解得：，； （2）设点的运动时间为秒， 则， 解得：， ， 答：、相遇时在数轴上对应的数是1； （3）设运动时间为秒， 则点表示的数为：，点表示的数为：， 点表示的数为：，点表示的数为：， 则：， 解得：或， 答：运动5秒或11秒后，点和点相距3个单位长度． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找到相等关系是解题的关键． 6．（2023秋•龙湖区期末）【背景知识】 数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点、表示的数分别为、，则、两点之间的距离，线段的中点表示的数为．例如点、表示的数分别为、3，则、两点间的距离，线段的中点表示的数为． 【问题情境】 如图，数轴上点表示的数为，点表示的数为8，点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向左运动．设运动时间为秒． 【综合运用】 （1）填空：①、两点间的距离　　，线段的中点表示的数为 　　． ②秒后，用含的代数式表示：点表示的数为 　　；点表示的数为 　　． （2）求当为何值时，、两点相遇，并写出相遇点所表示的数． （3）在上述的运动过程中，是否存在某一时刻，使得、、三点中的任意一点为连接另外两点之间线段的中点．若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）①根据两点间的距离公式和线段中点的计算方法解答； ②根据路程时间速度和两点间的距离公式解答； （2）根据两点相遇得到，结合已知条件列出方程并解答即可； （3）分类讨论：①当点是线段的中点时，②当点是线段的中点时，③当点是线段的中点时，分别列方程解决． 【解答】解：（1）①由题意得：，线段的中点为， 故答案为：10，3； ②点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动， 秒后，点表示的数为；点表示的数为； 故答案为：，； （2）秒后，点表示的数是，点表示的数是，、两点相遇， ， 解得：，即相遇点所表示的数； （3）秒后，点表示的数为，点 表示的数为，点表示的数为8， ①当点是线段的中点时，， 解得：； ②当点是线段的中点时，， 解得：； ③当点是线段的中点时，， 解得：； 综上所述，满足条件的值为或或10． 【点评】本题主要考查一元一次方程的应用以及数轴，解题的关键是弄清点的运动方向、速度，并且用代数式表示运动的距离． 7．（2023秋•顺德区期末）综合运用 如图，数轴上两点、对应的数分别是和8．点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向匀速运动，设的运动时间为秒． （1）、两点的距离为 　　； （2）当运动到的中点时，求的值； （3）若一动点同时从点出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴负方向匀速运动，当点到达点时，、两点都停止运动．在此过程中，当时，求的值． 【分析】（1）根据两点之间的距离公式求解； （2）根据“当运动到的中点时”列方程求解； （3）根据“时”列方程求解． 【解答】解：（1）， 故答案为：12； （2）由题意得：， 解得：， 答：当运动到的中点时，的值为3； （3）点表示的点为：，点表示的数为：， 则：， 解得：或（不合题意，舍去）， 答：当时，的值为． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找到相等关系是解题的关键． 8．（2023秋•花都区期末）【背景知识】 数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美结合，研究数轴我们发现了许多重要规律． 例如：①若数轴上点，表示的数分别为，．则，两点之间的距离为，线段的中点表示的数为． ②若在数轴上一个点表示的数为，则向左运动个单位后表示的数为，向右运动个单位后所表示的数为． 【综合应用】 如图，点表示的数为，点所表示的数为5． （1）填空： ①的中点所表示的数为 　　； ②若，则点表示的数为 　　． （2）点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动．同时，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动． ①、运动过程中，当点正好是的中点时，，求点的速度． ②若点保持①中的速度继续运动，当点运动到的三等分点时，求的运动时间． 【分析】（1）①根据题中的公式代入求解； ②根据题中的公式代入求解； （2）①根据“点正好是的中点时，”列方程求解； ②根据“点运动到的三等分点”列方程求解． 【解答】解：（1）①的中点所表示的数为：，故答案为：2； ②若，则点表示的数为：或，故答案为：7或3； （2）设点、的运动时间为秒， 点表示的数为：，点表示的数为， ①由题意得：，且， 解得：，； 所以点的速度； ②由题意得：，或， 解得：或． 【点评】本题考查了一元一次方程份应用，找到相等关系是解题的关键． 9．（2023秋•怀宁县期末）背景知识 数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点、点表示的数分别为、，则，两点之间的距离，线段的中点表示的数为． 问题情境 如图，数轴上点表示的数为，点表示的数为6，点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，设运动时间为秒． 综合运用 （1）线段的中点表示的数为 　　； （2）求：当为何值时，； （3）若点为的中点，点为的中点，点在运动过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段的长． 【分析】（1）根据两点之间的距离公式，直接求出的长；由两点对应的数的平均数直接求出、的中点表示的数； （2）秒后，点表示的数是，点表示的数是，列出方程即可； （3）分两种情况：点在线段上和线段的延长线上，分别利用线段的中点计算即可． 【解答】解：（1）线段的中点表示的数为， 故答案为：1； （2）根据题意，秒后，点表示的数是，点表示的数是， ， ， 解得或， 答：当或时，； （3）线段的长度不变， 当点在线段上时， ； 当点在线段的延长线上时， ； 所以线段的长度不变，是5． 【点评】此题考查一元一次方程的应用、数轴上的动点问题的求解等知识与方法，解题的关键是弄清点的运动方向、速度，并且用代数式表示运动的距离． 10．（2023秋•成都期末）如图1，在数轴上，，两点所表示的数分别是，4，点以每秒3个单位的速度从点向右运动，同时点以每秒1个单位的速度从点向左运动，设运动时间为． （1）当时，求，两点之间的距离； （2）当点到原点的距离比点到原点的距离大1时，求运动时间； （3）如图2，将长度为2的线段（点在点的左侧）放在数轴上，点表示的数为1，在点，出发的同时，线段以每秒个单位的速度向右运动，在整个运动过程中，是否存在某段时间，点到线段中点的距离与点到线段中点的距离的和是一个定值．若存在，求出的值和该过程持续的时长；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）根据两点之间的距离公式求解； （2）根据“点到原点的距离比点到原点的距离大1时”列方程求解； （3）根据“点到线段中点的距离与点到线段中点的距离的和是一个定值”列式求解． 【解答】解：点表示的数为：，点表示的数为：， （1）当时，点表示的数为：，点表示的数为：3， ，即、两点之间的距离为6； （2）由题意得：， 解得：或， 答：点到原点的距离比点到原点的距离大1时，运动时间为或0.5； （3）存在：的值为1，该过程持续的时长为3秒． 点的中点表示的数为：， 为定值， ，此时：， ， ， 所以当，时，， 所以当，， 所以持续的时间为： 秒． 所以的值为1，该过程持续的时长为3秒． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找到相等关系是解题的关键． 11．（2023秋•抚顺县期末）【背景知识】 数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点，点表示的数分别为，，则，两点之间的距离，若，则可简化为；线段的中点表示的数为． 【感受新知】 如图1，数轴上点表示的数为，点表示的数为8，点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为秒，求当为何值时，． 解：由【背景知识】可得，两点间的距离 线段的中点表示的数为 当点，运动秒时，点表示的数为，点表示的数为 当时， 或 解得，或 当为1秒或3秒时，． 【学以致用】 如图2，点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点从点出发，以每秒4个单位长度的速度向左匀速运动，设运动时间为秒． （1）求当为何值时，； 【综合运用】 （2）求当为何值时，线段的中点与表示的点重合； 【拓展提升】 （3）若点为的中点，点为的中点，点在运动过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段的长． 【分析】（1）利用含的代数式表示出点，运动秒时表示的数，利用题干中的方法列出关于的方程，解方程即可得出结论； （2）利用线段中点的关系式求得点表示的数，列出关于的方程，解方程即可得出结论； （3）用线段中点的关系式求得点，表示的数，利用题干中的方法求得的长度，化简即可得出结论． 【解答】解：（1）当点，运动秒时，点表示的数为，点表示的数为， ； 又且， ， 解得：或． 当为或秒时，． （2）当点，运动秒时，点表示的数为，点表示的数为， 线段的中点表示的数为， 由题意得：， ． 当为12秒时，线段的中点与表示的点重合． （3）点在运动过程中，线段的长度不会发生变化，线段的长为5．理由： 当点运动秒时，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为8， 的中点表示的数为，的中点表示的数为， ． 点在运动过程中，线段的长度不会发生变化，线段的长为5． 【点评】本题主要考查了数轴的简单应用，本题是阅读型题目，正确理解题干中的方法并熟练运用是解题的关键． 12．（2023秋•黄石期末）如图，已知数轴上点，是数轴上的一点，，动点从点出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． （1）写出数轴上点表示的数为　 　，经秒后点走过的路程为　 　（用含的代数式表示）； （2）若在动点运动的同时另一动点从点也出发，并以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，问经多少时间点就能追上点？ （3）若为的中点，为的中点，点在运动的过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请你画出图形，并求出线段的长． 【分析】（1）设出点表示的数为，由数轴上两点间的距离即可得到的方程，解方程即可得出，由路程速度时间可得出点走过的路程； （2）设经秒后点追上点，根据题意可得，关于的一元一次方程，解方程即可得出时间； （3）由点位置的不同分两种情况考虑，依据中点的定义，可以找到线段间的关系，从而能找出的长度． 【解答】解：（1）设点表示，则有 ，解得． 动点从点出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动， 经秒后点走过的路程为． 故答案为：；． （2）设经秒后点追上点，根据题意得： ， 解得． 答：经过6秒时间点就能追上点． （3）不论点运动到哪里，线段都等于6． 分两种情况分析： ①点在线段上时，如图1， ； ②点在线段的延长线上时，如图2， ． 综上可知，不论运动到哪里，线段的长度都不变，都等于6． 【点评】本题考查了数轴、中点依据解一元一次方程，解题的关键是：（1）找出关于的一元一次方程；（2）找出关于时间的一元一次方程；（3）由中点定义找到线段间的关系． 题型三：利用数轴解决直线上的动线段问题（共8题） 1．（2023秋•江岸区期末）如图1，已知直线上线段，线段（点在点的左侧，点在点的右侧），． （1）求图1中所有线段的条数为 　　条． （2）若线段从点开始以2个单位秒的速度向右运动，同时线段从点开始以1个单位秒的速度向左运动，当时间在什么范围内，线段所有的点都在线段上？（含端点） （3）若线段从点开始以2个单位秒的速度一直向右运动，同时，线段从点开始以1个单位秒的速度向右运动，当端点与初次相遇时，线段立即以原来速度的2倍向左运动，当端点与端点初次相遇时，线段的速度变为初始速度的方向继续向左，问在整个运动过程中，时间为何值时． 【分析】（1）根据端点在图中数出线段即可； （2）根据点恰好与点重合时，线段所有的点开始都在线段上，当点恰好与点重合时，线段所有的点最后都在线段上，列出方程求解即可； （3）以为原点，向右为正方向，建立数轴，则点、、、表示的数分别为0、6、23、21，设运动时间为秒，当端点与初次相遇时，列出方程求解，当点与点初次相遇时，再列出方程求解，再分当、相遇前，当、相遇后两种情况求解即可． 【解答】解：（1）图1中的线段有，，，，，共6条， 故答案为：6； （2）设、重合时用的时间为秒， 则， 解得， 、重合用的时间为秒， 则， 解得， 当，线段所有的点都在线段上； （3）以为原点，向右为正方向，建立数轴，则点、、、表示的数分别为0、6、23、21， 设运动时间为秒，当端点与初次相遇时， 则， 解得， 当点与初次相遇时，点、、、表示的数分别为30、36、38、36， 此后线段以2个单位秒的速度向左运动， 当点与点初次相遇时， 则， 解得， 当点与初次相遇时，点、、、表示的数分别为34、40、34、32，此后线段以个单位秒的速度向左运动， 当点、相遇前，时， 则， 解得； 当点、相遇后，时， 则， 解得， 综上所述，的值为或． 【点评】本题考查了数轴上两点的距离问题，一元一次方程的应用等知识，本题的关键是理解题意列出方程解题． 2．（2023秋•硚口区期末），在数轴上，分别表示数，，且． （1）直接写出的值是 　　，的值是 　　，线段的长度是 　　； （2）如图1，是一条定长的线段（点在点的左侧），它在数轴上从左向右匀速运动，在运动过程中，线段完全经过点（即点在线段上的这段过程）所需的时间为4秒，线段完全经过线段（即线段与线段有公共点的这段过程）所需的时间为20秒． ①求线段的长； ②直接写出线段运动的速度为 　　个单位长度秒； ③如图2，当动线段运动到点与点重合时，与此同时，点从点出发，在动线段上，以1个单位长度秒的速度向点运动，遇到点后，点立即原速返回，向点运动，遇到点后也立即原速返回，向点运动．设动线段，以及点同时运动的时间为秒，当时，求的值． 【分析】（1）根据题意，可知，，即可算出与的值，线段用两点间的距离公式即可解出； （2）①设的长度为，根据题目，我们知道，解这个方程得，所以的长度是32； ②根据题目直接计算即可； ③当时，点对应的数是，本小题分三种情况讨论即可． 【解答】解：（1）， ，， ， 故答案为：，15，32． （2）①设的长度为， 根据题意得：， 解得：， 线段的长是8个单位长度； ②2； ③当时，点对应的数是，本小题分三种情况讨论： （Ⅰ）当时， 点对应的数是，点对应的数是， 点对应的数是，点对应的数是15， ，， ， 解得：； （Ⅱ）当时， 点对应的数是，点对应的数是， 点对应的数是，点对应的数是15， ，， ， ， 解得：； （Ⅲ）当时， 点对应的数是，点对应的数是， 点对应的数是，点对应的数是15， ，， ， ， 解得：； 综上所述：的值是6，14，18． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找到相等关系是解题的关键． 3．（2023秋•武昌区期末）数轴上点表示的数是，点表示的数是，点是线段的中点． 知识准备： 因为点表示的数是，点表示的数是，则，，所以． 因为点是线段的中点，则． 那么点表示的数： ①当点在原点右侧时，如图1，则，点表示的数为． ②当点在原点左侧时，如图2，则，点表示的数为． 综上，点表示的数为． 知识应用：若，，如图3． （1）点表示的数为 　　； （2）线段在射线上运动，点在点的左边，点是线段的中点，点是线段的中点，，求线段的长度； （3）点，为数轴上两动点，动点从点出发以2个单位长度秒的速度向右匀速运动，同时动点从点出发以3个单位长度秒的速度向左匀速运动．当，两点相遇后，时，动点变为以5个单位长度秒的速度向左匀速运动，动点保持原有的速度和方向不变．设运动时间为秒，在动点从点出发后的整个运动过程中，当时，　　． 【分析】（1）根据中点公式求解； （2）根据中点公式求解； （3）根据两点之间的距离求解． 【解答】解：（1）， 故答案为：1； （2）设点表示的数为，则点表示的数为：， 点表示的数为，点表示的数为， ， 答：线段的长度为11； （3）当，两点相遇后，时，， 解得：， 当时，，即， 解得：或， 设经过5.4秒后的时间为， 则， 解得：或， 的值为：6.9或12.9， 故答案为：2.4或4.8或6.9或12.9． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找到相等关系是解题的关键． 4．（2023秋•泰兴市期末）已知点、、、在数轴上，点和点表示的数分别为、2，点在点的右侧，点在点的右侧，且，． （1）直接写出点和点表示的数分别为：　　、　　； （2）若线段沿着数轴向右以2个单位长度秒的速度运动，同时线段沿着数轴向左以1个单位长度秒的速度运动，设运动的时间为（秒，． ①若和重合，则的值为 　　，若和重合，则的值为 　　； ②若线段和线段重叠部分为1个单位长度，求运动时间的值； ③当时，下面两个式子：①；②中有一个式子的值是定值，你认为是定值的式子是 　　（填写序号），并求这个定值． 【分析】（1）点表示的数为，且，得到点表示的数；点表示的数为2，，得到点表示的数． （2）①由和重合，得，可求，由和重合，得，可求． ②当点超过点1个单位长度时，可得，可求，当点超过点3个单位长度时，可得，可求． ③根据和时，求出点和点表示的数的范围，同理求出点和点表示的数的范围，再判断定值即可． 【解答】解：（1）点表示的数为，点在点的右侧，且， 点表示的数为， 点表示的数为2，点在点的右侧，， 点表示的数为， 故答案为：，4． （2）①若和重合，则， ； 若和重合，则， ； 故答案为：，． ②当点超过点1个单位长度时，此时，线段和线段重叠部分为1个单位长度， ， ； 当点超过点3个单位长度时，此时，线段和线段重叠部分为1个单位长度， ， ； 故答案为：分钟或分钟； ③答：①是定值，定值是6． 解：当和时，点表示的数为和， 故当时，点表示的数在和之间； 当和时，点表示的数为和， 故当时，点表示的数在和之间， ； 当和时，点表示的数为和， 故当时，点表示的数在和之间； 当和时，点表示的数为和， 故当时，点表示的数在和之间， ； ， 故答案为：①，6． 【点评】本题考查了数轴的知识，根据题意列出方程是解题关键． 5．（2023秋•瑶海区校级期末）如图，点、、、在数轴上，点表示的数是，点表示的数是9，，． （1）线段　　． （2）若点以每秒1个单位长度的速度向右匀速运动，同时点以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，运动秒后，，求的值． （3）若线段以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动，同时线段以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，是中点，为中点，运动秒后，求线段的长度． 【分析】（1）根据点和点所对应的点及线段长可得结论； （2）根据点和点的运动，可表示出点和点所对应的点，建立方程即可； （3）当运动时间为秒时，点在数轴上表示的数为，点在数轴上表示的数为，点在数轴上表示的数为，点在数轴上表示的数为，由中点的定义可得出点和点所对应的数，进而可得出结论． 【解答】解：（1）点，表示的数分别是和9，线段，． 点所对应的数为，点所对应的数为8， ． 故答案为：9； （2）当运动时间为秒时，点在数轴上表示的数为，点在数轴上表示的数为， ， ， 解得， 所以的值为2； （3）当运动时间为秒时，点在数轴上表示的数为， 点在数轴上表示的数为， 点在数轴上表示的数为， 点在数轴上表示的数为， 因为， 所以点一直在点的右侧， 因为为的中点，为的中点， 所以点，在数轴上表示的数分别为和， 所以． 【点评】本题主要考查一元一次方程的应用，数轴上两点间的距离，中点的定义等知识，解答的关键是理解清楚题意，找到等量关系，列出正确的方程． 6．（2023秋•天府新区期末）如图，在数轴上，点表示原点，点表示数，点表示数，且，满． （1）　　，　　，　　； （2）若线段在的右侧，，点与点重合，线段从点出发，以2个单位每秒的速度向点方向运动，点是线段的中点，点是线段的中点，在线段运动过程中，线段的长度始终为1，求的值； （3）在（2）的条件下，当线段开始运动时，动点从点处以1个单位每秒的速度向点方向运动，运动的过程中，当为何值时． 【分析】（1）根据非负数的性质及两点之间的距离公式求解； （2）根据“线段的长度始终为1”列方程求解； （3）根据“”列方程求解． 【解答】解：（1）由题意得：且， 解得：，， ， 故答案为：，18，20； （2）点表示的数为：，点表示的数为：， 点表示的数为：，点表示的数为：， 则， 解得：或（不合题意，舍去）， （3）点表示的数为：， ，，， ， 解得：或． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找到相等关系是解题的关键． 7．（2023秋•秦都区期末）【问题背景】 如图，数轴上线段的长为2个单位长度，线段的长为1个单位长度，且点表示的数是，点表示的数是15． （1）在数轴上，点表示的数是 　　，点表示的数是 　　； 【问题探究】 （2）若点为的中点，求点在数轴上表示的数； 【问题解决】 （3）在数轴上，若线段以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时线段以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动．当点与点重合时，点与点表示的数分别是多少？ 【分析】（1）根据数轴上两点距离求解即可； （2）设点为，根据中点的定义和两点间距离列出方程，解方程即可； （3）设点与点重合时，运动时间为秒，此时点表示的数是，点表示的数为，根据点与点重合，列方程求解即可． 【解答】解：（1）线段的长为2个单位长度，点表示的数是， 点表示的数为：， 线段的长为1个单位长度，点表示的数是15， 点表示的数为：， 故答案为：；14． （2）设点表示的数为， 点为的中点，点表示的数是，点表示的数为14， ， 解得：， 故点表示的数为2． （3）设点与点重合时，运动时间为秒， 此时点表示的数是，点表示的数为， 点与点重合， ， 解得：， 点表示的数是，点表示的数为， 数轴上线段的长为2个单位长度，线段的长为1个单位长度， 点与点表示的数分别是、． 【点评】本题考查数轴和一元一次方程的应用，解题的关键是熟练掌握数轴上两点间的距离公式． 8．（2023秋•硚口区期末），在数轴上，分别表示数，，且． （1）直接写出的值是 　 　，的值是 　　，线段的长度是 　　； （2）如图1，是一条定长的线段（点在点的左侧），它在数轴上从左向右匀速运动，在运动过程中，线段完全经过点（即点在线段上的这段过程）所需的时间为4秒，线段完全经过线段（即线段与线段有公共点的这段过程）所需的时间为20秒． ①求线段的长； ②直接写出线段运动的速度为 　　个单位长度秒； ③如图2，当动线段运动到点与点重合时，与此同时，点从点出发，在动线段上，以1个单位长度秒的速度向点运动，遇到点后，点立即原速返回，向点运动，遇到点后也立即原速返回，向点运动．设动线段，以及点同时运动的时间为秒，当时，求的值． 【分析】（1）根据题意，可知，，即可算出与的值，线段用两点间的距离公式即可解出； （2）①设的长度为，根据题目，我们知道，解这个方程得，所以的长度是32； ②根据题目直接计算即可； ③当时，点对应的数是，本小题分三种情况讨论即可． 【解答】解：（1）， ，， ， 故答案为：，15，32． （2）①设的长度为， 根据题意得：， 解得：， 线段的长是8个单位长度； ②2； ③当时，点对应的数是，本小题分三种情况讨论： （Ⅰ）当时， 点对应的数是，点对应的数是， 点对应的数是，点对应的数是15， ，， ， 解得：； （Ⅱ）当时， 点对应的数是，点对应的数是， 点对应的数是，点对应的数是15， ，， ， ， 解得：； （Ⅲ）当时， 点对应的数是，点对应的数是， 点对应的数是，点对应的数是15， ，， ， ， 解得：； 综上所述：的值是6，14，18． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找到相等关系是解题的关键． 题型四：直线上的动线段与变速运动（共2题） 1．（2023秋•江岸区期末）如图1，已知直线上线段，线段（点在点的左侧，点在点的右侧），． （1）求图1中所有线段的条数为 　　条． （2）若线段从点开始以2个单位秒的速度向右运动，同时线段从点开始以1个单位秒的速度向左运动，当时间在什么范围内，线段所有的点都在线段上？（含端点） （3）若线段从点开始以2个单位秒的速度一直向右运动，同时，线段从点开始以1个单位秒的速度向右运动，当端点与初次相遇时，线段立即以原来速度的2倍向左运动，当端点与端点初次相遇时，线段的速度变为初始速度的方向继续向左，问在整个运动过程中，时间为何值时． 【分析】（1）根据端点在图中数出线段即可； （2）根据点恰好与点重合时，线段所有的点开始都在线段上，当点恰好与点重合时，线段所有的点最后都在线段上，列出方程求解即可； （3）以为原点，向右为正方向，建立数轴，则点、、、表示的数分别为0、6、23、21，设运动时间为秒，当端点与初次相遇时，列出方程求解，当点与点初次相遇时，再列出方程求解，再分当、相遇前，当、相遇后两种情况求解即可． 【解答】解：（1）图1中的线段有，，，，，共6条， 故答案为：6； （2）设、重合时用的时间为秒， 则， 解得， 、重合用的时间为秒， 则， 解得， 当，线段所有的点都在线段上； （3）以为原点，向右为正方向，建立数轴，则点、、、表示的数分别为0、6、23、21， 设运动时间为秒，当端点与初次相遇时， 则， 解得， 当点与初次相遇时，点、、、表示的数分别为30、36、38、36， 此后线段以2个单位秒的速度向左运动， 当点与点初次相遇时， 则， 解得， 当点与初次相遇时，点、、、表示的数分别为34、40、34、32，此后线段以个单位秒的速度向左运动， 当点、相遇前，时， 则， 解得； 当点、相遇后，时， 则， 解得， 综上所述，的值为或． 【点评】本题考查了数轴上两点的距离问题，一元一次方程的应用等知识，本题的关键是理解题意列出方程解题． 2．（2023秋•城厢区期末）点，在数轴上分别表示有理数，，且．我们将，两点间的距离记为． （1）求的长度； （2）两带电粒子，分别从，两点同时出发，沿数轴的正方向运动，其中带电粒子的运动速度为2个单位长度秒． ①若带电粒子的运动速度为4个单位长度秒，设运动时间为秒，当时，求的值； ②点为线段上的一点．若两带电粒子，运动开始时，在线段之间放入某种电场，使得带电粒子在线段运动时，速度比原来每秒快1个单位长度，在线段运动时，速度变为原速度的2倍，，在其他位置速度与原来相同．若经过一段时间秒的运动后，的长度恒等式10，求运动时间的最小值及点所对应的数． 【分析】（1）由，得，，再计算即可． （2）①利用追击问题得或，再计算即可． ②分在上、在上、在的右侧这三种情况讨论，利用的长度恒等式10，找出等量关系式，列出方程，再计算即可． 【解答】解：（1）， ，， ，， ． （2）①当还没追上时， （秒． 当追过时， （秒． 答：的值为5秒或11秒． ②设原来的速度为个单位长度秒． 在上速度为个单位长度秒，在上速度为个单位长度秒， 若在上，的长度恒等式10， 则、速度应该相等， 而， 故这种情况舍去． 若在上，则， ， ， 故从到，再到的速度都是2个单位长度秒， 的运动速度为2个单位长度秒． 而， 故这种情况舍去． 若在的右侧时， 要使运动时间最小， 则到后速度变为2个单位长度秒， 此时， 速度为2个单位长度秒， 时间（秒， 从到，再到时间为5秒， 在上速度为3个单位长度秒，在上速度为4个单位长度秒， 设在上时间为秒，则在上时间为秒， ， ， 对应的数为． 答：运动时间的最小值为5秒，点所对应的数为． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找到等量关系式是解题关键． 题型五：直线上的动线段、定值（共2题） 1．（2023秋•铜梁区校级期末）初一年级开设了丰富多彩的选修课，佳佳同学在“数学实验与探究”课上借助两根木棒、研究数轴上的动点问题：如图，数轴上有，，三个点，分别表示有理数，和12．佳佳把两根木棒放在数轴上，使点与点重合，点与点重合，点在点的左边，点在点的左边，且，．木棒从点开始一直向右以每秒1个单位的速度匀速运动；木棒同时从点开始向右以每秒3个单位的速度匀速运动，当点运动到时，木棒立即以每秒2个单位的速度返回（返回过程中，仍然保持点在点的左边），当点再次运动到点时，两根木棒立即同时停止运动，设运动时间为秒． （1）当时，点表示的数为 　 　，点表示的数为 　　； （2）当时，若线段和线段的长度之和为12，求对应的值； （3）点为木棒上一点，在整个运动过程中，是否存在某些时间段，使得点到点、、、的距离之和为一个定值？若存在，请直接写出这个定值和持续的总时长；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）根据题意列式计算即可得出答案； （2）当时，得出，，，，根据，得出，求出结果即可； （3）分时和两种情况进行讨论即可得出答案． 【解答】解：（1）点表示的数为， 点表示的数为． 故答案为：；． （2）当时，，，，， ， ， ， ， 即， 解得：，． 当或时，线段和线段的长度之和为12． （3）存在，定值为8；持续总时长为秒，求解过程如下： 当在上运动时，点到点、、、的距离之和为一个定值，且点到点、、、的距离之和为； ①当时，，，，， ， ， ， ， ， 持续时长2秒； ②当时， ，，，， ， ， ， ， ， 持续时长为号（秒， （秒， 持续的总时长为秒． 【点评】本题主要考查了用数轴上的点表示有理数，数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题以及一元一次方程的应用，解题的关键是数形结合，注意进行分类讨论． 2．（2023秋•江汉区期末）如图（1）所示，已知直线上有，两点，，有一根木棒放在直线上，将木棒沿直线左右水平移动．当点与重合时，点刚好落在点移动前的位置，当点与重合时，点刚好落在点移动前的位置． （1）直接写出木棒的长； （2）木棒在射线上移动的过程中，当时，求的长； （3）另一根木棒长为，和在直线上的位置如图（2）所示，其中点与重合，点与重合．木棒以3个单位长度秒的速度向左移动，木棒以2个单位长度秒的速度向右移动，它们同时出发，设运动时间为秒，若式子的值为定值，请直接写出此时的取值范围，并写出这个定值． 【分析】（1）由题意得到线段，将值代入运算即可； （2）利用线段的数量关系列出等式解答即可； （3）利用的代数式表示出线段，，利用他们的和与无关的分析发现解答即可． 【解答】解：（1）由题意得：， ， ； （2）①当点，在线段上时， 由（1）得：， ，， ， ， ； ②当点在线段上，点在点的右侧时， ，， ， ， ． ③当点，在点的右侧时， ，， ， ，不合题意，舍去． 综上，的长为或； （3）由题意：，静止时，，， 木棒以3个单位长度秒的速度向左移动，木棒以2个单位长度秒的速度向右移动，它们同时出发，运动时间为秒， ，两点运动的距离为 ，，两点运动的距离为 ， 若式子的值为定值， 此时间段为点，相遇后至点，相遇时， 点，相遇的时间为，点，相遇的时间为， 的取值范围为． 当时， ，， ． 若式子的值为定值，此时的取值范围为，这个定值为． 【点评】本题这样考查了结合图形的变换，线段的和差计算，本题是动点问题，利用代数式表示出相应线段的长度和恰当应用分类讨论的思想方法是解题的关键． 题型六：确定速度角的运动与分类讨论思想（共9题） 1．（2023秋•洪山区期末）已知在的内部，，是补角的（本题出现的角均指不大于平角的角）． （1）如图1，求的值； （2）在（1）的条件下，平分，射线满足，求的大小； （3）如图2，若，射线绕点以每秒的速度顺时针旋转，同时射线以每秒的速度绕点顺时针旋转，当射线与重合后，再以每秒的速度绕点逆时针旋转．设射线，运动的时间为秒，当时，请直接写出的值 　 ． 【分析】（1）根据“，是补角的”列方程求解； （2）根据“及角的平分线的性质”列方程求解； （3）根据“”列方程求解． 【解答】解：（1）设，则， 则， 解得：， ； （2）设， 当在内部时，有， 解得：， 当在外部时，有或， 解得：或（不合题意，舍去）， 或； （3）当转到与重合时需要的时间为：（秒， 当时，，， ， ， 解得：或（不合题意，舍去）， 当时，设又经过秒，，， ， ， 解得：或， ， 的值为：或（不合题意，舍去）， 故答案为：3.5或． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找到相等关系是解题的关键． 2．（2023秋•衡阳期末）如图1，，，三点在一条直线上，且，，射线，分别平分和．如图2，将射线以每秒的速度绕点逆时针旋转一周，同时将以每秒的速度绕点逆时针旋转，当射线与射线重合时，停止运动．设射线的运动时间为秒． （1）运动开始前，如图1，　　，　　． （2）旋转过程中，当为何值时，射线平分？ （3）旋转过程中，是否存在某一时刻使得？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）根据角平分线的定义直接计算即可； （2）根据列方程求解即可； （3）分情况根据列方程求解即可． 【解答】解：（1），， ， ， 射线，分别平分和， ，． 故答案为：39，51． （2）射线以每秒的速度绕点逆时针旋转一周，同时将以每秒的速度绕点逆时针旋转， ， 射线平分， ， ， ， 解得：． 故当时，射线平分． （3）存在某一时刻使得，理由如下： ①当在上方，此时有：， 即：， 解得：； ②当在下方，此时有：， 即：， 解得：； ③当停止运动，继续旋转时，此时有旋转，， ． 综上所述：当或33时，． 【点评】本题主要考查一元一次方程的知识，熟练根据角的关系列方程求解是解题的关键． 3．（2023秋•辽宁期末）如图，已知，射线从开始，绕点逆时针旋转，旋转的速度为每秒，射线从开始，绕点顺时针旋转，旋转的速度为每秒，和同时开始旋转，当射线第一次与射线重合时，射线和同时停止旋转，设旋转的时间为秒． （1）射线旋转的时间为 　 　秒； （2）当　　秒时，，，三点共线； （3）试探究：射线和在旋转的过程中，三条射线、与中的某一条射线是另两条射线所夹角的角平分线时，的值为 　　； （4）时，的值为 　　． 【分析】（1）根据“路程速度时间”计算求解； （2）分、重合、、成一条直线时两种情况列方程求解； （3）分三种情况，根据角平分线的定义列方程求解； （4）分两种情况，根据“”列方程求解． 【解答】解：（1）（秒， 故答案为：25； （2）当、重合时， ， 解得：， 当、成一条直线时， ， 解得：， 故答案为：7.5或16.5； （3）当平分时，， 解得：， 当平分时，，解得：， 当平分时，， 解得：， 故答案为：或或； （4）当时，， 解得：， 当时，， 解得：， 当时，， 解得： 故答案为：5或或． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，理解分类讨论数学是解题的关键． 4．（2023秋•双流区期末）如图，和的度数都是． （1）若，求的度数； （2）若射线，恰好分别是和的平分线，求的度数； （3）当射线在内部，时，我们称为射线在内的比值，记作． 在（2）的条件下，射线，分别从射线和同时开始旋转，其中射线绕点顺时针旋转，射线绕点逆时针旋转，当射线旋转到射线时，射线，停止旋转．设运动时间为秒．若射线，的运动速度分别为每秒和，射线到达射线后立即以原速返回，则当为何值时，，，？ 【分析】（1）求出的度数，即可求出的度数； （2）根据角平分线求出、、的度数，即可求出的度数； （3）根据题意得，，由，得，根据题意得，当时，，，得，由，得即可求出的值；当时，，得，由，得即可求出的值． 【解答】解：（1），， ， ； （2）平分， ， 平分， ， ； （3）由射线从射线出发绕点顺时针旋转，运动速度为每秒， 得， 由射线从射线出发绕点逆时针旋转，运动速度为每秒， 得， ， ， ， 运动到时，、停止运动，， ， 当时，，， ， ， 若， 则， 解得， 当时，， ， ， 若， 则， 解得， 综上所述，的值为3或7． 【点评】本题考查了角的和差运算，角的旋转问题，一元一次方程的应用，本题的关键是理解的含义，结合分类讨论思想列方程解题． 5．（2023秋•武汉期末）【问题背景】 若，在内部，，，分别平分和． 【问题特殊化】（1）如图1，当，重合时，则　　； 【问题一般化】（2）如图2，在（1）的情形下，如果将绕点顺时针旋转，求的度数（用含的式子表示）； 【问题拓展化】（3）如图3，在（1）的情形下，若和的边、的位置不变．将绕着点，以每秒的速度沿顺时针方向旋转，同时将绕着点，以每秒的速度沿逆时针方向旋转，设旋转时间为 ，当为何值时，，请直接写出两个的值． 【分析】（1）由，分别平分和，得，，再计算． （2）由分别平分，得．由平分，得．由绕点顺时针旋转，得，故． （3）分两种情况讨论：①，，得，，列式为，再计算即可．②由，，得，再计算即可． 【解答】解：（1），分别平分和， ，， ， 故答案为：25； （2）如图： 分别平分， ． 平分， ． 绕点顺时针旋转， ， ， 答：的度数为． （3）①如图：设转到． ，， ， ． ， ． ， ． ②如图：设转到． ， ， ， ， ， ． 答：两个的值为或． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找到相等关系列出方程是解题的关键． 6．（2023秋•沙坪坝区校级期中）如图1，为直线上的一点，过点作射线使，将一直角三角板的顶点与点重合，，在射线上，另一边在直线上方．将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，当边与射线重合后，再以每秒的速度绕点逆时针旋转，运动时间为秒． （1）如图2，在三角板顺时针旋转过程中，使边在内部，且平分．此时，　　度； （2）在三角板逆时针旋转过程中，试探究与之间满足什么等量关系，并说明理由； （3）若在三角板旋转的同时，射线绕点以每秒的速度顺时针旋转，并与三角板同时停止转动．当时，直接写出的值． 【分析】（1）根据题意可得，再由平分，可得上，即可求解； （2）先求出，然后分三种情况讨论：当在上方，在内部时；当在上方，在内部时；当在下方时，即可求解； （3）分两种情况讨论：若边与射线重合前；边与射线重合后，即可求解． 【解答】解：（1）， ， 平分， ， ， ； 故答案为：20； （2）或或；理由如下： ， ， 当在上方，在内部时， ， ， ； 当在上方，在内部时， ， ； 当在下方时， ， ， ； 综上所述，或或； （3）当在射线上时，，， 此时， 三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，射线绕点以每秒的速度顺时针旋转， 每秒增加的度数为， ， 即当时，的值为3； 或； 若边与射线重合后， 秒，即当秒时，边与射线重合， 此时转动的角度为， 秒，，或，秒，， 综上所述，当时，的值为3或11或16或． 【点评】本题主要考查了角的和与差，有关角平分线的计算，涉及了分类讨论思想．根据题意准确得到角与角之间的数量关系是解题的关键． 7．（2023秋•二道区校级期末）如图1，，射线从出发，绕着点以每秒的速度顺时针旋转，设旋转的时间为秒． （1）已知射线旋转到与射线的反向延长线重合时停止旋转． ①当时，　　，当时，　　． ②用含有的代数式表示的度数． ③当的度数是的2倍时，求的值． （2）如图2，在射线旋转的同时，射线从出发，绕着点以每秒的速度逆时针旋转，当射线或射线与射线再次重合时，两条射线同时停止旋转．在旋转过程中，当的度数是的2倍时，直接写出的值． 【分析】（1）①，． ②当在内部时，，当在外部时，． ③当在内部时，，当在外部时，，解方程求． （2）在外部，，，在内部，，，列方程求． 【解答】解：（1）①，． 故答案为：20，20． ②当在内部时，，， 当在外部时，，． ③， 当在内部时，， ． ． 当在外部时，， ． ． 综上秒或秒． ． （2）①如图在外部，， ， ， ． ． ②在外部，， ． ． ，不合题意舍去． ③如图，在内部，， ， ． ． ④在内部，， ． ，不合题意舍去． 秒或秒． 【点评】本题考查了列方程解决角的旋转问题，用代数式表示角，关键是旋转过程中角的变化特点． 8．（2023秋•大丰区期末）【材料阅读】 如图1，数轴上有三个点，，，表示的数分别是，，1． （1）若要使，两点的距离与，两点距离相等，则可将点向左移动 　　个单位长度． （2）若动点，分别从点、点出发，以每秒5个单位长度和每秒4个单位长度的速度向左匀速运动，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向右匀速运动，点，，同时出发，设运动时间为秒． ①秒后，点，，表示的数分别为 　　，　　，　　（用含的代数式表示）； ②记点与点之间的距离为，点与点之间的距离为，则的值是否有变化？若无变化，请求出这个值；若有变化，请说明理由． 【方法迁移】 如图2，，平分．现有射线、分别从、同时出发，以每秒和每秒的速度绕点顺时针旋转，当旋转一周时，这两条射线都停止旋转．问经过几秒后，射线、的夹角为？ 【生活运用】 周末的下午，小明看到钟面显示3点整，此时分针与时针的夹角恰好为，经过 　　分钟后，分针与时针的夹角首次变成． 【分析】（1）利用线段中点的定义解答即可； （2）①根据数轴上两点间的距离即可得到结论； ②利用分类讨论的思想方法列出关于的方程解答即可； 【方法迁移】利用（3）中的方法和角平分线的定义解答即可； 【生活运用】设经过分钟后，分针与时针的夹角首次变成，利用（3）中的方法列方程解答即可． 【解答】解：【材料阅读】（1）， ． 故可将点向左移动2个单位长度． 故答案为：2； （2）①秒后，点，，表示的数分别为，，， 故答案为：，，； ②点与点之间的距离， 点与点之间的距离， ； 【方法迁移】，平分， ， 设经过秒后，射线、的夹角为， 或， 解得：或， 射线、分别从、同时出发，以每秒和每秒的速度绕点顺时针旋转，当旋转一周时，这两条射线都停止旋转， ， ． 经过9秒或21秒后，射线、的夹角为； 【生活运用】设经过分钟后，分针与时针的夹角首次变成， 分针每分钟旋转，时针每分钟旋转， ， 解得：， 经过分钟后，分针与时针的夹角首次变成． 故答案为：． 【点评】本题是几何变换综合题，主要考查了实数与数轴，列代数式，分类讨论的思想方法，列一元一次方程解应用题，钟面角的应用，利用分类讨论的思想方法解答是解题的关键． 9．（2023秋•金水区校级期末）将一副直角三角板（分别含，，和，，的角）叠放在量角器上，、分别平分和． 特例感知： （1）如图1，若点、、在同一直线上，边与量角器刻度线重合，边与量角器刻度线重合，则　 　． 规律探究： （2）如图2，若两直角三角板有重叠时， ①当时，求的度数； ②当，则　　（含的式子表示）． 解决问题： （3）图1的条件下，将三角板绕点顺时针旋转，平均每秒旋转，将三角板绕点逆时针旋转，平均每秒旋转，两三角板同时旋转，当第一次与重合，两三角板同时停止旋转，设旋转时间为秒，在旋转过程中，是否存在某一时刻与两角平分线的夹角为，若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）找到和所对的最外圈的刻度，相减即可； （2）①由，可得．由平分可得，的度数减去的度数即为的度数，同理可得的度数，让的度数减去和的度数即为的度数； ②把的度数换成，按照①的方法求解即可； （3），第一种情况是由（2）中的①可得，的度数由和旋转得到，除以它们的速度和即为所求的时间；第二种情况是两三角板继续旋转，旋转成射线在射线的左边，，算出的大小，除以它们的速度和即可求得的值． 【解答】解：（1）所对是最外圈的刻度是，所对的最外圈的刻度是． ． 故答案为：； （2）①，， ． 平分， ． ． 同理可得：． ； ②，， ． 平分， ． ． 同理可得：． ． 故答案为：． （3）①，由（2）中的①可得． 三角板绕点顺时针旋转，平均每秒旋转，三角板绕点逆时针旋转，平均每秒旋转，旋转时间为秒． ． 解得：； ②如图：平分，平分，，． ，． ， ． ． 解得：． 答：的值为7.5或15． 【点评】本题综合考查一元一次方程的应用．充分利用角的平分线的性质得到相应的度数及数量关系是解决本题关键． 题型七：确定速度角的运动与分类讨论思想、新定义（共6题） 1．（2023秋•平原县期末）【阅读理解】 射线是内部的一条射线，若，则我们称射线是射线的伴随线．例如，如图1，，，则，称射线是射线的伴随线；同时，由于，称射线是射线的伴随线． 【知识运用】 （1）如图2，，射线是射线的伴随线，则　 　，若的度数是，射线是射线的伴随线，射线是的平分线，则的度数是 　　．（用含的代数式表示） （2）如图3，如，射线与射线重合，并绕点以每秒的速度逆时针旋转，射线与射线重合，并绕点以每秒的速度顺时针旋转，当射线与射线重合时，运动停止． ①是否存在某个时刻（秒，使得的度数是，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． ②当为多少秒时，射线、、中恰好有一条射线是其余两条射线的伴随线． 【分析】（1）根据伴随线定义即可求解； （2）①利用分类讨论思想，分相遇之前和之后进行列式计算即可； ②利用分类讨论思想，分相遇之前和之后四个图形进行计算即可． 【解答】解：（1），； （2）射线与重合时，（秒 ①当的度数是时，有两种可能： 若在相遇之前，则， ； 若在相遇之后，则， ； 所以，综上所述，当秒或25秒时，的度数是． ②相遇之前： 如图1， 是的伴随线时，则 即 如图2， 是的伴随线时， 则 即 相遇之后： 如图3， 是的伴随线时， 则 即 如图4， 是的伴随线时，则 即 所以，综上所述，当，，，30时，、、中恰好有一条射线是其余两条射线的伴随线． 【点评】本题考查了角的计算，解决本题的关键是利用分类讨论思想． 2．（2023秋•铁西区期末）【材料导读】 规定：在一个角的内部从角的顶点引出一条射线，这条射线与该角的一条边组成的角是原角的，则这条射线叫原角的“三等分线”． 【学以致用】 （1）如图1，若，则射线 　　的“三等分线”（填“是”或“不是” ； （2）如图2，已知，射线在的内部，射线是的“三等分线”，且，若，求的度数； 【拓展延伸】 （3）如图3，已知，点，分别在的边，上，射线绕点以每秒的速度顺时针旋转，同时射线绕点以每秒的速度逆时针旋转，旋转到与边重合后停止；然后再按原速度绕点开始顺时针旋转，旋转到与边重合后停止；然后再按原速度绕点开始逆时针旋转，如此往返，当射线与边重合后，射线，都停止运动．设运动时间为秒，当射线与第二次重合后，若射线是的“三等分线”，请直接写出的值． 【分析】（1）根据题意解答即可； （2）根据三等分线列出等式计算即可． （3）先计算出，再分两种情况讨论即可． 【解答】解：（1）， ， 故答案为：是； （2）， ， ，， ； （3）当与第二次重合时，从转向，此时，，， ， ，， 当后， 当时，此时，向转动，此时，，， 当时，， ， 当时，， ． 综上，值为或． 【点评】本题考查了角的计算，熟练掌握角的和差倍分是关键． 3．（2023秋•梁溪区期末）【阅读理解】 定义：在一条直线同侧的三条具有公共端点的射线之间若满足以下关系，其中一条射线分别与另外两条射线组成的角恰好满足2倍的数量关系，则称该射线是另外两条射线的“双倍和谐线”．如图1，点在直线上，射线，，位于直线同侧，若平分，则有，所以我们称射线是射线，（或射线，的“双倍和谐线”． 【迁移运用】 （1）如图1，射线 　　（选填“是”或“不是” 射线，的“双倍和谐线”；射线 　　（选填“是”或“不是” 射线，的“双倍和谐线”； （2）类似的，在一条直线同侧的三条具有公共端点的射线之间若满足以下关系，其中一条射线分别与另外两条射线组成的角恰好满足3倍的数量关系，则称该射线是另外两条射线的“三倍和谐线”．如图2，点在直线上，，，射线从出发，绕点以每秒的速度逆时针旋转，运动时间为秒． ①当射线与射线重合时，运动停止．若射线是射线，的“三倍和谐线”时，求的值； ②当射线与射线重合时，运动停止．若在射线旋转的同时，绕点以每秒的速度逆时针旋转，且在旋转过程中，射线平分．当射线位于射线左侧且射线是射线，的“三倍和谐线”时，求的度数． 【分析】（1）根据题意“双倍和谐线”找，或的关系，但没有符合条件的，故不是；根据题意可得，则射线是射线，的“双倍和谐线”； （2）①由题意得：，，列出“三倍和谐线” 或，分别求解即可；②由题意得，，，，则有，结合“三倍和谐线”列出或分别求解即可． 【解答】解：（1）根据题意得，则射线是射线，的“双倍和谐线”； 故答案为：不是，是； （2）①由题意得：，， 或． 当时，如图， 则：．解得：； 当时，如图， 则：．解得：． 综上，当射线是射线，的“双倍和谐线”时，的值为或． ②由题意得：，，， ， ． 或． 当时，如图， 则． 解得：． ； 当时，如图， ． 解得：． ． 综上，的度数为或． 【点评】本题主要考查新定义下的角度的计算、角平分线的定义和解一元一次方程，列出方程是解题的关键． 4．（2023秋•腾冲市期末）新定义：如图①，已知，在内部画射线，得到三个角，分别为、、．若这三个角中有一个角是另外一个角的2倍，则称射线为的“幸运线”．（本题中所研究的角都是大于而小于的角． 阅读理解： （1）角的平分线 　　这个角的“幸运线”；（填“是”或“不是” 初步应用： （2）如图①，，射线为的“幸运线”，则的度数为 　　；（直接写出答案） 解决问题 （3）如图②，已知，射线从出发，以每秒的速度绕点顺时针旋转，同时，射线从出发，以每秒的速度绕点顺时针旋转，设运动的时间为秒．若、、三条射线中，一条射线恰好是以另外两条射线为边的角的“幸运线”，求运动的时间的值． 【分析】（1）设是 的平分线，可得，故一个角的平分线是这个角的“幸运线”； （2）设，①若，，得；②若，，得；③若，，得； （3）当时，射线在内部，此时，，①当时，，②当 时，，③当时，，④当时，，分别解方程可得答案． 【解答】解：（1）设是 的平分线， 则， 一个角的平分线是这个角的“幸运线”； 故答案为：是； （2）设， ①若，则， 由题意得：， 解得； ②若，则， 由题意得：， 解得； ③若，则， 由题意得：， 解得； 的度数为或或； 故答案为：或或； （3）当时，射线在内部，此时，， ①当时， ， 解得：； ②当 时， ， 解得：； ③当时， ， 解得：； ④当时， ， 解得：； 的值是或或； 【点评】本题考查一元一次方程的应用，涉及新定义，解题的关键是分类讨论思想的应用． 5．（2023秋•细河区期末）定义：如果从一个角的顶点引出的一条射线，与角的一条边组成的角是原来的角的，则这条射线叫原来角的“新生线”． （1）如图1，，射线 　　的“新生线”（填“是”或“不是” ； （2）点、、在同一直线上， ①在图2中，，射线在的内部，并且是的“新生线”， 平分，求 的大小； ②如图3，，，射线从出发绕点以每秒的速度逆时针旋转，运动时间为秒，若在射线旋转的同时，绕点以每秒的速度逆时针旋转，且在旋转过程中，射线平分．当射线与射线重合时，运动都停止．当射线是的“新生线”时，直接写出的值为 　　． 【分析】（1）根据“新生线”的定义及计算方法即可求解； （2）①射线在的内部，并且是的“新生线”，分类讨论，当时，当，根据角平分线即可求解；②到的时间范围为，当追上的时间为，当追上的时间为，分类讨论：第一种情况，当在左侧时，第二种情况，当在右侧且时，第三种情况，当在右侧且时，结合图形分析即可求解． 【解答】解：（1），设，则， ， ， 是的， 是的新生线， 故答案为：是． （2）①射线在的内部，并且是的“新生线”， 当时，如图所示， 点、、在同一直线上，， ， ， ， ， 平分， ， ； 当时，如图所示， 同理，， ，则， 平分， ， ； 综上所述，的大小为或； ②射线从出发绕点以每秒的速度逆时针旋转，绕点以每秒的速度逆时针旋转， 到的时间范围为：， ，， ， 当追上的时间为，即， 当追上的时间为，即， 第一种情况，当在左侧时，如图所示， 当时， ， ， ， 解得，； 第二种情况，当在右侧且时，如图所示， 当时， ， ， ， 解得：； 第三种情况，当在右侧且时，如图所示， 则， 解得：； 综上所述，当射线是的“新生线”时，的值为或或， 故答案为：的值为20.4或或． 【点评】本题主要考查线段的位置与角的数量关系，理解“新生新”的定义，线段运动的规律，图形结合分析角的和、差、倍、分的数量关系是解题的关键． 6．（2023秋•柳州期末）【阅读理解】 射线是内部的一条射线，若，则我们称射线是射线的“友好线”．例如，如图1，，，则，称射线是射线的友好线；同时，由于，称射线是射线的友好线． 【知识运用】 （1）如图2，，射线是射线的友好线，则　　； （2）如图3，，射线与射线重合，并绕点以每秒的速度逆时针旋转，射线与射线重合，并绕点以每秒的速度顺时针旋转，当射线与射线重合时，运动停止； ①是否存在某个时刻（秒，使得的度数是，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由； ②当射线、相遇后，射线、中恰好有一条射线是另一条射线的友好线，求此时的值． 【分析】（1）根据新定义直接可得答案； （2）①分两种情况：在、相遇前，，在、相遇后，，即可解得答案； ②分2种情况：若是的友好线，，若是的友好线，，解方程可得答案． 【解答】解：（1）射线是射线的友好线， ， 故答案为：40； （2）射线与射线重合时，（秒， ①存在某个时刻（秒，使得的度数是，有两种情况： 在、相遇前，， ； 在、相遇后，， ， 综上所述，当为28秒或44秒时，的度数是； ②若是的友好线，则， ， ， 若是的友好线，则， ， ； 综上所述，当为秒或45秒时，射线、中恰好有一条射线是另一条射线的友好线． 【点评】本题考查角的和差及新定义，解题的关键是读懂新定义，用方程的思想解决问题． 题型八：不确定速度角的运动与分类讨论思想（共4题） 1．（2024春•昆山市期末）数学综合实践课上，小明用一块直角三角板进行探究：将三角板的直角顶点放在直线上，将边落在射线上，边位于直线上方，三角板绕点顺时针旋转，旋转角为，作直线平分交所在直线于点． （1）提出问题：如图1，若旋转角，求的度数； （2）探索发现：如图2，若旋转角时，求的值； （3）拓展探究：继续旋转三角板，若旋转角时，此时与还存在（2）中的结论吗？若存在，说明理由；如不存在，直接写出与之间的关系． 【分析】（1）当旋转角时，则，，，根据角平分线定义得，由此可得的度数； （2）当旋转角时，则，，根据角平分线定义得，则，由此可得的值； （3）当旋转角时，则，，根据角平分线定义得，，由此可得与之间的关系． 【解答】解：（1）当旋转角时，则， ， ， ， 平分， ， ； （2）当旋转角时，则， ， 平分， ， ， ， ； （3）不存在，与之间的关系是：，理由如下： 当旋转角时，则， ， 平分， ， ， ， 即， ， ． 【点评】此题主要考查了角平分线的定义，角的计算，准确识图，理解角平分线的定义，熟练掌握角的计算是解决问题的关键． 2．（2023秋•青山湖区校级期末）【阅读理解】在学习《角的比较与运算》内容时，教材设置这样的一个探究：借助三角尺拼出，的角，即通过一副三角尺可以拼出一些特殊度数的角． 【实践】（1）在度数分别为①，②，③，④的角中，小明同学利用一副三角尺拼不出来的是 　　．（填序号） 【操作】 七（1）班数学学习小组用一副三角尺进行拼角．如图1，巧巧把和的角拼在一起，如图2，嘉琪把和的角拼在一起，他们两人各自所拼的两个角均在公共边的异侧，并在各自所拼的图形中分别作出的平分线和的平分线． 【探究】（2）通过上述操作，巧巧计算出图1中的，请你直接写出图2中的　　． 【发现】（3）当有公共顶点的两个角和有一条边重合，且这两个角在公共边的异侧时，这两个角的平分线的夹角的度数是 　　（用含，的代数式表示）． 【拓展】（4）巧巧把图1中的三角尺绕点顺时针旋转到图3的位置，使，，三点在同一条直线上，并求出了的度数为． 嘉琪把图2中的三角尺绕点顺时针旋转到图4的位置，使，，三点在同一条直线上．请你仿照巧巧的做法，求出图4中的度数． 【归纳】（5）根据上述探究，可以归纳出：当有公共顶点的两个角和有（其中有一条边重合，且这两个角在公共边的同侧时，这两个角的平分线的夹角的度数是 　　（用含，的代数式表示）． 【分析】（1）一副三角尺的角的度数是，，，，由此即可判断； （2）（3）（4）（5）由角的平分线的定义表示出有关的角，即可求解． 【解答】解：（1）一副三角尺拼不出来的是④． 故答案为：④． （2），分别平分，， ，， ， ， 故答案为：75； （3）当有公共顶点的两个角和有一条边重合，且这两个角在公共边的异侧时，这两个角的平分线的夹角的度数是， 故答案为：， （4），分别平分，， ，， ， ． （5）当有公共顶点的两个角和有（其中有一条边重合，且这两个角在公共边的同侧时，这两个角的平分线的夹角的度数是， 故答案为：． 【点评】本题考查角度的计算，关键是由角平分线的定义表示出有关的角． 3．（2023秋•硚口区期末）【问题提出】如图1，，，在内，在外，平分，平分，试探究和的数量关系． 【问题探究】（1）先将问题特殊化．如图2，若，． ①直接写出的大小是 　　，的大小是 　　； ②直接写出的值． （2）再探究一般情形，如图1，证明（1）中②的结论仍然成立． 【问题拓展】如图3，，，在绕着点旋转一周的过程中，平分，平分，当时，直接写出的大小． 【分析】【问题探究】 （1）①由，得，，由平分，得，由平分，得，故．②代入和得． （2）由题意得，，得，故． 【问题拓展】，分三种情况讨论：如图1，由题意得，，列式为，得．如图2，得 ，，列式为，得．如图3，得，，列式为，得． 【解答】解：【问题探究】 （1）①， ， ， ， ， 平分， ， ， 又平分， ， ， 故答案为：，． ②． 答：和的数量关系是． （2）证明：，，平分，平分， ， ， ， ． 答：（1）中②结论仍成立，为． 【问题拓展】， 分三种情况讨论： 如图1， ，，平分，平分， ， ， ， ， ， 即． 如图 ， ， ， ， ， 即． 如图 ， ， ， ， ， 即． 答：的度数为：或或． 【点评】本题考查了角的计算，根据图形表示出角度，再进行计算是解题关键． 4．（2022秋•新市区校级期末）如图．已知，与互余，平分． （1）在图①中．若，则　　．　　； （2）在图①中，设，，请探究与之间的数量关系（必须写出推理的主要过程，但每一步后面不必写出理由）； （3）在图①中，当绕着点顺时针转动到如图②的位置时，（2）中与之间的数量关系是否还成立？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出此时与之间的数量关系． 【分析】（1）先根据余角的定义计算，再由角平分线的定义计算，根据角的差可得的度数； （2）同理先计算，再根据列等式即可； （3）同理可得，再根据列等式即可． 【解答】解：（1）如图1，与互余， ， ， ， 平分， ， ， ， ， 故答案为：50，45； （2）解：，理由是： 如图1，， ， 平分， ， 又， ，即； （3）不成立，此时与之间的数量关系为：， 理由是：如图2，，， ， 平分， ， ， ，即， 答：不成立，此时与之间的数量关系为：， 【点评】本题考查了角平分线定义，角的有关计算的应用，解此题的关键是求出注意利用数形结合的思想，熟练掌握角的和与差的关系． 题型九：乘方规律（共5题） 1．（2023秋•沙坪坝区校级期末）小明想探究自然数的立方和（其中为自然数）的推导方法，查阅资料后、想到一个方法，把这个代数问题转化为几何问题，具体如下：1对应图①中边长为1的小正方形个数；对应图②中边长为1的小正方形的个数；对应图③中边长为1的小正方形个数．小明发现，图①、图②、图③恰好可以拼成一个边长为6的正方形，从而得到． （1）①请你顺着小明的研究思路在网格图中画出对应的小正方形个数的摆放图形； ②把这4个图形拼成一个正方形，则这个正方形的边长为 　　； （2）根据小明的发现，请直接写出　　（用含的式子表式）； （3）请根据第（2）问的规律求的值． 【分析】（1）①根据题意可计算出第4个图形中小正方形个数为64个，画出图形即可；②根据规律可知，利用平方根的性质即可知道正方形的边长； （2）根据规律可知，； （3）按照（2）的规律计算即可． 【解答】解：（1）根据题意，可画出边长为10的正方形再减去边长为6 的正方形即为43对应的小正方形的个数图形； 故答案为：10； （2）根据图①图②图③图④，可发现； 故答案为：； （3） ． 【点评】本题考查了算术平方根以及图形的变化美，根据前4个图形发现规律是解答本题的关键． 2．（2023秋•汉阳区期末）问题呈现：在小学我们学习过用图示法求的方法： 如图1，从第1层至第层，分别有1，2，3，，个小圆圈；将图1旋转后拼成如图2． ①图2中，每层有小圆圈 　 　个；共有小圆圈 　　个． ②　　 数学思考：如何求？小明同学根据上面的启示设计了如图3所示三角形数阵型： 第1行圆圈中的数为1，即；第2行两个圆圈中数的和为，即；；第行个圆圈中数的和为，即，这样，该三角形数阵中所有圆圈中的数的和为． 为了求这个和，他将三角形数阵型经过两次旋转可得如图4所示的三角形数阵型． 观察这三个三角形数阵型各行同一位置圆圈中的数，（如第行的第1个圆圈中的数分别为，2，， ③发现每个位置上三个圆圈中数的和均为 　　； ④这三个三角形数阵所有圆圈中数的总和为：　　； ⑤　　． 拓展运用：根据以上发现， ⑥计算的结果为 　　． ⑦求的值． 【分析】问题呈现：根据图中的四边形的面积计算； 数学思考：根据题中的步骤，结合②中的结果求解． 【解答】解：问题呈现：①图2中，每层有小圆圈个；共有小圆圈个． ②， 故答案为：，，； 数学思考：③发现每个位置上三个圆圈中数的和均为， ：故答案为：； ④这三个三角形数阵所有圆圈中数的总和为：， 故答案为：； ⑤， 故答案为：； 拓展运用：根据以上发现， ⑥， 故答案为：； ⑦求 ． 【点评】本题考查了图形的变化类，找到变化规律是解题的关键． 3．（2024春•北碚区校级期末）材料一：杨辉三角（如图，出现在中国宋朝时期数学家杨辉的著作《详解九章算法》中，是我国数学史上一颗璀璨的明珠，是居于世界前列的数学成就．杨辉三角两腰上的数都是1，其余每个数为它的上方（左右）两数之和，揭示了为非负整数）展开式的项数及各项系数的相关规律，蕴含很多有趣的数学性质，运用规律可以解决很多数学问题． 材料二：斐波那契数列，是意大利数学家莱昂纳多斐波那契从兔子繁殖问题中引入的一列神奇数字，用表示这一列数中的第个，则数列为，，，，，，数列从第三项开始，每一项都等于其前两项之和，即为正整数）． 结合材料，回答以下问题： （1）多项式展开式共有 　　项，各项系数和为 　　，利用展开式规律计算：　　． （2）我们借助杨辉三角中第三斜行的数：1，3，6，10，，记，，，，，则　　；　　（用表示）；　　． （3）如图2，把杨辉三角左对齐排列，将同一条斜线上的数字求和，计算可得，，，，，，若，且，结合材料二，求的值（用表示）． 【分析】（1）总结规律得多项式展开式共有项，各项系数和为，令中，，，由展开式得，从而即可得解； （2）总结规律得而代入求解即可；（3）总结规律得，再由，得，从而即可得解． 【解答】解：（1）多项式展开式共有项，各项系数和为； 多项式 展开式共有项，各项系数和为； 多项式 展开式共有项，各项系数和 为； 多项式 展开式共有项，各项系数和 为； 多项式 展开式共有项，各项系数和 为； 令 中，，，由展开式得 ， 故答案为：6，32，； （2）， ， ， ， ； ， 故答案为：36，； （3），，，，，， ，，， ， ， ， ， ， ． 【点评】本题主要考查了规律型—数字的变化类，数学常识，正确理解题意，找出规律是解题的关键． 4．（2023秋•斗门区期末）综合与实践：观察下图，解答下列问题， （1）图1的一些圆圈被直线分层显示前面4层，第一层有1个圆圈，第二层有3个圆圈，第三层有5个圆圈，，如果要你继续画下去，第6层有 　　个圆圈；第层有 　　个圆圈． （2）对比图1图2，感受图形的转化，数图中的圆圈个数可以有多种不同的方法．比如：前两层的圆圈个数和为或，由此得，，总结规律，从1开始的个连续奇数之和是多少？用的代数式把它表示出来：　　． （3）运用（2）中的规律计算：． 【分析】（1）观察每层中圆圈的个数，发现规律即可解决问题． （2）理解题中所给表示方式即可解决问题． （3）根据（2）的发现即可解决问题． 【解答】解：（1）由题知， 第一层的圆圈个数为：； 第二层的圆圈个数为：； 第三层的圆圈个数为：； ， 所以第层的圆圈个数为个， 当时， （个， 即第6层的圆圈个数为11分． 故答案为：11，． （2）因为； ； ， ， 所以． 故答案为：． （3）由（2）的发现可知， 原式 ． 【点评】本题考查图形变化的规律，能根据所给图形发现从1开始连续奇数和的特征是解题的关键． 5．（2023秋•天元区期末）【概念学习】 现规定：求若干个相同的有理数（均不等于的商的运算叫做除方，比如，等，类比有理数的乘方，我们把写作，读作“2的圈3次方”， 写作，读作“的圈4次方”，一般地把个的商，写作，读作“的圈次方”． 除方乘方幂的形式 【初步探究】 （1）直接写出计算结果：　　，　　； （2）下列关于除方说法中，错误的有 　　；（在横线上填写序号即可） ①任何非零数的圈2次方都等于1 ②任何非零数的圈3次方都等于它的倒数 ③负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数 ④圈次方等于它本身的数是1或 【深度学习】 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ （3）归纳：请把有理数的圈次方写成幂的形式为：　　； （4）比较大小：　　（填“”“ ”或“” ； （5）计算：． 【分析】有理数的混合运算 【解答】解：（1）由除方定义得，． （2）①任何非零数的圈2次方等于两个相同的非零数相除等于1，故①正确； ②任何非零数的圈2次方都等于1，而1除以一个数就等于它的倒数，故②正确； ③负数的圈奇数次方表示奇数个负数相除，所以结果是负数；负数的圈偶数次方表示偶数个负数相除，结果是正数，故③正确； ④不能做除数，故④错误． 故答案为：④． （3）由除方定义得个个． （4）由（3）得，，又，故． （5）． 【点评】本题考查了有理数的混合运算，按照除方的定义计算是解题关键． 题型十：新定义与整除（共6题） 1．（2023秋•中江县期末）若一个三位正整数的前两位数字相同且各位数字均不为0，则称这个数为“前介数”；若把这个数的个位数字放到前两位数字组成的数的前面组成一个新的三位数，则称这个新的三位数为“后介数”；记一个“前介数” 与它的“后介数”的差为．例如，551前两位数字相同，所以551为“前介数”；则155就为它的“后介数”， ． （1）　　，　　； （2）对于任意一个“前介数” ，一定能被 　　整除；（将正确的答案序号写在横线上） ①2 ②7 ③9 ④11 （3）已知一个“前介数” 的个位数字是1，且关于的方程有整数解，求所有满足条件的的值． 【分析】（1）根据“前介数” 与它的“后介数”的差为的定义求解即可； （2）设“前介数” 的十位和百位数字为，个位数字为，且，均是不为0的整数，即，，根据定义得到，则一定能被9，11整除； （3）设“前介数” 的十位和百位数字为，个位数字为为1，且是不为0的整数，即，利用含的式子表示出和，再解出的解，利用的解是整数进行分类讨论即可求出符合条件的． 【解答】解：（1）是“前介数”，其对应的“后介数”是311， ； 是“前介数”，其对应的“后介数”是288， ； 故答案为：，594； （2）设“前介数” 的十位和百位数字为，个位数字为，且，均是不为0的整数，即，，根据定义得到：“前介数” ，其对应的“后介数”是， ， 一定能被9，11整除， 故答案为：③④． （3）设“前介数” 的十位和百位数字为，个位数字为为1，且是不为0的整数，即， “前介数” ，其对应的“后介数”是， ， 关于的方程可化为：， 化简得：， 有整数解，即能被6整除，且， ①当时，，即， ②当时，，即， ③当时，，即， ④当时，，即． 的值为：221或331或441或551． 【点评】本题考查用新定义解题，根据新定义，表示出“前介数”，与其对应的“后介数”是求解本题的关键．本题中运用到的分类讨论思想是重要一种数学解题思想方法． 2．（2023秋•北碚区校级期末）对任意一个四位数正整数，如果各个数位上的数字都不为零，且满足千位与个位数字的差等于十位与百位数字的和，那么称这个数为“互补数”，将一个“互补数” 的千位与个位的数字对调，百位与十位数字对调后得到一个新的四位数，将的千位与十位的数字对调，百位与个位数字对调后得到另一个新四位数，记，．例如，因为，所以7412是“互补数”，且，，则，． （1）求和的值； （2）已知“互补数” 的百位与十位上数字和为6，且满足能被13整除，求所有满足条件的． 【分析】（1）根据题意可知，，，再根据题目要求计算即可； （2）设“互补数” 的千位数字为，百位数字为，根据题意表示出，，，代入求解即可． 【解答】解：（1），； （2）设“互补数” 的千位数字为，百位数字为， “互补数” 的百位与十位上数字和为6， “互补数” 的十位数字为，个位数字为， “互补数” 可表示为， 可表示为， 可表示为， ， ， “互补数” 的百位与十位上数字和为6， ，， 当，时，， ； 当，时，， ； 综上所述，所有满足条件的有7241或9513． 【点评】本题考查列代数式，整式的加减运算，熟悉并理解题意是解题的关键． 3．（2023秋•本溪期末）阅读与思考 下面是小馨同学的数学笔记，请仔细阅读并完成相应的任务． 一定能整除吗？ 【发现问题】 （1）任意写一个两位数： （2）交换这个两位数的十位数字和个位数字，又得到一个新的两位数： （3）这个新的两位数与原来两位数的和一定能被11整除． 【数学思考】 举例：例①，；例②，；例③▲； 【问题解决】 设一个两位数的十位上的数是，个位上的数是， 根据题意得： 这个两位数与得到的新数的和能被11整除． 任务： （1）仿照例子，将【数学思考】中例③补充完整 　 　； （2）请参照笔记中的分析与解答过程，解答下面问题：一个三位数，它的百位数字为，十位数字为，个位数字为，若把它的百位数字与个位数字对调，将得到一个新的三位数．计算原数与新数的差，这个差能被11整除吗？为什么？ 【分析】（1）任意再举一个符合条件的例式即可； （2）先表示原数和新数，计算原数与新数的差即可解答． 【解答】解：（1），（答案不唯一）； 故答案为：，（答案不唯一）； （2）能被11整除，理由如下： 原数新数 ， ， 这个三位数与得到的新数的差能被11整除． 【点评】本题考查了整式的加减，两位数和三位数的表示方法，认真阅读材料的内容并能类比解决问题是关键． 4．（2023秋•江汉区期末）定义：一个正整数（其中，，，均为小于10的非负整数）．若，为整数，我们称为“倍数”．例如，，则称5923为“2倍数”； ，则称1940为“倍数”； ．因为不是整数，所以2548不是“倍数”． （1）直接判断3274和2961是否为“倍数”，若是，直接写出的值； （2）若一个三位数为“倍数”，且个位数字为7，判断这个三位数是否能被7整除，并说明理由； （3）若一个四位数为“1倍数”，且各数位的数字互不相等，将它的千位数字和百位数字组成的两位数记为（即，十位数字和个位数字组成的两位数记为（即．若为整数，求这个四位数； （4）若一个四位数为“4倍数”，将它的百位数字和十位数字互换，得到的新的四位数仍为“4倍数”， 为“倍数”，直接写出满足条件的的最大值． 【分析】（1）根据题意列出关于的方程，进行判断． （2）根据三位数为“倍数”，且个位数字为7，得出，表示出三位数，进行判断． （3）根据四位数为“1倍数”，得出，再得出为8倍数，求出，的值，得出答案． （4）设的四位数字分别为，，，．百位十位进行互换，得出新数，分两种情况进行讨论，得出答案． 【解答】解：（1）． 解得：． 不是整数，所以3274不是“倍数“． ． 解得：． 2961是“倍数“，为． （2）为三位数，个位为7， ．． ． 整理得：． 这个三位数为：． 是整数． 这三位数能被7整除． （3）这四位数为“1倍数”． ． ，． ． 为整数． 为整数． 即，． 各位数的数字互不相等． ，，，四个数应为9，8，1，0．或1，0，9，8． 这四位数应为9810，1098． （4）设的四位数字分别为，，，． 为“4倍数“． ①． 将百位数字与十位数字互换，新的四位数仍为“4倍数”． ②． ①②得． 将代入①得：． 整理得：． 为“倍数“． 当时，． 把，代入得： ． 整理得：． ，，，均为小于10的非负整数， 不可能等于6， 不符合题意． 当时，， 整理得：， 把，代入得： ， 整理得：， ， 即． ． 为四位数， ． ，，，的最大值为8，即这个四位数最大为8888． 【点评】本题考查了整式的加减，解题关键在于理解题意，根据题意列出等式． 5．（2023秋•播州区期末）对于一个各数位上的数字均不为0的三位数，若它百位上的数字比十位上的数字大为正整数），十位上的数字比个位上的数字大，则称这个三位数为关于的“递差数”． 例如：三位数531，因为，，所以531是关于2的“递差数” 三位数987，因为，，所以987是关于1的“递差数” （1）判断三位数741是否为的“递差数”，若是，求出的值；若不是，请说明理由． （2）若有一个三位数是关于的“递差数”，其百位上的数字为，将其个位上的数字和百位上的数字交换，得到一个新的三位数，求原三位数与新三位数的和．（用含，的整式表示）． （3）若（2）中求得的和能被5整除，直接写出满足条件的关于的“递差数”． 【分析】（1）据新定义，三位数741，，，符合新定义， （2）写出原来的三位数，交换后的三位数，原三位数和新三位数之和，化简即可． （3）的取值1，2，3，4，5，6，7，8，9，其中是正整数，所以，逐个进行判断． 【解答】解：（1）根据新定义，三位数741， ，， 符合新定义，故741是关于3的“递差数”． 故为3． （2）原来的三位数： ． 交换后的三位数： ． 原三位数和新三位数之和： ． 答：原三位数和新三位数之和． （3）的取值1，2，3，4，5，6，7，8，9，其中是正整数，所以． ①当时， ，不符合题意． ②当时， ，不符合题意． ③当时， ，不符合题意． ④当时， ，当时，，符合题意． ⑤当时， ，当时，，符合题意． ⑥当时， ，当时，，符合题意． ⑦当时， ，当时，，符合题意． 答：综上所述： 当，时，递差数为654． 当，时，递差数为753． 当，时，递差数为852． 当，时，递差数为951． 【点评】本题考查了整式的加减以及乘除的概念结合的新定义问题，解决新定义题关键在于结合题意理清题意． 6．（2023秋•东台市期末）若一个两位数的十位和个位上的数学分别为，，我们可将这个两位数记为，易知，同理，一个三位数、四位数等均可以用此记法，如． 基础尝试 （1）填空： 如果要用数字3，6，9组成一个三位数（各数位上的数不同），那么组成的数中最大的三位数是 　 　；最小的三位数是 　　． 问题探究 （2）若一个三位数各数位上的数由，，三个数字组成，且．那么请说明所组成的最大三位数与最小三位数之差可以被99整除． 拓展运用 （3）黑洞是一种引力极大的天体，连光都逃脱不了它的束缚．数学中也存在有趣的黑洞现象： ①任选一个三位数，要求个、十、百位上的数字各不相同（计算中0可放在百位），把这个三位数的三个数字按大小重新排列，得出一个最大的数和一个最小的数，用得出的最大的数减去最小的数得到一个新数（例如：若选的数为729，则，再将这个新数按上述方式重新排列，再相减这样运算若干次后一定会得到同一个重复出现的数，这个数称为“卡普雷卡尔黑洞数”．该“卡普雷卡尔黑洞数”为 　　； ②任意找一个能够被3整除的正整数，先把这个数的每一个数位上的数字都自乘三次（如，所得的值再相加，得到一个新数；然后把这个新数的每一个数位上的数字再自乘三次，所得的值再相加如此重复运算下去，就能得到一个固定的数　　，我们称它为数字黑洞，为何具有如此魅力，通过认真的观察、分析，你一定能发现它的奥秘 【分析】（1）根据题意写出即可； （2）由题意得：组成的最大三位数为：，最小三位数为：，用最大的数减去最小的数，去括号、合并同类项，再因式分解即可； （3）①选取题干中的数据，按照题意进行计算，直到出现循环出现的数即可； ②选取满足题干的数据，按照题意进行计算，直到出现循环出现的数即可． 【解答】解：（1）， 用数字3，6，9组成一个三位数（各数位上的数不同）中，最大的三位数是963，最小的三位数是369， 故答案为：963；369； （2）证明：设一个三位数各数位上的数由，，三个数字组成，且， 则所组成的最大三位数为：，最小三位数为：， 所组成的最大三位数与最小三位数之差为： ， ，为正整数， 组成的最大三位数与最小三位数之差可以被99整除； （3）①若选的数为729，则用，以下按照上述规则继续计算： ， ， ， ． 故答案为：495； ②当任选的正整数为3时， ， ， ， ， ． 能得到一个固定的数． 故答案为：153． 【点评】此题是阅读类题型，主要考查有理数的混合运算，整式的加减，数字的变化规律等，此题综合性强，难度较大，熟练掌握有理数的混合运算是解题的关键． $$期末解答题压轴题（考题猜想，10种必考题型） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一：定线段计算与定直线上的动点（共7题） 1．（2023秋•献县期末）如图，已知点、、是数轴上三点，为原点．点对应的数为3，，． （1）则点对应的数是 　 　、点对应的数是 　　； （2）动点、分别同时从、出发，分别以每秒8个单位和4个单位的速度沿数轴正方向运动．在线段上，且，在线段上，且，设运动时间为． ①求点、对应的数（用含的式子表示）； ②猜想的长度是否与的大小有关？如果有关，请你写出用表示的代数式；如果无关，请你求出的长度． 2．（2023秋•淮北期末）如图，线段，点从点出发以的速度在射线上向点方向运动； 点从点出发，先向点方向运动，当与点重合后立马改变方向与点同向运动，点的速度始终为，设运动时间为 ． （1）若点，同时出发，则当点与点重合时，求的值． （2）若点，同时出发，则当点把线段分成的两部分时，求的值． 3．（2023秋•夏邑县期末）定义：若线段上的一个点把这条线段分成的两条线段，则称这个点是这条线段的三等分点．如图1，点在线段上，且，则点是线段的一个三等分点，显然，一条线段的三等分点有两个． （1）已知：如图2，，点是的三等分点，求的长． （2）已知，线段，如图3，点从点出发以每秒1个单位长度的速度在线段上向点方向运动，点从点出发以每秒2个单位长度的速度在线段上向点方向运动，设运动时间为秒． ①若点点同时出发，且当点与点重合时，求的值． ②若点点同时出发，且当点是线段的三等分点时，求的值． 4．（2023秋•南昌期末）已知：如图，点是线段上一定点，，、两点分别从、出发以、的速度沿直线向左运动，运动方向如箭头所示在线段上，在线段上） （1）若，当点、运动了，此时　 　，　　；（直接填空） （2）当点、运动了，求的值； （3）若点、运动时，总有，则　　；（直接填空） （4）在（3）的条件下，是直线上一点，且，求的值． 5．（2023秋•武侯区期末）【阅读理解】：定义：对于数轴上不同的三个点，，，若满足，则称点是点关于点的“倍特征点”．例如，如图，在数轴上，点，表示的数分别是，1，可知原点是点关于点的“3倍特征点”，原点也是点关于点的“倍特征点”． 【问题解决】：在数轴上，已知点表示的数是，点表示的数是，且，满足． （1）填空：若在线段上的点表示的数是，且点是点关于点的“4倍特征点”， 则　 　；　　；　　； （2）在数轴上取两点，，点在点的右侧，且． ①若，且点是点关于点的“倍特征点”，求的值； ②若点与点重合，现将线段从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴正方向运动，点运动到点时运动停止．设运动时间为秒，当，，三个点中，恰有一个点是另一个点关于第三个点的“倍特征点”时，求的值． 6．（2023秋•朝阳区期末）如图①，已知点、在射线上，，．动点、分别从点、同时出发，点以每秒2个单位长度的速度沿射线匀速运动，点先以每秒4个单位长度的速度从点向点匀速运动，到达点后，再以每秒3个单位长度的速度沿射线匀速运动，当点与点第二次重合时，、同时停止运动．设点运动时间为． （1）线段的长为 　 　． （2）当点返回到点时，求的值． （3）在点从点向点的运动过程中，当时，求的值． （4）如图②，过点作直线，点、在直线上，且，．在、运动过程中，当与面积相等时，直接写出的值． 7．（2023秋•长寿区期末）如图，是定长线段上一点，、两点分别从、出发以、的速度沿直线先向左运动在线段上，在线段上）． （1）若、运动到任一时刻时，总有，请说明； （2）在（1）的条件下，是直线上一点，且，求的值； （3）在（1）的条件下，若、运动5秒后，恰好有，此时点停止运动，点继续运动点在线段上），、分别是、的中点，下列结论：①的值不变；②的值不变，只有一个结论是正确的，请你找出正确的结论并求值． 题型二：直线上点的运动——中点问题（共12题） 1．（2023秋•锦江区校级期末）已知线段，点、点都是线段上的点． （1）如图1，若点为的中点，点为的中点，则线段长为 　 　； （2）若，点是线段的中点，点是线段的中点，请自己作图并求的长； （3）如图2，若，，点，分别从、出发向点运动，运动速度分别为每秒移动1个单位和每秒移动4个单位，设运动时间为秒，点为的中点，点为的中点，若，求的值． 2．（2023秋•科左中旗期末）如图，已知数轴上点表示的数为8，是数轴上位于点左侧的一点，且．动点从点出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． （1）数轴上点表示的数为 　 　，点表示的数为 　　（用含的式子表示）； （2）动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，且点，同时出发．问点运动多少秒时，？ （3）若为的中点，为的中点，则在点运动的过程中，线段的长度是否会发生变化？若会变化，请说明理由；若不会变化，请求出线段的长． 3．（2023秋•滕州市期末）如图，已知数轴上点表示的数为8，是数轴上位于点左侧一点，且，动点从点出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． （1）写出数轴上点表示的数 　 　；点表示的数 　　；（用含的代数式表示） （2）动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点、同时出发，问点运动多少秒时追上？ （3）若为的中点，为的中点，在点运动的过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由，若不变，请你画出图形，并求出线段的长． 4．（2023秋•自贡期末）如图，已知数轴上点表示的数为8，是数轴上一点，且．动点从点出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． （1）写出数轴上点表示的数 　 　，点表示的数 　　（用含的代数式表示）； （2）动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点、同时出发，问点运动多少秒时追上点？ （3）若为的中点，为的中点，点在运动的过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请你画出图形，并求出线段的长． 5．（2023秋•渝北区期末）已知且、分别是点、在数轴上对应的数．若动点、同时分别从点、出发在数轴上运动，点的速度是每秒3个单位长度，点的速度是每秒1个单位长度． （1）直接写出、的值； （2）若点沿数轴向正方向匀速运动、点沿数轴向负方向匀速运动，求、相遇时在数轴上对应的数是多少？ （3）若点、均沿数轴向正方向匀速运动，为中点，为中点，求运动几秒后，点和点相距3个单位长度？ 6．（2023秋•龙湖区期末）【背景知识】 数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点、表示的数分别为、，则、两点之间的距离，线段的中点表示的数为．例如点、表示的数分别为、3，则、两点间的距离，线段的中点表示的数为． 【问题情境】 如图，数轴上点表示的数为，点表示的数为8，点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向左运动．设运动时间为秒． 【综合运用】 （1）填空：①、两点间的距离　　，线段的中点表示的数为 　　． ②秒后，用含的代数式表示：点表示的数为 　　；点表示的数为 　　． （2）求当为何值时，、两点相遇，并写出相遇点所表示的数． （3）在上述的运动过程中，是否存在某一时刻，使得、、三点中的任意一点为连接另外两点之间线段的中点．若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 7．（2023秋•顺德区期末）综合运用 如图，数轴上两点、对应的数分别是和8．点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向匀速运动，设的运动时间为秒． （1）、两点的距离为 　　； （2）当运动到的中点时，求的值； （3）若一动点同时从点出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴负方向匀速运动，当点到达点时，、两点都停止运动．在此过程中，当时，求的值． 8．（2023秋•花都区期末）【背景知识】 数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美结合，研究数轴我们发现了许多重要规律． 例如：①若数轴上点，表示的数分别为，．则，两点之间的距离为，线段的中点表示的数为． ②若在数轴上一个点表示的数为，则向左运动个单位后表示的数为，向右运动个单位后所表示的数为． 【综合应用】 如图，点表示的数为，点所表示的数为5． （1）填空： ①的中点所表示的数为 　　； ②若，则点表示的数为 　　． （2）点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动．同时，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动． ①、运动过程中，当点正好是的中点时，，求点的速度． ②若点保持①中的速度继续运动，当点运动到的三等分点时，求的运动时间． 9．（2023秋•怀宁县期末）背景知识 数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点、点表示的数分别为、，则，两点之间的距离，线段的中点表示的数为． 问题情境 如图，数轴上点表示的数为，点表示的数为6，点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，设运动时间为秒． 综合运用 （1）线段的中点表示的数为 　　； （2）求：当为何值时，； （3）若点为的中点，点为的中点，点在运动过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段的长． 10．（2023秋•成都期末）如图1，在数轴上，，两点所表示的数分别是，4，点以每秒3个单位的速度从点向右运动，同时点以每秒1个单位的速度从点向左运动，设运动时间为． （1）当时，求，两点之间的距离； （2）当点到原点的距离比点到原点的距离大1时，求运动时间； （3）如图2，将长度为2的线段（点在点的左侧）放在数轴上，点表示的数为1，在点，出发的同时，线段以每秒个单位的速度向右运动，在整个运动过程中，是否存在某段时间，点到线段中点的距离与点到线段中点的距离的和是一个定值．若存在，求出的值和该过程持续的时长；若不存在，请说明理由． 11．（2023秋•抚顺县期末）【背景知识】 数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点，点表示的数分别为，，则，两点之间的距离，若，则可简化为；线段的中点表示的数为． 【感受新知】 如图1，数轴上点表示的数为，点表示的数为8，点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为秒，求当为何值时，． 解：由【背景知识】可得，两点间的距离 线段的中点表示的数为 当点，运动秒时，点表示的数为，点表示的数为 当时， 或 解得，或 当为1秒或3秒时，． 【学以致用】 如图2，点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点从点出发，以每秒4个单位长度的速度向左匀速运动，设运动时间为秒． （1）求当为何值时，； 【综合运用】 （2）求当为何值时，线段的中点与表示的点重合； 【拓展提升】 （3）若点为的中点，点为的中点，点在运动过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段的长． 12．（2023秋•黄石期末）如图，已知数轴上点，是数轴上的一点，，动点从点出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． （1）写出数轴上点表示的数为　 　，经秒后点走过的路程为　 　（用含的代数式表示）； （2）若在动点运动的同时另一动点从点也出发，并以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，问经多少时间点就能追上点？ （3）若为的中点，为的中点，点在运动的过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请你画出图形，并求出线段的长． 题型三：利用数轴解决直线上的动线段问题（共8题） 1．（2023秋•江岸区期末）如图1，已知直线上线段，线段（点在点的左侧，点在点的右侧），． （1）求图1中所有线段的条数为 　　条． （2）若线段从点开始以2个单位秒的速度向右运动，同时线段从点开始以1个单位秒的速度向左运动，当时间在什么范围内，线段所有的点都在线段上？（含端点） （3）若线段从点开始以2个单位秒的速度一直向右运动，同时，线段从点开始以1个单位秒的速度向右运动，当端点与初次相遇时，线段立即以原来速度的2倍向左运动，当端点与端点初次相遇时，线段的速度变为初始速度的方向继续向左，问在整个运动过程中，时间为何值时． 2．（2023秋•硚口区期末），在数轴上，分别表示数，，且． （1）直接写出的值是 　　，的值是 　　，线段的长度是 　　； （2）如图1，是一条定长的线段（点在点的左侧），它在数轴上从左向右匀速运动，在运动过程中，线段完全经过点（即点在线段上的这段过程）所需的时间为4秒，线段完全经过线段（即线段与线段有公共点的这段过程）所需的时间为20秒． ①求线段的长； ②直接写出线段运动的速度为 　　个单位长度秒； ③如图2，当动线段运动到点与点重合时，与此同时，点从点出发，在动线段上，以1个单位长度秒的速度向点运动，遇到点后，点立即原速返回，向点运动，遇到点后也立即原速返回，向点运动．设动线段，以及点同时运动的时间为秒，当时，求的值． 3．（2023秋•武昌区期末）数轴上点表示的数是，点表示的数是，点是线段的中点． 知识准备： 因为点表示的数是，点表示的数是，则，，所以． 因为点是线段的中点，则． 那么点表示的数： ①当点在原点右侧时，如图1，则，点表示的数为． ②当点在原点左侧时，如图2，则，点表示的数为． 综上，点表示的数为． 知识应用：若，，如图3． （1）点表示的数为 　　； （2）线段在射线上运动，点在点的左边，点是线段的中点，点是线段的中点，，求线段的长度； （3）点，为数轴上两动点，动点从点出发以2个单位长度秒的速度向右匀速运动，同时动点从点出发以3个单位长度秒的速度向左匀速运动．当，两点相遇后，时，动点变为以5个单位长度秒的速度向左匀速运动，动点保持原有的速度和方向不变．设运动时间为秒，在动点从点出发后的整个运动过程中，当时，　　． 4．（2023秋•泰兴市期末）已知点、、、在数轴上，点和点表示的数分别为、2，点在点的右侧，点在点的右侧，且，． （1）直接写出点和点表示的数分别为：　　、　　； （2）若线段沿着数轴向右以2个单位长度秒的速度运动，同时线段沿着数轴向左以1个单位长度秒的速度运动，设运动的时间为（秒，． ①若和重合，则的值为 　　，若和重合，则的值为 　　； ②若线段和线段重叠部分为1个单位长度，求运动时间的值； ③当时，下面两个式子：①；②中有一个式子的值是定值，你认为是定值的式子是 　　（填写序号），并求这个定值． 5．（2023秋•瑶海区校级期末）如图，点、、、在数轴上，点表示的数是，点表示的数是9，，． （1）线段　　． （2）若点以每秒1个单位长度的速度向右匀速运动，同时点以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，运动秒后，，求的值． （3）若线段以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动，同时线段以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，是中点，为中点，运动秒后，求线段的长度． 6．（2023秋•天府新区期末）如图，在数轴上，点表示原点，点表示数，点表示数，且，满． （1）　　，　　，　　； （2）若线段在的右侧，，点与点重合，线段从点出发，以2个单位每秒的速度向点方向运动，点是线段的中点，点是线段的中点，在线段运动过程中，线段的长度始终为1，求的值； （3）在（2）的条件下，当线段开始运动时，动点从点处以1个单位每秒的速度向点方向运动，运动的过程中，当为何值时． 7．（2023秋•秦都区期末）【问题背景】 如图，数轴上线段的长为2个单位长度，线段的长为1个单位长度，且点表示的数是，点表示的数是15． （1）在数轴上，点表示的数是 　　，点表示的数是 　　； 【问题探究】 （2）若点为的中点，求点在数轴上表示的数； 【问题解决】 （3）在数轴上，若线段以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时线段以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动．当点与点重合时，点与点表示的数分别是多少？ 8．（2023秋•硚口区期末），在数轴上，分别表示数，，且． （1）直接写出的值是 　 　，的值是 　　，线段的长度是 　　； （2）如图1，是一条定长的线段（点在点的左侧），它在数轴上从左向右匀速运动，在运动过程中，线段完全经过点（即点在线段上的这段过程）所需的时间为4秒，线段完全经过线段（即线段与线段有公共点的这段过程）所需的时间为20秒． ①求线段的长； ②直接写出线段运动的速度为 　　个单位长度秒； ③如图2，当动线段运动到点与点重合时，与此同时，点从点出发，在动线段上，以1个单位长度秒的速度向点运动，遇到点后，点立即原速返回，向点运动，遇到点后也立即原速返回，向点运动．设动线段，以及点同时运动的时间为秒，当时，求的值． 题型四：直线上的动线段与变速运动（共2题） 1．（2023秋•江岸区期末）如图1，已知直线上线段，线段（点在点的左侧，点在点的右侧），． （1）求图1中所有线段的条数为 　　条． （2）若线段从点开始以2个单位秒的速度向右运动，同时线段从点开始以1个单位秒的速度向左运动，当时间在什么范围内，线段所有的点都在线段上？（含端点） （3）若线段从点开始以2个单位秒的速度一直向右运动，同时，线段从点开始以1个单位秒的速度向右运动，当端点与初次相遇时，线段立即以原来速度的2倍向左运动，当端点与端点初次相遇时，线段的速度变为初始速度的方向继续向左，问在整个运动过程中，时间为何值时． 2．（2023秋•城厢区期末）点，在数轴上分别表示有理数，，且．我们将，两点间的距离记为． （1）求的长度； （2）两带电粒子，分别从，两点同时出发，沿数轴的正方向运动，其中带电粒子的运动速度为2个单位长度秒． ①若带电粒子的运动速度为4个单位长度秒，设运动时间为秒，当时，求的值； ②点为线段上的一点．若两带电粒子，运动开始时，在线段之间放入某种电场，使得带电粒子在线段运动时，速度比原来每秒快1个单位长度，在线段运动时，速度变为原速度的2倍，，在其他位置速度与原来相同．若经过一段时间秒的运动后，的长度恒等式10，求运动时间的最小值及点所对应的数． 题型五：直线上的动线段、定值（共2题） 1．（2023秋•铜梁区校级期末）初一年级开设了丰富多彩的选修课，佳佳同学在“数学实验与探究”课上借助两根木棒、研究数轴上的动点问题：如图，数轴上有，，三个点，分别表示有理数，和12．佳佳把两根木棒放在数轴上，使点与点重合，点与点重合，点在点的左边，点在点的左边，且，．木棒从点开始一直向右以每秒1个单位的速度匀速运动；木棒同时从点开始向右以每秒3个单位的速度匀速运动，当点运动到时，木棒立即以每秒2个单位的速度返回（返回过程中，仍然保持点在点的左边），当点再次运动到点时，两根木棒立即同时停止运动，设运动时间为秒． （1）当时，点表示的数为 　 　，点表示的数为 　　； （2）当时，若线段和线段的长度之和为12，求对应的值； （3）点为木棒上一点，在整个运动过程中，是否存在某些时间段，使得点到点、、、的距离之和为一个定值？若存在，请直接写出这个定值和持续的总时长；若不存在，请说明理由． 2．（2023秋•江汉区期末）如图（1）所示，已知直线上有，两点，，有一根木棒放在直线上，将木棒沿直线左右水平移动．当点与重合时，点刚好落在点移动前的位置，当点与重合时，点刚好落在点移动前的位置． （1）直接写出木棒的长； （2）木棒在射线上移动的过程中，当时，求的长； （3）另一根木棒长为，和在直线上的位置如图（2）所示，其中点与重合，点与重合．木棒以3个单位长度秒的速度向左移动，木棒以2个单位长度秒的速度向右移动，它们同时出发，设运动时间为秒，若式子的值为定值，请直接写出此时的取值范围，并写出这个定值． 题型六：确定速度角的运动与分类讨论思想（共9题） 1．（2023秋•洪山区期末）已知在的内部，，是补角的（本题出现的角均指不大于平角的角）． （1）如图1，求的值； （2）在（1）的条件下，平分，射线满足，求的大小； （3）如图2，若，射线绕点以每秒的速度顺时针旋转，同时射线以每秒的速度绕点顺时针旋转，当射线与重合后，再以每秒的速度绕点逆时针旋转．设射线，运动的时间为秒，当时，请直接写出的值 　 ． 2．（2023秋•衡阳期末）如图1，，，三点在一条直线上，且，，射线，分别平分和．如图2，将射线以每秒的速度绕点逆时针旋转一周，同时将以每秒的速度绕点逆时针旋转，当射线与射线重合时，停止运动．设射线的运动时间为秒． （1）运动开始前，如图1，　　，　　． （2）旋转过程中，当为何值时，射线平分？ （3）旋转过程中，是否存在某一时刻使得？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 3．（2023秋•辽宁期末）如图，已知，射线从开始，绕点逆时针旋转，旋转的速度为每秒，射线从开始，绕点顺时针旋转，旋转的速度为每秒，和同时开始旋转，当射线第一次与射线重合时，射线和同时停止旋转，设旋转的时间为秒． （1）射线旋转的时间为 　 　秒； （2）当　　秒时，，，三点共线； （3）试探究：射线和在旋转的过程中，三条射线、与中的某一条射线是另两条射线所夹角的角平分线时，的值为 　　； （4）时，的值为 　　． 4．（2023秋•双流区期末）如图，和的度数都是． （1）若，求的度数； （2）若射线，恰好分别是和的平分线，求的度数； （3）当射线在内部，时，我们称为射线在内的比值，记作． 在（2）的条件下，射线，分别从射线和同时开始旋转，其中射线绕点顺时针旋转，射线绕点逆时针旋转，当射线旋转到射线时，射线，停止旋转．设运动时间为秒．若射线，的运动速度分别为每秒和，射线到达射线后立即以原速返回，则当为何值时，，，？ 5．（2023秋•武汉期末）【问题背景】 若，在内部，，，分别平分和． 【问题特殊化】（1）如图1，当，重合时，则　　； 【问题一般化】（2）如图2，在（1）的情形下，如果将绕点顺时针旋转，求的度数（用含的式子表示）； 【问题拓展化】（3）如图3，在（1）的情形下，若和的边、的位置不变．将绕着点，以每秒的速度沿顺时针方向旋转，同时将绕着点，以每秒的速度沿逆时针方向旋转，设旋转时间为 ，当为何值时，，请直接写出两个的值． 6．（2023秋•沙坪坝区校级期中）如图1，为直线上的一点，过点作射线使，将一直角三角板的顶点与点重合，，在射线上，另一边在直线上方．将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，当边与射线重合后，再以每秒的速度绕点逆时针旋转，运动时间为秒． （1）如图2，在三角板顺时针旋转过程中，使边在内部，且平分．此时，　　度； （2）在三角板逆时针旋转过程中，试探究与之间满足什么等量关系，并说明理由； （3）若在三角板旋转的同时，射线绕点以每秒的速度顺时针旋转，并与三角板同时停止转动．当时，直接写出的值． 7．（2023秋•二道区校级期末）如图1，，射线从出发，绕着点以每秒的速度顺时针旋转，设旋转的时间为秒． （1）已知射线旋转到与射线的反向延长线重合时停止旋转． ①当时，　　，当时，　　． ②用含有的代数式表示的度数． ③当的度数是的2倍时，求的值． （2）如图2，在射线旋转的同时，射线从出发，绕着点以每秒的速度逆时针旋转，当射线或射线与射线再次重合时，两条射线同时停止旋转．在旋转过程中，当的度数是的2倍时，直接写出的值． 8．（2023秋•大丰区期末）【材料阅读】 如图1，数轴上有三个点，，，表示的数分别是，，1． （1）若要使，两点的距离与，两点距离相等，则可将点向左移动 　　个单位长度． （2）若动点，分别从点、点出发，以每秒5个单位长度和每秒4个单位长度的速度向左匀速运动，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向右匀速运动，点，，同时出发，设运动时间为秒． ①秒后，点，，表示的数分别为 　　，　　，　　（用含的代数式表示）； ②记点与点之间的距离为，点与点之间的距离为，则的值是否有变化？若无变化，请求出这个值；若有变化，请说明理由． 【方法迁移】 如图2，，平分．现有射线、分别从、同时出发，以每秒和每秒的速度绕点顺时针旋转，当旋转一周时，这两条射线都停止旋转．问经过几秒后，射线、的夹角为？ 【生活运用】 周末的下午，小明看到钟面显示3点整，此时分针与时针的夹角恰好为，经过 　　分钟后，分针与时针的夹角首次变成． 9．（2023秋•金水区校级期末）将一副直角三角板（分别含，，和，，的角）叠放在量角器上，、分别平分和． 特例感知： （1）如图1，若点、、在同一直线上，边与量角器刻度线重合，边与量角器刻度线重合，则　 　． 规律探究： （2）如图2，若两直角三角板有重叠时， ①当时，求的度数； ②当，则　　（含的式子表示）． 解决问题： （3）图1的条件下，将三角板绕点顺时针旋转，平均每秒旋转，将三角板绕点逆时针旋转，平均每秒旋转，两三角板同时旋转，当第一次与重合，两三角板同时停止旋转，设旋转时间为秒，在旋转过程中，是否存在某一时刻与两角平分线的夹角为，若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 题型七：确定速度角的运动与分类讨论思想、新定义（共6题） 1．（2023秋•平原县期末）【阅读理解】 射线是内部的一条射线，若，则我们称射线是射线的伴随线．例如，如图1，，，则，称射线是射线的伴随线；同时，由于，称射线是射线的伴随线． 【知识运用】 （1）如图2，，射线是射线的伴随线，则　 　，若的度数是，射线是射线的伴随线，射线是的平分线，则的度数是 　　．（用含的代数式表示） （2）如图3，如，射线与射线重合，并绕点以每秒的速度逆时针旋转，射线与射线重合，并绕点以每秒的速度顺时针旋转，当射线与射线重合时，运动停止． ①是否存在某个时刻（秒，使得的度数是，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． ②当为多少秒时，射线、、中恰好有一条射线是其余两条射线的伴随线． 2．（2023秋•铁西区期末）【材料导读】 规定：在一个角的内部从角的顶点引出一条射线，这条射线与该角的一条边组成的角是原角的，则这条射线叫原角的“三等分线”． 【学以致用】 （1）如图1，若，则射线 　　的“三等分线”（填“是”或“不是” ； （2）如图2，已知，射线在的内部，射线是的“三等分线”，且，若，求的度数； 【拓展延伸】 （3）如图3，已知，点，分别在的边，上，射线绕点以每秒的速度顺时针旋转，同时射线绕点以每秒的速度逆时针旋转，旋转到与边重合后停止；然后再按原速度绕点开始顺时针旋转，旋转到与边重合后停止；然后再按原速度绕点开始逆时针旋转，如此往返，当射线与边重合后，射线，都停止运动．设运动时间为秒，当射线与第二次重合后，若射线是的“三等分线”，请直接写出的值． 3．（2023秋•梁溪区期末）【阅读理解】 定义：在一条直线同侧的三条具有公共端点的射线之间若满足以下关系，其中一条射线分别与另外两条射线组成的角恰好满足2倍的数量关系，则称该射线是另外两条射线的“双倍和谐线”．如图1，点在直线上，射线，，位于直线同侧，若平分，则有，所以我们称射线是射线，（或射线，的“双倍和谐线”． 【迁移运用】 （1）如图1，射线 　　（选填“是”或“不是” 射线，的“双倍和谐线”；射线 　　（选填“是”或“不是” 射线，的“双倍和谐线”； （2）类似的，在一条直线同侧的三条具有公共端点的射线之间若满足以下关系，其中一条射线分别与另外两条射线组成的角恰好满足3倍的数量关系，则称该射线是另外两条射线的“三倍和谐线”．如图2，点在直线上，，，射线从出发，绕点以每秒的速度逆时针旋转，运动时间为秒． ①当射线与射线重合时，运动停止．若射线是射线，的“三倍和谐线”时，求的值； ②当射线与射线重合时，运动停止．若在射线旋转的同时，绕点以每秒的速度逆时针旋转，且在旋转过程中，射线平分．当射线位于射线左侧且射线是射线，的“三倍和谐线”时，求的度数． 4．（2023秋•腾冲市期末）新定义：如图①，已知，在内部画射线，得到三个角，分别为、、．若这三个角中有一个角是另外一个角的2倍，则称射线为的“幸运线”．（本题中所研究的角都是大于而小于的角． 阅读理解： （1）角的平分线 　　这个角的“幸运线”；（填“是”或“不是” 初步应用： （2）如图①，，射线为的“幸运线”，则的度数为 　　；（直接写出答案） 解决问题 （3）如图②，已知，射线从出发，以每秒的速度绕点顺时针旋转，同时，射线从出发，以每秒的速度绕点顺时针旋转，设运动的时间为秒．若、、三条射线中，一条射线恰好是以另外两条射线为边的角的“幸运线”，求运动的时间的值． 5．（2023秋•细河区期末）定义：如果从一个角的顶点引出的一条射线，与角的一条边组成的角是原来的角的，则这条射线叫原来角的“新生线”． （1）如图1，，射线 　　的“新生线”（填“是”或“不是” ； （2）点、、在同一直线上， ①在图2中，，射线在的内部，并且是的“新生线”， 平分，求 的大小； ②如图3，，，射线从出发绕点以每秒的速度逆时针旋转，运动时间为秒，若在射线旋转的同时，绕点以每秒的速度逆时针旋转，且在旋转过程中，射线平分．当射线与射线重合时，运动都停止．当射线是的“新生线”时，直接写出的值为 　　． 6．（2023秋•柳州期末）【阅读理解】 射线是内部的一条射线，若，则我们称射线是射线的“友好线”．例如，如图1，，，则，称射线是射线的友好线；同时，由于，称射线是射线的友好线． 【知识运用】 （1）如图2，，射线是射线的友好线，则　　； （2）如图3，，射线与射线重合，并绕点以每秒的速度逆时针旋转，射线与射线重合，并绕点以每秒的速度顺时针旋转，当射线与射线重合时，运动停止； ①是否存在某个时刻（秒，使得的度数是，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由； ②当射线、相遇后，射线、中恰好有一条射线是另一条射线的友好线，求此时的值． 题型八：不确定速度角的运动与分类讨论思想（共4题） 1．（2024春•昆山市期末）数学综合实践课上，小明用一块直角三角板进行探究：将三角板的直角顶点放在直线上，将边落在射线上，边位于直线上方，三角板绕点顺时针旋转，旋转角为，作直线平分交所在直线于点． （1）提出问题：如图1，若旋转角，求的度数； （2）探索发现：如图2，若旋转角时，求的值； （3）拓展探究：继续旋转三角板，若旋转角时，此时与还存在（2）中的结论吗？若存在，说明理由；如不存在，直接写出与之间的关系． 2．（2023秋•青山湖区校级期末）【阅读理解】在学习《角的比较与运算》内容时，教材设置这样的一个探究：借助三角尺拼出，的角，即通过一副三角尺可以拼出一些特殊度数的角． 【实践】（1）在度数分别为①，②，③，④的角中，小明同学利用一副三角尺拼不出来的是 　　．（填序号） 【操作】 七（1）班数学学习小组用一副三角尺进行拼角．如图1，巧巧把和的角拼在一起，如图2，嘉琪把和的角拼在一起，他们两人各自所拼的两个角均在公共边的异侧，并在各自所拼的图形中分别作出的平分线和的平分线． 【探究】（2）通过上述操作，巧巧计算出图1中的，请你直接写出图2中的　　． 【发现】（3）当有公共顶点的两个角和有一条边重合，且这两个角在公共边的异侧时，这两个角的平分线的夹角的度数是 　　（用含，的代数式表示）． 【拓展】（4）巧巧把图1中的三角尺绕点顺时针旋转到图3的位置，使，，三点在同一条直线上，并求出了的度数为． 嘉琪把图2中的三角尺绕点顺时针旋转到图4的位置，使，，三点在同一条直线上．请你仿照巧巧的做法，求出图4中的度数． 【归纳】（5）根据上述探究，可以归纳出：当有公共顶点的两个角和有（其中有一条边重合，且这两个角在公共边的同侧时，这两个角的平分线的夹角的度数是 　　（用含，的代数式表示）． 3．（2023秋•硚口区期末）【问题提出】如图1，，，在内，在外，平分，平分，试探究和的数量关系． 【问题探究】（1）先将问题特殊化．如图2，若，． ①直接写出的大小是 　　，的大小是 　　； ②直接写出的值． （2）再探究一般情形，如图1，证明（1）中②的结论仍然成立． 【问题拓展】如图3，，，在绕着点旋转一周的过程中，平分，平分，当时，直接写出的大小． 4．（2022秋•新市区校级期末）如图．已知，与互余，平分． （1）在图①中．若，则　　．　　； （2）在图①中，设，，请探究与之间的数量关系（必须写出推理的主要过程，但每一步后面不必写出理由）； （3）在图①中，当绕着点顺时针转动到如图②的位置时，（2）中与之间的数量关系是否还成立？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出此时与之间的数量关系． 题型九：乘方规律（共5题） 1．（2023秋•沙坪坝区校级期末）小明想探究自然数的立方和（其中为自然数）的推导方法，查阅资料后、想到一个方法，把这个代数问题转化为几何问题，具体如下：1对应图①中边长为1的小正方形个数；对应图②中边长为1的小正方形的个数；对应图③中边长为1的小正方形个数．小明发现，图①、图②、图③恰好可以拼成一个边长为6的正方形，从而得到． （1）①请你顺着小明的研究思路在网格图中画出对应的小正方形个数的摆放图形； ②把这4个图形拼成一个正方形，则这个正方形的边长为 　　； （2）根据小明的发现，请直接写出　　（用含的式子表式）； （3）请根据第（2）问的规律求的值． 2．（2023秋•汉阳区期末）问题呈现：在小学我们学习过用图示法求的方法： 如图1，从第1层至第层，分别有1，2，3，，个小圆圈；将图1旋转后拼成如图2． ①图2中，每层有小圆圈 　 　个；共有小圆圈 　　个． ②　　 数学思考：如何求？小明同学根据上面的启示设计了如图3所示三角形数阵型： 第1行圆圈中的数为1，即；第2行两个圆圈中数的和为，即；；第行个圆圈中数的和为，即，这样，该三角形数阵中所有圆圈中的数的和为． 为了求这个和，他将三角形数阵型经过两次旋转可得如图4所示的三角形数阵型． 观察这三个三角形数阵型各行同一位置圆圈中的数，（如第行的第1个圆圈中的数分别为，2，， ③发现每个位置上三个圆圈中数的和均为 　　； ④这三个三角形数阵所有圆圈中数的总和为：　　； ⑤　　． 拓展运用：根据以上发现， ⑥计算的结果为 　　． ⑦求的值． 3．（2024春•北碚区校级期末）材料一：杨辉三角（如图，出现在中国宋朝时期数学家杨辉的著作《详解九章算法》中，是我国数学史上一颗璀璨的明珠，是居于世界前列的数学成就．杨辉三角两腰上的数都是1，其余每个数为它的上方（左右）两数之和，揭示了为非负整数）展开式的项数及各项系数的相关规律，蕴含很多有趣的数学性质，运用规律可以解决很多数学问题． 材料二：斐波那契数列，是意大利数学家莱昂纳多斐波那契从兔子繁殖问题中引入的一列神奇数字，用表示这一列数中的第个，则数列为，，，，，，数列从第三项开始，每一项都等于其前两项之和，即为正整数）． 结合材料，回答以下问题： （1）多项式展开式共有 　　项，各项系数和为 　　，利用展开式规律计算：　　． （2）我们借助杨辉三角中第三斜行的数：1，3，6，10，，记，，，，，则　　；　　（用表示）；　　． （3）如图2，把杨辉三角左对齐排列，将同一条斜线上的数字求和，计算可得，，，，，，若，且，结合材料二，求的值（用表示）． 4．（2023秋•斗门区期末）综合与实践：观察下图，解答下列问题， （1）图1的一些圆圈被直线分层显示前面4层，第一层有1个圆圈，第二层有3个圆圈，第三层有5个圆圈，，如果要你继续画下去，第6层有 　　个圆圈；第层有 　　个圆圈． （2）对比图1图2，感受图形的转化，数图中的圆圈个数可以有多种不同的方法．比如：前两层的圆圈个数和为或，由此得，，总结规律，从1开始的个连续奇数之和是多少？用的代数式把它表示出来：　　． （3）运用（2）中的规律计算：． 5．（2023秋•天元区期末）【概念学习】 现规定：求若干个相同的有理数（均不等于的商的运算叫做除方，比如，等，类比有理数的乘方，我们把写作，读作“2的圈3次方”， 写作，读作“的圈4次方”，一般地把个的商，写作，读作“的圈次方”． 除方乘方幂的形式 【初步探究】 （1）直接写出计算结果：　　，　　； （2）下列关于除方说法中，错误的有 　　；（在横线上填写序号即可） ①任何非零数的圈2次方都等于1 ②任何非零数的圈3次方都等于它的倒数 ③负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数 ④圈次方等于它本身的数是1或 【深度学习】 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ （3）归纳：请把有理数的圈次方写成幂的形式为：　　； （4）比较大小：　　（填“”“ ”或“” ； （5）计算：． 题型十：新定义与整除（共6题） 1．（2023秋•中江县期末）若一个三位正整数的前两位数字相同且各位数字均不为0，则称这个数为“前介数”；若把这个数的个位数字放到前两位数字组成的数的前面组成一个新的三位数，则称这个新的三位数为“后介数”；记一个“前介数” 与它的“后介数”的差为．例如，551前两位数字相同，所以551为“前介数”；则155就为它的“后介数”， ． （1）　　，　　； （2）对于任意一个“前介数” ，一定能被 　　整除；（将正确的答案序号写在横线上） ①2 ②7 ③9 ④11 （3）已知一个“前介数” 的个位数字是1，且关于的方程有整数解，求所有满足条件的的值． 2．（2023秋•北碚区校级期末）对任意一个四位数正整数，如果各个数位上的数字都不为零，且满足千位与个位数字的差等于十位与百位数字的和，那么称这个数为“互补数”，将一个“互补数” 的千位与个位的数字对调，百位与十位数字对调后得到一个新的四位数，将的千位与十位的数字对调，百位与个位数字对调后得到另一个新四位数，记，．例如，因为，所以7412是“互补数”，且，，则，． （1）求和的值； （2）已知“互补数” 的百位与十位上数字和为6，且满足能被13整除，求所有满足条件的． 3．（2023秋•本溪期末）阅读与思考 下面是小馨同学的数学笔记，请仔细阅读并完成相应的任务． 一定能整除吗？ 【发现问题】 （1）任意写一个两位数： （2）交换这个两位数的十位数字和个位数字，又得到一个新的两位数： （3）这个新的两位数与原来两位数的和一定能被11整除． 【数学思考】 举例：例①，；例②，；例③▲； 【问题解决】 设一个两位数的十位上的数是，个位上的数是， 根据题意得： 这个两位数与得到的新数的和能被11整除． 任务： （1）仿照例子，将【数学思考】中例③补充完整 　 　； （2）请参照笔记中的分析与解答过程，解答下面问题：一个三位数，它的百位数字为，十位数字为，个位数字为，若把它的百位数字与个位数字对调，将得到一个新的三位数．计算原数与新数的差，这个差能被11整除吗？为什么？ 4．（2023秋•江汉区期末）定义：一个正整数（其中，，，均为小于10的非负整数）．若，为整数，我们称为“倍数”．例如，，则称5923为“2倍数”； ，则称1940为“倍数”； ．因为不是整数，所以2548不是“倍数”． （1）直接判断3274和2961是否为“倍数”，若是，直接写出的值； （2）若一个三位数为“倍数”，且个位数字为7，判断这个三位数是否能被7整除，并说明理由； （3）若一个四位数为“1倍数”，且各数位的数字互不相等，将它的千位数字和百位数字组成的两位数记为（即，十位数字和个位数字组成的两位数记为（即．若为整数，求这个四位数； （4）若一个四位数为“4倍数”，将它的百位数字和十位数字互换，得到的新的四位数仍为“4倍数”， 为“倍数”，直接写出满足条件的的最大值． 5．（2023秋•播州区期末）对于一个各数位上的数字均不为0的三位数，若它百位上的数字比十位上的数字大为正整数），十位上的数字比个位上的数字大，则称这个三位数为关于的“递差数”． 例如：三位数531，因为，，所以531是关于2的“递差数” 三位数987，因为，，所以987是关于1的“递差数” （1）判断三位数741是否为的“递差数”，若是，求出的值；若不是，请说明理由． （2）若有一个三位数是关于的“递差数”，其百位上的数字为，将其个位上的数字和百位上的数字交换，得到一个新的三位数，求原三位数与新三位数的和．（用含，的整式表示）． （3）若（2）中求得的和能被5整除，直接写出满足条件的关于的“递差数”． 6．（2023秋•东台市期末）若一个两位数的十位和个位上的数学分别为，，我们可将这个两位数记为，易知，同理，一个三位数、四位数等均可以用此记法，如． 基础尝试 （1）填空： 如果要用数字3，6，9组成一个三位数（各数位上的数不同），那么组成的数中最大的三位数是 　 　；最小的三位数是 　　． 问题探究 （2）若一个三位数各数位上的数由，，三个数字组成，且．那么请说明所组成的最大三位数与最小三位数之差可以被99整除． 拓展运用 （3）黑洞是一种引力极大的天体，连光都逃脱不了它的束缚．数学中也存在有趣的黑洞现象： ①任选一个三位数，要求个、十、百位上的数字各不相同（计算中0可放在百位），把这个三位数的三个数字按大小重新排列，得出一个最大的数和一个最小的数，用得出的最大的数减去最小的数得到一个新数（例如：若选的数为729，则，再将这个新数按上述方式重新排列，再相减这样运算若干次后一定会得到同一个重复出现的数，这个数称为“卡普雷卡尔黑洞数”．该“卡普雷卡尔黑洞数”为 　　； ②任意找一个能够被3整除的正整数，先把这个数的每一个数位上的数字都自乘三次（如，所得的值再相加，得到一个新数；然后把这个新数的每一个数位上的数字再自乘三次，所得的值再相加如此重复运算下去，就能得到一个固定的数　　，我们称它为数字黑洞，为何具有如此魅力，通过认真的观察、分析，你一定能发现它的奥秘 $$