专题12 角相关解答题按梯度分类训练（7种类型70道）-2024-2025学年七年级数学上册期末复习高频考题专项训练（浙教版2024）

专题12 角相关解答题按梯度分类训练 （7种类型70道） 目录 【题型1 补全解答过程】 1 【题型2 余角和补角】 6 【题型3 三角板相关角度问题】 9 【题型4 角平分线相关角度问题】 12 【题型5 比例相关角度问题】 15 【题型6 探究数量关系】 18 【题型7 定值问题】 21 【题型1 补全解答过程】 1．如图①，是直线上的一点，是直角，平分． (1)若时，则的度数为______； (2)将图①中的绕顶点顺时针旋转至图②的位置，其它条件不变，探究和的度数之间的关系．小明同学提供的解法如下，请补全证明过程： 解：∵平分（已知） ∴______（） ∵是直角（已知） ∴______（直角的定义） ∴______ ∴ ∴______． (3)将图①中的绕顶点顺时针旋转至图③的位置，其他条件不变．直接写出和的度数之间的关系：______． 2．补全解题过程． 如图，，，平分，求的度数． 解：，， 　　　　， 平分 　　（依据：　　）， ， 　　． 3．补全推导过程，如图，已知，平分，平分，求的度数． 解：∵， ∴__________°， ∵平分， ∴ ________________°， ∵平分， ∴ ________________°， ∴________________________°． 4．如图所示，点O是直线上一点，，平分．若，求的度数．（请补全以下求解过程中的空格） 解：是直线上一点 　　　 　　　 平分 　　　　　　 又 　　　　　　． 5．如图，直线AB、CD相交于O，∠EOC＝90°，OF是∠AOE的角平分线，∠COF＝34°，求∠BOD的度数． 其中一种解题过程如下：请在括号中注明根据，在横线上补全步骤． 解：∵∠EOC＝90° ∠COF＝34°（　　） ∴∠EOF＝　　° ∵OF是∠AOE的角平分线 ∴∠AOF＝　　＝56°（　　） ∴∠AOC＝　　° ∵∠AOC+　　＝90° ∠BOD+∠EOB＝90° ∴∠BOD＝∠AOC＝　　°（　　） 6．如图1，点是直线上一点，，平分． （1）求的度数；请你补全下列解题过程： ∵点为直线上一点， ∴___________； ∵， ∴___________； ∵平分， ∴（      ） ∴___________． （2）在（1）条件下如图2，若是内部一条射线，满足，求的度数． 7．如图，O为直线AB上一点，∠AOC与∠AOD互补，OM、ON分别是∠AOC、∠AOD的平分线． （1）根据题意，补全下列说理过程： 因为∠AOC与∠AOD互补， 所以∠AOC+∠AOD＝180°． 又因为∠AOC+∠　 　＝180°， 根据　 　，所以∠　 　＝∠　 　． （2）若∠MOC＝72°，求∠AON的度数． 8．补全下面的解题过程： 如图，已知OC是∠AOB内部的一条射线，OD是∠AOB的平分线，∠AOC=2∠BOC且∠BOC=40°，求∠COD的度数． 解：因为∠AOC=2∠BOC，∠BOC=40°， 所以∠AOC=_______°， 所以∠AOB=∠AOC+∠______=120°． 因为OD平分∠AOB， 所以∠AOD=∠____=______°， 所以∠COD=∠_____﹣∠AOD=______°． 9．如图，O为直线AB上一点，与互补，OM，ON分别是，的平分线． (1)根据题意，补全下列说理过程： ∵与互补， ∴． 又___________=180°， ∴∠_________=∠_________． (2)若，求的度数． (3)若，则 （用表示）． 10．补全解题过程． 已知：如图，O是直线AB上的一点，∠COD＝90°，OE平分∠BOC．若∠AOC＝60°，求∠DOE数． 解：∵O是直线AB上的一点，（已知） ∴∠BOC＝180°﹣∠AOC．（         ） ∵∠AOC＝60°，（已知） ∴∠BOC＝120°．（         ） ∵OE平分∠BOC，（已知） ∴∠COE＝∠BOC，（         ） ∴∠COE＝_____°． ∵∠DOE＝∠COD﹣∠COE，且∠COD＝90°， ∴∠DOE＝_____°． 【题型2 余角和补角】 11．如图，已知直线与相交于点O，、分别是、的平分线． (1)的补角是_____； (2)若，求和的度数； 12．如图，点O是直线上的一个点，从点O引两条射线、，使的度数之比为，那么： (1)的度数为 ； (2)余角的度数为 ； (3)与的度数之比为 ． 13．如图，是平角，，平分．    (1)若，求的度数； (2)若是的平分线，求的度数． 14．如图，已知O为直线上一点，，，平分． (1)求的度数； (2)若与互余，求的度数． 15．如图，为直线上一点，，平分，平分． (1)求出的度数； (2)请判断是否是直角，并说明理由． 16．已知与互补，射线平分，设，． (1)如图1，在的内部，当与互余时，求的值； (2)如图2，在的外部，，求与满足的等量关系．（提示：分别用含的式子表示出与的度数） 17．如图，点是直线上的一点，，平分．    (1)如图1，若，则______，______； (2)如图2，射线和分别位于直线的两侧，若，求的度数． 18．已知点O是直线上一点，过O作射线，使． (1)如图1，的度数是 ； (2)如图2，过点O作射线，使，作的平分线，求的度数； (3)在（2）的条件下，作射线，若与互余，请直接写出的度数． 19．如图所示，点在直线上，以为顶点作，且位于直线两侧，平分． (1)①当时，则的度数为 ； ②当时，则的度数为 ； (2)通过（1）的计算，请你猜想和的数量关系，并说明理由． 20．（1）我们曾解决过这样的问题：如图1，点O在直线上，，分别平分，，可求得______． 【问题改编】点O在直线上，，平分． （2）如图2，若，求的度数； （3）将图2中的按图3所示的位置进行放置，写出与度数间的等量关系，并写明理由． 【题型3 三角板相关角度问题】 21．已知一副三角板按图1所示摆放，，，，将、边重合在直线上，、边在直线的两侧．保持不动． (1)在图1中，______； (2)将绕点旋转至如图2所示的位置，则______； (3)将绕点逆时针方向旋转到边平分时，求旋转角的度数？ (4)将绕点逆时针方向旋转时，直接写出与的数量关系． 22．如图1，已知，点O为直线上一点：在直线的上方，．一直角三角板的直角顶点放在点O处，三角板一边在射线上，另一边ON在直线的下方． (1)在图1的时刻，的度数为 ，的度数为 ； (2)如图2，当三角板绕点O旋转至一边恰好平分时，求的度数； (3)如图3，当三角板绕点O旋转至一边在的内部时，的度数为 ； 23．把一副三角尺与 按如图所示那样拼在一起，其中A、B、D三点在同一直线上， BM为 的平分线． (1)求 和 的度数； (2)若为 的平分线，求的度数． (3)若将图中三角尺逆时针旋转20度， 则大小变化吗？（选填不变、增大或缩小多少度）请直接写出结论． 24．已知一副直角三角尺和，，，，． (1)将两个直角三角尺按如图1摆放，点在边上，则 ； (2)将直角三角尺从图1位置绕点逆时针方向转到图2位置，使恰好平分，求的度数； (3)如图3，当三角尺摆放在内部时，作射线平分，射线平分，若三角尺在内部绕点任意转动（均在内部），试判断的度数是否会发生变化？通过计算说明理由． 25．（1）数学活动课上，李老师让同学们准备一副三角板，并利用它们画出一些角，例如，，，．小明利用三角板画出了一个的角．小乐利用三角板画出了一个的角．你还能用三角板画出多少度的角？ （2）如图，李老师将两个三角板放置在一起，于是产生了新的数学问题．，，，在，内作射线，，且，．求的度数． 26．三角尺的直角顶点P在直线上，点A，B在直线的同侧． (1)如图①，若，求的度数； (2)如图②，若平分，平分，求的度数． 27．如图，将一副直角三角板的直角顶点C叠放在一起． (1)计算与观察：若，则______，若，则______； (2)猜想与的大小有何特殊关系?并说明理由． (3)应用：若，则的度数是______． 28．图1，把一副三角板拼在一起，边放在直线上，其中，． (1)求图1中的度数； (2)如图2，三角板固定不动，将三角板绕点顺时针旋转一个角度，在转动过程中，三角板一直在直线上方，设． ①若平分，求； ②若，求． 29．如图①是一副三角尺拼成的图案（所涉及角度均小于或等于度）    (1)如图①，的度数为______度； (2)将图①中的三角尺绕点旋转度，能否使？若能，求出的值；若不能，说明理由． 30．如图①，将一副直角三角板的两顶点重合叠放于点O，其中一个三角板的顶点C落在另一个三角板的边上．已知，，，作的平分线交边于点E． (1)求的度数； (2)如图②，若点C不落在边上，当时，求的度数． 【题型4 角平分线相关角度问题】 31．已知． (1)如图1，若，在的左侧，则 ； (2)如图2，平分，平分，求． 32．如图，是的平分线，． (1)若，求的度数． (2)若，求的度数． 33．如图，是的平分线，是的平分线，且，求： (1)的度数； (2)的度数． 34．如图，是的平分线，是的平分线． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 35．已知射线在的内部，射线平分，射线平分． (1)如图①，，则_________； (2)如图②，若，射线在的内部绕点O旋转，求的度数． 36．如图，点O在直线上，，，平分． (1)求的度数； (2)求的度数； (3)是否平分？试说明理由． 37．如图①，是内部的一条射线，、分别平分，． (1)若，，求 ； (2)与的大小有什么关系，写出你的结论并说明理由． (3)如图②，如果是外部的一条射线，、分别平分，．那么（2）中与的大小关系还成立吗？请说明理由． 38．如图，是的平分线，是的平分线． (1)如果，，那么是多少度？ (2)如果，，那么是多少度？ 39．（1）如图，已知，，平分，平分，求的度数； （2）如果（1）中，（为锐角），其他条件不变，求的度数； （3）从（1）、（2）的结果中能得出什么结论？ 40．已知直线与相交于点O，且平分． (1)如图1，若平分，求的大小； (2)如图2，若，，求的大小．（用含的式子表示） 【题型5 比例相关角度问题】 41．如图，直线交于点O，平分平分：，求的度数． 42．如图，已知，是的角平分线，是的平分线，且，求的度数． 43．如图，是内部的一条射线，是内部的一条射线，是内部的一条射线． (1)如图，若，，分别是的角平分线，求的度数； (2)如图，若平分，且，，则和之间存在怎样的数量关系？请说明理由． 44．如图，已知，是的角平分线，若，求的度数． 45．如图，点O是直线上的一点，是的平分线，在内，且． (1)设，用含x的式子表示： ， ； (2)如果，那么与相等吗？为什么？ (3)如果，求的度数． 46．如图，直线与相交于点O，平分，射线在内部．若平分求的度数． 47．如图，点在直线上． (1)若，求的度数； (2)若平分，，平分吗？为什么？ 48．如图，与的度数比为，平分． (1)若，求的度数： (2)若，求的度数． 49．如图，已知与相交于点平分 (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 50．如图，直线与相交于点O，与其邻补角的比是； (1)求的大小； (2)若平分，请补全图形并求的大小． 【题型6 探究数量关系】 51．已知是内部的一条射线，，分别为，上的点，线段，同时分别以，的速度绕点逆时针转动，设转动时间为．      （1）如图（1），若，，逆时针转动到，处． ①若，的转动时间为2，则________； ②若平分，平分，求的值． （2）如图（2），若，当，分别在，内部转动时，请猜想与的数量关系，并说明理由． 52．【问题背景】已知是内部的一条射线，且． 【问题再现】（1）如图①，若，平分，平分，求的度数； 【问题推广】（2）如图②，，从点出发在内引射线，满足，若平分，求的度数； 【拓展提升】（3）如图③，在的内部作射线，在的内部作射线，若：：，求和的数量关系． 53．已知O是直线上一点，是直角，平分． (1)如图1，当，求的度数； (2)如图2，平分，求的度数； (3)当时，绕点O以每秒沿逆时针方向旋转t秒，旋转过程中始终平分，请直接写出和之间的数量关系． 54．已知点是直线上的一点，是三条射线，，是的平分线． (1)当时． 若射线在直线的同侧（图），，求的度数 根据中的结果，猜想和的数量关系是_______； 当与在直线两旁时（如图），设，请通过计算，用的代数式表示，说明中的关系是否仍然成立； (2)当，与在直线两旁时（如图），上述和的数量关系是否仍然成立？若成立，请仿照中的方法说明理由；若不成立，请写出和此时具备的数量关系并证明． 55．如图，是内一条射线，且，是的平分线，是的平分线． (1)若，则 °， °； (2)小亮在思考第（1）问时产生一个猜想：当满足时，一定平分．你觉得他的这个猜想正确吗？若正确，请说明理由；若不正确，请求出当和之间满足怎样的数量关系时，一定平分，并说明理由． 56．已知O为直线上一点，射线位于直线上方，在的左侧，，． (1)如图1，当平分时，求的度数； (2)点F在射线上，若射线绕点O逆时针旋转（且），．当在内部（图2）和的两边在射线的两侧（图3）时，和的数量关系是否改变，若改变，说明理由，若不变，求出其关系． 57．探究题：已知为直线上的一点，以为顶点作，射线平分． (1)如图1，若，则______，______； (2)若将绕点旋转至图2的位置，射线仍然平分，请写出与之间的数量关系，并说明理由； 58．已知，射线在的内部，．将射线绕点O逆时针旋转形成射线． (1)如图1，若，那么和的度数相等吗？为什么？ (2)作射线，使射线为的平分线． ①如图2，当射线恰好平分时，求的度数； ②如图3，设，试探究与之间有何数量关系？说明理由． 59．如图，是的角平分线，是内部的一条射线． (1)图中共有 个角； (2)若，且，求的度数； (3)若是的角平分线，试探究与之间的数量关系，并说明理由． 60．如图，已知O是直线上的一点，是直角，平分． (1)如图1，若，求的度数； (2)将图1中的放置图2的位置，其他条件不变，探究和之间的数量关系，并说明理由． 【题型7 定值问题】 61．如图1，点O在直线上，射线、在直线上方，，．    (1)若，请说明射线是的角平分线； (2)射线在直线上方，平分，， ①当时，求的度数 ②当时，是否存在常数k使得的值为定值？若存在，请求出常数k的值，若不存在，请说明理由． 62．点O 在直线上， 在直线 的下方作射线、， 满足（其中）， 将射线绕着点O逆时针旋转得到射线． (1)①如图1， 当时， 直接写出的度数_____； ②若比大，求出的值； (2)如图2，若，射线从开始绕着 O点以的速度逆时针旋转至结束，设旋转时间为t，射线是由射线绕O 点逆时针旋转得到，作射线平分，当 为定值时，求t的取值范围及对应的定值． 63．已知，．平分，平分． (1)如图①，当重合时，求的值； (2)当从图①所示位置绕点O以每秒的速度顺时针旋转t秒（）；在旋转过程中的值是否会因t的变化而变化，若不发生变化，请求出该定值；若发生变化，请说明理由． 64．已知，，平分，平分．    (1)如图1，当重合时，求的度数； (2)当绕点顺时针旋转时（如图），的值是否为定值？若是定值，求出的值；若不是，请说明理由； (3)在第（2）小题条件下，若满足，求的值． 65．如图，把一副三角尺拼在一起，其中三角形是等腰直角三角形，，并且B，C，E三点在同一直线上．    (1)如图1，求的度数； (2)如图2，若射线，分别从，位置开始，同时绕点以每秒的速度顺时针匀速旋转，平分，平分，设旋转的时间为秒． ①当时，的度数是否等于一个定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由； ②当为何值时，？ 66．如图，两条直线，相交于点O，且，射线（与射线重合）绕点O逆时针方向旋转，速度为，射线（与射线重合）绕点O顺时针方向旋转，速度为.两射线，同时运动，运动时间为t秒（本题出现的角均指小于平角的角）. (1)图中一定有______个直角；当时，的度数为______，的度数为______，的度数为______； (2)当时，若，试求出t的值. (3)当时，探究的值，在t满足怎样的条件时是定值，在t满足怎样的条件时不是定值? 67．已知． (1)如图1，在的内部，且，则______； (2)如图2，在的内部，是四等分线，且，求的值； (3)如图3，，射线绕着点从开始以5度/秒的速度逆时针旋转一周至结束，在旋转过程中，设运动的时间为是四等分线，且，当在某个范围内时，会为定值，请直接写出定值，并指出对应的范围（本题中的角均大于且不超过）． 68．已知，，平分，平分．    (1)如图1，当，重合时，求的值； (2)如图2，当从图1所示的位置开始绕点以每秒的速度顺时针旋转．在旋转过程中， 的值是否会因的变化而变化？若不变化，请求出该定值；若变化，请说明理由； (3)在（2）的条件下，求当旋转多少秒时，． 69．问题情境：如图，直线，相交于点．把分成两个角，且． 问题提出： (1)若，求的度数． (2)如果，平分，那么是的平分线吗？试说明理由． 问题解决： (3)若，则是否为定值？若是，请求出定值：若不是，求说明理由． 70．定义：若，且，则我们称是的差余角．例如：若，则的差余角， (1)如图1，点O在直线AB上，射线OE是∠BOC的角平分线，若∠COE是∠AOC的差余角，求∠BOE的度数； (2)如图2，点O在直线AB上，若∠BOC是∠AOE的差余角，那么∠BOC与∠BOE有什么数量关系； (3)已知，点O在直线AB上，若∠COE是∠AOC的差余角，且OE与OC在直线AB的同侧，请你探究是否为定值？若是，请求出定值；若不是，请说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题12 角相关解答题按梯度分类训练 （7种类型70道） 目录 【题型1 补全解答过程】 1 【题型2 余角和补角】 12 【题型3 三角板相关角度问题】 23 【题型4 角平分线相关角度问题】 34 【题型5 比例相关角度问题】 44 【题型6 探究数量关系】 53 【题型7 定值问题】 67 【题型1 补全解答过程】 1．如图①，是直线上的一点，是直角，平分． (1)若时，则的度数为______； (2)将图①中的绕顶点顺时针旋转至图②的位置，其它条件不变，探究和的度数之间的关系．小明同学提供的解法如下，请补全证明过程： 解：∵平分（已知） ∴______（） ∵是直角（已知） ∴______（直角的定义） ∴______ ∴ ∴______． (3)将图①中的绕顶点顺时针旋转至图③的位置，其他条件不变．直接写出和的度数之间的关系：______． 【答案】(1)； (2)，角平分线的定义，，，； (3) 【分析】本题考查的知识点是角平分线的定义、及角的和差计算，解题的关键是正确运用好有关性质准确计算角的和差倍分． （1）由已知可求出，再由是直角，平分求出的度数； （2）由是直角，平分可得出，则得，从而得出和的度数之间的关系； （3）根据（2）的解题思路，即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， 又是直角，平分， ； （2）∵平分（已知）， ∴ （角平分线的定义）， ∵是直角（已知）， ∴ （直角的定义）， ∴ ， ∴， ∴； （3），理由如下： ， ， ， ， ； 2．补全解题过程． 如图，，，平分，求的度数． 解：，， 　　　　， 平分 　　（依据：　　）， ， 　　． 【答案】；100；；角平分线的定义；10． 【分析】本题主要考查了角平分线定义的应用以及角的计算，利用已知和图形，根据交的和差关系恰当填空即可． 【详解】解：，， , 平分， （角平分线的定义）, , , 故答案为：；100；；角平分线的定义；10． 3．补全推导过程，如图，已知，平分，平分，求的度数． 解：∵， ∴__________°， ∵平分， ∴ ________________°， ∵平分， ∴ ________________°， ∴________________________°． 【答案】150，，75，，30，，，45 【分析】首先计算出的度数，再根据角平分线的性质可得，的度数，进而根据角的和差关系推出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ， ∵平分， ， ∴， 故答案为：150，，75，，30，，，45． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质以及有关角的计算，熟练利用角平分线的定义求出角的度数是解题的关键． 4．如图所示，点O是直线上一点，，平分．若，求的度数．（请补全以下求解过程中的空格） 解：是直线上一点 　　　 　　　 平分 　　　　　　 又 　　　　　　． 【答案】，，，，，． 【分析】利用补角的性质得到，再根据角平分线的定义得到，求出的度数，根据求解过程进行补全即可． 【详解】解：是直线上一点， ， ， ， 平分， ， ， ， 故答案为：，，，，，． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，补角的性质，角的和差计算，根据题意找出角度间的数量关系是解题关键． 5．如图，直线AB、CD相交于O，∠EOC＝90°，OF是∠AOE的角平分线，∠COF＝34°，求∠BOD的度数． 其中一种解题过程如下：请在括号中注明根据，在横线上补全步骤． 解：∵∠EOC＝90° ∠COF＝34°（　　） ∴∠EOF＝　　° ∵OF是∠AOE的角平分线 ∴∠AOF＝　　＝56°（　　） ∴∠AOC＝　　° ∵∠AOC+　　＝90° ∠BOD+∠EOB＝90° ∴∠BOD＝∠AOC＝　　°（　　） 【答案】已知；56；∠EOF；角平分线的定义； 22；∠EOB；22；同角的余角相等． 【分析】根据角平分线的定义、余角的概念解答． 【详解】∵∠EOC＝90°， ∠COF＝34°（已知）， ∴∠EOF＝56°， ∵OF是∠AOE的角平分线， ∴∠AOF＝∠EOF＝56°（角平分线的定义）， ∴∠AOC＝22°， ∵∠AOC+∠EOB＝90°， ∠BOD+∠EOB＝90°， ∴∠BOD＝∠AOC＝22°（同角的余角相等）， 故答案为：已知；56；∠EOF；角平分线的定义；∠EOB；22；同角的余角相等． 【点睛】本题考查了角平分线的定义、余角和补角、邻补角的概念，掌握它们的概念是解题的关键． 6．如图1，点是直线上一点，，平分． （1）求的度数；请你补全下列解题过程： ∵点为直线上一点， ∴___________； ∵， ∴___________； ∵平分， ∴（      ） ∴___________． （2）在（1）条件下如图2，若是内部一条射线，满足，求的度数． 【答案】(1) 180°、60°、角平分线的定义、30°；（2）120°． 【分析】（1）根据平角和角平分线的定义求解，根据解题步骤填上适当的数． （2）根据补角的定义解答即可． 【详解】解：（1）∵O是直线AB上一点 ∴∠AOB=180°． ∵∠BOC=120° ∴∠AOC=∠AOB-∠BOC=60°． ∵OD平分∠AOC ∴（角平分线的定义） ∴30°． 故答案为180°、60°、角平分线的定义、30°． （2）∵ ，且 ∴ ∴ ∴ ∴ ． 【点睛】本题考查了角平分线和邻补角，能熟练地运用邻补角互补进行计算是解答此题的关键． 7．如图，O为直线AB上一点，∠AOC与∠AOD互补，OM、ON分别是∠AOC、∠AOD的平分线． （1）根据题意，补全下列说理过程： 因为∠AOC与∠AOD互补， 所以∠AOC+∠AOD＝180°． 又因为∠AOC+∠　 　＝180°， 根据　 　，所以∠　 　＝∠　 　． （2）若∠MOC＝72°，求∠AON的度数． 【答案】（1）BOC；同角的补角相等；AOD；BOC；（2）∠AON=18° 【分析】（1）由题意可得∠AOC+∠AOD＝180°，∠AOC+∠COB＝180°，可以根据同角的补角相等得到∠AOD＝∠COB； （2）首先根据角平分线的性质可得∠AOC＝2∠COM，∠AON＝∠AOD，然后计算出∠AOC＝144°，进而得到∠AON＝18°． 【详解】解：（1）因为∠AOC与∠AOD互补， 所以∠AOC+∠AOD＝180°． 又因为∠AOC+∠BOC＝180°， 根据同角的补角相等，所以∠AOD＝∠BOC， 故答案为：BOC；同角的补角相等；AOD；BOC； （2）∵OM是∠AOC的平分线． ∴∠AOC＝2∠MOC＝2×72°＝144°， ∵∠AOC与∠AOD互补， ∴∠AOD＝180°﹣144°＝36°， ∵ON是∠AOD的平分线． ∴∠AON＝∠AOD＝18°． 【点睛】本题考查了补角的定义和角平分线的定义，解题关键是熟练运用相关知识建立角之间的联系． 8．补全下面的解题过程： 如图，已知OC是∠AOB内部的一条射线，OD是∠AOB的平分线，∠AOC=2∠BOC且∠BOC=40°，求∠COD的度数． 解：因为∠AOC=2∠BOC，∠BOC=40°， 所以∠AOC=_______°， 所以∠AOB=∠AOC+∠______=120°． 因为OD平分∠AOB， 所以∠AOD=∠____=______°， 所以∠COD=∠_____﹣∠AOD=______°． 【答案】80，BOC，AOB，60，AOC，20 【分析】由∠AOC=2∠BOC可得∠AOC的度数，即可求出∠AOB的度数，根据角平分线的定义即可求出∠AOD的度数，根据角的和差关系即可得答案． 【详解】∵∠AOC=2∠BOC，∠BOC=40°． ∴∠AOC=80°， ∴∠AOB=∠AOC+∠BOC=120°， ∵OD平分∠AOB， ∴∠AOD=∠AOB =60°， ∴∠COD=∠AOC﹣∠AOD=20°． 故答案为：80，BOC，AOB，60，AOC，20 【点睛】本题考查了角平分线的定义和角的运算，熟练掌握角平分线的定义和利用角的和、差、倍、分进行角的运算是解题的关键． 9．如图，O为直线AB上一点，与互补，OM，ON分别是，的平分线． (1)根据题意，补全下列说理过程： ∵与互补， ∴． 又___________=180°， ∴∠_________=∠_________． (2)若，求的度数． (3)若，则 （用表示）． 【答案】(1)BOC； AOD；BOC； (2)22°． (3)． 【分析】（1）根据与互补，得出．根据 BOC =180°，利用同角的补角性质得出∠AOD＝∠BOC． （2）根据OM是∠AOC的平分线．得出∠AOC＝2∠MOC＝2×68°＝136°，根据∠AOC与∠AOD互补，求出∠AOD＝180°﹣136°＝44°，再根据ON是∠AOD的平分线．可得∠AON＝∠AOD＝22°． （3）根据OM是∠AOC的平分线．得出∠AOC＝2，根据∠AOC与∠AOD互补，可求∠AOD＝180°﹣，根据ON是∠AOD的平分线．得出∠AON＝∠AOD＝． 【详解】（1）解：∵与互补， ∴． 又 BOC =180°， ∴∠AOD＝∠BOC． 故答案为：BOC； AOD；BOC； （2）解：∵OM是∠AOC的平分线． ∴∠AOC＝2∠MOC＝2×68°＝136°， ∵∠AOC与∠AOD互补， ∴∠AOD＝180°﹣136°＝44°， ∵ON是∠AOD的平分线． ∴∠AON＝∠AOD＝22°． （3）解：∵OM是∠AOC的平分线． ∴∠AOC＝2， ∵∠AOC与∠AOD互补， ∴∠AOD＝180°﹣， ∵ON是∠AOD的平分线． ∴∠AON＝∠AOD＝． 【点睛】本题考查补角性质，同角的补角性质，角平分线定义，角的和差倍分计算，掌握补角性质，同角的补角性质，角平分线定义，角的和差倍分计算是解题关键． 10．补全解题过程． 已知：如图，O是直线AB上的一点，∠COD＝90°，OE平分∠BOC．若∠AOC＝60°，求∠DOE数． 解：∵O是直线AB上的一点，（已知） ∴∠BOC＝180°﹣∠AOC．（         ） ∵∠AOC＝60°，（已知） ∴∠BOC＝120°．（         ） ∵OE平分∠BOC，（已知） ∴∠COE＝∠BOC，（         ） ∴∠COE＝_____°． ∵∠DOE＝∠COD﹣∠COE，且∠COD＝90°， ∴∠DOE＝_____°． 【答案】见解析 【分析】分别根据平角的定义，等式的性质以及角平分线的定义解答即可． 【详解】∵O是直线AB上的一点，(已知)， ∴∠BOC=180°﹣∠AOC．(平角定义) ∵∠AOC=60°，(已知)， ∴∠BOC=120°．(等量代换) ∵OE平分∠BOC，(已知)， ∴∠COE．(角平分线定义)， ∴∠COE=60°． ∵∠DOE=∠COD﹣∠COE，且∠COD=90°， ∴∠DOE=30°． 故答案为：平角定义；等量代换；角平分线定义；60；30． 【题型2 余角和补角】 11．如图，已知直线与相交于点O，、分别是、的平分线． (1)的补角是_____； (2)若，求和的度数； 【答案】(1)或 (2)， 【分析】本题考查余角与补，角度的计算，是基础题，熟记性质并准确识图，找出图中各角之间的关系是解题的关键． （1）根据角平分线的定义可得再根据补角的定义结合图形找出即可； （2）根据角平分线的定义计算即可求出，然后根据补角的和等于列式计算即可求出，先求出，再根据角平分线的定义解答． 【详解】（1）解：∵是的平分线， ∴， 又∵，， ∴ ∴的补角是或； （2）∵是的平分线，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴． 12．如图，点O是直线上的一个点，从点O引两条射线、，使的度数之比为，那么： (1)的度数为 ； (2)余角的度数为 ； (3)与的度数之比为 ． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了角的计算，余角补角的相关计算，数形结合是解题的关键． （1）根据两角之比即可求解； （2）由余角的定义即可求解； （3）由周角定义可得结论． 【详解】（1）解：， ； （2）（2）， ， 的余角； （3）， ， ． 13．如图，是平角，，平分．    (1)若，求的度数； (2)若是的平分线，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查角度计算，角平分线的性质，平角的性质等知识点， （1）根据互余和角平分线的定义解答即可； （2）根据角平分线的定义和平角的定义解答即可． 解题的关键是熟练利用角分线的性质，本题属于基础题型． 【详解】（1）∵， ∴， 又∵平分， ∴； （2）∵平分，平分， ∴， 又∵， ∴， ∴． 14．如图，已知O为直线上一点，，，平分． (1)求的度数； (2)若与互余，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查角平分线的定义，互余，角的和差关系： （1）根据平角的定义求出，再根据角平分线的定义求出，最后根据角的和差关系求出； （2）根据互余的两个角和为90度求出，根据角的和差关系求出． 【详解】（1）解： O为直线上一点，， ， 平分， ， ， ； （2）解： 与互余，由（1）得， ， ， ． 15．如图，为直线上一点，，平分，平分． (1)求出的度数； (2)请判断是否是直角，并说明理由． 【答案】(1) (2)是直角，理由见解析 【分析】本题主要考查角平分线定义，平角的定义和直角的判定，熟练掌握角平分线定义是解决问题的关键． （1）根据的度数和平分即可求出的度数； （2）根据邻补角的定义推出与的和为，根据角平分线定义推出与，与之间的数量关系求出的度数后即可作出判断． 【详解】（1）解：，平分， ； （2）解：是直角．理由如下： 为直线上一点， ， 平分，平分， ，， ， ， 是直角． 16．已知与互补，射线平分，设，． (1)如图1，在的内部，当与互余时，求的值； (2)如图2，在的外部，，求与满足的等量关系．（提示：分别用含的式子表示出与的度数） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了余角和补角以及角平分线的定义，角的计算，正确的识别图形是解题的关键； （1）根据补角和余角的定义以及角的和差关系解答即可； （2）根据角平分线的定义以及补角的定义求解即可； 【详解】（1）∵与互余， ∴， ∵与互补，延长于F． ， ， ∴， ， ． （2）∵， ∴， ∵射线平分， ∴， ∵与互补， ∴， ∴， 17．如图，点是直线上的一点，，平分．    (1)如图1，若，则______，______； (2)如图2，射线和分别位于直线的两侧，若，求的度数． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查角的和差计算，角平分线的定义， （1）根据，则，设，建立方程解答即可； （2）根据条件分别求出和，两角相加即可； 熟练掌握余角、补角的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：设， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴， 故答案为：；； （2）∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分． ∴， ∴， ∴的度数为． 18．已知点O是直线上一点，过O作射线，使． (1)如图1，的度数是 ； (2)如图2，过点O作射线，使，作的平分线，求的度数； (3)在（2）的条件下，作射线，若与互余，请直接写出的度数． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了邻补角，互余，角平分线的定义，角的和差；注意分类讨论． （1）利用邻补角的性质直接求解即可； （2）结合图形，先根据角平分线的定义求得，而，进而求得； （3）分射线在直线的上方和下方，满足与互余，分别画出图形求解即可． 【详解】（1）解：由图1可知，， 故答案为：； （2）解：∵是的角平分线，而， ∴， 又∵， ∴， ∴； （3）解：∵是的角平分线， ∴． ∵， ∴． 如图所示，作的角平分线，在直线的下方作射线，使，则射线即为所求，使得与互余， ∴，， ∴， ∵， ∴． 故或． 19．如图所示，点在直线上，以为顶点作，且位于直线两侧，平分． (1)①当时，则的度数为 ； ②当时，则的度数为 ； (2)通过（1）的计算，请你猜想和的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)①；② (2)，理由见解析 【分析】本题考查了互为余角、补角、角平分线的定义，采用数形结合的思想，找准角之间的关系是解此题的关键． （1）①根据互余求出，根据角平分线的定义求出，最后根据互补进行计算即可；②根据互余求出，根据角平分线的定义求出，最后根据互补进行计算即可； （2）根据互余求出，根据角平分线的定义求出，最后根据互补进行计算即可． 【详解】（1）解：①，， ， 平分， ， 点在直线上， ， 故答案为：； ②，， ， 平分， ， 点在直线上， ， 故答案为：； （2）解：， 理由如下： ， ， 平分， ， 点在直线上， ． 20．（1）我们曾解决过这样的问题：如图1，点O在直线上，，分别平分，，可求得______． 【问题改编】点O在直线上，，平分． （2）如图2，若，求的度数； （3）将图2中的按图3所示的位置进行放置，写出与度数间的等量关系，并写明理由． 【答案】（1）；（2）；（3），理由见解析． 【分析】（1）根据平角是，，分别平分，，即可得； （2）先求，利用角平分线定义再求，最终求的度数； （3）设，再根据（1）的求解过程，用含的式子表示两个角的数量关系． 【详解】解：（1），，分别平分，， ， ， 故答案为：； （2）， ． ， ． ． 平分， ． ； （3）设． 则． 平分， ． ， ． 按图3所示的位置放置时，与度数间的等量关系为：． 【题型3 三角板相关角度问题】 21．已知一副三角板按图1所示摆放，，，，将、边重合在直线上，、边在直线的两侧．保持不动． (1)在图1中，______； (2)将绕点旋转至如图2所示的位置，则______； (3)将绕点逆时针方向旋转到边平分时，求旋转角的度数？ (4)将绕点逆时针方向旋转时，直接写出与的数量关系． 【答案】(1) (2) (3) (4)当时，；当时， 【分析】本题主要考查角之间的和差关系、一元一次方程的应用，熟练掌握角度之间的关系是解题的关键． （1）根据角的和差关系求解； （2）将变形为求解； （3）设旋转角度为，平分时，，据此列方程，即可求解； （4）分和两种情况，用含n的式子表示出与的度数，即可求解． 【详解】（1）解：图1中，， 故答案为：； （2）解：， 故答案为：； （3）解：平分时，， 设旋转角度为，， ， 解得， 即旋转角的度数为； （4）解：当时，，， ； 当时，，， ； 综上可知，当时，；当时，． 22．如图1，已知，点O为直线上一点：在直线的上方，．一直角三角板的直角顶点放在点O处，三角板一边在射线上，另一边ON在直线的下方． (1)在图1的时刻，的度数为 ，的度数为 ； (2)如图2，当三角板绕点O旋转至一边恰好平分时，求的度数； (3)如图3，当三角板绕点O旋转至一边在的内部时，的度数为 ； 【答案】(1)120，150 (2) (3) 【分析】本题考查了三角板中的角度计算，角的和差，角平分线的有关计算； （1）由角的和差得，，即可求解； （2）由角平分线的定义得，由角的和差得，即可求解； （3）设，则，，代入即可求解； 掌握角平分线的定义，能熟练利用角的和差表示出所求的角是解题的关键． 【详解】（1）解： ， ， ， ， 故答案为：120，150； （2）解：恰好平分， ， ； （3）解：设， 则， ， ， 故答案为：． 23．把一副三角尺与 按如图所示那样拼在一起，其中A、B、D三点在同一直线上， BM为 的平分线． (1)求 和 的度数； (2)若为 的平分线，求的度数． (3)若将图中三角尺逆时针旋转20度， 则大小变化吗？（选填不变、增大或缩小多少度）请直接写出结论． 【答案】(1)， (2) (3)不变 【分析】本题考查角的和差和角平分线的定义，掌握角平分线的定义是解题的关键． （1）由三角板的内角，利用角的和差求出的度数，然后利用角平分线的定义得到的度数，然后利用交的和差解题即可； （2）先求出的度数，然后根据角平分线的定义得到的度数，然后根据解题即可； （3）根据（1）（2）的计算方法解题即可． 【详解】（1）解：∵A、B、D三点在同一直线上， ∴， 又∵BM为的平分线， ∴， ∴； （2）解：， ∵为的平分线， ∴， ∴； （3）解：不变，理由为： 三角尺逆时针旋转20度时， ∴， ， 又∵BM为的平分线，为的平分线， ∴， ， ∴； 24．已知一副直角三角尺和，，，，． (1)将两个直角三角尺按如图1摆放，点在边上，则 ； (2)将直角三角尺从图1位置绕点逆时针方向转到图2位置，使恰好平分，求的度数； (3)如图3，当三角尺摆放在内部时，作射线平分，射线平分，若三角尺在内部绕点任意转动（均在内部），试判断的度数是否会发生变化？通过计算说明理由． 【答案】(1) (2) (3)的度数不发生变化，始终等于，理由见解析 【分析】此题主要考查了角平分线的定义，角的计算，理解角平分线的定义，熟练掌握角的计算是解决问题的关键． （1）根据即可得出答案； （2）根据角平分线性质得，再根据可得出答案； （3）先求出，再根据角平分线定义得，由此可得得度数． 【详解】（1）解：依题意得：， ∴， 故答案为：； （2）解：∵，恰好平分， ∴， ∴； （3）解：的度数不发生变化，始终等于，理由如下： ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴． 25．（1）数学活动课上，李老师让同学们准备一副三角板，并利用它们画出一些角，例如，，，．小明利用三角板画出了一个的角．小乐利用三角板画出了一个的角．你还能用三角板画出多少度的角？ （2）如图，李老师将两个三角板放置在一起，于是产生了新的数学问题．，，，在，内作射线，，且，．求的度数． 【答案】（1）答案不唯一，见解析；（2） 【分析】本题考查了角的运算，熟练掌握角的和、差的计算方法是解题的关键． （1）只要，，，的角通过和、差、整数倍运算得出的角都可以画出； （2）先利用周角及，求出，再利用，求出，，可得，结合即可求解． 【详解】解：（1）因为三角板自带，，，的角， 所以只要，，，的角通过和、差、整数倍运算得出的角都可以画出， 如：，，，，等， 所以用三角板除了画出自带的角外，还能作出、、的角等（不唯一）； （2）∵，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵，， ∴． 26．三角尺的直角顶点P在直线上，点A，B在直线的同侧． (1)如图①，若，求的度数； (2)如图②，若平分，平分，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了角平分线，与三角板有关的角度计算．明确角度之间的数量关系是解题的关键． （1）由题意知，根据，计算求解即可； （2）由角平分线可得，．由，可得，根据，计算求解即可． 【详解】（1）解：由题意知． ∴， ∴． （2）解：∵平分，平分， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴． 27．如图，将一副直角三角板的直角顶点C叠放在一起． (1)计算与观察：若，则______，若，则______； (2)猜想与的大小有何特殊关系?并说明理由． (3)应用：若，则的度数是______． 【答案】(1)； (2)．理由见解析 (3) 【分析】本题考查了三角尺中角度的计算，找到关系式是解题的关键． （1）根据求解即可； （2）方法同（1）即可得出结果； （3）根据（2）中结果及比例求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ， ， 故答案为：；； （2），理由如下， ，， ； （3） ，， ． 28．图1，把一副三角板拼在一起，边放在直线上，其中，． (1)求图1中的度数； (2)如图2，三角板固定不动，将三角板绕点顺时针旋转一个角度，在转动过程中，三角板一直在直线上方，设． ①若平分，求； ②若，求． 【答案】(1) (2)①；②或 【分析】本题考查了角的计算，角平分线的定义； （1）根据平角的定义即可得到结论； （2）①根据已知条件和角平分线的定义即可得到结论； ②分用含的代数式表示出和，列方程即可得到结论． 【详解】（1）∵， ∴； （2）①∵， ∴， 当平分时，， ∵， ∴， ∴； ②当射线在内部时， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得． 当射线在内部时， ∵ ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得 综上所述，满足条件的的值为或． 29．如图①是一副三角尺拼成的图案（所涉及角度均小于或等于度）    (1)如图①，的度数为______度； (2)将图①中的三角尺绕点旋转度，能否使？若能，求出的值；若不能，说明理由． 【答案】(1)； (2)逆时针旋转或顺时针旋转，能使． 【分析】（）根据图形计算即可求解； （）分逆时针旋转和顺时针旋转两种情况，分别画出图形，根据角的和差关系列出方程即可求解； 本题考查了三角板中的角度计算问题，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】（1）解：由图可得，， 故答案为：； （2）解：能． ①逆时针旋转，如图，    由题意得，， 解得； ②顺时针旋转，如图，    当时， 由题意得，， 解得，不符题意，舍去； 当时， 由题意得，， 解得； 综上所述，逆时针旋转或顺时针旋转，能使． 30．如图①，将一副直角三角板的两顶点重合叠放于点O，其中一个三角板的顶点C落在另一个三角板的边上．已知，，，作的平分线交边于点E． (1)求的度数； (2)如图②，若点C不落在边上，当时，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查角平分线的定义，角的和与差． （1）根据角平分线的定义可求出的度数，根据角的和差关系即可求出的度数； （2）根据角的和差关系可求出的度数，根据角平分线的定义可求出的度数，进而根据角的和差关系即可求出的度数． 【详解】（1）解：∵，平分， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 【题型4 角平分线相关角度问题】 31．已知． (1)如图1，若，在的左侧，则 ； (2)如图2，平分，平分，求． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了角平分线的性质及角的计算，合理利用角平分线的性质进行计算是解决本题的关键． （1）根据图形中角度的和差关系可得出结论； （2）根据角平分线的定义及角度的和差关系可得出结论． 【详解】（1）解：， ， ， ， 故答案为：； （2）解： 平分， ， 平分， ， ， ， ， ， ． 32．如图，是的平分线，． (1)若，求的度数． (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了角的计算，角平分线的定义，是基础题，准确识图是解题的关键． （1）先求出的度数，然后根据角平分线的定义求出，于是得到结论； （2）设，则，根据角平分线的定义和角的倍分即可得到结论． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵是的平分线， ∴； （2）解：设，则， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴． 33．如图，是的平分线，是的平分线，且，求： (1)的度数； (2)的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查几何图形中角度的计算，角平分线的定义，角的和差， （1）根据角平分线的定义得，，代入数据计算即可； （2）结合图形可得，代入数据计算即可； 解题的关键是掌握角平分线的定义：一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线． 【详解】（1）解：∵是的平分线，且， ∴，， ∵是的平分线， ∴， ∴的度数为； （2）由（1）知：，， ∴， ∴的度数为． 34．如图，是的平分线，是的平分线． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了角平分线的定义、角的和差运算等知识点，弄清角之间的关系成为解题的关键． （1）由角平分线的定义可得，进而得到，再由角平分线的定义可得最后根据角的和差即可解答； （2）由角平分线的定义可得，进而得到，再由角平分线的定义可得，最后根据角的和差即可解答． 【详解】（1）解：∵是的平分线， ∴， ∴． ∵是的平分线， ∴ ∴． （2）解：∵是的平分线， ∴， ∴． ∵OD是的平分线， ∴， ∴． 35．已知射线在的内部，射线平分，射线平分． (1)如图①，，则_________； (2)如图②，若，射线在的内部绕点O旋转，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了几何图形中角度计算，角平分线的意义，掌握角度的计算是解题的关键． （1）根据角平分线的定义可得，根据即可求解； （2）同理（1）即可求得． 【详解】（1）解： 平分，平分， ， ， ， ， ； （2）解：同理（1）得：， ， ． 36．如图，点O在直线上，，，平分． (1)求的度数； (2)求的度数； (3)是否平分？试说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)平分，理由见解析． 【分析】本题考查角平分线的定义，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键； （1）由角分线的定义，得到的度数； （2）根据角的运算，求出的度数，进而求出的度数； （3）由角分线的定义证明即可求解． 【详解】（1） 解： ，平分， ， ； （2）解： ，， ， ； （3）平分； 理由： ，， ， 又 ， 平分． 37．如图①，是内部的一条射线，、分别平分，． (1)若，，求 ； (2)与的大小有什么关系，写出你的结论并说明理由． (3)如图②，如果是外部的一条射线，、分别平分，．那么（2）中与的大小关系还成立吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)，见解析 (3)成立，理由见解析 【分析】本题考查了角平分线，灵活利用角平分线的定义是解题的关键． （1）由角平分线的定义得出，进而即可求得； （2）由角平分线的定义得出，即； （3）由角平分线的定义得出得出，根据，，进而即可求解． 【详解】（1）解： 、分别平分，， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）解：，理由如下： 、分别平分，， ， ， ， ； （3）解：成立，理由如下， 、分别平分，， ， ， ． 38．如图，是的平分线，是的平分线． (1)如果，，那么是多少度？ (2)如果，，那么是多少度？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查角平分线，理解角平分线的定义以及图形中角的和差关系是解题的关键． （1）根据角平分线的定义以及角的和差关系进行计算即可． （2）根据角平分线的定义进行计算即可． 【详解】（1）解：∵是的平分线，是的平分线，，， ∴，， ∴． （2）解：∵是的平分线，， ∴， ∵， ∴ ∵是的平分线， ∴． 39．（1）如图，已知，，平分，平分，求的度数； （2）如果（1）中，（为锐角），其他条件不变，求的度数； （3）从（1）、（2）的结果中能得出什么结论？ 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了角平分线的定义，角的和差，解题的关键是掌握角平分线的定义． （1）由角平分线的定义可得：，，再根据，即可求解； （2）由角平分线的定义可得：，，再根据，即可求解； （3）根据角平分线的定义和角的和差即可求解． 【详解】解：（1） ，，平分，平分， ，， ； （2） ，，平分，平分， ，， ； （3）从（1）、（2）的结果中能得出：， ． 40．已知直线与相交于点O，且平分． (1)如图1，若平分，求的大小； (2)如图2，若，，求的大小．（用含的式子表示） 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了角平分线的相关计算和角的和差倍分、解一元一次方程； （1）根据平角的定义，角的平分线的意义计算即可； （2）设设，则，由平分得到，根据列方程解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴． （2）设， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【题型5 比例相关角度问题】 41．如图，直线交于点O，平分平分：，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的定义，角的和差运算，方程思想的应用．由角平分线知；设，由建立方程即可求得x的值，从而得；再角平分线的定义及和角关系即可求解． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴设，则， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 42．如图，已知，是的角平分线，是的平分线，且，求的度数． 【答案】 【分析】先根据角平分线的性质设，再用表示出、、和，根据，得出关于的方程，解得，则可求得答案．本题考查几何图形的角的计算，熟练运用角平分线的定义及正确表示出相关角，是解题的关键． 【详解】解：是的角平分线 设 是的平分线，且， ， ， 解得： 的度数为． 43．如图，是内部的一条射线，是内部的一条射线，是内部的一条射线． (1)如图，若，，分别是的角平分线，求的度数； (2)如图，若平分，且，，则和之间存在怎样的数量关系？请说明理由． 【答案】(1)； (2)，理由见解析． 【分析】（）利用角平分线的定义分别求得，，据此求解即可； （）设，则，设，求得，根据题意列出等式，即可求解； 本题考查了角平分线的定义，角度的计算，熟记各图形的性质并准确识图是解题的关键． 【详解】（1）∵，，分别是的角平分线， ∴，， ∴； （2），理由如下， ∵， ∴设，则， 设， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，则， ∴． 44．如图，已知，是的角平分线，若，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的定义，正确求得x是关键． 首先设，，根据角平分线的定义求得，然后根据，求得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴设，， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∵，则， ∴， ∴． 45．如图，点O是直线上的一点，是的平分线，在内，且． (1)设，用含x的式子表示： ， ； (2)如果，那么与相等吗？为什么？ (3)如果，求的度数． 【答案】(1)， (2)相等，理由见解析 (3) 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，利用数形结合的思想求解是解题的关键． （1）先求出的度数，在求出，根据平角的定义求出的度数； （2）根据角的和差即可求出答案； （3）根据角平分线的定义得，设，，根据角的和差关系，及平角定义列出方程即可解答． 【详解】（1），， ， ， ， ， 故答案为：，； （2）相等，理由如下： ，即， ； （3） 是的平分线， ， 设，， 则，， ， ， ， 即 解得： ， ， ． 46．如图，直线与相交于点O，平分，射线在内部．若平分求的度数． 【答案】 【分析】本题是有关角的计算，考查了角平分线的定义及角的和差倍分，确定各角度之间的和差关系是解题关键．注意利用数形结合的思想．由题意得设，则，，，根据即可建立方程求解． 【详解】解：∵ ∴可设，则， ∵平分， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴． 47．如图，点在直线上． (1)若，求的度数； (2)若平分，，平分吗？为什么？ 【答案】(1) (2)平分，见解析 【分析】此题考查几何图形中角度的计算，与角平分线有关的计算； （1）根据题意可得，即可求解； （2）根据，．，得出．根据等角得余角相等，即可求解． 【详解】（1）解：，， ． ． （2）解：平分． 平分． ． ， ． ． 平分． 48．如图，与的度数比为，平分． (1)若，求的度数： (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查几何图形中角度的计算，与角平分线有关的计算： （1）先求出的度数，进而求出的度数，角平分线求出即可； （2）设的度数为，则的度数为，根据角平分线的定义以及角的和差关系，列出方程，进行求解即可． 【详解】（1）解：因为，与的度数比为， 所以 所以 因为平分， 所以； （2）设的度数为，则的度数为，的度数为 因为平分， 所以． 所以． 因为， 所以， 所以． 49．如图，已知与相交于点平分 (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查与角平分线有关的计算，找准角度之间的等量关系，是解题的关键． （1）先求出的度数，再根据角平分线平分角，求出的度数即可； （2）设，得到，根据，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴； （2）∵， ∴设， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 50．如图，直线与相交于点O，与其邻补角的比是； (1)求的大小； (2)若平分，请补全图形并求的大小． 【答案】(1) (2)补全图形见解析，或 【分析】本题考查了角的运算，角平分线的性质： （1）设，则其邻补角为，进而可求解； （2）根据作出图形，分类讨论，即可求解； 灵活运用所学知识是解题关键． 【详解】（1）解：与其邻补角大小之比是， 设，则其邻补角为， ， ， ， 即． （2）当补全图如图所示时， ， ， ， ， 平分， ， ； 当补全图形如图所示时， ， ， ， ， 平分， ， ， 综上所述，或． 【题型6 探究数量关系】 51．已知是内部的一条射线，，分别为，上的点，线段，同时分别以，的速度绕点逆时针转动，设转动时间为．      （1）如图（1），若，，逆时针转动到，处． ①若，的转动时间为2，则________； ②若平分，平分，求的值． （2）如图（2），若，当，分别在，内部转动时，请猜想与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）①40゜；②60゜；（2），理由见解析． 【分析】（1）①先求出∠AOM′、CON′，再表示出∠BON′、∠COM′，然后相加并根据∠AOB=120°计算即可得解； ②先由角平分线求出∠AOM′=∠COM′=∠AOC，∠BON′=∠CON′=∠BOC，再求出∠COM′+∠CON′=∠AOB=×120°=60°，即∠M′ON′=60°； （2）设旋转时间为t，表示出∠CON、∠AOM，然后列方程求解得到∠BON、∠COM的关系，再整理即可得解． 【详解】（1）∵线段OM、ON分别以30°/s、10°/s的速度绕点O逆时针旋转2s， ∴∠AOM′=2×30°=60°，∠CON′=2×10°=20°， ∴∠BON′=∠BOC-20°，∠COM′=∠AOC-60°， ∴∠BON′+∠COM′=∠BOC-20°+∠AOC-60°=∠AOB-80°， ∵∠AOB=120°， ∴∠BON′+∠COM′=120°-80°=40°； 故答案为：40°； ②∵OM′平分∠AOC，ON′平分∠BOC， ∴∠AOM′=∠COM′=∠AOC，∠BON′=∠CON′=∠BOC， ∴∠COM′+∠CON′=∠AOC+∠BOC=∠AOB=×120°=60°， 即∠MON=60°； （2）∠COM=3∠BON，理由如下： 设∠BOC=，则∠AOB=4，∠AOC=3， ∵旋转t秒后，∠AOM=30t，∠CON=10t， ∴∠COM=3 -30t=3（ -10t），∠NOB= -10t， ∴∠COM=3∠BON． 【点睛】本题考查了角的计算，读懂题目信息，准确识图并表示出相关的角度，然后列出方程是解题的关键． 52．【问题背景】已知是内部的一条射线，且． 【问题再现】（1）如图①，若，平分，平分，求的度数； 【问题推广】（2）如图②，，从点出发在内引射线，满足，若平分，求的度数； 【拓展提升】（3）如图③，在的内部作射线，在的内部作射线，若：：，求和的数量关系． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【分析】本题考查了角度和差的计算，角平分线的定义， （1）根据角之间的数量关系和角平分线定义求出和的度数，再将两个角的度数相加即可求解； （2）根据角之间的数量关系和角平分线定义求出和的度数，再将两个角的度数相减即可求解； （3）角含有的式子表示出，再计算出和的数量关系． 【详解】解：（1），， ． 又平分，平分， ，， ； ， ； （2），， ； ． ． 又平分， ， ； （3）设，则． ， ， ． ， ， ． 53．已知O是直线上一点，是直角，平分． (1)如图1，当，求的度数； (2)如图2，平分，求的度数； (3)当时，绕点O以每秒沿逆时针方向旋转t秒，旋转过程中始终平分，请直接写出和之间的数量关系． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】本题主要考查角的计算，角平分线的定义，补角的定义等知识的综合运用： （1）由补角及角平分线的定义可求得的度数，结合直角的定义可求解的度数； （2）由角平分线的定义可得，进而可求解； （3）可分两种情况：①时，时，分别计算可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵平分，平分， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：①当时，由题意得， ∴ ， ∴； ②当时， 由题意得， ∴ ， ∴； 综上所述，，． 54．已知点是直线上的一点，是三条射线，，是的平分线． (1)当时． 若射线在直线的同侧（图），，求的度数 根据中的结果，猜想和的数量关系是_______； 当与在直线两旁时（如图），设，请通过计算，用的代数式表示，说明中的关系是否仍然成立； (2)当，与在直线两旁时（如图），上述和的数量关系是否仍然成立？若成立，请仿照中的方法说明理由；若不成立，请写出和此时具备的数量关系并证明． 【答案】(1) ； ；成立，理由见解析； (2)，证明见解析． 【分析】（）根据已知角的度数求出，再根据平角定义求出的度数即可；由中求出的结果即可求解； 根据已知角的度数表示出，再根据平角定义表示出的度数，可得和的数量关系； （）依据前面的方法表示出，表示出，可得和 的数量关系； 本题考查了角的和差，角平分线的定义，正确认图是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴； 由中的结果可得， 故答案为：； 中的关系仍然成立，理由如下： ∵，， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， 即； （2）解：不成立，和的数量关系为． 证明：设， ∵，， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， 即． 55．如图，是内一条射线，且，是的平分线，是的平分线． (1)若，则 °， °； (2)小亮在思考第（1）问时产生一个猜想：当满足时，一定平分．你觉得他的这个猜想正确吗？若正确，请说明理由；若不正确，请求出当和之间满足怎样的数量关系时，一定平分，并说明理由． 【答案】(1)19，38 (2)正确，理由见解析 【分析】此题考查了角平分线的相关计算． （1）根据平分线定义求出，则，再利用角平分线定义求出，即可求出； （2）证明，，则，即可证明一定平分． 【详解】（1）解：∵是的平分线，， ∴， ∵， ∴， ∵是的平分线．， ∴， ∴ 故答案为：，． （2）正确，理由如下 ∴， ∴ 平分 ∵ ∴ ∴ ∴ ∵是的平分线． ∴ ∴ ∴平分. 56．已知O为直线上一点，射线位于直线上方，在的左侧，，． (1)如图1，当平分时，求的度数； (2)点F在射线上，若射线绕点O逆时针旋转（且），．当在内部（图2）和的两边在射线的两侧（图3）时，和的数量关系是否改变，若改变，说明理由，若不变，求出其关系． 【答案】(1) (2)不改变，，理由见解析 【分析】此题主要考查了角平分线的性质以及角的有关计算，解决问题的关键是根据角的和差关系进行计算． （1）利用角平分线和图形寻找出角之间的关系即可得到结论； （2）分两种情况，找出角之间的关系即可求出结论． 【详解】（1）解：∵平分， ∴， ∵． ∴， ∴， ∴； （2）解：①在内部时． 令，则，， ∴， ∴； ②的两边在射线的两侧时．令， 则，，， ∴， ∴． 综上可得，和的数量关系不改变，． 57．探究题：已知为直线上的一点，以为顶点作，射线平分． (1)如图1，若，则______，______； (2)若将绕点旋转至图2的位置，射线仍然平分，请写出与之间的数量关系，并说明理由； 【答案】(1)； (2)，理由见解析 【分析】本题考查了角平分线的定义以及角的计算，解题的关键是找出各个角之间的关系，利用数形结合的思想找出所求问题需要的条件． （1）利用角的加减，角平分线定义计算； （2）由图②，可以得到各个角之间的关系，从而可以得到和之间的数量关系； 【详解】（1）解： ，， ， ， 又射线平分， ， ； 故答案为：，； （2）解：；理由如下： 平分， ， ， ， ， ， ， 即； 58．已知，射线在的内部，．将射线绕点O逆时针旋转形成射线． (1)如图1，若，那么和的度数相等吗？为什么？ (2)作射线，使射线为的平分线． ①如图2，当射线恰好平分时，求的度数； ②如图3，设，试探究与之间有何数量关系？说明理由． 【答案】(1)相等，理由见解析 (2)①；②，理由见解析 【分析】本题考查了角平分线的定义，角的计算． （1）根据，，即可确定和两个角的大小； （2）①根据角平分线的定义可得，再由，可得，然后根据，即可求解； ②根据角平分线的定义可得，再由，可得，即可． 【详解】（1）解：和的度数相等．理由如下： ， ， ， ， ， 即和的度数相等； （2）解：如图， 射线恰好平分， ， 射线恰好平分， ， ， ， ， ， ， ， ， 即的度数是； ②答：数量关系是．理由如下： ， ， 射线平分， ， ， ， ， ， 即． 59．如图，是的角平分线，是内部的一条射线． (1)图中共有 个角； (2)若，且，求的度数； (3)若是的角平分线，试探究与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)6 (2) (3)，理由见解析 【分析】本题考查与角平分线有关的计算．理清角度之间的数量关系，和差关系，是解题的关键． （1）根据角的定义，写出所有角，即可； （2）根据，设，中点得到，根据，列出方程进行求解即可； （3）根据是的角平分线，得到，再根据，即可得出结论． 【详解】（1）解：图中有，共6个角； 故答案为：6； （2）∵， ∴设， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴， ∴； （3），理由如下： ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴ 60．如图，已知O是直线上的一点，是直角，平分． (1)如图1，若，求的度数； (2)将图1中的放置图2的位置，其他条件不变，探究和之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)．理由见解析 【分析】本题主要考查角度的计算和角平分线的特点，正确进行角度之间的转化是解题的关键． （1）根据是直角，可得，由平分，可得，从而可得． （2）先根据与之间的关系转化出，再根据这一关系代入化简即可得出． 【详解】（1）是直角，， ， 又平分， ， ． （2）．理由如下： 是直角，平分， ， ， ， ． 【题型7 定值问题】 61．如图1，点O在直线上，射线、在直线上方，，．    (1)若，请说明射线是的角平分线； (2)射线在直线上方，平分，， ①当时，求的度数 ②当时，是否存在常数k使得的值为定值？若存在，请求出常数k的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)①或；②存在；时，为定值 【分析】（1）先求出，根据，求出，求出，得出，即可证明结论； （2）①分两种情况：当在左侧时，当在左侧时，分别画出图形，求出结果即可； ②根据，，得出一定在内部，得出，，表示出，得出结果即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴射线是的角平分线． （2）解：设度，则度， ， ①当在左侧时，如图所示：    则， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴； 当在左侧时，如图所示：   ， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴； 综上分析可知，或； ②存在； ∵，， ∴一定在内部，如图所示：    ∵，， 又∵平分， ∴， ∵， ， ∴ ， ∴当，即时，为定值． 【点睛】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，角的倍数关系，一元一次方程的应用，解题的关键是数形结合，注意进行分类讨论． 62．点O 在直线上， 在直线 的下方作射线、， 满足（其中）， 将射线绕着点O逆时针旋转得到射线． (1)①如图1， 当时， 直接写出的度数_____； ②若比大，求出的值； (2)如图2，若，射线从开始绕着 O点以的速度逆时针旋转至结束，设旋转时间为t，射线是由射线绕O 点逆时针旋转得到，作射线平分，当 为定值时，求t的取值范围及对应的定值． 【答案】(1)①；②或或 (2)当时，，是定值 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，一元一次方程的应用： （1）①根据题意并结合图形可得，代入数据计算即可； ②分当，当时，当时，当时，四种情况画出图形讨论求解即可； （2）分当时， 当时，两种情况画出图形分别求出即可得到答案． 【详解】（1）解：①∵将射线绕着点逆时针旋转得到射线， ∴， ∵， ∴ ， ∴的度数为， 故答案为：； ②当， ∵将射线绕着点逆时针旋转得到射线， ∴， ∵，比大， ∴， ∵， ∴， 解得：； 当时， ∵将射线绕着点逆时针旋转得到射线， ∴， ∵，比大， ∴， ∵， ∴， 解得：； 当时，此时，不符合题意； 当时， ∵将射线绕着点逆时针旋转得到射线， ∴， ∵，比大， ∴， ∵， ∴， 解得：； 综上所述，的值为或或； （2）解：①当时，如图， ∵射线从开始绕着点以每秒的速度逆时针旋转，射线平分，射线绕着点逆时针旋转得到射线， ∴，，， ∴，， ∴， ∴，不是定值； 当时， ∵射线从开始绕着点以每秒的速度逆时针旋转，射线平分，射线绕着点逆时针旋转得到射线， ∴，，， ∴，， ∴， ∴，是定值； 综上所述，当时，，是定值． 63．已知，．平分，平分． (1)如图①，当重合时，求的值； (2)当从图①所示位置绕点O以每秒的速度顺时针旋转t秒（）；在旋转过程中的值是否会因t的变化而变化，若不发生变化，请求出该定值；若发生变化，请说明理由． 【答案】(1)； (2)不变，是定值，见解析． 【分析】本题考查了角度的计算以及角的平分线的定义，理解角度之间的和差关系是解题的关键． ∠AOE-∠BOF的值是定值， （1）首先根据角平分线的定义求得，，然后求解即可； （2）首先由题意可得，再根据角平分线的定义得出，，然后由角平分的定义解答即可． 【详解】（1）解：∵平分，平分， ∴，， ∴； （2）解：是定值．理由如下： 由题意：， 则，， ∵平分，平分， ∴， ， ． ∴的值是定值，定值为． 64．已知，，平分，平分．    (1)如图1，当重合时，求的度数； (2)当绕点顺时针旋转时（如图），的值是否为定值？若是定值，求出的值；若不是，请说明理由； (3)在第（2）小题条件下，若满足，求的值． 【答案】(1) (2)的值是定值；值为 (3)的值为 【分析】题主要考查了角的运算和角平分线的定义； （1）根据角平分线的定义即可得到结论； （2）根据角平分线的定义和角的和差即可得到结论； （3）根据角的和差，解方程即可得到结论． 【详解】（1）与重合 平分，即平分 ， 平分，即平分 ∴ （2）的值是定值．理由如下： 当时，根据图，，，， 平分 平分 的值是定值． （3）当时，根据图2，，， ∴ ∵ ∴ 由（2）可知 ∴ 解得 的值为． 65．如图，把一副三角尺拼在一起，其中三角形是等腰直角三角形，，并且B，C，E三点在同一直线上．    (1)如图1，求的度数； (2)如图2，若射线，分别从，位置开始，同时绕点以每秒的速度顺时针匀速旋转，平分，平分，设旋转的时间为秒． ①当时，的度数是否等于一个定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由； ②当为何值时，？ 【答案】(1)； (2)①是，；②6秒或30秒． 【分析】本题考查了结合图形中角度的计算，角平分线的定义，一元一次方程的应用； （1）根据三角形是等腰直角三角形，，得出，进而即可求解； （2）①当时，，．根据角平分线的定义可得，，进而求得，根据即可求解； ②当时，由①可得，，．分别求得，根据建立方程，当时，同理可得，根据建立方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：∵三角形是等腰直角三角形，， ．． （2）①的度数是等于一个定值为，理由如下． ，旋转速度相同， 设， 当时，则，． 平分，． 平分，． ． ． ②当时，由①可得， ，． ． 当时，则， 解得． 秒．    当时， ，旋转速度相同， 设， ，，． 平分， ． 平分， ． ． ． 当时，则， 解得． ． 综上，秒或30秒时，．    66．如图，两条直线，相交于点O，且，射线（与射线重合）绕点O逆时针方向旋转，速度为，射线（与射线重合）绕点O顺时针方向旋转，速度为.两射线，同时运动，运动时间为t秒（本题出现的角均指小于平角的角）. (1)图中一定有______个直角；当时，的度数为______，的度数为______，的度数为______； (2)当时，若，试求出t的值. (3)当时，探究的值，在t满足怎样的条件时是定值，在t满足怎样的条件时不是定值? 【答案】(1)4，，，； (2)t的值为或10； (3)时，不是定值，当时，是定值，定值是3． 【分析】本题考查角度的计算综合题，解题的关键是掌握角度和差关系的运用，将角度用t表示出来，列方程进行求解，需要注意进行分类讨论． （1）根据两条直线，交于点O，，可得四个直角，当时，根据射线运动速度求出角度； （2）分两种情况讨论，当时和当时，根据列出方程进行求解； （3）先判断当为平角时t的值，再分两种情况讨论，当时和当时，分别计算的值即可． 【详解】（1）∵，， ∴， ∴， ∴一定有4个直角， 当时， ， ， ∴， ， ， 故答案为：4，，，； （2）当与重合时，， 当与重合时，， ①如图，当时，，， ∵， ∴， 解得； ②如图，当时，，， ∵， ∴， 解得； 综上：若，则t的值为或10； （3）当时，， ∴，解得， ①如图，当时， ，， ， ∴； ②如图，当时， ，， ， ∴， 综上：当时，不是定值，当时，是定值，定值是3． 67．已知． (1)如图1，在的内部，且，则______； (2)如图2，在的内部，是四等分线，且，求的值； (3)如图3，，射线绕着点从开始以5度/秒的速度逆时针旋转一周至结束，在旋转过程中，设运动的时间为是四等分线，且，当在某个范围内时，会为定值，请直接写出定值，并指出对应的范围（本题中的角均大于且不超过）． 【答案】(1) (2) (3)当时，是定值，；当时，是定值， 【分析】本题考查了角的和差倍分计算，构造一元一次方程计算是解题的关键． (1)根据，设，则．根据列出方程求解即可． (2)根据是四等分线，设，则．根据题意列出方程求解即可． (3)根据题意，，则，根据是四等分线．根据题意列出方程求解即可． 【详解】（1）∵， 设，则． ∵，， ∴， 解得， 故， 故答案为：． （2）∵是四等分线，设，则， ∴． （3）根据题意，，则， ∵是四等分线， ∴ ∴ ∴． 故当时，是定值，； 当时，根据题意，，则， ∵是四等分线， ∴ ∴ ∴． 故是定值， 当时，是定值，；当时，是定值，． 68．已知，，平分，平分．    (1)如图1，当，重合时，求的值； (2)如图2，当从图1所示的位置开始绕点以每秒的速度顺时针旋转．在旋转过程中， 的值是否会因的变化而变化？若不变化，请求出该定值；若变化，请说明理由； (3)在（2）的条件下，求当旋转多少秒时，． 【答案】(1) (2)不变， (3) 【分析】（1）首先根据角平分线的定义求得和的度数，然后根据求解； （2）首先由题意得，再根据角平分线的定义得，，然后由角平分线的定义解答即可； （3）根据题意得，故，解方程即可求出的值． 【详解】（1）解：因为平分，平分， 所以，． 所以； （2）解：的值是定值． 根据题意，得：，则，． 因为平分，平分， 所以，， 所以； （3）解：根据题意，得， 所以， 解得， 所以当旋转时，． 【点睛】本题考查的是角的和与差、角平分线定义，对角的和与差及角平分线定义的理解是解题关键． 69．问题情境：如图，直线，相交于点．把分成两个角，且． 问题提出： (1)若，求的度数． (2)如果，平分，那么是的平分线吗？试说明理由． 问题解决： (3)若，则是否为定值？若是，请求出定值：若不是，求说明理由． 【答案】(1) (2)是，理由见解析 (3)定值， 【分析】（1）由对角相等，先求出．然后根据即可求解； （2）结合（1）的结论，求出，然后再求即可作出判断； （3）设，则，然后用的代数式把，表示出来，即可求解． 【详解】（1）解：，， ， 又， ； （2）由（1）知当时，， ， 平分， ， ， 是的平分线； （3）是定值，理由如下： 设， 则， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了角度的和差倍分关系，角平分线的定义，关键是掌握对顶角相等，角平分线的意义，用代数式表示角的和差倍分关系． 70．定义：若，且，则我们称是的差余角．例如：若，则的差余角， (1)如图1，点O在直线AB上，射线OE是∠BOC的角平分线，若∠COE是∠AOC的差余角，求∠BOE的度数； (2)如图2，点O在直线AB上，若∠BOC是∠AOE的差余角，那么∠BOC与∠BOE有什么数量关系； (3)已知，点O在直线AB上，若∠COE是∠AOC的差余角，且OE与OC在直线AB的同侧，请你探究是否为定值？若是，请求出定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)∠BOE＝30° (2)∠BOC＋∠BOE＝90° (3)是定值， 【分析】（1）根据角平分线的定义得到∠COE＝∠BOE＝∠BOC，根据题意得到∠AOC−∠COE＝∠AOC−∠BOC＝90°，于是得到结论； （2）根据角的和差即可得到结论； （3）如图3，由∠COE是∠AOC的差余角，得到∠AOC＝90°＋∠COE，∠BOC＝90°−∠COE，如图4，由∠COE是∠AOC的差余角，得到∠AOC＝90°＋∠COE，于是得到结论． 【详解】（1）解：∵OE是∠BOC的角平分线， ∴∠COE＝∠BOE＝∠BOC， ∵∠COE是∠AOC的差余角， ∴∠AOC−∠COE＝∠AOC−∠BOC＝90°， ∵∠AOC＋∠BOC＝180°， ∴∠BOC＝60°， ∴∠BOE＝30°； （2）∵∠BOC是∠AOE的差余角， ∴∠AOE−∠BOC＝∠AOC＋∠COE−∠COE−∠BOE＝∠AOC−∠BOE＝90°， ∵∠AOC＋∠BOC＝180°， ∴∠BOC＋∠BOE＝90°； （3）是定值2， 理由：如图3，∵∠COE是∠AOC的差余角， ∴∠AOC−∠COE＝∠AOE＝90°， ∴∠AOC＝90°＋∠COE，∠BOC＝90°−∠COE， ∴＝＝2（定值）； 如图4，∵∠COE是∠AOC的差余角， ∴∠AOC−∠COE＝90°， ∴∠AOC＝90°＋∠COE， ∵∠BOC＝180°−∠AOC＝180°−（90°＋∠COE）＝90°−∠COE， ∴＝＝2（定值）， 综上所述，为定值． 【点睛】本题考查了新定义，角平分线的定义，角的和差的计算，正确的理解题意是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$