专题11 线段相关解答题按梯度分类训练（5种类型50道）-2024-2025学年七年级数学上册期末复习高频考题专项训练（浙教版2024）

专题08 期末应用题分类训练1 （行程工程配套销售积分5种类型50道） 目录 【题型1 补全解答过程】 1 【题型2 比例相关的线段问题】 4 【题型3 中点相关的线段问题】 6 【题型4 三等分点相关的线段问题】 7 【题型4 动点问题】 9 【题型1 补全解答过程】 1． 如图，点C为线段上一点，D为线段的中点， (1)若，，求的长．根据题意，补全解题过程． 解∶ ∵D为线段的中点，， ∴ ．（线段中点的定义）        ∵ ，， ∴ ． (2)若，，且，求的值． 2．补全解题过程：如图，已知线段，延长至点C，使，点P，Q分别是线段和的中点，求的长． 解：因为，， 所以． 所以　　　　　　　　　　　　　　． 因为点P，Q分别是线段和的中点， 所以　　　　　　　　　　　　　　． 　　　　　　　　　　　　　　． 所以　　　　　　　　　　　　　　． 3．补全解题过程． 如图所示点是线段的中点，点在线段上，且．若，求线段的长．    解：点是线段的中点，（已知） ．（ ） ，（已知） ． 点在线段上，，（已知） ． ． ． 4．已知：如图，AC=2BC，D为AB中点，BC=3，求CD的长． 请你补全下面的解题过程： 解：∵AC=2BC，BC=3 ∴AC=______． ∴AB=AC+BC=______． ∵______． ∴BD=______=______． ∴CD=BD-BC=______． 5．问题：如图，线段AC上依次有D，B，E三点，其中点B为线段AC的中点，AD=BE，若DE=4，求线段AC的长． 请补全以下解答过程． 解： ∵D，B，E三点依次在线段AC上， ∴DE= +BE ∵AD=BE       ∴DE=DB+ （            ）， 即DE=AB ∵DE=4         ∴AB=4 又∵点B为线段AC的中点， ∴AC= =8   （              ） 6．补全解题过程． 如图所示，点是线段的中点，延长线段至点，使，若，求线段的长． 解：∵点是线段的中点（已知） ∴______（_______________________） ∵（已知） ∴______． ∵延长线段至点，使（已知） ∴______． ∴____________． 7．问题：如图，点C是线段的中点，点D在线段上，点E是线段的中点． 若，求线段的长． 请补全以下解答过程． 解：∵点C是线段的中点，__________________， ∴，． ∵________， ∴_______． ∵， ∴_______． 8．根据题意，补全解题过程： 如图，点为线段上一点，为线段中点，为线段中点，若，，求的长度． 解：为线段中点，， __________________． 为线段中点，， ________________________________． ________________， ________________． 9．补全解题过程： 已知：如图，点在线段上，，点是线段的中点．，求线段的长． 解：∵点是线段的中点， ∴______＝______ ∵______ ∵ ∴______ ∴______ ∴______ 10．如图，已知点C是线段AB的中点，点D在线段CB上，点E是线段AD中点，若，求线段DB的长．请你补全以下解答过程： ∵点C是线段AB的中点，点E是线段AD中点， ∴，______， ∵______， ∴______（______）______， 又∵， ∴______． 【题型2 比例相关的线段问题】 11．如图，点B、C是线段上的两点，且．若点M是线段的中点，，求线段和的长． 12．在一条直线上有四点，已知点C在线段上，，且．求的长． 13．如图，已知线段，延长至C，使得． (1)求的长； (2)若D是的中点，E是的中点，求的长． 14．如图，线段，点C是线段的中点，点D是线段的中点． (1)如图①，求线段的长； (2)如图②，点N是线段上的一点，且满足，求的长度． 15．如图，，两点把线段分成三部分，，分别是，的中点，且，求的长． 16．如图，是线段的中点，点在线段上，是线段的中点． (1)若，，求的长； (2)若，，求的长． 17．已知：如图，B、C是线段上两点，且，M是的中点，，求线段的长． 18．如图，点在线段上，且，点是的中点，若，求线段的长． 19．已知：如图，点D是线的中点，点E是线段的中点，且． (1)若，求的长； (2)若，求的长． 20．如图，已知线段，，点M是的中点． (1)求线段的长； (2)在上取一点N，使得，求线段的长． 【题型3 中点相关的线段问题】 21．如下图所示，点P在线段上，，M为的中点，N为的中点．求的长． 22．如图，为线段延长线上一点，为线段上一点，，． (1)若，求的长； (2)若，为的中点，求的长． 23．如图，C是线段上一点，M是线段的中点，N是线段的中点． (1)若，求的长； (2)若，求的长； (3)若，求的长； (4)指出与之间的大小关系． 24．如下图，C为线段的中点，线段．求线段的长． 25．如下图，是直线l上的四个点，分别是的中点． (1)，则_______； (2)若，则_______； (3)若，求的长． 26．如图，点C，D 是线段上两点，若 且点D 是线段的中点，求线段的长． 27．如图，已知线段，延长至，使得． (1)求的长； (2)若是的中点，是的中点，求的长． 28．如图，是线段上的一点，且，，为的中点，为的中点． (1)线段的长为 ___________； (2)求线段的长． 29．如图，已知五点在同一直线上，是线段的中点，点是线段的中点，线段． (1)写出的数量关系； (2)求线段的长． 30．如图，线段，C是线段的中点，M是线段上的一点，，N是线段的中点．求线段的长． 【题型4 三等分点相关的线段问题】 31．如图，已知线段，M、N为线段的三等分点． (1)写出图中所有线段； (2)求这些线段长度的和． 32．定义：若线段上的一个点把这条线段分成的两条线段，则称这个点是这条线段的三等分点． (1)如图1，点是线段的一个三等分点，满足，若，则________． (2)如图2，已知，点从点出发，点从点出发，两点同时出发，都以每秒的速度沿射线方向运动秒． ①当为何值时，点是线段的三等分点． ②在点，点开始出发的同时，点也从点出发，以每秒的速度沿射线方向运动，在运动过程中，点，点分别是，的三等分点，请直接写出的值． 33．如图，已知线段，点C是的中点，点D是的三等分点，且点D在点C的右边． (1)若，求的长； (2)在线段上是否存在一点E，使得点E是的中点，同时点C也是的中点？若存在，请用圆规找出点E的位置，并说明理由；若不存在，请说明理由． 34．如图，为线段上一点，点为的中点，已知． (1)求的长； (2)若点是线段上靠近点A的三等分点，求的长． 35．如图，C是线段的中点，D是线段的三等分点且在点C的左侧． (1)图中共有________条线段 (2)若线段的长为30，求线段的长． (3)设线段的长为，若是直线上一点，且，求线段的长． 36．如图，点B是线段上一点，D是的三等分点（D靠近A），E是的中点，若，求的长． 37．如图，点C是线段的中点，点D是线段的一个三等分点． (1)图中共有________条线段，其中以点A为端点的线段有_________条． (2)若，求线段的长． 38．如图，C为线段AD上一点，点B是线段CD的中点，，． (1)求线段AC的长； (2)若点E是线段AB的三等分点，求线段DE的长． 39．如图，点B、C在线段AD上，且AB：BC：CD＝2：3：4，点M是线段AC的中点，点N是线段CD上的一点，且MN＝9． （1）若点N是线段CD的中点，求BD的长； （2）若点N是线段CD的三等分点，求BD的长． 40．如图，，是线段的三等分点，是线段上一点，比长，求的长． 【题型4 动点问题】 41．如图，线段，C为的中点，点P从点A出发，以的速度沿线段向右运动，到点B停止；点Q从点B出发，以1cm/s的速度沿线段向左运动，到点A停止．若两点同时出发，当其中一点停止运动时，另一点也随之停止．设点P的运动时间为x（x＞0）s． (1) ． (2)是否存在某一时刻，使得这三点中，有一点恰为另外两点所连线段的中点？若存在，求出所有满足条件的x的值；若不存在，请说明理由． 42．如图，点B在线段上，且，．动点P从点A出发，沿以每秒4个单位长度的速度向终点C匀速运动；同时动点Q从点C出发，沿以每秒2个单位长度的速度向终点A匀速运动．设点Q的运动时间为． (1)线段、的中点之间的距离为_______． (2)当点P到点C时，求的长． (3)求的长（用含t的代数式表示）． (4)设时，直接写出t的值． 43．已知：如图，点是线段上一定点，，两点分别从点出发以、的速度在直线上运动，运动方向如图中箭头所示（点在线段上，点在线段上）    (1)若，当点、运动了，此时 ， ；（直接填空） (2)当点运动了时，求的值． (3)若点、运动时，总有，则 （填空） (4)在（3）的条件下，是直线上一点，且，求的值． 44．【问题背景】如图，P是线段上一点，，C，D两动点分别从点P，B同时出发沿射线向左运动，其中一点到达点A处即两动点均停止运动． 【问题探究】（1）点C，D的速度分别是， ①若，当动点C，D运动了2s时，求的长度； ②若经过t秒，点C到达中点时，点D也刚好到达的中点，求t的值； 【问题解决】（2）动点C，D的速度分别是，，点C，D在运动时，总有，求的长度． 45．如图，是线段上一点，，，两动点分别从点，同时出发沿射线向左运动，到达点处即停止运动． (1)若点，的速度分别是，． ①若，当动点，运动了时，求的值； ②若点到达中点时，点也刚好到达的中点，求； (2)若动点，的速度分别是，，点，在运动时，总有，求的长度． 46．已知：如图1，M是定长线段上一定点，C、D两点分别从M、B出发以、的速度沿直线向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段上，D在线段上） (1)若，当点C、D运动了，求的值． (2)若点C、D运动时，总有，直接填空： ___________． (3)在（2）的条件下，N是直线上一点，且，求的值． 47．已知：如图，点M是线段上一定点，，C、D两点分别从M、B出发以、的速度沿直线向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段上，D在线段上） (1)若，当点C、D运动了，此时 ， ；（直接填空） (2)当点C、D运动了，求的值； (3)若点C、D运动时，总有，则 ；（直接填空） (4)在（3）的条件下，是直线上一点，且，求的值． 48．如图，已知直线l上有两条可以左右移动的线段：，且m，n满足，点M，N分别为中点．    (1)求线段的长； (2)线段以每秒4个单位长度向右运动，线段以每秒1个单位长度也向右运动．若运动6秒后，，求此时线段的长； (3)若，将线段固定不动，线段以每秒4个单位速度向右运动，在线段向右运动的某一个时间段t内，始终有为定值．求出这个定值，并直接写出t在哪一个时间段内． 49．如图，C是线段上一点，，，点P从A出发，以的速度沿向右运动，终点为B；点Q从点B出发，以的速度沿向左运动，终点为A．已知P、Q同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设点P运动时间为ts． (1)当P、Q两点重合时，求t的值； (2)是否存在某一时刻，使得C、P、Q这三个点中，有一个点恰好是另外两点所连线段的中点？若存在，求出所有满足条件的t值；若不存在，请说明理由． 50．如图，P是线段上一点，，C，D两动点分别从点P，B同时出发沿射线向左运动，到达点A处即停止运动．    (1)若点C，D的速度分别是，． ①当动点C，D运动了2s，且点D仍在线段上时，_________cm； ②若点C到达中点时，点D也刚好到达的中点，则_________； (2)若动点C，D的速度分别是，，点C，D在运动时，总有，求的长 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 期末应用题分类训练1 （行程工程配套销售积分5种类型50道） 目录 【题型1 补全解答过程】 1 【题型2 比例相关的线段问题】 9 【题型3 中点相关的线段问题】 15 【题型4 三等分点相关的线段问题】 22 【题型4 动点问题】 31 【题型1 补全解答过程】 1． 如图，点C为线段上一点，D为线段的中点， (1)若，，求的长．根据题意，补全解题过程． 解∶ ∵D为线段的中点，， ∴ ．（线段中点的定义）        ∵ ，， ∴ ． (2)若，，且，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了求两点之间的距离和线段的中点定义，能够求出的长是解此题的关键． （1）根据线段中点定义求出，代入求出即可； （2）根据线段中点定义表示出，代入求出即可； 【详解】（1）解∶ ∵D为线段的中点，， ∴ ∵，， ∴； （2）∵，D为线段的中点， ∴ ∵，，且， ∴ ∴整理得． 2．补全解题过程：如图，已知线段，延长至点C，使，点P，Q分别是线段和的中点，求的长． 解：因为，， 所以． 所以　　　　　　　　　　　　　　． 因为点P，Q分别是线段和的中点， 所以　　　　　　　　　　　　　　． 　　　　　　　　　　　　　　． 所以　　　　　　　　　　　　　　． 【答案】；，12；，4；，8 【分析】本题考查的是两点间的距离，线段中点的定义，掌握线段的和差的计算方法、中点的定义是解题的关键．结合图形、根据线段中点的定义计算． 【详解】解：因为，， 所以． 所以． 因为点P，Q分别是线段和的中点， 所以． ． 所以． 3．补全解题过程． 如图所示点是线段的中点，点在线段上，且．若，求线段的长．    解：点是线段的中点，（已知） ．（ ） ，（已知） ． 点在线段上，，（已知） ． ． ． 【答案】线段中点定义；12；；4；；2 【分析】本题考查了线段中点的含义，线段的和等知识．根据线段中点定义求出，求出，代入求出即可． 【详解】解：点是线段的中点（已知）， （线段中点定义）， （已知）， ， 点在线段上，（已知）， ， ， ， 故答案为：线段中点定义；12；；4；；2． 4．已知：如图，AC=2BC，D为AB中点，BC=3，求CD的长． 请你补全下面的解题过程： 解：∵AC=2BC，BC=3 ∴AC=______． ∴AB=AC+BC=______． ∵______． ∴BD=______=______． ∴CD=BD-BC=______． 【答案】见解析. 【分析】根据图形，CD=BD-BC=AB-BC，依据条件求出AB，再代入数值即可得出CD的长． 【详解】∵AC=2BC，BC=3 ∴AC=6， ∴AB=AC+BC=9， 又∵D为AB中点 ∴BD=AB=4.5， ∴CD=BD-BC=1.5． 故答案为6，9，D为AB中点，AB，4.5，1.5． 【点睛】本题考查的是线段的长度计算，利用线段的和、差、倍、分进行计算是解题的关键． 5．问题：如图，线段AC上依次有D，B，E三点，其中点B为线段AC的中点，AD=BE，若DE=4，求线段AC的长． 请补全以下解答过程． 解： ∵D，B，E三点依次在线段AC上， ∴DE= +BE ∵AD=BE       ∴DE=DB+ （            ）， 即DE=AB ∵DE=4         ∴AB=4 又∵点B为线段AC的中点， ∴AC= =8   （              ） 【答案】DB ； AD ， 等量代换 ； 2AB ，中点定义 【分析】先根据AD=BE求出AB=DE，再根据线段的中点的定义解答即可； 【详解】∵D，B，E三点依次在线段AC上， ∴DE= DB+BE， ∵AD=BE， ∴DE=DB+ AD（ 等量代换）， 即DE=AB， ∵DE=4 ， ∴AB=4 ， 又∵点B为线段AC的中点， ∴AC= 2AB =8 （中点定义 ）， 故答案为：DB、AD、等量代换、2AB、中点定义； 【点睛】本题考查了两点间的距离，主要利用了线段中点的定义并着重训练同学们的逻辑推理能力； 6．补全解题过程． 如图所示，点是线段的中点，延长线段至点，使，若，求线段的长． 解：∵点是线段的中点（已知） ∴______（_______________________） ∵（已知） ∴______． ∵延长线段至点，使（已知） ∴______． ∴____________． 【答案】2BC（线段中点的定义）；6；2；BC，5 【分析】根据线段中点的定义求出AB，根据已知求出BD，代入BC+BD即可求解． 【详解】解：∵点是线段的中点（已知） ∴2BC（线段中点的定义） ∵（已知） ∴6． ∵延长线段至点，使（已知） ∴2． ∴BC5． 故答案为：2BC（线段中点的定义）；6；2；BC，5． 【点睛】本题考查了求两点之间距离以及线段中点的定义，能够求出BD的长是解答本题的关键． 7．问题：如图，点C是线段的中点，点D在线段上，点E是线段的中点． 若，求线段的长． 请补全以下解答过程． 解：∵点C是线段的中点，__________________， ∴，． ∵________， ∴_______． ∵， ∴_______． 【答案】点E是线段的中点，AD，2AC，6 【分析】先根据点C是线段AB的中点，点E是线段AD的中点，得到AB=2AC，AD=2AE，再根据DB=AB-AD，等量代换可得DB=2EC，进而求出线段DB的长． 【详解】解：∵点C是线段的中点，点E是线段的中点， ∴，． ∵AD， ∴2AC． ∵， ∴6． 故答案为：点E是线段的中点，AD，2AC，6． 【点睛】本题考查的是两点间的距离，以及线段的中点，解答此类问题时要注意各线段之间的和、差关系． 8．根据题意，补全解题过程： 如图，点为线段上一点，为线段中点，为线段中点，若，，求的长度． 解：为线段中点，， __________________． 为线段中点，， ________________________________． ________________， ________________． 【答案】，，，，． 【分析】由中点定义得BE=AE=，由中点定义得 ，由线段的和差计算EF=EB+BF=即可． 【详解】解：为线段中点，， ． 为线段中点，， ． ， ． 故答案为：；；；；． 【点睛】本题考查线段的中点，线段的和差计算，掌握线段的中点的性质，会利用线段的和差计算求线段是解题关键． 9．补全解题过程： 已知：如图，点在线段上，，点是线段的中点．，求线段的长． 解：∵点是线段的中点， ∴______＝______ ∵______ ∵ ∴______ ∴______ ∴______ 【答案】BD，6，AB，3，2，1． 【分析】根据线段中点的的定义和线段的和差即可得到结论． 【详解】解：∵点是线段的中点， ∴BD＝6 ∵AB ∵ ∴3 ∴2 ∴1 故答案为：BD，6，AB，3，2，1． 【点睛】本题考查了两点间的距离，中点的定义，线段的计算，熟练掌握线段中点的定义是解本题的关键． 10．如图，已知点C是线段AB的中点，点D在线段CB上，点E是线段AD中点，若，求线段DB的长．请你补全以下解答过程： ∵点C是线段AB的中点，点E是线段AD中点， ∴，______， ∵______， ∴______（______）______， 又∵， ∴______． 【答案】AE，AD，2AE，AC，EC，8 【分析】根据点C是线段AB的中点，即可知AC=BC，AB=2AC，AD=2AE，再根据DB=AB-AD，将AB和AD用2AC和2AE代替即可找到DB与EC的关系进而求解． 【详解】解：∵点C是线段AB的中点，点E是线段AD的中点， ∴AB=2AC，AD=2AE ∵DB=AB-AD， ∴DB=2AC-2AE=2（AC-AE）=2EC． ∵EC=4， ∴DB=8． 故答案为：AE，AD，2AE，AC，EC，8． 【点睛】本题考查了两点间的距离以及推理过程的完整书写，理解DB=AB-AD，并将AB和AD用2AC和2AE代替是解题的关键． 【题型2 比例相关的线段问题】 11．如图，点B、C是线段上的两点，且．若点M是线段的中点，，求线段和的长． 【答案】， 【分析】本题考查了与线段中点有关的计算、线段的和差，由题意得出，，从而求出，再由线段的中点得出，最后由计算即可得解． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴． ∵点M是线段的中点， ∴． ∴． 12．在一条直线上有四点，已知点C在线段上，，且．求的长． 【答案】的长为或 【分析】本题考查了线段长短的计算，根题意分别画出图形和掌握分类讨论的思想成为解答本题的关键． 先根据题意画出图①、图②， 根据题意，需分以下2种情况：当点D在线段上时，当点D在线段的延长线上时，然后分别根据线段的和差列式解答即可． 【详解】解：①当点D在线段上时，如图①． 因为，所以． 因为，所以， 所以， 所以． ②当点D在线段的延长线上时，如图②． 因为，所以． 因为，所以， 所以， 所以． 综上所述，的长为或． 13．如图，已知线段，延长至C，使得． (1)求的长； (2)若D是的中点，E是的中点，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了与线段中点有关的线段和差计算： （1）先求出，再由即可得到答案； （2）先根据线段中点的定义得到，再根据即可求出答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴； （2）解：∵D是的中点，E是的中点，，， ∴， ∴． 14．如图，线段，点C是线段的中点，点D是线段的中点． (1)如图①，求线段的长； (2)如图②，点N是线段上的一点，且满足，求的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查两点间的距离，掌握线段中点的定义是正确解答的关键． （1）根据线段中点的定义以及图形中线段的和差关系进行计算即可； （2）由线段的比例关系以及线段中点的定义进行计算即可． 【详解】（1）解：点C是线段的中点， ， 又点D是线段的中点，， ； （2）解： ， ， ∴ ． 15．如图，，两点把线段分成三部分，，分别是，的中点，且，求的长． 【答案】． 【分析】本题考查了关于线段的中点的计算，线段的和差的计算，由题意求出，，则，再根据中点和线段和差即可求解，读懂题意熟练运用线段的和差倍分是解题的关键． 【详解】∵，两点把线段分成三部分，， ∴，， ∴ ∵，分别是，的中点， ∴，， ∴． 16．如图，是线段的中点，点在线段上，是线段的中点． (1)若，，求的长； (2)若，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了与线段中点有关的计算、线段的和差，熟练掌握以上知识点，找准线段之间的关系是解此题的关键． （1）由线段中点的定义得出，再结合计算即可得解； （2）设，则．由线段中点的定义得出，根据求出，再结合即可得解． 【详解】（1）解：是线段的中点，， ． ， ∴． （2）解：∵， ∴设，则． 是线段的中点， ∴． ∵，即， 解得． ∵， ． 17．已知：如图，B、C是线段上两点，且，M是的中点，，求线段的长． 【答案】12 【分析】本题考查，线段的和差，线段中点，一元一次方程．利用方程的思想求解是解题的关键． 根据线段的比例，可设未知数，根据线段的和差，可得AD的长度，根据线段中点的性质，可得MD的长，根据线段的和差，可得方程，求解方程，即可求得答案． 【详解】解∶设，，，则， ∵M是的中点， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴． 18．如图，点在线段上，且，点是的中点，若，求线段的长． 【答案】 【分析】本题考查了与线段中点有关的计算、线段的和差、一元一次方程的应用，令，则，，由线段的中点得出，结合建立方程求出的值，即可得解． 【详解】解：∵， ∴令，则， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴． 19．已知：如图，点D是线的中点，点E是线段的中点，且． (1)若，求的长； (2)若，求的长． 【答案】(1)5 (2)20 【分析】本题主要考查了线段中点的有关计算，线段和差的相关计算． （1）先求出， 再根据线段中点即可得出． （2）由已知条件可得出，由线段中点的定义得出，，由线段的和差关系可得出，即可求出，进一步即可得出 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵点D是线的中点， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵点D是线的中点，点E是线段的中点， ∴，， ∴， 解得：， ∴ 20．如图，已知线段，，点M是的中点． (1)求线段的长； (2)在上取一点N，使得，求线段的长． 【答案】(1)4 (2)10 【分析】本题主要考查了线段中点的有关计算，以及线段的和差关系以及线段比例的计算． （1）由线段的和差关系得出，再根据线段中点的定义求解即可． （2）先根据线段的比例求出，再根据线段的和差关系得出即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵点M是的中点． ∴ （2）∵，， ∴， 由（1）知， ∴ 【题型3 中点相关的线段问题】 21．如下图所示，点P在线段上，，M为的中点，N为的中点．求的长． 【答案】 【分析】本题考查的是线段的和差关系、线段中点的含义等知识点，利用线段的中点与和差关系求解线段的长度是解题的关键． 由线段的中点的定义可得，然后根据线段的和差即可解答． 【详解】解：由题意，得． 所以． 22．如图，为线段延长线上一点，为线段上一点，，． (1)若，求的长； (2)若，为的中点，求的长． 【答案】(1)15 (2)9 【分析】本题主要考查线段和线段的中点，掌握线段和差计算，数形结合分析方法是解题关键． （1）根据，可求得，据此即可求得答案； （2）先求得，进而可求得，根据线段中点的定义，可求得． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． （2）解：∵， ∴． ∵， ∴． ∵是的中点， ∴， ∴． 23．如图，C是线段上一点，M是线段的中点，N是线段的中点． (1)若，求的长； (2)若，求的长； (3)若，求的长； (4)指出与之间的大小关系． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查与线段中点有关的计算，熟练掌握线段的中点平分线段，是解题的关键： （1）中点求出的长，再利用线段的和差关系求解即可； （2）根据中点结合线段的和差关系，得到，即可得出结果； （3）根据，即可得出结果； （4）由（2）即可得出结论． 【详解】（1）解：∵M是线段的中点，N是线段的中点，， ∴， ∴； （2）∵M是线段的中点，N是线段的中点， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）由（2）知：， ∵， ∴； （4）由（2）知：． 24．如下图，C为线段的中点，线段．求线段的长． 【答案】 【分析】本题主要考查线段的和差关系及线段中点的性质，熟练掌握线段中点的性质是解题的关键；由题意易得，然后问题可求解 【详解】解：因为C为线段的中点，线段， 所以， 因为， 所以． 25．如下图，是直线l上的四个点，分别是的中点． (1)，则_______； (2)若，则_______； (3)若，求的长． 【答案】(1)11； (2)9； (3)． 【分析】本题主要考查了线段的和差，中点的定义， 对于（1），先根据中点定义求出，再根据得出答案； 对于（2），先求出，再根据中点定义求出，最后根据得出答案； 对于（3），仿照（2）解答即可． 【详解】（1）因为，点M，N是的中点， 所以． 因为， 所以． 故答案为：11； （2）因为， 所以． 因为点M，N是的中点， 所以， 所以， 所以（cm）. 故答案为：9； （3）因为， 所以． 因为分别是的中点， 所以， 所以． 因为， 所以． 26．如图，点C，D 是线段上两点，若 且点D 是线段的中点，求线段的长． 【答案】 【分析】本题主要考查了与线段中点有关的线段和差计算，先由线段中点的定义求出的长，再由线段的和差关系即可求出线段的长． 【详解】解：∵点D 是线段的中点，， ∴， ∵ ， ∴． 27．如图，已知线段，延长至，使得． (1)求的长； (2)若是的中点，是的中点，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查两点间的距离，利用中点求线段长． （1）首先根据求出，根据题意知，即可得到本题答案； （2）利用中点分别求出，，再利用线段和差即可得到本题答案． 【详解】（1）解：∵线段， ， ∴， ∴； （2）解：∵D是的中点，E是的中点， ∴，， ∴． 28．如图，是线段上的一点，且，，为的中点，为的中点． (1)线段的长为 ___________； (2)求线段的长． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）根据，，得，据此可得的长； （）根据，为的中点得，再由（）可知，则，然后根据为的中点得，由此可得的长． 此题主要考查了线段中点的定义，线段的计算，理解线段中点的定义，熟练掌握线段的计算是解题的关键． 【详解】（1）解：∵是线段上的一点， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 故答案为：． （2）解：∵，为的中点， ∴， 由（）可知， ∴， 又∵为的中点， ∴， ∴． 29．如图，已知五点在同一直线上，是线段的中点，点是线段的中点，线段． (1)写出的数量关系； (2)求线段的长． 【答案】(1) (2)6 【分析】本题考查了两点间的距离，能求出是解此题的关键． （1）根据线段的中点求出，求出即可； （2）根据（1）得出，再求出即可． 【详解】（1）解：∵是线段的中点，点是线段的中点， ∴， ∴ ， 即的数量关系是； （2）解：由（1）知：， ∴， 即． 30．如图，线段，C是线段的中点，M是线段上的一点，，N是线段的中点．求线段的长． 【答案】4 【分析】本题主要考查中点的定义，掌握中点的定义是正确解答的关键．根据线段中点的定义，结合图形中线段之间的和差关系进行计算即可． 【详解】∵，C是线段的中点， ∴， 又∵， ∴， ∵N是线段的中点． ∴， ∴． 【题型4 三等分点相关的线段问题】 31．如图，已知线段，M、N为线段的三等分点． (1)写出图中所有线段； (2)求这些线段长度的和． 【答案】(1)线段，线段，线段，线段，线段，线段 (2) 【分析】本题主要考查了线段的定义、线段的三等分点等知识点，根据三等分点确定各线段的长度成为解题的关键． （1）根据线段的定义确定各线段即可； （2）根据线段的三等分点可得，， ，然后求出各线段的和即可． 【详解】（1）解：图中的线段有：线段，线段，线段，线段，线段，线段． （2）解：∵线段，M、N为线段的三等分点， ∴， ， ， ∴这些线段长度的和是． 32．定义：若线段上的一个点把这条线段分成的两条线段，则称这个点是这条线段的三等分点． (1)如图1，点是线段的一个三等分点，满足，若，则________． (2)如图2，已知，点从点出发，点从点出发，两点同时出发，都以每秒的速度沿射线方向运动秒． ①当为何值时，点是线段的三等分点． ②在点，点开始出发的同时，点也从点出发，以每秒的速度沿射线方向运动，在运动过程中，点，点分别是，的三等分点，请直接写出的值． 【答案】(1)3 (2)①当为或时，点是线段的三等分点；②的值为或或 【分析】此题考查一元一次方程的实际运用，掌握数轴上两点之间的距离求解方法，分类讨论是解决问题的关键． （1）由，，可得出的长度； （2）①点是线段的三等分点，分两种情况：或进行讨论求解即可；②点，点分别是，的三等分点，可以分四种情况讨论求解即可． 【详解】（1）∵，， ∴ 故答案为：3； （2）由题意可得：， ∴， 点是线段的三等分点，分两种情况： 当时，，解得：； 当时，，解得：； 综上所述：当为或时，点是线段的三等分点； 由题意得：，则，， ∵点，点分别是，的三等分点， ∴可以分四种情况讨论： 当时，则，， 分别解得：， ∴ 解得：； 当时，则，， 分别解得：， ∴ 解得：； 当时，则，， 分别解得：， ∴ 解得：； 当时，则，， 分别解得：， ∴ 解得：（舍去）； 点，点分别是，的三等分点，的值为或或． 33．如图，已知线段，点C是的中点，点D是的三等分点，且点D在点C的右边． (1)若，求的长； (2)在线段上是否存在一点E，使得点E是的中点，同时点C也是的中点？若存在，请用圆规找出点E的位置，并说明理由；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)1 (2)存在，画图及理由见解析 【分析】（1）根据中点定义，三等分点定义，得到，，根据，，即得； （2）以点D为圆心， 长为半径画弧，交 于点E，E即为的中点，C为的中点．理由：根据，得到，得到，得到E是的中点，根据，得到，得到C是的中点． 【详解】（1）∵点C是的中点，点D是的三等分点， ∴，， ∴， ∵， ∴； （2）存在，理由如下， 以点D为圆心，以长为半径画弧，交 于点E，E即为所求作，如图． 理由：∵， ∴， ∴， ∴E是的中点， ∵， ∴， ∴， ∴C是的中点． 34．如图，为线段上一点，点为的中点，已知． (1)求的长； (2)若点是线段上靠近点A的三等分点，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是线段的中点的含义，线段的和差关系，掌握以上知识是解题的关键． （1）根据线段的和差，求得的长，再根据线段中点的性质，可求出的长； （2）先求得的长，再根据线段的和差，可得答案． 【详解】（1）解：因为， 所以， 因为点为的中点， 所以； （2）解：因为，点是线段上靠近点A的三等分点， 所以， 则． 所以． 35．如图，C是线段的中点，D是线段的三等分点且在点C的左侧． (1)图中共有________条线段 (2)若线段的长为30，求线段的长． (3)设线段的长为，若是直线上一点，且，求线段的长． 【答案】(1)6 (2)5 (3)a或 【分析】本题主要考查了线段的和与差： （1）直接观察，即可求解； （2）根据线段中点以及三等分点的定义可得，即可求解； （3）根据题意可得点F位于点A的左侧或点B的右侧，分两种情况讨论，即可求解． 【详解】（1）解：图中由线段，共6条； 故答案为：6 （2）解：∵C是线段的中点，D是线段的三等分点且在点C的左侧．， ∴， ∴； （3）解：根据题意得：点F位于点A的左侧或点B的右侧， 当点F位于点A的左侧时，如图， ∵， ∴，即， ∵，D是线段的三等分点且在点C的左侧． ∴，， ∴； 当点F位于点B的右侧时，如图， ∵， ∴，即， ∵，D是线段的三等分点且在点C的左侧． ∴，， ∴； 综上所述，的长为a或． 36．如图，点B是线段上一点，D是的三等分点（D靠近A），E是的中点，若，求的长． 【答案】 【分析】根据线段的和差及中点和三等分点，可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵E是的中点， ∴， 则：， 又∵D是的三等分点（D靠近A）， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了线段的中点及三等分点，利用线段的和差是解题关键． 37．如图，点C是线段的中点，点D是线段的一个三等分点． (1)图中共有________条线段，其中以点A为端点的线段有_________条． (2)若，求线段的长． 【答案】(1)6，3 (2)12cm或15cm 【分析】(1)根据图中的线段即可求得； (2)首先可求得AC的长，再分两种情况分别求得CD的长，即可求得． 【详解】（1）解：图中的线段有：AC、AD、AB、CD、CB、DB，共有6条， 其中以点A为端点的线段有：AC、AD、AB，共有3条， 故答案为：6，3； （2）解：∵，点C是线段的中点， ∴， ∵点D是线段的一个三等分点， ∴当时，， 当时，， 故AD的长为12cm或15cm． 【点睛】本题考查了线段的中点及等分点的定义，线段的和差，熟练应用线段的和差倍分关系解题是关键． 38．如图，C为线段AD上一点，点B是线段CD的中点，，． (1)求线段AC的长； (2)若点E是线段AB的三等分点，求线段DE的长． 【答案】(1)AC=4； (2)线段DE的长为6或4 【分析】（1）根据线段中点定义求出CD，利用AD-CD求出AC； （2）分AE是三分之一AB或三分之二AB求出来，再利用AD-AE求出DE的长． 【详解】（1）解：∵点B是线段CD的中点， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴． ∵点E是线段AB的三等分点， ∴或， ∴或 ∴线段DE的长为6或4． 【点睛】此题考查了线段中点的定义，线段的和差计算，正确理解题中各线段的熟练关系是解题的关键． 39．如图，点B、C在线段AD上，且AB：BC：CD＝2：3：4，点M是线段AC的中点，点N是线段CD上的一点，且MN＝9． （1）若点N是线段CD的中点，求BD的长； （2）若点N是线段CD的三等分点，求BD的长． 【答案】（1）14；（2）或 【分析】（1）根据题意可得出CM＝AC，CN＝CD，所以MN＝CM+CN＝(AC+CD)＝AD＝9，从而得出AD的长，根据AB：BC：CD＝2：3：4，可得出AB的长，继而求出BD的长； （2）根据题意可知CN分为两种情况，当CN＝CD时，设AB＝2x，BC＝3x，CD＝4x，可得AC＝5x，因为点M是线段AC的中点，可得CM＝2.5x，因为CN＝CD，可求出CN=x，根据MN=9，可解出x的值，，继而得出BD的长；当CN＝CD时，同理可求出BD的长． 【详解】解：（1）如图， ∵点M是线段AC的中点，点N是线段CD的中点， ∴CM＝AC，CN＝CD， ∴MN＝CM+CN＝(AC+CD)＝AD＝9， ∴AD＝18， ∵AB：BC：CD＝2：3：4， ∴AB＝×AD＝4， ∴BD＝AD﹣AB＝18﹣4＝14； （2）∵点N是线段CD的三等分点， ∴当CN＝CD时，如图， ∵AB：BC：CD＝2：3：4， ∴设AB＝2x，BC＝3x，CD＝4x， ∴AC＝5x， ∵点M是线段AC的中点， ∴CM＝AC＝2.5x， ∵CN＝CD＝x， ∴CM+CN＝x+x＝MN＝9， ∴x＝， ∴BD＝7x＝； 当CN＝CD时， ∵AB：BC：CD＝2：3：4， ∴设AB＝2x，BC＝3x，CD＝4x， ∴AC＝5x， ∵点M是线段AC的中点， ∴CM＝AC＝2.5x， ∵CN＝CD＝x， ∴CM+CN＝x+x＝MN＝9， ∴x＝， ∴BD＝7x＝． 综上所述，BD的长为或． 【点睛】本题考查了线段的中点，线段的和与差的计算及线段三等分点的计算．能求出各个线段的长度是解题的关键． 40．如图，，是线段的三等分点，是线段上一点，比长，求的长． 【答案】8cm 【分析】先由三等分点的定义求出BC的长，然后根据，求解即可． 【详解】解：是线段的三等分点， ，． 又，， ， ， ， ． 【题型4 动点问题】 41．如图，线段，C为的中点，点P从点A出发，以的速度沿线段向右运动，到点B停止；点Q从点B出发，以1cm/s的速度沿线段向左运动，到点A停止．若两点同时出发，当其中一点停止运动时，另一点也随之停止．设点P的运动时间为x（x＞0）s． (1) ． (2)是否存在某一时刻，使得这三点中，有一点恰为另外两点所连线段的中点？若存在，求出所有满足条件的x的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，当或时，三点中，有一点恰为另外两点所连线段的中点 【分析】此题主要考查了两点间的距离，线段中点的定义，线段的计算，理解线段中点的定义，根据线段中点的定义进行分类讨论，并列出方程是解决问题的关键． （1）根据线段，C为的中点即可得AC的长； （2）依题意得：，然后分三种情况讨论如下：①当点C为的中点时，②当点P为的中点时，③当点Q为的中点时，再根据每一种情况画出图形，利用线段中点的定义列出方程求出x即可． 【详解】（1）线段，C为的中点， ． （2）存在． 依题意得：， 由（1）可知：， 分三种情况讨论如下： ①当点C为的中点时：则，如图1所示： ，， ， 解得：（不合题意，舍去）； ②当点P为的中点时，则，如图1所示： ， ， ， ， 解得：； ③当Q为的中点时，则，如图2所示： ，， ， 解得：． 综上所述：当或时，三点中，有一点恰为另外两点所连线段的中点． 42．如图，点B在线段上，且，．动点P从点A出发，沿以每秒4个单位长度的速度向终点C匀速运动；同时动点Q从点C出发，沿以每秒2个单位长度的速度向终点A匀速运动．设点Q的运动时间为． (1)线段、的中点之间的距离为_______． (2)当点P到点C时，求的长． (3)求的长（用含t的代数式表示）． (4)设时，直接写出t的值． 【答案】(1)6 (2)6 (3)当时，；当时，；当时，； (4)或 【分析】（1）设点的中点为M，的中点为N，分别求出和的长，再求和即可； （2）先求出当P到点C时t的值，再根据路程时间速度可求出； （3）先找到何时P、Q相遇，再分段讨论，当时，当时，当时，分别求出的长即可； （4）根据（3）中求出的长，利用列方程，求出t的值即可． 【详解】（1）解：设点的中点为M，的中点为N， ∵，， ∴，， ∴； （2）解：∵， ∴ ∵动点P从点A出发，沿以每秒4个单位长度的速度向终点C匀速运动；同时动点Q从点C出发，沿以每秒2个单位长度的速度向终点A匀速运动 ∴当P到点C时，， ∴； （3）解：当点P、Q相遇时，． 当时，； 当时，； 当时，； （4）解：当时，，解得； 当时，，解得． 当时，，（舍）． ∴或． 【点睛】本题考查在动点问题的背景下考查线段的和差运算，线段中点的性质，一元一次方程的应用等知识，关键是理清点的运动状态，找到临界点． 43．已知：如图，点是线段上一定点，，两点分别从点出发以、的速度在直线上运动，运动方向如图中箭头所示（点在线段上，点在线段上）    (1)若，当点、运动了，此时 ， ；（直接填空） (2)当点运动了时，求的值． (3)若点、运动时，总有，则 （填空） (4)在（3）的条件下，是直线上一点，且，求的值． 【答案】(1)； (2) (3)4 (4)或1 【分析】本题考查了线段上的动点问题，线段的和差，一元一次方程的应用； （1）由已知条件得、的长，由即可求解； （2）由已知条件得，，由 ，即可求解； （3）的运动速度可知：，由线段的和得，即可求解；解法二：、运动时间为，的长度为，得，，由，即可求解； （4）①当点在线段上时，由线段和差得，可求，由即可求解；②当点在线段的延长线上时，同理可求，即可求解； 能用已知线段的和差表示所求线段，根据点的不同位置进行分类讨论，用方程思想求解是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得 ， ， ， ， ， 故答案：；； （2）解：由题意得 ，， ； 故的值为； （3）解：的运动速度可知：， ， ， 即 ， 又 ， ， ， ． 故答案为：4． 解法二 设、运动时间为，的长度为，得 ， ， ， ， ． 又 ， ， 解得：； 故答案为：4； （4）解：①当点在线段上时，如图1，   ， 又， ， ， ； ②当点 在线段的延长线上时，如图2，   ， 又 ， ， ． 综上所述 或1． 44．【问题背景】如图，P是线段上一点，，C，D两动点分别从点P，B同时出发沿射线向左运动，其中一点到达点A处即两动点均停止运动． 【问题探究】（1）点C，D的速度分别是， ①若，当动点C，D运动了2s时，求的长度； ②若经过t秒，点C到达中点时，点D也刚好到达的中点，求t的值； 【问题解决】（2）动点C，D的速度分别是，，点C，D在运动时，总有，求的长度． 【答案】（1）①；②；（2） 【分析】本题考查了线段上动点问题、线段中点的有关计算、一元一次方程的实际应用． （1）①先根据线段的和差计算，再根据运动时间得出、，然后根据线段的和差即可得出答案；②先根据运动时间得出，再根据线段的中点得出，然后根据列方程求解即可得出答案； （2）设运动时间为，则，得出，再根据线段的和差及等量代换得出，从而得出答案． 【详解】（1）① C，D运动了 ； ②根据题意得， 点C为的中点，点D为的中点 ； （2）设运动时间为，则 ． 45．如图，是线段上一点，，，两动点分别从点，同时出发沿射线向左运动，到达点处即停止运动． (1)若点，的速度分别是，． ①若，当动点，运动了时，求的值； ②若点到达中点时，点也刚好到达的中点，求； (2)若动点，的速度分别是，，点，在运动时，总有，求的长度． 【答案】(1) ； ； (2)． 【分析】（）先计算，再计算即可；利用中点的性质求解即可； （）设运动时间为，则，，得到，又由，得到，进而得到即可求解； 本题考查了线段上动点问题、求线段的长度，充分利用中点和线段的倍数关系是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得：，， ； ∵点到达中点时，点也刚好到达的中点，设运动时间为， 则：，， ； （2）解：设运动时间为，则，， ， ， ． 46．已知：如图1，M是定长线段上一定点，C、D两点分别从M、B出发以、的速度沿直线向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段上，D在线段上） (1)若，当点C、D运动了，求的值． (2)若点C、D运动时，总有，直接填空： ___________． (3)在（2）的条件下，N是直线上一点，且，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或1 【分析】（1）本题考查线段的和与差，以及动点问题，根据题意算出，，再由，即可解题． （2）本题考查线段的和与差，以及动点问题，设运动时间为t，则，，根据，，结合，即可解题． （3）本题考查线段的和与差，以及动点问题，根据N是直线上一点，且，可分为以下两种情况讨论，当点N在线段上时和当点N在线段的延长线上时，结合线段之间的和差关系，得出与的数量关系，即可解题． 【详解】（1）解：（1）当点C、D运动了时，，， ，，， ． （2）解：设运动时间为t， 则，， ，， 又， ， 即， ， ， ， 故答案为：． （3）解：当点N在线段上时，如图 ， 又， ， ，即． 当点N在线段的延长线上时，如图： ， 又， ，即．综上所述的值为或． 47．已知：如图，点M是线段上一定点，，C、D两点分别从M、B出发以、的速度沿直线向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段上，D在线段上） (1)若，当点C、D运动了，此时 ， ；（直接填空） (2)当点C、D运动了，求的值； (3)若点C、D运动时，总有，则 ；（直接填空） (4)在（3）的条件下，是直线上一点，且，求的值． 【答案】(1)； (2) (3) (4)或1 【分析】本题考查了线段上的动点问题，线段的和差，较难的是题（4），依据题意，正确分两种情况讨论是解题关键． （1）先求出、的长，再根据线段的和差即可得； （2）先求出与的关系，再根据线段的和差即可得； （3）根据已知得，然后根据，代入即可求解； （4）分点N在线段上和点N在线段的延长线上两种情况，再分别根据线段的和差倍分即可得． 【详解】（1）解：根据题意知，，， ∵，， ∴， ∴，， 故答案为：；． （2）解：当点C、D运动了时，，， ∵， ∴； 故答案为：； （3）解：根据C、D的运动速度知：， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （4）解：①当点N在线段上时，如图1，      ∵， 又∵ ∴， ∴ ∴； ②当点N在线段的延长线上时，如图2，    ∵， 又∵， ∴， ∴； 综上所述：或1． 48．如图，已知直线l上有两条可以左右移动的线段：，且m，n满足，点M，N分别为中点．    (1)求线段的长； (2)线段以每秒4个单位长度向右运动，线段以每秒1个单位长度也向右运动．若运动6秒后，，求此时线段的长； (3)若，将线段固定不动，线段以每秒4个单位速度向右运动，在线段向右运动的某一个时间段t内，始终有为定值．求出这个定值，并直接写出t在哪一个时间段内． 【答案】(1)线段的长是4，线段的长是8 (2)16或8 (3)当时，为定值，定值为6 【分析】（1）根据非负数的性质即可得到结论； （2）若6秒后，在点左边时，若6秒后，在点右边时，根据题意列方程即可得到结论； （3）根据题意分类讨论于是得到结果． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， ∴，， 即线段的长是4，线段的长是8； （2）解：∵，， ∴，， 设运动后点M对应点为，点N对应点为，分两种情况， 若6秒后，在的左侧时：， ∴，即， 解得． 若6秒后，在的右侧时：， ∴， 即， 解得． 即线段的长为16或8； （3）解：∵，，， ∴，， ∵线段固定不动，线段以每秒4个单位速度向右运动， ∴运动t秒后，，， 当时，； 当时，； 当时，； 故当时，为定值，定值为6． 【点睛】本题考查非负数的性质，一元一次方程的应用，线段的和差关系，以及数轴上的动点问题，解题的关键是掌握分类讨论思想． 49．如图，C是线段上一点，，，点P从A出发，以的速度沿向右运动，终点为B；点Q从点B出发，以的速度沿向左运动，终点为A．已知P、Q同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设点P运动时间为ts． (1)当P、Q两点重合时，求t的值； (2)是否存在某一时刻，使得C、P、Q这三个点中，有一个点恰好是另外两点所连线段的中点？若存在，求出所有满足条件的t值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，满足条件的值为4或7或 【分析】本题考查了一元一次方程在线段上动点问题中的应用，线段的中点； (1) 当P、Q两点重合时，P、Q两点运动的距离之和为线段的长； (2) 分类讨论：①当点C是线段的中点时，②当点P是线段的中点时，③当点Q是线段的中点时； 能根据不同的中点进行分类讨论是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意可得：，， ∴当P、Q重合时， ， 解得：； （2）解：由题意可得：， ①当点C是线段的中点时， ， 解得：； ②当点P是线段的中点时， ， 解得：； ③当点Q是线段的中点时， 解得：； 综上所述，满足条件的值为4或7或． 50．如图，P是线段上一点，，C，D两动点分别从点P，B同时出发沿射线向左运动，到达点A处即停止运动．    (1)若点C，D的速度分别是，． ①当动点C，D运动了2s，且点D仍在线段上时，_________cm； ②若点C到达中点时，点D也刚好到达的中点，则_________； (2)若动点C，D的速度分别是，，点C，D在运动时，总有，求的长 【答案】(1)①12；② (2) 【分析】（1）①先分别求出，再根据即可得； ②设运动时间为，则，再根据线段中点的定义可得，由此即可得； （2）设运动时间为，则，从而可得，再根据可得，从而可得，由此即可得． 【详解】（1）解：①依题意得：， ，点仍在线段上， ∴， 故答案为：； ②设运动时间为，则， ∵当点到达中点时，点也刚好到达的中点， ∴， ∴， 故答案为：． （2）解：设运动时间为，则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$