精品解析：山东省济钢高级中学2024-2025学年高二上学期期中学情检测数学试题

山东省济钢高级中学 2023级高二上学期期中学情检测数学试题 2024.11 本试卷共19题，全卷满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上. 3.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的. 1. 抛物线的准线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将抛物线方程化为标准方程，即可的准线的方程. 【详解】由，得，所以其准线方程是. 故选: A 2. 直线与直线平行，则它们的距离为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】直线3x+4y﹣3=0 即 6x+8y﹣6=0，它直线6x+my+14=0平行，∴m=8，则它们之间的距离是 故答案为2． 3. 在三棱锥中，、分别是、的中点，是的重心，用基向量、、表示，则下列表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用空间向量的线性运算可得出关于基向量、、的表达式 【详解】连接，因为为的重心，则，如下图所示： 因为为的中点，则， 所以，， 所以， . 故选：D. 4. 已知圆关于直线对称，圆的标准方程是，则圆与圆的位置关系是（ ） A. 外离 B. 外切 C. 相交 D. 内含 【答案】B 【解析】 【分析】先将化为标准方程，求出圆心和半径，再利用给定条件求解出参数，最后利用圆与圆的位置关系判断即可. 【详解】因为，所以， 故的圆心为，半径且， 而的圆心为，半径， 因为关于直线对称，所以直线经过圆心， 故，解得，由两点间距离公式得， 所以，则圆与圆外切，故B正确. 故选：B. 5. 已知点F，A分别为双曲线C：的左焦点、右顶点，点B(0，b)满足，则双曲线的离心率为(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意判断出FB⊥AB，利用勾股定理求得a和c关系，整理成关于e的方程求得双曲线的离心率． 【详解】∵•0， ∴FB⊥AB ∴|FB|2+|AB|2＝|FA|2， 即c2+b2+a2+b2＝（a+c）2，整理得c2﹣a2﹣ac＝0，等式除以a2得e2﹣e﹣1＝0 求得e（舍负） ∴e 故选D． 【点睛】本题主要考查了双曲线的简单性质．解题过程中关键是利用了勾股定理找到了a和c的关系，属于基础题. 6. 已知抛物线，过焦点的直线与抛物线交于，两点（点在第一象限）．若直线的斜率为，点的纵坐标为，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】设，由抛物线的定义可得，由焦半径公式可得，从而可得，进而可求出的值 【详解】解：由题意得，抛物线焦点在轴上，准线方程为， 设，则，设直线的倾斜角为，则， 因为，所以 所以， 所以，解得， 故选：C 【点睛】关键点点睛：此题考查抛物线的定义的应用和焦半径公式的应用，解题的关键是分别用抛物线的定义和焦半径公式表示出，从而可列方程求出的值，考查转化思想和计算能力，属于中档题 7. 已知MN是正方体内切球的一条直径，点Р在正方体表面上运动，正方体的棱长是2，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量的线性运算和数量积运算律可得，根据正方体的特点确定最大值和最小值，即可求解 【详解】设正方体内切球的球心为，则, , 因为MN是正方体内切球的一条直径， 所以，， 所以， 又点Р在正方体表面上运动， 所以当为正方体顶点时，最大，且最大值为； 当为内切球与正方体的切点时，最小 ，且最小为； 所以， 所以的取值范围为， 故选：B 8. 如图，已知点是双曲线上的点，过点作椭圆的两条切线，切点为、，直线交的两渐近线于点、，是坐标原点，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 设点，求出直线的方程为，联立直线与双曲线两渐近线方程，求出点、的坐标，由此可计算得出的值. 【详解】先证明结论：椭圆在其上一点的切线方程为. 由于点在椭圆上，则， 联立，消去得， 即，即， 所以，直线与椭圆相切. 所以，椭圆在其上一点的切线方程为. 本题中，设点，设点、， 直线的方程为，直线的方程为， 由于点在直线、上，可得， 所以点、满足方程， 所以，直线的方程为. 联立，得点，同理. 因此，. 故选：B. 【点睛】结论点睛：在利用椭圆的切线方程时，一般利用以下方法进行直线： （1）设切线方程为与椭圆方程联立，由进行求解； （2）椭圆在其上一点的切线方程为，在应用此方程时，首先应证明直线与椭圆相切. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知双曲线，点，在上，的中点为，则（ ） A. 的渐近线方程为 B. 的右焦点为 C. 与圆没有交点 D. 直线的方程为 【答案】CD 【解析】 【分析】对于AB，利用双曲线的性质即可求解；对于C，联立双曲线与圆的方程即可；对于D，利用点差法出直线的方程，再检验即可求解. 【详解】对于AB，由双曲线可得， 所以渐近线方程为，右焦点为，故AB不正确； 对于C，联立消可得，代入，解得无实数根， 所以与圆没有交点，故正确； 对于D，设，则，， 两式相减，得， 因为的中点为，所以等式可得， 易得直线的斜率存在，故可得， 则直线为即， 联立双曲线的方程和直线，消去x，可得， 此时，则直线与双曲线有两个交点，符合题意， 故直线l的方程为，故正确. 故选：CD 10. 已知圆，一条光线从点射出经轴反射，下列结论正确的是（ ） A. 圆关于轴的对称圆的方程为 B. 若反射光线平分圆的周长，则入射光线所在直线方程为 C. 若反射光线与圆相切于，与轴相交于点，则 D. 若反射光线与圆交于，两点，则面积的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，由对称的性质直接求解即可，对于B，由题意可知入射光线所在的直线过点和，从而可求出直线方程，对于C，由题意可知反射光线所在的直线过点，则，然后由圆的性质可求出，进而可求得的值，对于D，设，，表示弦长和弦心距，可表示出面积从而可求出其最大值. 【详解】对于A，由圆方程可得，故圆心，半径， 圆关于轴对称的圆的圆心为，半径为， 所求圆的方程为：，即，A正确； 对于B，反射光线平分圆的周长，反射光线经过圆心， 入射光线所在直线经过点，， 入射光线所在直线方程为：，即，B正确； 对于C，反射光线经过点关于轴的对称点， ， ，则，C错误； 对于D，设， 则圆心到直线的距离， ， ， 则当时，，D正确. 故选：ABD. 11. 已知椭圆上有一点P，分别为左､右焦点，的面积为S，则下列选项正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若为钝角三角形，则 D. 椭圆C内接矩形的周长范围是 【答案】ACD 【解析】 【分析】用椭圆的焦点三角形和内接矩形等知识分别对四个选项判断即可. 【详解】对于椭圆，设，，，则 ，由此可得…①， 所以的面积. 对于选项A：若，则，故A正确； 对于选项B：由①知（当且仅当即点是短轴端点时取等号），所以，因此不可能是，故B错误； 对于选项C：由以上分析可知，不可能是钝角，由对称性不妨设是钝角.先考虑临界情况，当时，易得，此时，结合图形可知，当是钝角时，故C正确； 对于选项D：令，， 则椭圆内接矩形的周长为，其中锐角满足，. 由得，所以，周长的范围是，即，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】结论点睛：对于椭圆， ， 则△的面积. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设直线，的方向向量分别为，，若，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据向量垂直的坐标表示可得方程，解方程即可. 【详解】由已知，即， 则， 解得， 故答案为：. 13. 已知正三棱柱的侧棱长与底面边长相等，则与侧面所成角的正弦值等于________. 【答案】 【解析】 【分析】取的中点，连接，可得面，即角为直线与侧面所成的角，然后即可求解. 【详解】在正三棱柱中，取的中点，连接， 由底面为正三角形，得， 又平面平面，平面平面，平面， 则平面， 于是在侧面上的射影为， 为直线与侧面所成的角， 设底面边长为，则，， 在直角三角形中，. 故答案为： 14. 已知是椭圆的左焦点，过作直线交椭圆于两点，则的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】设直线方程，联立方程组，根据根与系数的关系及弦长公式化简，利用均值不等式求解. 【详解】如图， 由椭圆方程可知，， 当直线斜率不为0时，设直线，， 联立，得：， ， 弦长， ， ，当且仅当，即时，等号成立， 所以 的最小值为； 当直线斜率为0时，. 综上，的最小值为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图所示，已知空间四边形的每条边和对角线长都等于1，点，，分别是，，的中点，计算： （1）； （2）求异面直线和所成角的余弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设，，，根据空间向量的线性运算可得，，进而结合空间向量的数量积运算即可； （2）根据空间向量的线性运算可得，，进而结合结合空间向量的求解即可. 【小问1详解】 设，，，. 则，， 因为点，分别是，的中点， 所以，， 所以. 【小问2详解】 因为为的中点，所以， ， 又，， 所以， 则， ， ， 则， 由于异面直线所成角的范围是， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 16. 已知双曲线的渐近线方程为，实轴长. （1）求的方程； （2）若直线过的右焦点与交于，两点，，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或. 【解析】 【分析】（1）根据双曲线的渐近线方程求出a，b即可求解. （2）根据直线和双曲线的联立以及即可求解. 【小问1详解】 根据题意， ，， 所以， 所以. 【小问2详解】 双曲线C的半焦距，显然直线l不垂直于y轴， 设直线方程为， 联立直线方程和椭圆方程： ， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以， 解得. 所以直线的方程为： . 即或. 17. 已知圆，直线． （1）设直线与圆交于不同两点，求弦的中点的轨迹方程； （2）若定点分弦为，求此时直线的方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）将直线变形为，得到直线恒过点，过作于，得到为线段的中点，设，根据圆的性质，列出方程，即可求解； （2）由，得到，联立方程组，得到，联立解得，将其代入联立后的方程，求得的值，即可求解. 【小问1详解】 解：直线变形为，可知直线恒过点， 由圆，可得圆心，半径为， 过作于，可知为线段的中点， 设，则有， 化简得， 点也满足此方程，故的轨迹方程为． 【小问2详解】 解：设， 由，可得，化简得， 又由，消去得， 可得，联立解得， 将其代入方程， 可得，解得， 所以直线的方程为或． 18. 如图，在直三棱柱中，，点在棱上，且,为的中点． （1）证明：平面平面； （2）若,求二面角的余弦值． 【答案】（1）证明：解法一    如图，延长与的延长线交于点， 因为,为的中点，所以， 连接与交于点，则， 取的中点，连接，则，故， 因为，所以，所以， 又平面，平面平面，平面平面， 所以平面， 因为平面，所以平面平面． 解法二 如图，延长与的延长线交于点，连接， 因为,为的中点，所以， 所以， 又平面，平面平面，平面平面， 所以平面， 因为平面，所以平面平面． （2）. 【解析】 【分析】（1）法一、延长与的延长线交于点，连接与交于点，利用线段关系及面面垂直的性质判定平面即可；法二、延长与的延长线交于点，连接，利用线段关系及面面垂直的性质判定平面即可； （2）建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量求二面角即可. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 由，易得，则两两垂直， 以A为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的法向量为，则， 取，得， 设平面的法向量为， 则，取，得， 则， 由题意可得二面角为锐二面角， 所以二面角的余弦值为． 19. 在平面直角坐标系中，若在曲线的方程中，以（为非零的正实数）代替得到曲线的方程，则称曲线、关于原点“伸缩”，变换称为“伸缩变换”，称为伸缩比. （1）已知的方程为，伸缩比，求关于原点“伸缩变换”所得曲线的方程； （2）射线的方程（），如果椭圆：经“伸缩变换”后得到椭圆，若射线与椭圆、分别交于两点､，且，求椭圆的方程； （3）对抛物线：，作变换，得抛物线：；对作变换得抛物线：，如此进行下去，对抛物线：作变换，得：若，，求数列的通项公式. 【答案】（1）；（2）或；（3）. 【解析】 【分析】 （1）根据伸缩变换的定义将的分别变为后可得所求的曲线方程. （2）设伸缩变换比为，则可得曲线的方程，联立直线方程和的方程可求的坐标，同理可求的坐标，结合的长度可得的值. （3）根据伸缩变换的定义可得，利用累乘法可求的通项公式. 【详解】（1）由条件得，得：； （2）∵、关于原点“伸缩变换”，对作变换（），得到， 解方程组得点的坐标为； 解方程组得点的坐标为； ， 化简后得，解得，， 因此椭圆的方程为或. （3）对：作变换得抛物线：，得， 又∵，∴，即， ，则， ∵，∴. 【点睛】关键点点睛：（1）依据定义求出变换后的曲线方程，再结合题设条件从而可得参数的大小或关系；（2）数列通项的求法应依据递推关系的形式，如对形如这样的递推关系，可用累乘法. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山东省济钢高级中学 2023级高二上学期期中学情检测数学试题 2024.11 本试卷共19题，全卷满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上. 3.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的. 1. 抛物线的准线方程是（ ） A. B. C. D. 2. 直线与直线平行，则它们的距离为 A. B. C. D. 3. 在三棱锥中，、分别是、的中点，是的重心，用基向量、、表示，则下列表示正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知圆关于直线对称，圆的标准方程是，则圆与圆的位置关系是（ ） A. 外离 B. 外切 C. 相交 D. 内含 5. 已知点F，A分别为双曲线C：的左焦点、右顶点，点B(0，b)满足，则双曲线的离心率为(　　) A. B. C. D. 6. 已知抛物线，过焦点的直线与抛物线交于，两点（点在第一象限）．若直线的斜率为，点的纵坐标为，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 7. 已知MN是正方体内切球的一条直径，点Р在正方体表面上运动，正方体的棱长是2，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知点是双曲线上的点，过点作椭圆的两条切线，切点为、，直线交的两渐近线于点、，是坐标原点，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知双曲线，点，在上，的中点为，则（ ） A. 的渐近线方程为 B. 的右焦点为 C. 与圆没有交点 D. 直线的方程为 10. 已知圆，一条光线从点射出经轴反射，下列结论正确的是（ ） A. 圆关于轴的对称圆的方程为 B. 若反射光线平分圆的周长，则入射光线所在直线方程为 C. 若反射光线与圆相切于，与轴相交于点，则 D. 若反射光线与圆交于，两点，则面积的最大值为 11. 已知椭圆上有一点P，分别为左､右焦点，的面积为S，则下列选项正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若为钝角三角形，则 D. 椭圆C内接矩形的周长范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设直线，的方向向量分别为，，若，则__________. 13. 已知正三棱柱的侧棱长与底面边长相等，则与侧面所成角的正弦值等于________. 14. 已知是椭圆的左焦点，过作直线交椭圆于两点，则的最小值为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图所示，已知空间四边形的每条边和对角线长都等于1，点，，分别是，，的中点，计算： （1）； （2）求异面直线和所成角的余弦值. 16. 已知双曲线的渐近线方程为，实轴长. （1）求的方程； （2）若直线过的右焦点与交于，两点，，求直线的方程. 17. 已知圆，直线． （1）设直线与圆交于不同两点，求弦的中点的轨迹方程； （2）若定点分弦为，求此时直线的方程． 18. 如图，在直三棱柱中，，点在棱上，且,为的中点． （1）证明：平面平面； （2）若,求二面角的余弦值． 19. 在平面直角坐标系中，若在曲线的方程中，以（为非零的正实数）代替得到曲线的方程，则称曲线、关于原点“伸缩”，变换称为“伸缩变换”，称为伸缩比. （1）已知的方程为，伸缩比，求关于原点“伸缩变换”所得曲线的方程； （2）射线的方程（），如果椭圆：经“伸缩变换”后得到椭圆，若射线与椭圆、分别交于两点､，且，求椭圆的方程； （3）对抛物线：，作变换，得抛物线：；对作变换得抛物线：，如此进行下去，对抛物线：作变换，得：若，，求数列的通项公式. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $