精品解析：河南省漯河市高级中学2022-2023学年高一下学期期末考试数学试卷

漯河市2022-2023学年上学期期末质量监测 高一数学 注意事项: 1.本试卷共4页，考试时间120分钟，卷面总分150分. 2、答题前，考生务将自己的姓名、准考证号填写在答题卡相应的位置上， 3.全部答案写在答题卡上，答在本试卷上无效. 一、单项选择题:本题共8道小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合要求的. 1. 已知集合,集合,则=( ) A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定为（ ） A ， B. ， C. ， D. ， 3. 函数，若，则（ ） A. 1 B. －1 C. 3 D. －3 4. 若函数在上不单调，则实数取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数，若，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 6. Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域，有学者根据公布数据建立了某地区某种疾病累计确诊病例数单位：天）的Logistic模型：，其中为最大确诊病例数．当时，则t约为（ ） A. 48 B. 72 C. 63 D. 59 7. 锐角三角形的内角A，B，C满足：，则有（ ） A. B. C D. 8. 已知，则等于（ ） A. －1 B. －2 C. －3 D. －4 二、多选题:共4小题，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 下列说法中，正确的是（ ） A. 集合和表示同一个集合 B. 函数的单调增区间为 C. 若，则用a，b表示 D. 已知是定义在上的奇函数，当时，，则当时， 10. 下列函数中，最小正周期为的是（ ） A. B. C. D. 11. 下列命题中正确的是（ ） A. 设， B. 已知，则 C. D. 若，则 12. 已知函数，，，，下列选项中正确的有（ ） A. 函数、、都是偶函数 B. 若且，则 C 若且，则+=1 D. 若，则 三、填空题:共4小题，共20分. 13. 已知点在幂函数图象上，则______． 14. 求值______． 15. 已知函数，若对任意都有，则______．（填上一个正确的即可） 16. 已知［x]表示不超过的最大整数，定义函数，则下列结论中正确的序号是______． ① ②函数是奇函数 ③方程解集为 ④函数是周期函数 四、解答题:共6小题，17题10分，其它每题12分，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 计算下列各式的值． （1）已知，，求的值； （2）． 18. 在平面直角坐标系中，已知角的终边与单位圆交于点，将角的终边按顺时针方向旋转后得到角的终边，记角的终边与单位圆的交点为． （1）若，求点的坐标； （2）若，求的值． 19. 已知函数满足：①定义域为：②对于任意正数、，；③当时，． （1）求的值； （2）判断的单调性，并说明理由； （3）若，解不等式． 20. 某科研单位在研发新产品的过程中发现了一种新材料，由大数据测得该产品的性能指标值y与这种新材料的含量x(单位：克)的关系如下：当时，y是x的二次函数；当时，. 测得数据如表(部分). x(克) 0 1 2 9 … y 0 3 … （1）求y关于x的函数解析式； （2）求函数f(x)的最大值． 21. 已知函数． （1）求的最小正周期及单调递增区间； （2）求在上的最值及取最值时相应的值． 22. 已知函数是奇函数. （1）求的值； （2）若在中存在角，使得，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 漯河市2022-2023学年上学期期末质量监测 高一数学 注意事项: 1.本试卷共4页，考试时间120分钟，卷面总分150分. 2、答题前，考生务将自己的姓名、准考证号填写在答题卡相应的位置上， 3.全部答案写在答题卡上，答在本试卷上无效. 一、单项选择题:本题共8道小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合要求的. 1. 已知集合,集合,则=( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出集合,利用交集的定义求解即可. 【详解】因为或,, 所以或. 故选:C. 2. 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】利用含有一个量词命题的否定的定义求解. 【详解】解：因为命题“，”是存在量词命题， 所以其否定是全称量词命题，即为，， 故选：D 3. 函数，若，则（ ） A. 1 B. －1 C. 3 D. －3 【答案】C 【解析】 【分析】先求出，再整体代入即得解. 【详解】由题得， 所以. 故选：C 4. 若函数在上不单调，则实数取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用二次函数的对称轴与所给区间的关系即可得解. 【详解】因为二次函数的对称轴方程为，且在上不单调， 所以，解得， 故选：B 5. 已知函数，若，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先由，求得，再判断其单调性，然后由，利用其单调性求解. 【详解】解：因为函数，且， 当时，，解得， 当时，，解得（舍去）， 所以， 当时，单调递增； 当时，，单调递增，且， 所以在R上递增， 因为， 所以，即， 解得， 故选：A 6. Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域，有学者根据公布数据建立了某地区某种疾病累计确诊病例数的单位：天）的Logistic模型：，其中为最大确诊病例数．当时，则t约为（ ） A. 48 B. 72 C. 63 D. 59 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意得到，再两边取对数求解即可. 【详解】由题意得：， 即， 两边取对数得， 即， 解得， 故选：D. 7. 锐角三角形的内角A，B，C满足：，则有（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由三角恒等变换化简可得，得出，再由诱导公式即可得解. 【详解】因为， 所以， 又，所以， 所以， 即，又为锐角， 所以，故， 所以，， 故， 故选：C 8. 已知，则等于（ ） A. －1 B. －2 C. －3 D. －4 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据已知条件得到，再根据求解即可. 【详解】因为，所以，即. 所以. 故选：C 二、多选题:共4小题，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 下列说法中，正确的是（ ） A. 集合和表示同一个集合 B. 函数的单调增区间为 C. 若，则用a，b表示 D. 已知是定义在上的奇函数，当时，，则当时， 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，根据集合定义即可判断；对于B，利用复合函数的单调性即可判断；对于C，利用对数的换底公式及运算性质即可判断；对于D，利用函数的奇偶性求对称区间上的解析式即可判断. 【详解】对于A，集合中元素为数，集合为点，可知表示的不是同一个集合，所以A选项错误； 对于B，根据解得函数的定义域为， 令则， 为二次函数，开口向下，对称轴为， 所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减， 函数为增函数，根据复合函数的单调性可知函数的单调增间为，所以B选项正确； 对于C，因为，，根据对数的换底公式可得，所以C选项正确； 对于D，因为当时，，可令，则，所以 ， 又因为是定义在上的奇函数，所以与题干结果不符，所以D选项错误； 故选：BC 10. 下列函数中，最小正周期为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】依次判断选项中的函数周期即可得到答案。 【详解】对选项A，的周期为，故A正确， 对选项B，的周期为，故B正确， 对选项C，，周期为，故C错误， 对选项D，周期为，故D正确。 故选：ABD 11. 下列命题中正确的是（ ） A. 设， B. 已知，则 C. D. 若，则 【答案】BC 【解析】 【分析】根据指数和对数的运算性质依次判断选项即可得到答案. 【详解】对选项A，，，故A错误. 对选项B，因为，所以，故B正确. 对选项C， ，故C正确. 对选项D，因为，， 所以，故D错误. 故选：BC. 12. 已知函数，，，，下列选项中正确的有（ ） A. 函数、、都是偶函数 B. 若且，则 C. 若且，则+=1 D. 若，则 【答案】CD 【解析】 【分析】首先求出、、的解析式，再对各选项一一计算即可判断； 【详解】因为，，，， 所以，，， 所以的定义域为，不关于原点对称，故不具有奇偶性，故A错误； 当时，，即，即， 同理可得，所以， 当时，，故B错误； 当，即， 所以或，解得，（且）， ，故C正确； 设， 因为， 所以，当时，则，，，， 所以，，，则 当时，同理可知，，故D正确. 故选：CD. 【点睛】关键点点睛：解决本题D选项的关键在于，解出、、、的值进行求解. 三、填空题:共4小题，共20分. 13. 已知点在幂函数的图象上，则______． 【答案】64 【解析】 【分析】由在幂函数的图象上，利用待定系数法求出幂函数的解析式，再计算的值． 【详解】设幂函数，， 因为函数图象过点， 则，， 幂函数， . 故答案为：64． 14. 求值______． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】根据诱导公式和两角差的正弦公式求解即可. 【详解】 . 故答案为： 15. 已知函数，若对任意都有，则______．（填上一个正确的即可） 【答案】（都可以，填一个正确的即可） 【解析】 【分析】根据诱导公式求出都可满足条件. 【详解】由于对任意恒成立， ， 所以，故利用诱导公式得， 即，都可满足条件. 故答案为：（答案不唯一，只要是即可） 16. 已知［x]表示不超过的最大整数，定义函数，则下列结论中正确的序号是______． ① ②函数是奇函数 ③方程解集为 ④函数周期函数 【答案】①③④ 【解析】 【分析】根据题目中函数的定义，可设函数，结合不等关系、奇函数定义，周期可得答案. 【详解】由题意，设，则， 对于①，显然，则，故①正确； 对于②，，而，，故②错误； 对于③，若，则，即，故③正确； 对于④，，，故，是周期函数，故④正确. 故答案为：①③④. 四、解答题:共6小题，17题10分，其它每题12分，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 计算下列各式的值． （1）已知，，求的值； （2）． 【答案】（1）2 （2）2 【解析】 【分析】（1）法一、由得到再两边平方得到，然后利用立方和公式求解；法二、由两边平方，求得x，代入求解；法三、由，再利用基本不等式求得x，代入求解. （2）利用对数运算和换底公式求解. 【小问1详解】 解：法一、因为，， 所以， ∴， ∴， ∴． 法二、由，得，即， 故， 从而 法三、由，再由基本不等式得，当且仅当时等号成立，故， 从而． 【小问2详解】 ， ， . 18. 在平面直角坐标系中，已知角的终边与单位圆交于点，将角的终边按顺时针方向旋转后得到角的终边，记角的终边与单位圆的交点为． （1）若，求点的坐标； （2）若，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先由三角函数定义，根据题中条件，用表示出，，，，由同角三角函数基本关系，即可求出点的坐标； （2）根据同角三角函数基本关系，求出，，得到，，即可求出正切. 【小问1详解】 因为角的终边与单位圆交于点， 所以，． 因为角的终边按顺时针方向旋转后得到角的终边， 所以， 因为角的终边与单位圆的交点为O，，，且，所以， 所以点的坐标为 【小问2详解】 因，，， 所以，，即， 所以． 19. 已知函数满足：①定义域为：②对于任意正数、，；③当时，． （1）求的值； （2）判断的单调性，并说明理由； （3）若，解不等式． 【答案】（1） （2）减函数，理由见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）在等式中，令可得出的值； （2）任取、，且，则，判断出的符号，结合函数单调性的定义可证得结论成立； （3）计算得出，将所求不等式变形为，根据函数的定义域与单调性可得出关于实数的不等式组，由此可解得原不等式的解集. 【小问1详解】 解：令，则. 【小问2详解】 解：函数在上为减函数，理由如下： 任取、，且，则， ∴，即， ∴在上为减函数. 【小问3详解】 解：令，，则， 即，∴， 则不等式可化为：， 由（2）知，原不等式等价于，解得：， ∴不等式的解集为：. 20. 某科研单位在研发新产品的过程中发现了一种新材料，由大数据测得该产品的性能指标值y与这种新材料的含量x(单位：克)的关系如下：当时，y是x的二次函数；当时，. 测得数据如表(部分). x(克) 0 1 2 9 … y 0 3 … （1）求y关于x的函数解析式； （2）求函数f(x)的最大值． 【答案】（1） ；（2）4. 【解析】 【分析】（1）先由待定系数法设出当时的解析式，由条件可得答案，再由得出的表达式，从而得出答案. (2)分段求出各段的最大值，然后比较其大小，得出答案. 【详解】解：（1）当时，由题意，设， 由表格数据可得，解得 所以，当时， 当时，，由表格数据可得，解得 所以当时， 综上， （2）当时， 所以当时，函数f(x)的最大值为4； 当时，单调递减，所以f(x)的最大值为 因为，所以函数的最大值为4. 21. 已知函数． （1）求的最小正周期及单调递增区间； （2）求在上的最值及取最值时相应的值． 【答案】（1），单调递增区间为， （2）时，最小值为；时，最大值为 【解析】 【分析】（1）使用三角恒等变换将化简后求解即可； （2）由正弦（型）函数的性质进行求解即可. 小问1详解】 由已知， ， ∴的最小正周期， 由，，解得，， ∴的单调递增区间为，. 【小问2详解】 由（1）知，， 当时，， ∴由正弦函数的性质知 当，即时，取最小值，最小值为， 当，即时，取最大值，最大值为. 22. 已知函数是奇函数. （1）求的值； （2）若在中存在角，使得，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由求得的值，再检验即可； （2）由函数的奇偶性和单调性可得，可得恒成立，令，可得，利用单调性求出最大值即可求解. 【小问1详解】 因为函数的定义域为，且是奇函数， 所以，所以， 当时，，， ，函数为奇函数 所以的值为； 【小问2详解】 由（1）得，所以函数是在上的增函数，且是奇函数， 所以不等式等价于，即， 所以， 又角为的内角，所以，， 所以原不等式等价于在上能成立， ， 所以， 令，则，则， 可得在上单调递减， 所以， 所以实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$