专题03 角与角的计算重难点题型专训（16大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年七年级数学上册重难点专题提升精讲精练 （沪科版2024）

专题03 角与角的计算重难点题型专训（16大题型+15道拓展培优） 题型一 角的概念理解 题型二 角的表示方法 题型三 角的分类 题型四 钟面角 题型五 方向角的表示 题型六 与方向角有关的计算题 题型七 角度的四则运算 题型八 角的比较 题型九 三角板中角度计算问题 题型十 实际问题中角度计算问题 题型十一 角平分线的有关计算 题型十二 求一个角的余角 题型十三 求一个角的补角 题型十四 与余角、补角有关的计算 题型十五 同（等）角的余（补）角相等的应用 题型十六 余角、补角的综合应用 知识点一：角的表示 （1）用三个字母表示角时，表示顶点的字母必须写在另两个字母的中间．如∠AOB； （2）在不引起混淆的情况下，角还可以用它的顶点字母来表示．如∠A； （3）角可以用希腊字母来表示，一般地，用希腊字母表示一个角时，需在角内靠近顶点处画上弧线．如∠α； （4）角可以用一个数字来表示，一般地，用一个数字表示一个角时，需在角内靠近顶点处画上弧线．如∠1． 角也可以看成是一条射线绕着它的一个端点旋转到另一个位置所成的图形． 1．角的度量 （1）角的定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边；此外，角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形. (2)角的表示方法：角通常有三种表示方法：一是用三个大写英文字母表示，二是用角的顶点的一个大写英文字母表示，三是用一个小写希腊字母或一个数字表示.例如下图： 要点诠释： ①角的两种定义是从不同角度对角进行的定义； ②当一个角的顶点有多个角的时候，不能用顶点的一个大写字母来表示. （3）角度制及角度的换算 1周角=360°，1平角=180°，1°=60′，1′=60″，以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制. 要点诠释： ①度、分、秒的换算是60进制，与时间中的小时分钟秒的换算相同. ②度分秒之间的转化方法：由度化为度分秒的形式(即从高级单位向低级单位转化)时用乘法逐级进行；由度分秒的形式化成度(即低级单位向高级单位转化)时用除法逐级进行. ③同种形式相加减：度加（减）度，分加（减）分，秒加（减）秒；超60进一，减一 成60. （4）角的分类 ∠β 锐角 直角 钝角 平角 周角 范围 0＜∠β＜90° ∠β=90° 90°＜∠β＜180° ∠β=180° ∠β=360° （5）画一个角等于已知角 （1）借助三角尺能画出15°的倍数的角，在0～180°之间共能画出11个角. （2）借助量角器能画出给定度数的角. （3）用尺规作图法. 2．角的比较与运算 （1）角的比较方法: ①度量法；②叠合法. （2）角的平分线： 从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线，例如：如下图，因为OC是∠AOB的平分线，所以∠1=∠2=∠AOB，或∠AOB=2∠1=2∠2. 类似地，还有角的三等分线等. 知识点二：余角、补角、对顶角 余角：如果两个角的和是一个直角，那么这两个角互为余角． 补角：如果两个角的和是一个平角，那么这两个角互为补角． 　　1．互余、互补是指两个角之间的一种关系． 　　2．互余、互补是指数量关系，与两个角的位置没有关系． 余角补角 （1）若∠1+∠2=90°，则∠1与∠2互为余角.其中∠1是∠2的余角，∠2是∠1的余角. （2）若∠1+∠2=180°，则∠1与∠2互为补角.其中∠1是∠2的补角，∠2是∠1的补角. （3）结论: 同角(或等角)的余角相等；同角(或等角)的补角相等. 要点诠释： ①余角(或补角)是两个角的关系，是成对出现的，单独一个角不能称其为余角(或补角). ②一个角的余角(或补角)可以不止一个，但是它们的度数是相同的. ③只考虑数量关系，与位置无关． ④“等角是相等的几个角”，而“同角是同一个角” . 【经典例题一角的概念理解】 【例1】 （23-24七年级上·浙江杭州·开学考试）如图，是直角，是射线，则图中共有锐角（　　）   A．28个 B．27个 C．24个 D．22个 1．（2024·湖北恩施·模拟预测）用一个10倍的放大镜看一个的角，看到的角的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·全国·课后作业）下列说法中，正确的有 个 ①小于的角是锐角；②等于的角是直角；③大于的角是钝角； ④平角等于；⑤周角等于． 3．（23-24七年级上·福建莆田·期末）读句画图如图，点是同一平面内三个点，借助直尺、刻度尺、量角器完成（以答题卡上印刷的图形为准）： （1）画图： ①画射线； ②画直线； ③连接并延长到点D，使得． （2）测量：约为_________°（精确到）． 【经典例题二 角的表示方法】 【例2】 （23-24七年级上·北京房山·期末）下列四个图中，能用、、三种方法表示同一个角的是（   ） A． B． C． D． 1．（23-24七年级上·全国·单元测试）如图所示的图形表示正确的有(　　)      A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 2．（2024七年级上·浙江·专题练习）如图，总共有 个角． 3．（2024七年级上·浙江·专题练习）完成以下各题． (1)写出图中能用一个字母表示的角； (2)写出图中以为顶点的角； (3)图中共有几个角？ 【经典例题三 角的分类】 【例3】（23-24七年级上·北京房山·期末）如图所示，下列各角是锐角的是（    ） A． B． C． D． 1．（23-24七年级上·浙江杭州·期末）在综合与实践课上，将与两个角的关系记为，探索n的大小与两个角的类型之间的关系（　　） A．当时，若为锐角，则为锐角 B．当时，若为钝角，则为钝角 C．当时，若为锐角，则为锐角 D．当时，若为锐角，则为钝角 2．（23-24七年级上·全国·课堂例题）如图所示，回答下列问题：    (1)写出能用一个字母表示的角： ； (2)写出以点B为顶点的角 ； (3)图中共有 个小于平角的角． 3．（23-24七年级上·江西赣州·期末）按照要求作图： (1)画直线AC，连接BD与AC相交于点О； (2)画射线AB，反向延长线段CD与射线AB相交于点G． (3)以A为顶点的锐角有_______________个． 【经典例题四 钟面角】 【例4】 （23-24七年级上·山东泰安·期中）下午时，时针和分针所夹锐角的度数是（    ） A． B． C． D． 1．（23-24七年级上·河南平顶山·期末）如图所示，钟表上显示的时间是时分，此时，时针和分针的夹角的度数是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·全国·单元测试）自习课上，一名同学抬头看见挂在黑板上方的时钟显示为，此时时针与分针的夹角是 ． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，观察时钟，解答下列问题： (1)在2时和3时之间，什么时刻时针和分针的夹角为直角？ (2)小明下午5时多有事外出时，看到墙上钟面的时针和分针的夹角为，下午不到6时回家时，发现时针和分针的夹角又为，那么小明外出了多长时间？ 【经典例题五 方向角的表示】 【例5】 （23-24七年级上·山东淄博·期末）点B看点A是北偏西58度，则由点A看点B是（    ） A．南偏东58度 B．南偏东32度 C．北偏西32度 D．北偏西58度 1．（23-24七年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末）下列说法：①两点确定一条直线；②两点之间，线段最短；③若满足，则；④连接两点之间的线段叫做这两点间的距离；⑤学校在小明家南偏东方向上，则小明家在学校北偏西方向上．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（23-24七年级上·江苏南京·期末）如图，射线OA所表示的方向是 ． 3．（24-25七年级上·山西大同·开学考试）大同古都历史悠久，文化底蕴深厚，旅游市场繁荣有序． (1)（如图1）算盘上的数表示的是截止2024年5月5日14时，我市“五一”期间纳入重点监测的6个景区累计接待游客人次．这个数写作（    ），省略“万”后面的尾数约是（    ）万，请你在下面的数轴上用“▲”表示出原数的大概位置． (2)小杰一家来大同旅游，他们从大同南站出发（如图2），准备先打卡大同古城，应该向（    ）方向行驶大约（    ）千米． (3)小杰在东南邑一家文创店被云冈砂石冰箱贴（如图3）深深吸引，想购买一些送给同学．单买一个30元，每满80元减10元，小杰买10个，实际享受的是（    ）折优惠．   【经典例题六 与方向角有关的计算题】 【例6】 （23-24七年级上·云南昆明·期末）如图，点B在点O的北偏东方向上，，则点C在点O的（　　） A．西偏北方向上 B．北偏西方向上 C．西偏北方向上 D．北偏西方向上 1．（23-24七年级上·山东烟台·期末）如图，的方向是北偏东，的方向是西北方向，若，则的方向是（    ） A．北偏东 B．北偏东 C．北偏东 D．北偏东 2．（23-24七年级上·河南郑州·期末）如图，已知轮船在灯塔的北偏东方向，轮船在灯塔的南偏东方向，则 ． 3．（23-24七年级上·吉林四平·期末）如图，射线的方向是北偏东，射线的方向是北偏西、射线是的反向延长线，且射线平分．解答下列各题： (1)射线的方向是_______； (2)求的度数； (3)若射线的方向是东南方向，请直接写出的度数． 【经典例题七 角度的四见运算】 【例7】 （2024七年级上·全国·专题练习）下列式子中错误的是（  ） A． B． C． D． 1．（23-24七年级上·河北邢台·期末）已知，以为端点作射线，使，则的度数为（   ）． A． B． C．或 D．或 2．（23-24七年级上·湖北黄冈·阶段练习）中有两个锐角和一个钝角，其数值已经给出，在计算的值时，有三位同学分别计算了19°，20°，21°这三个不同的结果，其中只有一个是正确的答案，则 ． 3．（23-24七年级上·浙江绍兴·阶段练习）（1）先化简，再求值：，其中． （2）．       （3）． 【经典例题八 角的比较】 【例8】 （23-24七年级上·河北张家口·期末）如图．直线外有一定点，A是上的一个动点，当点A从左向右运动时，观察的变化情况，正确的是（    ）    A．逐渐变小 B．逐渐变大 C．大小不变 D．无法确定 1．（23-24七年级上·河北沧州·期末）用10倍的放大镜看的角，看到的角的度数是（   ） A． B． C． D．不确定 2．（23-24七年级·全国·假期作业）如图所示，由正方形组成的网格中，点A，B，C，D，O是网格线交点，那么与的大小关系是 ．（填“＞”，“＜”或“＝”） 3．（23-24七年级上·全国·课后作业）把两个三角尺按如图所示那样拼在一起，试确定图中的度数及其大小关系． 【经典例题九 三角板中角度计算问题】 【例9】 （24-25七年级上·山东威海·期中）如图，将一副三角尺按不同位置摆放，摆放方式中的图形有（　　） A． B． C． D． 1．（23-24七年级上·安徽合肥·期末）将一副三角尺按如图所示的方式摆放（两条直角边在同一条直线上），连接另外两个锐角顶点，并测得，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·江苏宿迁·期末）如图，把一块直角三角板的直角顶点放在一条直线上，如果，那么 ． 3．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）如图1，已知，点O为直线上一点：在直线的上方，．一直角三角板的直角顶点放在点O处，三角板一边在射线上，另一边ON在直线的下方． (1)在图1的时刻，的度数为 ，的度数为 ； (2)如图2，当三角板绕点O旋转至一边恰好平分时，求的度数； (3)如图3，当三角板绕点O旋转至一边在的内部时，的度数为 ； 【经典例题十 实际问题中角度计算问题】 【例10】（23-24七年级上·河北廊坊·期末）如图，小明从A处沿南偏西方向行走至点B处，又从点B处沿北偏西方向行走至点E处，则∠ABE＝（　　） A． B． C． D． 1．（23-24七年级上·河北保定·期末）已知：如图1，点A，O，B依次在直线上，现将射线绕点O沿顺时针方向以每秒的速度旋转；同时射线绕点O沿逆时针方向以每秒的速度旋转．如图2，设旋转时间为t秒（）．下列说法正确的是（    ） A．整个运动过程中，不存在的情况 B．当时，两射线的旋转时间t一定为20秒 C．当t值为36秒时，射线恰好平分 D．当时，两射线的旋转时间t一定为40秒 2．（23-24七年级上·吉林·期末）如图，OA表示北偏东41°方向，OB表示南偏东54°方向，则∠AOB＝ 度． 3．（23-24七年级上·湖南长沙·期末）如图1，大课间的广播操展让我们充分体会到了一种整体的图形之美，欢欢和乐乐想从数学角度分析下如何能让班级同学们的广播操做得更好，他们搜集了标准广播操图片进行讨论，如图2，为了方便研究，定义两手手心位置分别为，两点，两脚脚跟位置分别为，两点，定义，，，平面内为定点，将手脚运动看作绕点进行旋转： (1)填空：如图2，，，三点共线，且，则______° (2)第三节腿部运动中，如图3，欢欢发现，虽然，，三点共线，却不在水平方向上，且．她经过计算发现，的值为定值，请判断欢欢的发现是否正确，如果正确请求出这个定值，如果不正确，请说明理由； (3)第四节体侧运动中，乐乐发现，两腿左右等距张开且，开始运动前、、三点在同一水平线上，、绕点顺时针旋转，旋转速度为，旋转速度为，当旋转到与重合时，运动停止，如图4 ①运动停止时，直接写出______； ②请帮助乐乐求解运动过程中与的数量关系． 【经典例题十一 角平分线的有关计算】 【例11】（23-24七年级上·重庆·期末）如图，将一副三角尺叠放在一起，使直角顶点重合于点O，若，为的角平分线，则的度数是（    ） A． B． C． D． 1．（23-24七年级上·浙江温州·期末）如图，是的平分线，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，射线是的平分线，射线是的平分线，．若，则的度数为 ． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）有这样一个探究题：借助三角尺拼出的角，即通过一副三角尺可以拼出一些特殊度数的角． (1)【实践】在度数分别为①，②，③，④的角中，用一副三角尺拼不出来的是_________（填序号）； (2)【操作】七（1）班数学学习小组用一副三角尺进行拼角．如图①，小明把和的角拼在一起；如图②，小红把和的角拼在一起．他们两人各自所拼的两个角均在公共边的异侧，并在各自所拼的图形中分别作出的平分线和的平分线，则图①中的的度数为_________，图②中的的度数为_________； (3)【发现】当有公共顶点的两个角和有一条边重合，且这两个角在公共边的异侧时，这两个角的平分线的夹角的度数是_________（用含，的代数式表示）； (4)【拓展】小明把图①中的三角尺绕点O顺时针旋转到图③的位置，使O，D，B三点在同一条直线上，并求出了的度数为．小红把图②中的三角尺绕点O顺时针旋转到图④的位置，使O，D，B三点在同一条直线上．请你仿照小明的做法，求出图④中的度数； (5)【归纳】当有公共顶点的两个角和有（其中）有一条边重合，且这两个角在公共边的同侧时，这两个角的平分线的夹角的度数是_________（用含，的代数式表示） 【经典例题十二 求一个角的余角】 【例12】（23-24七年级上·重庆渝中·自主招生）如图是光的反射定律示意图，分别是入射光线，反射光线和法线．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 1．（2024七年级·全国·竞赛）已知，且，则下列式子不能表示的余角的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·湖北武汉·期末）若，则的余角度数为 ． 3．（23-24七年级上·贵州铜仁·期末）如图，与互余，平分． (1)若， 求的度数． (2)若， 用代数式表示的度数． 【经典例题十三 求一个角的补角】 【例13】（23-24七年级上·河北保定·期末）一定能使等式“”成立的图形是（    ） A．   B．   C．   D．   1．（23-24七年级上·重庆涪陵·期末）如图，点是直线上一点，以点为端点在直线上方作射线和射线，若射线平分，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·云南昭通·期中）若，则的邻补角等于 ． 3．（23-24七年级上·湖南张家界·期末）如图，已知，，平分，平分． (1)求的补角的度数； (2)求的度数． 【经典例题十四 与余角、补角有关的计算】 【例14】（24-25七年级上·全国·期末）如图，将三个大小不同的正方形的一个顶点重合放置，则三个角的数量关系为（　　） A． B． C． D． 1．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列说法中错误的是（    ） A．点是构成图形的基本元素 B．一个锐角的补角一定大于这个角 C．若，则与互为余角 D．若，则点C是线段的中点 2．（23-24七年级上·福建厦门·期末）如图，点O是直线上一点，平分，，平分，与互余，则 °． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）利用折纸可以作出角平分线，如图1折叠，则为的平分线，如图2、图3，折叠长方形纸片，，均是折痕，折叠后，点A落在点，点B落在点，连接．      (1)如图2，若点恰好落在上，且，则 ； (2)如图3，当点在的内部时，连接，若，，求的度数． 【经典例题十五 同(等)角的余(补)角相等的应用】 【例15】（23-24七年级上·湖南张家界·期末）如图，点在直线上，，那么下列说法错误的是（ ） A．与相等 B．与互余 C．与互补 D．与互余 1．（23-24七年级上·江苏无锡·期末）如图，直线、相交于点O，，图中与互补的角有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（23-24七年级上·湖北孝感·期末）如图，在中，，，垂足为D，则的余角是 和 ， ，理由是 ． 3．（23-24七年级上·河北唐山·期末）【实践活动】如图1，将一副三角板的直角顶点重合摆放． （1）判断与的大小关系，并说明理由； （2）探索与之间的数量关系，并说明理由； 【拓展探究】 （3）如图2，若，且，探索与之间的数量关系，并说明理由． 【经典例题十六 余角、补角的综合应用】 【例16】 （23-24·山东济南·七年级期末）点为直线上一点，过点作射线，使．将一直角三角板的直角顶点放在点处．    (1)将三角板按图1位置摆放，此时是的角平分线，求的度数； (2)将三角板按图2位置摆放，此时，求的度数． 1．（23-24·山东烟台·七年级期末）如图，，平分，反向延长射线至F．    (1)和______；（填“互余”“相等”“互补”或“没有特殊关系”） (2)是的平分线吗？为什么？ (3)反向延长射线至G，与的度数比为2：5，求的度数． 2．（23-24·黑龙江绥化·七年级期末）已知在同一平面内， (1)填空： ______． (2)若平分，平分，则的度数是多少？ (3)在（2）的条件下，将题目中的改成，则______． 3．（23-24·吉林长春·七年级期末）如图，点O在直线上，．在中，，．先将的一边与重合，然后绕点O顺时针方向旋转，当与重合时停止旋转．    (1)如图①，当在与之间，且时，则______度，______度． (2)如图②，当在与之间时，求与差的度数． (3)在旋转的过程中，若，求旋转角的度数． 4．（2024·河北廊坊·七年级期末）如图，以直线上一点为端点作射线，使，将一个直角三角形的直角顶点放在点处．（注：）    (1)如图1，若直角三角板的一边放在射线上，则 ； (2)如图2，将直角三角板绕点顺时针方向转动到某个位置，若恰好平分，求的度数； (3)将直角三角板绕点转动，如果始终在的内部，试猜想和有怎样的数量关系？并说明理由． 1．（23-24七年级上·山东菏泽·期中）明明和亮亮约好周六上午八点半去公园玩耍，这时钟面上时针与分针的夹角是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列说法中错误的是（    ） A．点是构成图形的基本元素 B．一个锐角的补角一定大于这个角 C．若，则与互为余角 D．若，则点C是线段的中点 3．（24-25七年级上·全国·单元测试）下列说法错误的是（　　） A．角是由两条有公共端点的射线组成的图形 B．周角的一半叫平角 C．可转化为 D．直线是平角 4．（23-24七年级上·重庆渝中·自主招生）如图是光的反射定律示意图，分别是入射光线，反射光线和法线．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．（23-24七年级上·重庆·期末）如图，将一副三角尺叠放在一起，使直角顶点重合于点O，若，为的角平分线，则的度数是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级上·广东汕头·阶段练习）从到，分针旋转了 度． 7．（2024·吉林·二模）计算： ． 8．（24-25七年级上·全国·期末）将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，为折痕． ，则＝ 度． 9．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，射线是的平分线，射线是的平分线，．若，则的度数为 ． 10．（24-25七年级上·河北邢台·期中）一位同学利用如图所示的量角器、采用如图1所示的方法测量锐角的度数，其中量角器有两条刻度线分别在射线、上、则的度数为 ，另外一位同学用同样的方法，测量的余角的度数，如图2所示，已知射线所指示的度数为，则射线所指示的度数为 ． 11．（2024七年级上·全国·专题练习）计算． (1)； (2)； (3)； (4)． 12．（24-25七年级上·河北邢台·期中）定义：我们把有公共顶点和一条公共边的两个角称为“共边角”． (1)如图，写出的共边角； (2)与是一组“共边角”，共中，直接写出非公共边的两边所夹的角的度数； (3)若一组“共边角”与非公共边的两边所夹的角是分别是，的平分线，请画出图形，求的度数． 13．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）（1）如图为一副直角三角尺，其中作 ．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）    （2）理解填空： 如图， 点B、D在线段上， 且 D是的中点， 若求的长．    解：因为 所以 又 = ． 因为D是AC的中点， 所以 ． 所以 = ． 14．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）（1）已知：如图1，是直角三角板斜边上的一个动点，、分别是和的平分线．当点在斜边上移动时，　　； （2）把直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上： ①点和点在直线的上方（如图），此时与的数量关系是　　； ②当把这把直角三角板绕顶点旋转到点在直线的下方、点仍然在直线的上方时（如图），与的数量关系是　　； ③当把这把直角三角板绕顶点旋转到点和点都在直线的下方时（如图），与的数量关系是　　． 15．（2024七年级上·全国·专题练习）已知O为直线上的一点，． (1)如图①，以O为观察中心，射线表示正北方向，表示正东方向． ①若，则射线的方向是_________； ②与的关系为_________； ③与的关系为_________． (2)若将射线、射线绕点O旋转至如图②所示的位置，另一条射线恰好平分．若，求的度数； (3)若将射线、射线绕点O旋转至如图③所示的位置，射线仍然平分与之间存在怎样的数量关系？请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 角与角的计算重难点题型专训（16大题型+15道拓展培优） 题型一 角的概念理解 题型二 角的表示方法 题型三 角的分类 题型四 钟面角 题型五 方向角的表示 题型六 与方向角有关的计算题 题型七 角度的四则运算 题型八 角的比较 题型九 三角板中角度计算问题 题型十 实际问题中角度计算问题 题型十一 角平分线的有关计算 题型十二 求一个角的余角 题型十三 求一个角的补角 题型十四 与余角、补角有关的计算 题型十五 同（等）角的余（补）角相等的应用 题型十六 余角、补角的综合应用 知识点一：角的表示 （1）用三个字母表示角时，表示顶点的字母必须写在另两个字母的中间．如∠AOB； （2）在不引起混淆的情况下，角还可以用它的顶点字母来表示．如∠A； （3）角可以用希腊字母来表示，一般地，用希腊字母表示一个角时，需在角内靠近顶点处画上弧线．如∠α； （4）角可以用一个数字来表示，一般地，用一个数字表示一个角时，需在角内靠近顶点处画上弧线．如∠1． 角也可以看成是一条射线绕着它的一个端点旋转到另一个位置所成的图形． 1．角的度量 （1）角的定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边；此外，角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形. (2)角的表示方法：角通常有三种表示方法：一是用三个大写英文字母表示，二是用角的顶点的一个大写英文字母表示，三是用一个小写希腊字母或一个数字表示.例如下图： 要点诠释： ①角的两种定义是从不同角度对角进行的定义； ②当一个角的顶点有多个角的时候，不能用顶点的一个大写字母来表示. （3）角度制及角度的换算 1周角=360°，1平角=180°，1°=60′，1′=60″，以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制. 要点诠释： ①度、分、秒的换算是60进制，与时间中的小时分钟秒的换算相同. ②度分秒之间的转化方法：由度化为度分秒的形式(即从高级单位向低级单位转化)时用乘法逐级进行；由度分秒的形式化成度(即低级单位向高级单位转化)时用除法逐级进行. ③同种形式相加减：度加（减）度，分加（减）分，秒加（减）秒；超60进一，减一 成60. （4）角的分类 ∠β 锐角 直角 钝角 平角 周角 范围 0＜∠β＜90° ∠β=90° 90°＜∠β＜180° ∠β=180° ∠β=360° （5）画一个角等于已知角 （1）借助三角尺能画出15°的倍数的角，在0～180°之间共能画出11个角. （2）借助量角器能画出给定度数的角. （3）用尺规作图法. 2．角的比较与运算 （1）角的比较方法: ①度量法；②叠合法. （2）角的平分线： 从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线，例如：如下图，因为OC是∠AOB的平分线，所以∠1=∠2=∠AOB，或∠AOB=2∠1=2∠2. 类似地，还有角的三等分线等. 知识点二：余角、补角、对顶角 余角：如果两个角的和是一个直角，那么这两个角互为余角． 补角：如果两个角的和是一个平角，那么这两个角互为补角． 　　1．互余、互补是指两个角之间的一种关系． 　　2．互余、互补是指数量关系，与两个角的位置没有关系． 余角补角 （1）若∠1+∠2=90°，则∠1与∠2互为余角.其中∠1是∠2的余角，∠2是∠1的余角. （2）若∠1+∠2=180°，则∠1与∠2互为补角.其中∠1是∠2的补角，∠2是∠1的补角. （3）结论: 同角(或等角)的余角相等；同角(或等角)的补角相等. 要点诠释： ①余角(或补角)是两个角的关系，是成对出现的，单独一个角不能称其为余角(或补角). ②一个角的余角(或补角)可以不止一个，但是它们的度数是相同的. ③只考虑数量关系，与位置无关． ④“等角是相等的几个角”，而“同角是同一个角” . 【经典例题一角的概念理解】 【例1】 （23-24七年级上·浙江杭州·开学考试）如图，是直角，是射线，则图中共有锐角（　　）   A．28个 B．27个 C．24个 D．22个 【答案】B 【分析】本题考查了角的定义，掌握角的定义是解题的关键．分别数出以、、……为一边的角的个数，然后相加即可． 【详解】解：以 为一边的角有7个， 以 为一边的角有6个， 以 为一边的角1个． 共有角 个 ． 去掉 直角 ，还有27个． 故答案为：B． 1．（2024·湖北恩施·模拟预测）用一个10倍的放大镜看一个的角，看到的角的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】把角按一定比例放大或缩小，角的度数不变． 【详解】解：放大镜看一个的角，角的两边的张开程度没变，即角的度数不变， 故选：D． 【点睛】本题考查角的概念，关键是掌握图形的放大或缩小的性质． 2．（23-24七年级上·全国·课后作业）下列说法中，正确的有 个 ①小于的角是锐角；②等于的角是直角；③大于的角是钝角； ④平角等于；⑤周角等于． 【答案】3 【分析】本题主要考查了锐角、直角、钝角、平角以及周角的定义，属于基础题.掌握锐角、直角、钝角、平角以及周角的定义是解答本题的关键．实际解答时，要学会举反例． 【详解】①小于的角也可能是 ，不一定是锐角，原说法错误； ②等于的角是直角，说法正确； ③平角大于但不是钝角，原说法错误； ④平角等于，说法正确； ⑤周角等于，说法正确， 故正确的有3个， 故答案为：3． 3．（23-24七年级上·福建莆田·期末）读句画图如图，点是同一平面内三个点，借助直尺、刻度尺、量角器完成（以答题卡上印刷的图形为准）： （1）画图： ①画射线； ②画直线； ③连接并延长到点D，使得． （2）测量：约为_________°（精确到）． 【答案】（1）①见解析；②见解析；③见解析；（2）50 【分析】（1）根据题目要求结合概念作图可得； （2）利用量角器测量可得． 【详解】解：（1）如图所示： ①射线AB即为所求； ②直线BC即为所求； ③线段CD=CA即为所求 （2）约为50° 故答案为：50 【点睛】本题主要考查作图，解题的关键是掌握直线、射线、线段的概念及角的定义和测量． 【经典例题二 角的表示方法】 【例2】 （23-24七年级上·北京房山·期末）下列四个图中，能用、、三种方法表示同一个角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据角的表示方法和图形选出即可． 【详解】A、图中的∠MON不能用∠O表示，故本选项错误； B、图中的∠1和∠O不是表示同一个角，故本选项错误； C、图中的、、表示同一个角，故本选项正确； D、图中∠1、∠MON、∠O不表示同一个角，故本选项错误； 故选：C． 【点睛】本题考查了角的表示方法的应用，主要考查学生的理解能力和观察图形的能力． 1．（23-24七年级上·全国·单元测试）如图所示的图形表示正确的有(　　)      A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【分析】根据直线，射线，线段与角的表示方法对各图形分析判断，然后即可进行选择． 【详解】解：第1个图形，线段EF，表示正确； 第2个图形，直线MN，表示正确； 第3个图形，线段BA，表示正确； 第4个图形，应该表示为射线OA，表示错误； 第5个图形，表示为∠O，正确； 第6个图形，应该表示为∠BAC或∠CAB，表示错误． 综上，表示正确的有第1、2、3、5共4个图形． 故选B． 2．（2024七年级上·浙江·专题练习）如图，总共有 个角． 【答案】10 【分析】根据图形分别表示出所有角即可． 【详解】解：图中的角有：，，，，，，，，，共有10个角． 故答案为：10． 【点睛】本题考查了角的概念，正确会表示角，做到不重不漏是关键． 3．（2024七年级上·浙江·专题练习）完成以下各题． (1)写出图中能用一个字母表示的角； (2)写出图中以为顶点的角； (3)图中共有几个角？ 【答案】(1)能用一个字母表示的角有2个：， (2)以为顶点的角有6个：，，，，， (3)图中所有的角有11个：，，，，，，，，，， 【分析】（1）根据角的概念和角的表示方法，依题意求得答案； （2）根据角的概念和角的表示方法，依题意求得答案； （3）根据角的概念即可得到答案． 【详解】（1）能用一个字母表示的角有2个：，； （2）以为顶点的角有6个：，，，，，； （3）图中所有的角有11个：，，，，，，，，，，． 【点睛】本题主要考查了角的概念．从一点引出两条射线组成的图形就叫做角． 【经典例题三 角的分类】 【例3】（23-24七年级上·北京房山·期末）如图所示，下列各角是锐角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了角的分类．根据小于90度的角是锐角，大于90度小于180度的角是钝角，等于90度的角是直角来判断． 【详解】解：A、，是直角，故不符合题意； B、，是钝角，故不符合题意； C、，是钝角，故不符合题意； D、，是锐角，故符合题意， 故选：D． 1．（23-24七年级上·浙江杭州·期末）在综合与实践课上，将与两个角的关系记为，探索n的大小与两个角的类型之间的关系（　　） A．当时，若为锐角，则为锐角 B．当时，若为钝角，则为钝角 C．当时，若为锐角，则为锐角 D．当时，若为锐角，则为钝角 【答案】A 【分析】本题考查了角的倍分关系及锐角、钝角定义，根据角的分类及倍分关系逐项判断即可． 【详解】解：A、当时，若为锐角，则为锐角，正确，故本选项符合题意； B、当时，若为钝角，则为锐角，原说法错误，故本选项不符合题意； C、当时，若为锐角，则为锐角或钝角，原说法错误，故本选项不符合题意； D、当时，若为锐角，则为钝角或锐角，原说法错误，故本选项不符合题意； 故选：A． 2．（23-24七年级上·全国·课堂例题）如图所示，回答下列问题：    (1)写出能用一个字母表示的角： ； (2)写出以点B为顶点的角 ； (3)图中共有 个小于平角的角． 【答案】 【分析】本题考查的是角的表示方法． （1）确定以这个字母为顶点的角只有1个，从而可得答案； （2）根据角的定义分别确定以B为顶点的角即可； （3）分别确定以，，，为顶点的小于平角的角即可． 【详解】（1）解：能用一个字母表示的角有：． 故答案为：． （2）以为顶点的角有：． 故答案为：． （3）图中共有7个小于平角的角，分别是：，，，，，，，共个． 故答案为：7． 3．（23-24七年级上·江西赣州·期末）按照要求作图： (1)画直线AC，连接BD与AC相交于点О； (2)画射线AB，反向延长线段CD与射线AB相交于点G． (3)以A为顶点的锐角有_______________个． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)3 【分析】（1）根据直线、线段定义画直线，连接即可； （2）根据射线的定义画射线，反向延长线段与射线相交于点即可； （3）按一定的规律依次列举出所有的情况即可． 【详解】（1）解：如图，直线，线段即为所求； （2）解：如图，射线、点即为所求． （3）解：以A为顶点的锐角有： ，共3个， 故答案为：3． 【点睛】本题考查作图复杂作图，直线、射线、线段、锐角，解题的关键是掌握直线、射线、线段的定义． 【经典例题四 钟面角】 【例4】 （23-24七年级上·山东泰安·期中）下午时，时针和分针所夹锐角的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查钟面角，掌握钟面角的特征是解题的关键．求出每一大格的度数即可得到答案． 【详解】解：钟面上有个大格， 故每一格度数为：， 下午时，时针和分针对应两个半大格， 故下午时，时针和分针所夹锐角的度数是． 故选C． 1．（23-24七年级上·河南平顶山·期末）如图所示，钟表上显示的时间是时分，此时，时针和分针的夹角的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了钟面角问题，解题的关键在于能够熟练掌握时针和分针每分钟所转过的角度．时针在钟面上每分钟转，分针每分钟转，由此即可算出时分钟时，时针、分针与12时的夹角，即得答案． 【详解】∵时针在钟面上每分钟转，分针每分钟转， ∴钟表上时分钟时，时针从时转过分钟转了，此时时针与垂直线的夹角为，分针从的位置顺时针转了， ∴时分钟时分针与时针的夹角． 故选C． 2．（24-25七年级上·全国·单元测试）自习课上，一名同学抬头看见挂在黑板上方的时钟显示为，此时时针与分针的夹角是 ． 【答案】/75度 【分析】本题考查钟面角，理解钟面角为把圆分成12等分是解题的关键，根据题意当时钟显示为，时针与分针的夹角由两部分组成，分别是之间的两格和之间的半格，求出它们的度数即可得到答案． 【详解】解：如图， ∴时针与分针的夹角为. 3．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，观察时钟，解答下列问题： (1)在2时和3时之间，什么时刻时针和分针的夹角为直角？ (2)小明下午5时多有事外出时，看到墙上钟面的时针和分针的夹角为，下午不到6时回家时，发现时针和分针的夹角又为，那么小明外出了多长时间？ 【答案】(1)在2时分时，时针和分针的夹角为直角 (2)分钟 【分析】本题考查应用类问题，钟表时针与分针的夹角．在钟表问题中，常利用时针与分针转动的度数关系：分针每转动，时针转动，并且利用起点时间时针和分针的位置关系建立方程求解． （1）在2点整时，时针与分针恰成，分针指着12，时针指着2，分针每分钟运动速度为，时针每分钟运动速度为，设分针运动分钟，根据所行路程差为或列出方程解答即可； （2）设5时y分钟时，时针与分针夹角为，分两种情况建立方程求解即可． 【详解】（1）解：设分针运动分钟，时针和分针的夹角为直角，由题意得 ，或 解得：或（舍去） 答：在2时分时，时针和分针的夹角为直角； （2）解：设5时y分钟时，时针与分针夹角为， 则由题意得：或 解得：或 ， ∴，即外出分钟， 答：小明外出了分钟． 【经典例题五 方向角的表示】 【例5】 （23-24七年级上·山东淄博·期末）点B看点A是北偏西58度，则由点A看点B是（    ） A．南偏东58度 B．南偏东32度 C．北偏西32度 D．北偏西58度 【答案】A 【分析】本题主要考查了方向角，在叙述方向角时一定要注意以哪个图形为参照物． 点A看点B的方向是北偏东，是以A为标准，反之B看A的方向是A相对于B的方向与位置． 【详解】解：从点B看点A的方向为北偏西，那么从点A看点B的方向为南偏东． 故选：A． 1．（23-24七年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末）下列说法：①两点确定一条直线；②两点之间，线段最短；③若满足，则；④连接两点之间的线段叫做这两点间的距离；⑤学校在小明家南偏东方向上，则小明家在学校北偏西方向上．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查直线、线段的性质，理解两点间的距离，根据直线的性质，线段的性质，两点间的距离以及方向角的定义逐项进行判断即可． 【详解】解：①过两点有且只有一条直线，即两点确定一条直线，因此①正确； ②平面内，连接两点的线中，线段最短，即两点之间，线段最短，因此②正确； ③若满足，则，因此③不正确； ④连接两点之间的线段的长度叫做这两点间的距离，因此④不正确； ⑤学校在小明家南偏东 方向上，则小明家在学校北偏西方向 方向上，因此⑤正确； 综上所述，正确的有：①②⑤，共3个， 故选：C． 2．（23-24七年级上·江苏南京·期末）如图，射线OA所表示的方向是 ． 【答案】北偏东54° 【分析】根据互余先计算出OA与北方向线的夹角，后描述方位即可 【详解】∵OA与北方向线的夹角为90°-36°=54°， ∴射线OA所表示的方向是北偏东54°， 故答案为：北偏东54°． 【点睛】本题考查了方位角，正确理解方位角的意义是解题的关键． 3．（24-25七年级上·山西大同·开学考试）大同古都历史悠久，文化底蕴深厚，旅游市场繁荣有序． (1)（如图1）算盘上的数表示的是截止2024年5月5日14时，我市“五一”期间纳入重点监测的6个景区累计接待游客人次．这个数写作（    ），省略“万”后面的尾数约是（    ）万，请你在下面的数轴上用“▲”表示出原数的大概位置． (2)小杰一家来大同旅游，他们从大同南站出发（如图2），准备先打卡大同古城，应该向（    ）方向行驶大约（    ）千米． (3)小杰在东南邑一家文创店被云冈砂石冰箱贴（如图3）深深吸引，想购买一些送给同学．单买一个30元，每满80元减10元，小杰买10个，实际享受的是（    ）折优惠．   【答案】(1)758821，76；画图见解析 (2)西北， (3)九 【分析】本题考查了数轴，近似数，方位角的相关知识，解决本题的关键是求出小杰实际付了多少元． （1）根据算珠，可以盘算这个数一共有6位，个位上有1个算珠，十位上有2个算珠，百位、千位上有8个算珠，万位上是一个上珠，表示5，十万位上1个上珠，2个下珠，表示7，所以这个数表示为这个数写作758821，省略“万”后面的尾数约是76万，将这个数在数轴上表示出来即可． （2）根据“上北、下南、左西、右东”的方位，得出小杰一家来大同旅游，他们从大同南站出发（如图2），准备先打卡大同古城，应该向西北方向行驶，一格代表4000米，所以3个代表（米），米千米，据此解答． （3）一个冰箱贴30元，10个需要300元，每满80元减10元，（元），300元满了3个80，所以可以优惠30元，现价是270元，所以折扣是九折．据此解答． 【详解】（1）解：这个数写作758821，省略“万”后面的尾数约是76万， 在数轴上表示76万如图所示： ； （2）解：（米），米千米， 小杰一家来大同旅游，他们从大同南站出发（如图2），准备先打卡大同古城，应该向西北方向行驶大约12千米． （3）解：（元）， （元）， （元）， 九折． 【经典例题六 与方向角有关的计算题】 【例6】 （23-24七年级上·云南昆明·期末）如图，点B在点O的北偏东方向上，，则点C在点O的（　　） A．西偏北方向上 B．北偏西方向上 C．西偏北方向上 D．北偏西方向上 【答案】B 【分析】本题考查了方向角的表示以及方向角的计算，用的度数减去，再结合图形即可解答． 【详解】解：． 点C在点O的北偏西方向上． 故选：B． 1．（23-24七年级上·山东烟台·期末）如图，的方向是北偏东，的方向是西北方向，若，则的方向是（    ） A．北偏东 B．北偏东 C．北偏东 D．北偏东 【答案】C 【分析】本题主要考查方向角的计算，熟练掌握方向角的计算是解题的关键．根据题意，求出，即可得到答案． 【详解】解：依题意可得，的方向是北偏东，的方向是西北方向，若， ， 故的方向是北偏东． 故选C． 2．（23-24七年级上·河南郑州·期末）如图，已知轮船在灯塔的北偏东方向，轮船在灯塔的南偏东方向，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了方向角，用减去两个方向角的度数即可得到答案． 【详解】解：∵轮船在灯塔的北偏东方向，轮船在灯塔的南偏东方向， ∴ 故答案为： 3．（23-24七年级上·吉林四平·期末）如图，射线的方向是北偏东，射线的方向是北偏西、射线是的反向延长线，且射线平分．解答下列各题： (1)射线的方向是_______； (2)求的度数； (3)若射线的方向是东南方向，请直接写出的度数． 【答案】(1)北偏东 (2) (3) 【分析】此题主要考查了方向角的表达，角平分线的定义，邻补角，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）先求出，再求得的度数，即可确定的方向； （2）根据得出 ，进而求出的度数； （3）根据，射线平分，即可求出再利用求出答案即可． 【详解】（1）解：如图： ∵射线的方向是北偏东，射线的方向是北偏西 ∴， ∵射线平分 ∴ ∴，即射线的方向是北偏东； （2）解：∵， ∴， ∴； （3）解：∵射线的方向是东南方向， 【经典例题七 角度的四见运算】 【例7】 （2024七年级上·全国·专题练习）下列式子中错误的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了度分秒的换算，根据“1度分，即，1分秒，即”进行度分秒的换算和度分秒间的加减计算． 【详解】 解：A、，计算正确，故本选项不符合题意． B、，计算正确，故本选项不符题意． C、，计算正确，故本选项不符合题意． D、，计算错误，故本选项符合题意． 故选：D． 1．（23-24七年级上·河北邢台·期末）已知，以为端点作射线，使，则的度数为（   ）． A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】分两种情况，射线在内部或外部，分别讨论即可． 【详解】解：当射线在内部时，   ； 当射线在外部时，   ． 的度数为或． 故选：C． 【点睛】本题考查角的计算，关键是分两种情况讨论． 2．（23-24七年级上·湖北黄冈·阶段练习）中有两个锐角和一个钝角，其数值已经给出，在计算的值时，有三位同学分别计算了19°，20°，21°这三个不同的结果，其中只有一个是正确的答案，则 ． 【答案】/342度 【分析】先算出的取值范围，即可判断三位同学的正确结果，再由正确结果乘以18即可得出的值． 【详解】中有两个锐角和一个钝角， 记，，， ， ， 三个结果中只有正确，即， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查角度的计算，掌握锐角和钝角的取值范围是解题的关键． 3．（23-24七年级上·浙江绍兴·阶段练习）（1）先化简，再求值：，其中． （2）．       （3）． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查整式加减中的化简求值，角度的四则运算，掌握相关运算法则，正确的计算，是解题的关键． （1）去括号，合并同类项，化简后，代值计算即可； （2）根据角的进制关系，计算即可； （3）根据角的进制关系，计算即可． 【详解】解：（1）原式， 当时，原式； （2）原式； （3）原式． 【经典例题八 角的比较】 【例8】 （23-24七年级上·河北张家口·期末）如图．直线外有一定点，A是上的一个动点，当点A从左向右运动时，观察的变化情况，正确的是（    ）    A．逐渐变小 B．逐渐变大 C．大小不变 D．无法确定 【答案】A 【分析】此题考查了角的概念，角的大小比较，解题的关键是数形结合． 【详解】解：当点A从左向右运动时，逐渐变小． 1．（23-24七年级上·河北沧州·期末）用10倍的放大镜看的角，看到的角的度数是（   ） A． B． C． D．不确定 【答案】C 【分析】此题考查的是角的大小的比较，角的大小的比较，不是比较边的长短，而是比较角的张开的角度的大小．角的大小和边的长短无关，与角张开的角度的大小有关，而放大镜看到的角，放大的只是角的边，所以，无论用多少倍的放大镜看角，角的大小都不变，可据此解题． 【详解】解：由题意得用10倍的放大镜看的角，看到的度数是． 故选：C 2．（23-24七年级·全国·假期作业）如图所示，由正方形组成的网格中，点A，B，C，D，O是网格线交点，那么与的大小关系是 ．（填“＞”，“＜”或“＝”） 【答案】＞ 【分析】如图：连接，则，又，即． 【详解】解：如图：连接， 由题意得：， ∵， ∴． 故答案为：＞． 【点睛】本题主要考查了角的大小比较，根据方格作出是解答本题的关键． 3．（23-24七年级上·全国·课后作业）把两个三角尺按如图所示那样拼在一起，试确定图中的度数及其大小关系． 【答案】． 【分析】首先要知道一副三角板的各角度数，然后求出∠AEB，最后比较大小． 【详解】解：∠B=30°，∠E=60°， ∠BAD==90°+45°=135°，∠DCE=90° ∴∠B＜∠E＜∠DCE＜∠BAD． 【点睛】本题考查了角的比较与运算，要知道一副三角板各角的度数，比较简单． 【经典例题九 三角板中角度计算问题】 【例9】 （24-25七年级上·山东威海·期中）如图，将一副三角尺按不同位置摆放，摆放方式中的图形有（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角板的有关角度计算问题，根据图形分别求出每个选项中的度数，即可判断求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：、由图可得，，， ∴，该选项不合题意； 、由图可得，，， ∴，该选项不合题意； 、由图可得，，该选项不合题意； 、由图可得，，， ∴，该选项符合题意； 故选：． 1．（23-24七年级上·安徽合肥·期末）将一副三角尺按如图所示的方式摆放（两条直角边在同一条直线上），连接另外两个锐角顶点，并测得，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平角定义及三角形内角和定理，并且要明确知道三角尺各角的度数，进行计算．由三角尺角的特殊性，利用平角定义及三角形内角和定理即可求出． 【详解】解：如图所示： ， 因为， 所以． 故选：C． 2．（23-24七年级上·江苏宿迁·期末）如图，把一块直角三角板的直角顶点放在一条直线上，如果，那么 ． 【答案】 【分析】本题主要考查三角板中角度的计算． 根据题意得，把代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 3．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）如图1，已知，点O为直线上一点：在直线的上方，．一直角三角板的直角顶点放在点O处，三角板一边在射线上，另一边ON在直线的下方． (1)在图1的时刻，的度数为 ，的度数为 ； (2)如图2，当三角板绕点O旋转至一边恰好平分时，求的度数； (3)如图3，当三角板绕点O旋转至一边在的内部时，的度数为 ； 【答案】(1)120，150 (2) (3) 【分析】本题考查了三角板中的角度计算，角的和差，角平分线的有关计算； （1）由角的和差得，，即可求解； （2）由角平分线的定义得，由角的和差得，即可求解； （3）设，则，，代入即可求解； 掌握角平分线的定义，能熟练利用角的和差表示出所求的角是解题的关键． 【详解】（1）解： ， ， ， ， 故答案为：120，150； （2）解：恰好平分， ， ； （3）解：设， 则， ， ， 故答案为：． 【经典例题十 实际问题中角度计算问题】 【例10】（23-24七年级上·河北廊坊·期末）如图，小明从A处沿南偏西方向行走至点B处，又从点B处沿北偏西方向行走至点E处，则∠ABE＝（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据方位角以及平行线的性质可得∠2=∠3=、∠1=，则∠ABE＝∠1+∠2，最后计算即可． 【详解】解：如图： ∵小明从A处沿南偏西方向行走至点B处，又从点B处沿北偏西方向行走至点E处 ∴∠2=∠3=，∠1= ∴∠ABE＝∠1+∠2=138°． 故答案为D． 【点睛】本题主要考查了方位角和角的运用，正确认识方位角成为解答本题的关键． 1．（23-24七年级上·河北保定·期末）已知：如图1，点A，O，B依次在直线上，现将射线绕点O沿顺时针方向以每秒的速度旋转；同时射线绕点O沿逆时针方向以每秒的速度旋转．如图2，设旋转时间为t秒（）．下列说法正确的是（    ） A．整个运动过程中，不存在的情况 B．当时，两射线的旋转时间t一定为20秒 C．当t值为36秒时，射线恰好平分 D．当时，两射线的旋转时间t一定为40秒 【答案】C 【分析】由题意知，；当时，；当时，；令，计算求解可判断选项A的正误；令，，计算求解可判断选项B、D的正误；将代入，求出的值，然后根据求解的值，根据与的关系判断选项C的正误． 【详解】解：由题意知，；当时，；当时，； 令，即，解得秒， ∴存在的情况； 故A错误，不符合题意； 令，即，解得秒， 令，即，解得秒， ∴当时，两射线的旋转时间t不一定为20秒； 故B、D错误，不符合题意； 当时，， ∴， ∵， ∴射线恰好平分， 故C正确，符合题意； 故选C． 【点睛】本题主要考查了角的运算，角平分线等知识．解题的关键在于正确的表示各角度． 2．（23-24七年级上·吉林·期末）如图，OA表示北偏东41°方向，OB表示南偏东54°方向，则∠AOB＝ 度． 【答案】85 【分析】利用方位角、角度和差的性质计算，即可完成求解． 【详解】∵OA表示北偏东41°方向，OB表示南偏东54°方向 ∴∠AOB＝180°-41°-54°＝85° 故答案是：85． 【点睛】本题考查了角度的知识；解题的关键是熟练掌握方位角、角度和差的性质，从而完成求解． 3．（23-24七年级上·湖南长沙·期末）如图1，大课间的广播操展让我们充分体会到了一种整体的图形之美，欢欢和乐乐想从数学角度分析下如何能让班级同学们的广播操做得更好，他们搜集了标准广播操图片进行讨论，如图2，为了方便研究，定义两手手心位置分别为，两点，两脚脚跟位置分别为，两点，定义，，，平面内为定点，将手脚运动看作绕点进行旋转： (1)填空：如图2，，，三点共线，且，则______° (2)第三节腿部运动中，如图3，欢欢发现，虽然，，三点共线，却不在水平方向上，且．她经过计算发现，的值为定值，请判断欢欢的发现是否正确，如果正确请求出这个定值，如果不正确，请说明理由； (3)第四节体侧运动中，乐乐发现，两腿左右等距张开且，开始运动前、、三点在同一水平线上，、绕点顺时针旋转，旋转速度为，旋转速度为，当旋转到与重合时，运动停止，如图4 ①运动停止时，直接写出______； ②请帮助乐乐求解运动过程中与的数量关系． 【答案】(1)90 (2)正确，代数式的值为； (3)①；②当时，；当时，． 【分析】（1）由A，O，B三点共线，可得出，再由两角相等，可得出； （2）由，设，则，分别表达和，再求比值，可得结论； （3）①算出运动停止时的时间，求出运动的角度，进而求出的度数；②由的运动过程可知，需要分类讨论，在点C，O，A共线前，和共线后两种状态，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵A，O，B三点共线， ∴， ∵， ∴． 故答案为：90； （2）∵， 设，则， ∴，， ∴． ∴欢欢的发现是正确的，代数式的值为； （3）解：∵， ∴，， 设运动时间为，则，则． ①运动停止时，即时，OA旋转的角度为， ∴， 故答案为：； ②当点C，O，A三点共线时，； ∴当时，，， ∴； 当时，， ， ∴． 综上，当时，；当时，． 【点睛】本题主要考查角的和差的相关计算，发现图形中角之间的和差关系是解题关键． 【经典例题十一 角平分线的有关计算】 【例11】（23-24七年级上·重庆·期末）如图，将一副三角尺叠放在一起，使直角顶点重合于点O，若，为的角平分线，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角板中的角度计算和角平分线的定义，找出角度之间的数量关系是解题关键．设，则，得到，则，解得，则，即可求出的度数． 【详解】解：设，则， 由题意可知，， ， ∴ 解得，， ∴， ∵为的角平分线， ∴， ∴ 故选：D． 1．（23-24七年级上·浙江温州·期末）如图，是的平分线，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查几何图形中角度的计算，角平分线的定义，由已知可得，，根据角平分线的定义得，即可得解．掌握角平分线的定义是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴的度数是． 故选：D． 2．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，射线是的平分线，射线是的平分线，．若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了角的计算，以及角的平分线定义，关键是注意分析角之间的和差关系．首先设，，再根据角平分线性质可得，再根据角的和差关系可得，进而得到，再解方程即可得到，进而得到答案 【详解】解：设，． 则． 是的平分线， ， ， ， ， 解得，， 是的平分线， ， ， 故答案为：． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）有这样一个探究题：借助三角尺拼出的角，即通过一副三角尺可以拼出一些特殊度数的角． (1)【实践】在度数分别为①，②，③，④的角中，用一副三角尺拼不出来的是_________（填序号）； (2)【操作】七（1）班数学学习小组用一副三角尺进行拼角．如图①，小明把和的角拼在一起；如图②，小红把和的角拼在一起．他们两人各自所拼的两个角均在公共边的异侧，并在各自所拼的图形中分别作出的平分线和的平分线，则图①中的的度数为_________，图②中的的度数为_________； (3)【发现】当有公共顶点的两个角和有一条边重合，且这两个角在公共边的异侧时，这两个角的平分线的夹角的度数是_________（用含，的代数式表示）； (4)【拓展】小明把图①中的三角尺绕点O顺时针旋转到图③的位置，使O，D，B三点在同一条直线上，并求出了的度数为．小红把图②中的三角尺绕点O顺时针旋转到图④的位置，使O，D，B三点在同一条直线上．请你仿照小明的做法，求出图④中的度数； (5)【归纳】当有公共顶点的两个角和有（其中）有一条边重合，且这两个角在公共边的同侧时，这两个角的平分线的夹角的度数是_________（用含，的代数式表示） 【答案】(1)④ (2)； (3) (4) (5) 【分析】本题考查与三角板有关的计算，与角平分线有关的角的计算，掌握角平分线的定义，是解题的关键． （1）根据用一副三角板可以直接画出角的度数是15的倍数可解答； （2）根据角平分线的定义和角的位置关系可以求得：，，再根据可以求得的度数； （3）同法（2）求解即可； （4）根据角平分线的定义和角的位置关系可以求得：，，再根据可以求得的度数． （5）同法（4）求解即可． 【详解】（1）解：用两副三角板可以直接画出大于小于的角，角的度数也是的倍数， ①，②，③都是15的倍数，而④不是15的倍数，所以不能画出的角． 故答案为：④； （2）解：∵平分， ∴， 同理， ∴， 在图①中：，， ∴， 在图②中，，， ∴； （3）解：设，与重合，与分别在两侧，平分，平分， 由（2）可得； 故答案为：； （4）解：∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （5）解：设，与重合，与分别在同侧，平分，平分， 由（4）可得； 故答案为：． 【经典例题十二 求一个角的余角】 【例12】（23-24七年级上·重庆渝中·自主招生）如图是光的反射定律示意图，分别是入射光线，反射光线和法线．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查角的计算、余角的性质、光的反射定律等知识点，掌握光的反射定律是解题的关键． 先根据余角的性质以及可求得，再根据光的反射定律以及余角的性质可得即可解答． 【详解】解：∵， ∴，即， 根据光的反射定律可知， ∵， ∴． 故答案为：C． 1．（2024七年级·全国·竞赛）已知，且，则下列式子不能表示的余角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查余角和补角，由得，分别代入各选项，计算后再进行判断即可． 【详解】解：∵，且， ∴，， ∵的余角为，故选项A正确，不符合题意； ∵， ∴表示的余角，故选项B正确，不符合题意； ∵ ， ∴可以表示的余角，故选项C正确，不符合题意； ∵ ， ∴不是的余角，所以选项D错误，符合题意． 故选：D． 2．（23-24七年级上·湖北武汉·期末）若，则的余角度数为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了余角的计算，根据“和为的两角互余”进行计算即可． 【详解】解：， 的余角度数为， 故答案为：． 3．（23-24七年级上·贵州铜仁·期末）如图，与互余，平分． (1)若， 求的度数． (2)若， 用代数式表示的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了互余的定义，角平分线的定义，角的和差； （1）由角平分线的定义得，由互余的定义得，由角的和差，即可求解； （2）由互余的定义得，再由角平分线的定义即可求解； 理解互余的定义，角平分线的定义，会用角的和差表示出所求的解是解题的关键． 【详解】（1）解：平分， ， 与互余， ， ， ； （2）解：与互余， ， ， 平分， ， ． 【经典例题十三 求一个角的补角】 【例13】（23-24七年级上·河北保定·期末）一定能使等式“”成立的图形是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】根据平角的定义判断即可． 【详解】根据平角的定义判定  中，符合题意，   中，不符合题意；   中，不符合题意；   中无法确定两个角的关系，不符合题意； 故选Ａ． 【点睛】本题考查了互补的定义，正确理解定义是解题的关键． 1．（23-24七年级上·重庆涪陵·期末）如图，点是直线上一点，以点为端点在直线上方作射线和射线，若射线平分，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由平角的定义求得∠COB，在根据角平分线的定义求∠AOB即可. 【详解】∵∠DOB+∠COB=180°， ∴∠COB= 180° -∠DOB =180° -110°= 70°， 因为射线平分， ∴∠AOB= COB=35°， 故选：B 【点睛】此题考查了平角的定义和角平分线的定义，掌握角平分线的定义是解答此题的关键. 2．（23-24七年级上·云南昭通·期中）若，则的邻补角等于 ． 【答案】 【分析】本题主要考查邻补角，熟练掌握邻补角的定义是解决本题的关键．根据邻补角的定义解决此题． 【详解】解：的邻补角等于 故答案为． 3．（23-24七年级上·湖南张家界·期末）如图，已知，，平分，平分． (1)求的补角的度数； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查角的和差，角平分线的定义，补角的定义． （1）先由即可求出，再根据补角的定义即可解答； （2）由角平分线的定义可求得，，进而根据角的和可求得． 【详解】（1）∵，， ∴， ∴的补角为； （2）∵平分，平分， ∴，， ∴． 【经典例题十四 与余角、补角有关的计算】 【例14】（24-25七年级上·全国·期末）如图，将三个大小不同的正方形的一个顶点重合放置，则三个角的数量关系为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了余角的计算，正确理解这一关系是解决本题的关键． 根据，即可求得，，代入，从而求解． 【详解】解：如图： ∵三个大小相同的正方形， ∴， ∴，， ∴， 即， 故选：C． 1．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列说法中错误的是（    ） A．点是构成图形的基本元素 B．一个锐角的补角一定大于这个角 C．若，则与互为余角 D．若，则点C是线段的中点 【答案】D 【分析】本题考查了余角和补角、线段的中点等知识点，掌握余角和补角的定义成为解题的关键． 根据几何图形的构成、余角与补角、线段的中点的定义逐项分析判断即可． 【详解】解：A.点是构成图形的基本元素，正确，故此选项不符合题意； B.一个锐角的补角是钝角，一定大于这个角，正确，故此选项不符合题意； C.若，则与互为余角，正确故此选项不符合题意； D.若且A、C、B在一条直线上时，点C才是线段的中点，原说法错误，故此选项符合题意． 故选：C． 2．（23-24七年级上·福建厦门·期末）如图，点O是直线上一点，平分，，平分，与互余，则 °． 【答案】45 【分析】本题主要考查余角与补角，角平分线的定义，由题意可得，从而可求得，进而得到，再由角平分线定义得，根据计算即可． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵与互余， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 故答案为：45． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）利用折纸可以作出角平分线，如图1折叠，则为的平分线，如图2、图3，折叠长方形纸片，，均是折痕，折叠后，点A落在点，点B落在点，连接．      (1)如图2，若点恰好落在上，且，则 ； (2)如图3，当点在的内部时，连接，若，，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了折叠的性质，平角的定义，角的和差的计算，掌握从图形中找出角之间的关系是解本题的关键． （1）由折叠得出，由平角的性质可得，再由，即可求解； （2）同（1）的方法求出，再由即可求解． 【详解】（1）解：由题意知， ， ， 故答案为：； （2）解：由题意知， ， ， ． 【经典例题十五 同(等)角的余(补)角相等的应用】 【例15】（23-24七年级上·湖南张家界·期末）如图，点在直线上，，那么下列说法错误的是（ ） A．与相等 B．与互余 C．与互补 D．与互余 【答案】D 【分析】根据余角和补角的定义逐一判断即可得解． 本题主要考查余角和补角，互为余角（补角）与这两个角的位置没有关系．不论这两个角在哪儿，只要度数之和满足了定义，则它们就具备相应的关系． 【详解】∵， ∴， ∴， 故A选项正确； ∵， ∴， 即与互余， 故B选项正确； ∵，， ∴， 即与互补， 故C选项正确； 无法判断与是否互余， 例如当时， ， ， 不互余， 故D选项错误； 故选：D． 1．（23-24七年级上·江苏无锡·期末）如图，直线、相交于点O，，图中与互补的角有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据同角的余角相等，得到，根据平角的定义，得到，，进而得到，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴图中与互补的角有，共3个； 故选C． 【点睛】本题考查补角的判断．正确的识图，理清角的和差关系，熟练掌握同角的余角相等，互补的两角之和为，是解题的关键． 2．（23-24七年级上·湖北孝感·期末）如图，在中，，，垂足为D，则的余角是 和 ， ，理由是 ． 【答案】 同角的余角相等 【分析】由，得到，进而得到，的余角是，由，得到，的余角是，根据“同角的余角相等”得到， 本题考查了，垂直的定义，同角的余角相等，解题的关键是：熟练掌握相关性质定理． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴的余角是， ∵， ∴， ∴的余角是， ∴（同角的余角相等）． 3．（23-24七年级上·河北唐山·期末）【实践活动】如图1，将一副三角板的直角顶点重合摆放． （1）判断与的大小关系，并说明理由； （2）探索与之间的数量关系，并说明理由； 【拓展探究】 （3）如图2，若，且，探索与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）∠ACE=∠BCD，理由见解析；（2）∠ACB+∠DCE=180°，理由见解析；（3）∠ACB+∠DCE=180°，理由见解析． 【分析】此题主要考查了角的计算，同角的余角相等，准确识图，理解同角的余角相等，熟练掌握角的计算是解决问题的关键． （1）依题意得，，进而得，，然后根据同角的余角相等可得出答案； （2）由，得，，则，然而；据此可得与之间的数量关系； （3）先由得，进而得，据此可得与之间的数量关系． 【详解】解：（1），理由如下： 依题意得：，， ，， ． （2）与之间的数量关系：，理由如下： ，， ，， ， ， 又， ； （3）与之间的数量关系是：，理由如下： ，， 又， ， 即：， ． 【经典例题十六 余角、补角的综合应用】 【例16】 （23-24·山东济南·七年级期末）点为直线上一点，过点作射线，使．将一直角三角板的直角顶点放在点处．    (1)将三角板按图1位置摆放，此时是的角平分线，求的度数； (2)将三角板按图2位置摆放，此时，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据补角的定义可得，再根据角平分线的定义可得，再结合垂直的定义运用平角的定义列式计算即可； （2）由可设，则；再结合、运用平角的性质可得，最后根据即可解答． 【详解】（1）解：， ， 是的角平分线， ， ， ． （2）解：∵， 设，则， ，， ， ． ， ． 【点睛】本题主要考查了考余角和补角、角平分线的定义、三角板等知识点，明确题意、弄清角之间的关系是解答本题的关键． 1．（23-24·山东烟台·七年级期末）如图，，平分，反向延长射线至F．    (1)和______；（填“互余”“相等”“互补”或“没有特殊关系”） (2)是的平分线吗？为什么？ (3)反向延长射线至G，与的度数比为2：5，求的度数． 【答案】(1)互补 (2)是的平分线，详见解析 (3) 【分析】（1）根据得到，进而得到和互补； （2）首先根据角平分线的概念得到，然后利用平角的概念得到，，进而证明即可； （3）设，，则，然后利用三角形内角和定理求出，然后结合平角的概念求解即可． 【详解】（1）∵ ∴ ∴和互补； （2）是的平分线． 证明：平分， ∴ ， ∴，， ∴， ∴ 是的平分线； （3）设，， ∴， ∵， ∴， 解得， ∵， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了几何图形中的角度和差计算，角平分线的证明及性质，正确理解图形中角度的位置及数量关系是解题的关键． 2．（23-24·黑龙江绥化·七年级期末）已知在同一平面内， (1)填空： ______． (2)若平分，平分，则的度数是多少？ (3)在（2）的条件下，将题目中的改成，则______． 【答案】(1)或 (2)的度数为 (3) 【分析】（1）直接根据已知利用求出即可； （2）利用角平分线的性质和（1）中所求得出答案即可； （3）根据角平分线的性质，，进而求出即可． 【详解】（1）如图所示，或′即为所求，     当在内部时，， 当在外部时，， 故答案为：或； （2）平分，平分， ，， 的度数为：； （3）如图，    ，， ， 、平分，， ，， ． 故答案为： 【点睛】此题主要考查了角平分线的性质以及有关角的计算，熟练利用角平分线的性质得出是解题关键． 3．（23-24·吉林长春·七年级期末）如图，点O在直线上，．在中，，．先将的一边与重合，然后绕点O顺时针方向旋转，当与重合时停止旋转．    (1)如图①，当在与之间，且时，则______度，______度． (2)如图②，当在与之间时，求与差的度数． (3)在旋转的过程中，若，求旋转角的度数． 【答案】(1)70，40 (2) (3)旋转角的度数为或 【分析】（1）根据已知条件求出度数即可； （2）根据和已知条件求出答案即可； （3）根据，分两种情况：当在与之间时，当在与之间时计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵在与之间，，， ∴，； （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴； （3）解：旋转角为， 当在与之间时， ∵，， ∴， ∴， ∴， 当在与之间时， ∵，， ∴， ∴， ∴． 综上，旋转角的度数为或． 【点睛】本题考查了角的有关计算的应用，能根据题意求出各个角的度数是解题的关键． 4．（2024·河北廊坊·七年级期末）如图，以直线上一点为端点作射线，使，将一个直角三角形的直角顶点放在点处．（注：）    (1)如图1，若直角三角板的一边放在射线上，则 ； (2)如图2，将直角三角板绕点顺时针方向转动到某个位置，若恰好平分，求的度数； (3)将直角三角板绕点转动，如果始终在的内部，试猜想和有怎样的数量关系？并说明理由． 【答案】(1) (2)的度数为 (3)，理由见解析 【分析】（1）根据，可求出的度数，根据角互余的关系即可求解； （2）根据题意可得的度数，根据平分，可求出的度数，再根据角互余的关系即可求解； （3）根据，，运用等量代换的方法即可求解． 【详解】（1）解：∵直角三角板的一边放在射线上，即， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． （2）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴的度数为． （3）解：，理由如下， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查角度的和差倍分，角平分线的性质，互余、互补的计算，旋转等知识的综合，掌握以上知识的运用是解题的关键． 1．（23-24七年级上·山东菏泽·期中）明明和亮亮约好周六上午八点半去公园玩耍，这时钟面上时针与分针的夹角是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了钟表时针与分针的夹角，确定时针与分针相距的份数是解题关键．根据钟表上的刻度是把一个周角分成了12等份，每一份是，借助图形，找出时针和分针之间相差的份数，用份数乘即可． 【详解】解：如图所示， 钟面上刻度共12小格，将周角等分成12份，每一小格对应的锐角为，上午8点30分，时钟的时针和分针相距份， 8点30分，时钟的时针和分针所构成的锐角度数为：． 故选：D． 2．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列说法中错误的是（    ） A．点是构成图形的基本元素 B．一个锐角的补角一定大于这个角 C．若，则与互为余角 D．若，则点C是线段的中点 【答案】D 【分析】本题考查了余角和补角、线段的中点等知识点，掌握余角和补角的定义成为解题的关键． 根据几何图形的构成、余角与补角、线段的中点的定义逐项分析判断即可． 【详解】解：A.点是构成图形的基本元素，正确，故此选项不符合题意； B.一个锐角的补角是钝角，一定大于这个角，正确，故此选项不符合题意； C.若，则与互为余角，正确故此选项不符合题意； D.若且A、C、B在一条直线上时，点C才是线段的中点，原说法错误，故此选项符合题意． 故选：C． 3．（24-25七年级上·全国·单元测试）下列说法错误的是（　　） A．角是由两条有公共端点的射线组成的图形 B．周角的一半叫平角 C．可转化为 D．直线是平角 【答案】D 【分析】本题考查了角的相关概念及度分秒的换算，熟练掌握角的相关概念及度分秒的换算是解题的关键．根据角的相关概念及度分秒的换算逐项分析判断，即可判断答案． 【详解】A、角是由有公共端点的两条射线组成的图形，此说法正确，不符合题意； B、周角的一半是平角，此说法正确，不符合题意； C、，所以此说法正确，不符合题意； D、直线不是平角，此说法不正确，符合题意． 故选D． 4．（23-24七年级上·重庆渝中·自主招生）如图是光的反射定律示意图，分别是入射光线，反射光线和法线．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查角的计算、余角的性质、光的反射定律等知识点，掌握光的反射定律是解题的关键． 先根据余角的性质以及可求得，再根据光的反射定律以及余角的性质可得即可解答． 【详解】解：∵， ∴，即， 根据光的反射定律可知， ∵， ∴． 故答案为：C． 5．（23-24七年级上·重庆·期末）如图，将一副三角尺叠放在一起，使直角顶点重合于点O，若，为的角平分线，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角板中的角度计算和角平分线的定义，找出角度之间的数量关系是解题关键．设，则，得到，则，解得，则，即可求出的度数． 【详解】解：设，则， 由题意可知，， ， ∴ 解得，， ∴， ∵为的角平分线， ∴， ∴ 故选：D． 6．（24-25七年级上·广东汕头·阶段练习）从到，分针旋转了 度． 【答案】/度 【分析】本题考查了钟面角．分针每分钟旋转，先找到从到的分钟数，再相乘即可求解． 【详解】解：从到，分针走了10分， ， 故分针围绕钟面中心旋转了． 故答案为：． 7．（2024·吉林·二模）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了角的计算，根据角的单位转化计算即可． 【详解】根据题意，得， 故答案为：． 8．（24-25七年级上·全国·期末）将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，为折痕． ，则＝ 度． 【答案】 【分析】此题考查了角的计算，翻折的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据翻折的性质可知，，，再根据平角的度数是，即可求出． 【详解】解：根据翻折的性质可知，，， 又∵， ∴， 又∵， ∴． 故答案为． 9．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，射线是的平分线，射线是的平分线，．若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了角的计算，以及角的平分线定义，关键是注意分析角之间的和差关系．首先设，，再根据角平分线性质可得，再根据角的和差关系可得，进而得到，再解方程即可得到，进而得到答案 【详解】解：设，． 则． 是的平分线， ， ， ， ， 解得，， 是的平分线， ， ， 故答案为：． 10．（24-25七年级上·河北邢台·期中）一位同学利用如图所示的量角器、采用如图1所示的方法测量锐角的度数，其中量角器有两条刻度线分别在射线、上、则的度数为 ，另外一位同学用同样的方法，测量的余角的度数，如图2所示，已知射线所指示的度数为，则射线所指示的度数为 ． 【答案】 /50度 或 【分析】本题考查了量角器中的角度计算，互余等知识．明确角度之间的数量关系是解题的关键． 根据图1可得，射线所对的数字为、所对的数字为，即可求出的度数，从而得出的余角的度数，再根据射线所指示的度数为，即可求解． 【详解】解：根据图1可得，射线所对的数字为、所对的数字为， ∴， 则的余角的度数为， 根据图2可得，射线所指示的度数为， ∴射线所指示的度数为，射线所指示的度数为， 故答案为：或． 11．（2024七年级上·全国·专题练习）计算． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了度分秒的换算，熟练掌握度分秒的进制是解题的关键． （1）两个度数相加，度与度，分与分对应相加，分的结果若满60，则转化为度； （2）两个度数相减时，应先算最后一位，后面的位上的数不够减是向前一位借数，，； （3）两个度数相加，度与度，分与分对应相加，分的结果若满60，则转化为度； （4）两个度数相减时，应先算最后一位，后面的位上的数不够减是向前一位借数，，． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 12．（24-25七年级上·河北邢台·期中）定义：我们把有公共顶点和一条公共边的两个角称为“共边角”． (1)如图，写出的共边角； (2)与是一组“共边角”，共中，直接写出非公共边的两边所夹的角的度数； (3)若一组“共边角”与非公共边的两边所夹的角是分别是，的平分线，请画出图形，求的度数． 【答案】(1)或 (2)或 (3)图形见详解；当在的内部，；当在的外部，． 【分析】本题考查了新定义，角平分线的有关计算，画出图形，分类讨论是解题的关键． （1）根据“共边角”定义进行解答即可； （2）分两种情况讨论：当在的内部时，当在的外部时，分别画出图形进行求解即可； （3）分两种情况讨论：当在的内部时，当在的外部时，分别画出图形，求出结果即可； 【详解】（1）解：的共边角为或； （2）当在的内部时，如图所示： ； 当在的外部时，如图所示： ， 综上所述，非公共边的两边所夹的角的度数为或； （3）这一组“共边角”的角平分线所夹的角的度数为或， 如图1，当在的内部， 分别是，的平分线， ， ， ， ； 如图2，当在的外部， 分别是，的平分线， ， ， ， ， 综上所述，这一组“共边角”的角平分线所夹的角的度数为或． 13．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）（1）如图为一副直角三角尺，其中作 ．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）    （2）理解填空： 如图， 点B、D在线段上， 且 D是的中点， 若求的长．    解：因为 所以 又 = ． 因为D是AC的中点， 所以 ． 所以 = ． 【答案】（1）见解析  （2）；；；； 【分析】本题考查作一个角等于已知角和线段的和差、中点的定义，掌握基本作图—作一个角等于已知角即可解题． （1）作射线，在射线的同侧依次作一个角等于和得到，则即为所作； （2）先根据线段的和差得到长，然后根据中点的定义得到长，再根据解题即可． 【详解】解：（1）即为所作；      （2）因为 所以 又 ． 因为D是的中点， 所以 ． 所以 ． 故答案为：；；；；． 14．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）（1）已知：如图1，是直角三角板斜边上的一个动点，、分别是和的平分线．当点在斜边上移动时，　　； （2）把直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上： ①点和点在直线的上方（如图），此时与的数量关系是　　； ②当把这把直角三角板绕顶点旋转到点在直线的下方、点仍然在直线的上方时（如图），与的数量关系是　　； ③当把这把直角三角板绕顶点旋转到点和点都在直线的下方时（如图），与的数量关系是　　． 【答案】（1）；（2）①；②；③ 【分析】本题考查与三角板有关的计算，与角平分线有关的计算： （1）根据角平分线的定义和角的和差关系进行求解即可； （2）①根据平角的定义，即可得出结论； ②根据角的和差关系进行求解即可； ③根据角的和差关系进行求解即可． 【详解】解：（1）如图1，的大小不会发生变化，理由如下： 、分别是和的平分线， ，， ； （2）①当点和点在直线的上方时（如图，； ②当点在直线的下方，点仍然在直线的上方时（如图， ，， ； ③当点和点都在直线的下方时（如图， ，， ． 故答案为：45；，，． 15．（2024七年级上·全国·专题练习）已知O为直线上的一点，． (1)如图①，以O为观察中心，射线表示正北方向，表示正东方向． ①若，则射线的方向是_________； ②与的关系为_________； ③与的关系为_________． (2)若将射线、射线绕点O旋转至如图②所示的位置，另一条射线恰好平分．若，求的度数； (3)若将射线、射线绕点O旋转至如图③所示的位置，射线仍然平分与之间存在怎样的数量关系？请说明理由． 【答案】(1)①北偏东；②相等；③互补 (2) (3)，理由见解析 【分析】本题主要考查了方向角的定义，以及角平分线的定义，余角与补角的性质，对定义的熟练掌握是解题关键． （1）①根据方向角的定义即可求解； ②根据同角的余角相等即可得出结论； ③先根据同角的余角相等得出，再根据两角互补的定义即可得出结果； （2）①根据同角的余角可知，又根据角平分线的定义可得，两式相减即可得出结果； （3）根据角的和差，以及角平分线的定义即可求解． 【详解】（1）解：①∵， ∴射线的方向是北偏东； ②∵由题意知，， ∴； ③由题意知，， ∴， 又， ∴． 即与的关系为互补． 故答案为：①北偏东；②相等；③互补； （2）由题意知，， ∴． ∵恰好平分， ∴， ∴， ∴． （3），理由如下： ∵为的平分线， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$