专题08 相似三角形的性质（10大题型+过关训练）-2024-2025学年九年级数学下册章节同步实验班培优题型变式训练（人教版）

专题08 相似三角形的性质 目录 【题型一 利用相似三角形的性质求解】 1 【题型二 运用相似三角形的性质解决折叠问题】 2 【题型三 运用相似三角形的性质解决三角板问题】 5 【题型四 运用相似三角形的性质解决裁剪问题】 9 【题型五 运用相似三角形的性质解决格点问题】 11 【题型六 运用相似三角形的性质探究线段之间的关系】 13 【题型七 运用相似三角形的性质解决作图问题】 16 【题型八 运用相似三角形的性质解决动点问题】 20 【题型九 运用相似三角形的性质解决最值问题】 23 【题型十 运用相似三角形的性质解决多结论问题】 27 【题型一 利用相似三角形的性质求解】 例题：（24-25九年级上·河北张家口·期中）已知，和是它们的对应角平分线，若，若，则（   ） A．2 B．3 C．6 D．9 【答案】C 【分析】本题考查对相似三角形性质的理解，熟记相似三角形对应角平分线的比等于相似比是解题关键． 相似三角形对应角平分线的比等于相似比，即对应边的比．因而即可求解． 【详解】解：∵， ， ， ， 故选：C． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·安徽滁州·期中）若两个相似三角形的对应角平分线的比为，则它们的面积比为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键；由题意易得这两个相似三角形的相似比为，然后根据“如果两个三角形相似，那么它们的面积比是相似比的平方”进行求解即可． 【详解】解：由两个相似三角形的对应角平分线的比为，可知它们的相似比为，所以面积比是； 故选B． 2．（24-25九年级上·广西来宾·期中）如果，且的三边长分别为6，12，15，的最短边长为2，那么的周长为 ． 【答案】11 【分析】本题考查了相似三角形的性质，先找到两个相似三角形的对应边，再根据相似三角形的周长比等于相似比进行求解即可． 【详解】解：，且的三边长分别为6，12，15，的最短边长为2， 两个三角形的最短边为6，2， 的周长的周长， 的周长， 的周长， 故答案为：． 【题型二 运用相似三角形的性质解决折叠问题】 例题：（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）在中，分别在上，将沿折叠，使点落在处，若为的中点，则折痕的长为（    ） A． B．2 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查折叠的性质，相似三角形的判定和性质，掌握“A”字形三角形相似的判定和性质为解题关键．由折叠的特点可知，，又，则由同位角相等两直线平行易证，故，又为的中点可得，由相似的性质可得求解即可． 【详解】解：沿折叠，使点A落在点处， ，， ∵， ∴， ∴， ∴， ， 又为的中点，， ∴， ， 即， ． 故选：B． 【变式训练】 1．（2024·贵州贵阳·二模）如图，在中，，分别为边，上的点，连接，将沿折叠，使点与点重合，若，，则的长为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】本题考查轴对称的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，由折叠性质得，，求得，再证明，得，则，于是得到问题的答案．求得，并且证明是解题的关键． 【详解】解：由折叠得，， ，， ， ，， ， ， ， 故选：B． 2．（24-25九年级上·江苏南京·开学考试）如图，将一张矩形纸片上下对折，使之完全重合，打开后，得到折痕，连接．再将矩形纸片折叠，使点B落在上的点H处，折痕为．若点G恰好为线段最靠近点B的一个五等分点，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形与折叠问题，相似三角形的判定与性质，设，则，证得，即可求解． 【详解】解：设，则， 如图所示： 由题意得：， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 即： 解得：（舍负） ∴ 故答案为： 【题型三 运用相似三角形的性质解决三角板问题】 例题：（23-24九年级上·湖北随州·期末）如图，一块等腰直角三角板，它的斜边，内部的各边与的各边分别平行，且它的斜边，则的面积与阴影部分的面积比为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题关键．根据已知把向两边延长，交于点G，交于点H，证明，然后求出它们的面积比即可解答． 【详解】解：如图，把向两边延长，交于点G，交于点H， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的面积与阴影部分的面积比为， 故选：C． 【变式训练】 1．（23-24九年级上·江苏常州·期末）将一副直角三角板如图叠放，则与的周长之比为 ． 【答案】 【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质以及解直角三角形的知识．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．首先设，由直角三角形的性质，可求得与的长，继而求得其比值，易证得，然后由相似三角形的周长比等于相似比，即可求得答案． 【详解】解：设， ∵是等腰直角三角形，且， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵， 即，， ∴， ∴， ∴与的周长比为：． 故答案为：． 2．（21-22九年级上·江苏无锡·期中）如图，边长为10的等边中，点在边上，且，将含角的直角三角板绕直角顶点旋转，、分别交边、于、，连接，当时，的长为（    ）    A．6 B． C． D． 【答案】B 【分析】证明，由相似三角形的性质得出，求出，，过点作于点，由勾股定理可求出答案． 【详解】解：， ， ， ，， ， 为等边三角形， ，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ，， ， 过点作于点，   ，， ， ． 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理，等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，证明是解题的关键． 【题型四 运用相似三角形的性质解决裁剪问题】 例题：（2023·河北邯郸·一模）如图，将沿着剪成一个小三角形和一个四边形，若四边形各边的长度如图所示，则剪出的小三角形应是　　 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用相似三角形的性质即可判断． 【详解】解：设，， ， ， ， ， ，， 故选：A． 【点睛】本题考查平行线的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 【变式训练】 1．（21-22九年级上·四川成都·期末）如图，在△ABC纸片中，∠A＝76°，∠B＝34°．将△ABC纸片沿某处剪开，下列四种方式中剪下的阴影三角形与原三角形相似的是（　　） A．①② B．②④ C．①③ D．③④ 【答案】C 【分析】根据相似三角形的判定定理逐个判断即可． 【详解】图①中，∠B＝∠B，∠A＝∠BDE＝76°，所以△BDE和△ABC相似； 图②中，∠B＝∠B，不符合相似三角形的判定，不能推出△BCD和△ABC相似； 图③中，∠C＝∠C，∠CED＝∠B，所以△CDE和△CAB相似； 图④中，∠C＝∠C，不符合相似三角形的判定，不能推出△CDE和△ABC相似； 综上分析可知，阴影三角形与原三角形相似的有①③，故C正确． 故选：C． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，能熟记有两个角对应相等的两三角形相似是解此题的关键． 2．（20-21八年级下·山东烟台·期末）如图，在Rt纸板中，，，是上一点，过点沿直线剪一次剪下一个与相似的小三角形纸板，如果有4种不同的剪法，那么长的取值范围是 ． 【答案】 【分析】分四种情况讨论，依据相似三角形的对应边成比例，即可得到CP长的取值范围． 【详解】解：如图所示，过P作PD∥AB交BC于D或PE∥BC交AB于E，则△PCD∽△ACB或△APE∽△ACB， 此时0＜CP＜4； 如图所示，过P作∠APF=∠B交AB于F，则△APF∽△ABC， 此时0≤CP＜4； 如图所示，过P作∠CPG=∠CBA交BC于G，则△CPG∽△CBA， 当点G与点B重合时，CB2=CP×CA，即32=CP×4， ∴CP=， ∴此时，0＜CP≤； 综上所述，CP长的取值范围是0CP≤． 故答案为：0CP≤． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质，关键是掌握相似三角形的对应角相等，对应边的比相等． 【题型五 运用相似三角形的性质解决格点问题】 例题：（24-25九年级上·陕西渭南·期中）如图，在边长为1的正方形网格中，所有三角形的顶点都在格点上，下列选项中的三角形与相似的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查相似三角形的判定．由相似三角形的判定，三角形的三边对应成比例，两三角形相似即可判断． 【详解】根据勾股定理可知： ， 三边比为： 根据格点图及勾股定理知 A．三角形的三边比为：，故本选项不符合题意； B．三角形的三边比为：，故本选项不符合题意； C．三角形的三边比为：，故本选项符合题意； D．三角形的三边比为：，故本选项不符合题意； 故选择：C 【变式训练】 1．（24-25九年级上·江苏泰州·期中）如图，的三个顶点均在网格的格点上，请选三个格点组成一个格点三角形，它与有一条公共边且相似（不全等），则这个格点三角形是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查相似三角形的判定，由，，判定． 【详解】解：这个格点三角形可以是（答案不唯一），理由如下： 由勾股定理得：， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：（答案不唯一）． 2．（23-24九年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，若与都是正方形网格中的格点三角形（顶点在格点上），则与的相似比为 ．    【答案】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、勾股定理，根据网格特点，先利用勾股定理求得、，再根据相似三角形的判定得到． 【详解】解：由图知，，，，， ∴， ∴， 故与的相似比为， 故答案为：． 【题型六 运用相似三角形的性质探究线段之间的关系】 例题：（24-25九年级上·上海·期中）如图，在中，，下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，因为，所以，得出，即，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ∴，故C符合题意，D不符合题意； ∵无法证明与相似， ∴无法得出，故A不符合题意； ∵无法证明与相似， ∴无法得出，故B不符合题意； 故选：C． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·上海嘉定·阶段练习）如图，已知，和相交于，若，则 ． 【答案】 【分析】根据，即可求得，根据三角形面积计算公式和相似三角形对应边比值相等的性质可以求得，即可求得，即可解题．本题考查了相似三角形的判定，三角形面积的计算公式，相似三角形对应边比值相等的性质，本题中求得是解题的关键． 【详解】解：， ∴，， ，， ， ， ∴， ， ． 故答案为：． 2．（24-25九年级上·山西太原·期中）已知： 如图， 在四边形中， ，． 求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质的综合应用，解题时注意：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似． （1）两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，据此进行证明即可； （2）先根据相似三角形的性质，得出，，再根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，进行证明即可． 【详解】（1）， ， 即， 又， （2）， ， ， 又， ， ， ， 即， ， ， 即 【题型七 运用相似三角形的性质解决作图问题】 例题：（2024·四川成都·模拟预测）如图，在菱形中，，E是边上的一点，连接，按下列步骤作图：① 以点A为圆心、适当的长为半径作弧，分别交于点M，N；② 以点D为圆心、的长为半径作弧，交于点；③ 以点为圆心、的长为半径作弧，在内部交前面的弧于点；④ 过点作射线交于点F．若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质、相似三角形的判定与性质、尺规作图—作一个角等于已知角．由菱形的性质得出，证明，再由相似三角形的性质，即可得出答案． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∴， 由作法得：， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫格点（网格线的交点）．的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留作图痕迹． (1)在图①中，分别在边上画点D、E，连接，使，且． (2)在图②中，分别在边上画点F、G，连接，使，且． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查格点图中画相似三角形． （1）根据相似三角形的判定和相似比，画图即可； （2）根据相似三角形的判定和相似比，画图即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）如图，即为所求； 2．（24-25九年级上·江西景德镇·期中）如图，四边形为菱形，，过点作交延长线于点，请仅用无刻度直尺，按下列要求作图； (1)如图，在边上找一点，使； (2)如图2，在边上找一点，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了无刻度直尺作图，菱形的性质，直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质． （1）连接，与交于点，点即为所求． （2）连接，，交于点，连接，并延长交于点，点即为所求． 【详解】（1）解：如图，点即为所求． 证明：连接，与交于点， ∵四边形为菱形，， ∴，，， ∵， ∴， 在中，， 即， ∵， ∴， ∴， 即． （2）解：如图，点即为所求． 证明：连接，，交于点，连接，并延长交于点，如图： ∵四边形为菱形，， ∴，，， ∵， ∴， 在中，， ∴， 即，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 故． 【题型八 运用相似三角形的性质解决动点问题】 例题：（23-24九年级上·河南南阳·阶段练习）如图，四边形中，，，，于点，于，点是上一个动点，若，则的长是(　　)    A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】由，证明，由此得，再设为 ，求出即可，再验根即可． 【详解】解：，， ，， ， ， ， ， ， 设为 ，则， 整理得：， 解得：或， 经检验，或是该分式方程的根， 或． 故选：C． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·河北沧州·期中）如图，在中，，，点P从A出发，以的速度向B运动，同时点Q从C出发，以的速度向A运动，当其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动的时间为，当 s时，以A、P、Q为顶点的三角形与相似． 【答案】或 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，相似三角形的动点问题，根据路程速度时间即可表示出的长度；再分两种情况进行讨论，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：根据题意可得：，， ∴， ∵，为顶点的三角形与相似， ∴或， ∴或， ∴或， ∴或时，以、、为顶点的三角形与相似． 故答案为：或． 2．（24-25九年级上·内蒙古包头·阶段练习）如图，在矩形ABCD中，，，动点M以的速度从A点出发，沿向点B运动，同时动点N以的速度从点D出发，沿DA向点A运动，设运动的时间为秒． (1)当为何值时，的面积等于矩形面积的？ (2)是否存在某一时刻，使得以A、M、N为顶点的三角形与相似?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)时，的面积等于矩形面积的； (2)当或时，以A、M、N为顶点的三角形与相似． 【分析】本题考查了相似三角形——动点问题和平行四边形的动点问题，熟练掌握相似三角形的性质和矩形的性质是解决问题的关键． （1）由的面积等于矩形面积的，可得，即可求得； （2）与相似，分为两种情况讨论，利用相似三角形的性质列式计算即可求解． 【详解】（1）解：由题意可知：，， ∴， ∵的面积等于矩形面积的， ∴， 解之得：， ∴时，的面积等于矩形面积的； （2）解：存在．理由如下： ∵与相似， ∴分为两种情况： ①当时， ∴，即， 解得：； ②当时， ∴，即， 解得：， 综上所述，当或时，以A、M、N为顶点的三角形与相似． 【题型九 运用相似三角形的性质解决最值问题】 例题：（2023·陕西西安·模拟预测）在等腰中，，分别是，的中点，点是线段上的一个动点，当的周长最小时，点的位置在（   ）    A．的重心处 B．的中点处 C．点处 D．点处 【答案】A 【分析】连接，，首先证明，由，推出当共线时，的值最小，此时是的中线，由此即可判断． 【详解】解：如图，连接PB，BE．   ，， ， ， ， ， 当共线时，的值最小，此时是的中线， 也是中线， 点是的重心， 故选：A． 【点睛】本题考查三角形的重心，等腰三角形的性质，轴对称线段和最短问题，关键是学会添加常用辅助线，学会利用两点之间线段最短解决问题． 【变式训练】 1．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，在平行四边形中，，E、F分别是边上的动点，且．当的值最小时，则 ．    【答案】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，三角形全等的判定和性质，相似三角形的判定和性质．延长，截取，连接，，证明，得出，说明当最小时，最小，根据两点之间线段最短，得出当A、E、G三点共线时，最小，即最小，再证明，根据相似三角形的性质，求出结果即可． 【详解】解：延长，截取，连接，，如图所示：    ∵四边形为平行四边形， ∴，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴当最小时，最小， ∵两点之间线段最短， ∴当A、E、G三点共线时，最小，即最小，且最小值为的长，    ∵， ∴， ∴，即， 解得． 故答案为：． 2．（23-24九年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，是边长为的等边三角形，点为边上一点，，点为边上的动点，以为顶点作，射线交边于点． (1)若，求的长； (2)当最小时，连接，求与面积的比． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查相似三角形，全等三角形的知识解题的关键是掌握相似三角形和全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，即可． （1）根据等边三角形的性质，则，；根据，则，在根据三角形的内角和，，等量代换，相似三角形的判定，则，得，即可； （2）根据题意，当时，存在最小值，则 ；根据勾股定理求出，根据全等三角形的判定和性质，则，求得，再根据，等边三角形的判定，相似三角形的性质，即可． 【详解】（1）∵是边长为的等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）∵点为边上一点，点为边上的动点，， ∴当时，存在最小值， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴． 【题型十 运用相似三角形的性质解决多结论问题】 例题：（24-25九年级上·上海·阶段练习）在下列命题中，真命题的个数有（   ） ①所有的等边三角形都相似；  ②所有的直角三角形都相似；  ③所有的菱形都相似； ④有一个锐角相等的两个直角三角形一定相似；  ⑤两个全等三角形一定相似； ⑥有一个锐角相等的两个等腰三角形一定相似 A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定，真命题．熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 根据相似三角形的判定进行判断作答即可． 【详解】解：①等边三角形的三个角都是，根据两个角对应相等的两个三角形相似，可以判定所有的等边三角形都相似，①是真命题，故符合要求； ②含的直角三角形与含的直角三角形不相似，因此所有的直角三角形不一定都相似，②不是真命题，故不符合要求； ③含的菱形与含的菱形不相似，因此所有的菱形不一定都相似，③不是真命题，故不符合要求； ④有一个锐角相等，再加上直角相等，根据两个角相等的三角形相似，可以判定有一个锐角相等的两个直角三角形一定相似，④是真命题，故符合要求； ⑤全等三角形是相似比为的相似三角形，因此两个全等三角形一定相似，⑤是真命题，故符合要求； ⑥顶角是的等腰三角形与底角是的等腰三角形不相似，因此有一个锐角相等的两个等腰三角形不一定相似，⑥不是真命题，故不符合要求； 故选：B． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·吉林长春·期中）在中，点M在边上，且，阅读以下作图步骤： ①以点B为圆心，以适当长为半径画弧，交于点D，交于点E； ②以点M为圆心，以长为半径画弧，交于点； ③以点为圆心，以DE长为半径画弧，交前一条弧于点E； ④连接并延长，交于点N，如图所示． 根据以上作图，一定可以推得的结论是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、尺规作图-作一个角等于已知角，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答的关键．先根据基本作图过程得到，证明，根据相似三角形的对应边成比例即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 由基本作图过程得，又， ∴， ∴，故选项C、D错误，不符合题意； ∴，故选项A符合题意，选项B不符合题意， 故选：A． 2．（24-25九年级上·山东聊城·阶段练习）如图，在中，，点为线段上一动点（不与点重合），连接，作，交线段于点． 下面是某学习小组根据题意得到的结论： 甲同学：； 乙同学：若，则； 丙同学：当时，为的中点． 则下列说法正确的是（    ） A．只有甲同学正确 B．乙和丙同学都正确 C．甲和乙同学正确 D．三个同学都正确 【答案】D 【分析】本题考查相似三角形的性质，全等三角形的判定和性质，在中，依据三角形外角及已知可得，结合等腰三角形易证；结合，易证，得到；当时，结合已知求得，易证，依据等腰三角形“三线合一”得． 【详解】解：在中， ， ， ，， ， ， 甲同学正确； ，，， ， ， 乙同学正确； 当时， ， ， ， ， ， ， 即为的中点， 丙同学正确； 综上所述：三个同学都正确． 故选：D． 一、单选题 1．（24-25九年级上·安徽滁州·期中）已知，且相似比为，则与面积的比是（   ） A． B．1：3 C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了相似三角形的性质．根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可解答． 【详解】解：∵，且相似比为， ∴与面积的比是， 故选：C 2．（2024·河南南阳·三模）如图，点D、E分别是边的中点，点F在上，．连接并延长，与的延长线相交于点M．若，则线段的长为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】本题考查三角形中位线定理及三角形相似的判定与性质．根据D、E分别是边的中点得到，，从而得到，即可得到，代入数据即可得到答案． 【详解】解：∵点D、E分别是边的中点， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． 故选：C． 3．（24-25九年级上·四川成都·期中）如图，在中，点D，E为边的三等分点，点F，G在边上，且，点为与的交点．若，则的长为（   ） A． B．2 C． D．3 【答案】B 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，先证明得到，则，再证明，得到，则，进而得到，同理可得． 【详解】解：点D，E为边的三等分点， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：． 4．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，在中，点D在边上，连接，若，则的长为（   ） A．3 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 由题意得，推出，，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，或（舍去）； 故选： D． 5．（24-25九年级上·福建漳州·期中）如图，是等腰直角三角形，，点，分别在，边上运动，连结，交于点，且始终满足，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】①根据等腰直角三角形的性质求出，结合，进而得到，利用两对应边成比例，夹角相等得到三角形相似；②利用相似三角形的性质求出，结合公共角，利用两组对应边对应相等的两个三角形相似求解；③利用相似三角形的性质求得，结合三角形外角性质求出来求解；④利用相似三角形的性质得到，结合来求解． 【详解】解：∵是等腰直角三角形， ∴，， 由勾股定理得：， ， ． ， ， ． ， ，故①符合题意； ， ． ， ，故③符合题意； ，， ，故②符合题意； ， ， ． ， ， ， ，故④符合题意． 综上所述，正确的有4个． 故选：D． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，三角形的外角性质，三角形的内角和定理，得到三角形相似是解答关键． 二、填空题 6．（24-25九年级上·四川内江·期中）如图，，，则 ． 【答案】/0.5 【分析】本题考查三角形相似的判定和性质，熟练掌握三角形相似的判定和性质是解题关键．由可证，得出，即可求解． 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 7．（24-25九年级上·广东深圳·期中）如图，在中，对角线，相交于点O，点E为的中点，交于点F．若，则的长为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质等知识点，根据题意可推出；由，证，得，即可求解； 【详解】解：由题意得：， ∵点E为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为： 8．（24-25九年级上·山东枣庄·期中）如图，已知中，，，，是的中点，是边上一个动点．将沿折叠，使点落在处，如果与原相似，那么的长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了相似三角形的性质，分当时，当时，再根据相似三角形的性质即可求解，掌握相似三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：当时，， 为中点， ∴， ∴， ∴；   当时，， ∴， ∴， 综上，的长为或， 故答案为：或． 9．（24-25九年级上·四川内江·期中）如图，在矩形中，，，点沿边从点开始向点以的速度移动，点沿边从点开始向点以的速度移动，如果、同时出发，当以点、、为顶点的三角形与相似时，所需时间为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了相似三角形的性质．分时， 时两种情况计算即可求解． 【详解】解；根据题意，， 在矩形中，，则 ①当时，，有：，解得， 即当时，； ②当时，，有：，解得， 即当时，； 所以，当或时，以点Q、A、P为顶点的三角形与相似． 故答案为：或． 10．（24-25九年级上·上海·期中）如图，已知和都是等边三角形，点D在边上，交于点F，如果，那么的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，依据，，即可判定，进而得出，求得，即可得到的长． 【详解】解：解：∵和都是等边三角形，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 解得， ∴， 故答案为：． 三、解答题 11．（21-22九年级上·河南南阳·期中）如图，在正方形网格图中，每个小正方形边长均为1，点和的顶点均为小正方形的顶点． (1)以为位似中心，在网格图中作，使和位似，且位似比为． (2)证明和相似． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图−位似变换、相似三角形的判定，勾股定理等知识点，理解题意、灵活运用所学知识是解答本题的关键． （1）根据和位似，且位似比为作出图形即可； （2）利用相似三角形的判定定理证明即可． 【详解】（1）解：如图所示：即为所求， ； （2）证明：小正方形边长为1， ，，， ，，， ，，， ∴， ∴． 12．（24-25九年级上·河北秦皇岛·期中）如图，在中，，，动点P从点A开始沿边运动，速度为，动点Q从点B开始沿边运动，速度为，如果P、Q两动点同时运动，那么经过多少秒时，以B、Q、P为顶点的三角形与相似． 【答案】当秒或秒时，以、、为顶点的三角形与相似 【分析】本题考查了相似三角形的性质，设运动的时间为秒，则，，，再分两种情况：当时，当时，分别利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：设运动的时间为秒，则，，， 当时， ，即， 解得：； 当时， ，即， 解得：； 综上所述，当秒或秒时，以、、为顶点的三角形与相似． 13．（24-25九年级上·上海浦东新·期中）已知：如图，在中，点、分别在边、上，，． (1)求证：； (2)延长、交于点，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，关键是找到相似的三角形． （1）由，得出，根据，得出，进一步证明，从而得出结论； （2）根据（1）的结论和已知证明即可． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ， 即； （2）解：如图所示，延长和相交于点F， 由（1）得， ， ， ， ∴， ， 又， ， 又， ． 14．（24-25九年级上·贵州铜仁·期中）如图，在中，为边上一点，． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查的知识点是相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练的掌握相似三角形的判定与性质． （1）根据相似三角形的判定得出即可； （2）根据相似得出比例式，代入求出即可． 【详解】（1），， （2）， ， ，，． 15．（24-25九年级上·四川内江·期中）如图，在等边三角形中，点，分别是边，上的点，且，连接，交于点． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据等边三角形的性质求出，，求出，根据推出全等即可； （2）根据进而得出，结合公共角，即可得证； （3）过点作交于，根据平行线分线段成比例定理得，设，则，根据，列出方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：证明：是等边三角形， ，， ， ， 在与中， ， ； （2）∵ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴，即 （3）过点作交于， ， 设 ∵ ∴，， ， ， ， ， ， ∴ 解得：，或（舍去） 即． 【点睛】本题考查的是等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理，相似三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 相似三角形的性质 目录 【题型一 利用相似三角形的性质求解】 1 【题型二 运用相似三角形的性质解决折叠问题】 2 【题型三 运用相似三角形的性质解决三角板问题】 2 【题型四 运用相似三角形的性质解决裁剪问题】 3 【题型五 运用相似三角形的性质解决格点问题】 4 【题型六 运用相似三角形的性质探究线段之间的关系】 5 【题型七 运用相似三角形的性质解决作图问题】 6 【题型八 运用相似三角形的性质解决动点问题】 7 【题型九 运用相似三角形的性质解决最值问题】 8 【题型十 运用相似三角形的性质解决多结论问题】 9 【题型一 利用相似三角形的性质求解】 例题：（24-25九年级上·河北张家口·期中）已知，和是它们的对应角平分线，若，若，则（   ） A．2 B．3 C．6 D．9 【变式训练】 1．（24-25九年级上·安徽滁州·期中）若两个相似三角形的对应角平分线的比为，则它们的面积比为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·广西来宾·期中）如果，且的三边长分别为6，12，15，的最短边长为2，那么的周长为 ． 【题型二 运用相似三角形的性质解决折叠问题】 例题：（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）在中，分别在上，将沿折叠，使点落在处，若为的中点，则折痕的长为（    ） A． B．2 C．4 D．5 【变式训练】 1．（2024·贵州贵阳·二模）如图，在中，，分别为边，上的点，连接，将沿折叠，使点与点重合，若，，则的长为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 2．（24-25九年级上·江苏南京·开学考试）如图，将一张矩形纸片上下对折，使之完全重合，打开后，得到折痕，连接．再将矩形纸片折叠，使点B落在上的点H处，折痕为．若点G恰好为线段最靠近点B的一个五等分点，，则的长为 ． 【题型三 运用相似三角形的性质解决三角板问题】 例题：（23-24九年级上·湖北随州·期末）如图，一块等腰直角三角板，它的斜边，内部的各边与的各边分别平行，且它的斜边，则的面积与阴影部分的面积比为（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（23-24九年级上·江苏常州·期末）将一副直角三角板如图叠放，则与的周长之比为 ． 2．（21-22九年级上·江苏无锡·期中）如图，边长为10的等边中，点在边上，且，将含角的直角三角板绕直角顶点旋转，、分别交边、于、，连接，当时，的长为（    ）    A．6 B． C． D． 【题型四 运用相似三角形的性质解决裁剪问题】 例题：（2023·河北邯郸·一模）如图，将沿着剪成一个小三角形和一个四边形，若四边形各边的长度如图所示，则剪出的小三角形应是　　 A． B． C． D． 【变式训练】 1．（21-22九年级上·四川成都·期末）如图，在△ABC纸片中，∠A＝76°，∠B＝34°．将△ABC纸片沿某处剪开，下列四种方式中剪下的阴影三角形与原三角形相似的是（　　） A．①② B．②④ C．①③ D．③④ 2．（20-21八年级下·山东烟台·期末）如图，在Rt纸板中，，，是上一点，过点沿直线剪一次剪下一个与相似的小三角形纸板，如果有4种不同的剪法，那么长的取值范围是 ． 【题型五 运用相似三角形的性质解决格点问题】 例题：（24-25九年级上·陕西渭南·期中）如图，在边长为1的正方形网格中，所有三角形的顶点都在格点上，下列选项中的三角形与相似的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·江苏泰州·期中）如图，的三个顶点均在网格的格点上，请选三个格点组成一个格点三角形，它与有一条公共边且相似（不全等），则这个格点三角形是 ． 2．（23-24九年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，若与都是正方形网格中的格点三角形（顶点在格点上），则与的相似比为 ．    【题型六 运用相似三角形的性质探究线段之间的关系】 例题：（24-25九年级上·上海·期中）如图，在中，，下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·上海嘉定·阶段练习）如图，已知，和相交于，若，则 ． 2．（24-25九年级上·山西太原·期中）已知： 如图， 在四边形中， ，． 求证： (1)； (2)． 【题型七 运用相似三角形的性质解决作图问题】 例题：（2024·四川成都·模拟预测）如图，在菱形中，，E是边上的一点，连接，按下列步骤作图：① 以点A为圆心、适当的长为半径作弧，分别交于点M，N；② 以点D为圆心、的长为半径作弧，交于点；③ 以点为圆心、的长为半径作弧，在内部交前面的弧于点；④ 过点作射线交于点F．若，则 ． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫格点（网格线的交点）．的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留作图痕迹． (1)在图①中，分别在边上画点D、E，连接，使，且． (2)在图②中，分别在边上画点F、G，连接，使，且． 2．（24-25九年级上·江西景德镇·期中）如图，四边形为菱形，，过点作交延长线于点，请仅用无刻度直尺，按下列要求作图； (1)如图，在边上找一点，使； (2)如图2，在边上找一点，使． 【题型八 运用相似三角形的性质解决动点问题】 例题：（23-24九年级上·河南南阳·阶段练习）如图，四边形中，，，，于点，于，点是上一个动点，若，则的长是(　　)    A． B． C．或 D．或 【变式训练】 1．（24-25九年级上·河北沧州·期中）如图，在中，，，点P从A出发，以的速度向B运动，同时点Q从C出发，以的速度向A运动，当其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动的时间为，当 s时，以A、P、Q为顶点的三角形与相似． 2．（24-25九年级上·内蒙古包头·阶段练习）如图，在矩形ABCD中，，，动点M以的速度从A点出发，沿向点B运动，同时动点N以的速度从点D出发，沿DA向点A运动，设运动的时间为秒． (1)当为何值时，的面积等于矩形面积的？ (2)是否存在某一时刻，使得以A、M、N为顶点的三角形与相似?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【题型九 运用相似三角形的性质解决最值问题】 例题：（2023·陕西西安·模拟预测）在等腰中，，分别是，的中点，点是线段上的一个动点，当的周长最小时，点的位置在（   ）    A．的重心处 B．的中点处 C．点处 D．点处 【变式训练】 1．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，在平行四边形中，，E、F分别是边上的动点，且．当的值最小时，则 ．    2．（23-24九年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，是边长为的等边三角形，点为边上一点，，点为边上的动点，以为顶点作，射线交边于点． (1)若，求的长； (2)当最小时，连接，求与面积的比． 【题型十 运用相似三角形的性质解决多结论问题】 例题：（24-25九年级上·上海·阶段练习）在下列命题中，真命题的个数有（   ） ①所有的等边三角形都相似；  ②所有的直角三角形都相似；  ③所有的菱形都相似； ④有一个锐角相等的两个直角三角形一定相似；  ⑤两个全等三角形一定相似； ⑥有一个锐角相等的两个等腰三角形一定相似 A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式训练】 1．（24-25九年级上·吉林长春·期中）在中，点M在边上，且，阅读以下作图步骤： ①以点B为圆心，以适当长为半径画弧，交于点D，交于点E； ②以点M为圆心，以长为半径画弧，交于点； ③以点为圆心，以DE长为半径画弧，交前一条弧于点E； ④连接并延长，交于点N，如图所示． 根据以上作图，一定可以推得的结论是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·山东聊城·阶段练习）如图，在中，，点为线段上一动点（不与点重合），连接，作，交线段于点． 下面是某学习小组根据题意得到的结论： 甲同学：； 乙同学：若，则； 丙同学：当时，为的中点． 则下列说法正确的是（    ） A．只有甲同学正确 B．乙和丙同学都正确 C．甲和乙同学正确 D．三个同学都正确 一、单选题 1．（24-25九年级上·安徽滁州·期中）已知，且相似比为，则与面积的比是（   ） A． B．1：3 C． D． 2．（2024·河南南阳·三模）如图，点D、E分别是边的中点，点F在上，．连接并延长，与的延长线相交于点M．若，则线段的长为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 3．（24-25九年级上·四川成都·期中）如图，在中，点D，E为边的三等分点，点F，G在边上，且，点为与的交点．若，则的长为（   ） A． B．2 C． D．3 4．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，在中，点D在边上，连接，若，则的长为（   ） A．3 B．4 C． D． 5．（24-25九年级上·福建漳州·期中）如图，是等腰直角三角形，，点，分别在，边上运动，连结，交于点，且始终满足，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 二、填空题 6．（24-25九年级上·四川内江·期中）如图，，，则 ． 7．（24-25九年级上·广东深圳·期中）如图，在中，对角线，相交于点O，点E为的中点，交于点F．若，则的长为 ． 8．（24-25九年级上·山东枣庄·期中）如图，已知中，，，，是的中点，是边上一个动点．将沿折叠，使点落在处，如果与原相似，那么的长为 ． 9．（24-25九年级上·四川内江·期中）如图，在矩形中，，，点沿边从点开始向点以的速度移动，点沿边从点开始向点以的速度移动，如果、同时出发，当以点、、为顶点的三角形与相似时，所需时间为 ． 10．（24-25九年级上·上海·期中）如图，已知和都是等边三角形，点D在边上，交于点F，如果，那么的长为 ． 三、解答题 11．（21-22九年级上·河南南阳·期中）如图，在正方形网格图中，每个小正方形边长均为1，点和的顶点均为小正方形的顶点． (1)以为位似中心，在网格图中作，使和位似，且位似比为． (2)证明和相似． 12．（24-25九年级上·河北秦皇岛·期中）如图，在中，，，动点P从点A开始沿边运动，速度为，动点Q从点B开始沿边运动，速度为，如果P、Q两动点同时运动，那么经过多少秒时，以B、Q、P为顶点的三角形与相似． 13．（24-25九年级上·上海浦东新·期中）已知：如图，在中，点、分别在边、上，，． (1)求证：； (2)延长、交于点，求证：． 14．（24-25九年级上·贵州铜仁·期中）如图，在中，为边上一点，． (1)求证：； (2)若，求的长． 15．（24-25九年级上·四川内江·期中）如图，在等边三角形中，点，分别是边，上的点，且，连接，交于点． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，，求的长度． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$