专题07 相似三角形的判定（8大题型+过关训练）-2024-2025学年九年级数学下册章节同步实验班培优题型变式训练（人教版）

专题07 相似三角形的判定 目录 【题型一 判断两个三角形是否相似】 1 【题型二 补充条件使两个三角形相似】 4 【题型三 裁剪使两个三角形相似】 6 【题型四 尺规作图使两个三角形相似】 8 【题型五 格点中判断两三角形相似】 10 【题型六 确定哪两个三角形相似】 12 【题型七 确定相似三角形的对数】 14 【题型八 相似三角形的证明】 17 【题型一 判断两个三角形是否相似】 例题：（24-25九年级上·山东青岛·期中）如图，已知△，下列4个三角形中，与△相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理和相似三角形的判定，此题难度不大． 根据等腰三角形性质和三角形内角和定理分别求出各个选项中三角形的每个角的度数，然后与题干中的三角形的度数相比较即可得出答案． 【详解】∵由图可知，，， ∴，， A选项中三角形各角的度数不能确定， B选项中三角形各角的度数分别为，， C选项中三角形各角的度数分别为，，， D选项中三角形各角的度数分别为，，， ∴只有D选项中三角形各角的度数与题干中三角形各角的度数相等， 故选：D． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·上海虹口·阶段练习）在下列四个图形中，已知，则四个图中不一定有相似三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据相似三角形的判定方法逐一判断即可，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：、如图， ∵，， ∴，不符合题意； 、如图， ∵，， ∴，不符合题意； 、如图， ∵，， ∴，不符合题意； 、如图， 由，不能证明和相似，符合题意； 故选：． 2．（23-24九年级上·江西景德镇·期中）下列各组图形中，一定相似的是（    ） A．两个等腰直角三角形 B．两个直角三角形 C．两个等腰三角形 D．两个锐角三角形 【答案】A 【分析】本题考查了相似图形的识别，根据相似图形的判定定理，对选项进行一一分析，找出符合题意的答案，掌握图形相似的定义即图形的形状相同，但大小不一定相同的是相似形与判定定理是解题关键． 【详解】解：、任意两个等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质，两腰分别相等，它们两边的比值成比例，夹角为直角相等，根据相似三角形的判定定理可得任意两个等腰直角三角形相似，故符合题意； 、任意两个直角三角形，根据三角形相似的判定定理不能得到任意两个直角三角形相似，故不符合题意； 、任意两个等腰三角形，根据三角形相似的判定定理不能得到任意两个等腰三角形相似，故不符合题意； 、任意两个锐角三角形，根据三角形相似的判定定理不能得到任意两个锐角三角形相似，故不符合题意； 故选：． 【题型二 补充条件使两个三角形相似】 例题：（24-25九年级上·广东深圳·期中）如图，已知，那么添加下列的一个条件后，仍无法判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 根据相似三角形的判定：（1）如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；（2）如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；（3）如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似，逐项判断即可． 【详解】解：∵， ， ， A、由两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等可得，故不符合题意； B、由两个三角形的两个对应角相等可得，故不符合题意； C、不符合两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，无法判定，故符合题意； D、由两个三角形的两个对应角相等可得，故不符合题意； 故选：C． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·山东潍坊·期中）（多选）如图，下列条件中，能够判定的为（  ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据相似三角形判定定理进行分析即可．本题主要考查相似三角形的判定定理，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：A、由于，，∴，故该选项符合题意； B、由于，，∴，故该选项符合题意； C、不符合相似三角形判定定理，故该选项不符合题意； D、由，得，又，∴，故该选项符合题意； 故选：ABD． 2．（24-25九年级上·浙江·期中）如图，在中，，点在上，请添加一个条件 ，使得与相似． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．利用相似三角形的判定即可求解． 【详解】解：添加， 则， ∵， ∴； 故答案为：． 【题型三 裁剪使两个三角形相似】 例题：（23-24九年级上·安徽宣城·期末）如图，在中，，，，将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键． 根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可． 【详解】解：A、阴影三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意； B、阴影三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意； C、，两三角形的对应边成比例，且夹角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意； D、，两三角形的对应边成比例，但夹角不相等，两三角形不相似，故本选项符合题意； 故选：D． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·河南郑州·期中）剪一张含角的直角三角形，如图所示，将直角沿直线折叠，使点C落在斜边上的点D处，则图中一定相似（不含全等）的三角形是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】本题考查相似三角形的判定、折叠性质、等腰直角三角形的性质，根据折叠性质和相似三角形的判定逐个判断即可． 【详解】解：由题意，是等腰直角三角形，则， 由折叠性质得，，，故选项C不符合题意； ∴， 则与、与不相似，故选项A、B不符合题意； ∵，， ∴，故选项D符合题意， 故选：D． 2．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）如图，在三角形纸片中，，，．将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形相似的有 ．（请在横线上填上符合条件的序号） 【答案】①②④ 【分析】本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可． 【详解】解：①阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似； ②阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似； ③两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似； ④两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似． 故答案为：①②④． 【题型四 尺规作图使两个三角形相似】 例题：（24-25九年级上·陕西渭南·期中）如图，在中，，利用尺规作图法在上求作一点D，连接，使得． 【答案】见解析 【分析】此题考查了角平分线的作图和相似三角形的判定等知识．作的角平分线交于点D，则点D即为所求． 【详解】解：如图所示，点D即为所求， 由作图可知，， ∵， ∴， ∵， ∴． 即点D即为所求． 【变式训练】 1．（2024·陕西渭南·一模）如图，点为的边的延长线上一点，请用尺规作图法在的延长线上求作一点，连接，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】图见解析 【分析】本题考查尺规作一个角等于已知角，相似三角形的判定，作，即可． 【详解】解：如图： 由作图可知：， 又∵， ∴． 2．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，已知，，．请用尺规作图法在AC边上求作一点P，使．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】本题考查了角平分线的做法，相似三角形的判定，熟悉掌握角平分线的做法是解题的关键． 根据，公共角为，得到，即作的角平分线即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴当时，，公共角为， ∴作的角平分线即可，如图所示即为所求： 【题型五 格点中判断两三角形相似】 例题：（23-24九年级上·陕西咸阳·期中）如图，在下列方格纸中的四个三角形，是相似三角形的是（   ） A．①和② B．③和④ C．②和④ D．①和④ 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．分别算出四个三角形的边长，然后根据相似三角形的判定定理判断即可． 【详解】解：①三角形的三边的长度为：，2，， ②三角形的三边的长度为：，3，， ③三角形的三边的长度为：，2，， ④三角形的三边的长度为：，2，， ∵， ∴相似三角形的是①和④ 故选：D． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·上海·阶段练习）下列四个三角形，与左图中的三角形相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判断，熟练掌握基本性质是解题关键． 通过勾股定理算出已知图形三条边的长度，然后算出三边之比，再逐一算出选项的三边之比是否和题干图形的比一样，再进行判断即可． 【详解】解：通过勾股定理可得到已经图形的三条边分别为，2，，所以三边之比为 A、通过勾股定理可得到图形的三条边分别为，1，，所以三边之比为，与已知图形之比不一样，故不符合题意； B、通过勾股定理可得到图形的三条边分别为，1，，所以三边之比为，与已知图形之比一样，故两个三角形相似，故符合题意； C、通过勾股定理可得到图形的三条边分别为，3，，所以三边之比为，与已知图形之比不一样，故不符合题意； D、通过勾股定理可得到图形的三条边分别为，2，，所以三边之比为，与已知图形之比不一样，故不符合题意； 故选：B ． 2．（23-24八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，小正方形的边长都为1，则图形中的阴影三角形相似的序号为 ． 【答案】①② 【分析】本题是考查了三边对应成比例的两个三角形相似，掌握“三边对应成比例的两个三角形相似”这一知识点是解决本题的关键． 分别求出每个三角形的三边长，若两个三角形的三边对应成比例，则这两个三角形相似． 【详解】解：①三边分别为：， ②三边分别为：， ③三边分别为：， ④三边分别为：， ⑤三边分别为：， ， 图形中的阴影三角形相似的序号为①②． 故答案为：①②． 【题型六 确定哪两个三角形相似】 例题：（24-25九年级上·上海普陀·阶段练习）如图，在等边三角形中，点E、F分别在上，且，那么下列不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，先根据“两边对应成比例且夹角相等”得，再根据相似三角形的对应角相等得，然后根据“两角相等的两个三角形相似”得，，比较和各角之间的关系得出答案． 【详解】∵，是等边三角形， ∴，． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 所以A，C，D正确； 在和中，， 可知这两个三角形不相似． 所以B不正确． 故选：B． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·上海·阶段练习）在和中，，下列各组的条件不能判定这两个三角形相似的是（   ） A．，； B．，，，； C．，，，； D．，，，． 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理，相似三角形的判定定理：两角对应相等，两组边对应成比例且夹角相等，三边对应成比例，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据相似三角形的判定方法和勾股定理，对各个选项进行分析即可． 【详解】A．相似：∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴，不符合题意； B．有一组角相等两边对应成比例，但该组角不是这两边的夹角，故不相似，符合题意； C．相似：∵，，，， ∴． 又∵， ∴，不符合题意； D．相似：∵，，，，， ∴，， ∴． ∵， ∴，不符合题意； 故选：B． 2．（23-24九年级上·山西大同·阶段练习）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，，，，为小正方形的顶点，则图中所形成的三角形中，相似的三角形是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查勾股定理和相似三角形的判定，可利用正方形的边把对应的线段表示出来，利用两边比值以及夹角相等的两个三角形相似即可证明． 【详解】解：， 由题意可知：，， ∴，， ∵， ∴， 故答案为：． 【题型七 确定相似三角形的对数】 例题：（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在中，，，则图中共有（   ）对相似三角形    A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的性质、相似三角形的判定等知识点，灵活运用相似三角形的判定方法成为解题的关键． 先根据、可知，即，再根据、可得，即，然后统计即可解答． 【详解】解：∵， ∴， 同理可得：， ∴， ∵、， ∴， ∴， 综上，图中共有4对相似三角形． 故选C． 【变式训练】 1．（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，已知，则图中相似三角形共有 对． 【答案】4 【分析】本题主要考查了平行线的判定和相似三角形的判定．根据已知先判定线段，再根据相似三角形的判定方法进行分析，从而得到答案． 【详解】解：， ． ， ， ， ， ， 同理：，， ， ，， ． 共4对． 故答案为：4． 2．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，点E是的边延长线上的一点，和交于点G，是的对角线，则图中相似三角形共有 对． 【答案】4 【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质和相似三角形的判定定理． 【详解】解：∵， ∴①． 又∵， ∴②，    ∴③． 由平行四边形的性质可得④， 共有4对相似三角形． 故答案为：4． 【题型八 相似三角形的证明】 例题：（24-25九年级上·北京顺义·阶段练习）如图，相交于的点，且．求证： ． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据两角对应相等的两个三角形相似即可求证，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】证明：∵相交于的点， ∴， 又∵， ∴． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·安徽淮北·期中）如图，已知，，，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 根据两组对应边成比例，且夹角相等的两三角形相似，进行证明． 【详解】证明：，，，， ， ， ， ． 2．（24-25九年级上·陕西咸阳·期中）如图，在中，分别是边上的点，连接，且，，．求证：∽． 【答案】证明见解析 【分析】根据三角形内角和定理可得，即可证出结论；本题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】证明：∵，， ∴， ， ， ∽． 一、单选题 1．（24-25九年级上·上海·阶段练习）已知的三边长为1、2、，在下列给定条件的中，与一定相似的是（   ） A．，，； B．，，； C．，，； D．，，． 【答案】D 【分析】本题主要考查相似三角形的判定定理，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键；由题意可知是一个含30度的直角三角形，然后可进行排除选项． 【详解】解：∵的三边长为1、2、，且， ∴是一个直角三角形， 由选项可知：，所以只需满足即可； 故选D． 2．（24-25九年级上·四川内江·期中）如图，是的边上一点，下列条件中，不能判定与相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查相似三角形的判定，由是公共角，利用有两角对应相等的三角形相似，即可得A与B正确；又由两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，即可得C正确，继而求得答案，掌握三角形相似的判定方法是解题的关键． 【详解】∵是公共角， ∴当或时，与相似（有两角对应相等的三角形相似），故A与B正确，不符合题意； 当时，与相似（两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似），故C正确，不符合题意； 当时，不是夹角，故不能判定与相似，故D错误，符合题意． 故选：D． 3．（24-25九年级上·上海浦东新·阶段练习）如图，已知、都是等边三角形，点D、E分别在、上，图中的相似三角形共有（   ）对． A．3对 B．4对 C．6对 D．7对 【答案】D 【分析】本题考查了等边三角形的性质，相似三角形的判定，三角形内角和定理，根据相似三角形的判定定理即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：如图： ∵、都是等边三角形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ， ∴， 又∵， ∴， ∴， ， 综上，相似三角形共有对， 故选：D． 4．（23-24九年级上·江苏淮安·期中）下列的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与相似的三角形所在的网格图形是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，三角形对应边比值相等判定三角形相似的方法，可利用正方形的边把对应的线段表示出来，利用三边对应成比例两个三角形相似，分别计算各边的长度即可解题． 【详解】解：根据勾股定理，，，， ∴，， ∴是直角三角形，夹直角的两边的比为， A、不是直角三角形，故A选项不符合题意； B、是直角三角形，夹直角的两边的比为，故B选项不符合题意； C、是直角三角形，夹直角的两边的比为，故C选项符合题意； D、三边分别为、、4，，故不是直角三角形，故D选项不符合题意． 故选：C． 5．（24-25九年级上·山西临汾·期中）如图，已知，添加下列一个条件后，仍无法判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查相似三角形的判定，利用等量关系可得，再根据相似三角形的判定进行逐一判断即可． 【详解】解：∵， ∴，即， 当时，，故不符合题意； 当时，，故不符合题意； 当时，不能证与相似，故符合题意； 当时，，故不符合题意； 故选：C． 二、填空题 6．（24-25九年级上·广东珠海·期中）如图，在中，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，平行线的性质，根据两直线平行，同位角相等得到，再根据两组角对应相等的两三角形相似即可证明． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：；． 7．（22-23九年级上·河南南阳·期中）在如图所示的格点图中有5个格点三角形，分别是：①，②，③，④，⑤，其中与⑤相似的三角形是 （只填序号）． 【答案】①③/③① 【分析】两三角形三条边对应成比例，两三角形相似，据此即可解答． 【详解】解：设每个小正方形的边长为1，则 ①的各边长分别为1、、． ②的各边长分别为1、、； ③的各边长分别为2、、； ④的各边长分别为、、6； ⑤的各边长分别为、2、； ∴，， 故答案为：①③． 【点睛】此题主要考查学生对三组对应边的比相等的两个三角形相似的运用．正确掌握网格中求线段长度的方法及掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 8．（23-24九年级上·全国·课后作业）已知相交于点O，若补充一个条件后，便可得到，则要补充的条件可以是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了相似三角形的判定．根据相似三角形的判定“两角分别对应相等的两个三角形相似”解答即可． 【详解】解：补充条件即可； ∵（对顶角），， ∴， 故答案为：（答案不唯一）． 9．（21-22九年级·全国·假期作业）如图，△ABC中，D、E分别在BA、CA延长线上，DE∥BC，，DE＝1，BC的长度是 ． 【答案】 【分析】根据DE∥BC，可得 ，从而得到,即可求解． 【详解】解：∵DE∥BC， ， ∴， ∴， ∵，DE＝1， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键． 10．（24-25九年级上·上海浦东新·阶段练习）如图，中，，，点D是边上的中点，图中与相似三角形是 ． 【答案】 【分析】此题 考查相似三角形的判定、直角三角形的性质、等边对等角等知识，，点D是边上的中点，则，，得到再证明，则，即可证明． 【详解】解：∵，点D是边上的中点， ∴，， ∴ ∵， ∴， ∴ ∴， ∴ ∵，， ∴， 故答案为： 三、解答题 11．（23-24九年级上·河北秦皇岛·阶段练习）已知：平行四边形，是延长线上一点，与、交于、． (1)图中有 对相似三角形； (2)求证：． 【答案】(1)6； (2)见解析； 【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，主要利用了平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 根据平行四边形的对边平行，再根据平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似找出相似三角形即可得解． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ， 则， ∵， 则， 综上所述，共有6对相似三角形； （2）证明：四边形是平行四边形， ，， ，， ， 即． 12．（23-24九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，在中，． (1)尺规作图：在上求作一点D，使得；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）作图的基础上，连接，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，线段垂直平分线的尺规作图，等边对等角： （1）作的垂直平分线交于点D，点D即为所求； （2）根据等边对等角得到，则，据此可证明． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴． 13．（24-25九年级上·河南郑州·期中）如图，将绕着点A按顺时针方向旋转得到，连接，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查旋转性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定方法是解答的关键．先根据旋转性质得到，，再利用相似三角形的判定可得结论． 【详解】证明：∵绕着点A按顺时针方向旋转得到， ∴，，， ∴，， ∴． 14．（24-25九年级上·北京·阶段练习）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，和的顶点都在边长为1的小正方形的格点上． (1)____________． (2)判断与是否相似，若相似，请给出证明；若不相似，请说明理由． (3)求． 【答案】(1)135 (2)，理由见解析 (3)2 【分析】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定和性质． （1）先求出，即可解答； （2）先得出，再得出，即可求证； （3）分别求出与的面积，即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 故答案为：135． （2）证明：由（1）同理可得， ∵， ∴， 又∵ ∴； （3）解：∵， ∴． 15．（24-25九年级上·上海嘉定·期中）如图，点D、E分别在线段和上，与相交于点O，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据可证，通过可证，然后根据相似的传递性即可得证． 【详解】证明： ， ， ， ， ， ， ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 相似三角形的判定 目录 【题型一 判断两个三角形是否相似】 1 【题型二 补充条件使两个三角形相似】 2 【题型三 裁剪使两个三角形相似】 3 【题型四 尺规作图使两个三角形相似】 4 【题型五 格点中判断两三角形相似】 5 【题型六 确定哪两个三角形相似】 5 【题型七 确定相似三角形的对数】 6 【题型八 相似三角形的证明】 7 【题型一 判断两个三角形是否相似】 例题：（24-25九年级上·山东青岛·期中）如图，已知△，下列4个三角形中，与△相似的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·上海虹口·阶段练习）在下列四个图形中，已知，则四个图中不一定有相似三角形的是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·江西景德镇·期中）下列各组图形中，一定相似的是（    ） A．两个等腰直角三角形 B．两个直角三角形 C．两个等腰三角形 D．两个锐角三角形 【题型二 补充条件使两个三角形相似】 例题：（24-25九年级上·广东深圳·期中）如图，已知，那么添加下列的一个条件后，仍无法判定的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·山东潍坊·期中）（多选）如图，下列条件中，能够判定的为（  ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·浙江·期中）如图，在中，，点在上，请添加一个条件 ，使得与相似． 【题型三 裁剪使两个三角形相似】 例题：（23-24九年级上·安徽宣城·期末）如图，在中，，，，将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·河南郑州·期中）剪一张含角的直角三角形，如图所示，将直角沿直线折叠，使点C落在斜边上的点D处，则图中一定相似（不含全等）的三角形是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 2．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）如图，在三角形纸片中，，，．将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形相似的有 ．（请在横线上填上符合条件的序号） 【题型四 尺规作图使两个三角形相似】 例题：（24-25九年级上·陕西渭南·期中）如图，在中，，利用尺规作图法在上求作一点D，连接，使得． 【变式训练】 1．（2024·陕西渭南·一模）如图，点为的边的延长线上一点，请用尺规作图法在的延长线上求作一点，连接，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 2．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，已知，，．请用尺规作图法在AC边上求作一点P，使．（保留作图痕迹，不写作法） 【题型五 格点中判断两三角形相似】 例题：（23-24九年级上·陕西咸阳·期中）如图，在下列方格纸中的四个三角形，是相似三角形的是（   ） A．①和② B．③和④ C．②和④ D．①和④ 【变式训练】 1．（24-25九年级上·上海·阶段练习）下列四个三角形，与左图中的三角形相似的是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，小正方形的边长都为1，则图形中的阴影三角形相似的序号为 ． 【题型六 确定哪两个三角形相似】 例题：（24-25九年级上·上海普陀·阶段练习）如图，在等边三角形中，点E、F分别在上，且，那么下列不正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·上海·阶段练习）在和中，，下列各组的条件不能判定这两个三角形相似的是（   ） A．，； B．，，，； C．，，，； D．，，，． 2．（23-24九年级上·山西大同·阶段练习）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，，，，为小正方形的顶点，则图中所形成的三角形中，相似的三角形是 ． 【题型七 确定相似三角形的对数】 例题：（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在中，，，则图中共有（   ）对相似三角形    A．2 B．3 C．4 D．5 【变式训练】 1．（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，已知，则图中相似三角形共有 对． 2．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，点E是的边延长线上的一点，和交于点G，是的对角线，则图中相似三角形共有 对． 【题型八 相似三角形的证明】 例题：（24-25九年级上·北京顺义·阶段练习）如图，相交于的点，且．求证： ． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·安徽淮北·期中）如图，已知，，，，，求证：． 2．（24-25九年级上·陕西咸阳·期中）如图，在中，分别是边上的点，连接，且，，．求证：∽． 一、单选题 1．（24-25九年级上·上海·阶段练习）已知的三边长为1、2、，在下列给定条件的中，与一定相似的是（   ） A．，，； B．，，； C．，，； D．，，． 2．（24-25九年级上·四川内江·期中）如图，是的边上一点，下列条件中，不能判定与相似的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·上海浦东新·阶段练习）如图，已知、都是等边三角形，点D、E分别在、上，图中的相似三角形共有（   ）对． A．3对 B．4对 C．6对 D．7对 4．（23-24九年级上·江苏淮安·期中）下列的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与相似的三角形所在的网格图形是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·山西临汾·期中）如图，已知，添加下列一个条件后，仍无法判定的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（24-25九年级上·广东珠海·期中）如图，在中，，则 ． 7．（22-23九年级上·河南南阳·期中）在如图所示的格点图中有5个格点三角形，分别是：①，②，③，④，⑤，其中与⑤相似的三角形是 （只填序号）． 8．（23-24九年级上·全国·课后作业）已知相交于点O，若补充一个条件后，便可得到，则要补充的条件可以是 ． 9．（21-22九年级·全国·假期作业）如图，△ABC中，D、E分别在BA、CA延长线上，DE∥BC，，DE＝1，BC的长度是 ． 10．（24-25九年级上·上海浦东新·阶段练习）如图，中，，，点D是边上的中点，图中与相似三角形是 ． 三、解答题 11．（23-24九年级上·河北秦皇岛·阶段练习）已知：平行四边形，是延长线上一点，与、交于、． (1)图中有 对相似三角形； (2)求证：． 12．（23-24九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，在中，． (1)尺规作图：在上求作一点D，使得；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）作图的基础上，连接，求证：． 13．（24-25九年级上·河南郑州·期中）如图，将绕着点A按顺时针方向旋转得到，连接，，求证：． 14．（24-25九年级上·北京·阶段练习）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，和的顶点都在边长为1的小正方形的格点上． (1)____________． (2)判断与是否相似，若相似，请给出证明；若不相似，请说明理由． (3)求． 15．（24-25九年级上·上海嘉定·期中）如图，点D、E分别在线段和上，与相交于点O，，．求证：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$