第十一章三角形第四讲 多边形及其内角和 讲义 2024—2025学年人教版数学八年级上册

第四讲 多边形及其内角和 考点梳理 【考点1】利用三角形内外角的性质求角度 例题1.在中，已知，则度数是（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了三角形内角和定理．熟练掌握三角形内角和定理，利用三角形内角和得出关于的方程，是解题关键． 利用三角形的内角和180°，把和用表示，再列出方程求出即可． 【详解】∵中，已， ∴， ∴， ∴． 【针对训练】 1.若，，则∠A等于（   ） A． B． C． D． 【分析】此题主要考查了三角形内角的性质，关键是掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．根据三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：∵，， ∴． 2.在中，若，，则的度数为 ． 【分析】本题考查了三角形内角和定理，正确理解记忆三角形内角和定理是解决本题的关键．根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：． 【考点2】利用平行线的性质求角度 例题1如图，在中，，，平分，交于点E，则（    ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义以及平行线的性质，由三角形内角和定理可得出，由角平分线的定义可得出，最后根据平行线的性质可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 【针对训练】 1.．如图，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查与平行线有关的三角形内角和问题，先根据平行线得到，再根据是三角形内角和求出的度数． 【详解】∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 2．如图，直线，，那么与（   ） A．相等 B．互补 C．互余 D．无法确定 【分析】本题考查了平行线的性质．根据平行线的性质得到，根据三角形的内角和定理得出，据此即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴与互余， 【考点3】利用学具特征求角度 例题1.将一副三角板（）按如图方式摆放，使，则（     ） A． B． C． D． 【分析】此题考查了三角形内角和定理，平行线的性质，解题的关键是掌握以上知识点． 首先根据三角形内角和定理得到，然后由平行线的性质得到，然后利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】∵ ∴ ∵ ∴ ∴． 【针对训练】 1.如图，一副三角板拼成如图所示图形，则的度数为（） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查三角形的外角性质，解答的关键是明确三角形的外角等于与其不相邻的两个内角之和．由题意可得，，由三角形的外角性质即可求解． 【详解】解：由题意得：，， 是的外角， ． 2．如图，将一副直角三角板按如图方式叠放在一起，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查了三角形的外角性质．先根据直角三角板的性质得出及的度数，再由三角形的外角性质“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和”即可得出结论． 【详解】解：如图，   ， ， ， 【考点4】利用折叠角的性质求角度 例题1.如图，把的往内部折叠，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查三角形的内角和定理、折叠性质、平角定义，先根据三角形的内角和定理求得，再由由折叠性质得，，然后利用平角定义可求解． 【详解】解：如图， ∵， ∴， 由折叠性质得，， ∴，， ∴， ∴， 【针对训练】 1.如图，在三角形纸片中，，，将纸片的一角折叠，使点C落在内，若， ． 【分析】本题主要是考查了三角形的内角和定理，折叠的性质，熟练掌握三角形的内角和定理是解题的关键． 根据已知条件求出，根据三角形内角和定理表示出，然后根据折叠的性质及平角的定义得出，即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 纸片的沿折叠， ，， ， ， ∴． 2．如图，在折纸活动中，王强做了一张纸片，点，分别是，上的点，将沿着折叠压平，与重合，且，若，则等于 ． 【分析】本题主要考查了翻折变换的性质，三角形的内角和定理等知识点，根据翻折变换的性质可得，再根据三角形的内角和等于，求出，进而即可得解，熟练掌握翻折变换的性质是解决此题的关键． 【详解】∵， ∴， ∴， ∵沿着折叠压平，A与重合， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【综合提升，强化能力】 1．如图，在中，和的平分线，相交于点O，已知，则的度数等于（   ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查了角平分线的定义与三角形内角和定理的综合应用，在中，根据三角形的内角和定理，即可求得与的和，再根据角平分线的定义和三角形的内角和定理即可求解． 【详解】解：∵， ∴在中，， 又∵和的平分线交于点O， ∴，， ∴， ∴， 2．在中，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，根据三角形内角和可知，即可求出的度数． 【详解】解：在中，，， 根据三角形内角和可知：， 即， 解得：， 3．一副三角板，如图所示叠放在一起，则图中的度数为（   ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查三角板中特殊角度．根据三角板中特殊角度，三角形内角和定理解答即可． 【详解】解：如图，根据三角板角度的特殊性可知，，， ∵， ∴， 4．如图，的度数为（   ） A． B． C． D． 【分析】根据三角形内角和定理，外角性质，解答即可． 本题考查了三角形内角和定理，三角形外角性质，熟练掌握定理和性质是解题的关键． 【详解】解：如图，根据题意，得，且， 故， 故选：A． ． 5．如图，中，，，点D，E分别在边，上，若，则的度数为 ． 【分析】本题考查了与平行线有关的三角形的内角和问题，先根据三角形的内角和定理求出∠B，再根据两直线平行，同位角相等可得． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 6．如图， 在中， ， ，分别为边， 上两点，且 是 的角平分线． 若， ，则 ． 【分析】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义以及平行线的性质，在中，利用三角形内角和定理，可求出的度数，结合角平分线的定义，可求出的度数，由，再利用“两直线平行，内错角相等”，即可求出的度数． 【详解】解：，，， ．， 是的角平分线， ． 在中，，， ， 故答案为：． 7．如图，的和的平分线，相交于点，若，则的度数为 ． 【分析】本题主要考查了与角平分线有关的三角形内角和定理，由角平分线的定义可得出，，由三角形内角和定理可得出，进而可得出，再利用三角形内角和定理即可得出答案． 【详解】解：∵，分别是和的平分线， ∴，， ∵ ∴， ∴， 8．如图，在中，，于点，，沿翻折得到，则的度数为 ． 【分析】本题主要考查了折叠的性质，三角形内角和定理，垂线的定义，先求出，再由垂线的定义得到，接着由折叠的性质得到，再证明三点共线，则． 【详解】解；∵，， ∴， ∵， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， ∴三点共线， ∴， 9．已知中，比大，，则 ． 【分析】题目主要考查三角形内角和定理及二元一次方程组的应用，理解题意，列出方程组成方程组是解题关键． 根据三角形内角和定理可得，由题意比大，可得，组成方程组求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵比大， ∴， ∴， 解得：， 故答案为：． 10．将一副三角尺按如图所示的方式叠放，则的度数为 ． 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，根据三角形内角和定理和三角板中角度的特点求出的度数，再根据对顶角相等即可得到答案． 【详解】解：如图所示，由题意得，， ∴， ∴， 故答案为：．    11．在中，为边上的高，，，则的度数为 ． 【分析】本题考查了直角三角形的性质、角的和与差．本题分为锐角三角形和为钝角三角形两种情况，画出相应的图形再根据三角形的高以及直角三角形两锐角互余，由图形中角的和差关系进行计算即可． 【详解】解：如下图所示，当为锐角三角形时， ，， ， ， 又， ； 如下图所示，当为钝角三角形时， ，， ， ， 又， ． 故答案为：或． 12．如图，的度数是 度． 【分析】本题考查外角和定理，三角形内角和定理．根据题意将线段交点命名为，再将交点命名为，再利用外角和定理可得，， 再利用三角形内角和定理继而得到本题答案． 【详解】解：将线段交点为，再将交点为，如下图所示： ∵，， ∴， 14．如图，在中，，于点，平分，，求的度数． 【分析】本题考查了直角三角形的性质，角平分线的定义，和三角形的内角和定理，熟练掌握角平分线的定义，和三角形的内角和定理是解题的关键．由可得，由直角三角形两个锐角互余，得到，即可求得，再由平分可得，从而利用三角形的外角的性质即可得解． 【详解】∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分，∴， ∴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第四讲 多边形及其内角和 考点梳理 【考点1】利用三角形内外角的性质求角度 例题1.在中，已知，则度数是（    ） A． B． C． D． 【针对训练】 1.若，，则∠A等于（   ） A． B． C． D． 2.在中，若，，则的度数为 ． 【考点2】利用平行线的性质求角度 例题1如图，在中，，，平分，交于点E，则（    ） A． B． C． D． 【针对训练】 1.．如图，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．如图，直线，，那么与（   ） A．相等 B．互补 C．互余 D．无法确定 【考点3】利用学具特征求角度 例题1.将一副三角板（）按如图方式摆放，使，则（     ） A． B． C． D． 【针对训练】 1.如图，一副三角板拼成如图所示图形，则的度数为（） A． B． C． D． 2．如图，将一副直角三角板按如图方式叠放在一起，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【考点4】利用折叠角的性质求角度 例题1.如图，把的往内部折叠，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【针对训练】 1.如图，在三角形纸片中，，，将纸片的一角折叠，使点C落在内，若， ． 2．如图，在折纸活动中，王强做了一张纸片，点，分别是，上的点，将沿着折叠压平，与重合，且，若，则等于 ． 【综合提升，强化能力】 1．如图，在中，和的平分线，相交于点O，已知，则的度数等于（   ） A． B． C． D． 2．在中，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．一副三角板，如图所示叠放在一起，则图中的度数为（   ） A． B． C． D． 4．如图，的度数为（   ） A． B． C． D． 5．如图，中，，，点D，E分别在边，上，若，则的度数为 ． 6．如图， 在中， ， ，分别为边， 上两点，且 是 的角平分线． 若， ，则 ． 7．如图，的和的平分线，相交于点，若，则的度数为 ． 8．如图，在中，，于点，，沿翻折得到，则的度数为 ． 9．已知中，比大，，则 ． 10．将一副三角尺按如图所示的方式叠放，则的度数为 ． 11．在中，为边上的高，，，则的度数为 ． 12．如图，的度数是 度． 13．如图，在中，，于点，平分，，求的度数． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$