专题19 解三角形中的最值与范围问题-2025年高考数学一轮复习重难点微专题突破

专题19 解三角形中的最值与范围问题 知识梳理 解三角形的热门考法中，还经常会结合基本不等式、三角函数、三角恒等变换等知识点考察边和角相关的最值和范围问题.本节微点我们将通过对解三角形中角、边、周长、面积四类最值/范围问题进行专题讲解和练习. 考点解读 考点一 三角形的角度范围和最值问题 【典例精讲】 例1.（2022·重庆市月考）在中，，则的最大值是(    ) A. B. C. D. 例2.（2024·河北省张家口市联考）在中，角所对的边分别是，且为的等差中项，则角最大值是(    ) A. B. C. D. 例3.（2023·福建省莆田市期末）如图，是直角斜边上一点不含端点，，记，． 求的最大值； 若，求角的值． 【方法储备】 在解决解三角形问题中所有的最值和范围问题时，大部分的情况都需要将问题转化为解决角或角的三角函数范围问题.所以处理解三角形中角的范围是这一节的基础.一般情况下，解决角的问题分为以下几步： （1） 通过三角形内角的关系、三角恒等变换、辅助角公式等将角的表达式转化为单一角的表达式； （2）通过题目已知条件限制的范围，计算整理得到的三角函数式的范围. 【拓展提升】 练习1-1.（2022·河南省郑州市模拟）在中，角，，所对的边分别为，，，且满足，则的最大值是(    ) A. B. C. D. 练习1-2.（2024·北京市月考）已知内角、、的对边分别为、、，． Ⅰ证明：； Ⅱ求的最小值． 练习1-3.（2024·湖北省黄石市月考）记中，角，，所对边分别为，，，且B. 求的最小值 若，，求及的面积． 考点二 三角形的边长范围和最值问题 【典例精讲】 例4.（2023·安徽省淮南市月考）在中，角、、所对的边分别为、、，若，，则实数的最大值是(    ) A. B. C. D. 例5.（2024·湖北省襄阳市月考）在中，内角，，所对的边分别为，，，，，则当取得最大值时，          ． 【方法储备】 一般情况下，解决边的范围问题并不像角那样直观，因为它缺少类似角度范围是或三角形内角和是这样的天然条件.因此，我们通常采用边化角的方法，分以下几步解决问题： （1）通过正弦/余弦定理将已知条件中的边转化为角； （2）按照考点一的方式解决角的范围问题. 另外，对于这类边的整体性求范围时，也可以通过余弦定理直接获得这些整体的关系，通过基本不等式求得他们的范围. 【拓展提升】 练习2-1.（2022·湖北省恩施市月考）拿破仑波拿巴，十九世纪法国伟大的军事家、政治家，对数学很有兴趣，他发现并证明了著名的拿破仑定理：“以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这三个三角形的中心恰为另一个等边三角形的顶点”如图，在中，，以，，为边向外作三个等边三角形，其中心依次为，，，若，则的值为          ，的最大值为          ． 练习2-2.（2024·黑龙江省齐齐哈尔市模拟）在锐角中，角，，所对应的边分别为，，，，． 若，求的面积； 求的取值范围，并确定其是否存在最值，如果存在最值，求出取得最值时的大小，如果不存在，请说明理由． 练习2-3.（2022·浙江省杭州市月考）在中，内角，，的对边分别为，，，且 若，求； 若，求的最小值． 考点三 三角形的周长范围和最值问题 【典例精讲】 例5.（2022·安徽省淮北市月考）在中，，则的周长为(    ) A. B. C. D. 例6.（2024·江苏省南通市月考）如图，在扇形中，半径，，在半径上，在半径上，是扇形弧上的动点不包含端点，则平行四边形的周长的取值范围是(    ) A. B. C. D. 例7.（2022·武汉省黄冈市月考）在中，内角，，的对边分别是，，，若，且，则周长的取值范围是(    ) A. B. C. D. 【方法储备】 在前两点中，我们已经学会了如何处理角和边的范围，周长则是对于三条边的计算.在边化角的时候需要更加注意题中或过程中得到的角间关系，将三条边转化为三个角，再将三个角转化为单一角求解范围.整体思路和解题过程和求边的范围别无二致，只是考察范围更加综合.同样需要注意的是，类似边的组合范围，周长部分题目中也可以通过余弦定理+基本不等式的方式进行求解，不要陷入思维定式. 【拓展提升】 练习3-1.（2023·宁夏回族自治区石嘴山市模拟）在中，内角，，的对应边分别为，，，已知，且的面积为，则周长的最小值为(    ) A. B. C. D. 练习3-2.（2023·海南省海口市月考）在中，内角，，的对边分别为，，，请在；两个条件中，选择一个完成下列问题： 求； 若，求的周长的取值范围． 练习3-3.（2023·湖南省怀化市期末）从，，这三个条件中任选一个，补充在下列横线上，并解答． 在中，内角，，所对的边长分别为，，，且满足_____． 求角的大小； 若，求周长的取值范围． 考点四 三角形的面积范围和最值问题 【典例精讲】 例8.（2024·江苏省南通市月考）记的内角，，的对边分别为，，，已知，则面积的最大值为(    ) A. B. C. D. 例9.（2024·广东省广州市月考）在中，内角，，的对边分别为，，，若，，则的面积的最大值为(    ) A. B. C. D. 例10.（2024·广州省揭阳市月考）的内角，，的对边分别为，， 设． 求； 若为锐角三角形，且，求面积的取值范围． 【方法储备】 在四种最值范围问题中，考察面积的频次最最高，也是高考出现过的考点.这里我们列出常用的三角形面积公式供大家参考：，且后面的式子更加常用.其中选取角度的时候要尽量选取已知角简化计算.同样不要忘记边长乘积也可以利用余弦定理求范围. 【拓展提升】 练习4-1.（2024·广东省佛山市月考）在中，、、分别为内角、、所对的边，且，若点是外一点，，则平面四边形的面积的最大值是(    ) A. B. C. D. 练习4-2.（2024·云南省昆明市联考）已知函数． 求函数的值域； 在中，角，，的对边分别为，，，若，，求的面积的最大值． 练习4-3.（2024·陕西省西安市月考）在中，，，分别为内角，，的对边，． 求角的大小； 若是锐角三角形，，求面积的取值范围． 共18页/第1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题19 解三角形中的最值与范围问题 知识梳理 解三角形的热门考法中，还经常会结合基本不等式、三角函数、三角恒等变换等知识点考察边和角相关的最值和范围问题.本节微点我们将通过对解三角形中角、边、周长、面积四类最值/范围问题进行专题讲解和练习. 考点解读 考点一 三角形的角度范围和最值问题 【典例精讲】 例1.（2022·重庆市月考）在中，，则的最大值是(    ) A. B. C. D. 例2.（2024·河北省张家口市联考）在中，角所对的边分别是，且为的等差中项，则角最大值是(    ) A. B. C. D. 例3.（2023·福建省莆田市期末）如图，是直角斜边上一点不含端点，，记，． 求的最大值； 若，求角的值． 【方法储备】 在解决解三角形问题中所有的最值和范围问题时，大部分的情况都需要将问题转化为解决角或角的三角函数范围问题.所以处理解三角形中角的范围是这一节的基础.一般情况下，解决角的问题分为以下几步： （1） 通过三角形内角的关系、三角恒等变换、辅助角公式等将角的表达式转化为单一角的表达式； （2）通过题目已知条件限制的范围，计算整理得到的三角函数式的范围. 【拓展提升】 练习1-1.（2022·河南省郑州市模拟）在中，角，，所对的边分别为，，，且满足，则的最大值是(    ) A. B. C. D. 练习1-2.（2024·北京市月考）已知内角、、的对边分别为、、，． Ⅰ证明：； Ⅱ求的最小值． 练习1-3.（2024·湖北省黄石市月考）记中，角，，所对边分别为，，，且B. 求的最小值 若，，求及的面积． 考点二 三角形的边长范围和最值问题 【典例精讲】 例4.（2023·安徽省淮南市月考）在中，角、、所对的边分别为、、，若，，则实数的最大值是(    ) A. B. C. D. 例5.（2024·湖北省襄阳市月考）在中，内角，，所对的边分别为，，，，，则当取得最大值时，          ． 【方法储备】 一般情况下，解决边的范围问题并不像角那样直观，因为它缺少类似角度范围是或三角形内角和是这样的天然条件.因此，我们通常采用边化角的方法，分以下几步解决问题： （1）通过正弦/余弦定理将已知条件中的边转化为角； （2）按照考点一的方式解决角的范围问题. 另外，对于这类边的整体性求范围时，也可以通过余弦定理直接获得这些整体的关系，通过基本不等式求得他们的范围. 【拓展提升】 练习2-1.（2022·湖北省恩施市月考）拿破仑波拿巴，十九世纪法国伟大的军事家、政治家，对数学很有兴趣，他发现并证明了著名的拿破仑定理：“以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这三个三角形的中心恰为另一个等边三角形的顶点”如图，在中，，以，，为边向外作三个等边三角形，其中心依次为，，，若，则的值为          ，的最大值为          ． 练习2-2.（2024·黑龙江省齐齐哈尔市模拟）在锐角中，角，，所对应的边分别为，，，，． 若，求的面积； 求的取值范围，并确定其是否存在最值，如果存在最值，求出取得最值时的大小，如果不存在，请说明理由． 练习2-3.（2022·浙江省杭州市月考）在中，内角，，的对边分别为，，，且 若，求； 若，求的最小值． 考点三 三角形的周长范围和最值问题 【典例精讲】 例5.（2022·安徽省淮北市月考）在中，，则的周长为(    ) A. B. C. D. 例6.（2024·江苏省南通市月考）如图，在扇形中，半径，，在半径上，在半径上，是扇形弧上的动点不包含端点，则平行四边形的周长的取值范围是(    ) A. B. C. D. 例7.（2022·武汉省黄冈市月考）在中，内角，，的对边分别是，，，若，且，则周长的取值范围是(    ) A. B. C. D. 【方法储备】 在前两点中，我们已经学会了如何处理角和边的范围，周长则是对于三条边的计算.在边化角的时候需要更加注意题中或过程中得到的角间关系，将三条边转化为三个角，再将三个角转化为单一角求解范围.整体思路和解题过程和求边的范围别无二致，只是考察范围更加综合.同样需要注意的是，类似边的组合范围，周长部分题目中也可以通过余弦定理+基本不等式的方式进行求解，不要陷入思维定式. 【拓展提升】 练习3-1.（2023·宁夏回族自治区石嘴山市模拟）在中，内角，，的对应边分别为，，，已知，且的面积为，则周长的最小值为(    ) A. B. C. D. 练习3-2.（2023·海南省海口市月考）在中，内角，，的对边分别为，，，请在；两个条件中，选择一个完成下列问题： 求； 若，求的周长的取值范围． 练习3-3.（2023·湖南省怀化市期末）从，，这三个条件中任选一个，补充在下列横线上，并解答． 在中，内角，，所对的边长分别为，，，且满足_____． 求角的大小； 若，求周长的取值范围． 考点四 三角形的面积范围和最值问题 【典例精讲】 例8.（2024·江苏省南通市月考）记的内角，，的对边分别为，，，已知，则面积的最大值为(    ) A. B. C. D. 例9.（2024·广东省广州市月考）在中，内角，，的对边分别为，，，若，，则的面积的最大值为(    ) A. B. C. D. 例10.（2024·广州省揭阳市月考）的内角，，的对边分别为，， 设． 求； 若为锐角三角形，且，求面积的取值范围． 【方法储备】 在四种最值范围问题中，考察面积的频次最最高，也是高考出现过的考点.这里我们列出常用的三角形面积公式供大家参考：，且后面的式子更加常用.其中选取角度的时候要尽量选取已知角简化计算.同样不要忘记边长乘积也可以利用余弦定理求范围. 【拓展提升】 练习4-1.（2024·广东省佛山市月考）在中，、、分别为内角、、所对的边，且，若点是外一点，，则平面四边形的面积的最大值是(    ) A. B. C. D. 练习4-2.（2024·云南省昆明市联考）已知函数． 求函数的值域； 在中，角，，的对边分别为，，，若，，求的面积的最大值． 练习4-3.（2024·陕西省西安市月考）在中，，，分别为内角，，的对边，． 求角的大小； 若是锐角三角形，，求面积的取值范围． 【答案解析】 例1 解：由题意得，即， 因为，所以，即， 所以，故选C． 例2 解：由题意可得  ， 由余弦定理可得 ， 当且仅当  时，等号成立． 又  ，即角  的最大值为  ． 故选：． 例3 解：设，，，， ，，， ，， ， ，， 故当，即时，取得最大值． 在中，由正弦定理得，， ，， 由知，，，解得或舍， 因为为钝角，所以．  练习1-1 解：由以及正弦定理可知，即， ，即， ， ，即，， 则的最大值为． 故选：． 练习1-2 解：Ⅰ证明：由得：； 两边同乘以得，； ；即； 根据正弦定理，； ， 代入得：；； Ⅱ； ； ，且，当且仅当时取等号； 又，；； 由余弦定理，； 的最小值为．  练习1-3 解：因为，所以， 则， 因为，所以， 由，是的内角，可得，， 所以， 当且仅当时等号成立， 所以的最小值为； 因为，由得，， 所以，又， 因为，所以，， 所以， 由正弦定理，得， 所以的面积为． 例4 解：由余弦定理可得，，， ， 解得， 当时，， 故． 故选：． 例5 解：在中，，，设外接圆半径为． 则， 则   ，其中，，． 当，即时，取得最大值， 此时，所以， 故答案为： 练习2-1 解：设，，，如图，连接，， 由拿破仑定理知，为等边三角形，在中，，， 设， 由余弦定理，得，解得，即，， 同理 又，，所以， 在中，由余弦定理，得，即， 化简得， 由基本不等式得，解得当且仅当时取等号， 所以． 故空答案为：；空答案为：． 练习2-2 解：， ， ，即， ，，， 又三角形是锐角三角形所以， ，可得：，， ． 由正弦定理可得：， 可得：， 其中，，，为锐角， 因为为锐角三角形，则，从而， 得：，而， 所以：，所以：， 从而的取值范围为， 由上述分析可知，无最小值，当取得最大值时，， 所以：．  练习2-3 解：因为，所以由余弦定理得， 因为，所以，即， 所以． 由及正弦定理得，即， 所以或， 当时，，与矛盾，故舍去， 所以， ， 因为，即， 所以， 所以当时，有最小值．  例5 解：， 由正弦定理可得：， 的周长 故选：． 例6 解：如图，连接，设，则，，故． 在中，由正弦定理可得， 则 在中，由正弦定理可得，则． 平行四边形的周长为 ． 因为，所以，所以，所以， 所以，则，即平行四边形的周 长的取值范围是． 例7 解：由得到， 因为，所以， ，即， 所以的周长的范围为． 故选B． 练习3-1 解：因为，可得 ， 所以  ，又，可得， 即，又，则，可得． 所以  ，所以  ，所以 ， 可得，当且仅当时等号成立． 所以． 由余弦定理可得 ，则，  所以三角形的周长为  ， 当且仅当  时取等． 故选：． 练习3-2 解：选择条件， ，即，， ，． 选择条件， 由正弦定理得， ，， ，即，解得， ，． 由正弦定理可得， ，， 的周长 ， ，，， 的周长  练习3-3 解：选条件时，， 由余弦定理得：， 由于，所以解得； 选条件时，， 利用正弦定理得：，则， 在中，，，可得， 由于，所以解得； 选条件时，，整理得：， 在中，由于，则， 所以，由于，所以解得； 在中，，，由余弦定理， 整理得：，当且仅当时取等号， 解得，又，于是得， 所以周长的取值范围为．  例8 解：由得， 所以，则， 由于，所以， 设外接圆半径为，由正弦定理得，故， 如图，， 则，则点到的距离为， 故． 故选A． 例9 解：因为， 由正弦定理得， 所以， 由正弦定理可得，所以， 所以，所以，当且仅当时等号成立， 又， 所以， 所以的面积， 当且仅当时等号成立，即的面积的最大值为． 故选B． 例10 解：，则， 整理得， 由正弦定理得：， 由余弦定理得： ， 又，解得 ； 由正弦定理得：， 故， 因为，所以， 故  ， 因为为锐角三角形，所以，，解得 ， 故 ，则 ， 则 故面积的取值范围为．  练习4-1 解：中，， ，即，， 又，为等边三角形； 点是外一点，，，设， ， ， ， 当，即时，取得最大值， 平面四边形面积的最大值为． 故选：． 练习4-2 解： 函数的定义域为，的值域为 由题知中，，， ， ，， 即，由，得， ，即， 又，，，即， 当且仅当时等号成立， ， 当且仅当时等号成立，故的面积的最大值为．  练习4-3 解：由正弦定理得， 即， 又， 所以， 即， 又，，， 即，即， 又，，解得； 由题意得：， 由正弦定理得：， 又 为锐角三角形，，， ，，，， 从而． 所以面积的取值范围是． 共18页/第1页 学科网（北京）股份有限公司 $$