专题15 导数中的隐零点问题-2025年高考数学一轮复习重难点微专题突破

专题15 导数中的隐零点问题 知识梳理 隐零点问题是指对函数的零点设而不求，通过整体代换和过渡，再结合题目条件解决问题. 1. 隐零点就是指一个函数可以判断它在某个区间上有一个零点，但是这个零点具体是什么却无法计算或根本不需要计算，只需利用它的存在去解答题目. 2. 在求解函数问题时，很多时候都需要求函数在区间I上的零点，但所述情形都难以求出其准确值，导致解题过程无法继续进行时，可这样尝试求解：先证明函数在区间I上存在唯一的零点（例如，函数在区间I上是单调函数且在区间I的两个端点的函数值异号时就可证明存在唯一的零点)，这时可设出其零点是(因为不易求出，所以把零点叫做隐零点)，而后解答就可继续进行，实际上，此解法类似于解析几何中“设而不求”的方法. 考点解读 考点一 利用“隐零点”研究极（最）值问题 【典例精讲】 例1.(2024·山东省烟台市期中)(多选)已知函数，是函数的极值点，以下几个结论中正确的是(    ) A. B. C. D. 例2.(2023·河北省石家庄市模拟)函数的最小值为(    ) A. B. C. D. 【方法储备】 在利用“隐零点”研究极(最)值问题时,往往利用零点的存在性,对函数的零点设而不求,通过整体代换、构造函数等,再结合题目条件解决问题. 【拓展提升】 练1-1(2023·江苏省无锡市月考)已知二次函数 ．       Ⅰ讨论函数的单调性      Ⅱ设函数，记为函数极大值点，求证：  练1-2(2023·江苏省泰州市期末)已知函数，为的导数．证明： 在区间存在唯一极大值点； 有且仅有个零点． 考点二 利用“隐零点”确定参数取值范围 【典例精讲】 例3.(2023·浙江省台州市联考)已知函数，若存在两个极值点，，当取得最小值时，实数的值为(    ) A. B. C. D. 例4.(2024·山东省青岛市期末)已知数列满足，函数在处取得最大值，若，则           【方法储备】 利用“隐零点”确定参数取值范围的方法：确定函数的单调性和极值点、利用极值点处导数值为零的条件表达参数、代入极值的保号性求出的范围、最后根据的范围和参数表达式求出参数的取值范围. 注意：在求解参数范围时，需要根据求出的最值范围对零点的范围进行调整，以确保求出的参数范围准确.如果隐零点的限定范围合适，无需再缩小隐零点的范围，否则无法准确判断出参数的最大或最小值. 【拓展提升】 练2-1(2024·河南省新乡市月考)已知不等式对恒成立则当取最大值时，          ． 练2-2(2023·江西省宜春市模拟)已知函数在区间上有极值，则实数的取值范围是(    ) A. B. C. D. 考点三 利用“隐零点”解答不等式恒成立（证明）问题 【典例精讲】 例5.(2023·河南省郑州市联考)已知函数，． 讨论的单调性； 当时，证明：，． 例6.(2024·辽宁省沈阳市模拟)已知函数 若曲线在点处的切线方程为，求的值； 若对任意，不等式恒成立，求正整数的最大值． 【方法储备】 利用“隐零点”解答不等式恒成立（证明）问题，关键在于通过设定隐零点，利用函数的单调性、极值等性质，结合不等式的性质进行解决问题.主要策略包括： ①‌运用隐零点式替换‌，简化函数表达式：通过设置隐零点，将复杂的函数表达式转化为更易于处理的形式，如通过替换幂和对数式等，简化问题的求解过程. ②‌借助隐零点搭桥‌，协助描绘函数性态：通过隐零点的设定和分析，可以更好地理解函数的单调性、极值等性质，从而协助解决问题. 【拓展提升】 练3-1(2024·湖南省长沙市模拟)已知函数． 当时，讨论函数的单调性； 若不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 练3-2(2024·湖南省益阳市期末)设函数． 当，求在点处的切线方程； 证明：当时，． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题15 导数中的隐零点问题 知识梳理 隐零点问题是指对函数的零点设而不求，通过整体代换和过渡，再结合题目条件解决问题. 1. 隐零点就是指一个函数可以判断它在某个区间上有一个零点，但是这个零点具体是什么却无法计算或根本不需要计算，只需利用它的存在去解答题目. 2. 在求解函数问题时，很多时候都需要求函数在区间I上的零点，但所述情形都难以求出其准确值，导致解题过程无法继续进行时，可这样尝试求解：先证明函数在区间I上存在唯一的零点（例如，函数在区间I上是单调函数且在区间I的两个端点的函数值异号时就可证明存在唯一的零点)，这时可设出其零点是(因为不易求出，所以把零点叫做隐零点)，而后解答就可继续进行，实际上，此解法类似于解析几何中“设而不求”的方法. 考点解读 考点一 利用“隐零点”研究极（最）值问题 【典例精讲】 例1.(2024·山东省烟台市期中)(多选)已知函数，是函数的极值点，以下几个结论中正确的是(    ) A. B. C. D. 例2.(2023·河北省石家庄市模拟)函数的最小值为(    ) A. B. C. D. 【方法储备】 在利用“隐零点”研究极(最)值问题时,往往利用零点的存在性,对函数的零点设而不求,通过整体代换、构造函数等,再结合题目条件解决问题. 【拓展提升】 练1-1(2023·江苏省无锡市月考)已知二次函数 ．       Ⅰ讨论函数的单调性      Ⅱ设函数，记为函数极大值点，求证：  练1-2(2023·江苏省泰州市期末)已知函数，为的导数．证明： 在区间存在唯一极大值点； 有且仅有个零点． 考点二 利用“隐零点”确定参数取值范围 【典例精讲】 例3.(2023·浙江省台州市联考)已知函数，若存在两个极值点，，当取得最小值时，实数的值为(    ) A. B. C. D. 例4.(2024·山东省青岛市期末)已知数列满足，函数在处取得最大值，若，则           【方法储备】 利用“隐零点”确定参数取值范围的方法：确定函数的单调性和极值点、利用极值点处导数值为零的条件表达参数、代入极值的保号性求出的范围、最后根据的范围和参数表达式求出参数的取值范围. 注意：在求解参数范围时，需要根据求出的最值范围对零点的范围进行调整，以确保求出的参数范围准确.如果隐零点的限定范围合适，无需再缩小隐零点的范围，否则无法准确判断出参数的最大或最小值. 【拓展提升】 练2-1(2024·河南省新乡市月考)已知不等式对恒成立则当取最大值时，          ． 练2-2(2023·江西省宜春市模拟)已知函数在区间上有极值，则实数的取值范围是(    ) A. B. C. D. 考点三 利用“隐零点”解答不等式恒成立（证明）问题 【典例精讲】 例5.(2023·河南省郑州市联考)已知函数，． 讨论的单调性； 当时，证明：，． 例6.(2024·辽宁省沈阳市模拟)已知函数 若曲线在点处的切线方程为，求的值； 若对任意，不等式恒成立，求正整数的最大值． 【方法储备】 利用“隐零点”解答不等式恒成立（证明）问题，关键在于通过设定隐零点，利用函数的单调性、极值等性质，结合不等式的性质进行解决问题.主要策略包括： ①‌运用隐零点式替换‌，简化函数表达式：通过设置隐零点，将复杂的函数表达式转化为更易于处理的形式，如通过替换幂和对数式等，简化问题的求解过程. ②‌借助隐零点搭桥‌，协助描绘函数性态：通过隐零点的设定和分析，可以更好地理解函数的单调性、极值等性质，从而协助解决问题. 【拓展提升】 练3-1(2024·湖南省长沙市模拟)已知函数． 当时，讨论函数的单调性； 若不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 练3-2(2024·湖南省益阳市期末)设函数． 当，求在点处的切线方程； 证明：当时，． 【答案解析】 例1. 解：函数，， ，易得在递增， ，，所以存在唯一的，使得， 当时，单调递减，当时，单调递增， 即是函数的极小值点，函数无极大值点，  ，即A正确，不正确； 是极值点， ， ，即 C错误，D正确， 故选AD． 例2. 解：，定义域是， ， ，令，， 在上单调递增，，， 存在，使得，即， 在上，，在上，， 即在上，，在上，， 在上单调递减，在上单调递增， 当时，取得最小值， 又，， ． 故选：． 练1-1. 解：Ⅰ由题意，， 则， 当时，恒成立，在上单调递增； 当时，由得， 当时，单调递减， 当时，单调递增． 综上所述，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增．  Ⅱ证明：，则， 令，则， 令得， 当时，单调递增；当时，单调递减； 在处取得极大值， 又，， 一定有个零点，，即有个零点，， 且函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， 设是函数的一个极大值点，则， 则，， 又， ， 此时 ，   练1-2. 证明：的定义域为，则， 令，则， 令，则在恒成立， 在上为减函数， 又，， 由零点存在性定理可知，函数在上存在唯一的零点， 结合单调性可得，在上单调递增，在上单调递减， 可得在区间存在唯一极大值点； 由知，当时，单调递增， 则，则在上单调递减； 当时，单调递增， 则，则在上单调递增； 由于在上单调递减，且，， 由零点存在性定理可知，函数在上存在唯一零点，结合单调性可知， 当时，单调递减，则，故单调递增； 当时，单调递减，则，单调递减． 当时，，， 于是，单调递减， 其中，． 于是可得下表：                减函数  增函数 大于 减函数 大于 减函数 小于 结合单调性可知，函数在上有且只有一个零点， 由函数零点存在性定理可知，在上有且只有一个零点， 当时，， 因此函数在上无零点． 综上，有且仅有个零点．  例3. 解：解： 由题意可知是方程的两根，所以． 则， 令，所以， 因为，所以在上单调递增， 所以取最小值时，取最小值， 令，， 令， 所以在上单调递增，又且， 所以在内存在唯一的根，则， 即，即， 所以在单调递减，在上单调递增， 所以，所以， 所以取最小值，即取最小值时，． 例4. 解：因为，令， 则易得 在上单调递减，且， 由零点存在定理知，存在唯一的，使得， 即 ， 且当时，，则；当时，，则； 所以在上单调递增，上单调递减， 由， 而 ， 由知，， 所以， 从而． 故答案为：． 练2-1. 解：显然， 若，当且无限趋近于时，，而，矛盾，所以， 令，则 恒成立，即， ，令， 则在正实数集上是增函数， ，故存在，使得， 且在上，单调递减，在上，单调递增，， ， 所以，， 所以， 等号当且仅当即时取得，此时． 故当取最大值时，． 故答案为：． 练2-2. 解：由题意，因为函数在区间上有极值，得， 易知函数在区间上符号发生改变， 注意到的连续性，由零点存在定理得知，使得， 由，即得， 令，，得， 易知时，恒成立，所以函数 在上单调递增， 即得， 要使得在上有零点， 即得实数的取值范围为． 故选D． 例5. 解：， 设，则当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 设，由得或， 若，则，所以在上单调类增， 若，则，故当，时，， 当时，，所以在，上单调递增，在上单调递减， 若，则，故当，时，， 当时，，所以在，上单调递增，在上单调递减， 综上所述，当时，在上单递减，在上单调递增； 当时，在上单调递增； 当时，在，上单调递增，在上单调递减； 当时，在，上单调递增，在上单调递减． 证明：当时，欲证成立，只需证， 设，则， 令，则，所以在上为增函数， 因为， 所以由零点存在性定理得，存在唯一的使得，即，即， 所以由得， 故时，，时，， 所以， 故成立，即．  例6. 解：， 因为曲线在点处的切线方程为， 所以，所以； 对任意，不等式恒成立， 即，即在上恒成立， 令， 则， 令，则， 所以函数在上单调递增，又， 所以存在使得，即， 当时，，即，当时，，即， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以， 又因，则， 所以正整数的最大值为． 练3-1. 解：由得函数， 所以， 令得，令得或， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增． 由，得，又 所以，即对任意恒成立， 令，则， 令，则， 所以当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 又， 所以当时，在内存在唯一的零点， 所以当时，单调递增， 当时，单调递减， 当时，单调递增， 所以，， 因为，所以， 所以， 因为，所以，所以， 所以实数的取值范围为． 练3-2. 解：当时，，则，即， 所以在点处的切线方程为，即． 证明：因为， 因为为单调递增函数，也在上单调递增， 所以在上单调递增，又，且， 所以在上存在唯一零点，设为， 当时，，单调递减；当时，，单调递增； 所以， 由可得，即， 所以， 当且仅当时取等号， 所以当时，．  第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$