专题13 利用导数证明不等式-2025年高考数学一轮复习重难点微专题突破

专题13 利用导数证明不等式 考点一 直接构造法证明不等式 【典例精讲】 例1.(2024·福建省三明市月考)已知函数 讨论函数的单调性求证：当时，． 例2.(2023·浙江省慈溪市月考)已知函数证明：当时，． 【方法储备】 利用导数解决不等式的时候，首先要考虑的就是直接构造函数，通过研究函数的极值求解. 比如，要证明，可以直接移项，得. 再构造函数，对求导，计算所需定义域内的极值并和0对比即可证明原不等式. 或者证明的最大值比的最小值还小，也可以得到相同的效果. 【拓展提升】 练习1-1.(2024·福建省泉州市月考)已知函数． 讨论的单调性； 当时，证明：． 练习1-2.(2023·江苏省连云港市月考)已知函数． 讨论函数的单调性； 当时，证明：． 考点二 根据题设函数构造证明 【典例精讲】 例3.(2024·浙江省温州市月考)已知，求的最大值与最小值 求函数的单调区间． 若关于的不等式存在唯一的整数解，求实数的取值范围． 例4.(2024·广东省广州市月考)设函数常数 当时，求曲线在点处的切线方程； 求函数的单调区间； 证明：． 【方法储备】 在导数证明不等式的问题中，常常会有利用前一问，即题设函数来证明不等式的情况. 在利用题设函数证明时，通常要将目标不等式一侧转化为该函数的形式. 一些情况下，还需要将不等式中的参数根据已经获得的范围进行放缩，消去参数的影响以便于我们证明不等式. 【拓展提升】 练习2-1.(2023·山东省临沂市月考)  讨论函数单调性； 证明： 练习2-2.(2023·新疆乌鲁木齐月考)Ⅰ求证：； Ⅱ已知，求的根的个数； Ⅲ求证：若，则． 考点三 多种放缩的灵活应用 【典例精讲】 例5.(2024·重庆市月考)英国数学家泰勒发现的泰勒公式有如下特殊形式： 当在处的阶导数都存在时， 注：表示的阶导数，即为的导数，表示的阶导数，该公式也称麦克劳林公式． 写出泰勒展开式只需写出前项； 根据该公式估算的值，精确到小数点后两位； 证明：当时，． 例6.(2023·广东省汕头市期中)已知函数，． 若函数其中：为的导数有两个极值点，求实数的取值范围； 当时，求证：． 【方法储备】 但是并不是所有的不等式都可以通过简单的移项或者极值判断就可以证明. 更多时候，我们需要将指数式、对数式、三角函数式放缩成多项式或简单分式，便于证明. 下面给出常用的放缩式： (1) (2) (3) (4) (5) (6) 以上就是常用的常用放缩，也无需死记硬背，(1)和(3)的需要重点记忆. 【拓展提升】 练习3-1.(2024·湖南省岳阳市月考)已知函数． 当时，求的单调区间； 当时，若不等式恒成立，求实数的取值范围； 若，证明：． 练习3-2.(2023·天津市模拟)已知函数，． 当时，求函数在点处的切线； 若对任意的恒成立，求实数的取值范围； 求证：时，． 考点四 累加、累乘的数列放缩 【典例精讲】 例7.(2024·黑龙江省牡丹江市模拟)设，． 当时，求函数的最小值； 当时，证明：； 证明：． 例8.(2024·江苏省淮安市期中)已知函数 求曲线在点处的切线方程证明：当时， 设为整数，若对于，成立，求的最小值． 【方法储备】 在导数压轴题中，有的时候会遇到需要证明累加式或累乘式和另一个式子的大小关系. 通常，式子的另一侧是某个数列的和. 通过对应项的比较累加后得到要证明的式子. 而这些数列一般分为几种：①多项式型对应/放缩为等差数列求和、②分数形对应等比数列求和或裂项求和. 这样我们就可以得到以下几种形式： 然后通过对比对应项得出所需的结论. 【拓展提升】 练习4-1.(2024·江苏省常州市月考)已知函数 讨论的单调性 当时，若关于的不等式在区间上有解，求的取值范围 证明： 参考数据：． 练习4-2.(2023·浙江省台州市联考)设函数，， 讨论函数的单调区间 若对任意，函数均有个零点，求的取值范围 设且，证明：． 【答案解析】 例1 解：因为，所以，， 当时，，在上单调递减 当时，由得，由得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 综上，当时，在上单调递减 当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，， 要证明，只要证，即证， 设，，则，令得， 列表得 减 极小值 增 所以，即， 所以．  例2 证明：要证，只需证， 即证在恒成立，令，则， 即在上单调递减，在上单调递增， 则，所以 再令，则，易知在上单调递增，在上单调递减， 则，所以 因为与不同时为，所以， 故原不等式成立． 练习1-1 解：易知函数的定义域为，， 当时，，函数在上单调递增， 当时，由，解得， 由，解得， 因此函数在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，函数的递增区间是， 当时，函数的递增区间是，递减区间是； 证明：当时，， 令，，且函数的定义域为， 求导得，当时，，当时，， 因此函数在上单调递增，在上单调递减，则， 所以． 练习1-2 解： ， 若，则，在上单调递增； 若，则当时，；当时，． 所以在上单调递增，在上单调递减． 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减． 证明：法一因为，所以只需证， 当时，由知，在上单调递增，在上单调递减， 所以． 记，则， 所以当时，，当时，， 故在上单调递减；在上单调递增．所以． 综上，当时，，即，即． 法二由题意知，即证 ，从而等价于 ． 设函数 ，则． 所以当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减，从而在上的最大值为． 设函数，则． 所以当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 从而在上的最小值为． 综上，当时，，即．  例3 解： ，所以  ，  所以函数  在  上递增，在  递减 所以  ，  ， 所以  ，当时，，在单调递减； 当，，，单调递减，，，单调递增； 解：因为关于的不等式  存在唯一的整数解， 即  ，由可知 有一个整数解， 函数  在  上递增，在  递减， ，  ， 所以  有一个整数解即有   例4 解：， 当时，，，所以，且， 所以切线方程为，即曲线在点处的切线方程  由， 令， 当时，即时，，， 则函数在上单调递减，即函数的单调减区间为，无单调递增区间； 当时，即时，由，解得， 由于，所以当，即时，方程在上有个不等正根，， 所以当或时，，， 当时，，， 所以的单调递减区间为，单调递增区间为； 当时，方程在上有个正根， ， 所以时，，，当时，，， 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为 ； 综上，当时，单调减区间为，无单调递增区间； 当时，的单调递减区间为， 单调递增区间为； 当时，单调递增区间为，单调递减区间为 ； 证明：当时，在上单调递减，且， 所以当时，，即，所以， 当时，，即，所以， 综上，当时，总有． 练习2-1 解：， 设，，则，函数单调递减， ，，的单调递减区间为； 要证，即证， ，即证， 由知，是上的减函数， 要证原不等式成立，只需要证明当时，， 只需证明当时，， 令，，当时，， 是上的增函数，，即， ，即， 故．  练习2-2 Ⅰ证明：，，， 要证，即证，即证，即证，显然成立， 故原不等式成立． Ⅱ解：显然， 令，即，解得：， 问题转化为和的交点个数问题， 由，当时，，递减，当时，，递增， 故， 故当时，有个根，时，有个根 Ⅲ证明：当时，，则，则，则， 要证原命题成立，只需证 问题转化为证明在上恒成立， 令，则， 令，则， 令，解得：，令，解得：， 故在递减，在递增， 又，在递减，则，而， 故存在，使得，即， 故在递减，在递增， 故 又，，即在恒成立， 故原命题成立．  例5 解： ； 由该公式可得  ，故 ； 由泰勒展开  ． 易知当  ，  ， 所以 ． 令 ，则  ，所以  在  上单调递增， 故 ， 即证得 ． 例6 解：依题意知：，， ，， 有两个极值点，在有两个变号零点， 令得：，， 关于的一元二次方程有两个不等的正根，记为，， ，即解得，， 故的取值范围为：． 证明：当时，， 设，， ， 先证， 令，，当时，， 在上单调递增，又， 时，即． 再证， 令，， 当时，，单调递增；当时，，单调递减． ，成立， ， 时，单调递增， 当，， 当，， ， ，，命题得证．  练习3-1 解：由题意可知，当时，，， 则，令，则， 当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增． 由条件得， 令，则， 当，即时，在上，，即单调递增， 所以，即， 在上为增函数，，时满足条件． 当时，令， 解得，在上，，单调递减， 当时，有，即， 则在上为减函数，，不合题意． 综上，实数的取值范围为． 由得，当且时，，即， 要证不等式，只需证明， 只需证明，只需证， 设，则， 所以当时，恒成立，故在上单调递增， 又．恒成立，原不等式成立．  练习3-2 解：当  时，  ，  ， 所以  ，故  在点  处的切线为  ，即 ．   ，即  在  上恒成立， 设  ，注意到  ，  ，令  ， 则  在  为增函数，且  ， 所以  恒成立，即  单调递增， 其中  ， 若  ，则  恒成立，此时  单调递增，又  ， 所以  恒成立， 即  在  上恒成立，即结论成立； 若  ，则  ， 又  ， 故由零点存在性定理可知，在  内存在  ，使得  ， 当  时，  ，所以  单调递减，又  ， 所以当  时，  ，即  ，不合题意，舍去； 综上：实数  的取值范围是  构造函数  ， ， ， 令  ，则  ， 当  时，  恒成立，所以  在  上单调递增， 所以  ，故  在  单调递增，  ，即  ， 构造函数  ，  ，  ，所以  在  时单调递增， 所以  ，即 ，所以  ， 即  时，  ，证毕． 例7 解：因为的定义域为，且， 所以为偶函数，取， 当时，，则， 当时，则，可知在内单调递增， 当时，令，则， 可知在内单调递增， 因为，则，使得， 当时，；当时，； 所以在上单调递减，在上单调递增，且， 则在内恒成立，可知在内单调递减； 综上所述：在内单调递减，在内单调递增， 所以在内的最小值为， 又因为为偶函数，所以在内的最小值为． 由可知为定义在上的偶函数，下取， 可知，令， 因为，则， 则在内单调递增，可得， 即在内恒成立，可知在内单调递增， 所以在内的最小值为， 结合偶函数性质可知：． 由可得：当时，，当且仅当时，等号成立， 即，令，则， 当时，， 即，则有： ，，，， 相加可得：， 因为，则，所以， 即． 例8 解：导函数，，又， 所以曲线在点处的切线方程为，即． 当时，，． ，令，解得． 列表如下： 极小值 所以当时，取最小值，所以 由可知，，当且仅当时，等号成立，所以， ， 所以． 当时，， 所以对于任意，成立时， 整数的最小值为．  练习4-1 解：的定义域为． 当时，恒成立，在上单调递减； 当时，当时，，当时，， 在上单调递减，在上单调递增， 综上可得：当时，在上单调递减 当时，在上单调递减，在上单调递增． 由题意知关于的不等式在上有解， 即在上有解， 又，由可知时，即， 令，则， 则在上有解， 令，则，令，得， 所以，当时，，当时，， 即在上单调递减，在上单调递增， 又，，， 所以存在使得，所以，当或时，，当时，， 所以只需，即时满足题意． 所以的取值范围为， 令，则，所以， 由可知在上单调递增，故， 即，即， 当时，，即，即， 令，则，， 所以， 故当时，．即  练习4-2 解：由题得，， 当时，，函数在上单调递减 当时，令，解得， 当，当，， 所以函数减区间为，增区间为 综上，当时，函数在上单调递减 当时，函数减区间为，增区间为 由知当时，有减区间为，增区间为， 由题可知：对任意，均有成立， 等价于恒成立， 令，， 则，令，得， 当，，，所以在上递增，在上递减， 所以，所以所以当时，， 又 ，所以的取值范围为 证明：两边取自然对数得 ， 因为 由可知：，， 取，，，，，代入上式得 ，，，， 所以， 所以，得证．  共20页/第1页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题13 利用导数证明不等式 考点一 直接构造法证明不等式 【典例精讲】 例1.(2024·福建省三明市月考)已知函数 讨论函数的单调性求证：当时，． 例2.(2023·浙江省慈溪市月考)已知函数证明：当时，． 【方法储备】 利用导数解决不等式的时候，首先要考虑的就是直接构造函数，通过研究函数的极值求解. 比如，要证明，可以直接移项，得. 再构造函数，对求导，计算所需定义域内的极值并和0对比即可证明原不等式. 或者证明的最大值比的最小值还小，也可以得到相同的效果. 【拓展提升】 练习1-1.(2024·福建省泉州市月考)已知函数． 讨论的单调性； 当时，证明：． 练习1-2.(2023·江苏省连云港市月考)已知函数． 讨论函数的单调性； 当时，证明：． 考点二 根据题设函数构造证明 【典例精讲】 例3.(2024·浙江省温州市月考)已知，求的最大值与最小值 求函数的单调区间． 若关于的不等式存在唯一的整数解，求实数的取值范围． 例4.(2024·广东省广州市月考)设函数常数 当时，求曲线在点处的切线方程； 求函数的单调区间； 证明：． 【方法储备】 在导数证明不等式的问题中，常常会有利用前一问，即题设函数来证明不等式的情况. 在利用题设函数证明时，通常要将目标不等式一侧转化为该函数的形式. 一些情况下，还需要将不等式中的参数根据已经获得的范围进行放缩，消去参数的影响以便于我们证明不等式. 【拓展提升】 练习2-1.(2023·山东省临沂市月考)  讨论函数单调性； 证明： 练习2-2.(2023·新疆乌鲁木齐月考)Ⅰ求证：； Ⅱ已知，求的根的个数； Ⅲ求证：若，则． 考点三 多种放缩的灵活应用 【典例精讲】 例5.(2024·重庆市月考)英国数学家泰勒发现的泰勒公式有如下特殊形式： 当在处的阶导数都存在时， 注：表示的阶导数，即为的导数，表示的阶导数，该公式也称麦克劳林公式． 写出泰勒展开式只需写出前项； 根据该公式估算的值，精确到小数点后两位； 证明：当时，． 例6.(2023·广东省汕头市期中)已知函数，． 若函数其中：为的导数有两个极值点，求实数的取值范围； 当时，求证：． 【方法储备】 但是并不是所有的不等式都可以通过简单的移项或者极值判断就可以证明. 更多时候，我们需要将指数式、对数式、三角函数式放缩成多项式或简单分式，便于证明. 下面给出常用的放缩式： (1) (2) (3) (4) (5) (6) 以上就是常用的常用放缩，也无需死记硬背，(1)和(3)的需要重点记忆. 【拓展提升】 练习3-1.(2024·湖南省岳阳市月考)已知函数． 当时，求的单调区间； 当时，若不等式恒成立，求实数的取值范围； 若，证明：． 练习3-2.(2023·天津市模拟)已知函数，． 当时，求函数在点处的切线； 若对任意的恒成立，求实数的取值范围； 求证：时，． 考点四 累加、累乘的数列放缩 【典例精讲】 例7.(2024·黑龙江省牡丹江市模拟)设，． 当时，求函数的最小值； 当时，证明：； 证明：． 例8.(2024·江苏省淮安市期中)已知函数 求曲线在点处的切线方程证明：当时， 设为整数，若对于，成立，求的最小值． 【方法储备】 在导数压轴题中，有的时候会遇到需要证明累加式或累乘式和另一个式子的大小关系. 通常，式子的另一侧是某个数列的和. 通过对应项的比较累加后得到要证明的式子. 而这些数列一般分为几种：①多项式型对应/放缩为等差数列求和、②分数形对应等比数列求和或裂项求和. 这样我们就可以得到以下几种形式： 然后通过对比对应项得出所需的结论. 【拓展提升】 练习4-1.(2024·江苏省常州市月考)已知函数 讨论的单调性 当时，若关于的不等式在区间上有解，求的取值范围 证明： 参考数据：． 练习4-2.(2023·浙江省台州市联考)设函数，， 讨论函数的单调区间 若对任意，函数均有个零点，求的取值范围 设且，证明：． 共20页/第1页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$