专题12 利用导数研究恒（能）成立问题-2025年高考数学一轮复习重难点微专题突破

专题12 利用导数研究恒(能)成立问题 知识梳理 用导数解决不等式恒（能）成立问题的常用方法有分离参数法、直接最值法、拆解法、同构法等，其解题思路是构造新函数分类讨论，将不等式恒（能）成立问题转化为函数的最值问题处理. 考点解读 考点一 分离参数法求参数范围 【典例精讲】 例1.(2024·广东省广州市月考)已知函数，若对任意的，，且，都有，则实数的取值范围是(    ) A. B. C. D. 例2.(2024·山东省临沂市联考)若存在，使得不等式 成立，则实数的最大值为(    ) A. B. C. D. 例3.(2024·安徽省安庆市模拟)已知函数，． 若，证明：对任意，存在，使得 若恒成立，求实数的取值范围． 【方法储备】 1.“分离参数法”解含参不等式恒（能）成立问题的思路： 用分离参数法解含参不等式恒（能）成立问题是指在能够判断出参数正负的情况下，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数或者是只含参数的代数式，另一端是变量表达式的不等式，只要研究变量表达式的最值就可以解决问题. 2.求解含参不等式恒（能）成立问题的关键是过好“双关”： 转化关 含参数的不等式恒成立，通过分离参数法,先转化为(或)对恒成立，再转化或（） 含参数的不等式能成立，通过分离参数法,先转化为(或)对成立，再转化或（） 求最值关 求函数在区间D上的最大值（或最小值）问题. 【拓展提升】 练1-1(2024·浙江省杭州市期末)已知函数，，若关于的不等式有解，则的最小值是          ． 练1-2(2023·江苏省南通市月考)若对任意正实数，，不等式恒成立，则实数的取值范围为           练1-3(2023·广东省佛山市期中)设函数，不等式对恒成立，则实数的最大值为(    ) A. B. C. D. 考点二 直接最值法求参数取值范围 【典例精讲】 例4.(2023·河南省新乡市模拟)已知函数． Ⅰ求的单调区间； Ⅱ当时，若存在，使得成立，求实数的取值范围． 例5.(2023·重庆市市辖区联考)已知函数． 若，求函数的图象在点处的切线方程 当时，函数恒成立，求实数的取值范围． 【方法储备】 直接最值法解决不等式恒成立(能成立)问题： 在不等式恒成立(能成立)问题中,如果不能分离参数或分离参数后的函数的最值比较难求,可以把含参不等式整理成或的形式,然后从研究函数的性质入手,通过讨论函数的单调性和极值,直接用参数表达函数的最值,然后根据题意,建立关于参数的不等式,解不等式即得参数的取值范围. (1)如果有最小值,则恒成立恒成立. (2)如果有最大值,则恒成立恒成立. (3)如果有最大值,则能成立能成立. (4)如果有最小值,则能成立能成立. 特别地：若不等式在区间Ⅰ上恒成立在区间Ⅰ上函数 的图象在函数图象上方 在区间Ⅰ上恒成立 . 【拓展提升】 练2-1(2024·河南省郑州市模拟)已知函数． 若，求的最大值； 若关于的不等式有解，求实数的取值范围． 练2-2(2023·江苏省南京市模拟)已知函数． 若，求曲线在点处的切线方程； 若对任意恒成立，求的取值范围． 练2-3(2024·湖北省孝感市联考)若存在正实数满足：，则的最大值为(    ) A. B. C. D. 考点三 拆解法求参数取值范围 【典例精讲】 例6.(2024·江苏省无锡市模拟)已知函数，函数，若对任意，存在，使得，则实数的取值范围为          ． 例7.(2024·湖北省武汉市月考)已知，，若存在，，使得成立，则实数的取值范围为(    ) A. B. C. D. 例8.(2023·江西省宜春市月考)已知为自然对数的底数，若对任意的，总存在唯一的，使得成立，则实数的取值范围是          ． 【方法储备】 “双变量”不等式的恒（能）成立问题可以拆解求参数，进行等价变换，常见的拆解变换有： (1),都有恒成立； (2),都有恒成立； (3),都有恒成立； (4),都有恒成立； (5),都有的值域是值域的子集； (6),都有的值域与值域的交集不为空集. 【拓展提升】 练3-1(2023·浙江省杭州市月考)若存在正实数，使得不等式成立，则(    ) A. B. C. D. 练3-2(2023·四川省成都市期末)设函数，若对任意的正实数，，不等式恒成立，则的最小值为(    ) A. B. C. D. 练3-3(2023·广东省东莞市模拟)已知函数，若存在，，使得成立，则实数的取值范围是(    ) A. B. C. D. 考点四 同构法求参数取值范围 【典例精讲】 例9.(2024·浙江省杭州市模拟)若关于的不等式恒成立，则实数的最大值为(    ) A. B. C. D. 例10.(2024·江苏省南京市期中)已知存在实数，使得不等式成立，则实数的取值范围是          ． 例11.(2023·广东省广州市模拟)已知函数且对于任意的，当时都有成立，则实数的取值范围是          ． 【方法储备】 1.“同构法”解含参不等式恒（能）成立问题的思路： 同构法构造函数是高中数学解题的一种常见方法，看清题中函数结构或等式、不等式两侧的共性，构造函数，利用单调性解题. 有些题中的不等式经适当整理变形后，可以表示成两侧结构相同的形式，如 等价变形为  ，利用这个结构式构造对应函数  ，进而利用所构造函数 的单调性(如递增)，再转化为,这就是同构法. 2.双变量的同构问题： 对于含有同等地位的的两个变量的不等式进行变形，通过变形整理后的不等式两边具有相同结构（函数同构），往往通过函数的单调性进行求解.常见的有： ①若对任意，当时，恒有，则在上是增函数； ②若对任意，当时，恒有，则在上是增函数； ③ 若对任意，当时，恒有，则在上是增函数． 3.指、对同构 在遇到“指数函数和对数函数”同时出现的试题时，我们可考虑采用“同构”的方法变形转化，将不等式两边转化为同一个函数的两个函数值的形式，进而构造函数，借助该函数的单调性转化为一个更为简单的不等式恒（能）成立问题，从而达到化难为易，删繁就简的效果. 同构的三种基本模式如下: 【拓展提升】 练4-1(2023·湖北省宜昌市联考)对当时， ，则的取值范围为          ． 练4-2(2024·吉林省长春市月考)已知函数，若对任意的恒成立，则正实数的取值范围为(    ) A. B. C. D. 练4-3(2024·广东省云浮市模拟)已知函数． 若，求的图象在处的切线方程； 若对于任意的，，当时，都有，求实数的取值范围． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题12 利用导数研究恒(能)成立问题 知识梳理 用导数解决不等式恒（能）成立问题的常用方法有分离参数法、直接最值法、拆解法、同构法等，其解题思路是构造新函数分类讨论，将不等式恒（能）成立问题转化为函数的最值问题处理. 考点解读 考点一 分离参数法求参数范围 【典例精讲】 例1.(2024·广东省广州市月考)已知函数，若对任意的，，且，都有，则实数的取值范围是(    ) A. B. C. D. 例2.(2024·山东省临沂市联考)若存在，使得不等式 成立，则实数的最大值为(    ) A. B. C. D. 例3.(2024·安徽省安庆市模拟)已知函数，． 若，证明：对任意，存在，使得 若恒成立，求实数的取值范围． 【方法储备】 1.“分离参数法”解含参不等式恒（能）成立问题的思路： 用分离参数法解含参不等式恒（能）成立问题是指在能够判断出参数正负的情况下，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数或者是只含参数的代数式，另一端是变量表达式的不等式，只要研究变量表达式的最值就可以解决问题. 2.求解含参不等式恒（能）成立问题的关键是过好“双关”： 转化关 含参数的不等式恒成立，通过分离参数法,先转化为(或)对恒成立，再转化或（） 含参数的不等式能成立，通过分离参数法,先转化为(或)对成立，再转化或（） 求最值关 求函数在区间D上的最大值（或最小值）问题. 【拓展提升】 练1-1(2024·浙江省杭州市期末)已知函数，，若关于的不等式有解，则的最小值是          ． 练1-2(2023·江苏省南通市月考)若对任意正实数，，不等式恒成立，则实数的取值范围为           练1-3(2023·广东省佛山市期中)设函数，不等式对恒成立，则实数的最大值为(    ) A. B. C. D. 考点二 直接最值法求参数取值范围 【典例精讲】 例4.(2023·河南省新乡市模拟)已知函数． Ⅰ求的单调区间； Ⅱ当时，若存在，使得成立，求实数的取值范围． 例5.(2023·重庆市市辖区联考)已知函数． 若，求函数的图象在点处的切线方程 当时，函数恒成立，求实数的取值范围． 【方法储备】 直接最值法解决不等式恒成立(能成立)问题： 在不等式恒成立(能成立)问题中,如果不能分离参数或分离参数后的函数的最值比较难求,可以把含参不等式整理成或的形式,然后从研究函数的性质入手,通过讨论函数的单调性和极值,直接用参数表达函数的最值,然后根据题意,建立关于参数的不等式,解不等式即得参数的取值范围. (1)如果有最小值,则恒成立恒成立. (2)如果有最大值,则恒成立恒成立. (3)如果有最大值,则能成立能成立. (4)如果有最小值,则能成立能成立. 特别地：若不等式在区间Ⅰ上恒成立在区间Ⅰ上函数 的图象在函数图象上方 在区间Ⅰ上恒成立 . 【拓展提升】 练2-1(2024·河南省郑州市模拟)已知函数． 若，求的最大值； 若关于的不等式有解，求实数的取值范围． 练2-2(2023·江苏省南京市模拟)已知函数． 若，求曲线在点处的切线方程； 若对任意恒成立，求的取值范围． 练2-3(2024·湖北省孝感市联考)若存在正实数满足：，则的最大值为(    ) A. B. C. D. 考点三 拆解法求参数取值范围 【典例精讲】 例6.(2024·江苏省无锡市模拟)已知函数，函数，若对任意，存在，使得，则实数的取值范围为          ． 例7.(2024·湖北省武汉市月考)已知，，若存在，，使得成立，则实数的取值范围为(    ) A. B. C. D. 例8.(2023·江西省宜春市月考)已知为自然对数的底数，若对任意的，总存在唯一的，使得成立，则实数的取值范围是          ． 【方法储备】 “双变量”不等式的恒（能）成立问题可以拆解求参数，进行等价变换，常见的拆解变换有： (1),都有恒成立； (2),都有恒成立； (3),都有恒成立； (4),都有恒成立； (5),都有的值域是值域的子集； (6),都有的值域与值域的交集不为空集. 【拓展提升】 练3-1(2023·浙江省杭州市月考)若存在正实数，使得不等式成立，则(    ) A. B. C. D. 练3-2(2023·四川省成都市期末)设函数，若对任意的正实数，，不等式恒成立，则的最小值为(    ) A. B. C. D. 练3-3(2023·广东省东莞市模拟)已知函数，若存在，，使得成立，则实数的取值范围是(    ) A. B. C. D. 考点四 同构法求参数取值范围 【典例精讲】 例9.(2024·浙江省杭州市模拟)若关于的不等式恒成立，则实数的最大值为(    ) A. B. C. D. 例10.(2024·江苏省南京市期中)已知存在实数，使得不等式成立，则实数的取值范围是          ． 例11.(2023·广东省广州市模拟)已知函数且对于任意的，当时都有成立，则实数的取值范围是          ． 【方法储备】 1.“同构法”解含参不等式恒（能）成立问题的思路： 同构法构造函数是高中数学解题的一种常见方法，看清题中函数结构或等式、不等式两侧的共性，构造函数，利用单调性解题. 有些题中的不等式经适当整理变形后，可以表示成两侧结构相同的形式，如 等价变形为  ，利用这个结构式构造对应函数  ，进而利用所构造函数 的单调性(如递增)，再转化为,这就是同构法. 2.双变量的同构问题： 对于含有同等地位的的两个变量的不等式进行变形，通过变形整理后的不等式两边具有相同结构（函数同构），往往通过函数的单调性进行求解.常见的有： ①若对任意，当时，恒有，则在上是增函数； ②若对任意，当时，恒有，则在上是增函数； ③ 若对任意，当时，恒有，则在上是增函数． 3.指、对同构 在遇到“指数函数和对数函数”同时出现的试题时，我们可考虑采用“同构”的方法变形转化，将不等式两边转化为同一个函数的两个函数值的形式，进而构造函数，借助该函数的单调性转化为一个更为简单的不等式恒（能）成立问题，从而达到化难为易，删繁就简的效果. 同构的三种基本模式如下: 【拓展提升】 练4-1(2023·湖北省宜昌市联考)对当时， ，则的取值范围为          ． 练4-2(2024·吉林省长春市月考)已知函数，若对任意的恒成立，则正实数的取值范围为(    ) A. B. C. D. 练4-3(2024·广东省云浮市模拟)已知函数． 若，求的图象在处的切线方程； 若对于任意的，，当时，都有，求实数的取值范围． 【答案解析】 例1. 解：，， ，，即在上单调递增， 在上恒成立，即在上恒成立， 构造函数，则， 令，则，此时函数单调递增，令，则，此时函数单调递减； ，即． 故选B． 例2. 解：，， 设，则， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 存在，成立，， ，，，， 故选． 例3. 解：当，函数，， ，则函数在上单调递增， ，即，的值域为． 又，，则函数在上单调递增， ，即，的值域为 ，， 对任意，存在，使得 解法一：由，得， ，，整理得． 令，则， 在上，；在上，， 在上单调递增，在上单调递减，， 故．令，， 则． 令，，则， 在上，，在上，， 在上单调递增，在上单调递减， ， 在上，，在上，， 在上单调递增，在上单调递减，， ，即实数的取值范围为 解法二：由得， 设，则， 根据，得 下面证明当时， 记，，则， 在上是单调递增，在上单调递减，， ，即． 于是， 故实数的取值范围为 练1-1. 解：由得：， 则， 令，易得， ，则，令，得， 当时，，当时，， 则在上单调递减，在上单调递增，得当时，取得最小值为， 故，即，故的最小值是． 故答案为：． 练1-2. 解：不等式对、恒成立，可得， 可设，可得， ， 由和在上单调递减，可得在上单调递减， 则，当时，单调递减， 时，，单调递增， 可得在处取得极大值，且为最大值，则，即，解得， 故答案为：． 练1-3. 解：因为  ，所以  ，所以  为上的奇函数． 因为 ，所以  在上单调递增． 不等式  可转化为  ， 所以  ，即  对  恒成立． 令  ，则  ， 令  ，则  ． 当  时，  ，  在  上单调递增； 当  时，  ，  在  上单调递减． 所以  ，即  ， 所以  ，且当  时，  取最小值，故  ，即实数的最大值为． 故选：． 例4. 解：Ⅰ的定义域为， 当时，，在单调递减； 当时，，在单调递增； Ⅱ在上存在一点，即成立， 即函数在上的最小值小于， 因为， 当即时，在上单调递减，在上的最小值为， 由得， ，， 当，即时，与矛盾， 当，即时，的最小值为， ，， 故． 此时不成立． 综上讨论可得，所求的范围是．  例5. 解：若，则， ，，当时，， 所以所求切线方程为． 由条件可得，首先，得， 而， 令，，在上恒为正数，所以即单调递增， 而，， 所以存在唯一根，且函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数的最小值为，只需即可， 又满足，代入上式可得， ，，即恒成立，所以．  练2-1. 解：当时，，所以， 当时，单调递增；当时，单调递减； 故的最大值为． (2) (3) 当，即时，在单调递增， 所以即可，故，此时； 当，即时，在单调递减， 所以即可，故，此时； 当时，使； 当，则单调递增， 当，则单调递减， 所以 ， 令 则， 所以在上单调递增，故，即成立． 综上，实数的取值范围 练2-2. 解：当 时，  ， 则 ，所以， 又， 所以曲线 在点处的切线方程为； ，则 ， 令，则， 令，则，所以在区间上单调递增， 则，即， 当时，，则，又，所以， 所以，则，      所以在区间上单调递增，即在区间上单调递增，所以， 当，即时，，则在区间上单调递增， 所以，符合题意；    当，即时， ， 令 ，则 ，所以在区间上单调递增， 则，故， 又，所以，使得 ， 所以当时，，则在区间上单调递减，此时，不符合题意， 综上，实数的取值范围为     练2-3. 解：正实数，满足，则， 所以，令，则， 设，， 易知在上单调递减，在上单调递增， 故，所以，即， 又因为，故， 所以，所以，则，则， 令，，， 易知在上单调递增，在上单调递减，所以 故的最大值为． 例6. 解：由题意得 由题可得，时，故在上单调递增，， 由题可得，时，时， 故在上单调递增，在上单调递减，， ，即，解得 故答案为：． 例7. 解：，使得成立，等价于， ， 当时，，递减，当时，，递增， 所以当时，取得最小值； 当时，取得最大值为， 所以，即实数的取值范围是， 故选 B． 例8. 解：令，令， 当，，函数单调递增，， 当，，由得， 则当时，单调递增，；当时，单调递减，， 对任意的，总存在唯一的，使得成立， ，解得， 故答案为． 练3-1. 解：设，， 由题意可知，， ，， 当时，，单调递增，当时，，单调递减， 所以在取得极大值，也是最大值，， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以在取得极小值，也是最小值，， 由于即， 所以只能，，此时． 故选D． 练3-2. 解：函数，，则， 令，则， 所以在上单调递增，又， 所以当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 所以， 若对任意的正实数，，不等式恒成立， 则恒成立，所以在上恒成立， 设，则， 当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减， 所以，所以，即的最小值为． 故选C． 练3-3. 解：当时，，则在上恒成立， 所以函数在区间上单调递减，则，即， 当时，，易知函数在区间上单调递增， 所以，即， 综上，函数的值域为； 又，， 若时，则，函数在上单调递增， 所以，即， 此时若要满足题意，只需，所以当时恒成立； 若时，令，解得， 当时，函数在上单调递增，所以，即， 又因为，所以，解得； 当时，在上单调递减，在上单调递增，且， 所以，即， 又因为， 所以，解得； 当时，在上单调递减，在上单调递增，且， 所以，即， 又，易知此时无解； 当时，在上单调递减，所以，即， 此时，易知此时无解， 所以不存在，，使得 综上，实数的取值范围为． 故选：． 例9. 解：由题意得)，即)恒成立， 令，因为，所以函数在上单调递增， 则不等式转化为，所以，则对一切恒成立． 令，则， 则当时，，单调递减；当时，，单调递增， 所以当时，有最小值，即，则的最大值为． 故选B． 例10. 解：由已知函数的定义域为，故， 对于， 两边同时除以得：， 变形得：， 设，，则在上单调递增， 所以由得，即， 所以原问题转化为存在实数，使得不等式成立， 因为，故，所以，解得， 故答案为：． 例11. 解：对于任意的，当时都有成立， 不妨设，则成立， 设， 由题意可知在上单调递减， 则在上恒成立， 令， 设则在恒成立， 由且，解得 故答案为． 练4-1. 解：因为，所以， 所以两边取对数得， 因为，所以， 所以，所以， 设，则满足在上单调递减， 因为，所以 在上恒成立， 即恒成立，故，即的取值范围为 故答案为 练4-2. 解：由题意可得若对任意的恒成立， 即，对任意的恒成立； 因为，所以，化为， 令，则有，因为， 在上恒大于，所以单调递增，所以有， 因为，所以，即在上恒成立； 令，，所以在上恒成立； 因为，令，解得， 所以当时，单调递增，当时，单调递减， 由此可知在时，取得最大值，所以，所以． 故选：． 练4-3. 解：若时，，， 所以切线的斜率为，又， 所以切线方程为，即． 当时，，所以， 所以，所以， 令，则，所以在上单调递增， 所以任意，恒成立， 所以任意，恒成立，即任意，恒成立， 令， 当时，，符合题意； 当时，为开口向上的二次函数， ，，， 若时，，，所以，解得， 若时，，，所以，解得， 综上所述，的取值范围为  第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$