精品解析：山东省 淄博市博山区第一中学2024—2025学年八年级上学期期中考试数学试题

2024——2025学年度第一学期期中考试 初三数学试题B卷 一、选择题 1. 下列四个图形中，可以由图通过平移得到的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】平移不改变图形的形状和大小.根据原图形可知平移后的图形飞机头向上，即可解题. 【详解】考查图像的平移，平移前后的图像的大小、形状、方向是不变的，故选D. 【点睛】本题考查了图形的平移，牢固掌握平移的性质即可解题. 2. 若分式有意义，则x满足的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据分式有意义的条件：分母不等于0即可得出答案． 【详解】解：， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了分式有意义的条件，解题的关键是掌握分式有意义的条件：分母不等于0． 3. 若分式中a、b的值同时扩大到原来的2倍，则分式的值（ ） A. 不变 B. 扩大2倍 C. 扩大4倍 D. 扩大6倍 【答案】C 【解析】 【分析】把分式中的a、b换成得到新的分式，再比较原分式与新分式即可得到答案． 【详解】解：把分式中a、b的值同时扩大到原来的2倍，得到的新分式为， ∴分式的值扩大了4倍， 故选C． 【点睛】本题主要考查了分式的基本性质，熟知分式的基本性质是解题的关键． 4. 根据分式的基本性质，分式可变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据分式的基本性质逐一分析即可． 【详解】解：故A，B不符合题意，D符合题意； 故C不符合题意； 故选：D 【点睛】本题考查分式的基本性质，理解分式的基本性质（分式的分子，分母同时乘以或除以同一个不为零的数或式子，分式的值不变）是解题关键． 5. 九年一班50人参加年级数学竞赛，成绩分为A，B，C，D四个等级，其中相应等级的得分依次为100分、90分、80分、70分，该班竞赛成绩的统计图如图所示，以下说法正确的是（　　） A. B等级人数比A等级人数少21人 B. 50人得分的众数是80分 C. 50人得分的平均数是80分 D. 50人得分的中位数是80分 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了扇形统计图，众数，平均数，中位数，解题的关键是能够读懂扇形统计图，并从中整理出进一步解题的信息． 根据扇形统计图中的有关信息结合题意逐项分析后即可确定正确的选项． 【详解】解：A、B等级人数比A等级人数少（人），故此选项不符合题意； B、50人得分的众数是100分，故此选项不符合题意； C、50人得分的平均数是（分），故此选项不符合题意； D、50人得分的中位数是80分，故此选项符合题意． 故选：D． 6. 若关于x的分式方程有增根，则a的值为（ ） A. −3 B. 3 C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】去分母化分式方程为整式方程，将增根x=2代入整式方程即可求得． 【详解】解：， 去分母，得：． ∵分式方程有增根， ∴增根为x=2， 将x=2代入整式方程，得：， 得：． 解得 故选A． 【点睛】本题主要考查了分式方程的增根，熟练掌握增根的定义是解题的关键． 7. 下列各式：①；②；③；④；⑤，最简分式有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【解析】 【分析】一个分式的分子与分母除1以外没有公因式时，叫最简分式，据此求解可得． 【详解】解：①＝，该分式的分子与分母没有公因式，是最简分式，符合题意； ②＝，该分式的分子与分母有公因式（b﹣a）2，不是最简分式，不符合题意； ③＝，该分式的分子与分母有公因式（m－1），不是最简分式，不符合题意； ④，该分式的分子与分母没有公因式，是最简分式，符合题意； ⑤，该分式的分子与分母没有公因式，是最简分式，符合题意； 故最简分式有①④⑤，共3个， 故选：B 【点睛】本题主要考查最简分式，解题的关键是掌握一个分式的分子与分母除1以外没有公因式时，叫最简分式． 8. 若能用完全平方公式因式分解，则k的值是（ ） A. B. 或 C. D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】根据完全平方公式的结构特点即可得出答案． 【详解】解：∵能用完全平方公式因式分解， ， ∴， 解得：或， 故选：B． 【点睛】本题考查了完全平方公式，熟知完全平方公式的结构特点是解本题的关键，即． 9. 已知实数，，满足，且，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知条件把所求的式子进行整理，即可求出答案． 【详解】解：∵，， ∴，，， ∴ ． 故选：A． 【点睛】本题考查分式的运算及化简求值，运用了整体代入的思想方法．解题的关键是运用分式的运算法则进行恒等变形． 10. 在等边中，是边上一点，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，若，，则以下四个结论中：①是等边三角形；②；③的周长是9；④．其中正确的序号是（ ） A. ②③④ B. ①③④ C. ①②④ D. ①②③ 【答案】D 【解析】 【分析】先由绕点逆时针旋转得到，则，则可判断是等边三角形，即可判断①；由等边三角形的性质得到，再根据旋转的性质得到，所以，则根据平行线的判定方法即可得到，即可判断②；由等边三角形的性质得到，由旋转得，即可得到的周长，即可判断③；设与相交于点，由三角形内角和定理、等边三角形性质、对顶角相等即可得到，由旋转性质得到，得到，即可判断④． 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的判定与性质，熟记旋转和等边三角形的各种性质是解题的关键． 【详解】解：∵绕点逆时针旋转得到， ∴， ∴是等边三角形，所以①正确； ∵为等边三角形， ∴， ∵绕点逆时针旋转得到， ∴， ∴， ∴，所以②正确； ∵是等边三角形， ∴， ∵绕点逆时针旋转得到， ∴， ∴的周长，所以③正确． 设与相交于点，如图， ∵，， ∴， ∵绕点逆时针旋转得到， ∴， ∴， ∵， ∴， 所以④错误； 故选：D． 二、填空题 11. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式4，然后利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解题的关键． 12. 关于的方程的解为正数，则a的取值范围为________． 【答案】且 【解析】 【分析】方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解，它的解为含有a的式子，解为正数且最简公分母不为零，得到关于a的一元一次不等式，解之即可． 【详解】方程两边同乘(x−1)得：2−(5-a)=-2(x−1) 解得：x= ∵x>0且x−1≠0， ∴ 解得：a<5且a≠3 故答案为：a<5且a≠3 【点睛】本题考查了分式方程解的定义，求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于零的未知数的值，这个值叫分式方程的解，考查了一元一次不等式组的解法，求解每个不等式，再求两个不等式解集的公共部分即可． 13. 如图，在三角形中，，将三角形沿BC方向平移得到三角形，其中，，，则阴影部分的面积是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据平移的性质得出AD＝BE＝CF＝3，再根据S阴影部分＝S平行四边形ACFD﹣S△ADM进行计算即可． 【详解】解：如图，连接AD，由平移的性质可知，AD＝BE＝CF＝3， S阴影部分＝S平行四边形ACFD﹣S△ADM ＝3×7﹣×2×3 ＝18， 故答案为：18． 【点睛】本题考查平移的性质，掌握平移前后对应线段平行且相等是正确解答的关键． 14. 若一组数据的方差为2，则数据的方差是______． 【答案】2 【解析】 【分析】题考查了方差的定义．当数据都加上一个数（或减去一个数）时，平均数也加或减这个数，方差不变，即数据的波动情况不变；当数据都乘以一个数（或除以一个数）时，平均数也乘以或除以这个数，方差变为这个数的平方倍． 【详解】解：解：∵数据的方差是2， ∴数据的波动幅度不变， ∴数据的方差为， 故答案为：． 15. 已知对于正数x，我们规定： ，例如：，则 ______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了以实数运算为背景的新定义题型，涉及分式的化简，确定是解题的关键． 根据新定义，利用进行求解即可． 【详解】解：由题干中已知条件可得， ， 原式 ， 故答案为：． 三、解答题 16. 因式分解： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解，掌握常见的因式分解方法成为解题的关键． （1）直接运用平方差公式分解即可； （2）先通过添括号得到公因式，然后提取公因式即可解答． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 17. 如图，在平面直角坐标系中，线段AB的两个端点的坐标分别是A（﹣1，4），B（﹣3，1）． （1）画出线段AB向右平移4个单位后的线段A1B1； （2）画出线段AB绕原点O旋转180°后的线段A2B2． 【答案】 （1）如图，线段即为所求作的线段， （2）如图，线段即为所求作的线段， 【解析】 【分析】（1）分别确定向右平移4个单位后的对应点，再连接即可； （2）分别确定绕原点O旋转180°后的对应点，再连接即可. 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题考查的是平移的作图，中心对称的作图，掌握平移的性质与中心对称的性质是解题的关键. 18. 先化简，再求值：，其中从，2，3中取一个你认为合适的数代入求值． 【答案】，-4 【解析】 【分析】先按照分式运算法则进行化简，再选取数轴代入计算即可． 【详解】解： = = = 当取和2时，分式无意义，故选； 把代入，原式=． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，解题关键是熟练运用分式运算法则进行准确计算，代入数值后正确求值． 19. 解方程： （1） （2） 【答案】（1） （2）无解 【解析】 【分析】本题主要考查了解分式方程，解分式方程的关键是将分式方程化成整式方程，最后的检验是解题的易错点． （1）先通过去分母将分式方程化成整式方程，然后再检验即可解答； （2）先通过去分母将分式方程化成整式方程，然后再检验即可解答． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ， 检验，当时，， 所以该分式方程的解为：； 【小问2详解】 解：， ， ， 检验，当时，， 所以该分式方程无解 20. 某校九年级有600名学生，在体育中考前进了一次模拟体测，从中随机抽取部分学生，根据其测试成绩制作了下面两个统计图．请根据相关信息，解答下列问题： （1）本次被抽取到的学生人数为　 　，图1中m的值为　 　； （2）求本次调查获取的样本数据的平均数、众数和中位数； （3）根据样本数据，估计该校九年级模拟体测中得12分的学生约有多少人？ 【答案】（1）50人、28；（2）平均数是10.66．众数是12．中位数是11．（3）192人． 【解析】 【分析】（1）根据8分的人数和百分比计算总人数即可，再用11分的人数除以总人数即可得到m； （2）根据平均数、众数和中位数的计算方法计算即可； （3）先算出12分的学生人数所占百分比，在进行计算即可； 【详解】解：（Ⅰ）本次被抽取到的学生人数为4÷8%＝50（人），m%＝×100%＝28%，即m＝28， 故答案为：50人、28； （2）∵， ∴本次调查获取的样本数据的平均数是10.66． ∵在这组样本数据中，12出现了16次，出现的次数最多， ∴这组样本数据的众数是12． ∵将这组样本数据按照有小到大的顺序排列，其中处于中间位置的两个数都是11，， ∴这组样本数据的中位数是11． （3）∵在50名学生中，模拟体测得12分的学生人数比例为32%， ∴由样本数据，估计该校九年级跳绳测试中得的学生人数比例约为32%， ∴600×32%＝192（人）； 答：估计该校九年级模拟体测中得的学生约有192人． 【点睛】本题主要考查了扇形统计图，条形统计图，加权平均数的计算，中位数的计算和众数计算，准确计算是解题的关键． 21. 《生物多样性公约》第十五次缔约方大会()重新确定于2021年5月17日至30日在云南省昆明市举办．“生物多样性”的目标、方法和全球通力合作，将成为国际范围的热点关注内容．为广泛宣传生物多样性，某校组织七、八年级各200名学生对《生物多样性公约》白皮书相关知识进行学习并组织定时测试．现分别在七、八两个年级中各随机抽取了10名学生，统计这部分学生的竞赛成绩，相关数据统计、整理如下： 【收集数据】 七年级10名同学测试成绩统计如下： 72，84，72，91，79，69，78，85，75，95 八年级10名同学测试成绩统计如下： 85，72，92，84，80，74，75，80，76，82 【整理数据】两组数据各分数段，如下表所示： 成绩 七年级 1 5 2 a 八年级 0 4 5 1 【分析数据】两组数据的平均数、中位数、众数、方差如下表： 年级 统计量 平均数 中位数 众数 方差 七年级 80 b 72 66.6 八年级 80 80 c 【问题解决】根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：______，______，______； （2）计算八年级同学测试成绩的方差，并估计哪个年级的竞赛成绩更整齐？ （3）按照比赛规定90分及其以上算优秀，请估计这两个年级竞赛成绩达到优秀学生的人数共有多少人？ （4）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生知识竞赛成绩更好？请说明理由(至少写出两条理由)． 【答案】（1）2，78.5，80 （2）八年级 （3）60人 （4）八年级，理由为两班平均数相同，而八年级的中位数以及众数均高于七年级 【解析】 【分析】（1）把七年级抽样成绩重新排列后，即可求出a的值，根据中位数的概念可求出b的值，根据众数的概念即可求解八年级成绩的众数； （2）先根据方差的定义计算出八年级的方差，再比较七、八年级的方差大小，结合方差的意义即可得出答案； （3）用各年级人数乘以对应的优秀学生占的比例，然后相加即可； （4）答案不唯一，合理均可． 【小问1详解】 解：将七年级抽样成绩重新排列为：69，72，72，75，78，79，84，85，91，95，其中在范围内的数据有2个， 故． 中位为b=(分)， 将八年级的成绩出现次数最多是80分，共出现2次， ∴众数(分)， 故答案为：2，，80； 【小问2详解】 解：． ∵七年级同学测试成绩的方差是66.6， 八年级同学测试成绩的方差是33， ∴， ∴估计八年级学生的竞赛成绩更整齐些． 【小问3详解】 解：由题意得(人)， ∴这两个年级竞赛成绩达到优秀学生的人数共约60人． 【小问4详解】 解：可以推断出八年级学生的数学水平较高， 理由为两班平均数相同，八年级的中位数高于七年级；八年级的众数高于七年级， 说明八年级学生的竞赛成绩更好(答案不唯一)． 【点睛】此题考查频数分布表、中位数、众数、平均数、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意． 22. 观察下列方程的特征及其解的特点． ①x＋＝－3的解为x1＝－1，x2＝－2； ②x＋＝－5的解为x1＝－2，x2＝－3； ③x＋＝－7的解为x1＝－3，x2＝－4 解答下列问题： （1）请你写出一个符合上述特征的方程为________，其解为________； （2）根据这类方程的特征，写出第n个方程为________，其解为________； （3）请利用（2）的结论，求关于x的方程x＋＝－2(n＋2)(其中n为正整数)的解． 【答案】（1）x＋＝－9；x1＝－4，x2＝－5；（2）x＋＝－(2n＋1)；x1＝－n，x2＝－n－1（4）x1＝－n－3，x2＝－n－4 【解析】 【分析】（1）通过观察可知，3个方程中分式的分子有变化，且分子的变化有规律，2=1×2，6=2×3，12=3×4…，等号右边的规律为：-3=-(2×1+1)，-5=-(2×2+1)，-7=-(2×3+1)…，解的规律：x1=方程序号的相反数，x2=方程序号加1的相反数，由此写出一个符合上述特征的方程和解 （2）根据（1）中的到的规律完成（2）； （3）等号左右两边都加3，可得x+3＋＝=-(2n+1)，再依据已知方程的特征及其解的特点解答即可． 【详解】解：（1）x＋＝－9，x1＝－4，x2＝－5， （2）x＋＝－(2n＋1)，x1＝－n，x2＝－n－1， （3）x＋＝－2(n＋2)， x＋3＋＝－2(n＋2)＋3， (x＋3)＋＝－(2n＋1)， ∴x＋3＝－n或x＋3＝－(n＋1)， 即x1＝－n－3，x2＝－n－4 检验：当x1＝－n－3时，x＋3＝－n≠0； 当x2＝－n－4时，x＋3＝－n－1≠0. ∴原分式方程的解是x1＝－n－3，x2＝－n－4 【点睛】本题是一道有关找规律的题目，根据已知的方程找出方程中分式的分子、方程等号右边以及根与方程序号之间的关系是解答本题的关键． 23. 2022年10月16日，习总书记在第二十次全国代表大会上的报告中提出：“积极稳妥推进碳达峰碳中和”．某公司积极响应节能减排号召，决定采购新能源A型和B型两款汽车，已知每辆A型汽车的进价是每辆B型汽车的进价的1.5倍，若用3000万元购进A型汽车的数量比2400万元购进B型汽车的数量少20辆． （1）A型和B型汽车的进价分别为每辆多少万元？ （2）该公司决定用不多于3600万元购进A型和B型汽车共150辆，最多可以购买多少辆A型汽车？ 【答案】（1）A型汽车的进价为每辆30万元，B型汽车的进价为每辆20万元 （2）60辆 【解析】 【分析】（1）设B型汽车的进价为每辆万元，则A型汽车的进价为每辆万元，根据“用3000万元购进A型汽车的数量比2400万元购进B型汽车的数量少20辆”列出方程，即可求解； （2）设购买辆A型汽车，则购买辆B型汽车，根据“用不多于3600万元购进A型和B型汽车共150辆”列出不等式，即可求解． 【小问1详解】 解：设B型汽车的进价为每辆万元，则A型汽车的进价为每辆万元， 依题意得： 解得： 经检验，是方程的解 答：A型汽车的进价为每辆30万元，B型汽车的进价为每辆20万元 【小问2详解】 解：设购买辆A型汽车，则购买辆B型汽车， 依题意得： 解得： 答：最多可以购买60辆A型汽车． 【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，明确题意，准确列出方程和不等式是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024——2025学年度第一学期期中考试 初三数学试题B卷 一、选择题 1. 下列四个图形中，可以由图通过平移得到的是（ ） A. B. C. D. 2. 若分式有意义，则x满足的条件是（ ） A. B. C. D. 3. 若分式中a、b的值同时扩大到原来的2倍，则分式的值（ ） A. 不变 B. 扩大2倍 C. 扩大4倍 D. 扩大6倍 4. 根据分式的基本性质，分式可变形为（ ） A. B. C. D. 5. 九年一班50人参加年级数学竞赛，成绩分为A，B，C，D四个等级，其中相应等级的得分依次为100分、90分、80分、70分，该班竞赛成绩的统计图如图所示，以下说法正确的是（　　） A. B等级人数比A等级人数少21人 B. 50人得分的众数是80分 C. 50人得分的平均数是80分 D. 50人得分的中位数是80分 6. 若关于x的分式方程有增根，则a的值为（ ） A. −3 B. 3 C. 2 D. 7. 下列各式：①；②；③；④；⑤，最简分式有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 8. 若能用完全平方公式因式分解，则k的值是（ ） A. B. 或 C. D. 无法确定 9. 已知实数，，满足，且，则的值是（ ） A. B. C. D. 10. 在等边中，是边上一点，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，若，，则以下四个结论中：①是等边三角形；②；③的周长是9；④．其中正确的序号是（ ） A. ②③④ B. ①③④ C. ①②④ D. ①②③ 二、填空题 11. 分解因式：______． 12. 关于的方程的解为正数，则a的取值范围为________． 13. 如图，在三角形中，，将三角形沿BC方向平移得到三角形，其中，，，则阴影部分的面积是________． 14. 若一组数据的方差为2，则数据的方差是______． 15. 已知对于正数x，我们规定： ，例如：，则 ______． 三、解答题 16. 因式分解： （1） （2） 17. 如图，在平面直角坐标系中，线段AB的两个端点的坐标分别是A（﹣1，4），B（﹣3，1）． （1）画出线段AB向右平移4个单位后的线段A1B1； （2）画出线段AB绕原点O旋转180°后的线段A2B2． 18. 先化简，再求值：，其中从，2，3中取一个你认为合适的数代入求值． 19. 解方程： （1） （2） 20. 某校九年级有600名学生，在体育中考前进了一次模拟体测，从中随机抽取部分学生，根据其测试成绩制作了下面两个统计图．请根据相关信息，解答下列问题： （1）本次被抽取到的学生人数为　 　，图1中m的值为　 　； （2）求本次调查获取的样本数据的平均数、众数和中位数； （3）根据样本数据，估计该校九年级模拟体测中得12分的学生约有多少人？ 21. 《生物多样性公约》第十五次缔约方大会()重新确定于2021年5月17日至30日在云南省昆明市举办．“生物多样性”的目标、方法和全球通力合作，将成为国际范围的热点关注内容．为广泛宣传生物多样性，某校组织七、八年级各200名学生对《生物多样性公约》白皮书相关知识进行学习并组织定时测试．现分别在七、八两个年级中各随机抽取了10名学生，统计这部分学生的竞赛成绩，相关数据统计、整理如下： 【收集数据】 七年级10名同学测试成绩统计如下： 72，84，72，91，79，69，78，85，75，95 八年级10名同学测试成绩统计如下： 85，72，92，84，80，74，75，80，76，82 【整理数据】两组数据各分数段，如下表所示： 成绩 七年级 1 5 2 a 八年级 0 4 5 1 【分析数据】两组数据的平均数、中位数、众数、方差如下表： 年级 统计量 平均数 中位数 众数 方差 七年级 80 b 72 66.6 八年级 80 80 c 【问题解决】根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：______，______，______； （2）计算八年级同学测试成绩的方差，并估计哪个年级的竞赛成绩更整齐？ （3）按照比赛规定90分及其以上算优秀，请估计这两个年级竞赛成绩达到优秀学生的人数共有多少人？ （4）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生知识竞赛成绩更好？请说明理由(至少写出两条理由)． 22. 观察下列方程的特征及其解的特点． ①x＋＝－3的解为x1＝－1，x2＝－2； ②x＋＝－5的解为x1＝－2，x2＝－3； ③x＋＝－7的解为x1＝－3，x2＝－4 解答下列问题： （1）请你写出一个符合上述特征的方程为________，其解为________； （2）根据这类方程的特征，写出第n个方程为________，其解为________； （3）请利用（2）的结论，求关于x的方程x＋＝－2(n＋2)(其中n为正整数)的解． 23. 2022年10月16日，习总书记在第二十次全国代表大会上的报告中提出：“积极稳妥推进碳达峰碳中和”．某公司积极响应节能减排号召，决定采购新能源A型和B型两款汽车，已知每辆A型汽车的进价是每辆B型汽车的进价的1.5倍，若用3000万元购进A型汽车的数量比2400万元购进B型汽车的数量少20辆． （1）A型和B型汽车的进价分别为每辆多少万元？ （2）该公司决定用不多于3600万元购进A型和B型汽车共150辆，最多可以购买多少辆A型汽车？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $