精品解析：贵州省铜仁市碧江区2024-2025学年九年级上学期11月期中考试数学试题

碧江区2024－2025学年度第一学期期中质量监测 九年级数学 同学你好！答题前请认真阅读以下内容： 1．本试卷共6页，三个大题，共25小题，满分150分．答题时间120分钟，考试形式为闭卷． 2．一律在答题卡相应位置作答，在试卷上答题视为无效． 3．不能使用计算器． 一、选择题（每小题3分，共36分．以下每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，请用2B铅笔在答题卡相应位置作答） 1. 的绝对值是（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据负数的绝对值等于它的相反数解答． 【详解】解：|-2|=2 故选：B． 【点睛】本题考查了绝对值，一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0． 2. 若方程是关于的一元二次方程，则“”可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，通过化简后，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程，叫做一元二次方程，根据一元二次方程的定义即可得解，熟练掌握一元二次方程的定义是解此题的关键． 【详解】解：A、是一元一次方程，故不符合题意； B、是一元一次方程，故不符合题意； C、是一元二次方程，故符合题意； D、是二元二次方程，故不符合题意； 故选：C． 3. 如图，，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定和性质．熟练掌握平行线的判定和性质是解答的关键． 利用平行线的判定和性质即可求解． 【详解】∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 4. 在比例尺为的铜仁交通游览图上，乌江特大桥长约，它的实际长度约为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了比例线段，能够根据比例尺灵活计算，注意单位的换算问题， 根据实际距离图上距离除以比例尺．代值计算即可得出答案． 【详解】解：它的实际长度约为： ， 故选：C． 5. 如图，平面直角坐标系中，是坐标原点，点是反比例函数图象上的一点，过点分别作轴于点，轴于点，若四边形的面积为4．则的值是（ ） A. 4 B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定，反比例函数的值的几何意义，熟知在一个反比例函数图像上任取一点，过点分别作x轴，y轴的垂线段，与坐标轴围成的矩形面积为是解题的关键．证明四边形是矩形，根据反比例函数的值的几何意义，即可解答． 【详解】解：轴于点M，轴于直N，， 四边形是矩形， 四边形的面积为4， ， 反比例函数在第一、三象限， ， 故选：A． 6. 若用公式法解关于的一元二次方程的根为，则这个方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了公式法解一元二次方程，根据求根公式得出a，b，c的值，即可得出答案． 【详解】解：∵的一元二次方程的根为 ∴，，， ∴这个方程是， 故选：C． 7. 如图，线段，相交于点，，若，，，则的长是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查平行线的性质、相似三角形的判定与性质，根据平行线的性质：两直线平行，内错角相等，可得，则，由相似三角形的性质得，代入数值即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ，，， ， ， 故选：B． 8. 某数学跨学科学习小组在研究中学习到：当压力一定时，压强（单位：）与受力面积（单位：）存在反比例函数关系．下表是他们实验的几组数据： （单位：） （单位：） 则压强与受力面积之间的函数关系式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的应用，先设出与的函数解析式，再把表中一组数据代入解析式即可．解题的关键是用待定系数法求函数解析式． 【详解】解：设压强（单位：）与受力面积（单位：）的函数解析式为，把，代入解析式得：， 解得：， ∴压强与受力面积之间的函数关系式是． 故选：A． 9. 随着铜仁市旅游业蓬勃发展，某旅投公司修建了许多特色房屋，如图所示，阳光通过窗口射到室内，在地面上留下宽的亮区，已知亮区到窗口下的墙脚的距离，窗口高，那么窗口底部离地面的高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，由得到，进而得到，代入已知条件即可求解，掌握相似三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， 解得 故选：． 10. 某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度共生产零件196万个，如果每月的增长率x相同，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据七月份的表示出八月和九月的产量即可列出方程． 【详解】解：七月份生产零件50万个，设该厂八九月份平均每月的增长率为， 八月份的产量为万个，九月份的产量为万个， ， 故选：D． 11. 鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个半径的比都是黄金比例，是自然界最美的鬼斧神工．如图，是的黄金分割点，若线段的长为，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了黄金分割比例，熟知黄金分割比例是解题的关键．根据黄金分割的定义可得据此求解即可． 【详解】解：∵P是AB的黄金分割点，， ∴； 故选：A． 12. 已知函数，，当时，函数的最大值是，函数的最小值是，则（ ） A. B. 9 C. D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数图象的性质和解二元一次方程组，根据题意可得函数经过第一、三象限，在每个象限内随x增大而减小，经过第二、四象限，在每个象限内随x增大而增大，则，解方程组即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴函数经过第一、三象限，在每个象限内随x增大而减小，经过第二、四象限，在每个象限内随x增大而增大， ∵当时，函数的最大值是，函数的最小值是， ， ∴， ∴， 故选：D． 二、填空题：每小题4分，共16分． 13. 若函数是关于的一次函数，则______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查了根据一次函数的定义求参数，解一元一次方程等知识点，熟练掌握一次函数的定义是解题的关键． 根据一次函数的定义可得出一元一次方程，解方程即可求出的值． 【详解】解：根据题意可得： ， 解得：， 故答案为：． 14. 物理学中自由落体的公式是（为重力加速度，），若物体下降高度为，则下落时间是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查函数图像上点的坐标特征，将代入求出对应的的值即可．正确理解题意是解题的关键． 【详解】解：根据题意得：， ∴， 解得：或（负值不符合题意，舍去）， ∴下落时间是． 故答案为：． 15. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数=的图象与一次函数=kx+b的图象交于A、B两点．若＜，则x的取值范围是_____． 【答案】x<0或1<x<3 【解析】 【分析】根据题意观察图象即可得到解答． 【详解】解：观察函数图象，当x＜0或1＜x＜3时，反比例函数图象都在一次函数图象下方， 故答案为：x＜0或1＜x＜3． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数图象的综合判断题，解决本题的关键是读懂题目意思． 16. 如图，已知，两条对应边，在同一条直线上，为上一点，，连接，分别交，于点，，其中，则阴影部分面积为__________． 【答案】7 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质以及平行线的判定和性质，根据题意得，则有，判定，有，设的高为h，则的高为，可知、和，即可求得阴影部分面积． 【详解】解：∵， ∴ ∵两条对应边，在同一条直线上， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设中边上的高为h，则中边上的高为， 中边上的高为， ∵， ∴，， ∴， 则阴影部分面积为， 故答案为：7． 三、解答题：本大题共9小题，共98分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 解方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程． （1）直接利用开平方法解方程即可． （2）提公因式，利用因式分解法解方程即可． 【小问1详解】 解：， ，或 ，； 【小问2详解】 解： ． 18. （1）计算：． （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）8；（2）； 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的混合运算以及分式的化简求值． （1）先求出立方根，乘方运算，零指数幂，然后再计算乘除法，最后再计算加减法． （2）先化简分式，然后再代入求解即可． 【详解】解：（1） ． （2） 当时，原式． 19. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求实数的取值范围； （2）当时该方程的两个实数根分别是矩形的长和宽，求该矩形对角线的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程有两个不相等的实数根则代入即可得出m的取值范围． （2）把代入，得出一元二次方程，然后利用因式分解法解出矩形的长和宽，再利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ， ， ∴； 【小问2详解】 解：当时，原方程为， 该方程的两个实数根为，， ∴矩形的长为8，宽为2． 则矩形的对角线长为：． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，因式分解法解一元二次方程，以及矩形的性质和勾股定理等知识． 20. 某商场销售一批儿童玩具，平均每天能售出件，每件盈利元．经调查发现：这种玩具的售价每降低1元，平均每天能多售出2件，设每件玩具降价x元． （1）降价后，每件玩具的利润为_______元，平均每天的销售量为_______件；（用含x的式子表示） （2）为了扩大销售，尽快减少库存，商场决定采取降价措施，但需要每天盈利元，那么每件玩具应降价多少元？ 【答案】（1） （2）每件玩具应降价元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，抓住数量关系正确列出方程是解题关键． （1）根据“玩具的售价每降低1元，平均每天能多售出2件”结合玩具降价x元和原利润即可求解． （2）根据总利润等于每件利润乘以数量即可列出方程． 【小问1详解】 解：每件玩具降价x元， 每件玩具的利润为元，销量为件． 故答案为：；． 【小问2详解】 （2）依题意，得：， 整理，得：， 解得：． 为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存， ． 答：每件玩具应降价元． 21. 如图，在中，为边上一点，． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1）证明：，， （2） 【解析】 【分析】本题考查的知识点是相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练的掌握相似三角形的判定与性质． （1）根据相似三角形的判定得出即可； （2）根据相似得出比例式，代入求出即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ， ， ，，． 22. “波波糖”是贵州的著名特色小吃，以其酥脆香甜的口感广受欢迎．在其制作的过程需要将熬制好的糖体反复拉伸，直至形成细长的糖丝．在将一定质量的糖体做成糖丝时，糖丝的总长度是糖丝横截面面积的反比例函数，其图象经过，两点（如图所示）． （1）求与之间的函数关系式； （2）求的值，并解释它的实际意义． 【答案】（1）； （2）；当糖丝横截面面积为时，糖丝的总长度为． 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的实际应用，熟练掌握待定系数法求反比例函数的解析式是解题的关键． （1）设与之间的函数表达式为：，代入得出即可； （2）将代入到函数表达式得出，并根据题意解释实际意义即可． 【小问1详解】 解：设与之间的函数表达式为：， 将代入可得：， 解得：， 与之间的函数表达式为：． 【小问2详解】 将代入得：， 解得：， 实际意义：当糖丝横截面面积为时，糖丝的总长度为． 23. 如图是某项目式学习小组的成员手持一把刻有厘米刻度的小尺测量旗杆高度的示意图，他站在距离旗杆大约的地方，手臂向前伸直并保持小尺垂直，观察到尺子上大约30个刻度完全遮挡了旗杆．已知该同学的臂长约为，求旗杆的大致高度． [思路引导] （1）臂长和人距旗杆底部的距离分别可看作和的对应高，则对应高之比等于__________． （2）求旗杆的大致高度． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用． （1）证明，得到和的对应高之比等于； （2）先求得和的对应高分别为和，，根据，计算即可求解． 【小问1详解】 解：由题意得和都垂直于地面， ∴， ∴， ∴和的对应高之比等于， 故答案为：； 【小问2详解】 解：由题意得和的对应高分别为即和，，即， ∴，即， ∴， 旗杆的大致高度为． 24. 如图，一次函数的图象与反比例函数（，）的图象相交于点，交轴于点，交轴于点． （1）_____． （2）判断线段与的数量关系． （3）点在一次函数的图象上，且横坐标为4，过点作轴的平行线，交反比例函数的图象于点，连接．求的面积． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）将代入，可得一元一次方程，解方程即可求出的值； （2）过点作轴于点，先求出一次函数与轴的交点的坐标，进而可求得、的长，易证得，由相似三角形的性质可得，于是可得答案； （3）将点代入反比例函数（，）即可求出的值，将代入一次函数即可求得点的坐标，将代入反比例函数（）即可求得点的坐标，进而可求得的长，再利用三角形的面积公式即可求出的面积． 【小问1详解】 解：将代入，可得： ， 解得：， 故答案为：； 【小问2详解】 解：，理由如下： 如图，过点作轴于点， ， ， 令，则， 解得：， 点坐标为， ， ， 轴， ， 由题意可知：， ， 又， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：点在反比例函数（，）的图象上， ， ， 反比例函数的表达式为：（）， 将代入一次函数，得： ， 点的坐标为， 将代入反比例函数（），得： ， 点坐标为， ， ． 【点睛】本题主要考查了次函数与反比例函数的交点问题，解一元一次方程，已知两点坐标求两点距离，一次函数图象与坐标轴的交点问题，垂线的性质，对顶角相等，相似三角形的判定与性质，等式的性质，求一次函数的函数值，求反比例函数值，三角形的面积公式等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以综合运用是解题的关键． 25. 【综合与探究】 请阅读以下材料，完成相应的任务． 角平分线分线段成比例定理： 如图，在中，平分，则． 下面是这个定理的部分证明过程． 证明：如图，过作，交的延长线于点． ，，，， ， ① ，； （1）①处应该填__________； （2）在（1）的基础上，若，求． （3）如图3，是的角平分线，点在上，延长交于点，若，，，，求线段的长． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据等角对等边即可得解； （2）由角平分线的性质得，设，则，，再根据相似三角形的判定及性质即可得解； （3）过点作，则进而得，，设，根据角平分线性质及平行线分线段成比例定理得，解得，从而即可得解． 【小问1详解】 解：证明：如图，过作，交的延长线于点． ， ，， ， ， ， ； 故答案为：； 【小问2详解】 解：是的平分线， ， ，， ； 设，则， ， ， ∴． 【小问3详解】 解：过点作， ∴ ， ， 设 是的角平分线 又 解得 ， ． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，平行线分线段成比例，相似三角形的判定及性质，等角对等边，熟练掌握行线分线段成比例及相似三角形的判定及性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 碧江区2024－2025学年度第一学期期中质量监测 九年级数学 同学你好！答题前请认真阅读以下内容： 1．本试卷共6页，三个大题，共25小题，满分150分．答题时间120分钟，考试形式为闭卷． 2．一律在答题卡相应位置作答，在试卷上答题视为无效． 3．不能使用计算器． 一、选择题（每小题3分，共36分．以下每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，请用2B铅笔在答题卡相应位置作答） 1. 的绝对值是（ ） A. B. 2 C. D. 2. 若方程是关于的一元二次方程，则“”可以是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 在比例尺为的铜仁交通游览图上，乌江特大桥长约，它的实际长度约为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，平面直角坐标系中，是坐标原点，点是反比例函数图象上的一点，过点分别作轴于点，轴于点，若四边形的面积为4．则的值是（ ） A. 4 B. C. 1 D. 6. 若用公式法解关于的一元二次方程的根为，则这个方程是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，线段，相交于点，，若，，，则的长是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 8. 某数学跨学科学习小组在研究中学习到：当压力一定时，压强（单位：）与受力面积（单位：）存在反比例函数关系．下表是他们实验的几组数据： （单位：） （单位：） 则压强与受力面积之间的函数关系式是（ ） A. B. C. D. 9. 随着铜仁市旅游业蓬勃发展，某旅投公司修建了许多特色房屋，如图所示，阳光通过窗口射到室内，在地面上留下宽的亮区，已知亮区到窗口下的墙脚的距离，窗口高，那么窗口底部离地面的高度为（ ） A. B. C. D. 10. 某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度共生产零件196万个，如果每月的增长率x相同，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个半径的比都是黄金比例，是自然界最美的鬼斧神工．如图，是的黄金分割点，若线段的长为，则的长为（ ） A. B. C. D. 12. 已知函数，，当时，函数的最大值是，函数的最小值是，则（ ） A. B. 9 C. D. 3 二、填空题：每小题4分，共16分． 13. 若函数是关于的一次函数，则______． 14. 物理学中自由落体的公式是（为重力加速度，），若物体下降高度为，则下落时间是_____． 15. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数=的图象与一次函数=kx+b的图象交于A、B两点．若＜，则x的取值范围是_____． 16. 如图，已知，两条对应边，在同一条直线上，为上一点，，连接，分别交，于点，，其中，则阴影部分面积为__________． 三、解答题：本大题共9小题，共98分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 解方程： （1） （2） 18. （1）计算：． （2）先化简，再求值：，其中． 19. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求实数的取值范围； （2）当时该方程的两个实数根分别是矩形的长和宽，求该矩形对角线的长． 20. 某商场销售一批儿童玩具，平均每天能售出件，每件盈利元．经调查发现：这种玩具的售价每降低1元，平均每天能多售出2件，设每件玩具降价x元． （1）降价后，每件玩具的利润为_______元，平均每天的销售量为_______件；（用含x的式子表示） （2）为了扩大销售，尽快减少库存，商场决定采取降价措施，但需要每天盈利元，那么每件玩具应降价多少元？ 21. 如图，在中，为边上一点，． （1）求证：； （2）若，求的长． 22. “波波糖”是贵州的著名特色小吃，以其酥脆香甜的口感广受欢迎．在其制作的过程需要将熬制好的糖体反复拉伸，直至形成细长的糖丝．在将一定质量的糖体做成糖丝时，糖丝的总长度是糖丝横截面面积的反比例函数，其图象经过，两点（如图所示）． （1）求与之间的函数关系式； （2）求的值，并解释它的实际意义． 23. 如图是某项目式学习小组的成员手持一把刻有厘米刻度的小尺测量旗杆高度的示意图，他站在距离旗杆大约的地方，手臂向前伸直并保持小尺垂直，观察到尺子上大约30个刻度完全遮挡了旗杆．已知该同学的臂长约为，求旗杆的大致高度． [思路引导] （1）臂长和人距旗杆底部的距离分别可看作和的对应高，则对应高之比等于__________． （2）求旗杆的大致高度． 24. 如图，一次函数的图象与反比例函数（，）的图象相交于点，交轴于点，交轴于点． （1）_____． （2）判断线段与的数量关系． （3）点在一次函数的图象上，且横坐标为4，过点作轴的平行线，交反比例函数的图象于点，连接．求的面积． 25. 【综合与探究】 请阅读以下材料，完成相应的任务． 角平分线分线段成比例定理： 如图，在中，平分，则． 下面是这个定理的部分证明过程． 证明：如图，过作，交的延长线于点． ，，，， ， ① ，； （1）①处应该填__________； （2）在（1）的基础上，若，求． （3）如图3，是的角平分线，点在上，延长交于点，若，，，，求线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $