精品解析：江苏省连云港市灌云县第一中学2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题

灌云县第一中学高二年级上学期期中考试 数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 已知数列，，，，，，，则是这个数列的（    ） A. 第项 B. 第项 C. 第项 D. 第项 2. 已知经过点的直线的斜率为2，则的值为（ ） A B. 0 C. 1 D. 2 3. 等比数列中，，，则的值为（    ） A. B. C. D. 4. 若双曲线经过点，且它的两条渐近线方程是，则此双曲线的离心率是（ ） A. B. C. D. 5. 如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法商功》中，后人称为“三角垛”“三角垛”的最上层有个球，第二层有个球，第三层有个球，，设各层球数构成一个数列，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知圆C的圆心在直线上，并且圆 C经过圆与圆的交点，则圆C的圆心是（ ） A B. C. D. 7. 已知数列的前项和为，且，，，则（    ） A. B. 为奇数时， C. D. 8. 已知椭圆C：上有一点A，它关于原点的对称点为B，点F为椭圆的右焦点，且，，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 数列的前项和为，则下列说法正确的是（    ） A. 若，则数列的前项和最大 B. 若等比数列是递减数列，则公比满足 C. 已知等差数列的前项和为，若，则 D. 已知为等差数列，则数列也是等差数列 10. 下列结论正确的是（    ） A ，若，则或 B. 直线和以为端点的线段相交，则或 C. 直线与直线之间的距离是 D. 与点的距离为1，且与点的距离为4的直线共有3条 11. 下列结论中正确是（ ） A. 已知直线过点，且在，轴上截距相等，则直线的方程为 B. 已知圆，圆，则圆和圆有条公切线 C. 若直线上存在点，过点作圆的切线，，切点分别为，，使得为直角，则实数的取值范围为 D. 已知圆，点的坐标为，过点作直线交圆于，两点，则的取值范围是 三、填空题（共3小题） 12. 直线过点且与直线平行，则直线与轴围成三角形面积为 _____． 13. 已知等差数列{an}的首项a1＝11，公差，当|an|最小时，n＝_______． 14. 已知双曲线C：的左顶点为A，直线l过A且与C的一条渐近线平行．若C的右支上一点P到l的距离恒大于m，则m的最大值为 ___________________． 二．解答题（共5小题） 15. 已知直线l过点，O为坐标原点． （1）若l与垂直，求直线l的方程； （2）若O到l的距离为1，求直线l的方程． 16. 已知公差不为零的等差数列的前n项和为，若，且，，成等比数列. （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前n项和. 17. 已知抛物线的焦点是圆与x轴的一个交点． （1）求抛物线C的方程； （2）若过点的直线l与抛物线C交于不同的两点A，B，O为坐标原点，证明：． 18. 设数列满足：，且对任意的，都有． （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前n项和． 19. 若椭圆过抛物线的焦点，且与双曲线有相同的焦点． （1）求椭圆的方程； （2）不过原点的直线与椭圆交于两点，当的面积为 时，求直线的方程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 灌云县第一中学高二年级上学期期中考试 数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 已知数列，，，，，，，则是这个数列的（    ） A. 第项 B. 第项 C. 第项 D. 第项 【答案】C 【解析】 【分析】令，解出即可得. 【详解】令，解得， 所以是这个数列第项. 故选：C. 2. 已知经过点的直线的斜率为2，则的值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据直线的斜率公式计算可得答案. 【详解】因为经过点的直线的斜率为2， 所以，且，解得. 故选：D. 3. 等比数列中，，，则的值为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】运用等比数列的下标性质计算即可. 【详解】等比数列中，，，则. 故选：C. 4. 若双曲线经过点，且它两条渐近线方程是，则此双曲线的离心率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设双曲线的方程为，根据已知条件列方程，确定双曲线的方程，利用计算即可. 【详解】设双曲线的方程为，根据已知条件可得， 解得，，所以双曲线方程为，，，， . 故选：A. 5. 如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法商功》中，后人称为“三角垛”“三角垛”的最上层有个球，第二层有个球，第三层有个球，，设各层球数构成一个数列，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据累加法求解出的通项公式，由此可求的值. 【详解】由题意可知， 所以， 所以, 所以，所以， 当时，符合的情况， 所以，所以， 故选：D. 6. 已知圆C的圆心在直线上，并且圆 C经过圆与圆的交点，则圆C的圆心是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】联立两圆方程，求出交点的坐标，得的垂直平分线方程，与直线联立即可求解. 【解答】设圆与圆的交点为 联立两圆方程，得，解得，或 不妨记，， 于是的中点为， 从而可得AB的垂直平分线方程为，即， 联立与，得，解得， 即圆心坐标为. 故选：D 7. 已知数列的前项和为，且，，，则（    ） A. B. 为奇数时， C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题设有，讨论的奇偶性，结合等差数列定义、前项和公式逐项判断可得答案. 【详解】由，则，两式作差，得， ，当为奇数，是首项为1，公差为3的等差数列，即， ，当为偶数，是首项为2，公差为3的等差数列，即， 对于A，，， ，故A错误； 对于B，为奇数时， ，故B正确； 对于C，，， 所以 ，故C错误； 对于D，，故D错误. 故选：B. 8. 已知椭圆C：上有一点A，它关于原点的对称点为B，点F为椭圆的右焦点，且，，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设椭圆的左焦点为，则由已知条件结合椭圆的性质可得四边形为矩形，得，然后在中，表示出，再利用椭圆的定义列方程化简可求出离心率. 【详解】设椭圆的左焦点为， 因为，所以根据椭圆的对称性可知：四边形为矩形， 所以， 在中，， 根据椭圆定义可知：， 所以， 所以，，所以， 所以离心率为 故选：B． 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 数列的前项和为，则下列说法正确的是（    ） A. 若，则数列的前项和最大 B. 若等比数列是递减数列，则公比满足 C. 已知等差数列的前项和为，若，则 D. 已知为等差数列，则数列也是等差数列 【答案】CD 【解析】 【分析】根据等差数列的单调性判断A，根据等比数列的单调性判断B，根据等差数列前项和公式及下标和性质判断C，根据等差数列的定义判断D. 【详解】选项A，由， 令，解得，令，解得， 又，所以，，又数列单调递减， 故数列前项的和最大，故 A错误； 选项B，当，时，等比数列也是递减数列，故B错误； 选项C，，若，则，故C正确； 选项D，若为等差数列，则，， 则（为常数），数列也是等差数列，故D正确. 故选：CD 10. 下列结论正确的是（    ） A. ，若，则或 B. 直线和以为端点的线段相交，则或 C. 直线与直线之间的距离是 D. 与点距离为1，且与点的距离为4的直线共有3条 【答案】BD 【解析】 【分析】利用两直线平行求出实数的值，可判断A选项；对于B，由于直线过定点，所以求出可得答案，利用平行线间的距离公式可判断C选项；利用圆与圆的位置关系可判断D选项. 【详解】对于A，若，则，则， 解得或， 当时，，则，重合； 当时，，则，故，故A错误； 对于B，由，得， 所以直线过定点， 因为，所或，故B正确； 对于C，将直线化为，所以两直线间的距离，故C错误； 记以为圆心，为半径的圆为，以为圆心，为半径的圆为， 因为两圆的圆心距，且两圆的半径之和， 所以，所以两圆外切，所以两圆有三条公切线， 这三条公切线满足与点距离为，且与点距离为，故D正确． 故选：BD. 11. 下列结论中正确的是（ ） A. 已知直线过点，且在，轴上截距相等，则直线的方程为 B. 已知圆，圆，则圆和圆有条公切线 C. 若直线上存在点，过点作圆的切线，，切点分别为，，使得为直角，则实数的取值范围为 D. 已知圆，点的坐标为，过点作直线交圆于，两点，则的取值范围是 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，当直线过原点时，直线也满足条件，故可判断A错误； 对于B，判断两圆的位置关系即可； 对于C，可判断点的轨迹是圆心为，半径为的圆，又点在直线上，故直线与该圆有公共点，易求出的取值范围； 对于D，弦中点的轨迹是以为直径的圆，求出的最值，即可求出的取值范围. 【详解】对于A，当直线过原点时，直线方程为，满足条件，A错误； 对于B，圆的圆心为，半径， 圆的圆心为，半径， 则圆心距，又， 由，可知， 两圆相离，圆与圆共有条公切线，故B正确； 对于C，连接，，，如图， 则易知四边形为正方形， ，点的轨迹是圆心为，半径为的圆， 又点在直线上，故直线与该圆有公共点， 圆心到直线的距离，， 实数的取值范围为，故C正确； 对于D，取中点，连接，如图所示： 则， 点的轨迹是以为直径的圆，圆心为，半径， ， ，即， ， 取值范围是，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题（共3小题） 12. 直线过点且与直线平行，则直线与轴围成的三角形面积为 _____． 【答案】 【解析】 【分析】确定直线方程，求得在坐标轴上的截距即可求解. 【详解】设直线方程为：，代入可得：，解得：，所以直线方程为：， 令，得，令，得， 所以直线与轴围成的三角形面积为， 故答案为： 13. 已知等差数列{an}的首项a1＝11，公差，当|an|最小时，n＝_______． 【答案】16 【解析】 【分析】根据题意求通项公式，由通项公式得的单调性，进而根据单调性判断最值. 【详解】由题意，， 令，得，解得， 所以当时，，此时单调递减； 当时，，此时单调递增； 又，，则， 因此当最小时，， 故答案为： 14. 已知双曲线C：的左顶点为A，直线l过A且与C的一条渐近线平行．若C的右支上一点P到l的距离恒大于m，则m的最大值为 ___________________． 【答案】 【解析】 【分析】求出直线的方程，利用双曲线的右支上一点到的距离恒大于，可得直线与其平行的渐近线的距离恒大于等于，进而可得出答案. 【详解】由题意，双曲线的渐近线方程为， 因为直线过且与的一条渐近线平行， 不妨设直线的方程为，即， 由的右支上一点到的距离恒大于， 可得直线到直线的距离恒大于等于， 直线到直线的距离， 所以，所以的最大值为. 故答案为：. 二．解答题（共5小题） 15. 已知直线l过点，O为坐标原点． （1）若l与垂直，求直线l的方程； （2）若O到l的距离为1，求直线l的方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）先求出直线的斜率，根据两直线垂直斜率之积为-1求出直线的斜率，再利用点斜式方程求出直线的方程.（2）设出直线的方程（分斜率存在与不存在两种情况），根据点到直线的距离公式求出直线的方程. 【小问1详解】 ，因为直线与垂直，所以直线的斜率. 又过点，根据点斜式可得直线方程为，整理得. 【小问2详解】 当的斜率不存在时，直线的方程为，此时原点到直线的距离为，满足条件. 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即. 根据点到直线的距离公式（这里，已知，则. 两边平方得，展开得，解得. 此时直线的方程为，整理得. 综上所得，直线的方程为或. 16. 已知公差不为零的等差数列的前n项和为，若，且，，成等比数列. （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前n项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设出公差，利用题意得到方程组，求出首项和公差，得到通项公式； （2），利用分组求和，结合等差数列和等比数列求和公式得到答案. 【小问1详解】 根据为等差数列，设公差为. ，即①， ，，成等比数列 ∴，②， 由①②解得：， 数列的通项公式为. 【小问2详解】 由， 数列的前n项和 . 17. 已知抛物线的焦点是圆与x轴的一个交点． （1）求抛物线C的方程； （2）若过点的直线l与抛物线C交于不同的两点A，B，O为坐标原点，证明：． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据圆的方程求出与轴交点，该交点为抛物线焦点，再根据抛物线焦点坐标公式求出的值，从而得到抛物线方程. （2）设出直线的方程（因为直线过点，可设为点斜式），与抛物线方程联立，得到关于的一元二次方程，利用韦达定理求出和，再通过向量垂直的条件来证明. 【小问1详解】 圆与轴的交点，令，则，解得. 因为抛物线的焦点，且焦点是圆与轴的一个交点， 所以，解得. 所以抛物线的方程为. 【小问2详解】 设直线的方程为（存在，当时直线与抛物线也有两个交点）. 将代入，得，即. 设，，由韦达定理得，. 因为，，，. 则. 所以，即. 18. 设数列满足：，且对任意的，都有． （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前n项和． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）由已知条件变形，结合等比数列的定义，即可求得； （2）由（1）求得数列的通项，并利用错位相减法求和. 【小问1详解】 由题意可得，，所以， 则，其中， 所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列， 则，即，. 【小问2详解】 由（1）可知 ，令，则， ① ， ②， 两式相减可得， 所以． 19. 若椭圆过抛物线的焦点，且与双曲线有相同的焦点． （1）求椭圆的方程； （2）不过原点的直线与椭圆交于两点，当的面积为 时，求直线的方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据抛物线和双曲线的焦点，结合椭圆的几何性质即可求解， （2）联立直线于椭圆方程，根据弦长公式以及点到直线的距离公式，即可由面积求解. 【小问1详解】 抛物线的焦点为 双曲线焦点为 依题意可得，，则， 所以椭圆的方程为； 【小问2详解】 根据题意，设， 联立直线与椭圆方程，可得， 消去并整理可得，， 则，， 由弦长公式可得，， 又点到直线的距离为， 依题意，令， 当且仅当，即或，此时均满足， 的面积取得最大值为,此时直线l的方程为或 即或 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$