第15章 分式 提优测评试卷（解析版+原卷版）-2024-2025学年八年级数学上册提优专题举一反三训练及试卷测试（人教版）

第15章 分式 提优测评试卷 （满分：100分 考试时间：60分钟） 一．选择题（每小题3分，共24分） 1．下列各式：，，，5，．其中，是分式的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．若a＝（）﹣2，b＝（）0，c＝0.75﹣1，则a，b，c三个数的大小关系是（　　） A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．c＞b＞a D．a＞c＞b 3．若x＝4是分式方程的根，则a的值为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 4．已知x2﹣x﹣1＝0，计算的值是（　　） A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2 5．某校学生去距离学校12km的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20min后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，汽车的速度是（　　） A．0.2km/min B．0.3km/min C．0.4km/min D．0.6km/min 6．纳米是非常小的长度单位，1nm＝0.000000001m，把0.000000001用科学记数法表示为（　　） A．1×10﹣9 B．1×10﹣8 C．1×108 D．1×109 7．对于分式，下列说法错误的是（　　） A．当x＝±3时，分式的值为0 B．当x＝﹣3时，分式无意义 C．x＝﹣4时，分式的值为﹣7 D．当x＞3时，分式的值为正数 8．为了落实“双减”政策，进一步丰富文体活动，学校准备购进一批篮球和足球．已知每个篮球的价格比每个足球的价格多20元，用1500元购进篮球的数量比用800元购进足球的数量多5个．如果设每个足球的价格为x元，那么可列方程为（　　） A． B． C． D． 二．填空题（每小题3分，共18分） 9．当x＝　 　时，分式无意义． 10．分式方程1的解为 　 　． 11．关于x的分式方程3有增根，则m＝　 　． 12．当x＝2时，代数式（x）的值是　 　． 13．已知8x2m﹣3yn÷（﹣4xmy2）＝﹣2x，则m﹣n的值是　 　． 14．若关于x的分式方程的解为非负数，则m的取值范围为 　 　． 三．解答题（共58分） 15．（12分）计算： （1）； （2）4xy2z÷（﹣2x﹣2yz﹣1）； （3）； （4）（m+2）． 16．（8分）解下列分式方程： （1） （2）． 17．（6分）已知． （1）化简A； （2）若已知x2﹣x﹣1＝0，求A的值． 18．（6分）先化简（a），再从﹣3＜a＜3的范围内选择一个合适的数代入求值． 19．（6分）某地计划在规定时间内种植梨树6000棵．开始种植时，由于志愿者的加入，实际每天种植梨树的数量比原计划增加了20%，结果提前2天完成任务，设原计划每天种植梨树x棵，请解答下列问题： （1）志愿者的加入后，实际需要 　 　天（用含x的代数式表示）； （2）原计划每天种植梨树多少棵？ 20．（6分）如图，设k（a＞b＞0），用含a，b的代数式表示k，并求出k的取值范围． 21．（6分）为了进一步丰富校园文体活动，某中学准备一次性购买若干个足球和排球，用480元购买足球的数量和用390元购买排球的数量相同，已知足球的单价比排球的单价多15元． （1）求：足球和排球的单价各是多少元？ （2）根据学校实际情况，需一次性购买足球和排球共100个，但要求其总费用不超过7550元，那么学校最多可以购买多少个足球？ 22．（8分）我们把形如（m，n不为零），且两个解分别为x1＝m，x2＝n的方程称为“十字分式方程”． 例如为十字分式方程，可化为，∴x1＝2，x2＝3． 再如为十字分式方程，可化为． ∴x1＝﹣1，x2＝﹣7． 应用上面的结论解答下列问题： （1）若为十字分式方程，则x1＝　 　，x2＝　 　． （2）若十字分式方程的两个解分别为x1＝a，x2＝b，求的值． （3）若关于x的十字分式方程的两个解分别为x1，x2（k＞3，x1＞x2），求的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第15章 分式 提优测评试卷（解析版） （满分：100分 考试时间：60分钟） 一．选择题（每小题3分，共24分） 1．下列各式：，，，5，．其中，是分式的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据分式的定义对各式逐个进行判断，得出正确答案． 【解答】解：，这2个式子分母中含有字母，因此是分式． 其它式子分母中均不含有字母，是整式，而不是分式． 故选：B． 【点评】本题主要考查分式的概念，分式与整式的区别主要在于：分母中是否含有未知数． 2．若a＝（）﹣2，b＝（）0，c＝0.75﹣1，则a，b，c三个数的大小关系是（　　） A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．c＞b＞a D．a＞c＞b 【答案】D 【分析】直接利用负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质分别化简得出答案． 【解答】解：∵a＝（）﹣2，b＝（）0＝1，c＝0.75﹣1， ∴a＞c＞b． 故选：D． 【点评】此题主要考查了负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质，正确化简各数是解题关键． 3．若x＝4是分式方程的根，则a的值为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】将x＝4代入分式方程，得到关于a的一元一次方程，解方程即可求得答案． 【解答】解：将x＝4代入分式方程可得， 1， 解得：a＝6， 故选：D． 【点评】本题主要考查分式方程及其算法，关键在于正确运算解答答案． 4．已知x2﹣x﹣1＝0，计算的值是（　　） A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2 【答案】A 【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再由已知等式得出x2＝x+1，继而可得答案． 【解答】解：原式＝[]• • ， ∵x2﹣x﹣1＝0， ∴x2＝x+1， ∴原式1． 故选：A． 【点评】本题考查分式的化简求值，化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式． 5．某校学生去距离学校12km的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20min后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，汽车的速度是（　　） A．0.2km/min B．0.3km/min C．0.4km/min D．0.6km/min 【答案】D 【分析】设学生的速度为x km/min，根据一部分学生骑自行车先走，过了20min后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达．列出方程，即可求解． 【解答】解：设学生的速度为x km/min， 由题意可得：20， 解得：x＝0.3， 经检验：x＝0.3是原方程的解，且符合题意； ∴2x＝0.6（km/min）， 故选：D． 【点评】本题考查了分式方程的应用，找到正确的数量关系是解题的关键． 6．纳米是非常小的长度单位，1nm＝0.000000001m，把0.000000001用科学记数法表示为（　　） A．1×10﹣9 B．1×10﹣8 C．1×108 D．1×109 【答案】A 【分析】本题主要根据科学记数法的定义和负指数的知识来解答． 【解答】解：0.000000001＝1×10﹣9 故选：A． 【点评】本题主要考查了科学记数法的相关知识，难度不大． 7．对于分式，下列说法错误的是（　　） A．当x＝±3时，分式的值为0 B．当x＝﹣3时，分式无意义 C．x＝﹣4时，分式的值为﹣7 D．当x＞3时，分式的值为正数 【答案】A 【分析】分别根据分式有意义的条件、分式的定义及分式的值对各选项进行分析即可． 【解答】解：A、当x＝﹣3时，分式无意义，原说法错误，符合题意； B、当x＝﹣3时，分式无意义，正确，不符合题意； C、当x＝﹣4时，7，正确，不符合题意； D、当x＞3时，x2﹣9＞0，x+3＞0，故分式的值为正数，正确，不符合题意． 故选：A． 【点评】本题考查的是分式有意义的条件，分式的定义及分式的值，熟知分式有意义的条件是分母不等于零；分式的值为正数的条件是分子、分母同号是解题的关键． 8．为了落实“双减”政策，进一步丰富文体活动，学校准备购进一批篮球和足球．已知每个篮球的价格比每个足球的价格多20元，用1500元购进篮球的数量比用800元购进足球的数量多5个．如果设每个足球的价格为x元，那么可列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接利用根据单价，表示出篮球与足球价格，再利用1500元购进篮球的数量比用800元购进足球的数量多5个得出等式即可． 【解答】解：设每个足球的价格为x元，可列方程为： 5． 故选：A． 【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，正确得出等量关系是解题关键． 二．填空题（每小题3分，共18分） 9．当x＝　　时，分式无意义． 【答案】． 【分析】根据分式无意义的条件列出方程，解方程得到答案． 【解答】解：由题意得，2x+5＝0， 解得，x， 故答案为：． 【点评】本题考查的是分式无意义的条件，掌握分式无意义的条件是分母等于零是解题的关键． 10．分式方程1的解为 　x＝2　． 【答案】x＝2． 【分析】先把分式方程转化为整式方程，再求解即可． 【解答】解：方程的两边都乘以（2x﹣1），得x+1＝2x﹣1， 解得x＝2． 经检验，x＝2是原方程的解． 故答案为：x＝2． 【点评】本题考查了解分式方程，掌握解分式方程的一般步骤是解决本题的关键． 11．关于x的分式方程3有增根，则m＝　﹣1　． 【答案】见试题解答内容 【分析】先去分母，再根据增根的意义列方程求解． 【解答】解：方程两边同乘（x﹣2）得：x+m﹣1＝3（x﹣2）， 由题意得：x＝2是该整式方程的解， ∴2+m﹣1＝0， 解得：m＝﹣1， 故答案为：﹣1． 【点评】本题考查了分式方程的增根，理解增根的意义是解题的关键． 12．当x＝2时，代数式（x）的值是　3　． 【答案】见试题解答内容 【分析】先根据分式混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x的值代入计算可得． 【解答】解：原式＝（）• • ＝x+1， 当x＝2时， 原式＝2+1＝3． 故答案为：3． 【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则． 13．已知8x2m﹣3yn÷（﹣4xmy2）＝﹣2x，则m﹣n的值是　　． 【答案】见试题解答内容 【分析】先根据单项式除单项式的法则计算已知等式的左边，再利用等式的性质可得m﹣3＝1，n﹣2＝0，易求m、n，再把m、n的值代入所求式子计算即可． 【解答】解：∵8x2m﹣3yn÷（﹣4xmy2）＝﹣2xm﹣3yn﹣2＝﹣2x， ∴m﹣3＝1，n﹣2＝0， ∴m＝4，n＝2． ∴m ﹣n． 故答案是． 【点评】本题考查了整式的除法、负整数指数幂．解题的关键是利用等式的性质． 14．若关于x的分式方程的解为非负数，则m的取值范围为 　m≤1且m≠﹣1　． 【答案】m≤1且m≠﹣1． 【分析】先解分式方程，然后依据分式方程有解且解为非负数，建立不等式，解不等式即可． 【解答】解：两边同乘（x﹣1），得：x+x﹣1＝﹣m， 解得：x， ∵原分式方程的解为非负数， ∴0，且1， 解得：m≤1且m≠﹣1， ∴m的取值范围为m≤1且m≠﹣1． 故答案为：m≤1且m≠﹣1． 【点评】此题主要考查了解分式方程及分式方程的解，掌握解分式方程要进行检验及分式方程有解且解为非负数的条件是解题关键． 三．解答题（共58分） 15．计算： （1）； （2）4xy2z÷（﹣2x﹣2yz﹣1）； （3）； （4）（m+2）． 【答案】（1）0； （2）﹣2x3yz2； （3）； （4）2m+6． 【分析】（1）先约分，再合并同类项即可； （2）（3）根据分式的除法法则进行计算即可； （4）先算括号里面的，再算除法即可． 【解答】解：（1） ＝x+1﹣（x+1） ＝0； （2）4xy2z÷（﹣2x﹣2yz﹣1） ＝4xy2z ＝4xy2z ＝﹣2x3yz2； （3） • ； （4）（m+2） • • ＝2（m+3） ＝2m+6． 【点评】本题是考查的是分式的混合运算，熟知分式混合运算的法则是解题的关键． 16．解下列分式方程： （1） （2）． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）两边乘（x+3）（x﹣3）化为整式方程即可解决问题； （2）两边乘（2x+3）（2x﹣3）化为整式方程即可解决问题； 【解答】解：（1）两边乘（x+2）（x﹣2）得到，（x﹣2）2﹣（x2﹣4）＝3 x2﹣4x+4﹣x2+4＝3 x， 经检验：x是分式方程的解． （2）两边乘（2x+3）（2x﹣3）得到，2x（2x+3）﹣（2x﹣3）＝4x2﹣9 4x2+6x﹣2x+3＝4x2﹣9 x＝﹣3， 经检验：x＝﹣3是分式方程的解． 【点评】本题考查解分式方程，解题的关键是熟练掌握解分式方程的步骤，注意解分式方程必须检验． 17．已知． （1）化简A； （2）若已知x2﹣x﹣1＝0，求A的值． 【答案】（1）； （2）1． 【分析】（1）根据分式的减法法则、除法法则把原式化简； （2）根据等式的性质把x2﹣x﹣1＝0化为x2＝x+1，代入计算即可． 【解答】解：（1）A＝（） • • ； （2）∵x2﹣x﹣1＝0， ∴x2＝x+1， 则原式＝1． 【点评】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键． 18．先化简（a），再从﹣3＜a＜3的范围内选择一个合适的数代入求值． 【答案】，． 【分析】先化简分式，根据分式有意义的条件求出a不能为0，﹣1，1，根据a满足的整数取a＝2，最后代入求出a的值即可． 【解答】解：原式 ， 要使分式有意义，a≠0且a﹣1≠0且a+1≠0， 所以a不能为0，1，﹣1， 取a＝2， 当a＝2时，原式． 【点评】本题考查了分式的化简求值，能正确根据分式的运算法则进行计算是解此题的关键． 19．某地计划在规定时间内种植梨树6000棵．开始种植时，由于志愿者的加入，实际每天种植梨树的数量比原计划增加了20%，结果提前2天完成任务，设原计划每天种植梨树x棵，请解答下列问题： （1）志愿者的加入后，实际需要 　天或2　天（用含x的代数式表示）； （2）原计划每天种植梨树多少棵？ 【答案】（1）天或（2）； （2）原计划每天种植梨树500棵． 【分析】（1）根据时间＝工作量÷工作效率，即可得出结论； （2）根据由于志愿者的加入，实际每天种植梨树的数量比原计划增加了20%，结果提前2天完成任务，列出分式方程，解方程即可． 【解答】解：（1）志愿者加入后，实际需要天或（2）天， 故答案为：天或（2）； （2）由题意得：2， 解得：x＝500， 经检验，x＝500是原方程的解，且符合题意． 答：原计划每天种植梨树500棵． 【点评】本题考查了分式方程的应用以及列代数式，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 20．如图，设k（a＞b＞0），用含a，b的代数式表示k，并求出k的取值范围． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据正方形的面积公式可求甲图中阴影部分的面积，根据正方形和长方形的面积公式可求乙图中阴影部分的面积，进一步即可求解． 【解答】解：∵甲图中阴影部分的面积＝a2﹣b2， 乙图中阴影部分的面积＝a2﹣ab， ∴k1， ∵a＞b＞0， ∴1＜12，即1＜k＜2． 故含a，b的代数式表示k为1，k的取值范围为1＜k＜2． 【点评】考查了列代数式，关键是熟练掌握正方形和长方形的面积公式，将不规则图形转化为规则图形求解． 21．为了进一步丰富校园文体活动，某中学准备一次性购买若干个足球和排球，用480元购买足球的数量和用390元购买排球的数量相同，已知足球的单价比排球的单价多15元． （1）求：足球和排球的单价各是多少元？ （2）根据学校实际情况，需一次性购买足球和排球共100个，但要求其总费用不超过7550元，那么学校最多可以购买多少个足球？ 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）设足球的单价是x元，则排球的单价是（x﹣15）元，根据数量＝总价÷单价，结合用480元购买足球的数量和用390元购买排球的数量相同，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论； （2）设学校可以购买m个足球，则可以购买（100﹣m）个足球，利用总价＝单价×数量，结合购买足球和排球的总费用不超过7550元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大整数值即可得出结论． 【解答】解：（1）设足球的单价是x元，则排球的单价是（x﹣15）元， 依题意得：， 解得：x＝80， 经检验，x＝80是原方程的解，且符合题意， ∴x﹣15＝65． 答：足球的单价是80元，排球的单价是65元． （2）设学校可以购买m个足球，则可以购买（100﹣m）个排球， 依题意得：80m+65（100﹣m）≤7550， 解得：m≤70． 又∵m为正整数， ∴m可以取的最大值为70． 答：学校最多可以购买70个足球． 【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 22．我们把形如（m，n不为零），且两个解分别为x1＝m，x2＝n的方程称为“十字分式方程”． 例如为十字分式方程，可化为，∴x1＝2，x2＝3． 再如为十字分式方程，可化为． ∴x1＝﹣1，x2＝﹣7． 应用上面的结论解答下列问题： （1）若为十字分式方程，则x1＝　﹣2　，x2＝　﹣5　． （2）若十字分式方程的两个解分别为x1＝a，x2＝b，求的值． （3）若关于x的十字分式方程的两个解分别为x1，x2（k＞3，x1＞x2），求的值． 【答案】（1）﹣2，﹣5；（2）；（3）2． 【分析】（1）将方程改写成，再根据十字分式方程的定义即可得； （2）先根据十字分式方程的定义求出ab＝﹣4，a+b＝﹣5的值，再化简代入计算即可得； （3）先根据十字分式方程的定义求出x1﹣1＝2k﹣3，x2﹣1＝k，从而可得x1＝2k﹣2，x2＝k+1，再代入计算即可得． 【解答】（1）解：∵方程是十字分式方程，可化为： ， ∴x1＝﹣2，x2＝﹣5， 故答案为：﹣2，﹣5． （2）解：∵十字分式方程的两个解分别为：x1＝a，x2＝b， ∴ab＝﹣4，a+b＝﹣5， ∴1 1， ， ， ， ． （3）解：方程是十字分式方程，可化为： ， 当k＞3时，2k﹣3﹣k＝k﹣3＞0， ∵关于x的十字分式方程的两个解分别为：x1，x2（k＞3，x1＞x2）， ∴x1﹣1＝2k﹣3，x2﹣1＝k， ∴x1＝2k﹣2，x2＝k+1 ，∴． 【点评】本题考查了利用完全平方公式求值、因式分解的应用等知识点，理解十字分式方程的定义是解题关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$