第03讲：带电粒子在匀强磁场中的运动【7大题型】-2024-2025学年高二下学期物理人教版（2019）选择性必修第二册精讲与精练高分突破考点专题系列

第03讲：带电粒子在匀强磁场中的运动 【考点归纳】 · 考点一：带电粒子在匀强磁场中圆周运动基本计算 · 考点二：带电微粒（考虑重力）在磁场中的运动 · 考点三：带电粒子在直边界磁场的运动 · 考点四：带电粒子在弧形边界磁场的运动 · 考点五：带电粒子的运动确定磁场范围问题 · 考点六：带电粒子在磁场中运动多解问题 · 考点七：带电粒子在匀强磁场中的圆周运动的问题 【知识梳理】 知识点01、带电粒子在匀强磁场中的运动 1．若v∥B，带电粒子以速度v做匀速直线运动，其所受洛伦兹力F＝0. 2．若v⊥B，此时初速度方向、洛伦兹力的方向均与磁场方向垂直，粒子在垂直于磁场方向的平面内运动． (1)洛伦兹力与粒子的运动方向垂直，只改变粒子速度的方向，不改变粒子速度的大小． (2)带电粒子在垂直于磁场的平面内做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力． 知识点02、带电粒子在磁场中做圆周运动的半径和周期 1．由qvB＝m，可得r＝. 2．由r＝和T＝，可得T＝.带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的周期与轨道半径和运动速度无关． 知识点03、带电粒子在匀强磁场中的圆周运动 1．圆心的确定：圆心位置的确定通常有以下两种基本方法： (1)已知入射方向和出射方向时，可以过入射点和出射点作垂直于入射方向和出射方向的直线，两条直线的交点就是圆弧轨道的圆心(如图甲所示，P为入射点，M为出射点)． (2)已知入射方向和出射点的位置时，可以过入射点作入射方向的垂线，连线入射点和出射点，作其中垂线，这两条垂线的交点就是圆弧轨道的圆心(如图乙所示，P为入射点，M为出射点)． 2．半径的确定 半径的计算一般利用几何知识解直角三角形．做题时一定要作好辅助线，由圆的半径和其他几何边构成直角三角形．由直角三角形的边角关系或勾股定理求解． 3．粒子在匀强磁场中运动时间的确定 (1)粒子在匀强磁场中运动一周的时间为T，当粒子运动轨迹的圆弧所对应的圆心角为α时，其运动时间t＝T(或t＝T)．确定圆心角时，利用好几个角的关系，即圆心角＝偏向角＝2倍弦切角． (2)当v一定时，粒子在匀强磁场中运动的时间t＝，l为带电粒子通过的弧长． 【题型探究】 题型一：带电粒子在匀强磁场中圆周运动基本计算 1．（23-24高二下·甘肃兰州·期中）如图所示，一带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动。若磁感应强度为B，粒子带电量为q（q＞0），质量为m，速度大小为v，不计重力，则粒子的轨道半径为（　　） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·浙江金华·期末）1932年，美国物理学家安德森利用放在匀强磁场中的云室来研究某种宇宙线粒子——正电子，并在云室中加入一块厚约6mm的铅板，借以减慢粒子的速度。当该粒子通过云室内的匀强磁场时，拍下粒子径迹的照片，如图所示。下列说法正确的是（　　） A．粒子是由下向上穿过铅板的 B．粒子穿过铅板后在磁场中做圆周运动的周期变小 C．粒子穿过铅板后在磁场中偏转的轨迹半径会变小 D．该匀强磁场的磁感应强度方向为垂直纸面向外 3．（22-23高二上·吉林·阶段练习）如图所示，一半径为R的圆形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，一质量为m、电荷量为q的负电荷（重力忽略不计）以速度v沿正对着圆心O的方向射入磁场，从磁场中射出时速度方向改变了角。磁场的磁感应强度大小为（　　） A． B． C． D． 题型二：带电微粒（考虑重力）在磁场中的运动 4．（23-24高二上·安徽安庆·阶段练习）如图甲所示，带电小球以一定的初速度竖直向上抛出，能够达到的最大高度为；若加上水平向里的匀强磁场（如图乙），且保持初速度仍为，小球上升的最大高度为，若加上水平向右的匀强电场（如图丙），且保持初速度仍为，小球上升的最大高度为；若加上竖直向上的匀强电场（如图丁），且保持初速度仍为，小球上升的最大高度为。不计空气阻力，则（　　） A．一定有 B．一定有 C．与无法比较 D．与无法比较 5．（2017·重庆万州·一模）如图所示，平行板电容器的两个极板与水平方向成θ角，极板间距为d，两极板M、N与一直流电源相连，且M板接电源正极，MN间电势差为U，现有一带电粒子以初速度v0进入并恰能沿图中所示水平直线从左向右通过电容器。若将电容器撤走，在该区域重新加上一个垂直于纸面的匀强磁场，使该粒子仍以原来初速度进入该区域后的运动轨迹不发生改变，则所加匀强磁场的磁感应强度方向和大小正确的是（ ） A．垂直于纸面向里 B．垂直于纸面向里 C．垂直于纸面向外 D．垂直于纸面向外 6．（23-24高二下·广东珠海·期末）如图所示，用绝缘轻丝线吊一质量为的带电塑料小球在竖直平面内摆动，水平磁场垂直于小球摆动的平面，当小球自图示位置摆到最低点时，悬线上的张力恰为零，若不计空气阻力，重力加速度为，则小球自右侧相同摆角处摆到最低点时悬线上的张力大小为（　　） A． B． C． D． 题型三：带电粒子在直边界磁场的运动 7．（24-25高二上·辽宁大连·期中）如图所示，在，的空间中有恒定的匀强磁场，磁感应强度的方向垂直于xOy平面向里，大小为B。现有一质量为m、电荷量为q的带正电粒子，从x轴上的P点沿着与x轴正方向成30°角的方向射入磁场。不计重力的影响，则下列有关说法中错误的是（　　） A．无论粒子的速率多大，粒子都不可能通过坐标原点 B．从x轴射出磁场的粒子在磁场中运动所经历的时间一定为 C．从y轴射出磁场的粒子在磁场中运动所经历的时间可能为 D．粒子在磁场中运动所经历的时间可能为 8．（24-25高二上·辽宁·期中）如图所示，两个质量相等的带电粒子a和b分别以速度和射入足够长平行边界匀强磁场，磁场宽度为d，两粒子的入射方向与磁场边界的夹角分别为和，两粒子同时由A点出发，同时到达点，不计粒子重力及粒子间的影响，则（　　） A．两粒子的周期之比为 B．两粒子的轨迹半径之比为 C．两粒子的电荷量之比为 D．两粒子的速度之比为 9．（23-24高二下·全国·单元测试）如图所示，磁感应强度为的匀强磁场的两条边界线平行，边界线之间的距离为，磁场方向垂直纸面向里，一重力忽略不计的带电粒子从左侧磁场边界的点以速度垂直边界线射入磁场，并从右侧边界的点射出磁场，射出磁场的速度方向与右侧边界线成60°角。下列说法正确的是（　　） A．粒子带正电 B．粒子轨迹半径为 C．粒子的比荷为 D．粒子在磁场中的运动时间为 题型四：带电粒子在弧形边界磁场的运动 10．（24-25高二下·全国）如图所示，圆形区域内存在着垂直于纸面向外的匀强磁场，比荷相同的两个粒子a、b沿直径方向从A点射入磁场中，分别从圆弧上的P、Q两点射出，不计粒子重力，则两粒子在磁场中（　　） A．运动经历时间之比为 B．做匀速圆周运动周期之比为 C．做匀速圆周运动的速率之比为 D．运动轨迹半径之比为 11．（24-25高二上·江西鹰潭·期中）如图所示为圆柱形区域的横截面，在该区域加沿圆柱轴线方向的匀强磁场。带电粒子（不计重力）第一次以v1速度沿截面直径入射，粒子飞出磁场区域时，速度方向偏转60°角；该带电粒子第二次以速度v2从同一点沿同一方向入射，粒子飞出磁场区域时，速度方向偏转90°角，则带电粒子第一次和第二次在磁场中运动的（　　） A．半径之比为B．速度之比为 C．速度之比为D．时间之比为 12．（24-25高二上·山东·期中）如图所示，半径为R的圆形区域内存在垂直圆面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场。带电粒子从A点正对着圆心O的方向射入磁场，偏转后恰好从C点离开。已知带电粒子的质量为m，电荷量为q，∠AOC = 120°，不计粒子重力，则下列说法正确的是（　　） A．粒子带负电 B．粒子在磁场中运动的时间为 C．粒子在磁场中运动的动量大小为 D．若只改变入射速度方向，粒子不可能经过O点 题型五：带电粒子的运动确定磁场范围问题 13．（23-24高二上·山西长治·期末）如图所示，矩形ABCD中、。其内部有一圆形匀强磁场区域，磁场的磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向外。一个质量为m、电荷量为q（q>0）的带电粒子，从CD的中点以速度v垂直于CD射入正方形区域，经圆形磁场偏转后沿着AC方向从C点飞出矩形区域，不计粒子的重力，下列说法正确的是（　　）    A．粒子在磁场里运动的时间为 B．粒子在磁场里运动的时间为 C．圆形磁场区域的最小面积为 D．圆形磁场区域的最小面积为 14．（21-22高二下·江苏南通·阶段练习）如图所示，圆形区域存在磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里的匀强磁场.一质量为m，电荷量为q的粒子沿平行于直径AC的方向射入磁场，射入点到直径AC的距离为磁场区域半径的一半，粒子从D点射出磁场时的速率为v，不计粒子的重力。则（　　） A．圆形磁场区域的半径为 B．圆形磁场区域的半径为 C．粒子在磁场中运动的时间为 D．粒子在磁场中运动的时间为 15．（2021·安徽安庆·一模）如图所示，在平面上以O为圆心的圆形区域内存在匀强磁场（图中未画出），磁场方向垂直于平面向外。一个质量为m、电荷量为q的带负电粒子，从原点O以初速度大小为沿y轴负方向开始运动，后来粒子经过x轴上的A点，此时速度方向与x轴的夹角为。A到O的距离为d，不计粒子的重力，则圆形磁场区域的半径为（　　） A． B． C． D． 题型六：带电粒子在磁场中运动多解问题 16．（23-24高二下·江苏扬州·期中）如图所示，直线MN与水平方向成60°角，MN的右上方存在垂直纸面向外的匀强磁场，左下方存在垂直纸面向里的匀强磁场，两磁场的磁感应强度大小均为B．一粒子源位于上的点，能水平向右发射不同速率、质量为m、电荷量为的同种粒子（重力不计，粒子间的相互作用不计），所有粒子均能通过上的点，已知，则粒子的速度可能是（    ） A． B． C． D． 17．（23-24高二上·山东青岛·期末）长度为L的水平板上方区域存在垂直纸面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场，从距水平板中心正上方的P点处以水平向右的速度释放一个质量为m、电荷量为e的电子，若电子能打在水平板上，速度应满足（　　） A． B． C． D．或 18．（23-24高二上·重庆沙坪坝·期末）如图，空间分布着磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向外的匀强磁场。关于O点对称的薄板MN的长度为3a，O点到MN的距离为a。O点有一粒子源，能沿纸面内任意方向发射速率相同、质量为m、电荷量为q的正电粒子。已知水平向右发射的粒子恰能垂直打在MN上，打到MN上、下表面的粒子均被吸收。不计粒子的重力，则被MN吸收的粒子在磁场中运动的最长时间为（　　）    A． B． C． D． 题型七：带电粒子在匀强磁场中的圆周运动的问题 19．（23-24高二下·广东东莞·阶段练习）真空区域有宽度为、磁感应强度大小为B的匀强磁场，磁场方向如图所示，MN、PQ是磁场的边界。MN边界上有一个点状的粒子放射源S，它可以向各个方向发射质量为m、电荷量为+q（q>0）、速率为v（未知）的带电粒子。若粒子沿着与MN夹角为37°的方向射入磁场中，刚好未能从PQ边界射出，在磁场中运动时间t（未知）后从MN边界离开。不计粒子的重力，sin37°=0.6，cos37°=0.8。求： (1)带电粒子在磁场中运动的速率v和时间t； (2)PQ边界有粒子射出的长度x。 20．（24-25高二上·湖北·期中）如图所示，矩形区域内有垂直纸面向外的匀强磁场，质量为、带电荷量为的粒子以某初速度从点沿方向垂直射入磁场中，从点离开磁场。已知磁感应强度为，，粒子只受磁场力。求： (1)粒子的初速度大小； (2)若将粒子的初速度增大为原来的两倍，仍从点沿方向垂直射入磁场中，求粒子在磁场中运动的时间。 21．（23-24高二下·湖南长沙·期末）如图所示，真空区域有宽度为L、磁感应强度为B的矩形匀强磁场，方向垂直于纸面向里，MN、PQ是磁场的边界。质量为m、电荷量为q的带正电粒子（不计重力）沿着与MN夹角为的方向垂直射入磁场中，刚好垂直于PQ边界射出，并沿半径方向垂直进入圆形磁场。圆形磁场半径为L，方向垂直纸面向外，粒子最后从圆心O的正下方点离开磁场。求： （1）粒子在矩形磁场中运动的轨迹半径； （2）粒子射入磁场的速度大小； （3）圆形磁场的磁感应强度。 【高分达标】 一、单选题 22．（24-25高二下·全国）质量为m的带电粒子a，仅在洛伦兹力作用下做半径为r的匀速圆周运动。在a经过的轨迹上放置不带电的粒子b，则a与b发生完全非弹性碰撞融为一个整体（不计质量和电荷量损失），则该整体在磁场中做圆周运动的半径（    ） A．大于r B．小于r C．等于r D．无法判断 23．（24-25高二下·全国·课后作业）如图所示，在虚线所包围的圆形区域内有方向垂直于圆面向外的匀强磁场，从磁场边缘的A点沿半径方向射入一束速率不等的质子，不计质子重力，这些质子在磁场里运动的过程中（    ） A．运动时间均相等 B．速率越大的质子运动时间越长 C．轨迹半径越大的质子运动时间越短 D．轨迹半径越大的质子向心加速度越小 24．（24-25高二下·全国·课后作业）一带电粒子（不计重力）在匀强磁场中沿顺时针方向做半径为R的匀速圆周运动，当它运动到某个位置时，磁场突然发生变化（不考虑磁场变化产生的电场），磁感应强度大小变为原来的，方向与原磁场方向相反，则磁场发生变化后粒子（    ） A．沿逆时针方向做半径为的圆周运动 B．沿顺时针方向做半径为的圆周运动 C．沿逆时针方向做半径为2R的圆周运动 D．沿顺时针方向做半径为2R的圆周运动 25．（24-25高二上·辽宁鞍山·期中）如图，a、b、c三条长平行线间有匀强磁场，bc间磁场感应强度方向垂直于纸面向外，ab间磁感应强度垂直于纸面向里，磁感应强度大小相等。一带正电的粒子垂直于a边界进入磁场，仅在磁场力的作用下到达c线上的Q点（图中未标出）时速度方向竖直向下，且已知线段PQ垂直于abc线。则ab线与bc线间距的比值为（　　） A．0.5 B． C． D． 26．（24-25高二上·辽宁鞍山·期中）空间中有垂直于纸面的匀强磁场。场中有三角形，其中，。某时刻，两个不计重力，电荷量绝对值相等、质量为的粒子和质量为的粒子分别从、两点开始运动。其中粒子的速率为，速度垂直于向上。粒子速度未知。两粒子恰好在各自第一次到达点时相遇。则粒子的速率为（　　） A． B． C． D． 27．（24-25高二上·河北邯郸·期中）如图所示的圆形区域内存在垂直纸面向外的匀强磁场（图中未画出），О点为磁场的圆心，水平虚线为圆的一条直径，S点有一粒子发射源能正对圆心О发射一系列速度大小不同、比荷均为k的正粒子，M、N为虚线下方圆弧的三等分点，粒子发射速率为时，粒子在磁场中运动并从M点离开磁场.则下列说法正确的是（　　） A．圆形磁场的半径为 B．磁感应强度大小为 C．从N点离开的粒子速率为 D．从N点离开的粒子在磁场中运动的时间为 28．（24-25高二上·全国·课后作业）如图所示，圆形区域内存在着垂直于纸面向外的匀强磁场，比荷相同的两个粒子沿直径AB方向从A点射入磁场中，分别从圆弧上的P、Q两点射出，不计粒子重力，对于从P点射出的粒子和从Q点射出的粒子，下列说法正确的是（　　） A．两粒子在磁场中运动经历时间之比为 B．两粒子在磁场中做匀速圆周运动周期之比为 C．两粒子在磁场中做匀速圆周运动的速率之比为 D．两粒子在磁场中运动轨迹半径之比为 29．（24-25高二上·全国·课后作业）如图所示，半径为R的圆形区域中充满了垂直纸面向外的匀强磁场，O为圆心，AO与水平方向的夹角为。现有带正电粒子a从A点沿水平方向以大小为的速度垂直磁场射入，其离开磁场时，速度方向刚好改变了；另一带负电粒子b以与粒子a大小相同的速度从C点沿CO方向垂直磁场射入。已知a、b两粒子的比荷之比为，不计粒子的重力和两粒子间的相互作用。下列说法不正确的是（　　） A．a、b两粒子做圆周运动的半径之比为 B．b粒子竖直向下射出磁场 C．b粒子在磁场中运动的时间为 D．两粒子在圆形边界的出射点间的距离为R 二、多选题 30．（24-25高二上·北京·期中）如图所示，矩形虚线框内有一匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里。、、是三个质量和电荷量都相等的带电粒子，它们从边上的中点沿垂直于磁场的方向射入磁场，图中画出了它们在磁场中的运动轨迹。粒子重力不计。下列说法正确的是（　　） A．粒子带正电 B．粒子的动能最大 C．粒子在磁场中运动的时间最长 D．粒子在磁场中运动时的向心力最大 31．（24-25高二上·辽宁·期中）如图，M、N是真空中宽为d的匀强磁场的左右边界（边界上有磁场），磁感应强度为B，方向垂直纸面向里。大量比荷为k的正离子从M边界上的P点以速率v＝kBd进入磁场，速度方向如图所示在180°的范围内，粒子分布均匀，不计离子重力，也不计离子间的相互作用，磁场区域足够长。则（　　） A．能从边界N飞出磁场的离子占粒子总数的 B．从边界飞出磁场的离子中，在磁场中运动的最短时间为 C．磁场中有离子经过的区域的面积 D．从边界N飞出磁场的离子中，飞出点与P点距离小于或等于 32．（24-25高二上·山东滨州·期中）如图所示，矩形边界内存在磁感应强度大小为的匀强磁场，方向垂直纸面向里，、边足够长，边长为。现有质量为、电荷量为的不同速率的带正电粒子，从的中点射入磁场且速度方向与成30°角，不计粒子重力及粒子间的相互作用，下列说法正确的是（    ） A．粒子在磁场中运动的最长时间为 B．从边射出的粒子的最小速度为 C．从边射出的粒子的最小速度为 D．边上有粒子射出的区域长度为 33．（24-25高二上·河南洛阳·阶段练习）如图所示，一个半径为R的圆形磁场区域，磁感应强度大小为B，磁感应强度方向垂直纸面向里。一个粒子源从圆上的A点向各个方向不停地发射出相同速率的带正电的粒子，带电粒子的质量均为m，所带电荷量均为q，运动的半径均为r。下列说法正确的是（　　） A．若，则粒子在磁场中运动的最长时间为 B．若，则粒子能打在圆形磁场圆周上的范围是整个圆周 C．若，则粒子在磁场中运动的最长时间为 D．若，则粒子能打在圆形磁场圆周上的范围是六分之一个圆周 34．（24-25高二上·重庆沙坪坝·期中）如图，在光滑绝缘水平桌面上建立平面直角坐标系，其第一象限存在匀强磁场B，方向垂直桌面向里。从P点垂直轴滚入一个带电金属小球甲，随后沿着轨迹b离开磁场，在磁场中经历的时间为t。现在轨迹b上的Q点静止放置另一金属小球乙，再次从P点垂直轴以相同速度滚入带电金属小球甲。小球甲、乙均可视为质点，二者发生碰撞并结合在一起后，若结合体（     ） A．沿着轨迹a离开磁场，则小球甲、乙带同种电荷 B．继续沿着轨迹b离开磁场，则小球甲、乙带异种电荷 C．继续沿着轨迹b离开磁场，则磁场中运动的总时间大于t D．沿着轨迹c离开磁场，则结合体在磁场运动时的角速度比甲单独运动时的小 35．（24-25高二上·贵州贵阳·阶段练习）如图所示，半径为R的圆形区域内存在匀强磁场，方向垂直于纸面向里。边界上C点有一粒子源，可平行于纸面向磁场内任意方向发射质量为m、电荷量为q的带正电粒子，粒子速度大小均为v0.不计粒子重力以及粒子间的相互作用，所有粒子运动半径均为R且离开磁场时速度方向均与AB平行，AB、CD为互相垂直的直径，则（　　） A．粒子离开磁场时速度方向平行AB向下 B．磁感应强度大小为 C．经过圆心O的粒子在磁场中运动的时间为 D．沿着CO方向射入的粒子在磁场中运动的时间为 三、解答题 36．（23-24高二下·广东深圳·期中）如图所示，一个电子以垂直于磁感应强度B并垂直于磁场边界的速度v射入宽度为d的匀强磁场中，穿出磁场时速度方向和原来射入方向的夹角为，求： (1)电子的比荷； (2)电子穿越磁场的时间t。 37．（24-25高二上·辽宁·期中）如图所示，纸面内长为2L、宽为L的矩形abcd区域内存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁场的磁感应强度大小为B。位于d处的粒子源可以发射质量为m、电荷量为q（q>0）、速率为的粒子，发射方向在纸面内沿da、dc间的任一方向。不计粒子重力，不考虑粒子间的作用。求： (1)沿da方向发射出的粒子从ab边界射出磁场时，速度方向与ab的夹角； (2)从c点射出的粒子在磁场中运动的时间； (3)bc边界上有粒子射出的区间长度。 38．（23-24高二下·山东济宁·期末）如图所示，一圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，圆形区域半径为R，圆心为O，圆形边界上有P、Q、A三点，其中P、Q两点连线为直径，OP与OA间的夹角为60°。现有大量带负电的粒子以不同的速率从P点射入圆形区域，入射方向均与OP成角，带电粒子质量为m，电荷量为，不计粒子重力及相互间作用。 （1）求从Q点射出磁场区域的粒子在磁场中的运动时间t； （2）求从A点射出磁场区域的粒子速度大小v； （3）垂直PQ连线方向射出磁场区域的粒子，出射点为C（图中未画出），求C点到PQ连线的距离d。 39．（23-24高二下·广东珠海·期末）如图所示，在平面的第一象限内存在方向垂直纸面向里，磁感应强度大小为的匀强磁场，第四象限内存在沿轴正方向，大小为的匀强电场。一带电粒子从轴上的（）点射入磁场，速度方向与轴正方向的夹角。粒子经过磁场偏转后从（图中未画出）点垂直穿过轴进入匀强电场，其运动轨迹与轴交于（图中未画出）点。已知，粒子电荷量为，质量为，重力不计。求： （1）粒子的速度大小； （2）点与点的距离。 40．（24-25高二上·湖北·期中）如图所示，在直角坐标系中，区域内有垂直坐标平面向里的匀强磁场Ⅰ。区域内有垂直坐标平面向外的匀强磁场Ⅱ，y轴左侧存在垂直坐标平面向外的矩形磁场Ⅲ（位置和范围未知），其中磁场Ⅱ与磁场Ⅲ的磁磁感应强度相同。一质量为m，带电量q的带正电粒子从点以平行于x轴的初速度射入磁场Ⅰ，经过一段时间粒子从点离开磁场Ⅰ进入磁场Ⅱ，经磁场Ⅱ偏转后，从点返回磁场Ⅰ。并从y轴上的Q点进入y轴左侧，经过矩形磁场Ⅲ的偏转后又回到Q点，到Q点时速度方向与y轴负方向夹角为。不计粒子重力。 (1)区域内匀强磁场的磁感应强度大小； (2)粒子从P点运动到第一次经过Q点所用时间t； (3)求矩形磁场区域的最小面积。 41．（23-24高二下·安徽亳州·期末）如图，在xOy平而的第二象限内有一半径为L的圆形磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里，圆形边界与两坐标轴相切，在第一象限某区域有界匀强磁场边界是等腰梯形，磁场的方向垂直于xOy平面向外，磁感应强度大小为量。一带负电的粒子从切点A以某一初速度与x轴负方向成角射入圆形磁场，粒子沿x轴正方向射入第一象限，经等腰梯形磁场后再经坐标原点O射出第一象限，速度方向与x轴负方向成。已知带电粒子的质量为m，电量为，不计带电粒子重力，求： （1）粒子的初速度的大小； （2）粒子由A点运动到O点的时间； （3）有界等腰梯形磁场的最小面积。 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲：带电粒子在匀强磁场中的运动 【考点归纳】 · 考点一：带电粒子在匀强磁场中圆周运动基本计算 · 考点二：带电微粒（考虑重力）在磁场中的运动 · 考点三：带电粒子在直边界磁场的运动 · 考点四：带电粒子在弧形边界磁场的运动 · 考点五：带电粒子的运动确定磁场范围问题 · 考点六：带电粒子在磁场中运动多解问题 · 考点七：带电粒子在匀强磁场中的圆周运动的问题 【知识梳理】 知识点01、带电粒子在匀强磁场中的运动 1．若v∥B，带电粒子以速度v做匀速直线运动，其所受洛伦兹力F＝0. 2．若v⊥B，此时初速度方向、洛伦兹力的方向均与磁场方向垂直，粒子在垂直于磁场方向的平面内运动． (1)洛伦兹力与粒子的运动方向垂直，只改变粒子速度的方向，不改变粒子速度的大小． (2)带电粒子在垂直于磁场的平面内做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力． 知识点02、带电粒子在磁场中做圆周运动的半径和周期 1．由qvB＝m，可得r＝. 2．由r＝和T＝，可得T＝.带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的周期与轨道半径和运动速度无关． 知识点03、带电粒子在匀强磁场中的圆周运动 1．圆心的确定：圆心位置的确定通常有以下两种基本方法： (1)已知入射方向和出射方向时，可以过入射点和出射点作垂直于入射方向和出射方向的直线，两条直线的交点就是圆弧轨道的圆心(如图甲所示，P为入射点，M为出射点)． (2)已知入射方向和出射点的位置时，可以过入射点作入射方向的垂线，连线入射点和出射点，作其中垂线，这两条垂线的交点就是圆弧轨道的圆心(如图乙所示，P为入射点，M为出射点)． 2．半径的确定 半径的计算一般利用几何知识解直角三角形．做题时一定要作好辅助线，由圆的半径和其他几何边构成直角三角形．由直角三角形的边角关系或勾股定理求解． 3．粒子在匀强磁场中运动时间的确定 (1)粒子在匀强磁场中运动一周的时间为T，当粒子运动轨迹的圆弧所对应的圆心角为α时，其运动时间t＝T(或t＝T)．确定圆心角时，利用好几个角的关系，即圆心角＝偏向角＝2倍弦切角． (2)当v一定时，粒子在匀强磁场中运动的时间t＝，l为带电粒子通过的弧长． 【题型探究】 题型一：带电粒子在匀强磁场中圆周运动基本计算 1．（23-24高二下·甘肃兰州·期中）如图所示，一带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动。若磁感应强度为B，粒子带电量为q（q＞0），质量为m，速度大小为v，不计重力，则粒子的轨道半径为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】粒子做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得 解得粒子轨道半径 故选D。 2．（23-24高二上·浙江金华·期末）1932年，美国物理学家安德森利用放在匀强磁场中的云室来研究某种宇宙线粒子——正电子，并在云室中加入一块厚约6mm的铅板，借以减慢粒子的速度。当该粒子通过云室内的匀强磁场时，拍下粒子径迹的照片，如图所示。下列说法正确的是（　　） A．粒子是由下向上穿过铅板的 B．粒子穿过铅板后在磁场中做圆周运动的周期变小 C．粒子穿过铅板后在磁场中偏转的轨迹半径会变小 D．该匀强磁场的磁感应强度方向为垂直纸面向外 【答案】C 【详解】A．粒子穿过铅板后速度减小，粒子在磁场中运动半径减小，由图可知正电子从上向下穿过铅板。故A错误； B．根据洛伦兹力提供向心力 其中 可得 故粒子穿过铅板后在磁场中做圆周运动的周期不变。故B错误； C．根据牛顿第二定律 解得 粒子穿过铅板后速度减小，因此在磁场中做圆周运动的半径减小。故C正确； D．由左手定则可知，磁场的方向垂直纸面向里。故D错误。 故选C。 3．（22-23高二上·吉林·阶段练习）如图所示，一半径为R的圆形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，一质量为m、电荷量为q的负电荷（重力忽略不计）以速度v沿正对着圆心O的方向射入磁场，从磁场中射出时速度方向改变了角。磁场的磁感应强度大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图所示 根据几何关系可知 根据洛伦兹力提供向心力有 可知 故选B。 题型二：带电微粒（考虑重力）在磁场中的运动 4．（23-24高二上·安徽安庆·阶段练习）如图甲所示，带电小球以一定的初速度竖直向上抛出，能够达到的最大高度为；若加上水平向里的匀强磁场（如图乙），且保持初速度仍为，小球上升的最大高度为，若加上水平向右的匀强电场（如图丙），且保持初速度仍为，小球上升的最大高度为；若加上竖直向上的匀强电场（如图丁），且保持初速度仍为，小球上升的最大高度为。不计空气阻力，则（　　） A．一定有 B．一定有 C．与无法比较 D．与无法比较 【答案】C 【详解】A．题图甲中，由竖直上抛运动的最大高度公式得 h1= 题图丙中，当加上电场时，由运动的分解可知，在竖直方向上，有 解得 h3= 所以 h1=h3 故A错误； D．题图乙中，洛伦兹力改变速度的方向，当小球在磁场中运动到最高点时，小球应有水平速度，设此时小球的动能为Ek，则由能量守恒定律得 mgh2＋Ek=mv02 又由于 mv02=mgh1 所以 h1>h2 D错误； BC．题图丁中，因小球电性未知，则电场力方向不确定，则h4可能大于h1，也可能小于h1，因为h1>h2，所以h2与h4也无法比较，故C正确，B错误。 故选C。 5．（2017·重庆万州·一模）如图所示，平行板电容器的两个极板与水平方向成θ角，极板间距为d，两极板M、N与一直流电源相连，且M板接电源正极，MN间电势差为U，现有一带电粒子以初速度v0进入并恰能沿图中所示水平直线从左向右通过电容器。若将电容器撤走，在该区域重新加上一个垂直于纸面的匀强磁场，使该粒子仍以原来初速度进入该区域后的运动轨迹不发生改变，则所加匀强磁场的磁感应强度方向和大小正确的是（ ） A．垂直于纸面向里 B．垂直于纸面向里 C．垂直于纸面向外 D．垂直于纸面向外 【答案】C 【详解】根据题意可知，粒子做直线运动，则电场力与重力的合力与速度在同一直线上，所以电场力只能垂直极板向上，受力如图所示 因为上极板带正电，电场力方向与板间场强方向相反，故微粒带负电；根据受力图，粒子做直线运动，则电场力与重力的合力与速度方向反向，在竖直方向 在该区域重新加上一个垂直于纸面的匀强磁场，粒子做直线运动，由于粒子受到的洛伦兹力的方向始终与速度的方向垂直，则根据二力平衡可知，洛伦兹力的方向向上，根据左手定则可知，磁场的方向垂直于纸面向外。根据二力平衡得 所以 故C正确ABD错误。 故选C。 6．（23-24高二下·广东珠海·期末）如图所示，用绝缘轻丝线吊一质量为的带电塑料小球在竖直平面内摆动，水平磁场垂直于小球摆动的平面，当小球自图示位置摆到最低点时，悬线上的张力恰为零，若不计空气阻力，重力加速度为，则小球自右侧相同摆角处摆到最低点时悬线上的张力大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设小球自题图示位置摆到最低点时速度大小为，因洛伦兹力不做功，只有重力做功，机械能守恒，根据机械能守恒定律 小球自左方摆到最低点时，悬线上的张力恰为零，可知洛伦兹力方向向上，在最低点合力提供向心力，由牛顿第二定律 当小球自右方相同摆角处摆到最低点时，根据左手定则，洛伦兹力方向向下，摆动过程中洛伦兹力也不做功，机械能守恒，则小球摆到最低点时速度仍为，由牛顿第二定律 联立解得 故选C。 题型三：带电粒子在直边界磁场的运动 7．（24-25高二上·辽宁大连·期中）如图所示，在，的空间中有恒定的匀强磁场，磁感应强度的方向垂直于xOy平面向里，大小为B。现有一质量为m、电荷量为q的带正电粒子，从x轴上的P点沿着与x轴正方向成30°角的方向射入磁场。不计重力的影响，则下列有关说法中错误的是（　　） A．无论粒子的速率多大，粒子都不可能通过坐标原点 B．从x轴射出磁场的粒子在磁场中运动所经历的时间一定为 C．从y轴射出磁场的粒子在磁场中运动所经历的时间可能为 D．粒子在磁场中运动所经历的时间可能为 【答案】D 【详解】A．带正电的粒子从P点沿与x轴正方向成30°角的方向射入磁场中，则圆心在过P点与速度方向垂直的直线上，如图所示 粒子在磁场中要想到达O点，转过的圆心角肯定大于180°，因磁场有边界，故粒子不可能通过坐标原点。故A正确，与题意不符； BCD．根据 又 联立，解得 由于P点的位置不确定，所以粒子在磁场中运动的轨迹圆弧对应的圆心角也不同，最大的圆心角是轨迹圆弧与y轴相切时即300°，运动时间为 可知从x轴射出磁场的粒子在磁场中运动所经历的时间一定为。而最小的圆心角是P点在坐标原点时即120°，运动时间为 可知从y轴射出磁场的粒子在磁场中运动所经历的时间范围 故BC正确，与题意不符；D错误，与题意相符。 本题选错误的，故选D。 8．（24-25高二上·辽宁·期中）如图所示，两个质量相等的带电粒子a和b分别以速度和射入足够长平行边界匀强磁场，磁场宽度为d，两粒子的入射方向与磁场边界的夹角分别为和，两粒子同时由A点出发，同时到达点，不计粒子重力及粒子间的影响，则（　　） A．两粒子的周期之比为 B．两粒子的轨迹半径之比为 C．两粒子的电荷量之比为 D．两粒子的速度之比为 【答案】D 【详解】A．由题图可知，带电粒子a和b在磁场中运动的圆心角分别为和。即 由于两带电粒子运动时间相同，则可得两粒子的周期之比为 故A错误； B．根据几何关系，由题图可得，两粒子的轨迹半径分别为 则两粒子的轨迹半径之比为 故B错误； CD．两粒子在磁场中做匀速圆周运动，根据牛顿第二定律 可得粒子的轨迹半径为 运动的周期为 则可得两粒子的电荷量之比为 两粒子的速度之比为 故C错误，D正确。 故选D。 9．（23-24高二下·全国·单元测试）如图所示，磁感应强度为的匀强磁场的两条边界线平行，边界线之间的距离为，磁场方向垂直纸面向里，一重力忽略不计的带电粒子从左侧磁场边界的点以速度垂直边界线射入磁场，并从右侧边界的点射出磁场，射出磁场的速度方向与右侧边界线成60°角。下列说法正确的是（　　） A．粒子带正电 B．粒子轨迹半径为 C．粒子的比荷为 D．粒子在磁场中的运动时间为 【答案】C 【详解】A．粒子以速度垂直左侧边界线射入磁场，从右侧边界穿出磁场，根据左手定则，可知粒子带负电，选项A错误； B．粒子轨迹如图所示，由几何知识可知，轨迹对应的圆心角，为半径，则 选项B错误； C．带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力可得 解得 其中 可得 选项C正确； D．粒子在磁场中的运动时间 其中 解得 选项D错误。 故选C。 题型四：带电粒子在弧形边界磁场的运动 10．（24-25高二下·全国）如图所示，圆形区域内存在着垂直于纸面向外的匀强磁场，比荷相同的两个粒子a、b沿直径方向从A点射入磁场中，分别从圆弧上的P、Q两点射出，不计粒子重力，则两粒子在磁场中（　　） A．运动经历时间之比为 B．做匀速圆周运动周期之比为 C．做匀速圆周运动的速率之比为 D．运动轨迹半径之比为 【答案】D 【详解】AB．作出带电粒子运动轨迹如图所示 根据几何关系可知，粒子b在磁场中转过的角度为，粒子a在磁场中转过的角度为，洛伦兹力提供粒子做圆周运动的向心力，有 结合圆周运动的知识有 因此周期 两粒子比荷相同且在同一磁场中做圆周运动，可得周期相同，可得 则 选项AB错误； CD．设圆形磁场的半径为R，根据几何关系可得 解得 根据 可得 选项C错误，D正确。 故选D。 11．（24-25高二上·江西鹰潭·期中）如图所示为圆柱形区域的横截面，在该区域加沿圆柱轴线方向的匀强磁场。带电粒子（不计重力）第一次以v1速度沿截面直径入射，粒子飞出磁场区域时，速度方向偏转60°角；该带电粒子第二次以速度v2从同一点沿同一方向入射，粒子飞出磁场区域时，速度方向偏转90°角，则带电粒子第一次和第二次在磁场中运动的（　　） A．半径之比为 B．速度之比为 C．速度之比为 D．时间之比为 【答案】A 【详解】ABC．如图所示 设圆柱形区域的半径为R，有几何关系可得 ， 则带电粒子第一次和第二次在磁场中运动的半径之比为 根据洛伦兹力提供向心力可得 解得 可得速度之比为 故A正确，BC错误； D．粒子在磁场中的运动时间为 由图可知 ， 则时间之比为 故D错误。 故选A。 12．（24-25高二上·山东·期中）如图所示，半径为R的圆形区域内存在垂直圆面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场。带电粒子从A点正对着圆心O的方向射入磁场，偏转后恰好从C点离开。已知带电粒子的质量为m，电荷量为q，∠AOC = 120°，不计粒子重力，则下列说法正确的是（　　） A．粒子带负电 B．粒子在磁场中运动的时间为 C．粒子在磁场中运动的动量大小为 D．若只改变入射速度方向，粒子不可能经过O点 【答案】C 【详解】A．根据左手定则可判断粒子带正电，故A错误； B．粒子轨迹如图所示 可知粒子速度方向改变了60°，粒子在磁场中运动的时间为 故B错误； C．由几何关系知粒子的轨迹半径为 由洛伦兹力提供向心力可知 粒子在磁场中运动的动量大小为 解得 故C正确； D．由于粒子轨迹半径 所以只改变入射速度的方向，粒子可能经过O点，故D错误。 故选C。 题型五：带电粒子的运动确定磁场范围问题 13．（23-24高二上·山西长治·期末）如图所示，矩形ABCD中、。其内部有一圆形匀强磁场区域，磁场的磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向外。一个质量为m、电荷量为q（q>0）的带电粒子，从CD的中点以速度v垂直于CD射入正方形区域，经圆形磁场偏转后沿着AC方向从C点飞出矩形区域，不计粒子的重力，下列说法正确的是（　　）    A．粒子在磁场里运动的时间为 B．粒子在磁场里运动的时间为 C．圆形磁场区域的最小面积为 D．圆形磁场区域的最小面积为 【答案】C 【详解】AB．依题意，该粒子的运动轨迹如图所示    由几何关系可知 解得 可知粒子在磁场中轨迹所对的圆心角为，所以粒子在磁场里运动的时间为 又 联立，解得 故AB错误； CD．粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，可得 当ab为匀强磁场的直径时，圆形磁场面积最小，设其半径为R，由几何关系可得 可得最小面积为 联立，解得 故C正确；D错误。 故选C。 14．（21-22高二下·江苏南通·阶段练习）如图所示，圆形区域存在磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里的匀强磁场.一质量为m，电荷量为q的粒子沿平行于直径AC的方向射入磁场，射入点到直径AC的距离为磁场区域半径的一半，粒子从D点射出磁场时的速率为v，不计粒子的重力。则（　　） A．圆形磁场区域的半径为 B．圆形磁场区域的半径为 C．粒子在磁场中运动的时间为 D．粒子在磁场中运动的时间为 【答案】B 【详解】粒子运动轨迹如图所示 由几何关系可得粒子在磁场中偏转60°，则在磁场中运动的时间为，即 由几何关系可得四边形ODO′E是菱形，则圆形区域中匀强磁场的半径R与粒子运动的轨迹半径r相等，有 解得 则磁场半径为 ACD错误，B正确。 故选B。 15．（2021·安徽安庆·一模）如图所示，在平面上以O为圆心的圆形区域内存在匀强磁场（图中未画出），磁场方向垂直于平面向外。一个质量为m、电荷量为q的带负电粒子，从原点O以初速度大小为沿y轴负方向开始运动，后来粒子经过x轴上的A点，此时速度方向与x轴的夹角为。A到O的距离为d，不计粒子的重力，则圆形磁场区域的半径为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】粒子的运动轨迹如图所示，设粒子运动的半径为R，由几何关系可知 解得 则圆形磁场区域的半径为 故选B。 题型六：带电粒子在磁场中运动多解问题 16．（23-24高二下·江苏扬州·期中）如图所示，直线MN与水平方向成60°角，MN的右上方存在垂直纸面向外的匀强磁场，左下方存在垂直纸面向里的匀强磁场，两磁场的磁感应强度大小均为B．一粒子源位于上的点，能水平向右发射不同速率、质量为m、电荷量为的同种粒子（重力不计，粒子间的相互作用不计），所有粒子均能通过上的点，已知，则粒子的速度可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】粒子可能在两个磁场间做多次运动，画出粒子可能的轨迹，如图所示 所有粒子对应的圆心角均为，由几何关系可知 根据洛伦兹力提供向心力，则有 解得 当时，可得 故选C。 17．（23-24高二上·山东青岛·期末）长度为L的水平板上方区域存在垂直纸面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场，从距水平板中心正上方的P点处以水平向右的速度释放一个质量为m、电荷量为e的电子，若电子能打在水平板上，速度应满足（　　） A． B． C． D．或 【答案】C 【详解】电子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，则有 解得 根据分析，当半径很小或者半径很大时，电子均不能够到达水平板上，两个临界点轨迹分别与水平板相切、轨迹恰好经过水平板两端点，如图所示 根据几何关系可知 ， 解得 或 则有 故选C。 18．（23-24高二上·重庆沙坪坝·期末）如图，空间分布着磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向外的匀强磁场。关于O点对称的薄板MN的长度为3a，O点到MN的距离为a。O点有一粒子源，能沿纸面内任意方向发射速率相同、质量为m、电荷量为q的正电粒子。已知水平向右发射的粒子恰能垂直打在MN上，打到MN上、下表面的粒子均被吸收。不计粒子的重力，则被MN吸收的粒子在磁场中运动的最长时间为（　　）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】粒子在磁场中运动轨迹所对圆心角越大，在磁场中运动的时间越长，由题可知，水平向右发射的粒子恰能垂直打在MN上，故粒子粒子轨迹的半径为a，打到MN上、下表面的粒子均被吸收，如图所示有两种情况    打在MN上表面时，粒子运动轨迹最大的圆心角为，当粒子打在MN下表面时，若OP为轨迹圆的弦，则轨迹所对圆心角最大，其中 故粒子运动轨迹最大的圆心角为 根据可知 粒子在磁场中运动的时间为 故粒子在磁场中运动的最长时间为 故选A。 题型七：带电粒子在匀强磁场中的圆周运动的问题 19．（23-24高二下·广东东莞·阶段练习）真空区域有宽度为、磁感应强度大小为B的匀强磁场，磁场方向如图所示，MN、PQ是磁场的边界。MN边界上有一个点状的粒子放射源S，它可以向各个方向发射质量为m、电荷量为+q（q>0）、速率为v（未知）的带电粒子。若粒子沿着与MN夹角为37°的方向射入磁场中，刚好未能从PQ边界射出，在磁场中运动时间t（未知）后从MN边界离开。不计粒子的重力，sin37°=0.6，cos37°=0.8。求： (1)带电粒子在磁场中运动的速率v和时间t； (2)PQ边界有粒子射出的长度x。 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）粒子刚好未能从边界射出磁场，轨迹如图所示 根据几何关系可知 解得 根据洛伦兹力提供向心力，有 解得 粒子运动的周期 粒子运动的时间 （2）当粒子初速度平行MN时，轨迹如图所示 根据几何关系可知 由图甲知 则PQ边界有粒子射出的长度 20．（24-25高二上·湖北·期中）如图所示，矩形区域内有垂直纸面向外的匀强磁场，质量为、带电荷量为的粒子以某初速度从点沿方向垂直射入磁场中，从点离开磁场。已知磁感应强度为，，粒子只受磁场力。求： (1)粒子的初速度大小； (2)若将粒子的初速度增大为原来的两倍，仍从点沿方向垂直射入磁场中，求粒子在磁场中运动的时间。 【答案】(1)； (2) 【详解】（1）由题意知，粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径为 洛伦兹力提供向心力有 解得 （2）洛伦兹力提供向心力有 解得 粒子将从MQ边射出，设偏向角为，有 解得 可知粒子在磁场中运动时间为 由 解得 21．（23-24高二下·湖南长沙·期末）如图所示，真空区域有宽度为L、磁感应强度为B的矩形匀强磁场，方向垂直于纸面向里，MN、PQ是磁场的边界。质量为m、电荷量为q的带正电粒子（不计重力）沿着与MN夹角为的方向垂直射入磁场中，刚好垂直于PQ边界射出，并沿半径方向垂直进入圆形磁场。圆形磁场半径为L，方向垂直纸面向外，粒子最后从圆心O的正下方点离开磁场。求： （1）粒子在矩形磁场中运动的轨迹半径； （2）粒子射入磁场的速度大小； （3）圆形磁场的磁感应强度。 【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】画出轨迹图如图： ；在矩形磁场区域，根据几何关系 解得 由牛顿第二定律得 解得 粒子在圆形磁场区域内运动时，由牛顿第二定律得 解得 【高分达标】 一、单选题 22．（24-25高二下·全国）质量为m的带电粒子a，仅在洛伦兹力作用下做半径为r的匀速圆周运动。在a经过的轨迹上放置不带电的粒子b，则a与b发生完全非弹性碰撞融为一个整体（不计质量和电荷量损失），则该整体在磁场中做圆周运动的半径（    ） A．大于r B．小于r C．等于r D．无法判断 【答案】C 【详解】碰撞前，粒子a做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力可得 解得轨迹半径为 碰撞过程根据动量守恒可得 由洛伦兹力提供向心力可得 解得轨迹半径为 故选C。 23．（24-25高二下·全国·课后作业）如图所示，在虚线所包围的圆形区域内有方向垂直于圆面向外的匀强磁场，从磁场边缘的A点沿半径方向射入一束速率不等的质子，不计质子重力，这些质子在磁场里运动的过程中（    ） A．运动时间均相等 B．速率越大的质子运动时间越长 C．轨迹半径越大的质子运动时间越短 D．轨迹半径越大的质子向心加速度越小 【答案】C 【详解】ABC．设质子的轨迹半径为R，圆形磁场区域的半径为r，如图所示 由洛伦兹力提供向心力得 可得 可知v越大，则R越大；质子的周期为 可知周期与运动速度大小无关，运动时间为 其中 所以v越大，则R越大、越小、t越小，故AB错误，C正确； D．向心加速度为 由 得 联立可得 则R越大，向心加速度a越大，故D错误。 故选C。 24．（24-25高二下·全国·课后作业）一带电粒子（不计重力）在匀强磁场中沿顺时针方向做半径为R的匀速圆周运动，当它运动到某个位置时，磁场突然发生变化（不考虑磁场变化产生的电场），磁感应强度大小变为原来的，方向与原磁场方向相反，则磁场发生变化后粒子（    ） A．沿逆时针方向做半径为的圆周运动 B．沿顺时针方向做半径为的圆周运动 C．沿逆时针方向做半径为2R的圆周运动 D．沿顺时针方向做半径为2R的圆周运动 【答案】C 【详解】粒子在匀强磁场中因受到洛伦兹力而沿顺时针方向做匀速圆周运动，根据左手定则可知，当磁场反向时，粒子做逆时针的圆周运动；由牛顿第二定律可得 可得轨迹半径为 则当磁感应强度大小变为原来的时，半径变为2R。 故选C。 25．（24-25高二上·辽宁鞍山·期中）如图，a、b、c三条长平行线间有匀强磁场，bc间磁场感应强度方向垂直于纸面向外，ab间磁感应强度垂直于纸面向里，磁感应强度大小相等。一带正电的粒子垂直于a边界进入磁场，仅在磁场力的作用下到达c线上的Q点（图中未标出）时速度方向竖直向下，且已知线段PQ垂直于abc线。则ab线与bc线间距的比值为（　　） A．0.5 B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可知，由于磁感应强度大小相等，故粒子在磁场中运动半径相等，设半径为r，因为在磁场力的作用下粒子到达c线上的Q点时速度方向竖直向下，且已知线段PQ垂直于abc线。分析可知，轨迹如图 A为在b虚线左侧做匀速运动时的圆心，B为在b虚线右侧做匀速运动时的圆心，由几何关系可知 故 所以 故选C。 26．（24-25高二上·辽宁鞍山·期中）空间中有垂直于纸面的匀强磁场。场中有三角形，其中，。某时刻，两个不计重力，电荷量绝对值相等、质量为的粒子和质量为的粒子分别从、两点开始运动。其中粒子的速率为，速度垂直于向上。粒子速度未知。两粒子恰好在各自第一次到达点时相遇。则粒子的速率为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对a粒子运到到P点时，MP是粒子圆周运动的弦长，故其中垂线和在M点的速度垂线交与MN的中点A，即为a粒子的圆周运动的圆心，几何关系可知，a粒子扫过的圆心角为120o，设NP边长L，故ra=L，由 所以a粒子在磁场中运动时间 因为b粒子运动时间和a相同，设b粒子扫过的圆心角为，则其在磁场中运动时间 可得 故b粒子的轨迹如图，圆心在PN的中点B 几何关系可知 由洛伦兹力提供向心力可得 得 联立解得 故C正确，ABD错误； 故选C 。 27．（24-25高二上·河北邯郸·期中）如图所示的圆形区域内存在垂直纸面向外的匀强磁场（图中未画出），О点为磁场的圆心，水平虚线为圆的一条直径，S点有一粒子发射源能正对圆心О发射一系列速度大小不同、比荷均为k的正粒子，M、N为虚线下方圆弧的三等分点，粒子发射速率为时，粒子在磁场中运动并从M点离开磁场.则下列说法正确的是（　　） A．圆形磁场的半径为 B．磁感应强度大小为 C．从N点离开的粒子速率为 D．从N点离开的粒子在磁场中运动的时间为 【答案】B 【详解】A．作出从M、N两点射出磁场的粒子轨迹，如图所示，对于从M点离开的粒子，由几何关系可知，粒子的轨迹所对应的圆心角为∠SO1M=120°，粒子在磁场中运动的时间为 则 设磁场的半径为R，则 又 由以上联立解得 A错误； B．从M点离开的粒子 则有 代入解得 B正确； C．对于从N点离开的粒子，由几何关系可知，粒子的轨迹所对应的圆心角为∠SO2N=60°，则该粒子的轨道半径为 解得 由 得 整理得 C错误； D．从N点离开的粒子的周期为 粒子在磁场中运动的时间为 解得 D错误。 故选B。 28．（24-25高二上·全国·课后作业）如图所示，圆形区域内存在着垂直于纸面向外的匀强磁场，比荷相同的两个粒子沿直径AB方向从A点射入磁场中，分别从圆弧上的P、Q两点射出，不计粒子重力，对于从P点射出的粒子和从Q点射出的粒子，下列说法正确的是（　　） A．两粒子在磁场中运动经历时间之比为 B．两粒子在磁场中做匀速圆周运动周期之比为 C．两粒子在磁场中做匀速圆周运动的速率之比为 D．两粒子在磁场中运动轨迹半径之比为 【答案】D 【详解】AB．作出带电粒子运动轨迹如图所示 根据几何关系可知，到达Q点的粒子在磁场中转过的角度为，到达P点的粒子在磁场中转过的角度为，洛伦兹力提供粒子做圆周运动的向心力，有 结合圆周运动的知识有 因此周期 两粒子比荷相同且在同一磁场中做圆周运动，可得周期相同，可得 则 故AB错误； CD．设圆形磁场的半径为R，根据几何关系可得 解得 根据 可得 故C错误，D正确。 故选D。 29．（24-25高二上·全国·课后作业）如图所示，半径为R的圆形区域中充满了垂直纸面向外的匀强磁场，O为圆心，AO与水平方向的夹角为。现有带正电粒子a从A点沿水平方向以大小为的速度垂直磁场射入，其离开磁场时，速度方向刚好改变了；另一带负电粒子b以与粒子a大小相同的速度从C点沿CO方向垂直磁场射入。已知a、b两粒子的比荷之比为，不计粒子的重力和两粒子间的相互作用。下列说法不正确的是（　　） A．a、b两粒子做圆周运动的半径之比为 B．b粒子竖直向下射出磁场 C．b粒子在磁场中运动的时间为 D．两粒子在圆形边界的出射点间的距离为R 【答案】C 【详解】A．a粒子离开磁场时，速度方向刚好改变了，表明a粒子在磁场中转动了半周，其轨迹如图所示 由几何关系得 设磁场的磁感应强度大小为B，根据牛顿第二定律得 化简得 b粒子进入磁场，有 化简得 则 故A正确，不符合题意； BC．b粒子带负电，根据左手定则可知b粒子向下偏转，作出b粒子的运动轨迹，可知b粒子在磁场中转过，即b粒子竖直向下射出磁场，b粒子在磁场中运动的时间为 故B正确，不符合题意，C错误，符合题意； D．将圆心O、a粒子出射点、b粒子出射点两两相连，根据几何关系可知两个出射点与圆心构成等边三角形，即两粒子在圆形边界的出射点间的距离为R，故D正确，不符合题意。 故选C。 二、多选题 30．（24-25高二上·北京·期中）如图所示，矩形虚线框内有一匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里。、、是三个质量和电荷量都相等的带电粒子，它们从边上的中点沿垂直于磁场的方向射入磁场，图中画出了它们在磁场中的运动轨迹。粒子重力不计。下列说法正确的是（　　） A．粒子带正电 B．粒子的动能最大 C．粒子在磁场中运动的时间最长 D．粒子在磁场中运动时的向心力最大 【答案】AD 【详解】A．根据左手定则可知，粒子a运动方向与四指指向相同，则粒子带正电，故A正确； B．粒子在磁场中做匀速圆周运动，则有 粒子运动的动能 解得 根据图像可知，粒子圆周运动的半径最大，则粒子的动能最大，故B错误； C．粒子圆周运动的周期 可知圆周运动周期相等，根据图像可知，粒子圆弧对应的圆心角最大，则粒子在磁场中运动的时间最长，故C错误； D．粒子磁场中的向心力由洛伦兹力提供，则有 结合上述可知，粒子的动能最大，则粒子的速度最大，可知，粒子在磁场中运动时的向心力最大，故D正确。 故选AD。 31．（24-25高二上·辽宁·期中）如图，M、N是真空中宽为d的匀强磁场的左右边界（边界上有磁场），磁感应强度为B，方向垂直纸面向里。大量比荷为k的正离子从M边界上的P点以速率v＝kBd进入磁场，速度方向如图所示在180°的范围内，粒子分布均匀，不计离子重力，也不计离子间的相互作用，磁场区域足够长。则（　　） A．能从边界N飞出磁场的离子占粒子总数的 B．从边界飞出磁场的离子中，在磁场中运动的最短时间为 C．磁场中有离子经过的区域的面积 D．从边界N飞出磁场的离子中，飞出点与P点距离小于或等于 【答案】BC 【详解】A．经D项分析，可知竖直向下入射的离子向右偏转，垂直N边界向右出射，水平向右入射的离子向上偏转与N边界相切，在此范围入射的离子将从N边界出射，对应的入射角度为，而离子的入射角是从0到，故能从边界N飞出磁场的离子占粒子总数的 故A错误； B．轨迹弦长为d的离子是从N边界飞出的离子中弦长最短，离子运动轨迹圆心角最小，根据几何关系，可知此圆心角为，则离子在磁场中运动的最短时间为 故B正确； C．有离子经过的磁场区域为半径为d的两个四分之一圆和边长为d的正方形组合而成，磁场中有离子经过的区域的面积为 故C正确； D．根据洛伦兹力提供向心力 解得正离子运动半径为 根据几何关系可知水平向右入射的离子在N边界的切点与竖直向下入射的离子在N边界的飞出点离Р点的距离均为 故飞出点与P点距离小于或等于，故D错误。 故选BC。 32．（24-25高二上·山东滨州·期中）如图所示，矩形边界内存在磁感应强度大小为的匀强磁场，方向垂直纸面向里，、边足够长，边长为。现有质量为、电荷量为的不同速率的带正电粒子，从的中点射入磁场且速度方向与成30°角，不计粒子重力及粒子间的相互作用，下列说法正确的是（    ） A．粒子在磁场中运动的最长时间为 B．从边射出的粒子的最小速度为 C．从边射出的粒子的最小速度为 D．边上有粒子射出的区域长度为 【答案】CD 【详解】A．当粒子从AD边离开时，粒子在磁场中运动的时间最长，如图1所示。由图可知粒子在磁场中运动的最长时间 故A错误； B．当粒子运动轨迹刚好与AB边相切时，从AB边射出的粒子速度最小，轨迹如图2所示。根据几何关系可得 由洛伦兹力提供向心力得 联立解得从AB边射出的粒子的最小速度 故B错误； C．当粒子运动轨迹刚好与CD边相切时，从CD边射出的粒子速度最小，轨迹如图3所示。根据几何关系可得 由洛伦兹力提供向心力得 联立解得从CD边射出的粒子的最小速度 故C正确； D．由图2、图3中几何关系可得AB边上有粒子射出的区域长度 故D正确。 故选CD。 33．（24-25高二上·河南洛阳·阶段练习）如图所示，一个半径为R的圆形磁场区域，磁感应强度大小为B，磁感应强度方向垂直纸面向里。一个粒子源从圆上的A点向各个方向不停地发射出相同速率的带正电的粒子，带电粒子的质量均为m，所带电荷量均为q，运动的半径均为r。下列说法正确的是（　　） A．若，则粒子在磁场中运动的最长时间为 B．若，则粒子能打在圆形磁场圆周上的范围是整个圆周 C．若，则粒子在磁场中运动的最长时间为 D．若，则粒子能打在圆形磁场圆周上的范围是六分之一个圆周 【答案】BD 【详解】AB．若，根据几何关系，可知粒子沿不同方向射入磁场，会从磁场圆的不同位置出射，范围是整个圆周长；其中粒子在磁场中运动的时间最长时，磁场区域的直径是轨迹的一条弦，作出轨迹如图1所示 因为，则圆心角，粒子在磁场中运动的最长时间 故A错误，B正确； C．若，粒子沿不同方向射入磁场，如图② 在磁场中运动时间最长的粒子正好转过了一周，时间为 故C错误； D．若，粒子在磁场圆的出射点都在AP之间，由几何关系可知，AP弧长对应的圆心角为60°，所以粒子能打在圆形磁场圆周上的范围是六分之一个圆周长，故D正确。 故选BD。 34．（24-25高二上·重庆沙坪坝·期中）如图，在光滑绝缘水平桌面上建立平面直角坐标系，其第一象限存在匀强磁场B，方向垂直桌面向里。从P点垂直轴滚入一个带电金属小球甲，随后沿着轨迹b离开磁场，在磁场中经历的时间为t。现在轨迹b上的Q点静止放置另一金属小球乙，再次从P点垂直轴以相同速度滚入带电金属小球甲。小球甲、乙均可视为质点，二者发生碰撞并结合在一起后，若结合体（     ） A．沿着轨迹a离开磁场，则小球甲、乙带同种电荷 B．继续沿着轨迹b离开磁场，则小球甲、乙带异种电荷 C．继续沿着轨迹b离开磁场，则磁场中运动的总时间大于t D．沿着轨迹c离开磁场，则结合体在磁场运动时的角速度比甲单独运动时的小 【答案】ACD 【详解】A．根据 可得 二者发生碰撞并结合在一起后，动量守恒不变，若沿着轨迹a离开磁场，则半径变小，所以电荷量变大，则小球甲、乙带同种电荷，故A正确； B．若结合体继续沿着轨迹b离开磁场，则电荷量不变，所以乙不带电，故B错误； C．周期为 若结合体继续沿着轨迹b离开磁场，根据动量守恒可知，结合体速度变小，所以周期变大，磁场中运动的总时间大于t，故C正确； D．由角速度公式可知 若结合体沿着轨迹c离开磁场，则半径变大，所以电荷量变小，结合体质量变大，则结合体在磁场运动时的角速度比甲单独运动时的小，故D正确。 故选ACD。 35．（24-25高二上·贵州贵阳·阶段练习）如图所示，半径为R的圆形区域内存在匀强磁场，方向垂直于纸面向里。边界上C点有一粒子源，可平行于纸面向磁场内任意方向发射质量为m、电荷量为q的带正电粒子，粒子速度大小均为v0.不计粒子重力以及粒子间的相互作用，所有粒子运动半径均为R且离开磁场时速度方向均与AB平行，AB、CD为互相垂直的直径，则（　　） A．粒子离开磁场时速度方向平行AB向下 B．磁感应强度大小为 C．经过圆心O的粒子在磁场中运动的时间为 D．沿着CO方向射入的粒子在磁场中运动的时间为 【答案】BC 【详解】A．由于粒子做圆周运动的半径等于磁场圆的半径，根据磁发散原理可知，带正电的粒子从C点射入磁场中均平行于AB向上射出，故A错误； B．根据洛伦兹力提供向心力有 所以 故B正确； C．若粒子经过圆心O，则其圆心角等于120°，则 所以粒子在磁场中运动的时间为 故C正确； D．若粒子沿着CO方向射入磁场，其圆心角等于90°，所以粒子在磁场中运动的时间为 故D错误。 故选BC。 三、解答题 36．（23-24高二下·广东深圳·期中）如图所示，一个电子以垂直于磁感应强度B并垂直于磁场边界的速度v射入宽度为d的匀强磁场中，穿出磁场时速度方向和原来射入方向的夹角为，求： (1)电子的比荷； (2)电子穿越磁场的时间t。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）根据几何关系有 根据洛伦兹力提供向心力得 解得 （2）电子周期 所以电子穿越磁场的时间 37．（24-25高二上·辽宁·期中）如图所示，纸面内长为2L、宽为L的矩形abcd区域内存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁场的磁感应强度大小为B。位于d处的粒子源可以发射质量为m、电荷量为q（q>0）、速率为的粒子，发射方向在纸面内沿da、dc间的任一方向。不计粒子重力，不考虑粒子间的作用。求： (1)沿da方向发射出的粒子从ab边界射出磁场时，速度方向与ab的夹角； (2)从c点射出的粒子在磁场中运动的时间； (3)bc边界上有粒子射出的区间长度。 【答案】(1)60° (2) (3) 【详解】（1）带电粒子在磁场中运动时，根据牛顿第二定律有 所以 如图所示 沿da方向发射出的粒子，在磁场中做圆周运动的圆心角是α，由几何关系知 所以，射出磁场时速度方向与ab边界的夹角 （2）从c点射出磁场的粒子，轨迹如图所示 由几何关系知 弧dc对应的圆心角为2β，粒子在磁场中做圆周运动的周期为 所以，粒子从d到c的时间为 解得 （3）如图所示 当粒子的运动轨迹与ab边界相切时，从bc边界的e点射出磁场，则ec即为bc边界上有粒子射出的区间，由几何关系知 联立可得 38．（23-24高二下·山东济宁·期末）如图所示，一圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，圆形区域半径为R，圆心为O，圆形边界上有P、Q、A三点，其中P、Q两点连线为直径，OP与OA间的夹角为60°。现有大量带负电的粒子以不同的速率从P点射入圆形区域，入射方向均与OP成角，带电粒子质量为m，电荷量为，不计粒子重力及相互间作用。 （1）求从Q点射出磁场区域的粒子在磁场中的运动时间t； （2）求从A点射出磁场区域的粒子速度大小v； （3）垂直PQ连线方向射出磁场区域的粒子，出射点为C（图中未画出），求C点到PQ连线的距离d。 【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】（1）从Q点射出磁场区域的粒子，画出轨迹图如图所示 可知粒子在磁场中的轨迹对应的圆心角为，根据洛伦兹力提供向心力可知 可得 ， 所以粒子在磁场中运动的时间为 （2）从A点射出磁场区域的粒子，画出轨迹如图所示： 圆心在PA中点，所以轨迹半径为 根据 可知 （3）垂直PQ连线方向射出磁场区域的粒子，画出轨迹如图所示： 由图可知，轨迹所对应圆心角为，则 根据几何关系可知 出射点C到PQ连线的垂直距离为 39．（23-24高二下·广东珠海·期末）如图所示，在平面的第一象限内存在方向垂直纸面向里，磁感应强度大小为的匀强磁场，第四象限内存在沿轴正方向，大小为的匀强电场。一带电粒子从轴上的（）点射入磁场，速度方向与轴正方向的夹角。粒子经过磁场偏转后从（图中未画出）点垂直穿过轴进入匀强电场，其运动轨迹与轴交于（图中未画出）点。已知，粒子电荷量为，质量为，重力不计。求： （1）粒子的速度大小； （2）点与点的距离。 【答案】（1） ；（2） 【详解】（1）粒子的运动轨迹如答图所示。 因，根据几何关系可知，在直角三角形中 ，， 则粒子运动的轨道半径为 根据洛伦兹力提供向心力可得 联立解得 （2）如答图所示，由几何关系可知，粒子垂直轴进入匀强电场，轨迹与轴交于，则 粒子进入匀强电场后做类平抛运动，可得 ， 联立解得 40．（24-25高二上·湖北·期中）如图所示，在直角坐标系中，区域内有垂直坐标平面向里的匀强磁场Ⅰ。区域内有垂直坐标平面向外的匀强磁场Ⅱ，y轴左侧存在垂直坐标平面向外的矩形磁场Ⅲ（位置和范围未知），其中磁场Ⅱ与磁场Ⅲ的磁磁感应强度相同。一质量为m，带电量q的带正电粒子从点以平行于x轴的初速度射入磁场Ⅰ，经过一段时间粒子从点离开磁场Ⅰ进入磁场Ⅱ，经磁场Ⅱ偏转后，从点返回磁场Ⅰ。并从y轴上的Q点进入y轴左侧，经过矩形磁场Ⅲ的偏转后又回到Q点，到Q点时速度方向与y轴负方向夹角为。不计粒子重力。 (1)区域内匀强磁场的磁感应强度大小； (2)粒子从P点运动到第一次经过Q点所用时间t； (3)求矩形磁场区域的最小面积。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）粒子运动的轨迹，如图所示 设粒子在区域内轨道半径为R1，根据几何关系可知 解得 由牛顿第二定律可得 所以 （2）根据几何关系可得 所以 从P到M的运动时间 由图中的几何关系可知 从M到N的运动时间 从P点运动到第一次经过Q，则 （3）由于磁场Ⅱ与磁场Ⅲ的磁磁感应强度相同，即 由图中的几何关系可知 41．（23-24高二下·安徽亳州·期末）如图，在xOy平而的第二象限内有一半径为L的圆形磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里，圆形边界与两坐标轴相切，在第一象限某区域有界匀强磁场边界是等腰梯形，磁场的方向垂直于xOy平面向外，磁感应强度大小为量。一带负电的粒子从切点A以某一初速度与x轴负方向成角射入圆形磁场，粒子沿x轴正方向射入第一象限，经等腰梯形磁场后再经坐标原点O射出第一象限，速度方向与x轴负方向成。已知带电粒子的质量为m，电量为，不计带电粒子重力，求： （1）粒子的初速度的大小； （2）粒子由A点运动到O点的时间； （3）有界等腰梯形磁场的最小面积。 【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】（1）粒子射入圆形磁场做匀速圆周运动，设圆心为，粒子平行于x轴进入第一象限故平行于，如图 由几何关系可知为菱形，故粒子做圆周运动的半径 由洛伦兹力提供向心力可知 故 （2）粒子在圆形磁场中运动转过的圆心角 粒子在圆形磁场中运动的时间 解得 粒子在梯形磁场中运动的时间 解得 粒子在磁场区域外运动的时间 由图可知 由几何关系可知 故 粒子由A运动到O的时间 联立解得 （3）有界梯形磁场的高为 有界梯形磁场的最小中位线为x，则 有界梯形磁场区域的最小面积为 有界梯形磁场区域的最小面积为 2 学科网（北京）股份有限公司 $$