磁场“放缩圆”模型 讲义-2025-2026学年高二下学期物理人教版选择性必修第二册

磁场“放缩圆”模型 1．适用条件 (1)速度方向一定，大小不同，入射点相同 粒子源发射速度方向一定、大小不同的带电粒子进入匀强磁场时，这些带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径随速度的变化而变化。 (2)轨迹圆圆心共线 如图所示(图中只画出粒子带正电的情景)，速度v越大，运动半径也越大。带电粒子沿同一方向射入磁场后，它们运动轨迹的圆心在垂直初速度方向的直线PP′上。 2．界定方法 以入射点P为定点，圆心位于PP′直线上，将半径放缩做轨迹，从而探索出临界条件，这种方法称为“放缩圆法”。 一、单选题 1．如图所示，垂直于纸面向里的匀强磁场分布在正方形abcd区域内，O点是cd边的中点。一个带正电的粒子仅在洛伦兹力的作用下，从O点沿纸面以垂直于cd边的速度射入正方形内，经过时间t0刚好从c点射出磁场。现设法使该带电粒子从O点沿纸面以与Od成30°角的方向，以大小不同的速率射入正方形内，粒子重力不计。下列说法中正确的是（　　） A．若该带电粒子从ab边射出，它经历的时间可能为t0 B．若该带电粒子从bc边射出，它经历的时间可能为 C．若该带电粒子从cd边射出，它经历的时间为 D．若该带电粒子从ad边射出，它经历的时间可能为 2．在如图所示的平面内，分界线SP将宽度为L的矩形区域分成两部分，一部分充满方向垂直于纸面向外的匀强磁场，另一部分充满方向垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小均为B，SP与磁场左右边界垂直。离子源从S处发射速度大小不同的正离子，离子入射方向与磁场方向垂直且与SP成30°角。已知离子比荷为k，不计重力。若离子从P点射出，设出射方向与入射方向的夹角为θ，则离子的入射速度和对应θ角的可能组合为（　　） A．kBL，0° B．kBL，0° C．kBL，0° D．2kBL，60° 3．如图，空间存在垂直纸面向外的匀强磁场（未画出），、、、、为磁场中的五个点，为的中点，为中垂线上的一点，且，平行于。一束带正电的同种粒子（不计重力）垂直由点沿纸面向上射入磁场，各粒子速度大小不同，用、、、分别表示第一次到达、、、四点的粒子所经历的时间，下列说法正确的是（　　） A． B． C． D． 4．如图所示的圆形区域内存在垂直纸面向外的匀强磁场（图中未画出），О点为磁场的圆心，水平虚线为圆的一条直径，S点有一粒子发射源能正对圆心О发射一系列速度大小不同、比荷均为k的正粒子，M、N为虚线下方圆弧的三等分点，粒子发射速率为时，粒子在磁场中运动并从M点离开磁场.则下列说法正确的是（　　） A．圆形磁场的半径为 B．磁感应强度大小为 C．从N点离开的粒子速率为 D．从N点离开的粒子在磁场中运动的时间为 5．如图所示，长方形区域内（含边界）存在匀强磁场，磁感应强度的大小为、方向垂直于纸面（所在平面）向外。边的边长为边的两倍，边的边长为点为的中点。点有粒子发射源，可沿垂直于边的方向向磁场内发射速度大小不同，但质量和电量相同的带电粒子，粒子重力不计。则从两点射出的粒子的速率之差为（　　） A． B． C． D． 6．如图所示，在直线边界的上方存在垂直纸面向里磁感应强度为的匀强磁场，点在上。现从点垂直在纸面内向上发射速度大小不同、质量均为、电量均为的粒子，已知，不计粒子的重力及粒子间的相互作用，则粒子在磁场中运动的最长时间为（　　） A． B． C． D． 二、多选题 7．如图，正方形abcd内有方向垂直于纸面的匀强磁场，电子在纸面内从顶点a以速度射入磁场，速度方向垂直于ab，最终电子可分别从ab边的中点、b点和c点射出，在磁场中运动的时间分别为、和，则（　　） A．若磁感应强度的大小恒定，大小不同，则 B．若磁感应强度的大小恒定，大小不同，则 C．若恒定，磁感应强度的大小不同，则 D．若恒定，磁感应强度的大小不同，则 8．如图所示，横截面为正方形abcd的有界匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里。一束电子以大小不同、方向垂直ad边界的速度从e点射入该磁场，不计电子受到的重力及其相互之间的作用力，对于从不同边界射出的电子，下列说法正确的是（　　） A．从d点离开的电子在磁场中运动的半径最大 B．从ad边离开的电子在磁场中运动的时间都相等 C．从bc边离开的电子速度越大，偏转角度越大 D．从cd边离开的电子速度越大，越靠近c点 9．如图所示，MN是半径为R的圆形磁场区域的直径，MN上方存在方向垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B，MN下方存在方向垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为2B。在M点有一质量为m、电荷量为+q（q＞0）的离子源，离子从N点射出时的速度大小不同，但方向均与磁场方向垂直且与MN成30°角。不计离子重力及离子间的相互作用，则从N点射出磁场的离子速度可能是（　　）    A． B． C． D． 10．如图所示，在等腰三角形abc区域内有垂直纸面向外的匀强磁场，d是ac上任意一点，e是bc上任意一点。大量质量、电量相同的带正电的粒子从a点以相同方向进入磁场，由于速度大小不同，粒子从ac和bc上不同点离开磁场，不计粒子重力。设从d、c、e点离开的粒子在磁场中运动的时间分别为td、tc、te，进入磁场时的速度分别为vd、vc、ve。下列判断正确的是（　　） A．td一定小于tc，vc一定小于vd B．td一定等于tc，vc一定大于vd C．tc一定小于te，vc一定大于ve D．tc一定大于te，vc一定小于ve 11．如图所示，垂直边界的分界线MN将宽度为L的区域分成上下两部分，上部存在垂直纸面向外、磁感应强度大小为的匀强磁场，下部存在垂直纸面向里、磁感应强度大小为的匀强磁场。从M处垂直磁场方向射入速度大小不同、质量均为m、电荷量均为q的正离子（不计离子重力和离子间相互作用力），离子入射方向与MN夹角。如果离子垂直右边界射出磁场区域，则离子的入射速度大小和出射点偏离MN距离的可能组合为（　　） A．，（2）L B． C． D． 12．如图所示，边长为L的正六边形abcdef中，存在垂直该平面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。在a点处的粒子源发出大量质量为m、电荷量为+q的同种粒子，粒子的速度大小不同，方向始终垂直ab边且与磁场垂直。不计粒子间的相互作用力及重力，当粒子的速度为v时，粒子恰好能经过b点，下列说法正确的是（　　） A．速度小于v的粒子在磁场中的运动时间为 B．经过c点的粒子在磁场中的运动时间为 C．速度大于4v的粒子将从cd边离开磁场 D．经过d点的粒子在磁场中做圆周运动的半径为2L 13．三个速度大小不同而质量相同的一价离子，从长方形区域的匀强磁场上边缘平行于磁场边界射入磁场，它们从下边缘飞出时的速度方向如图所示，以下判断正确的是（　　） A．三个离子均带负电 B．三个离子均带正电 C．离子1在磁场中运动的轨道半径最大 D．离子3在磁场中运动的时间最短 14．如图所示，一个边长为l的正六边形的区域内有匀强磁场，匀强磁场的磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向外。在点处的粒子源发出大量质量为电荷量为的同种粒子，粒子的速度大小不同，方向始终沿方向。不计粒子间的相互作用力及重力，下列说法正确的是（　　） A．速度小于的粒子在磁场中运动的时间一定相同 B．速度大于的粒子一定打在边上 C．经过点的粒子在磁场中运动的时间为 D．垂直打在边上的粒子在磁场中运动的时间为 三、解答题 15．在高能物理的稳态磁约束聚变研究中，常用环状磁场来约束带电粒子的活动范围，其模型简化图如图所示，圆心均为O点的内圆半径为R、外圆半径为2R的圆环形区域内有方向垂直纸面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场，内圆半径上的M点有一粒子源，可沿平行纸面的各个方向发射速度大小不同、质量均为m、电荷量均为的同种粒子，M点到圆心的距离为，粒子源发射出的各种速率的粒子在各个方向都是均匀分布的。不计粒子重力和粒子间的相互作用力。 (1)当时，求粒子不从外圆射出去的速度的最大值； (2)当时，求速度为的粒子中，从外圆射出去的粒子数和被约束在外圆以内的粒子数之比； (3)当时，若粒子都不会从外圆射出去，求此时速度的最大值；若有部分粒子可从外圆射出，求没有从外圆射出去的粒子中，速度的最大值。 16．如图所示为一简易的速度筛选器，形状为一等腰直角三角形，直角边长为2a。在该区域里，有一垂直纸面向外磁感应强度为B的匀强磁场。一束速度大小不同、质量为m、电荷量为q的带正电粒子从中点O垂直AB射入该磁场区域，在BC边放置一粒子收集器，长度与BC等长，粒子打到收集器上会被收集，从而把这些粒子筛选出来。不计粒子重力，也不计粒子间相互作用。 (1)若粒子恰好击中B点，求粒子的速度； (2)若粒子恰好经过磁场边界AC并到达收集器，求粒子的速度； (3)所有到达收集器的粒子中，粒子运动的最短时间是多少（提示：）； (4)如果入射点稍向下移，能被收集粒子的速度范围会增大还是减小？（不需要写出推导过程） 2 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B C B A C BC BD AB BD 题号 11 12 13 14 答案 AD BD AD ACD 1．C 【详解】A．由带正电的粒子从O点沿纸面以垂直于cd边的速度射入正方形内，经过时间t0刚好从c点射出磁场可知，该带电粒子在磁场中做圆周运动的周期是2t0。当粒子沿纸面以与Od成30°角的方向射入正方形内时，如图所示，作出从ab边射出的临界轨迹①，该带电粒子从ab边射出经历的时间一定不大于，故A错误； B．作出从bc边射出的临界轨迹②，由图可知，从bc边射出经历的时间一定不大于，故B错误； C．作出从cd边射出的临界轨迹③，由图可知，从cd边射出经历的时间一定是，故C正确； D．作出从ad边射出的临界轨迹④，由图可知，从ad边射出经历的时间一定不大于，故D错误。 故选C。 2．B 【详解】若离子通过下部分磁场第一次到达P点，如图甲所示， 根据几何关系则有R=L 由 解得 根据对称性可知出射速度与SP成30°角斜向上，故出射方向与入射方向的夹角为θ=60° 两个磁场的磁感应强度大小均为B，当离子在两个磁场均运动一次时，如图乙所示，根据对称性有 根据洛伦兹力提供向心力，有 可得 此时出射方向与入射方向相同，出射方向与入射方向的夹角为θ=0° 可知当离子从下部分磁场射出时，需满足 此时出射方向与入射方向的夹角为θ=60° 当离子从上部分磁场射出时，需满足（n=1，2，3…） 此时出射方向与入射方向的夹角为θ=0°，故B正确，ACD错误。 故选B。 3．C 【详解】粒子通过B、C、D、E各点的轨迹如图 由几何关系可知：从A到B和A到D，粒子运动轨迹对应的圆心角为；从A到C和A到E，粒子运动轨迹对应的圆心角小于，且相等；带电粒子垂直进入匀强磁场后做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，即 则 运动周期 周期与速度无关，是粒子从A点沿纸面向上射入磁场，运动轨迹对应的圆心角越大，运动时间越长；所以 故选C。 4．B 【详解】A．作出从M、N两点射出磁场的粒子轨迹，如图所示，对于从M点离开的粒子，由几何关系可知，粒子的轨迹所对应的圆心角为∠SO1M=120°，粒子在磁场中运动的时间为 则 设磁场的半径为R，则 又 由以上联立解得 A错误； B．从M点离开的粒子 则有 代入解得 B正确； C．对于从N点离开的粒子，由几何关系可知，粒子的轨迹所对应的圆心角为∠SO2N=60°，则该粒子的轨道半径为 解得 由 得 整理得 C错误； D．从N点离开的粒子的周期为 粒子在磁场中运动的时间为 解得 D错误。 故选B。 5．A 【详解】根据洛伦兹力提供向心力有 可得 从两点射出的粒子的轨迹如图所示 由几何关系可知从c点射出的粒子满足 解得 从e点射出的粒子应满足 故从c、e两点射出的粒子的速率之差为 故选A。 6．C 【详解】根据题意可知，当粒子由N点飞出时，运动的时间最长，运动轨迹如图所示 设粒子做圆周运动的半径为R，由几何关系有 解得 由 联立解得 则 由牛顿第二定律有 解得 由几何关系可知，粒子运动轨迹的长度为 则粒子的运动时间为 故选C。 7．BC 【详解】AB．若磁感应强度的大小恒定，大小不同，电子在磁场中的运动时间为 可知运动时间与轨迹圆心角成正比，则有，故A错误，B正确； CD．若恒定，磁感应强度的大小不同，设正方形abcd的边长为，则有，， 则有，故C正确，D错误。 故选BC。 8．BD 【详解】A．电子在磁场中不同边界射出的轨迹如图 可知，从d点离开的电子在磁场中运动的半径不是最大，故A错误； B．电子在磁场中运动的时间 由轨迹图可知，从ad边离开的电子速度偏转角相等，所以运动时间相等，故B正确； CD．由 可得 可知速度越大半径越大，所以从cd边离开的电子速度越大，越靠近c点；从bc边离开的电子速度越大，半径越大，设入射点到d点的距离为x，则有 可知，电子速度越大，速度偏转角越小，故C错误，D正确。 故选BD。 9．AB 【详解】根据洛伦兹力提供向心力 离子在MN上方运动的半径为 离子在MN下方运动的半径为 若离子从MN上方通过N点有      解得      即 …… 若离子从MN下方通过N点有      解得        即 …… AB正确，CD错误。 故选AB。 10．BD 【详解】如图所示 若粒子从ac边射出，粒子依次从ac上射出时，半径增大而圆心角相同，弧长等于半径乘以圆心角，所以经过的弧长越来越大，运动时间 td一定等于tc，根据 则vc一定大于vd 粒子从bc边射出，粒子依次从bc上的f、e、c射出时，弧长越来越大，而圆心角越来越大，半径越来越小，运动时间 tc一定大于te，根据 解得 质量、电量相同，从c点射出的半径最小，则vc一定小于ve 故选BD。 11．AD 【详解】AB．根据 可知粒子在磁场中运动的半径 若速度，则粒子在上方磁场中运动的半径 在下方磁场中运动的半径 此时粒子从下部分磁场中垂直边界射出，出射点偏离MN距离的为 选项A正确，B错误； C．若速度，则粒子在上方磁场中运动的半径 在下方磁场中运动的半径 则粒子从上方磁场中垂直与边界射出，此时出射点偏离MN距离的为 选项C错误； D．若速度，则粒子在上方磁场中运动的半径 在下方磁场中运动的半径 粒子从上方磁场中垂直与边界射出，此时出射点偏离MN距离的为 选项D正确。 故选AD。 12．BD 【详解】A．粒子的速度为v时，粒子恰好能经过b点，此时轨迹半径等于ab长度的一半，转过的圆心角是。当粒子的速度小于v时，粒子都将从ab边出来，转过的圆心角为，所以时间是，A错误； B．从c点出来的粒子，其弦切角为60°，故转过的圆心角为120°，故时间为，B正确； C．设经过b、c、d三点的粒子速度分别为v1、v2、v3，轨迹半径分别为r1、r2、r3。据几何知识可得 ，， 由半径公式 得 所以只有速度在这个范围：2v≤v≤4v的粒子才打在cd边上，C错误； D．经过d的粒子，根据几何知识，该粒子在磁场中做圆周运动的圆心为b点，半径为2L，D正确。 故选BD。 13．AD 【详解】AB．根据左手定则可知，三个粒子均为负电荷，选项A正确，B错误； C．根据粒子的轨迹可以发现1的半径最短，3的轨迹半径最长，所以C错误； D．三个粒子的运动周期均为 则运动时间 画出三个粒子的轨迹，可以发现1的圆心角为90°，2的圆心角大于3的圆心角，但都小于90°，所以1在磁场中运动时间最长，3在磁场中运动的时间最短，选项D正确。 故选AD。 14．ACD 【详解】A．根据几何关系，粒子恰好经过点时运动半径 由 可知速度 则速度小于的粒子均从边离开磁场，根据几何关系可知转过的圆心角均为，运动时间均为 为粒子在磁场中的运动周期，A正确； BC．粒子恰好经过点时运动半径 根据几何关系可知运动时间 速度 则速度大于的粒子一定打在边上，B错误，C正确； D．粒子垂直打在边上时，如图： 根据几何关系可知圆心角为，运动时间 D正确。 故选ACD。 15．(1) (2) (3)， 【详解】（1）由牛顿第二定律有 解得 当时，从圆心O点沿半径方向向外发射粒子如图所示。 由几何关系有 解得运动半径 故 （2）当时，速度为的粒子，运动半径，入射点在内圆上，向纸面内各个方向均匀发射，如图所示。 当入射方向与环的半径夹角为时，那么进入磁场再进入内圆再进入磁场时的夹角都为，也就是不会从外圆出去。由几何关系可知，在图中OM线上方范围入射的粒子都会从外圆射出去，在OM线下方范围入射的粒子都不会从外圆射出去。所以当时，速度为的粒子中，从外圆射出去的粒子数和被约束在外圆以内的粒子数之比为。 （3）当时，由几何关系，下图中粒子源发出速度大小相同的粒子，从A点竖直向上进入磁场，角最大，最有可能从外圆射出去，即如果它都没有出去，则这个速度大小的粒子从其他方向发射也不会从外圆射出去，此时角为。 由余弦定理有 解得 所以 同理，由几何关系可知，图丙中粒子源发出的粒子，从B点向下进入磁场，角最大，最有可能射不出外圆，若它刚好射不出，此时角为，有 所以 速度大小为的粒子中，只有沿MB方向射出的恰好不会从外圆射出去，其他方向发射的都会从外圆射出去；速度大小比小的粒子沿各个方向发射都不会从外圆射出去，速度大小介于到之间的粒子要看发射方向，一部分会从外圆射出去，一部分不会从外圆射出去。 16．(1) (2) (3) (4)增大 【详解】（1）设粒子恰好击中B点的速度为，根据几何关系，可得粒子的偏转半径为 粒子在磁场中运动，由洛伦兹力提供向心力，则有 解得粒子速度为 （2）粒子恰好经过磁场边界AC并到达收集器速度为。粒子运动轨迹与AC相切，轨迹如图 由几何关系得 解得半径 粒子在磁场中运动，由洛伦兹力提供向心力，则有 粒子速度为 （3）粒子恰好经过磁场边界AC并到达收集器对应的时间最短为t，其轨迹所对的圆心角为，粒子运动轨迹与AC相切于F点，如图所示 在直角三角形DFA中，根据几何关系有AF=DF=R，AD=R+a 则有 解得 在直角三角形DBE中，根据几何关系有， 则有 解得 可得 则粒子运动的最短时间是 其中 解得 （4）如果入射点稍向下移，则筛选出来粒子的最小速度会减小，最大速度会增大，因此范围会增大。 $