2025年中考数学二次函数压轴题专题练习23实际应用之隧道问题

专题23 实际应用之隧道问题 例1：（2024秋•中山市校级月考）九（1）班数学课题学习小组，为了研究学习二次函数问题，他们经历了实践—应用—探究的过程 （1）实践：他们对一条公路上横截面为抛物线的单向双车道的隧道进行测量，测得隧道的路面宽为10米，隧道顶部最高处距地面6.25米，并画出了隧道截面图，建立了如图1所示的直角坐标系，请你求出抛物线的解析式． （2）应用：按规定机动车辆通过隧道时，车顶部与隧道顶部在竖起方向上的高度差至少为0.5米，为了确保安全，问该隧道能否让最宽3米，最高3.5米的两辆车居中并列行驶（不考虑两车之间的空隙）？ （3）探究：该课题学习小组为进一步探究抛物线的有关知识，他们借助上述抛物线模型，提出了以下两个问题，请予解答： ①如图2，在抛物线内作矩形ABCD，使顶点C、D落在抛物线上，顶点A、B落在x轴上，设矩形ABCD的周长为l，求l的最大值． ②如图3，过原点作一条直线y＝x，交抛物线于M，交抛物线的对称轴于N，P为直线OM上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点Q，问在直线OM上是否存在点P，使以点P、N、Q为顶点的三角形为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 对应练习： 1．（2024•通榆县一模）如图，一个横截面为抛物线的隧道，其底部的宽AB为8m，拱高为4m．该隧道为双向车道，且两车之间有0.4m的隔离带，一辆宽为2m的货车要安全通过这条隧道，需保持其顶部与隧道间有不少于0.5m的空隙，则该货车能够安全通行的最大高度是 　 　m． 2．（2022秋•镇原县期中）有一辆载有长方体形状集装箱的货车想通过横截面为抛物线的隧道，如图所示，已知隧道的底部宽：AB为4m，高OC为3.2m，集装箱的宽与货车的宽都是2.4m，集装箱顶部离地面2.1m，这辆货车 　 　通过这个隧道（填“能”或“不能”）． 3．某隧道的内拱横截面的轮廓线是一条抛物线，隧道地面宽为16米，顶端离地面的高度为8米，当车辆宽度为10米时，车辆应限高在　 　米内，才能确保隧道内行车安全． 4．（2023秋•农安县期末）如图，有一个横截面边缘为抛物线的隧道入口，隧道入口处的底面宽度为8m，两侧距底面4m高处各有一盏灯，两灯间的水平距离为6m，则这个隧道入口的最大高度为 　 　m（精确到0.1m）． 5．（2024秋•平山县期中）如图是某隧道截面，由部分抛物线和矩形构成，以矩形的顶点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，竖直方向为y轴，建立平面直角坐标系，抛物线的解析式为，顶点为P，且AD＝2m．点C的坐标为 　 　． 6．（2024秋•平城区校级月考）山西是一个多山的省份，大部分地区平均海拔在1000米以上，全省面积中80%以上是山地和丘陵在公路建设中，过去的普遍做法是盘山绕行或深填高挖，现在则多沿着山脚打隧道而过．如图，已知某隧道的截面是抛物线形，且该抛物线的解析式为，为增加照明度，在该抛物线上距地面AB高为6米的点E，F处要安装两盏灯，则这两盏灯的水平距离EF是　 　米． 7．（2023秋•霍邱县月考）如图，一辆宽为2米的货车要通过跨度为8米，拱高为4米的单行抛物线隧道（从正中通过），抛物线满足表达式y＝﹣+4．保证安全，车顶离隧道的顶部至少要有0.5米的距离，求货车的限高应是多少． 8．（2023•莲湖区一模）如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成．长方形的长为16m，宽为6m，抛物线的最高点C离路面AA1的距离为8m． （1）建立适当的坐标系，求出表示抛物线的函数表达式； （2）一大型货车装载设备后高为7m，宽为4m．如果隧道内设双向行驶车道，那么这辆货车能否安全通过？ 9．（2013•武汉模拟）有一抛物线形隧道跨度为8米，拱高为4米． （1）建立适当的平面直角坐标系，使隧道的顶端坐标为（O，4）；隧道的地面所在直线为x轴，求出此坐标系中抛物线形隧道对应的函数关系式； （2）一辆装满货后宽度为2米的货车要通过隧道，为保证通车安全，车要从正中通过，车顶离隧道顶部至少要有0.5米的距离，试求货车安全行驶装货的最大高度为多少米？ 10．（2024•安康一模）某山体的隧道截面近似于抛物线，隧道最高点A距离地面5m，隧道地面MN宽8m．如图，以MN为x轴，M为坐标原点构建平面直角坐标系． （1）求抛物线的函数表达式． （2）现要在抛物线型隧道内安装一个矩形LED屏，LED屏长为2m，宽为50cm，若矩形同LED屏的一个顶点在抛物线上且长边需平行于MN．求LED屏底边距离地面的最大高度． 11．（2017秋•蜀山区校级期中）有一辆载有长方体形状集装箱的货车想通横截面为抛物线的隧道，如图所示，已知隧道底部宽AB为 4m，高OC为 3.2m，集装箱的宽与货车的宽都是 2.4m，集装箱顶部离地面 2.1m．这辆货车能通过这个隧道吗？请说明理由． 12．（1）一辆宽2m的货车要通过跨度为8m、拱高为4m的单行抛物线隧道（从正中通过），为了保证安全，车顶离隧道顶部至少要0.5m的距离，货车的限高为多少？ （2）若将（1）中的单行道改为双行道，即货车必须从隧道中线的右侧通过，货车的限高应是多少？ 13．（2024秋•海珠区校级期中）如图是大广高速路上单向双车道某隧道的横截面，其形状是抛物线型，有关尺寸如图所示，现有一辆车身宽为2.5m的货车准备装一批货物途过此隧道前往某地，（根据高速公路管理规定：机动车在通过隧道时只能在一条道上行驶）． （1）建立适当的平面直角坐标系并求出此抛物线的解析式； （2）这辆货车满载货物时限高为多少？ 14．（2024秋•福州期中）施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其最高点P距离地面高度为8米，宽度OM为16米．现以点O为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系（如图所示）． （1）求出这条抛物线的函数解析式，并写出自变量x的取值范围； （2）隧道下的公路是单向双车道，车辆并行时，安全平行间距为2米，该双车道能否同时并行两辆宽2.5米、高5米的特种车辆？请通过计算说明． 15．（2024秋•大连期中）如图，一条单向通行且一排道的隧道，它的截面由抛物线和长方形构成．在长方形OCBA中，OC长为6m，AO长为2m，隧道最高点P位于AB的中央且距地面5m，以OC为x轴，OA为y轴建立如图所示的平面直角坐标系． （1）求抛物线的函数表达式； （2）若一辆货车高4m，宽3m，这辆货车能否从该条隧道通过？为什么？ 16．（2024秋•苏州期中）项目式学习． 如何确定隧道中警示灯带的安装方案？ 素材1 2022年10月，温州市府东路过江通道工程正式开工，建成后将成为温州瓯江第一条超大直径江底行车隧道．隧道顶部横截面可视为抛物线，如图1，隧道底部宽AB为10m，高OC为5m． 素材2 货车司机长时间在隧道内行车容易疲劳驾驶，为了安全，拟在隧道顶部安装上下长度为20cm的警示灯带，沿抛物线安装．（如图2）．为了实效，相邻两条灯带的水平间距均为0.8m（灯带宽度可忽略）；普通货车的高度大约为2.5m（载货后高度），货车顶部与警示灯带底部的距离应不少于50cm．灯带安装好后成轴对称分布． 问题解决 任务1 确定隧道形状 在图1中建立合适的直角坐标系，求抛物线的函数表达式． 任务2 探究安装范围 在你建立的坐标系中，在安全的前提下，确定灯带安装点的横、纵坐标的取值范围． 任务3 拟定设计方案 求出同一个横截面下，最多能安装几条灯带，并根据你所建立的坐标系，求出最右边一条灯带安装点的横坐标． 17．（2024秋•昭通月考）近年来，云南在公路与隧道建设方面成绩显著，已建成通车的公路隧道数量及长度均居全国第一．现有一座隧道的截面由抛物线和长方形构成．在长方形OCBA中，OC长为6m，AO长为2m，隧道最高点P位于AB的中央且距地面5m，以OC为x轴，OA为y轴建立如图所示的坐标系，若一辆货车高4m，宽3m，能否从隧道通过？为什么？ 18．（2024秋•杭州月考）施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其高度为6米，宽度OM为12米，现在O点为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系（如图所示）． （1）求出这条抛物线的函数解析式； （2）施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”ABCD，使A、D点在抛物线上，B、C点在地面OM上，设A的横坐标为t，求AB＝ 　 　，AD＝ 　 　.（用含t的代数式表示） （3）为了筹备材料，需求出“脚手架”三根木杆AB、AD、DC的长度之和的最大值是多少？ 19．（2023秋•莱西市校级期中）如图，有一条双向隧道，其横断面由抛物线和矩形ABCO的三边组成，隧道的最大高度为4.9米；AB＝10米，BC＝2.4米， （1）在如图所示的坐标系中，求抛物线的解析式． （2）若有一辆高为4米，宽为2米装有集装箱的汽车要通过隧道，则汽车靠近隧道的一侧离开隧道壁m米，才不会碰到隧道的顶部，又不违反交通规则，问m的取值范围是多少？ 20．（2024秋•东港区校级月考）如图，隧道的截面由抛物线DEC和矩形ABCD构成，矩形的长AB为4m，宽BC为3m，以DC所在的直线为x轴，线段CD的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，y轴是抛物线的对称轴，最高点E到地面的距离为4m． （1）求出抛物线的解析式； （2）在距离地面高处，隧道的宽度是多少？ （3）如果该隧道为单行道（只能朝一个方向行驶），现有一辆货运卡车高3.4m、宽2.4m，这辆货运卡车能否通过该隧道？通过计算说明你的结论． 21．（2023秋•滁州校级月考）如图1，某高速路有一段隧道，隧道的横截面如图2，横截面的上边缘是一段抛物线，以抛物线的对称轴作为y轴，以水平地面作为x轴建立平面直角坐标系．已知该抛物线的顶点坐标为C（0，6），抛物线与x轴的交点分别为点A和点B，抛物线的表达式为．（长度单位：m） （1）求AB的长； （2）若每个隧道都是双向车道，中间是实线（车辆不能压实线，实线的宽度忽略不计），现有一辆高4m，宽3m的货车次通过此隧道，请你判断该货车能否通过该隧道，并说明理由． 22．位于哈密市的东天山特长隧道是国内设计施工难度最大、风险最高的公路隧道之一．如图是隧道施工时的截面图，其轮廓线可近似看作抛物线的一部分，按照如图所示的方式建立平面直角坐标系，已知其跨度ON为16米，且抛物线过点（4，4.5）． （1）求抛物线对应的函数解析式； （2）若两辆车在该隧道内并排行驶时，需沿中心黄线两侧行驶并间隔2.4米（中心线宽度不计），则两辆宽为2.4米，高为2.6米的货车是否能并排行驶？请判断并说明理由． 23．（2024•龙亭区一模）现要修建一条隧道，其截面为抛物线型，如图所示，线段OE表示水平的路面，以O为坐标原点，以OE所在的直线为x轴，以过点O作垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系．根据设计要求OE＝12m，该抛物线的顶点P到OE的距离为9m． （1）求满足设计要求的抛物线的函数解析式； （2）现需在这一隧道内壁的同样高度的A、B处安装上照明灯，如图所示，若要求A、B两个照明灯之间的水平距离为8m，求出此时A、B两个照明灯距离地面的高度． 24．（2024•平顶山三模）小明发现有一处隧道的截面由抛物线的一部分和矩形构成，他对此展开研究：测得矩形的宽为OC＝2m，长为OA＝8m，最高处点P到地面的距离PQ为6m．建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为y＝a（x﹣h）2+k．其中y（m）表示抛物线上任一点到地面OA的高度，x（m）表示抛物线上任一点到隧道一边OC的距离． （1）求抛物线的解析式． （2）为了保障货车在道路上的通行能力及行车安全，根据我国交通运输部的相关规定，普通货车的宽度应在2m﹣2.55m之间，高度应在3.8m﹣4.2m之间．小明发现隧道为单行道，一货车EFGH沿隧道中线行驶，宽度FG为2.4m，货车的最高处与隧道上部的竖直距离DE约为1.3m．通过计算，判断这辆货车的高度是否符合规定． 25.（2024•柘城县校级模拟）如图1，在物体运动的速度v关于时间t的函数图象中，函数图象与横轴以及直线t＝t1，t＝t2所围成的图形（阴影部分）面积等于物体从t1到t2这个时间段的运动路程．现某车以30m/s的速度驶向隧道，到达限速标志位置（隧道前500m）时开始减速，从开始减速到车头进入隧道用了20s，其速度v关于时间t的函数图象如图2所示，t1和t2是两次雷达测速的时刻，已知第一次雷达测速仪闪光时，车速已经降到了25m/s，第二次雷达测速仪闪光时，车速已经降到了22m/s，则下列说法不正确的是（　　） [雷达测速仪安装在车辆前进方向的路上，根据短时间的两次测速（均有闪光提示），测出两个时刻车辆和测速仪之间的距离，再用距离差除以两次测速的时间差，算出这段路程的平均车速] A．该车进入隧道时的速度为20m/s B．t1＝12s C．t2＝16s D．t1～t2时间段内该车的平均速度为23.5m/s 26．（2024•盘州市一模）如图①，桐梓隧道位于遵义市桐梓县境内，是贵州省高速公路第一长隧道．如图②是桐梓隧道的部分截面，图③是其截面简化示意图，由矩形ABCD和抛物线的一部分CED构成，矩形ABCD的边AB＝12m，AD＝2m，抛物线的最高点E离地面8m．以AB的中点为原点、AB所在直线为x轴．建立平面直角坐标系xOy． （1）求抛物线的解析式，并注明自变量的取值范围； （2）为了行驶安全，现要在隧道洞口处贴上黄黑立面标记．已知将该抛物线向上平移1m所扫过的区域即为贴黄黑立面标记的区域，则贴黄黑立面标记的区域的面积为 　 　m2； （3）该隧道为单向双车道，且规定车辆必须在距离隧道边缘大于等于2m范围内行驶，并保持车辆顶部与隧道有不少于的空隙，请利用二次函数的知识确定该隧道车辆的限制高度． 27．九（1）班数学课题学习小组，为了研究学习二次函数问题，他们经历了实践到应用的过程． （1）实践：他们对一条公路上横截面为抛物线的单向双车道的隧道进行测量，测得一隧道的路面宽为10m．隧道顶部最高处距地面6.25m，并画出了隧道截面图．建立了如图所示的直角坐标系，请你求出抛物线的解析式； （2）应用：按规定机动车辆通过隧道时，车顶部与隧道顶部在竖直方向上的高度差至少为0.5m．为了确保安全，问该隧道能否让最宽3m，最高3.5m的两辆厢式货车居中并列行驶（两车并列行驶时不考虑两车间的空隙）？并说明理由． 28．（2024•西安校级模拟）如图①，是某高速公路正在修建的隧道．图②是其中一个隧道截面示意图，由矩形OACB和抛物线的一部分CDB构成，矩形OACB的边OA＝12m，AC＝2m，抛物线的最高点D离地面8m． （1）以点O为原点、OA所在直线为x轴，建立平面直角坐标系xOy，求抛物线的表达式； （2）为了行驶安全，现要在隧道洞口处贴上黄黑立面标记．已知将该抛物线向上平移1m所扫过的区域即为贴黄黑立面标记的区域，则贴黄黑立面标记的区域的面积为 　 　m2； （3）该隧道为单向双车道，且规定车辆必须在距离隧道边缘大于等于2m范围内行驶，并保持车辆顶部与隧道有不少于的空隙，请利用二次函数的知识确定该隧道车辆的限制高度． 29．（2024秋•大连期中）如图，一条单向通行且一排道的隧道，它的截面由抛物线和长方形构成．在长方形OCBA中，OC长为6m，AO长为2m，隧道最高点P位于AB的中央且距地面5m，以OC为x轴，OA为y轴建立如图所示的平面直角坐标系． （1）求抛物线的函数表达式； （2）若一辆货车高4m，宽3m，这辆货车能否从该条隧道通过？为什么？ 30．（2024秋•红塔区校级月考）如图，某市一条高速公路的隧道口在平面直角坐标系上的示意图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是16m，宽是6m，隧道顶距地面8m． （1）求出隧道上部抛物线的解析式； （2）现有一大型运货汽车，装载某大型设备后，其宽为4m，车载大型设备的顶站与路面的距离均为7m，它能否完全通过这个隧道？请说明理由． （3）如果该隧道内设双行道，那么这辆运货汽车沿隧道中线右侧行驶能否完全通过这个隧道？说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题23 实际应用之隧道问题 例1：（2024秋•中山市校级月考）九（1）班数学课题学习小组，为了研究学习二次函数问题，他们经历了实践—应用—探究的过程 （1）实践：他们对一条公路上横截面为抛物线的单向双车道的隧道进行测量，测得隧道的路面宽为10米，隧道顶部最高处距地面6.25米，并画出了隧道截面图，建立了如图1所示的直角坐标系，请你求出抛物线的解析式． （2）应用：按规定机动车辆通过隧道时，车顶部与隧道顶部在竖起方向上的高度差至少为0.5米，为了确保安全，问该隧道能否让最宽3米，最高3.5米的两辆车居中并列行驶（不考虑两车之间的空隙）？ （3）探究：该课题学习小组为进一步探究抛物线的有关知识，他们借助上述抛物线模型，提出了以下两个问题，请予解答： ①如图2，在抛物线内作矩形ABCD，使顶点C、D落在抛物线上，顶点A、B落在x轴上，设矩形ABCD的周长为l，求l的最大值． ②如图3，过原点作一条直线y＝x，交抛物线于M，交抛物线的对称轴于N，P为直线OM上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点Q，问在直线OM上是否存在点P，使以点P、N、Q为顶点的三角形为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）根据坐标系可知此函数顶点坐标为（5，6.25），且图象过（10，0）点， 代入顶点式得：y＝a（x﹣5）2+6.25， ∴0＝a（10﹣5）2+6.25， 解得：a＝﹣0.25， ∴y＝﹣0.25（x﹣5）2+6.25； （2）当最宽3米，最高3.5米的两辆厢式货车居中并列行驶时， ∴10﹣3×2＝4，4÷2＝2， ∴x＝2代入解析式得： y＝﹣0.25（2﹣5）2+6.25； 解得y＝4， ∴4﹣3.5＝0.5（米）， ∴隧道能让最宽3米，最高3.5米的两辆厢式货车居中并列行驶； （3）①假设AO＝x米，可得AB＝（10﹣2x）米， ∴AD＝﹣0.25（x﹣5）2+6.25（米）； ∵矩形ABCD的周长为l， ∴l＝2[﹣0.25（x﹣5）2+6.25]+2（10﹣2x）＝﹣0.5x2+x+20， ∴l的最大值为：； ②在直线OM上存在点P，使以点P、N、Q为顶点的三角形为等腰直角三角形；理由如下： 当以P、N、Q为顶点的三角形是等腰直角三角形时， ∵P在y＝x的图象上，过P点作x轴的垂线交抛物线于点Q．如图3， ∴∠POA＝∠OPA＝45°， ∴Q点的纵坐标为5， ∴5＝﹣m2+10m 4， 解得：， ∴P或， 当∠P3NQ3＝90°时，过点Q3作Q3K1⊥对称轴， 当△NQ3K1为等腰直角三角形时，△NP3Q3为等腰直角三角形， Q点在OM的上方时， P3Q3＝2Q3K1，P3Q3＝，Q3K1＝5﹣x， Q点在OM的下方时， P4Q4＝2Q4K2，P4Q4＝，Q4K2＝x﹣5， ∴， 解得：x1＝4，x2＝10， P3（4，4），P4（10，10）， ∴使以P、N、Q为顶点的三角形是等腰直角三角形，P点的坐标为： 或或（4，4）或（10，10）． 对应练习： 1．（2024•通榆县一模）如图，一个横截面为抛物线的隧道，其底部的宽AB为8m，拱高为4m．该隧道为双向车道，且两车之间有0.4m的隔离带，一辆宽为2m的货车要安全通过这条隧道，需保持其顶部与隧道间有不少于0.5m的空隙，则该货车能够安全通行的最大高度是 　2.29　m． 【解答】解：以AB所在直线为x轴，过拱顶垂直地面的直线为y轴建立平面直角坐标系，如图： 则A（﹣4，0），C（0，4）， 设抛物线解析式为y＝ax2+k， 由题意，得， 解得：， ∴抛物线表达式为y＝﹣x2+4； ∵2+＝2.2， 当x＝2.2时，y＝﹣×2.22+4＝2.79， 2.79﹣0.5＝2.29 （m）． ∴该货车能够通行的最大高度为2.29m， 故答案为：2.29． 2．（2022秋•镇原县期中）有一辆载有长方体形状集装箱的货车想通过横截面为抛物线的隧道，如图所示，已知隧道的底部宽：AB为4m，高OC为3.2m，集装箱的宽与货车的宽都是2.4m，集装箱顶部离地面2.1m，这辆货车 　不能　通过这个隧道（填“能”或“不能”）． 【解答】解：如图，以O点为原点AB为x轴，建立直角坐标系， 根据题意知点A（﹣2，0）、B（2，0）、C（0，3.2）， 设抛物线解析式为y＝a（x+2）（x﹣2）， 将（0，3.2）代入，得：﹣4a＝3.2， 解得：a＝﹣0.8， 则抛物线解析式为y＝﹣0.8x2+3.2， 当x＝1.2时，y＝2.048＜2.1， 所以货车不能通过隧道． 故答案为：不能． 3．某隧道的内拱横截面的轮廓线是一条抛物线，隧道地面宽为16米，顶端离地面的高度为8米，当车辆宽度为10米时，车辆应限高在　　米内，才能确保隧道内行车安全． 【解答】解：建立如图所示的坐标系，虚线矩形为车辆最大通行时的位置， 设抛物线的顶点为D，由题意得，点D（8，8）， 设抛物线的表达式为y＝a（x﹣8）2+8， 将点（0，0）点入上式得：0＝a（0﹣8）2+8，解得a＝﹣， 故抛物线的表达式为y＝﹣（x﹣8）2+8， 设车辆的最右端为点A（13，0）， 将点A的坐标代入抛物线的表达式得：y＝﹣（13﹣8）2+8＝（米）， 故答案为． 4．（2023秋•农安县期末）如图，有一个横截面边缘为抛物线的隧道入口，隧道入口处的底面宽度为8m，两侧距底面4m高处各有一盏灯，两灯间的水平距离为6m，则这个隧道入口的最大高度为 　9.1　m（精确到0.1m）． 【解答】解：建立如图所示的平面直角坐标系． 由题意可知各点的坐标，A（﹣4，0），B（4，0），D（﹣3，4）． 设抛物线的解析式为：y＝ax2+c（a≠0），把B（4，0），D（﹣3，4）代入，得 ， 解得， ∴该抛物线的解析式为：y＝﹣x2+， 则C（0，）． ∵m≈9.1m． 故答案为：9.1． 5．（2024秋•平山县期中）如图是某隧道截面，由部分抛物线和矩形构成，以矩形的顶点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，竖直方向为y轴，建立平面直角坐标系，抛物线的解析式为，顶点为P，且AD＝2m．点C的坐标为 　（8，2）　． 【解答】解：由题意得：D（0，2）， 设C（x，y）， 抛物线的对称轴为：直线x＝﹣＝4， 在矩形ABCD中，AD＝BC， ∴C、D关于x＝4对称， x+0＝2×4，y＝2， 解得：x＝8， ∴C（8，2）， 故答案为：（8，2）． 6．（2024秋•平城区校级月考）山西是一个多山的省份，大部分地区平均海拔在1000米以上，全省面积中80%以上是山地和丘陵在公路建设中，过去的普遍做法是盘山绕行或深填高挖，现在则多沿着山脚打隧道而过．如图，已知某隧道的截面是抛物线形，且该抛物线的解析式为，为增加照明度，在该抛物线上距地面AB高为6米的点E，F处要安装两盏灯，则这两盏灯的水平距离EF是　　米． 【解答】解：令y＝6，则＝6， 解得， 故EF＝x1﹣x2＝4， 故答案为：． 7．（2023秋•霍邱县月考）如图，一辆宽为2米的货车要通过跨度为8米，拱高为4米的单行抛物线隧道（从正中通过），抛物线满足表达式y＝﹣+4．保证安全，车顶离隧道的顶部至少要有0.5米的距离，求货车的限高应是多少． 【解答】解：当x＝1时，y＝﹣+4＝3.75， ∴3.75﹣0.5＝3.25（米）． 答：货车的限高应是3.25米． 8．（2023•莲湖区一模）如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成．长方形的长为16m，宽为6m，抛物线的最高点C离路面AA1的距离为8m． （1）建立适当的坐标系，求出表示抛物线的函数表达式； （2）一大型货车装载设备后高为7m，宽为4m．如果隧道内设双向行驶车道，那么这辆货车能否安全通过？ 【解答】解：（1）如图，以AA1所在直线为x轴，以线段AA1的中点为坐标原点建立平面直角坐标系， 根据题意得A（﹣8，0），B（﹣8，6），C（0，8）， 设抛物线的解析式为y＝ax2+8，把B（﹣8，6）代入，得： 64a+8＝6， 解得：a＝﹣． ∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+8． （2）根据题意，把x＝±4代入解析式y＝﹣x2+8， 得y＝7.5m． ∵7.5m＞7m， ∴货运卡车能通过． 9．（2013•武汉模拟）有一抛物线形隧道跨度为8米，拱高为4米． （1）建立适当的平面直角坐标系，使隧道的顶端坐标为（O，4）；隧道的地面所在直线为x轴，求出此坐标系中抛物线形隧道对应的函数关系式； （2）一辆装满货后宽度为2米的货车要通过隧道，为保证通车安全，车要从正中通过，车顶离隧道顶部至少要有0.5米的距离，试求货车安全行驶装货的最大高度为多少米？ 【解答】解：（1）∵隧道跨度为8米，隧道的顶端坐标为（O，4）， ∴A、B关于y轴对称， ∴OA＝OB＝AB＝×8＝4， ∴点B的坐标为（4，0）， 设抛物线顶点式形式y＝ax2+4， 把点B坐标代入得，16a+4＝0， 解得a＝﹣， 所以，抛物线解析式为y＝﹣x2+4； （2）∵车的宽度为2米，车从正中通过， ∴x＝1时，y＝﹣×12+4＝， ∴货车安全行驶装货的最大高度为﹣＝（米）． 10．（2024•安康一模）某山体的隧道截面近似于抛物线，隧道最高点A距离地面5m，隧道地面MN宽8m．如图，以MN为x轴，M为坐标原点构建平面直角坐标系． （1）求抛物线的函数表达式． （2）现要在抛物线型隧道内安装一个矩形LED屏，LED屏长为2m，宽为50cm，若矩形同LED屏的一个顶点在抛物线上且长边需平行于MN．求LED屏底边距离地面的最大高度． 【解答】解：（1）根据题意，A为抛物线的顶点，A点坐标为（4，5），M（0，0），N（8，0）， 设抛物线解析式为y＝a（x﹣4）2+5， 把M（0，0）代入解析式得：16a+5＝0， 解得a＝﹣， ∴抛物线的函数表达式为y＝﹣（x﹣4）2+5； （2）如图所示： 由题意可知，EF∥MN，CD＝EF＝2m，CE＝DF＝50cm＝0.5m， 由（1）知，抛物线的对称轴为直线x＝4， ∴点C的横坐标为4﹣1＝3， ∴当x＝3时，y＝﹣×1+5＝4.6875， 4.6875﹣0.5＝4.1875（m）， ∴LED屏底边距离地面的最大高度为4.1875m． 11．（2017秋•蜀山区校级期中）有一辆载有长方体形状集装箱的货车想通横截面为抛物线的隧道，如图所示，已知隧道底部宽AB为 4m，高OC为 3.2m，集装箱的宽与货车的宽都是 2.4m，集装箱顶部离地面 2.1m．这辆货车能通过这个隧道吗？请说明理由． 【解答】解：如图，以O点为原点AB为x轴，建立直角坐标系， 根据题意知点A（﹣2，0）、B（2，0）、C（0，3.2）， 设抛物线解析式为y＝a（x+2）（x﹣2）， 将（0，3.2）代入，得：﹣4a＝3.2， 解得：a＝﹣0.8， 则抛物线解析式为y＝﹣0.8x2+3.2， 当x＝1.2时，y＝2.048＜2.1， 所以货车不能通过隧道． 12．（1）一辆宽2m的货车要通过跨度为8m、拱高为4m的单行抛物线隧道（从正中通过），为了保证安全，车顶离隧道顶部至少要0.5m的距离，货车的限高为多少？ （2）若将（1）中的单行道改为双行道，即货车必须从隧道中线的右侧通过，货车的限高应是多少？ 【解答】解：（1）如图所示，建立平面直角坐标系，∵隧道跨度为8米，隧道的顶端坐标为（O，4）， ∴A、B关于y轴对称， ∴OA＝OB＝AB＝×8＝4， ∴点B的坐标为（4，0）， 设抛物线顶点式形式y＝ax2+4， 把点B坐标代入得，16a+4＝0， 解得a＝﹣， 所以，抛物线解析式为y＝﹣x2+4（﹣4≤x≤4）， ∵车的宽度为2米，车从正中通过， ∴x＝1时，y＝﹣×12+4＝， ∴货车安全行驶装货的最大高度为﹣＝（米）， 即货车的限高为：m； （2）由题意可得：当x＝2时，y＝3， 故货车限高为3﹣0.5＝2.5（米）． 13．（2024秋•海珠区校级期中）如图是大广高速路上单向双车道某隧道的横截面，其形状是抛物线型，有关尺寸如图所示，现有一辆车身宽为2.5m的货车准备装一批货物途过此隧道前往某地，（根据高速公路管理规定：机动车在通过隧道时只能在一条道上行驶）． （1）建立适当的平面直角坐标系并求出此抛物线的解析式； （2）这辆货车满载货物时限高为多少？ 【解答】解：（1）如图，以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为y轴，建立直角坐标系， 则O（0，0），B（5，﹣6）， 设y＝ax2， ∵抛物线经过（5，﹣6）， ∴﹣6＝25a， ∴a＝﹣， ∴y＝﹣x2（﹣5≤x≤5）； （2）由题意，∵车身宽为2.5m， ∴令x＝2.5，则y＝﹣×2.52＝﹣1.5． ∴这辆货车满载货物时限高为1.5m． 14．（2024秋•福州期中）施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其最高点P距离地面高度为8米，宽度OM为16米．现以点O为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系（如图所示）． （1）求出这条抛物线的函数解析式，并写出自变量x的取值范围； （2）隧道下的公路是单向双车道，车辆并行时，安全平行间距为2米，该双车道能否同时并行两辆宽2.5米、高5米的特种车辆？请通过计算说明． 【解答】解：（1）依题意：抛物线形的公路隧道，其高度为8米，宽度OM为16米，现在O点为原点， ∴点M（16，0），顶点P（8，8）， 设抛物线的解析式为y＝ax2+bx， 把点M（16，0），点P（8，8）代入得： ， 解得， ∴抛物线的解析式为， ∵OM＝16，M（16，0）， ∴自变量x的取值范围为：0≤x≤16； （2）该双车道能同时并行两辆宽2.5米、高5米的特种车辆；理由如下： 当时，， 故能同时并行两辆宽2.5米、高5米的特种车辆． 15．（2024秋•大连期中）如图，一条单向通行且一排道的隧道，它的截面由抛物线和长方形构成．在长方形OCBA中，OC长为6m，AO长为2m，隧道最高点P位于AB的中央且距地面5m，以OC为x轴，OA为y轴建立如图所示的平面直角坐标系． （1）求抛物线的函数表达式； （2）若一辆货车高4m，宽3m，这辆货车能否从该条隧道通过？为什么？ 【解答】解：（1）由题意，设抛物线的方程为y＝a（x﹣3）2+5， 又∵点A（0，2）在抛物线上， ∴可有2＝a（0﹣3）2+5， 解得a＝﹣． ∴y＝﹣（x﹣3）2+5． （2）由题意，由（1）令y＝4，则有4＝﹣（x﹣3）2+5． ∴x＝3+或x＝3﹣． ∵3+﹣（3﹣）＝2＞3， ∴该货车可以通过． 16．（2024秋•苏州期中）项目式学习． 如何确定隧道中警示灯带的安装方案？ 素材1 2022年10月，温州市府东路过江通道工程正式开工，建成后将成为温州瓯江第一条超大直径江底行车隧道．隧道顶部横截面可视为抛物线，如图1，隧道底部宽AB为10m，高OC为5m． 素材2 货车司机长时间在隧道内行车容易疲劳驾驶，为了安全，拟在隧道顶部安装上下长度为20cm的警示灯带，沿抛物线安装．（如图2）．为了实效，相邻两条灯带的水平间距均为0.8m（灯带宽度可忽略）；普通货车的高度大约为2.5m（载货后高度），货车顶部与警示灯带底部的距离应不少于50cm．灯带安装好后成轴对称分布． 问题解决 任务1 确定隧道形状 在图1中建立合适的直角坐标系，求抛物线的函数表达式． 任务2 探究安装范围 在你建立的坐标系中，在安全的前提下，确定灯带安装点的横、纵坐标的取值范围． 任务3 拟定设计方案 求出同一个横截面下，最多能安装几条灯带，并根据你所建立的坐标系，求出最右边一条灯带安装点的横坐标． 【解答】解：任务1：以O为原点，以AB所在直线为x轴，以OC所在的直线为y轴建立如图所示的直角坐标系， ∴顶点C为（0，5）， ∵抛物线过A（﹣5，0）， 设抛物线的解析式为：y＝ax2+5， 把A（﹣5，0）代入解析式得：25a2+5＝0， 解得：a＝﹣， ∴抛物线的函数表达式为y＝﹣x2+5； 任务2： ∵普通货车的高度大约为2.5m，货车顶部与警示灯带底部的距离应不少于50cm，货车顶部与警示灯带底部的距离应不少于50cm， ∴当悬挂点的纵坐标y≥2.5+0.2+0.5＝3.2， 即悬挂点的纵坐标的最小值是3.2m， 当y＝3.2时，﹣x2+5＝3.2， ∴x＝±3， ∴悬挂点的横坐标的取值范围是：﹣3≤x≤3； 任务3： 方案一：如图2（坐标轴的横轴），从顶点处开始悬挂灯带， ∵﹣3≤x≤3，相邻两盏灯带悬挂点的水平间距均为0.8m， ∴若顶点一侧悬挂4条灯带时，0.8×4＞3， 若顶点一侧悬挂3条灯带时，0.8×3＝2.4＜3， ∴顶点一侧最多悬挂3条灯带， ∵灯挂满后成轴对称分布， ∴共可挂7条灯带， ∴最右边一条灯带的横坐标为：0.8×3＝2.4； 方案二：如图3， ∵若顶点一侧悬挂5条灯带时，0.4+0.8×（5﹣1）＞3， 若顶点一侧悬挂4条灯带时，0.4+0.8×（4﹣1）＜3， ∴顶点一侧最多悬挂4条灯带， ∵灯挂满后成轴对称分布， ∴共可挂8条灯带， ∴最右边一条灯带的横坐标为：0.4+0.8×3＝2.8． 综上，挂7条或8条，最右边一条灯带安装点的横坐标分别为2.4和2.8． 17．（2024秋•昭通月考）近年来，云南在公路与隧道建设方面成绩显著，已建成通车的公路隧道数量及长度均居全国第一．现有一座隧道的截面由抛物线和长方形构成．在长方形OCBA中，OC长为6m，AO长为2m，隧道最高点P位于AB的中央且距地面5m，以OC为x轴，OA为y轴建立如图所示的坐标系，若一辆货车高4m，宽3m，能否从隧道通过？为什么？ 【解答】解：设抛物线的方程为y＝a（x﹣3）2+5， 又∵点A（0，2）在抛物线上， ∴可有2＝a（0﹣3）2+5， 解得， ∴， 令y＝4，则有， ∴，， ∵， ∴该货车可以通过． 18．（2024秋•杭州月考）施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其高度为6米，宽度OM为12米，现在O点为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系（如图所示）． （1）求出这条抛物线的函数解析式； （2）施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”ABCD，使A、D点在抛物线上，B、C点在地面OM上，设A的横坐标为t，求AB＝ 　﹣（x﹣6）2+6　，AD＝ 　12﹣2x　.（用含t的代数式表示） （3）为了筹备材料，需求出“脚手架”三根木杆AB、AD、DC的长度之和的最大值是多少？ 【解答】解：（1）∵顶点坐标（6，6）， ∴设y＝a（x﹣6）2+6（a≠0）， 又∵图象经过（0，0）， ∴0＝a（0﹣6）2+6， ∴， ∴这条抛物线的函数解析式为y＝﹣（x﹣6）2+6，即y＝﹣x2+2x； （2）设A（x，y）， ∴A（x，﹣（x﹣6）2+6）， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝DC＝﹣（x﹣6）2+6， 根据抛物线的轴对称性，可得：OB＝CM＝x， ∴BC＝12﹣2x，即AD＝12﹣2x， 故答案为：﹣（x﹣6）2+6，12﹣2x； （3）令L＝AB+AD+DC ＝2[﹣（x﹣6）2+6]+12﹣2x ＝﹣x2+2x+12 ＝﹣（x﹣3）2+15． ∴当x＝3，L最大值为15， ∴AB、AD、DC的长度之和最大值为15米． 19．（2023秋•莱西市校级期中）如图，有一条双向隧道，其横断面由抛物线和矩形ABCO的三边组成，隧道的最大高度为4.9米；AB＝10米，BC＝2.4米， （1）在如图所示的坐标系中，求抛物线的解析式． （2）若有一辆高为4米，宽为2米装有集装箱的汽车要通过隧道，则汽车靠近隧道的一侧离开隧道壁m米，才不会碰到隧道的顶部，又不违反交通规则，问m的取值范围是多少？ 【解答】解：（1）设抛物线解析式为y＝ax2+bx， 由题意知，隧道的最大高度为4.9米；AB＝10米，BC＝2.4米， 由题意可知，抛物线的顶点坐标为（5，2.5），且过（10，0）点， 则有， ∴a＝﹣0.1，b＝1， ∴抛物线的解析式为y＝﹣0.1（x﹣5）2+2.5； （2）由题意得，y＝﹣0.1（x﹣5）2+2.5， 当y＝4﹣2.4＝1.6时，﹣0.1（x﹣5）2+2.5＝1.6， ∴x1＝2，x2＝8． 当x＝2或8时，集装箱刚好碰到隧道的顶部，此时m＝2， 当m＝3时，此时刚好违反交通规则， ∵汽车靠近隧道的一侧离开隧道壁m米，才不会碰到隧道的顶部，又不违反交通规则， ∴2＜m＜3， ∴m的取值范围是2＜m＜3． 20．（2024秋•东港区校级月考）如图，隧道的截面由抛物线DEC和矩形ABCD构成，矩形的长AB为4m，宽BC为3m，以DC所在的直线为x轴，线段CD的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，y轴是抛物线的对称轴，最高点E到地面的距离为4m． （1）求出抛物线的解析式； （2）在距离地面高处，隧道的宽度是多少？ （3）如果该隧道为单行道（只能朝一个方向行驶），现有一辆货运卡车高3.4m、宽2.4m，这辆货运卡车能否通过该隧道？通过计算说明你的结论． 【解答】解：（1）根据题意，得点D（﹣2，0），C（2，0），E（0，1）． 设抛物线的解析式为y＝ax2+1． 把点D（﹣2，0）代入y＝ax2+1，得4a+1＝0． 解得． ∴抛物线的解析式为． （2）在中，令，得． 解得，． ∵， ∴在距离地面高处，隧道的宽度是． （3）解：这辆货运卡车能通过该隧道． 2.4÷2＝1.2（m）． 将x＝1.2代入，得y＝0.64． ∵3+0.64＝3.64＞3.4， ∴这辆货运卡车能通过该隧道． 21．（2023秋•滁州校级月考）如图1，某高速路有一段隧道，隧道的横截面如图2，横截面的上边缘是一段抛物线，以抛物线的对称轴作为y轴，以水平地面作为x轴建立平面直角坐标系．已知该抛物线的顶点坐标为C（0，6），抛物线与x轴的交点分别为点A和点B，抛物线的表达式为．（长度单位：m） （1）求AB的长； （2）若每个隧道都是双向车道，中间是实线（车辆不能压实线，实线的宽度忽略不计），现有一辆高4m，宽3m的货车次通过此隧道，请你判断该货车能否通过该隧道，并说明理由． 【解答】解：（1）把点C（0，6）代入，得c＝6， ∴抛物线的表达式为． 当y＝0时，， 解得，x1＝6，x2＝﹣6， ∴AB＝6﹣（﹣6）＝12， ∴AB的长为12m． （2）该货车能通过该隧道，理由如下： 当x＝3时，， ∵4.5＞4， ∴高4m，宽3m的货车能通过该隧道． 22．位于哈密市的东天山特长隧道是国内设计施工难度最大、风险最高的公路隧道之一．如图是隧道施工时的截面图，其轮廓线可近似看作抛物线的一部分，按照如图所示的方式建立平面直角坐标系，已知其跨度ON为16米，且抛物线过点（4，4.5）． （1）求抛物线对应的函数解析式； （2）若两辆车在该隧道内并排行驶时，需沿中心黄线两侧行驶并间隔2.4米（中心线宽度不计），则两辆宽为2.4米，高为2.6米的货车是否能并排行驶？请判断并说明理由． 【解答】解：（1）由题意得抛物线过原点， 设抛物线的函数表达式为y＝ax2+bx，把（16，0），（4，4.5）代入表达式， 得， 解得， ∴抛物线对应的函数表达式为； （2）能，理由如下： 由（1）可知8）2+6， 如图，由题意可知中心线左侧货车需距离中心线最远2.4米，货车宽为2.4米，此时货车距离隧道左侧路边缘3.2米， 当x＝3.2时，， ∵2.6＜3.84， ∴这两辆货车能并排行驶． 23．（2024•龙亭区一模）现要修建一条隧道，其截面为抛物线型，如图所示，线段OE表示水平的路面，以O为坐标原点，以OE所在的直线为x轴，以过点O作垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系．根据设计要求OE＝12m，该抛物线的顶点P到OE的距离为9m． （1）求满足设计要求的抛物线的函数解析式； （2）现需在这一隧道内壁的同样高度的A、B处安装上照明灯，如图所示，若要求A、B两个照明灯之间的水平距离为8m，求出此时A、B两个照明灯距离地面的高度． 【解答】解：（1）∵OE＝12m，该抛物线的顶点P到OE的距离为9m， ∴抛物线的顶点P（6，9）， ∴可设抛物线的解析式为y＝a（x﹣6）2+9， 把（0，0）代入，得， ∴抛物线的解析式为； （2）∵A、B距离地面的高度相同， ∴A、B两点关于抛物线的对称轴对称． 如图，过点B作y轴的垂线BQ，交y轴于点Q，交抛物线的对称轴于点F，则BF经过点A． 由（1）知，抛物线的对称轴为x＝6，则FQ＝6． ∵AB＝8， 则BF＝AF＝4， ∴AQ＝FQ﹣AF＝2，BQ＝QF+BF＝10， ∴A点的横坐标为2，B点的横坐标为10， 令x＝2，代入抛物线的解析式， 得y＝5， ∴此时A、B两个照明灯距离地面的高度为5m． 24．（2024•平顶山三模）小明发现有一处隧道的截面由抛物线的一部分和矩形构成，他对此展开研究：测得矩形的宽为OC＝2m，长为OA＝8m，最高处点P到地面的距离PQ为6m．建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为y＝a（x﹣h）2+k．其中y（m）表示抛物线上任一点到地面OA的高度，x（m）表示抛物线上任一点到隧道一边OC的距离． （1）求抛物线的解析式． （2）为了保障货车在道路上的通行能力及行车安全，根据我国交通运输部的相关规定，普通货车的宽度应在2m﹣2.55m之间，高度应在3.8m﹣4.2m之间．小明发现隧道为单行道，一货车EFGH沿隧道中线行驶，宽度FG为2.4m，货车的最高处与隧道上部的竖直距离DE约为1.3m．通过计算，判断这辆货车的高度是否符合规定． 【解答】解：（1）由题意得，抛物线的顶点为P（4，6）， ∴可设抛物线为y＝a（x﹣4）2+6． 又过C（0，2）， ∴2＝a（0﹣4）2+6． ∴a＝﹣． ∴抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣4）2+6． （2）由题意得，∵FG＝2.4， ∴FQ＝1.2，OF＝4﹣1.2＝2.8． ∴F（2.8，0）． 可设D（2.8，d）， ∴d＝﹣（2.8﹣4）2+6＝5.64． ∴D（2.8，5.64），即DF＝5.64m． ∴EF＝DF﹣DE＝5.64﹣1.3＝4.34（m）． ∵4.34m＞4.2m， ∴这辆货车的高度不符合规定． 25.（2024•柘城县校级模拟）如图1，在物体运动的速度v关于时间t的函数图象中，函数图象与横轴以及直线t＝t1，t＝t2所围成的图形（阴影部分）面积等于物体从t1到t2这个时间段的运动路程．现某车以30m/s的速度驶向隧道，到达限速标志位置（隧道前500m）时开始减速，从开始减速到车头进入隧道用了20s，其速度v关于时间t的函数图象如图2所示，t1和t2是两次雷达测速的时刻，已知第一次雷达测速仪闪光时，车速已经降到了25m/s，第二次雷达测速仪闪光时，车速已经降到了22m/s，则下列说法不正确的是（　　） [雷达测速仪安装在车辆前进方向的路上，根据短时间的两次测速（均有闪光提示），测出两个时刻车辆和测速仪之间的距离，再用距离差除以两次测速的时间差，算出这段路程的平均车速] A．该车进入隧道时的速度为20m/s B．t1＝12s C．t2＝16s D．t1～t2时间段内该车的平均速度为23.5m/s 【解答】解：∵函数图象与横轴以及直线t＝t1，t＝t2所围成的图形（阴影部分）面积等于物体从t1到t2这个时间段的运动路程，某车以30m/s的速度驶向隧道，到达限速标志位置（隧道前500m）时开始减速， ∴图2中函数图象与横轴、纵轴、直线t＝20围成的梯形的面积为500． 设t＝20时对应的车速为v1， ∴＝500． 解得：v1＝20． ∴该车进入隧道时的速度为20m/s． 故A选项正确，不符合题意； 设v与t的函数关系式为：v＝kt+b（k≠0）． ∴． 解得：． ∴v＝﹣0.5t+30． 当v＝25时，25＝﹣0.5t+30． 解得：t＝10． 即t1＝10． 故B错误，符合题意； 当v＝22时，22＝﹣0.5t+30． 解得：t＝16． 即t2＝16． 故C正确，不符合题意； t1～t2时间段内该车的平均速度为：＝23.5m/s． 故D正确，不符合题意． 故选：B． 26．（2024•盘州市一模）如图①，桐梓隧道位于遵义市桐梓县境内，是贵州省高速公路第一长隧道．如图②是桐梓隧道的部分截面，图③是其截面简化示意图，由矩形ABCD和抛物线的一部分CED构成，矩形ABCD的边AB＝12m，AD＝2m，抛物线的最高点E离地面8m．以AB的中点为原点、AB所在直线为x轴．建立平面直角坐标系xOy． （1）求抛物线的解析式，并注明自变量的取值范围； （2）为了行驶安全，现要在隧道洞口处贴上黄黑立面标记．已知将该抛物线向上平移1m所扫过的区域即为贴黄黑立面标记的区域，则贴黄黑立面标记的区域的面积为 　12　m2； （3）该隧道为单向双车道，且规定车辆必须在距离隧道边缘大于等于2m范围内行驶，并保持车辆顶部与隧道有不少于的空隙，请利用二次函数的知识确定该隧道车辆的限制高度． 【解答】解：（1）由题意得，顶点E（0，8）， ∴可设抛物线为y＝ax2+8． 又∵AB＝12m，AD＝2m， ∴D（6，2），﹣6≤x≤6． ∴2＝36a+8． ∴a＝﹣． ∴所求抛物线的解析式为y＝﹣x2+8（﹣6≤x≤6）． （2）由题意，如图， 将该抛物线向上平移1m所扫过的区域即为贴黄黑立面标记的区域+抛物线CED面积＝抛物线CED面积+矩形C'D'DC面积． ∴贴黄黑立面标记的区域的面积为1×12＝12（m2）． 故答案为：12． （3）由题意，∵车辆必须在距离隧道边缘大于等于2m范围内行驶， ∴可令x＝4，则y＝﹣×42+8＝． 又﹣＝5（米）， ∴该隧道车辆的限制高度为5米． 27．九（1）班数学课题学习小组，为了研究学习二次函数问题，他们经历了实践到应用的过程． （1）实践：他们对一条公路上横截面为抛物线的单向双车道的隧道进行测量，测得一隧道的路面宽为10m．隧道顶部最高处距地面6.25m，并画出了隧道截面图．建立了如图所示的直角坐标系，请你求出抛物线的解析式； （2）应用：按规定机动车辆通过隧道时，车顶部与隧道顶部在竖直方向上的高度差至少为0.5m．为了确保安全，问该隧道能否让最宽3m，最高3.5m的两辆厢式货车居中并列行驶（两车并列行驶时不考虑两车间的空隙）？并说明理由． 【解答】解：（1）根据坐标系可知此函数顶点坐标为（5，6.25），且图象过（10，0）点， 代入顶点式得： y＝a（x﹣5）2+6.25， ∴0＝a（10﹣5）2+6.25， 解得：a＝﹣0.25， ∴y＝﹣0.25（x﹣5）2+6.25； （2）隧道能让最宽3m，最高3.5m的两辆厢式货车居中并列行驶． 理由如下： 当最宽3m，最高3.5m的两辆厢式货车居中并列行驶时， ∴10﹣3×2＝4， 4÷2＝2， ∴x＝2代入解析式得： y＝﹣0.25（2﹣5）2+6.25； y＝4， 4﹣3.5＝0.5， ∴隧道能让最宽3m，最高3.5m的两辆厢式货车居中并列行驶． 28．（2024•西安校级模拟）如图①，是某高速公路正在修建的隧道．图②是其中一个隧道截面示意图，由矩形OACB和抛物线的一部分CDB构成，矩形OACB的边OA＝12m，AC＝2m，抛物线的最高点D离地面8m． （1）以点O为原点、OA所在直线为x轴，建立平面直角坐标系xOy，求抛物线的表达式； （2）为了行驶安全，现要在隧道洞口处贴上黄黑立面标记．已知将该抛物线向上平移1m所扫过的区域即为贴黄黑立面标记的区域，则贴黄黑立面标记的区域的面积为 　12　m2； （3）该隧道为单向双车道，且规定车辆必须在距离隧道边缘大于等于2m范围内行驶，并保持车辆顶部与隧道有不少于的空隙，请利用二次函数的知识确定该隧道车辆的限制高度． 【解答】解：（1）由题意得，B（0，2）， ∴可设抛物线为y＝a（x﹣h）2+k． 又∵AB＝12m， ∴D（6，8），0≤x≤12． ∴y＝a（x﹣6）2+8．将B（0，2） ∴a＝﹣． ∴所求抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣6）2+8（0≤x≤12）． （2）由题意，如图， 将该抛物线向上平移1m所扫过的区域即为贴黄黑立面标记的区域+抛物线CED面积＝抛物线CED面积+矩形C'D'DC面积． ∴贴黄黑立面标记的区域的面积为1×12＝12（m2）． 故答案为：12． （3）由题意，∵车辆必须在距离隧道边缘大于等于2m范围内行驶， ∴可令x＝2，则y＝﹣×42+8． 又﹣＝5（米）， ∴该隧道车辆的限制高度为5米． 29．（2024秋•大连期中）如图，一条单向通行且一排道的隧道，它的截面由抛物线和长方形构成．在长方形OCBA中，OC长为6m，AO长为2m，隧道最高点P位于AB的中央且距地面5m，以OC为x轴，OA为y轴建立如图所示的平面直角坐标系． （1）求抛物线的函数表达式； （2）若一辆货车高4m，宽3m，这辆货车能否从该条隧道通过？为什么？ 【解答】解：（1）由题意，设抛物线的方程为y＝a（x﹣3）2+5， 又∵点A（0，2）在抛物线上， ∴可有2＝a（0﹣3）2+5， 解得a＝﹣． ∴y＝﹣（x﹣3）2+5． （2）由题意，由（1）令y＝4，则有4＝﹣（x﹣3）2+5． ∴x＝3+或x＝3﹣． ∵3+﹣（3﹣）＝2＞3， ∴该货车可以通过． 30．（2024秋•红塔区校级月考）如图，某市一条高速公路的隧道口在平面直角坐标系上的示意图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是16m，宽是6m，隧道顶距地面8m． （1）求出隧道上部抛物线的解析式； （2）现有一大型运货汽车，装载某大型设备后，其宽为4m，车载大型设备的顶站与路面的距离均为7m，它能否完全通过这个隧道？请说明理由． （3）如果该隧道内设双行道，那么这辆运货汽车沿隧道中线右侧行驶能否完全通过这个隧道？说明理由． 【解答】解：（1）根据题意得A（﹣8，0），B（﹣8，6），C（0，8）， 设抛物线的解析式为y＝ax2+8（a≠0），把B（﹣8，6）代入64a+8＝6， 解得：． 抛物线的解析式为； （2）货运汽车能完全通过这个隧道．理由如下： 根据题意，把x＝2代入解析式， 得． ∵7.875m＞7m， ∴货运汽车能通过； （3）货运汽车能完全通过这个隧道．理由如下： 根据题意，把x＝4代入解析式， 得． ∵7.5m＞7m， ∴货运汽车能通过． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$