精品解析：河南省南阳市2024-2025学年高二上学期11月期中质量评估数学试题

2024年秋期高中二年级期中质量评估 数学试题 注意事项： 1.考生做题时将答案答在答题卡的指定位置上，在本试卷上答题无效. 2.答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 3.选择题答案使用2B铅笔填涂，非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚. 4.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效. 5.保持卷面清洁，不折叠、不破损. 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 若向量是直线的一个方向向量，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定的方向向量求出直线的斜率，再求出倾斜角即可. 【详解】设直线的倾斜角为， 若向量是直线的一个方向向量， 则直线的斜率为， 因为，所以. 故选：A. 2. 下列椭圆的形状更接近于圆的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别求出四个椭圆的离心率，根据离心率越小越接近于圆可得答案. 【详解】对于A，，，则，所以； 对于B，，，则，所以； 对于C，，，则，所以； 对于D，，，则，所以. 因为， 所以椭圆的形状更接近于圆. 故选：D. 3. 已知点与关于直线对称，则的值分别为（ ） A. 1，3 B. ， C. -2，0 D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】 点关于直线对称，则利用垂直关系，以及线段的中点在直线上，列式求解. 【详解】，若点与关于直线对称， 则直线与直线垂直，直线的斜率是， 所以，得. 线段的中点在直线上，则，得 故选:B 4. 已知O为坐标原点，F为抛物线的焦点，点在C上，且，则C的方程为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线的定义得，结合得，将代入抛物线的方程即可解得的值，进而得C的方程. 【详解】 由抛物线的定义，得， 又，，则，即， 因此，由点在C上，得，结合，解得， 所以C的方程为． 故选：B． 5. 双曲线：的左右焦点分别为，，一条渐近线方程为，若点在双曲线上，且，则（ ） A. 7 B. 9 C. 1或9 D. 3或7 【答案】B 【解析】 【分析】由渐近线方程可得，则，后由双曲线定义可得答案. 【详解】由，可得，则. 又因在双曲线，则由双曲线定义，有，可得. 故选：B 6. 椭圆上的两点A，B关于直线对称，则弦的中点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，设，由点差法代入计算，即可得到，再将中点坐标代入直线计算，即可得到结果. 【详解】设，则其中点坐标为， 则，两式相减可得， 即， 因为A，B关于直线对称，则， 又，所以， 即，所以， 且点在直线上，则， 解得，所以. 故选：A 7. 已知P为抛物线上的一点，过P作圆的两条切线，切点分别为A，B，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意作图，根据余弦的二倍角公式，利用两点距离公式，可得答案. 【详解】由圆的方程，则圆心，半径，结合题意作图如下： 由与圆相切，则，且， 设，则，可得， 的最小值为，的最大值为. 故选：B. 8. 已知双曲线的左右焦点分别为，且，直线过且与该双曲线的一条渐近线平行，与双曲线的交点为，若的内切圆半径恰为，则此双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件探求出的内切圆圆心坐标，借助点到直线距离公式计算可得，结合求，进而得离心率. 【详解】设双曲线的半焦距为，则， 由对称性，不妨令与平行的渐近线为， 则直线方程为：，即， 设的内切圆与三边相切的切点分别为，，， 如图所示， 则， 即，而轴，圆半径为，则， 点到直线的距离：，整理得， 且，解得， 又因为，可得， 所以双曲线的离心率， 故选：D. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 以下四个命题为真命题的是（ ） A. 若、、三点共线，则m的值为2 B. 直线的倾斜角的范围是 C. 已知点，，过点的直线与线段相交，则直线的斜率k的取值范围是 D. 直线与直线平行，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，由点的坐标写出向量，根据题意可得向量共线，建立方程，可得答案；对于B，由直线方程可得直线斜率，根据余弦函数的值域，利用正切函数的性质，可得答案；对于C，由题意作图，利用两点斜率公式求得边界直线斜率，可得答案；对于D，由直线平行建立方程，验根，可得答案. 【详解】对于A，取，，由题意可得，解得，故A错误； 对于B，由直线方程，则斜率， 由，则，设直线的倾斜角为，则， 由，解得，故B正确； 对于C，设，由题意可作图如下： 直线的斜率，直线的斜率， 由图可知直线绕点按逆时针旋转到直线，则，解得，故C正确； 对于D，由题意可得，则，，解得或， 当时，，不合题意；当时，，符合题意，故D正确. 故选：BCD. 10. 已知，直线：过定点A，：过定点B，与交于点M，则下列结论正确的是（ ） A. B. 点M在上 C. 的最大值是25 D. 的最大值为 【答案】AB 【解析】 【分析】根据两直线方程得到斜率，再根据斜率之间的关系得到两直线之间的关系，即可判断A，根据两条线垂直及求轨迹方法判断B，根据基本不等式判断C，根据三角换元以及辅助角公式判断D. 【详解】对A,,所以，故A正确； 对于B，直线：可化为，所以定点为， 直线：可化为，定点为， 因为，所以，设，则， 所以， 化简可得，故B正确； 对于C，根据选项B可得， 所以，当且仅当时，等号成立， 此时的最大值是，故C错误； 对于D，设，则， 所以， 即的最大值为，故D错误； 故选：AB. 11. 曲线C是平面内与两个定点，的距离的积等于3的点P的轨迹，则下列结论正确的是（ ） A. 曲线C关于坐标轴对称 B. 点P到原点距离的最大值为2 C. 周长的最小值为 D. 点P到y轴距离的最大值为 【答案】ABC 【解析】 【分析】由题意利用两点距离公式，整理曲线方程，对于A，任意取关于坐标轴的对称点代入方程，可得答案；对于B，利用平面向量的线性运算以及模长公式，结合三角形三边关系以及余弦函数的性质，可得答案；对于C，利用基本不等式，可得答案；对于D，根据余弦定理与基本不等式，可求得三角形面积的最大值，由底为定值，可得答案. 【详解】设，由题意可得， 整理可得曲线， 设，则， 对于A，任意取曲线的点，即， 点关于轴的对称点为，， 显然成立，所以曲线关于轴对称，同理可得曲线关于轴对称，故A正确； 对于B，由是与的中点，则， ， 当共线时，取得最大值，，且，取得最大值， 所以取得最大值，故B正确； 对于C，的周长为， 当且仅当，等号成立，故C正确； 对于D，在中，由余弦定理可得， 当且仅当时，等号成立，取得最大值， 所以的面积取得最大值， 点到轴的距离取得最大值，故D错误. 故选：ABC. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据焦点在x轴上的椭圆方程的特征得到不等式，求出实数k的取值范围. 【详解】，解得， 故实数k的取值范围是. 故答案为： 13. 已知，，，若平面内满足到直线：的距离为1的点P恰有3个，则________. 【答案】 【解析】 【分析】设，由可得点P的轨迹是圆，圆心在原点，半径为2，结合题意可得圆心到直线的距离为1，进而列出方程求解即可. 【详解】设，由，得， 整理得，，即点P的轨迹是圆，圆心在原点，半径为2. 由题意，该圆上恰有3个点到直线的距离为1， 则圆心到直线的距离为1， 即，解得. 故答案为：. 14. 已知P，Q分别在直线：与直线：上，且，点，，则的最小值为________. 【答案】## 【解析】 【分析】利用数形结合，找到线段的等量关系进行转化，找到最小值即可得解. 【详解】因为，， 所以直线与间的距离为，又，故， 过作直线垂直于，如图， 则可设直线的方程为，代入，得，则， 所以直线的方程， 将沿着直线往上平移个单位到点，设， 则，解得或（舍去），则， 连接交直线于点P，过P作于Q，连接BQ， 有，即四边形为平行四边形， 则，即有， 显然是直线上的点与点距离和的最小值， 因此的最小值，即的最小值， 因为，，所以， 所以的最小值为. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：本题解决的关键是将等价转化为，从而得解. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知抛物线，焦点为. （1）求的坐标及抛物线的准线方程； （2）已知点是抛物线上的一个动点，定点，则当点在抛物线C上移动时，求的最小值. 【答案】（1），准线方程为. （2）3 【解析】 【分析】（1）根据抛物线方程求得焦点坐标以及准线方程. （2）根据抛物线的定义求得正确答案. 【小问1详解】 将抛物线：化为标准方程得，， 其焦点坐标为，准线方程为. 【小问2详解】 由抛物线的定义知，点P到焦点的距离即为点P到准线的距离， 为点P到定点的距离与点P到准线的距离之和， 要使得最小， 则点P，A在一条垂直于准线的直线上， 故最小值即为点到准线的距离为3， 所以，的最小值为3. 16. 已知点P是直线：与直线：的交点. （1）求过点P且在两坐标轴上截距相等的直线方程； （2）设Q为圆E：上的一个动点，求中点M的轨迹方程. 【答案】（1）或. （2）. 【解析】 【分析】（1）联立两直线方程，求得交点坐标，分截距是否为零两种情况，结合截距式方程，可得答案； （2）设出动点的坐标，利用中点坐标，结合圆的方程，可得答案. 【小问1详解】 联立方程组，解得，所以点P的坐标为. 若直线的截距为0，即直线经过原点，则直线方程为，即； 若直线的截距不为0，设直线方程为， 将点代入，得，此时直线方程为， 所以，过点P且在两坐标轴上截距相等的直线方程为或. 【小问2详解】 设点，点， 由点M是线段的中点可得，解得， 由于点在圆：上， 所以，化简得， 所以点M的轨迹方程为. 17. 已知椭圆C：的左焦点为F，若C的焦距为且经过点，过点F的直线交椭圆于P，Q两点. （1）求椭圆方程； （2）若直线与x轴不垂直，在x轴上是否存在点使得恒成立?若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】（1） （2）存在， 【解析】 【分析】（1）由焦距为可求得，再将点代入椭圆C方程即可求得，进而求解即可； （2）结合题意易得，转化为，联立直线与椭圆方程，由韦达定理代入运算得解. 【小问1详解】 由题意，，即，则①； 又点在椭圆C上，故②， 联立①②解方程组得，，， 所以椭圆C的方程为. 【小问2详解】 假设存在点，使得恒成立， 易知点，设点，， 设直线的方程为：， 联立方程组得，， 则由根与系数的关系得，，，（*） 若满足，则，即， 整理得，， 又，，代入上式得，， 整理得，， 将（*）式代入得，， 又，解得， 故存在点使得恒成立. 18. 已知双曲线C：的焦点到渐近线的距离为1，A，B分别是C的左、右顶点，P是C上异于A，B的一点，直线，的斜率之积为. （1）求双曲线C的方程； （2）已知过点的直线：，交C的左、右两支于D，E两点（异于A，B）. ①求m的取值范围； ②若，其中O为坐标原点，求直线的方程. 【答案】（1）. （2）①或；②或. 【解析】 【分析】（1）设，由点在双曲线上及直线，的斜率之积为，结合焦点到渐近线的距离为1，即可求解； （2）（i）联立直线、双曲线方程，结合韦达定理即可求解；（ii）结合韦达定理即可求解. 【小问1详解】 设双曲线的一个焦点为，渐近线方程为，即， 根据题意，，双曲线的方程为. 设点，则，于是， 由，得，， 根据题意，， 解得， 所以双曲线C的方程为. 【小问2详解】 （i）设点，，联立方程组得， ， 易知恒成立， 由根与系数的关系，，. 因为直线与双曲线左右两支相交，所以m需满足 ，解得或. （ii）由图易知，， 则 ， 所以，解得或， 由（i）知，得，直线的方程为， 即或. 19. 通过研究，已知对任意平面向量，把绕其起点A沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点B绕点A逆时针方向旋转角得到点P， （1）已知平面内点，点，把点B绕点A逆时针旋转得到点P，求点P的坐标： （2）已知二次方程的图像是由平面直角坐标系下某标准椭圆绕原点O逆时针旋转所得的斜椭圆C， （i）求斜椭圆C的离心率； （ⅱ）过点作与两坐标轴都不平行的直线交斜椭圆C于点M、N，过原点O作直线与直线垂直，直线交斜椭圆C于点G、H，判断是否为定值，若是，请求出定值，若不是，请说明理由. 【答案】（1） （2）（i）；（ⅱ）是，2 【解析】 【分析】（1）借助所给定义计算即可得； （2）（i）计算出该斜椭圆的长轴长与焦距，结合离心率定义计算即可得； （ⅱ）法一：设出直线、，联立斜椭圆方程可得与交点横坐标有关韦达定理，结合弦长公式即可表示出，计算即可得； 法二：将所有点、直线与曲线都绕原点O顺时针旋转后，再设出直线、旋转后方程，联立标准方程可得与交点纵坐标有关韦达定理，结合弦长公式即可表示出，计算即可得. 【小问1详解】 由已知可得，则， 设，则， 所以，，即点P的坐标为； 【小问2详解】 （i）由与交点为和，则， 由与交点为和， 则，所以，； （ⅱ）法一：设直线：，、， 与斜椭圆联立：， 有， ∵，， ∴ ， 设直线：，代入斜椭圆， 有， ∴，∴， 故. 法二：将椭圆顺时针旋转，由①可得椭圆方程为， 点Q旋转后的坐标为， 当直线旋转后斜率不存在时，，，， 当直线旋转后斜率存在时，设直线旋转后为， 旋转后、， 与椭圆方程联立，即， 可得， ，， ， 设直线旋转后为，代入椭圆方程中， 有，， . 综上所述，. 【点睛】关键点点睛：本题关键点在于对旋转后的方程的理解与运用，最后一问可直接在旋转后的斜椭圆上计算，也可在标准椭圆下计算，其旋转前后的线段长度不变. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年秋期高中二年级期中质量评估 数学试题 注意事项： 1.考生做题时将答案答在答题卡的指定位置上，在本试卷上答题无效. 2.答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 3.选择题答案使用2B铅笔填涂，非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚. 4.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效. 5.保持卷面清洁，不折叠、不破损. 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 若向量是直线的一个方向向量，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 下列椭圆的形状更接近于圆的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知点与关于直线对称，则的值分别为（ ） A. 1，3 B. ， C. -2，0 D. ， 4. 已知O为坐标原点，F为抛物线的焦点，点在C上，且，则C的方程为（ ）． A. B. C. D. 5. 双曲线：的左右焦点分别为，，一条渐近线方程为，若点在双曲线上，且，则（ ） A. 7 B. 9 C. 1或9 D. 3或7 6. 椭圆上的两点A，B关于直线对称，则弦的中点坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 已知P为抛物线上的一点，过P作圆的两条切线，切点分别为A，B，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 8. 已知双曲线的左右焦点分别为，且，直线过且与该双曲线的一条渐近线平行，与双曲线的交点为，若的内切圆半径恰为，则此双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 以下四个命题为真命题的是（ ） A. 若、、三点共线，则m的值为2 B. 直线的倾斜角的范围是 C. 已知点，，过点的直线与线段相交，则直线的斜率k的取值范围是 D. 直线与直线平行，则 10. 已知，直线：过定点A，：过定点B，与交于点M，则下列结论正确的是（ ） A. B. 点M在上 C. 的最大值是25 D. 的最大值为 11. 曲线C是平面内与两个定点，的距离的积等于3的点P的轨迹，则下列结论正确的是（ ） A. 曲线C关于坐标轴对称 B. 点P到原点距离的最大值为2 C. 周长的最小值为 D. 点P到y轴距离的最大值为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的取值范围是__________. 13. 已知，，，若平面内满足到直线：的距离为1的点P恰有3个，则________. 14. 已知P，Q分别在直线：与直线：上，且，点，，则的最小值为________. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知抛物线，焦点为. （1）求的坐标及抛物线的准线方程； （2）已知点是抛物线上的一个动点，定点，则当点在抛物线C上移动时，求的最小值. 16. 已知点P是直线：与直线：的交点. （1）求过点P且在两坐标轴上截距相等的直线方程； （2）设Q为圆E：上的一个动点，求中点M的轨迹方程. 17. 已知椭圆C：的左焦点为F，若C的焦距为且经过点，过点F的直线交椭圆于P，Q两点. （1）求椭圆方程； （2）若直线与x轴不垂直，在x轴上是否存在点使得恒成立?若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 18. 已知双曲线C：的焦点到渐近线的距离为1，A，B分别是C的左、右顶点，P是C上异于A，B的一点，直线，的斜率之积为. （1）求双曲线C的方程； （2）已知过点的直线：，交C的左、右两支于D，E两点（异于A，B）. ①求m的取值范围； ②若，其中O为坐标原点，求直线的方程. 19. 通过研究，已知对任意平面向量，把绕其起点A沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点B绕点A逆时针方向旋转角得到点P， （1）已知平面内点，点，把点B绕点A逆时针旋转得到点P，求点P的坐标： （2）已知二次方程的图像是由平面直角坐标系下某标准椭圆绕原点O逆时针旋转所得的斜椭圆C， （i）求斜椭圆C的离心率； （ⅱ）过点作与两坐标轴都不平行的直线交斜椭圆C于点M、N，过原点O作直线与直线垂直，直线交斜椭圆C于点G、H，判断是否为定值，若是，请求出定值，若不是，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $