模拟卷01（全国高中数学联赛一试）-【竞赛】2024-2025学年高中数学竞赛能力培优全真模拟卷（全国通用）

2025年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛） 暨2025年全国高中数学联合竞赛 一试全真模拟试题1 一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分． 1．已知函数是定义在上的偶函数，则的值为 ． 2．若关于z的复系数一元二次方程的一个根为，则另一个根 ． 3．设数列的通项公式为，其中表示不超过x的最大整数，则的前32项和为 ． 4．已知向量均为单位向量，则的最小值为 ． 5．在梯形ABCD中，，M为CD边的中点，动点P在BC边上，与的外接圆交于点Q（异于点），则BQ的最小值为 ． 6．已知双曲线的两条渐近线互相垂直，过的右焦点F且斜率为3的直线与交于两点，与的渐近线交于两点．若，则 ． 7．已知某圆台的侧面是一个圆环被圆心角为的扇形所截得的扇环，且圆台的侧面积为，则该圆台体积的取值范围是 ． 8．用表示11元集合的三元子集的全体．对中任意一个三元子集，定义，则的值为 ． 二、解答题：本大题共3小题，满分56分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 9．（本题满分16分）已知，二次函数存在零点，求的最小值． 10．（本题满分20分）在中，．在AB边上取五等分点，其中顺次排列．记，求的值． 11．（本题满分20分）已知A是抛物线上一点（异于原点），斜率为的直线与抛物线恰有一个公共点A（与x轴不平行），斜率为的直线与抛物线交于两点．若是正三角形，求的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛） 暨2025年全国高中数学联合竞赛 一试全真模拟试题1参考答案及评分标准 说明： 1．评阅试卷时，请依据本评分标准．填空题只设8分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次． 2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、11小题5分为一个档次，不得增加其他中间档次． 一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分． 1．已知函数是定义在上的偶函数，则的值为 ． 答案：0． 解：由于是偶函数，故，所以 ． 2．若关于z的复系数一元二次方程的一个根为，则另一个根 ． 答案：． 解：由题意得，解得．因此，所以． 3．设数列的通项公式为，其中表示不超过x的最大整数，则的前32项和为 ． 答案：631． 解：事实上，．而当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；当时，，因此的前32项和为 ． 4．已知向量均为单位向量，则的最小值为 ． 答案：2． 解：设向量的夹角为，其中，则 ． 令，则．因此在单调递减，单调递增，所以的最小值为． 因此的最小值为2，此时． 5．在梯形ABCD中，，M为CD边的中点，动点P在BC边上，与的外接圆交于点（异于点），则BQ的最小值为 ． 答案：． 解：由熟知的结论，的外接圆有唯一公共点，该公共点即为题中的点，故点Q在的外接圆上，如图所示． 而是直角三角形，故其外接圆半径．在中，由余弦定理，，所以BQ的最小值为，此时P在线段BC上，且． 6．已知双曲线的两条渐近线互相垂直，过的右焦点F且斜率为3的直线与交于两点，与的渐近线交于两点．若，则 ． 答案：． 7．已知某圆台的侧面是一个圆环被圆心角为的扇形所截得的扇环，且圆台的侧面积为，则该圆台体积的取值范围是 ． 答案：． 解：设圆台上底面为圆，半径为，下底面为圆，半径为，圆台母线为． 由圆台的侧面积为可得，故①． 由侧面展开是圆心角为的扇形所截得的扇环，可得，故②． 因此圆台的高，圆台的体积 ． 结合①②可得．由于，故．令，则，进而可得． 令，则．因此在上单调递增，故．所以，即圆台体积的取值范围是． 8．用表示11元集合的三元子集的全体．对中任意一个三元子集，定义，则的值为 ． 答案：990． 解：不妨将集合A视为（这是因为，将“2024”改成“11”不影响每个的值）． 对每个，定义，则，且． 由于当T遍历的所有三元子集时，也遍历的所有三元子集，所以 ． 二、解答题：本大题共3小题，满分56分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 9．（本题满分16分）已知，二次函数存在零点，求的最小值． 解：令，则且． 由题意得，即，故．考虑，则在上单调递增．所以 ， 当时等号成立．因此的最小值为． 10．（本题满分20分）在中，．在AB边上取五等分点（顺次排列）．记，求的值． 解：在AB延长线上任取一点，记，则所求式子即为． 为方便，记．作于点，则（这里及以下，有向线段的方向约定为方向）．注意到，有 ， 故．进而 ． 11．（本题满分20分）已知A是抛物线上一点（异于原点），斜率为的直线与抛物线恰有一个公共点A（与x轴不平行），斜率为的直线与抛物线交于两点．若是正三角形，求的取值范围． 解：设．设直线，代入抛物线得，故． 设直线，同理可得． 由知． 不妨设是绕着的重心逆时针排列的，则由知，代入化简得 ． 结合及时与同号可知 ， 又，进而，代入化简得 ． 因此． 当时，易知轴，位于坐标原点，此时． 而均不符合题意． 因此，的取值范围是． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 6 学科网（北京）股份有限公司 $$