专题10：一元一次方程中的动点问题（期末压轴题专练）-2024-2025学年人教版七年级上册数学期末压轴题专题训练

专题10：一元一次方程中的动点问题压轴题 1．已知数轴上A，B两点对应的数分别为a，b，且a，b满足，点C对应的数为20． (1)求a，b的值； (2)若点P从点A出发，以每秒3个单位长度向x轴正半轴运动，求运动时间为多少时，点P到点A的距离是点P到点B距离的2倍； (3)若动点P、Q分别从A、B同时出发向右运动，点P的速度为3个单位长度/秒，点Q的速度为2个单位长度/秒．点Q运动到C点立刻原速返回，到达B点后停止运动．点P运动至C点处又以原速返回至A点，一直这样在之间做往返运动，当点Q停止运动后，点P随之停止运动．求在整个运动过程中，两点P，Q同时到达的点在数轴上表示的数． 2．已知a是最大的负整数，b是的相反数，，且、、分别是点、、在数轴上对应的数． (1)求、、的值，并在数轴上标出点、、． (2)若动点从点出发沿数轴正方向运动，动点同时从点出发也沿数轴正方向运动，点的速度是每秒个单位长度，点的速度是每秒个单位长度，求运动几秒后，点可以追上点？ (3)在数轴上是否存在点，使点到，，，三点的距离之和等于？若存在，请求出所有点M对应的数，若不存在，请说明理由． 3．，如图1，点与点到原点的距离相等，、、分别表示、、三点在数轴上对应的数，如图2，我们将数轴在点和点处各弯折一次，使与处于水平位置、动点从点出发到点停止，以每秒2个单位的速度沿数轴正方向运动，上坡时的速度变为原来的一半，之后恢复原来的速度，动点从点处出发到点停止，以每秒1个单位的速度沿数轴负方向运动，下坡时的速度变为原来的两倍，之后恢复为原来的速度，若、同时出发，设运动时间为． (1)_____，_____，_____； (2)当、两点相遇时，求运动时间的值； (3)在运动过程中，是否存在，使动点、两点在数轴上相距的长度是、两点在数轴上相距的长度的倍，若存在，直接写出的值，若不存在，说明理由． 4．数轴上，，三点对应的有理数分别为，和，若动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴正方向运动，动点同时从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴负方向运动，设运动时间为． 初步探究： (1)线段的长度为 个单位长度；线段的长度为 个单位长度． 归纳总结： (2)若数轴上有，两点，对应的有理数分别为，，且，则线段长度为 个单位长度（用含，的代数式表示） 新知应用： (3)①当时，点表示的有理数为 ，线段的长度为 个单位长度；（用含的代数式表示） ②当为 时，点到点与到点的距离相等； ③当为 时，点到点的距离为个单位长度． 5．数轴是学习有理数的一种重要工具，任何有理数都可以用数轴上的点表示，这样能够运用数形结合的方法解决一些问题．如图将一条数轴在原点O，点B，点C，点D处各折一下，得到一条“坡面数轴”．图中点A表示，点B表示8，点C表示16，点D表示24，点E表示28．我们称点A和点E相距36个单位长度，动点P从A从出发，以每秒4个单位的速度沿着“坡面数轴”的正方向移动，同时，动点Q从E出发以每秒3个单位的速度沿着“坡面数轴”的负方向移动，两个点上坡时候的速度均是各自初始速度的一半，下坡时候的速度均是各自初始速度的2倍，平地则保持初始速度不变．当点P运动至点E时，两点同时停止运动，设运动的时间为t秒．问： (1)动点P从点A运动到E点需要　　　秒，此时点Q对应的数是　　　； (2)P，Q两点在点M出相遇，求出相遇点M所对应的数是多少? (3)当P，B两点在这个上数轴上相距的长度与Q，D两点在这个数轴上相距长度相等时，直接写出此时t的值． 6．如图，已知点、、、在数轴上对应的数分别是、、、，其中、满足，点到原点距离是点到原点距离的倍． (1)填空： ； (2)如图，若点、、分别同时以每秒个单位长度、个单位长度和（）个单位长度的速度匀速向左运动，假设经过秒后，点与点之间的距离表示为． ①为何值时，？ ②若的值始终保持不变，求的值； (3)如图，将数轴在原点、点和点处各折一下，得到一条“折线数轴”．动点从点出发．以每秒个单位长度的速度沿“折线数轴”的正方向匀速运动至点．同时，动点从点出发以每秒个单位长度沿着“折线数轴”的负方向变速运动，该点在平地保持初始速度不变，上坡时速度变为初始速度的一半，下坡时速度变为初始速度的两倍，设运动时间为秒．若、两点在点处相遇，则点表示的数为 ． 7．【知识背景】数轴上，点 A，点 B表示的数为 a，b，则 A，B 两点的距离表示为，线段的中点 P 表示的数为． 【知识运用】 已知数轴上 A ，B 两点对应的数分别为和 2 ，P 为数轴上一动点，对应的数为 x． (1)若点 P为线段的中点，则 P点对应的数 x为 ； (2)若点 A 、点 B 同时从图中位置沿数轴上向右运动，点 A 的速度为每秒 3 个单位长度，点 B 的速度为每 秒 1 个单位长度，求经过多少秒点 A 追上点B； (3)在（2）的条件下，同时点 P 从表示 10 的点处以每秒 2 个单位长度的速度在数轴上向左运动．经过多长时间后，点 A、点 B、点 P三点中，其中一点是另外两点组成的线段的中点？ 8．探究与发现： 表示a与b之差的绝对值，实际上也可理解为a与b两数在数轴上所对应的两点之间的距离．如的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数3的点之间的距离． 理解与应用： （1）如图，已知数轴上点A表示的数为8，B是数轴上位于点A左侧一点，且，则数轴上点B表示的数________； （2）若，则________． 拓展与延伸：在（1）的基础上，解决下列问题： （3）动点P从O点出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为秒．求当t为多少秒时？A，P两点之间的距离为4； （4）数轴上还有一点C所对应的数为30，动点P和Q同时从点O和点B出发分别以每秒5个单位长度和每秒10个单位长度的速度向C点运动，点Q到达C点后，再立即以同样的速度返回，点P到达点C后，运动停止．设运动时间为秒．问当t为多少秒时？P，Q之间的距离为2． 9．如图所示，一个点从数轴上的原点开始，先向右移动3个单位长度，再向左移动5个单位长度，可以看到终点表示的数是，已知点A，B是数轴上的点，请参照图并思考，完成下列各题： (1)如果点A表示数，将点A向右移动7个单位长度，那么终点B表示的数是_____，A，B两点间的距离是_________； (2)如果点A表示数2，将A点向左移动7个单位长度，再向右移动5个单位长度，那么终点B表示的数是_______，A，B两点间的距离为__________； (3)如果点A表示数，将A点向右移动16个单位长度，再向左移动_______个单位长度，那么终点B表示的数是_______，A，B两点间的距离是8． (4)如果A点表示的数为4，动点Р从A点出发沿着数轴移动，向右每次只允许移动1个单位长度，向左每次只允许移动3个单位长度，经过6次移动，到达终点B，B表示的数为6，则动点P的移动方法有多少种，并说明理由． 10．如图，已知数轴上的点A表示的数为a，点B表示的数为b，且a，b满足关系式，点C到点A、点B的距离相等．动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为t秒． (1)______，______，点C表示的数是______； (2)当______秒时，点P到达点A处； (3)点P表示的数是______（用含字母t的式子表示）； (4)求当t等于多少秒时，P、C之间的距离为2个单位长度． 11．已知，，三点在数轴上所对应的数分别为，，18，且，满足．，动点从点出发，以2单位/秒的速度向右运动，同时，动点从点出发，以1单位/秒的速度向左运动．线段为“变速区”，规则为：从点运动到点期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速；从点运动到点期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速．当点到达点时，两点都停止运动．设运动的时间为秒． (1)______，______，______； (2)动点从点运动至点时，求的值； (3)、两点相遇时，求相遇点在数轴上所对应的数． 12．已知：数轴上点A、C对应的数分别为a、c，点B对应的数为，c是最小的正整数，点A在点C的左侧，点A、C间的距离为8． (1)__________ ，_____， ________； (2)若动点P，O分别从A、C同时出发相向运动，点P的速度为每秒3个单位长度，点Q的速度为每秒1个单位长度，求经过多长时间点P、Q相遇；相遇时点P表示的数； (3)若动点P、Q分别从A、C同时出发向右运动，点P的速度为每秒3个单位长度，点Q的速度为每秒1个单位长度，求经过多长时间点P、Q到原点距离相等． 13．如图1，、两点在数轴上对应的数分别为和6． (1)直接写出、两点之间的距离______； (2)若在数轴上存在一点，使得到的距离是到的距离的3倍，求点表示的数； (3)如图2，现有动点、，若点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，当点到达原点后立即以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动，求：当到的距离是到的距离的4倍时的运动时间的值． 14．在数轴上有一定点A，所表示的数为a，P，Q为数轴上两个动点，点P以每秒m个单位长度沿数轴运动，点Q以每秒n个单位长度沿数轴运动，已知点A在原点右侧，距离原点10个单位长度；m，n满足． (1)请直接写出______，______，______． (2)如图1，P、Q同时运动，点P从A点出发沿数轴向左运动，到达原点后立即回向右运动；点Q从原点O出发沿数轴向左运动，运动时间为，点M为线段的中点，若，求的值； (3)如图2，点P从原点向右运动，同时点Q从原点向左运动，运动时间为，当以P，O，Q，A为端点的所有线段之和为109，求此时点P对应的数． 15．如图，数轴上三点、、表示的数分别为、5、15，点为数轴上一动点，其对应的数为． (1)点到点的距离为______； (2)数轴上是否存在点（点在点的右侧），使得点到点、的距离之和为25个单位长度？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由； (3)设点到、、三点的距离之和为S，在动点从点开始沿数轴的正方向运动到达点这一运动过程中，请直接写出S的最大值与最小值． 16．如图所示，一个点从数轴上的原点开始，先向右移动3个单位长度，再向左移动5个单位长度，可以看到终点表示的数是，已知点A，B是数轴上的点，请参照图并思考，完成下列各题： (1)如果点A表示数，将点A向右移动7个单位长度，那么终点B表示的数是_____，A，B两点间的距离是_________； (2)如果点A表示数3，将A点向左移动7个单位长度，再向右移动5个单位长度，那么终点B表示的数是_______，A，B两点间的距离为___________； (3)如果点A表示数，将A点向右移动16个单位长度，再向左移动_______个单位长度，那么终点B表示的数是_______，A、B两点间的距离是8； (4)如果A点表示的数为4，动点Р从A点出发沿着数轴移动，向右每次只允许移动1个单位长度，向左每次只允许移动3个单位长度，经过6次移动，终点B与A两点间的距离为2，则动点P的移动方法有多少种？ 17．，，三点在数轴上的相对位置如图所示，已知点，之间的距离为，点，之间的距离为，且，满足，动点从点出发以每秒个单位长度的速度向右运动，同时点从点出发以每秒个单位长度的速度向左运动． (1)若以点为数轴原点，求，两点对应的有理数； (2)若以点为数轴原点，设运动时间为秒； ①用含的式子分别表示，两点所对应的有理数； ②数轴上一点到原点的距离是，当点到，两点的距离相等时，求此时，两点间的距离． 18．【新知理解】如图①，点C在线段上，图中的三条线段、和．若其中一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段的“蓝青点”． （1）填空：线段的中点_________这条线段的“蓝青点”；（填“是”或“不是”） 【问题解决】（2）如图②，点A和B在数轴上表示的数分别是和40，点C是线段的“蓝青点”，求点C在数轴上表示的数． 【应用拓展】（3）在（2）的条件下，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿向点B匀速运动；动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿向点A匀速运动．点P、Q同时出发，当其中一点到达终点时，两个点运动同时停止，设运动的时间为t秒，当t为何值时，A、P、Q三点中，其中一点恰好是另外两点为端点的线段的“蓝青点”？（直接写出答案）．     19．如图1，已知数轴上的点A对应的数是a，点B对应的数是b，且与互为相反数．                   (1)， ． (2)动点P、Q分别从点A、B两点出分别以3个单位长度/秒、1个单位长度/秒的速度沿数轴向右运动，t秒后P、Q两点之间的距离为6个单位长度，求t的值． (3)如图2，在数轴上的点M和点N处各竖立一个挡板（点M在原点左侧，点N在原点右侧），数轴上甲、乙两个弹珠同时从原点出发，甲弹珠以3个单位长度/秒的速度沿数轴向左运动，乙弹珠以2个单位长度/秒的速度沿数轴向右运动．当弹珠遇到挡板后立即以原速度向反方向运动，若甲、乙两个弹珠在各自首次遇到挡板返回后首次相遇的位置恰好到点M和点N的距离相等，试探究点M对应的数m与点N对应的数n之间是否满足某种数量关系，请写出它们的关系式，并说明理由． 20．已知：是关于x的二次三项式，且a、b、c满足．a、b、c所对应的点分别为A、B、C． (1)则________，________． (2)若点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，若点B与点C之间的距离表示为，点A与点B之间的距离表示为．设运动时间为t秒，请问：的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． (3)如图，若将一条数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”．我们把在折线数轴上线段、、三段距离的和称为A，C两点间的路程．动点P从点A出发，以2个单位长度/秒的速度沿着“折线数轴”向右运动，在上坡段运动期间速度变为原来的一半．点P从点A出发的同时，点Q从点C出发，以1个单位长度/秒的速度沿着“折线数轴”向左运动，在下坡段运动期间速度变为原来的2倍，之后在段又以1个单位长度/秒的速度运动．当点P到达点B时，点P，Q均停止运动．设运动的时间为t秒．在某一时刻，P、Q两点在“折线数轴”上的路程为8个单位．求出此时t的值． 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．(1) (2)秒或4秒 (3)2或14或 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，数轴上两点距离计算，非负数的性质： （1）根据非负数的性质可得，则； （2）设点P的运动时间为t秒，则点P表示的数为，则，根据题意可得方程，解方程即可得到答案； （3）设运动时间为x秒，先求出点P第一次到达点C需要8秒，点Q到达点C需要9秒，点P第一次返回A的时间为16秒，点Q返回B的时间为18秒；再分当点P没有到达点C时，则点P表示的数为，点Q表示的数为，当点P第一次到达点C后，点Q未到点C时，则点P表示的数为，点Q表示的数为，当点P第一次返回点A时，点Q未到点B时，则点P表示的数为，点Q表示的数为，三种情况根据P、Q表示的数相同建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）得点A表示的数为，点B表示的数为2， 设点P的运动时间为t秒，则点P表示的数为， ∴， ∵点P到点A的距离是点P到点B距离的2倍， ∴， ∴或， 解得或， ∴运动时间为秒或4秒时，点P到点A的距离是点P到点B距离的2倍； （3）解：设运动时间为x秒， 秒，秒， ∴点P第一次到达点C需要8秒，点Q到达点C需要9秒，点P第一次返回A的时间为16秒，点Q返回B的时间为18秒， 当点P没有到达点C时，则点P表示的数为，点Q表示的数为， ∴， 解得， ∴此时相遇点表示的数为； 当点P第一次到达点C后，点Q未到点C时，则点P表示的数为，点Q表示的数为， ∴， 解得， ∴此时相遇点表示的数为； 当点P第一次返回点A时，点Q未到点B时，则点P表示的数为，点Q表示的数为， ∴， 解得， ∴此时相遇点表示的数为； 综上所述，相遇点表示的数为2或14或． 2．(1)，，，数轴见解析 (2)运动秒后，点可以追上点Q (3)存在，点对应的数是或 【分析】此题主要考查了一元一次方程的应用，与数轴有关计算问题，能够正确表示数轴上两点间的距离：两点所对应的数的差的绝对值． （1）理解与整数、相反数、绝对值有关概念，能够正确画出数轴，正确在数轴上找到所对应的点； （2）根据数轴上两点间的距离的求法进行求解； （3）注意数轴上两点间的距离公式：两点所对应的数的差的绝对值． 【详解】（1）解： a是最大的负整数，即； 是的相反数，即， ， 所以点、、在数轴上位置如图所示： （2）设运动秒后，点可以追上点， 则点表示数，点表示， 依题意得：， 解得：． 答：运动秒后，点可以追上点； （3）存在点，使到、、三点的距离之和等于， 设点M在数轴上对应的数为， 当在点左侧，，解得则M对应的数是：； 当在之间，，解得，不合题意，舍去； 当在之间，，解得，则对应的数是； 当在右侧时， 解得，不合题意，舍去， 综上所述：故使点到、、三点的距离之和等于，点M对应的数是或． 3．(1) (2)当、两点相遇时，运动时间的值为 (3)存在动点、两点在数轴上相距的长度是、两点在数轴上相距的长度的倍，的值为或或 【分析】本题主要考查了非负性，数轴上动点问题，一元一次方程的运用，理解数轴动点的运动中的数量关系，两点之间距离的计算方法是解题的关键． （1）根据非负性，相反数即可求解； （2）分别用含的式子表示出点运动的路程，根据相遇问题，分类讨论即可求解； （3）分别用含的式子表示出点表示的数，根据两点之间距离的计算方法，分类讨论即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 解得，， ∴点表示的数为，点表示的数为， ∵点与点到原点的距离相等， ∴点表示的数为，即， 故答案为：； （2）解：动点从点出发到点停止，以每秒2个单位的速度沿数轴正方向运动，上坡时的速度变为原来的一半，动点从点处出发到点停止，以每秒1个单位的速度沿数轴负方向运动，下坡时的速度变为原来的两倍，设运动时间为， 由（1）可知，当在点表示的数为，点表示的数为， ∴点从的时间为，从的时间为，从的时间为， 点从的时间为，从的时间为，从的时间为， ∴当时，点在上，点在上，不能相遇，不符合题意； 当时，点走的路程为， 点走的路程为， 当、两点相遇时，， 解得，，不符合题意，舍去； 当时，点表示的数为，点表示的数为， 当、两点相遇时，， 解得，； ∴当、两点相遇时，运动时间的值为； （3）解：存在，理由如下， 第一种情况：点在上，点在上时， 点、两点在数轴上相距为:， 点、两点在数轴上相距为， ∴， 解得，； 第二种情况：点、在上， 点、两点在数轴上相距为:， 点、两点在数轴上相距为， ∴， 解得，； 第三种情况：点在上，点在上时， 点、两点在数轴上相距为:， 点、两点在数轴上相距为， ∴， 解得，； 综上所述，存在动点、两点在数轴上相距的长度是、两点在数轴上相距的长度的倍，的值为或或． 4．(1)； (2) (3)①；；②；③或 【分析】本题考查了数轴上的数之间的距离，解题的关键在于会求数轴上两点间的距离． （1）直接利用两点之间的距离可得答案； （2）根据第（1）问得出数轴上求两点间距离用右侧减左侧，即大数减小数； （3）①向右移动后对应的数为起点对应的数加上移动距离可得答案； ②用代数式表示点到点的距离与点到点的距离，利用等量关系列出方程即可求解； ③用代数式表示点到点的距离，利用等量关系列出方程即可求解，点到点的距离需要注意分类讨论． 【详解】（1）解：数轴上，两点对应的有理数分别为和， 线段的长度为， 故答案为：； 数轴上，两点对应的有理数分别为，， 线段的长度为， 故答案为：； （2）解：数轴上有，两点，对应的有理数分别为，，且， 线段长度为， 故答案为：； （3）解：①动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴正方向运动且运动时间为， 点运动距离为， 点表示的有理数为， 故答案为：； 点表示的有理数为，数轴上点对应的有理数为，点在的左侧， 线段的长度为， 故答案为：； ②点到点与到点的距离相等， ， 数轴上， 三点对应的有理数分别为，，点表示的有理数为， ， 解得， 故答案为：； ③动点同时从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴负方向运动，运动时间为， 点运动距离为， 点表示的有理数为， 点到点的距离为个单位长度， ， 点表示的有理数为， ， ， 解得或， 故答案为：或． 5．(1)10，4 (2) (3)4或8.8或10 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用、数轴，解题关键是读懂题意，找到等量关系，列出方程．本题难度适中，是中考常考题型，要求学生牢固掌握． （1）根据点在各段的运动速度结合公式：时间路程速度即可得到动点从点运动至点需要的时间，分析点在每段上运动需要的时间即可解答； （2）分析可知当，两点在处相遇时，点在段，再求出两点相遇所用时间，最后计算出点所对应的数即可； （3）根据题意可分情况讨论：①当点在段时，点在段，此时大于8，小于4，不符合题意；②当点在段时，点在段，根据列出方程并求解；③当点在段时，点在段，根据列出方程并求解；④当点在段时，点在段时，小于8，大于8，不符合题意；⑤当点在段，点在段，根据列出方程并求解；⑥当点在段，点在段，根据列出方程并求解． 【详解】（1）解：由题意可知，动点在、、段的速度均为4单位秒，在段的速度为2单位秒，在段的速度为8单位秒， ，， 动点从点运动至点需要的时间为（秒， 动点从点出发，以3单位秒的速度沿着数轴的负方向运动，在，，段的速度为3单位秒，段的速度为1.5单位秒，在段的速度为6单位秒， 动点从点运动到点需要（秒，从点运动到点需要（秒，从点运动到点需要（秒， （秒， ， ． 此时点对应的点是4； 故答案为：10，4； （2）解：由（1）可知，，两点在处相遇时，点在段， 动点由点经过点到点点用时为（秒， 动点从点到点用时为（秒， 6秒到秒动点的路程， 相遇的时间（秒， 点的路程， 点所对应的数； （3）解：①当点在段时，点在段，此时大于8，小于4，不符合题意； ②当点在段时，点在段， 若，则，， ， 解得：； ③当点在段时，点在段， 若，则，， ， 解得：（舍去）； ④当点在段时，点在段时，小于8，大于8，不符合题意； ⑤当点在段，点在段， 若，则，， ， 解得：； ⑥当点在段，点在段， 若，则，， ， 解得：． 综上所述，当为4或8.8或10时，，两点在数轴上相距的长度与，两点在数轴上相距的长度相等． 6．(1)； (2)①t为12秒时，；②； (3)． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，数轴，非负数的性质，两点间的距离等知识点， （1）分别利用偶次方和绝对值的非负性质，求出和，再由与的数量关系求出，即可得解； （2）①分别用含的代数式表示出点和对应的数，再由、之间的距离列绝对值方程并求解即可；②化简得，由的值始终保持不变，得，故； （3）分别求出点在、、、上的速度，并将对应的数用含的代数式表示出来，并标明的取值范围；根据、两点相遇时，点和表示的数相同，建立方程并求解，求出此时点表示的数即可； 利用绝对值和偶次方的非负性求出和是解决本题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， ∵点到原点距离是点到原点距离的倍 ∴，即 ∴， 故答案为：； （2）解：∵，，点到原点距离是点到原点距离的倍 ∴，即 ∴， ①经过秒后，点对应的数为，点对应的数为， ∵， ∴， ∴， 故为秒时，； ②经过秒后，点对应的数为，点对应的数为，点对应的数为， ∴， ∵的值始终保持不变， ∴， ∴； （3）解：点在数轴上对应的数为， 当点在上时，速度为每秒个单位长度，对应的数为， 当点在上时，速度为每秒个单位长度，对应的数为， 当点在上时，速度为每秒个单位长度，对应的数为， 当点在上时，速度为每秒个单位长度，对应的数为−， ①当点在上时，得，解得（不在取值范围内，不符合题意，舍去）， ②当点在上时，得，解得（不在取值范围内，不符合题意，舍去）， ③当点在上时，得，解得， ④当点在上时，得，解得（不在取值范围内，不符合题意，舍去）， ∴当时，、两点在点处相遇，此时点表示的数为， 故答案为：． 7．(1) (2)经过秒点 A 追上点B； (3)经过秒或秒或秒后，点 A、点 B、点 P三点中，其中一点是另外两点组成的线段的中点 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，数轴上两点之间的距离，解决本题的难点是弄清楚点的运动方向和运动后点的位置的表示，同时注意分类思想的运用． （1）根据线段中点坐标公式即可求解； （2）设经过秒点 A 追上点B，根据点B和点A的路程差之间的距离建立等式求解，即可解题； （3）设经过秒后，点 A、点 B、点 P三点中，其中一点是另外两点组成的线段的中点，有点 A是、点 B是、点 P是，根据动点的运动分三种情况讨论其中一个点是另外两个点的中点，即可解题． 【详解】（1）解：由题知P点对应的数 x为， 故答案为：． （2）解：设经过秒点 A 追上点B， ， ， 解得， 答：经过秒点 A 追上点B； （3）解：设经过秒后，点 A、点 B、点 P三点中，其中一点是另外两点组成的线段的中点， 有点 A是、点 B是、点 P是， ①点 B为或的中点， ， 解得， ②点 A为或的中点， ， 解得， ③点 P为或的中点， ， 解得， 综上所述，经过秒或秒或秒后，点 A、点 B、点 P三点中，其中一点是另外两点组成的线段的中点． 8．（1）；（2）或；（3）秒或秒；（4）当为秒或秒或秒或秒时，， 之间的距离为 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、数轴以及绝对值，解题的关键是运用分类讨论的思想去解决问题． （1）利用数轴上两点间的距离公式，找出点表示的数； （2）利用绝对值的定义（绝对值是指一个数在数轴上所对应点到原点的距离），去掉绝对值符号； （3）①找准等量关系，正确列出一元一次方程； ②分，或三种情况，找出关于t的一元一次方程． 【详解】解：（1）由题意得，数轴上点表示的数． 故答案为：； （2）， 或， 或． 故答案为：或． （3）当运动时间为秒时，点表示的数为， 依题意得：， 即或， 解得：或． ∴当为秒或秒时，，两点之间的距离为． （4）到达点时间：（秒）， 到达点时间：（秒）． 当时，、都没有到达点， 点表示的数为，点表示的数为， 依题意得：， 即或， 解得：或； 当时，已经到达点并在返回的途中，没有到达点， 点表示的数为，点表示的数为， 依题意得：， 即或， 解得：或； 当时，、都已经到达点， 点表示的数为，点表示的数为， 依题意得：， 解得：（不合题意，舍去）． 答：当为秒或秒或秒或秒时，， 之间的距离为 ． 9．(1)5，7； (2)0，2； (3)24或8，或4； (4)6种，理由见解析． 【分析】本题考查数轴上点的移动和两点间的距离，解题的关键是掌握点的移动方法和距离的计算方法． （1）根据数轴上的点右移加，左移减，求出终点B表示的数，再根据两点间的距离公式进行求解即可； （2）根据数轴上的点右移加，左移减，求出终点B表示的数，再根据两点间的距离公式进行求解即可； （3）根据数轴上的点右移加，左移减，求出终点B表示的数，再根据两点间的距离公式进行求解即可； （4）由题意知终点B表示的数为6，再分别求得向右或向左各自移动的次数，即可求得动点P的移动方法的多少种． 【详解】（1）解：表示的数为：； A，B两点间的距离为：； 故答案为：5，7； （2）解：表示的数为：； A，B两点间的距离为：； 故答案为：0，2； （3）解：∵点A表示数，A、B两点间的距离是8， 当点B在A左侧时，表示的数为：； 将A点向右移动16个单位长度，表示的数为， 再向左移动个单位长度，表示的数为； 当点B在A右侧时，表示的数为：； 将A点向右移动16个单位长度，表示的数为， 再向左移动个单位长度，表示的数为4； 故答案为：24或8，或4； （4）解：动点P的移动方法有6种， 理由如下：∵A点表示的数为4，B表示的数为6， 设向右移动次，则向左移动次， 由题意得， 解得， 即A点向右移动5次，则向左移动1次，得到终点B， 若移动规律为右左右右右右或右右左右右右或右右右左右右或右右右右左右或右右右右右左共有5种， 若移动规律为左右右右右右共有1种， 综上，动点P共有6种移动方法． 10．(1)；； (2) (3) (4)当t等于或秒时，P、C之间的距离为2个单位长度． 【分析】本题主要考查了非负数的性质，数轴上两点距离计算，一元一次方程的应用： （1）根据非负数的性质得到，则，再根据题意可得点C为的中点，据此根据数轴上两点中点计算公式求出点C表示的数即可； （2）先求出的长，再根据时间等于路程除以速度即可得到答案； （3）用点B表示的数加上点P运动的路程即可得到答案； （4）根据数轴上两点距离计算公式可得方程，解方程即可得到答案； 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴ ∴， ∵点C到点A、点B的距离相等， ∴点C为的中点， ∴点C表示的数为， 故答案为：；；； （2）解：由（1）得， ∵动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，， ∴当秒时，点P到达点A处； 故答案为：； （3）解：∵动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动， ∴P点表示的数为：， 故答案为：； （4）解：∵动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动， ∴P点表示的数为：， ∵点C表示的数是1， ∴P、C之间的距离为， ∵P、C之间的距离为2个单位长度， ∴， ∴， 解得或． 综上，当t等于或秒时，P、C之间的距离为2个单位长度． 11．(1)，10，28 (2)19 (3) 【分析】本题考查的是数轴上的动点问题，数轴上两点间的距离，以及一元一次方程的应用，熟练掌握两点间距离公式的计算是解决本题的关键． （1）根据平方和绝对值的非负性计算即可求出a和b的值，再根据两点间的距离公式即可求出的长度； （2）分别求出和的距离，再根据“时间=路程÷速度”计算即可得出答案； （3）设P点在数轴上所对应的数为y，根据题意列出方程，解方程即可得出答案． 【详解】（1）解：∵．， ∴． ∵点C表示的数是18， ∴． 故答案为：，10，28； （2）解：∵ ∴ ∴动点从点运动至点时，； （3）解：设两点在点相遇，点在数轴上所对应的数为． ∵N运动到B时需秒，此时M运动到， ∴点落在线段段，依题意有∶ 解得∶ ∴两点相遇时，求相遇点在数轴上所对应的数为． 12．(1)，， (2)， (3)或 【分析】本题考查的是数轴上的动点问题，一元一次方程的应用，理解题意，熟练的建立方程求解是关键． （1）先求解，再利用A在点C的左侧，点A、C的距离为8，求解即可； （2）利用相遇建立方程，求解即可； （3）根据题意建立方程，求解即可． 【详解】（1）解：∵c是最小的正整数， ∴， 又∵点A在点C的左侧，点A、C间的距离为8， ∴， ∴， 故答案为：，，； （2）解：设经过时点P、Q相遇， ， 解得， 相遇时点P表示的数为； （3）解：设经过时点P、Q到原点距离相等， ， 解得：或， ∴经过或时点P、Q到原点距离相等． 13．(1)22 (2)点表示的数为或； (3)的值为2或秒． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，数轴，结合动点考查了两点间的距离，以及路程、速度与时间关系的应用，理解题意，找到相等关系进行正确分类是解题的关键． （1）根据两点间的距离公式即可求出、两点之间的距离； （2）设点表示的数为．分两种情况：①点在线段上；②点在线段的延长线上．根据列出关于的方程，求解即可； （3）根据点的运动方向分两种情况：①当时，点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动；②当时，点从原点开始以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动，根据列出关于的方程，解方程即可． 【详解】（1）解：、两点之间的距离是：； （2）解：设点表示的数为．分两种情况： ①当点在线段上时， 由题知，， 解得； ②当点在线段的延长线上时， 由题知，， 解得． 综上所述，点表示的数为或； （3）解：分两种情况： ①当时，点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动， 此时点表示的数为，点表示的数为， ， ， 解得，符合题意； ②当时，点从原点开始以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动， 此时点表示的数为，点表示的数为， 由题知，， 当时，， 解得； 当时，， 解得，不符合题意，舍去； 综上所述，当的运动时间的值为2或秒． 14．(1)10，5，6 (2)的值为或； (3)点对应的数为15． 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用、数轴，本题涉及数轴上的路程问题，清楚各点之间距离的表示方式时解题关键． （1）根据点在数轴上的位置即可得出的值，再根据非负数的性质即可求出，的值； （2）分两种情况：①点未到达原点时，②当点到达原点返回时再分别根据、的运动速度和运动方向可表示出点、表示的数，表示出、，列出方程求解即可； （3）分两种情况：①当点在之间时，②当点在点右侧时，在分别根据以，，，为端点的所有线段之和为109列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：点在原点右侧，距离原点10个单位长度， 点表示的数为10，即， ． ，， ，； 故答案为：10，5，6； （2）解：①点未到达原点时， 此时点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， ，， ， 解得：， ②当点到达原点返回时， 此时点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， ，， ， 解得：， 综上，的值为或； （3）解：点从原点向右运动，同时点从原点向左运动，运动时间为， 点表示的数为，点表示的数为， ①当点在之间时， ， 解得：，不符合题意，舍去， ②当点在点右侧时， ， 解得：， 此时点对应的数为． 15．(1)25 (2)存在，的值为或10 (3)的最大值为40，最小值为25 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，一元一次方程的应用； （1）根据两点间距离公式即可求解； （2）分点在点的左侧（含点）时；点在点和点之间（含点）时；点在点的右侧时；分别根据点到点、的距离之和为25个单位长度列方程求解即可； （3）由题意得：，根据点在点、之间可知，然后分别找出最大和最小时的值，进行计算即可． 【详解】（1）解：点A到点C的距离为：， 故答案为：25； （2）存在； 当点在点的左侧（含点）时： 由题意得：， 解得：， 当点在点和点之间（含点）时： 由题意得：，不符合题意； 当点在点的右侧时： 由题意得：， 解得：， 数轴上存在点，使得点到点、点的距离之和为25个单位长度，的值为或10； （3）由题意得：， 点在点、之间， ， ∵当点与点重合时，最大，此时， 的最大值为， ∵当点与点重合时，最小，此时， 的最小值为25， 综上，的最大值为40，最小值为25． 16．(1)4，7 (2)1，2 (3)24，或8，4 (4)21种 ． 【分析】本题考查数轴上点的移动和两点间的距离，解题的关键是掌握点的移动方法和距离的计算方法． （1）根据数轴上的点右移加，左移减，求出终点B表示的数，再根据两点间的距离公式进行求解即可； （2）根据数轴上的点右移加，左移减，求出终点B表示的数，再根据两点间的距离公式进行求解即可； （3）根据数轴上的点右移加，左移减，求出终点B表示的数，再根据两点间的距离公式进行求解即可； （4）由题意得终点B表示的数为：6或2，再分别求得向右或向左各自移动的次数，即可求得动点P的移动方法的多少种． 【详解】（1）解：表示的数为：； A，B两点间的距离为：； 故答案为：4，7； （2）解：表示的数为：； A，B两点间的距离为：； 故答案为：1，2； （3）解：∵点A表示数，A、B两点间的距离是8， 当点B在A左侧时，表示的数为：； 将A点向右移动16个单位长度，表示的数为， 再向左移动个单位长度，表示的数为； 当点B在A右侧时，表示的数为：； 将A点向右移动16个单位长度，表示的数为， 再向左移动个单位长度，表示的数为4； 故答案为：24，或8，4； （4）解：∵A点表示的数为4，终点B与A两点间的距离为2， ∴终点B表示的数为：6或2， 当终点B表示的数为6时， 设向右移动次，则向左移动次， 由题意得， 解得， 即A点向右移动5次，则向左移动1次，得到终点B， 若移动规律为右左右右右右或右右左右右右共有5种， 若移动规律为左右右右右右共有1种， 当终点B表示的数为2时， 设向右移动次，则向左移动次， 由题意得， 解得， 即A点向右移动4次，则向左移动2次，得到终点B， 若移动规律为右左右左右右或右左右右左右或右左右右右左， 右右左右左右或右右左右右左， 或右右右左右左或右右右右左左， 或右左左右右右或右右左左右右或右右右左左右， 若移动规律为左右左右右右或左右右左右右或左右右右左右或左右右右右左， 左左右右右右， 综上，动点P共有21种移动方法． 17．(1)点对应的有理数为，点对应的有理数为 (2)①点对应的有理数为，点对应的有理数为；②当，点到，两点的距离相等时 ，两点间的距离为或．当，点到，两点的距离相等时 ，两点间的距离为． 【分析】（1）先根据绝对值和平方的非负性求得，的值，再根据数轴上两点的距离公式求解即可； （2）①根据点、的运动方向和速度即可表示，两点所对应的有理数；②根据“点到，两点的距离相等”，利用数轴上两点距离公式列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， 解得：，， ∴，， ∴， 设点对应的有理数为，点对应的有理数为， ∵点为数轴原点，即点对应的有理数为， ∴，， ∴，， ∴点对应的有理数为，点对应的有理数为； （2）①∵以点为数轴原点， ∴点对应的有理数为，点对应的有理数为， 设点对应的有理数为，点对应的有理数为， ∵动点从点出发以每秒个单位长度的速度向右运动，同时点从点出发以每秒个单位长度的速度向左运动，运动时间为秒， ∴，， ∴，， ∴点对应的有理数为，点对应的有理数为； ②设点对应的有理数为， ∵点到原点的距离是， ∴或， ∵点到，两点的距离相等， ∴， ∴或， ∴或， ①当时，或， ∴或 ∴当时，点对应的有理数为，点对应的有理数为， 此时，两点间的距离为：； 当时，点对应的有理数为，点对应的有理数为， 此时，两点间的距离为：0； ②当时，或， ∴（负值不符合题意，舍去）或 当时，点对应的有理数为，点对应的有理数为， 此时，两点间的距离为：0； 综上所述，当，点到，两点的距离相等时 ，两点间的距离为或．当，点到，两点的距离相等时 ，两点间的距离为． 【点睛】本题考查绝对值和平方的非负性、列代数式、数轴、数轴上两点的距离、一元一次方程的应用，解答的关键理解题意，正确找出题中的等量关系． 18．（1）是； （2）①若C为中点，则C点表示的数为10；②若，则C点表示的数为20；③若，则C点表示的数为0． （3），，，，， 【分析】（1）根据“蓝青点”的定义可得线段的中点是这条线段的“蓝青点”； （2）设C点表示的数为x，分三种情况①若C为中点，②若，③若，分别列方程求解即可． （3）根据题意，t秒后，P点对应的数为，Q点对应的数为．然后分6种情况讨论．相遇前分，，三种情况，相遇后分，，三种情况，分别列一元一次方程求出t的值即可． 【详解】解：（1）∵原线段的长是线段中点分成的短线段的2倍， ∴线段的中点是这条线段的“蓝青点”． 故答案为：是． （2）设C点表示的数为x， ①若C为中点，即， 则， 解得． ②若， 则， 解得， ③若， 则， 解得． 综上，C点表示的数为10或20或0． （3）解：根据题意，t秒后，P点对应的数为，Q点对应的数为． P、Q相遇前，P点是线段的“蓝青点”，则分三种情况： ①， ， 解得． ②，即时， ， 解得． ③， ， 解得， P、Q相遇后，Q点是线段的“蓝青点”，则分三种情况： ①， ， 解得． ②，即， ， 解得． ③， ， 解得． 【点睛】本题考查了数轴上的动点问题，和一元一次方程解行程问题．正确的用含有t的代数式表示出P、Q所表示的数，掌握分类讨论是解题的关键． 19．(1)，8 (2)或9 (3) 【分析】此题考查了数轴上的动点问题，以及非负数的性质，一元一次方程的应用． （1）根据与互为相反数，利用非负数的性质求出与的值； （2）表示出点，点对应的数得、两点之间的距离为，解方程即可； （3）甲、乙均反弹之后在中点相遇，设点对应的数为，点对应的数为，则、的中点对应的数为，根据甲、乙两个弹珠相遇的位置恰好到点和点的距离相等列出关系式即可． 【详解】（1）解：∵与互为相反数，即， 又∵， ∴，， ∴，， 故答案为：，8； （2）由题意得，点对应的数为，点对应的数为， 则、两点之间的距离为， 当时，解得； 当时，解得； 综上所述，当或9时，使得、两点之间的距离为6； （3）设点对应的数为，点对应的数为，运动时间为， 甲、乙均反弹之后在的中点相遇，则、的中点对应的数为， ，，， ， 化简得； ∴与的关系式为． 20．(1)，； (2)的值不会随着时间t的变化而改变，理由见解析； (3)当或时，P、Q两点在“折线数轴”上的路程为8个单位． 【分析】（1）根据多项式的定义求得，再根据非负数的性质即可求得； （2）根据数轴表示数的意义，用含有的代数式表示，再根据数轴上两点距离的计算方法进行计算即可； （3）设点运动的路程为，根据题意得：当时，，此时点表示的数为，当时，，此时点表示的数为，设点运动的路程为，根据题意得：当时，，此时点表示的数为，当时，，此时点表示的数为，当时，，此时点表示的数为，分两种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵是关于x的二次三项式， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴，， 故答案为：，； （2）解：由（1）可得： ， ， 设运动时间为秒，由题意可得：秒后， ， ， ∴， ∴的值不会随着时间t的变化而改变； （3）解：由（1）可知，，，， ∴， 设点运动的路程为，根据题意得： 当时，，此时点表示的数为， 当时，，此时点表示的数为， 设点运动的路程为，根据题意得： 当时，，此时点表示的数为， 当时，，此时点表示的数为， 当时，，此时点表示的数为， ∵P、Q两点在“折线数轴”上的路程为8个单位， 当点与点相遇前，即点在点的左侧， 时，，，则， 时，，，则， ∴， ∴， 整理得：， 解得：， 当点与点相遇后，即点在点的右侧， 当时，， 整理得：， 解得：， 当时，，即， ∴此种情况不存在， 综上，当或时，P、Q两点在“折线数轴”上的路程为8个单位． 【点睛】本题综合考查了多项式的定义，非负数的性质，数轴与有理数的关系，一元一次方程在数轴上的应用，路程、速度、时间三者的关系等相关知识点，掌握相关知识是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$