第13章 轴对称 重难点检测卷 2024--2025学年人教版八年级数学上册

第13章 轴对称重难点检测卷（拔尖卷） 【人教版】 考试时间：120分钟；满分：120分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共25题，单选10题，填空6题，解答9题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！ 1． 选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）（23-24八年级·云南昆明·期末）下列条件中，不能判定直线是线段（M，N不在上）的垂直平分线的是（） A．， B．， C． D．，平分 2．（3分）（23-24八年级·黑龙江哈尔滨·期末）下列图形中，对称轴最多的是（）． A． B． C． D． 3．（3分）（23-24八年级·云南昆明·期末）如图，在四边形中，，为的中点，连接、，，延长交的延长线于点．若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 4．（3分）（23-24八年级·全国·期末）如图，在中，为钝角．用直尺和圆规在边上确定一点 ．使，则符合要求的作图痕迹是（     ） A． B． C． D． 5．（3分）（23-24八年级·广东深圳·期末）如图，四边形中，，将沿着折叠，使点恰好落在上的点处，若，则（    ） A． B． C． D． 6．（3分）（23-24八年级·云南曲靖·期末）如图，的角平分线与的垂直平分线交于点，垂足分别为，若，则的周长为（    ） A．19 B．28 C．29 D．38 7．（3分）（23-24八年级·浙江台州·期末）如图是由个顶角为的等腰三角形拼成的图形，若要求阴影部分的面积，则只需要知道（    ） A．和的面积差 B．和的面积差 C．和的面积差 D．和的面积差 8．（3分）（23-24八年级·河南许昌·期中）如图，，M，N分别是边上的定点，P，Q分别是边上的动点，记，当的值最小时，关于，的数量关系正确的是（    ） A． B． C． D． 9．（3分）（23-24八年级·山东临沂·期末）如图，点分别是边长为的等边边上的动点，点从顶点，点从顶点同时出发，且它们的速度都为，下面结论：①；②的度数不变，始终等于；③当第秒或第秒时，为直角三角形；④当第2秒时，．其中结论正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．（3分）（23-24八年级·全国·期末）在中，，，在中，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）（23-24八年级·内蒙古包头·期末）已知关于直线对称，C到的距离为2，长为6， 则点A的坐标为 ．    12．（3分）（23-24八年级·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在正方形网格中有两个小正方形被涂黑，再涂黑一个图中其余的小正方形，使得整个被涂黑的图案构成一个轴对称图形，那么涂法共有 种． 13．（3分）（23-24八年级·全国·期末）如图，在四边形中，，交于点，交于点，，，则 ． 14．（3分）（23-24八年级·贵州毕节·期末）如图，在四边形中，，，连接，则的值为 ． 15．（3分）（23-24八年级·江苏泰州·期末）如图，已知线段与直线的夹角，点是直线的一个动点，平移线段，使点移到点的位置，得到线段，连接，再将沿折叠，点落在点处，若平分，则 度． 16．（3分）（23-24八年级·福建泉州·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线l与轴交于点，与轴交点于，且，，以为边长作等边三角形，过点作平行于轴，交直线l于点，以为边长作等边三角形，过点作平行于轴，交直线l于点，以为边长作等边三角形，按此规律进行下去，则点的横坐标是 ．    三．解答题（共9小题，满分72分） 17．（6分）（23-24八年级·福建厦门·期中）在平面直角坐标系中点位置如图所示． (1)作出关于y轴对称的，并写出的坐标； (2)将向右平移6个单位长度，作出平移后的，并写出的坐标； (3)观察和，它们是否关于某直线对称？若是，请在图上画出这条对称轴． 18．（6分）（23-24八年级·北京·期中）在平面直角坐标系中，对于点和点（点的横、纵坐标相等），给出如下定义：为过点且与轴垂直的直线，为过点且与轴垂直的直线，先作点关于的对称点，再作点关于的对称点，则称点是点关于点的“关联点”． 例如：如图，点关于原点的“关联点”是． (1)①点关于点的关联点坐标为 ； (2)如果点是点关于点的“关联点”，那么 ； (3)点关于点的“关联点”为，如果是以为底的等腰三角形，求该三角形的面积； (4)点关于点的“关联点”为，如果以为边的等腰直角三角形只在第一象限内，直接写出的取值范围． 19．（6分）（23-24八年级·全国·期中）如图，在平面直角坐标系中，点B与点C关于x轴对称，点D为x轴上一点，点A为射线上一动点，，过D作于点M．    (1)求证：； (2)求证：平分； (3)当点A运动时，的值是否发生变化？若不变化，请求出其值；若变化，请说明理由． 20．（8分）（23-24八年级·湖南长沙·期中）已知直线交轴于点，交轴于点，且满足． (1)求的值； (2)如图1，若点在第一象限，且于点，延长至点，使得，连，试判断的形状，并说明理由； (3)如图2，若点在上，点在的延长线上，为的中点且，是以为直角边的等腰直角三角形，求证：． 21．（8分）（23-24八年级·辽宁大连·期中）如图1，在中，，点在上，点在延长线上，． (1)求证：； (2)如图2，过点作，交延长线于点，若．求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，延长交延长线于点，若，，．求的长度． 22．（9分）（23-24八年级·辽宁大连·期中）【课题回顾】 在学习《13．4课题学习最短路径问题》时，根据“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”探究了“将军饮马”和“造桥选址”两个问题，并初步运用探究经验解决线段和最小值的数学问题． 【问题探究】 如图，在等边中，点为中点，点，分别为，上的点，，，点是线段上的动点，连接，，求的最小值． （1）小明提出的探究思路如下：如图，作点关于直线的对称点，连接交于点，连接，根据“两点之间，线段最短”，可知此时的值最小． ①请你运用小明的探究思路，证明此时的值最小； ②求的最小值． 【类比探究】 （2）如图，在平面直角坐标系中，点坐标为，点为轴正半轴上一点，连接，，点为中点，平分交边于点，点为边上的一个动点．若点在线段上，连接，，当的值最小时，请直接写出点的坐标______． 23．（9分）（23-24八年级·天津和平·期中）①如图，某地区要在区域内建一个超市，按照要求，超市到两个新建的居民小区，的距离相等，到两条公路，的距离也相等．这个超市应该建在何处？本题要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹    ②如图，在正方形网格中有一，点、、均在格点上，，点在线段上（点与、不重合），点在线段上（点与、不重合），若直线恰好将的周长和面积都平分，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出直线，并用文字简要说明点和点如何找到的（不要求证明）    24．（10分）（23-24八年级·北京朝阳·期中）综合与实践 【思考尝试】 （1）数学活动课上，老师出示了一个问题：在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标为_________； 【实践探究】 （2）小容受此问题启发，一般化思考并提出新的问题：如图1，在平面直角坐标系中，点的坐标为，求点关于直线的对称点的坐标（用含，的式子表示）； 【拓展迁移】 （3）小博深入研究小睿提出的这个问题，提出新的探究点，并进行了探究：如图2，在平面直角坐标系中，点的坐标为，直接写出点关于直线的对称点的坐标（用含的式子表示）．小博经过探究得出直线上任意一点的横坐标与纵坐标的比都是，点的纵坐标为，请帮助小博完成问题． 25．（10分）（23-24八年级·北京·期末）对于及其边上的一点，给出如下定义：如果点，，…都在的边上，且，那么称点，，…为关于点的等距点，线段，，……为关于点的等距线段． (1)如图1，中，，，点是的中点． ①点，C ________关于点的等距点，线段，________关于点的等距线段；（填“是”或“不是”） ②关于点的两个等距点，分别在边，上，当相应的等距线段最短时，在图1中画出线段，； (2)如图2，是边长为4的等边三角形，点在上，点，是关于点的等距点，且，直接写出线段的长； (3)如图3，在中，，，点在上，关于点的等距点恰好有两个，且其中一个是点，若，直接写出长的取值范围（用含的式子表示）． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第13章 轴对称重难点检测卷（拔尖卷） 【人教版】 参考答案与试题解析 1． 选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）（23-24八年级·云南昆明·期末）下列条件中，不能判定直线是线段（M，N不在上）的垂直平分线的是（） A．， B．， C． D．，平分 【答案】C 【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定与性质，根据线段垂直平分线的意义及性质进行分析、判断即可，掌握线段垂直平分线的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：A、 ∴点和点都在线段的垂直平分线上， ∴直线是线段的垂直平分线，故选项不符合题意； B、 ∴直线是线段的垂直平分线，故选项不符合题意； C、当时， 是线段的垂直平分线，但直线不一定是线段 的垂直平分线，故选项符合题意； D、 平分， ∴直线是线段的垂直平分线，故选项不符合题意； 故选：C． 2．（3分）（23-24八年级·黑龙江哈尔滨·期末）下列图形中，对称轴最多的是（）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是轴对称图形，根据对称轴的概念判断各个图形中的对称轴的条数，得到答案，掌握对称轴的概念是解题的关键． 【详解】 解：A、有无数条对称轴； B、只有条对称轴； C、有条对称轴； D、有条对称轴， ∴图形中对称轴最多的是选项图形， 故选：A． 3．（3分）（23-24八年级·云南昆明·期末）如图，在四边形中，，为的中点，连接、，，延长交的延长线于点．若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，以及垂直平分线的判定与性质，准确推导出全等三角形并理解线段垂直平分线的性质是解题关键．由“”可证，可得，，由线段垂直平分线的性质可得． 【详解】解： 为的中点， ， ， ，， 在与中， ， ， ，， ， ，， ， 故选：C． 4．（3分）（23-24八年级·全国·期末）如图，在中，为钝角．用直尺和圆规在边上确定一点 ．使，则符合要求的作图痕迹是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了垂直平分线的作法，垂直平分线的判定，等腰三角形的判定，三角形的外角性质，利用三角形外角性质得到，利用等腰三角形的判定得到，然后根据线段垂直平分线的作法对各选项进行判断即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】∵，， ∴， ∴， ∴点是线段中垂线与的交点， ∴选项符合题意， 故选：． 5．（3分）（23-24八年级·广东深圳·期末）如图，四边形中，，将沿着折叠，使点恰好落在上的点处，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，四边形内角和以及三角形外角性质的运用，解决问题的关键是作辅助线构造四边形，解题时注意：如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． 连接，，过作于，依据，，即可得出，再根据四边形内角和以及三角形外角性质，即可得到． 【详解】解：如图，连接，过作于， 点关于的对称点恰好落在上， 垂直平分， ， ， ， ， 又， ， ， 又， ， 故选：D． 6．（3分）（23-24八年级·云南曲靖·期末）如图，的角平分线与的垂直平分线交于点，垂足分别为，若，则的周长为（    ） A．19 B．28 C．29 D．38 【答案】B 【分析】连接BD、DC，证△BDE≌△CDF，可得CF=BE，根据角平分线性质可知AE=AF，即可求周长． 【详解】解：连接BD、DC， ∵AD平分∠ BAC，， ∴DE=DF， ∵AD=AD， ∴Rt△ADE≌Rt△ADF， ∴AE=AF=9， ∵DG垂直平分BC， ∴BD=DC， ∴Rt△BDE≌Rt△CDF， ∴BE=CF， 的周长=AB+AC+BC=AF-CF+AE+BE+BC=2AF+BC=28， 故选：B． 【点睛】本题考查了角平分线的性质、垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质，解题关键是依据已知条件，恰当作辅助线，构造全等三角形． 7．（3分）（23-24八年级·浙江台州·期末）如图是由个顶角为的等腰三角形拼成的图形，若要求阴影部分的面积，则只需要知道（    ） A．和的面积差 B．和的面积差 C．和的面积差 D．和的面积差 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，所对的直角边等于斜边的一半，设每个顶角为的等腰三角形的腰长为，则腰上的高为，计算阴影部分面积可由的腰长减去的腰长乘的高即可求解，掌握等腰三角形的性质，所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键． 【详解】解：设每个顶角为的等腰三角形的腰长为， 则腰上的高为， ∴每个三角形的面积为， ∴， ∵， ∴， ， ∴， ， ， ， ， 是的， ∴只需知与的面积差， 故选：． 8．（3分）（23-24八年级·河南许昌·期中）如图，，M，N分别是边上的定点，P，Q分别是边上的动点，记，当的值最小时，关于，的数量关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图，作M关于OB的对称点M′，N关于OA的对称点N′，连接M′N′交OA于Q，交OB于P，则MP+PQ+QN最小易知∠OPM=∠OPM′=∠NPQ，∠OQP=∠AQN′=∠AQN，KD∠OQN=180°-30°-∠ONQ，∠OPM=∠NPQ=30°+∠OQP，∠OQP=∠AQN=30°+∠ONQ，由此即可解决问题． 【详解】如图，作M关于的对称点，N关于的对称点，连接交于Q，交于P，则此时的值最小． 易知，． ∵， ， ∴． 故选：B. 【点睛】本题考查轴对称-最短问题、三角形的内角和定理．三角形的外角的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 9．（3分）（23-24八年级·山东临沂·期末）如图，点分别是边长为的等边边上的动点，点从顶点，点从顶点同时出发，且它们的速度都为，下面结论：①；②的度数不变，始终等于；③当第秒或第秒时，为直角三角形；④当第2秒时，．其中结论正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】由三角形为等边三角形，得到三边相等，且内角为，根据题意得到，利用得到，则可得，可判定①正确；由全等三角形的性质得，从而可证明，，即可得出，可判定②正确；分与为直角两种情况求出的值，即可判定③；当时，求得，，从而可证明是等边三角形，，继而证得  ，即可判定④正确． 【详解】解：设点、Q运动时间为t秒， 根据题意得：， 为等边三角形， ，， 在和中， ， ， ∴，故①正确； ∵ ， 在中，， ， 在中，， ， ， ，故②正确； 若，由，得到， ∴，即， 解得：； 若，由，得到， ∴，即， 解得：， 综上，当第秒或第秒时，为直角三角形，故③正确； 当时，则，， ∵ ∴P、Q是、边的中点，即、是的中线， ∴， 为等边三角形， ∴，，， ∴是等边三角形，， ∴， ∴， ∴， ∴，故④正确， ∴正确的有①②③④共4个， 故选：D． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，直角三角形的性质，三角形内角和定理，三角形重心的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键． 10．（3分）（23-24八年级·全国·期末）在中，，，在中，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】在BC下方取一点D，使得为等边三角形，连接、，根据等边三角形的性质得到，先证明，得到，再证明，得到，进而可求的度数． 【详解】解：在下方取一点D，使得为等边三角形，连接、， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， 又， ∴是等边三角形， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质和判定，三角形内角和定理的应用，作辅助线得到全等三角形是解此题的关键． 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）（23-24八年级·内蒙古包头·期末）已知关于直线对称，C到的距离为2，长为6， 则点A的坐标为 ．    【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形变化，轴对称．根据点C在y轴上，C到的距离为2，得出点A的横坐标，根据关于直线对称，长为6，得出，进而得出点A的纵坐标，即可解答． 【详解】解：∵点C在y轴上，C到的距离为2， ∴点A横坐标为2， ∵关于直线对称，长为6， ∴， ∴点A的纵坐标为， ∴点A的坐标为， 故答案为：．    12．（3分）（23-24八年级·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在正方形网格中有两个小正方形被涂黑，再涂黑一个图中其余的小正方形，使得整个被涂黑的图案构成一个轴对称图形，那么涂法共有 种． 【答案】5 【分析】本题考查利用轴对称设计图案，根据轴对称的性质求解即可． 【详解】解：如图，所标数字处都可以使得整个被涂黑的图案构成一个轴对称图形，共5种涂法， 故答案为：5． 13．（3分）（23-24八年级·全国·期末）如图，在四边形中，，交于点，交于点，，，则 ． 【答案】/45度 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识，熟练运用相关知识是解题关键．首先根据平行线的性质可得，再证明，由全等三角形的性质可得，即为等腰三角形，然后计算的值即可． 【详解】解：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 14．（3分）（23-24八年级·贵州毕节·期末）如图，在四边形中，，，连接，则的值为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了三角形的面积，等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，含30°角的直角三角形的性质，熟练掌握这些知识点是解题的关键．延长与的延长线交于点E，过点A作的延长线于点F，先证，，即可求出的长，再根据直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半求出的长，最后根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：延长与的延长线交于点E，过点A作的延长线于点F， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 故答案为：6． 15．（3分）（23-24八年级·江苏泰州·期末）如图，已知线段与直线的夹角，点是直线的一个动点，平移线段，使点移到点的位置，得到线段，连接，再将沿折叠，点落在点处，若平分，则 度． 【答案】50或70 【分析】本题考查角平分线的定义、平移的性质、轴对称的性质、分类讨论数学思想的运用等知识与方法，正确地进行分类讨论是解题的关键． 分两种情况讨论，一是点D在点B的右侧，由平分，得，由折叠得，则，而，所以；二是点D在点B的左侧，则，，所以，于是得到问题的答案． 【详解】解：如图1，点D在点B的右侧， ∵平分， ∴， ∵将沿折叠，点D落在点F处， ∴， ∵， ∴， ∵平移线段，得到线段， ∴， ∴； 如图2，点D在点B的左侧， ∵平分， ∴， ∵将沿折叠，点D落在点F处， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：50或70． 16．（3分）（23-24八年级·福建泉州·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线l与轴交于点，与轴交点于，且，，以为边长作等边三角形，过点作平行于轴，交直线l于点，以为边长作等边三角形，过点作平行于轴，交直线l于点，以为边长作等边三角形，按此规律进行下去，则点的横坐标是 ．    【答案】 【分析】本题考查坐标与图形，等边三角形的性质，含30度角的直角三角形等，过作于A，过作于B，过作于C，根据等边三角形的性质以及含30度角的直角三角形的性质，可得的横坐标为，的横坐标为，的横坐标为，进而可得的横坐标为，由此可解． 【详解】解：如图所示，过作于A，则，      即的横坐标为， ∵， ∴， ∵ 轴， ∴，， ∴， ∴， 过作于B，则， 即的横坐标为， 过作于C， 同理可得，，， 即的横坐标为， 同理可得，的横坐标为， 由此可得的横坐标为， ∴点的横坐标是． 故答案为：． 三．解答题（共9小题，满分72分） 17．（6分）（23-24八年级·福建厦门·期中）在平面直角坐标系中点位置如图所示． (1)作出关于y轴对称的，并写出的坐标； (2)将向右平移6个单位长度，作出平移后的，并写出的坐标； (3)观察和，它们是否关于某直线对称？若是，请在图上画出这条对称轴． 【答案】(1)见解析 (2)的坐标为，见解析 (3)和关于直线对称，见解析 【分析】（1）根据纵坐标不变，横坐标变为相反数，确定变换后的坐标，画图即可． （2）根据平移规律，的坐标为，画图即可． （3）根据坐标的特点，解答即可． 本题考查了坐标的平移，y轴对称作图，判断三角形的直线对称，熟练掌握相应的知识是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，得， 故对称坐标为，画图如下： 则即为所求． （2）解：根据题意，得，向右平移6个单位长度后的坐标分别为．画图如下： 则，且的坐标为． （3）解：∵，， ∴， 故和关于直线对称，画图如下： 18．（6分）（23-24八年级·北京·期中）在平面直角坐标系中，对于点和点（点的横、纵坐标相等），给出如下定义：为过点且与轴垂直的直线，为过点且与轴垂直的直线，先作点关于的对称点，再作点关于的对称点，则称点是点关于点的“关联点”． 例如：如图，点关于原点的“关联点”是． (1)①点关于点的关联点坐标为 ； (2)如果点是点关于点的“关联点”，那么 ； (3)点关于点的“关联点”为，如果是以为底的等腰三角形，求该三角形的面积； (4)点关于点的“关联点”为，如果以为边的等腰直角三角形只在第一象限内，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) (4)或 【分析】（1）由题意知，为直线，为直线，则点关于的对称点为，关于的对称点为； （2）设点关于的对称点为，则与关于对称，则点的横坐标与的横坐标相同，为1，由点的横坐标为，可得，计算求解即可； （3）由是以为底的等腰三角形，可知在的垂直平分线上，即，设点关于的对称点为，则与关于对称，如图1，，，即，可求，根据，计算求解即可； （4）①当时，点，点，则，由以为边的等腰直角三角形只在第一象限内，可得，可求，当为等腰直角三角形的底边时，如图2，则；当为等腰直角三角形的腰时，如图2，则，计算求解，然后作答即可；②当时，点，点，则，以为边的等腰直角三角形只在第一象限内，当为等腰直角三角形的腰时，如图3，则，计算求解，然后作答即可． 【详解】（1）解：由题意知，为直线，为直线， ∴点关于的对称点为，关于的对称点为， 故答案为：； （2）解：设点关于的对称点为，则与关于对称， ∴点的横坐标与的横坐标相同，为1， ∵点的横坐标为， ∴， 故答案为：； （3）解：∵是以为底的等腰三角形， ∴在的垂直平分线上， ∴， 设点关于的对称点为，则与关于对称，如图1，    ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为； （4）解：由题意知，①当时，点关于直线的对称点是点本身，点关于直线的对称点为， ∴， ∵以为边的等腰直角三角形只在第一象限内， ∴， 解得，， 当为等腰直角三角形的底边时，如图2，， ∴， 解得，； 当为等腰直角三角形的腰时，如图2，， ∴， 解得，； ∴； ②当时，点关于直线的对称点是点本身，点关于直线的对称点为， ∴， ∵以为边的等腰直角三角形只在第一象限内， 当为等腰直角三角形的腰时，如图3，， ∴， 解得，； ∴； 综上所述，的取值范围为或． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，垂直平分线的判定，坐标与图形，等腰三角形的性质，第一象限点坐标的特征．熟练掌握轴对称的性质，垂直平分线的判定，坐标与图形，等腰三角形的性质，第一象限点坐标的特征是解题的关键． 19．（6分）（23-24八年级·全国·期中）如图，在平面直角坐标系中，点B与点C关于x轴对称，点D为x轴上一点，点A为射线上一动点，，过D作于点M．    (1)求证：； (2)求证：平分； (3)当点A运动时，的值是否发生变化？若不变化，请求出其值；若变化，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)不变化， 【分析】本题考查轴对称的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质和判定． （1）先利用轴对称得到，再利用“8字型”证明，即可； （2）如图1中，作于．利用全等三角形的性质证明即可解决问题； （3）作出辅助线，判断出，代换化简即可． 【详解】（1）解：，关于轴对称， ∴，， ， ，， ， ； （2）解：如图1中，作于．   ，， ， ，， ∴， ， ，， 平分； （3）解：的值不发生变化，其值为2，理由如下： 如图2，作，    由（2）可得， ，， ， ∵，， ∴， ∴， ， ， ． 20．（8分）（23-24八年级·湖南长沙·期中）已知直线交轴于点，交轴于点，且满足． (1)求的值； (2)如图1，若点在第一象限，且于点，延长至点，使得，连，试判断的形状，并说明理由； (3)如图2，若点在上，点在的延长线上，为的中点且，是以为直角边的等腰直角三角形，求证：． 【答案】(1) (2)等腰直角三角形，见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据绝对值，平方数的非负性列式求解即可； （2）如图所示，设与交于点，由，即垂直的定义可得，由，，可得，可证，得到，，且，，由此即可求解； （3）根据点的坐标可得是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，如图所示，过点作交于点，则， 可证则为等腰直角三角形，，由题目中，为的中点，设，，则，可证，得到，，由此证明，得到，由，即可求解． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， 解得，； （2）解：为等腰直角三角形 理由如下： 如图所示，设与交于点， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴为等腰三角形， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形； （3）解：∵，， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， 如图所示，过点作交于点，则， ∴，则， ∴则为等腰直角三角形，， 又∵，为的中点， ∴是的中线，则， 设，，则， ∴，，，即：， 又， ∴ ∴， ∵是以为直角边的等腰直角三角形， ∴，，即， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，， ∴． 【点睛】本题主要考查有理数的非负性，坐标与图形，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，垂直平分线的性质等知识的综合，理解坐标与图形的特点，掌握等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质是解题的关键． 21．（8分）（23-24八年级·辽宁大连·期中）如图1，在中，，点在上，点在延长线上，． (1)求证：； (2)如图2，过点作，交延长线于点，若．求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，延长交延长线于点，若，，．求的长度． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了三角形综合问题，三角形全等的判定与性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质，准确作出辅助线，灵活运用三角形全等的性质是解题的关键； （1）根据，得到，由三角形外角的性质及角的关系即可得出结论； （2）根据，，进一步证明是等边三角形，在上取点，使，连接，证明是等边三角形．证明，即可证明； （3）根据，，进一步证明，延长至点，使，连接，，得出，同理，，． 【详解】（1）证明：， ， 同理， ，， ； （2）证明：， ． ，， ． ． 是等边三角形． ，． 在上取点，使，连接， 是等边三角形． ，． ． 在和中， ， ． ． ，， ． ； （3）证明：， ． ． ，，． ． 延长至点，使，连接， 在和中， ， ． ，． ． ， ． 在和中， ． ． ， ． 22．（9分）（23-24八年级·辽宁大连·期中）【课题回顾】 在学习《13．4课题学习最短路径问题》时，根据“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”探究了“将军饮马”和“造桥选址”两个问题，并初步运用探究经验解决线段和最小值的数学问题． 【问题探究】 如图，在等边中，点为中点，点，分别为，上的点，，，点是线段上的动点，连接，，求的最小值． （1）小明提出的探究思路如下：如图，作点关于直线的对称点，连接交于点，连接，根据“两点之间，线段最短”，可知此时的值最小． ①请你运用小明的探究思路，证明此时的值最小； ②求的最小值． 【类比探究】 （2）如图，在平面直角坐标系中，点坐标为，点为轴正半轴上一点，连接，，点为中点，平分交边于点，点为边上的一个动点．若点在线段上，连接，，当的值最小时，请直接写出点的坐标______． 【答案】（1）①证明见解析；②最小值为；（） 【分析】（1）①在上另取一点，作点关于直线的对称点为，在上，点，在上，连接，，，则，，在中，根据三角形的三边关系即可得证；②先证，，再证 是等边三角形，利用等边三角形的性质即可得解； （2）作点关于的对称点，由平分知点在上，连接，由两点之间线段最短及垂线段最短得当、、三点共线，且时，最小，证和都是等腰直角三角形，得，再证，得，进而求得，从而得，即可得解． 【详解】解：（1）①证明∶∵是等边三角形， ∴， ∵点为中点， ∴垂直平分， 如图，在上另取一点，作点关于直线的对称点为，在上，点，在上，连接，，， ∴，， ∴， 在中，， ∴， ∴即是的最小值； ②解∶∵是等边三角形，点为中点， ∴，，． ∵，， ∴， ∴， ∵点关于直线的对称点为， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴是等边三角形， ∴， ∴的最小值为； （2）作点关于的对称点，由平分知点在上，连接，由两点之间线段最短及垂线段最短得当、、三点共线，且时，最小， ∴，， ∴， 由题意可得， ∵平分 ∴， ∴和都是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵点坐标为， ∴， ∵， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了垂线段最短，两点之间，线段最短，坐标与图形，轴对称的性质，30度直角三角形的性质，等边对等角，角平分线的定义，熟练掌握两点之间，线段最短，坐标与图形，轴对称的性质，30度直角三角形的性质是解题的关键． 23．（9分）（23-24八年级·天津和平·期中）①如图，某地区要在区域内建一个超市，按照要求，超市到两个新建的居民小区，的距离相等，到两条公路，的距离也相等．这个超市应该建在何处？本题要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹    ②如图，在正方形网格中有一，点、、均在格点上，，点在线段上（点与、不重合），点在线段上（点与、不重合），若直线恰好将的周长和面积都平分，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出直线，并用文字简要说明点和点如何找到的（不要求证明）    【答案】①见解析；②见解析 【分析】①由线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等，所以超市在线段的垂直平分线上，再利用尺规作线段的垂直平分线，由角平分线上的点到这个角的两边的距离相等，所以超市在两条公路夹角的角平分线上，再利用尺规作公路夹角的角平分线，则这两条线的交点即为点，从而可得答案． ②在上取格点，使，再取格点，作直线交于点，直线即为所求． 【详解】解：①分别作出公路夹角的角平分线和线段的中垂线，他们的交点为，则点就是修建超市的位置． ②如图，在上取格点，使，再取格点，作直线交于点，直线即为所求． 理由：如图，取的中点，连接，作格点，交、于、， ， 根据勾股定理求得， ∵， 的周长,； ∵在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴（）， ∴， ∴ 的周长的一半，， ∴直线恰好将的周长和面积都平分 【点睛】本题主要考查了无刻度直尺作图，尺规作垂线，尺规作角平分线，全等三角形的判定及性质，勾股定理等，解决问题的关键是熟练掌握尺规作图以及依据直线恰好将的周长和面积都平分，构造全等三角形求解． 24．（10分）（23-24八年级·北京朝阳·期中）综合与实践 【思考尝试】 （1）数学活动课上，老师出示了一个问题：在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标为_________； 【实践探究】 （2）小容受此问题启发，一般化思考并提出新的问题：如图1，在平面直角坐标系中，点的坐标为，求点关于直线的对称点的坐标（用含，的式子表示）； 【拓展迁移】 （3）小博深入研究小睿提出的这个问题，提出新的探究点，并进行了探究：如图2，在平面直角坐标系中，点的坐标为，直接写出点关于直线的对称点的坐标（用含的式子表示）．小博经过探究得出直线上任意一点的横坐标与纵坐标的比都是，点的纵坐标为，请帮助小博完成问题． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）由关于轴对称的点的特征求出对称点的坐标； （2）过点作轴，交直线于点，连接，证明，求出的长度，从而得到点的坐标； （3）过点作轴，交直线于点，证明，通过直线上任意一点的横坐标与纵坐标的比都是，求出点的坐标，进而得到点的坐标． 【详解】解：（1）由关于轴对称的点的特征可知，点关于轴的对称点的坐标为， 故答案为：； （2）过点作轴，交直线于点，连接， ∵点，点关于直线对称， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵点的坐标为， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∵点坐标为， ∴点， ∴， ∵，轴， ∴， ∵，， ∴点的坐标为； （3）过点作轴，交直线于点， ∴， ∵点，点关于直线对称，， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵轴，点的纵坐标为， ∴点的纵坐标为， ∵直线上任意一点的横坐标与纵坐标的比都是， ∴点横坐标为， ∵， ∴点横坐标为， ∴点的坐标为． 【点睛】本题考查关于轴对称的点的特征，平面直角坐标系中的点的坐标，全等三角形的性质与判定，平行线的性质等知识点，解题关键在于构造全等三角形，求出相应线段的长度从而得到点的坐标． 25．（10分）（23-24八年级·北京·期末）对于及其边上的一点，给出如下定义：如果点，，…都在的边上，且，那么称点，，…为关于点的等距点，线段，，……为关于点的等距线段． (1)如图1，中，，，点是的中点． ①点，C ________关于点的等距点，线段，________关于点的等距线段；（填“是”或“不是”） ②关于点的两个等距点，分别在边，上，当相应的等距线段最短时，在图1中画出线段，； (2)如图2，是边长为4的等边三角形，点在上，点，是关于点的等距点，且，直接写出线段的长； (3)如图3，在中，，，点在上，关于点的等距点恰好有两个，且其中一个是点，若，直接写出长的取值范围（用含的式子表示）． 【答案】(1)①是，不是；②见解析； (2)或2； (3)． 【分析】（1）①由新定义“关于点的等距点”即可得出答案；②作于，于，由垂线段最短即可得到答案； （2）根据等边三角形的性质和等距离点的定义求解即可； （3）分别求出当时，当时，△ABC关于点P的等距离点，即可求解； 【详解】（1）解：①∵时的中点， ∴， ∴是关于点的对等点， ∵， ∴，， ∴线段不是关于点的等距线段； 故答案是：是，不是； ②作于，于，则，即为所求，如下图所示： （2）解：显然，点不可能在边上，若点在边上，如下图所示， ∵是等边三角形，∴， ∵点，是关于点的等距点，∴， ∴是等边三角形，∴； 若点在边上，如图5所示， ∵点，是关于点的等距点， ∴，∴； ∴综上所述，或2； （3）当时， 当为的中点，则， ∴是关于点的对等点， 作于，截取，连接， 则， ∵， ∴， ∴边上存在2个关于点P的等距离点， ∵关于点的等距离点恰好有两个，且其中一个点是点， ∴，即， 当时， ，， 则关于点的等距离点有2个在上，有1个在上，， ∵关于点的等距离点恰好有两个，且其中一个点是点 ∴，即 综上 故答案是． 【点睛】本题是新定义问题，考查了对等距点和等距线段的理解与应用、等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质和30度角的直角三角形的性质等知识，正确理解题意、熟练掌握等边三角形和直角三角形的性质是解题关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$