专题05 多边形重难点题型专训（8大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年七年级数学上册重难点专题提升精讲精练（苏科版2024）

专题05 多边形重难点题型专训（8大题型+15道拓展培优） 题型一 多边形的概念与分类 题型二 多边形截角后的边数问题 题型三 多边形的周长 题型四 网格中多边形面积比较 题型五 多边形对角线的条数问题 题型六 对角线分成的三角形个数问题 题型七 多边形中的多结论问题 题型八 多边形综合 知识点 1 多边形 （1） 多边形概念：在平面内，由一些线段首位顺次相接组成的图形叫做多边形。 （2）正多边形概念：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形 知识点2多边形的对角线 n 边形一个顶点的对角线数： n-3；n 边形的对角线总数： 知识点3 截角问题 n 边形截去一个角后得到 n/n-1/n-2边形 【经典例题一 多边形的概念与分类】 【例1】下列说法中，正确的是（    ） A．两点确定一条直线 B．作3厘米长的直线 C．两条射线组成的图形叫做角 D．三角形不是多边形 【答案】A 【分析】本题考查了认识平面图形．熟记相关概念是解题的关键．根据直线的性质，角的定义，三角形的定义，逐一判断即可． 【详解】A、根据直线的性质可知：两点确定一条直线，故本选项正确，符合题意； B、直线不能得到具体的长度，故本选项错误，不符合题意； C、两条射线若能组成角，则必须有公共端点，故本选项错误，不符合题意； D、三角形有条边组成，所以三角形是多边形，故本选项错误，不符合题意； 故选：A． 1．下列长度的三条线段与长度为5的线段能组成四边形的是（    ） A．1，1，1 B．1，1，8 C．1，2，2 D．2，2，2 【答案】D 【分析】若四条线段能组成四边形，则三条较短边的和必大于最长边，由此即可完成． 【详解】A、1+1+1<5，即这三条线段的和小于5，根据两点间距离最短即知，此选项错误； B、1+1+5<8，即这三条线段的和小于8，根据两点间距离最短即知，此选项错误； C、1+2+2=5，即这三条线段的和等于5，根据两点间距离最短即知，此选项错误； D、2+2+2>5，即这三条线段的和大于5，根据两点间距离最短即知，此选项正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了两点间线段最短，类比三条线段能组成三角形的条件，任两边的和大于第三边，因而较短的两边的和大于最长边即可，四条线段能组成四边形，作三条线段的和大于第四条边，因而较短的三条线段的和大于最长的线段即可． 2．若一个多边形的一条对角线将其分成两个四边形，则该多边形的边数是 ． 【答案】六/ 【分析】本题考查了多边形的对角线，根据一个多边形被一条对角线分成两个四边形，可得多边形的边数，可得答案． 【详解】解：两个四边形有一条公共边，得多边形边的数目是， 故答案为：六． 3．仔细数一数图中有几个直角三角形，几个正方形，几个长方形． 【答案】32个直角三角形，7个正方形，4个长方形 【分析】应按照一定规律来找：先找单个的，再找两两组合的，四个组合的． 【详解】解：根据图示图中共有：32个直角三角形，7个正方形，4个长方形． 【点睛】本题考查了几何图形，需注意正方形指的是四条边相等，四个角是直角的四边形，长方形指长与宽不相等的长方形． 【经典例题二 多边形截角后的边数问题】 【例2】若一个多边形截去一个角后，变成五边形，则原来的多边形的边数可能为（   ） A．5或6 B．4或5 C．3或4或5 D．4或5或6 【答案】C 【分析】本题考查了多边形的知识，一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条．根据一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条，依此即可解决问题． 【详解】解：一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条， 则多边形的边数是3或4或5， 故选：C． 1．如图，从五边形纸片中剪去一个三角形，剩余部分是（    ） A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．以上都有可能 【答案】D 【分析】本题考查了多边形的截法．分为三种情况，画出图形，解答即可． 【详解】解：如图， ，剩余图形是四边形； ，剩余图形是五边形； ，剩余图形是六边形； 故选D． 2．若一个多边形截去一个角后，得到的新多边形为十五边形，则原来的多边形边数为 ． 【答案】14或15或16 【分析】分三种情况进行讨论，得出答案即可． 【详解】解：如图，一个多边形减去一个角后，比原来多边形少了一条边， ∴此时原多边形的边数为； 如图，一个多边形减去一个角后，与原来多边形的边数相同， ∴此时原多边形的边数为15； 如图，一个多边形减去一个角后，比原来多边形多了一条边， ∴此时原多边形的边数为； 综上分析可知，原来的多边形边数为14或15或16． 故答案为：14或15或16． 【点睛】本题主要考查了多边形的边数问题，解题的关键是数形结合，注意进行分类讨论． 3．如图，四边形去掉后，剩下的新图形是几边形？请画出图形．    【答案】三角形或四边形或五边形，图形见解析． 【分析】设线段上一点为（点不与点，点重合），线段上一点为（点不与点，点重合），分三种情况讨论：沿直线切割；沿直线切割；沿直线或切割． 【详解】设线段上一点为（点不与点，点重合），线段上一点为（点不与点，点重合）． ①如图所示，沿直线切割，得到，新图形为三角形．    ②如图所示，沿直线切割，得到五边形，新图形为五边形．    ③如图所示，沿直线或切割，得到四边形或四边形，新图形为四边形．    综上所述，新图形是三角形或四边形或五边形． 【点睛】本题主要考查多边形，能根据题意分类讨论是解题的关键． 【经典例题三 多边形的周长】 【例3】若长方形的一边长为，另一边长为，则该长方形的周长为（　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据长方形周长的计算公式求解． 【详解】解：∵2（2m+3n）=4m+6n， 故选C． 【点睛】本题考查长方形的应用，熟练掌握长方形周长的意义和计算公式是解题关键． 1．一个边长为2的正边形，过一个顶点的对角线有3条，则这个多边形的周长是（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【分析】本题考查了多边形的对角线条数问题，连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线，n边形从一个顶点出发可引出条对角线，据此求出n的值即可得到答案． 【详解】解：∵正边形，过一个顶点的对角线有3条， ∴， ∴， ∵该正多边形的边长为2， ∴这个多边形的周长是， 故选；D． 2．已知正六边形的周长是，则这个多边形的边长等于 ． 【答案】6 【分析】本题考查正多边形的定义，根据每条边都相等，每个内角都相等的多边形叫正多边形求解即可得到答案，熟知在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形是解题的关键． 【详解】解：∵正六边形的周长是， ∴这个多边形的边长为， 故答案为：6． 3．一个正多边形的周长为60，边长为a，一个外角为b°． (1)若，求b的值； (2)若，求a的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了正多边形，多边形的内角与外角， （1）根据正多边形的周长为，边长为，求得边数为，于是得到； （2）根据多边形的外角和等于，求得边数为，根据正多边形的周长为，边长为，于是得到结论． 【详解】（1）解：正多边形的周长为，边长为， 边数为， 一个外角为， ； （2）一个外角为，＝， ， 正多边形的周长为，边长为， ． 【经典例题四 网格中多边形面积比较】 【例4】如图，网格图中每个小正方形的边长均为1，以为半径的扇形经过平移到达扇形的位置，那么图中阴影部分的面积是（　　）．    A．8 B．6 C．6.5 D．7.5 【答案】B 【分析】如图：连接和，可以发现，然后求得平行四边形的面积即可解答． 【详解】解：连接和，则 ．    故选：B． 【点睛】本题主要考查了求阴影部分的面积，将阴影部分的面积转换成求平行四边形的面积是解答本题的关键． 1．如图所示的方格（每个小方格面积为1）中阴影部分为两个轴对称型的汉字，图①中汉字面积为，图②中汉字的面积为，则的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D． 【答案】D 【分析】利用割补法分别求出和的面积，再作差即可． 【详解】解：如图， ， ， ∴． 故选：D． 【点睛】本题主要考查不规则图形的面积，掌握割补法求不规则图形的面积是解题关键． 2．如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D是网格线交点．若AB=1，则四边形ABCD的面积为 ． 【答案】 【分析】由图可得S四边形ABCD=S△ACD+S△ABC，利用网格来计算两个三角形的面积相加即可． 【详解】解：S四边形ABCD=S△ACD+S△ABC= 故答案为： 【点睛】本题是求三角形的面积问题，解题关键是熟练对不规则三角形进行分割． 3．如图，点在正方形网格的格点上，每个小方格的边长都为单位． 请按下述要求画图并回答问题： (1)作直线，过点作交直线于点； (2)在直线上求作一点，使点到两点的距离之和最小，作图依据是 ； (3)四边形的面积是 ． 【答案】(1)作图见解析； (2)作图见解析，两点之间线段最短； (3)． 【分析】（）根据直线，射线，线段的定义画出图形即可，根据要求作平行线即可； （）根据题意可知，两点之间，线段最短； （）根据即可求解； 本题考查了作图，三角形的面积，两点之间线段最短，直线，射线，线段的定义等知识，理解题意，灵活运用所学知识解决问题是解题的关键． 【详解】（1）根据题意作图： ∴即为所求； （2）如图， 连接交于点，则点即为所求， 根据两点之间线段最短，可知当三点共线时，为最小值， 故答案为：两点之间线段最短； （3）如图， 由， ∴， 故答案为：． 【经典例题五 多边形对角线的条数问题】 【例5】若边形的每一个外角都是，则此边形的对角线总共有（    ） A．条 B．条 C．条 D．条 【答案】C 【分析】本题主要考查了多边形的外角和定理，首先利用多边形的每一个外角的度数求得多边形的边数，再求出此多边形的对角线的条数即可，解题的关键是熟悉边形对角线的条数的规律． 【详解】解：由题意得：， ∴对角线总条数为（条）， 故选：． 1．下列说法中，错误的有（    ） A．三角形是边数最少的多边形 B．等边三角形和长方形都是正多边形 C．边形有条边、个顶点、个内角、个外角 D．六边形从一个顶点出发可以画条对角线，所有的对角线共有条 【答案】B 【分析】本题考查了多边形，根据多边形的定义及性质逐项判断即可求解，掌握多边形的定义及性质是解题的关键． 【详解】解：．三角形是边数最少的多边形，该选项说法正确； ．长方形不是正多边形，该选项说法错误； ．边形有条边、个顶点、个内角和外角，正该选项说法确； ．六边形从一个顶点出发可以画条对角线，所有的对角线共有条，该选项说法正确； 故选：． 2．填空： （1）从四边形的一个顶点出发，可以引 条对角线，将四边形分成 个三角形； （2）从五边形的一个顶点出发，可以引 条对角线，将五边形分成 个三角形； （3）从六边形的一个顶点出发，可以引 条对角线，将六边形分成 个三角形； （4）从边形的一个顶点出发，可以引 条对角形，将边形分成 个三角形． 【答案】 1 2 2 3 3 4 【分析】本题考查多边形的对角线，从一点引对角线的数量，可以考虑一共几个顶点，它本身没有，与它相邻的没有，通过作出图形，对图形中对角线条数和分成的三角形个数进行分析，找出规律，引申归纳出边形中的情况，即可解题． 【详解】（1）解：如图： 从四边形的一个顶点出发，可以引1条对角线，将四边形分成2个三角形， 故答案为：1，2． （2）解：如图： 从五边形的一个顶点出发，可以引2条对角线，将四边形分成3个三角形， 故答案为：2，3． （3）解：如图： 从六边形的一个顶点出发，可以引3条对角线，将四边形分成4个三角形， 故答案为：3，4． （4）解：由前面的规律可知，从多边形的一个顶点出发，可以引对角线的条数为边数减3，可分成三角形个数为边数减2． 从边形的一个顶点出发，可以引条对角形，将边形分成个三角形． 故答案为：，． 3．某中学七年级数学课外兴趣小组在探究：“边形共有多少条对角线”这一问题时，设计了如下表格，请在表格中的横线上填上相应的结果： 多边形的边数 从多边形的一个顶点出发 ______ ______ 多边形对角线的总条数 ______ ______ ______ 应用得到的结果解决以下问题： ①求十二边形有多少条对角线？ ②过多边形的一个顶点的所有对角线条数与这些对角线分多边形所得的三角形个数的和可能为吗？若能，请求出这个多边形的边数；若不能，请说明理由． 【答案】填表： ；①54；②可以为，这个多边形的边数1014 【分析】根据题意求出相应数据，填表即可； ①由表格探求的边形对角线总条数公式：得出最终结果； ②从边形的一个顶点出发可引条对角线，这些对角线分多边形所得的三角形个数为，据此求解． 【详解】解：填表如下： 多边形的边数 从多边形的一个顶点出发 3 多边形对角线的总条数 5 9 故答案为：3，，， ； 把代入得，． 十二边形有条对角线． 能． 由题意得，23， 解得=1014． 多边形的边数n是正整数， 过多边形的一个顶点的所有对角线条数与这些对角线分多边形所得的三角形个数的和可以为，这个多边形的边数1014． 【点睛】本题考查边形对角线公式，过多边形的一个顶点的所有对角线条数与这些对角线分多边形所得的三角形个数，掌握对角线数量形成的规律，熟练应用规律是解题关键． 【经典例题六 对角线分成的三角形个数问题】 【例6】过多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成4个三角形，那么这个多边形是（    ） A．六边形 B．七边形 C．八边形 D．九边形 【答案】A 【分析】根据n边形从一个顶点出发可引出条对角线，可组成个三角形，依此可得n的值． 【详解】解：设这个多边形是n边形， 由题意得，， 解得：， 即这个多边形是六边形， 故选：A 【点睛】本题考查了多边形的对角线，求对角线条数时，直接代入边数n的值计算，而计算边数时，需利用方程思想，解方程求n． 1．某个人从多边形一个顶点出发引对角线可以把这个多边形分成八个三角形，这个多边形是（ ）边形 A．六 B．八 C．十 D．十一 【答案】C 【分析】根据n边形从一个顶点出发可引出（n−3）条对角线，可组成n−2个三角形，依此可得n的值． 【详解】根据n边形从一个顶点出发可引出（n−3）条对角线，可组成n−2个三角形， ∴n−2＝8，即n＝10． 故选：C． 【点睛】本题考查了多边形的对角线，求对角线条数时，直接代入边数n的值计算，而计算边数时，需利用方程思想，解方程求n． 2．已知：从边形的一个顶点出发共有6条对角线；从边形的一个顶点出发的所有对角线把边形分成6个三角形；正边形的边长为7，周长为49．则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查正多边形的性质，从边形的一个顶点出发，能引出条对角线，经过多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成个三角形．根据这些规律计算即可． 【详解】解：从边形的一个顶点出发共有6条对角线，则，解得； 从边形的一个顶点出发的所有对角线把边形分成6个三角形，，解得； 正边形的边长为7，周长为49，则，解得， ∴， 故答案为：． 3．探究归纳题： (1)试验分析： 如图1，经过一个顶点（如点）可以作___________条对角线，它把四边形分为___________个三角形； (2)拓展延伸： 运用（1）的分析方法，可得：图2过一个顶点作所有的对角线，把这个多边形分为___________个三角形；图3过一个顶点作所有的对角线，把这个多边形分为___________个三角形； (3)探索归纳：对于边形，过一个顶点的所有对角线把这个边形分为___________个三角形．（用含的式子表示） (4)特例验证：过一个顶点的所有对角线可把十边形分为___________个三角形． 【答案】(1)1，2； (2)3，4； (3) (4)8 【分析】（1）根据对角线的定义，可得答案； （2）边形中过一个顶点的所有对角线有条，把这个多边形分成个三角形，根据这一点即可解答； （3）边形中过一个顶点的所有对角线有条，把这个多边形分成个三角形，根据这一点即可解答； （4）边形中过一个顶点的所有对角线有条，把这个多边形分成个三角形，根据这一点即可解答． 【详解】（1）解：如下图： 经过点可以做1条对角线，它把四边形分为2个三角形， 故答案为：1，2； （2）解：拓展延伸： 运用（1）的分析方法，可得： 图2过一个顶点，共有2条对角线，将这个多边形分为3个三角形； 图3过一个顶点，共有3条对角线，将这个多边形分为4个三角形； 故答案为：3，4； （3）解：对于边形，过一个顶点的所有对角线把这个边形分为个三角形， 故答案为：； （4）解：过一个顶点的所有对角线可把十边形分为个三角形， 故答案为：． 【点睛】本题考查了多边形的对角线，正确理解多边形的对角线的条数，与所分成的三角形的个数的关系，是解决本题的关键． 【经典例题七 多边形中的多结论问题】 【例7】下列说法：①连接C，D两点的线段叫做C，D之间的距离；②，则C为中点；③n边形最多可以分成个三角形；④两点之间一条直线最短；⑤在同一平面内，过点M且平行于直线a的直线只有一条，正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查了多边形的对角线，线段的性质，两点之间的距离以及平行线的判定与性质，能熟记知识点是解此题的关键． ①根据两点之间的距离的定义判断即可；②根据线段的中点的定义判断即可；③根据多边形的对角线的定义判断即可；④根据线段的性质判断即可；⑤根据平行线的判定方法判断即可． 【详解】解：连接、两点的线段的长度叫两点之间的距离，故①说法错误； 若，说明点位于线段上的任意点，故②说法错误； 过边形的一个顶点作对角线，可把这个边形分成个三角形，故③说法错误． 两点之间，线段最短，故④说法错误； 根据“在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”可得，在同一平面内，过点且平行于直线的直线只有一条，故⑤说法正确． 所以正确的个数有1个． 故选：A． 1．下列说法中正确的有（    ） ①过多边形的一个顶点的所有对角线把这个多边形分成8个三角形，则这个多边形的边数是11 ②在时刻8：30时，时钟上的时针与分针的夹角是75° ③线段AB的长度就是A，B两点间的距离 ④若点P使AP＝PB，则P是AB的中点 ⑤把一条弯曲的公路改直，可以缩短行程．这样做的依据是：两点之间线段最短 ⑥1°＝3600′ A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】A 【分析】根据多边形的对角线，线段的性质，线段的中点，钟面角及角度的换算依次判断即可． 【详解】解：①过多边形的一个顶点的所有对角线把这个多边形分成8个三角形，则这个多边形的边数是10，原说法错误； ②在时刻8：30时，时针和分针中间相差2.5个大格，每个大格之间的度数为30°， ∴两针之间的夹角为：30°×2.5=75°，原说法正确； ③线段AB的长度就是A，B两点间的距离，说法正确； ④若点P使AP＝PB，则P是AB的中点，说法错误，缺少条件P、A、B在同一直线上； ⑤把一条弯曲的公路改直，可以缩短行程．这样做的依据是：两点之间线段最短，正确； ⑥1°＝3600”，原说法错误； 所以正确的有3个， 故选：A． 【点睛】题目主要考查多边形的对角线，线段的性质，线段的中点，钟面角及角度的换算，掌握相关定义是解题关键． 2．有下列说法：①由许多条线段连接而成的图形叫做多边形；②从一个多边形（边数为）的同一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余与之不相邻的各顶点，可以把这个多边形分割成个三角形；③角的边越长，角越大；④一条射线就是一个周角．其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 【答案】A 【分析】根据多边形的定义，多边形对角线，角的大小，周角等知识逐项判断即可求解． 【详解】解：①由许多条线段连接而成的图形叫做多边形，判断错误； ②从一个多边形（边数为）的同一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余与之不相邻的各顶点，可以把这个多边形分割成个三角形，判断正确； ③角的边越长，角越大，判断错误； ④一条射线就是一个周角，判断错误． 故选：A 【点睛】本题考查了多边形、角等知识，理解多边形、多边形对角线、角、周角的概念是解题关键． 3．下列说法正确的有（    ）个 ①把一个角分成两个角的射线叫做这个角的角平分线；②连接、两点的线段叫两点之间的距离；③两点之间直线最短；④射线上点的个数是直线上点的个数的一半；⑤边形从其中一个顶点出发连接其余各顶点，可以画出条对角线，这些对角线把这个边形分成了个三角形． A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】C 【分析】分别利用直线、射线、线段的定义、角的概念和角平分线的定义以及多边形对角线的求法分析得出即可． 【详解】解：①把一个角分成两个角的射线叫做这个角的角平分线，故原说法错误； ②连接、两点的线段的长度叫两点之间的距离，故原说法错误； ③两点之间线段最短，故原说法错误； ④射线上点的个数与直线上点的个数没有关系，故原说法错误； ⑤边形从其中一个顶点出发连接其余各顶点，可以画出条对角线，这些对角线把这个边形分成了个三角形，此说法正确． 所以，正确的说法只有1个， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了直线、射线、线段的定义以及角的概念和角平分线的定义等知识，正确把握相关定义是解题关键． 【经典例题八 多边形综合】 【例8】（1）如图，线段上有三个点B，C，D，图中共有 条线段； （2）如果线段上有个点（包括线段的两个端点），则该线段上共有多少条线段？ （3）边形共有 条对角线． 【答案】（1）  （2）条  （3） 【分析】本题考查规律问题，根据图形总结出规律是解题的关键． （1）数出图形中所有的线段即可； （2）根据的值的变化得到线段的条数，总结规律即可解题； （3）根据的值的变化得到对角线的条数，总结规律即可解题； 【详解】解：（1）线段有，共条， 故答案为：； （2）∵当 时，有条线段； 当时,有 (条)线段； 当 时，有 (条)线段； 当 时,有 (条)线段； 当 时,有 (条)线段； 所以当有个点时，有条线段. （3）解：边形有（条）对角线； 边形有（条）对角线； 边形有（条）对角线； 边形有（条）对角线； ∴边形共有（条）对角线． 故答案为：. 1．随着科技的发展，在公共区域内安装“智能全景摄像头”成为保护人民生命财产安全的有效手段．如图1所示，这是某仓库的平面图，点是图形内任意一点，点是图形内的点，连接，若线段总是在图形内或图形上，则称是“完美观测点”，此处便可安装摄像头，而不是“完美观测点”．    (1)如图2，以下各点是完美观测点的是_______（只有一个选项是正确的）    A．    B．    C．    D． (2)如图3，在图形内作出两个完美观测点，并分别用字母、表示；    (3)图4是某景观大楼的平面图，请作出该图形中由所有“完美观测点”组成的图形，并用阴影表示．    【答案】(1)D (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据完美观测点的定义作出完美观测点所在的区域，进而可得答案； （2）根据完美观测点的定义作出完美观测点所在的区域，进而可得答案； （3）根据完美观测点的定义作出完美观测点所在的区域，进而可得答案． 【详解】（1）解：如图2，阴影部分的区域（含边界）内的点都是完美观测点， 即是完美观测点， 故选：D；    （2）如图，点，点落在图中阴影部分的区域（含边界）即可；    （3）如图所示：阴影部分即为所求.    【点睛】本题考查了多边形的应用，正确理解“完美观测点”的意义是解题的关键． 2．夏夏和数学小组的同学们研究多边形对角线的相关问题，邀请你也加入其中，请仔细观察下面的图形和表格，并回答下列问题： 多边形的顶点数 4 5 6 7 8 …… 从一个顶点出发的对角线的条数 1 2 3 4 5 …… ①　　　　　　　 多边形对角线的总条数 2 5 9 14 20 …… ② 　　　　　 (1)观察探究：请自己观察上面的图形和表格，并用含n的代数式将上面的表格填写完整，其中①________；②________. (2)拓展应用： 有一个76人的代表团，由于任务需要每两人之间通1次电话（且只通1次电话），他们一共通了多少次电话? 【答案】(1)①，② (2)他们一共通了2850次电话 【分析】（1）根据前面5个图形归纳类推出一般规律，由此即可得出答案； （2）将问题转化为一个多边形的顶点数为76个，求这个多边形对角线的总条数与边数之和，再结合（1）的结论即可得． 【详解】（1）解：多边形的顶点数为4时，从一个顶点出发的对角线的条数为，多边形对角线的总条数为， 多边形的顶点数为5时，从一个顶点出发的对角线的条数为，多边形对角线的总条数为， 多边形的顶点数为6时，从一个顶点出发的对角线的条数为，多边形对角线的总条数为， 多边形的顶点数为7时，从一个顶点出发的对角线的条数为，多边形对角线的总条数为， 多边形的顶点数为8时，从一个顶点出发的对角线的条数为，多边形对角线的总条数为， 归纳类推得：当多边形的顶点数为时，从一个顶点出发的对角线的条数为，多边形对角线的总条数为（其中，且n为整数）， 故答案为：，． （2）解：由题意，将问题转化为一个多边形的顶点数为76个，求这个多边形对角线的总条数与边数之和， 则， 答：他们一共通了2850次电话． 【点睛】本题考查了多边形的对角线条数问题，正确归纳类推出一般规律是解题关键． 3．【问题】用边形的对角线把边形分割成（个三角形，共有多少种不同的分割方案？ 【探究】为了解决上面的数学问题，我们采取一般问题特殊化的策略，先从最简单情形入手，再逐次递进转化，最后猜想得出结论．不妨假设n边形的分割方案有种． 探究一：用四边形的对角线把四边形分割成2个三角形，共有多少种不同的分割方案？如图①，图②，显然，只有2种不同的分割方案．所以，． 探究二：用五边形的对角线把五边形分割成3个三角形，共有多少种不同的分割方案？不妨把分割方案分成三类： 第1类：如图③，用点，与连接，先把五边形分割转化成1个三角形和1个四边形，再把四边形分割成2个三角形，由探究一知，有种不同的分割方案，所以，此类共有种不同的分割方案． 第2类：如图④，用点，与连接，把五边形分割成3个三角形，有1种不同的分割方案，可视为种分割方案． 第3类：如图⑤，用点，与连接，先把五边形分割转化成1个三角形和1个四边形，再把四边形分割成2个三角形，由探究一知，有f（4）种不同的分割方案，所以，此类共有f（4）种不同的分割方案． 所以，（种） 探究三：用六边形的对角线把六边形分割成4个三角形，共有多少种不同的分割方案？不妨把分割方案分成四类： 第1类：如图⑥，用，与连接，先把六边形分割转化成1个三角形和1个五边形，再把五边形分割成3个三角形，由探究二知，有种不同的分割方案，所以，此类共有种不同的分割方案． 第2类：如图⑦，用，与连接，先把六边形分割转化成2个三角形和1个四边形．再把四边形分割成2个三角形，由探究一知，有种不同的分割方案．所以，此类共有种分割方案． 第3类：如图⑧，用，与连接，先把六边形分割转化成2个三角形和1个四边形．再把四边形分割成2个三角形，由探究一知，有种不同的分割方案．所以，此类共有种分割方案． 第4类：如图，用，与连接，先把六边形分割转化成1个三角形和1个五边形，再把五边形分割成3个三角形，由探究二知，有种不同的分割方案．所以，此类共有种分割方案． 所以， （种） 探究四：用七边形的对角线把七边形分割成5个三角形，则与的关系为，共有______种不同的分割方案． …… 【结论】用边形的对角线把边形分割成个三角形，共有多少种不同的分割方案？（直接写出与之间的关系式，不写解答过程） 【应用】用九边形的对角线把九边形分割成7个三角形，共有多少种不同的分割方案？（应用上述结论中的关系式求解） 【答案】探究四：18，42；[结论]；[应用]429种 【分析】[探究]根据探究的结论得到规律计算即可； [结论]根据五边形，六边形，七边形的对角线把图形分割成三角形的方案总结规律即可得到答案； [应用]利用规律求得八边形及九边形的对角线把图形分割成三角形的方案即可． 【详解】所以， = =42． 故答案为：18，42． [结论]由题意知，，，… ； [应用]根据结论得：． ． 则用九边形的对角线把九边形分割成7个三角形，共有429种不同的分割方案． 【点睛】此题考查多边形的对角线，图形变化类规律题，研究了多边形对角线分割多边形成三角形的关系，关键是能够得到规律，此题有难度，注意利用数形结合的思想． 1．（24-25八年级上·云南昆明·期中）过七边形一个顶点可以引出的对角线将多边形分成了_____个三角形，这个多边形共有______条时角线（   ） A．5，21 B．5，14 C．4，28 D．4，21 【答案】B 【分析】本题考查了多边形的对角线问题，根据过边形的一个顶点引出的对角线将该多边形分成个三角形分析即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：过七边形一个顶点可以引出的对角线将多边形分成个三角形， 七边形共有对角线条数为：（条）， 故选：B． 2．（24-25八年级上·广东云浮·期中）学习了多边形后，我们知道过多边形的一个顶点可作若干条对角线（三角形除外）．如图，过一个顶点，四边形有1条对角线，五边形有2条对角线，六边形有3条对角线……按照此规律，过十二边形一个顶点的对角线有（   ） A．11条 B．10条 C．9条 D．8条 【答案】C 【分析】本题考查了多边形对角线的条数问题，根据从一个多边形一个顶点出发，可以连的对角的条数是边数，即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：四边形从一个顶点出发，可以画条对角线， 五边形从一个顶点出发，可以画条对角线， 六边形从一个顶点出发，可以画条对角线， ∴十二边形从一个顶点出发，可以画条对角线， 故选：C． 3．（23-24六年级下·山东济南·期末）下列说法：①连接C，D两点的线段叫做C，D之间的距离；②，则C为中点；③n边形最多可以分成个三角形；④两点之间一条直线最短；⑤在同一平面内，过点M且平行于直线a的直线只有一条，正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查了多边形的对角线，线段的性质，两点之间的距离以及平行线的判定与性质，能熟记知识点是解此题的关键． ①根据两点之间的距离的定义判断即可；②根据线段的中点的定义判断即可；③根据多边形的对角线的定义判断即可；④根据线段的性质判断即可；⑤根据平行线的判定方法判断即可． 【详解】解：连接、两点的线段的长度叫两点之间的距离，故①说法错误； 若，说明点位于线段上的任意点，故②说法错误； 过边形的一个顶点作对角线，可把这个边形分成个三角形，故③说法错误． 两点之间，线段最短，故④说法错误； 根据“在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”可得，在同一平面内，过点且平行于直线的直线只有一条，故⑤说法正确． 所以正确的个数有1个． 故选：A． 4．（23-24八年级下·山东临沂·期末）定义：有两个相邻的内角是直角，并且有两条邻边相等的四边形称为邻等四边形，如图1，，∴四边形是邻等四边形，如图2，在的方格纸中，三点均在格点上，若四边形是邻等四边形，点在图中的格点上，符合条件的点有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查多边形，根据“邻等四边形”以及网格特点的意义在网格中找出符合条件的点的位置即可，理解“邻等四边形”的定义是正确解题的关键． 【详解】解：如图，根据“邻等四边形”以及网格特点的意义可得： ， 所有符合条件的点共有个，即图形中的、、， 故选：C． 5．（21-22六年级下·山东烟台·期末）下列说法正确的是（    ） A．钟表的时间是10点30分，此时时针与分针所成的夹角是105° B．若经过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成八个三角形，则这个多边形是九边形 C．若，则点是线段的中点 D． 【答案】D 【分析】根据钟面角、多边形的对角线与边数、线段中点的定义、角度单位换算逐项判断即可得． 【详解】解：A、钟表的时间是10点30分，此时时针与分针所成的夹角是，则此项错误，不符合题意； B、若经过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成八个三角形，则这个多边形是十边形，则此项错误，不符合题意； C、若，但点不一定在同一条直线上，所以点不一定是线段的中点，则此项错误，不符合题意； D、，则此项正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了钟面角、多边形的对角线与边数、线段中点的定义、角度单位换算，熟练掌握各概念和运算是解题关键． 6．（2024七年级上·全国·专题练习）已知正六边形的周长是，则这个多边形的边长等于 ． 【答案】6 【分析】本题考查正多边形的定义，根据每条边都相等，每个内角都相等的多边形叫正多边形求解即可得到答案，熟知在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形是解题的关键． 【详解】解：∵正六边形的周长是， ∴这个多边形的边长为， 故答案为：6． 7．（24-25八年级上·江西新余·阶段练习）已知：从边形的一个顶点出发共有6条对角线；从边形的一个顶点出发的所有对角线把边形分成6个三角形；正边形的边长为7，周长为49．则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查正多边形的性质，从边形的一个顶点出发，能引出条对角线，经过多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成个三角形．根据这些规律计算即可． 【详解】解：从边形的一个顶点出发共有6条对角线，则，解得； 从边形的一个顶点出发的所有对角线把边形分成6个三角形，，解得； 正边形的边长为7，周长为49，则，解得， ∴， 故答案为：． 8．（23-24八年级上·湖北咸宁·期末）如图，一个四边形有2条对角线，一个五边形有5条对角线，一个六边形有9条对角线，则一个凸边形有 条对角线． 【答案】 【分析】本题主要考查了图形规律，根据已有多边形对角线的条数，归纳出规律成为解题的关键． 先确定一个四边形共有2条对角线，一个五边形共有5条对角线，一个六边形共有9条对角线，据此归纳规律即可解答． 【详解】解：一个四边形共有2条对角线，一个五边形共有5条对角线，一个六边形共有9条对角线， 则一个n边形共有（，且n为整数）条对角线． 故答案为：． 9．（2024八年级上·全国·专题练习）（1）若将边形内部任意取一点，将与各顶点连接起来，则可将多边形分割成 个三角形． （2）若点取在多边形的一条边上（不是顶点），在将与边形各顶点连接起来，则可将多边形分割成 个三角形． 【答案】 / 【分析】（）多边形内一点，可与多边形顶点连接条线段，构造出个三角形； （）若点取在一边上，则可以与其他顶点连接出条线段，可以分边形为个三角形； 本题考查了多边形的对角线，正确找出规律是解题的关键． 【详解】解：（）若将边形内部任意取一点，将与各顶点连接起来，则可将多边形分割成个三角形； （）若点取在多边形的一条边上（不是顶点），在将与边形各顶点连接起来，则可将多边形分割成个三角形． 故答案为：，． 10．（22-23八年级·全国·课堂例题）填空： （1）从四边形的一个顶点出发，可以引 条对角线，将四边形分成 个三角形； （2）从五边形的一个顶点出发，可以引 条对角线，将五边形分成 个三角形； （3）从六边形的一个顶点出发，可以引 条对角线，将六边形分成 个三角形； （4）从边形的一个顶点出发，可以引 条对角形，将边形分成 个三角形． 【答案】 1 2 2 3 3 4 【分析】本题考查多边形的对角线，从一点引对角线的数量，可以考虑一共几个顶点，它本身没有，与它相邻的没有，通过作出图形，对图形中对角线条数和分成的三角形个数进行分析，找出规律，引申归纳出边形中的情况，即可解题． 【详解】（1）解：如图： 从四边形的一个顶点出发，可以引1条对角线，将四边形分成2个三角形， 故答案为：1，2． （2）解：如图： 从五边形的一个顶点出发，可以引2条对角线，将四边形分成3个三角形， 故答案为：2，3． （3）解：如图： 从六边形的一个顶点出发，可以引3条对角线，将四边形分成4个三角形， 故答案为：3，4． （4）解：由前面的规律可知，从多边形的一个顶点出发，可以引对角线的条数为边数减3，可分成三角形个数为边数减2． 从边形的一个顶点出发，可以引条对角形，将边形分成个三角形． 故答案为：，． 11．（23-24七年级下·河南开封·期末）请根据对话回答问题： (1)多加的外角是________°；这个凸多边形的边数是________． (2)求这个多边形的内角和及其对角线条数． 【答案】(1)，13； (2)内角和是，对角线有65条 【分析】本题考查多边形的内角和与外角和以及多边形的对角线问题． （1）根据多边形的内角和公式可得内角和一定是180的倍数，用2024除以180，得到的余数即为多加的外角，再根据多边形的内角和公式可得边数； （2）用2024减去多加的外角即可得到内角和；根据n边形的对角线条数为求解即可． 【详解】（1）解：∵n边形的内角和是， ∴多边形的内角和一定是180的倍数， ∵， ∴多加的外角是， 这个凸多边形的边数是； （2）这个多边形的内角和为， 对角线条数为（条）， 答：这个多边形的内角和是，对角线有65条． 12．（2024七年级下·江苏·专题练习）同学们，你们会用画多边形的对角线来解决生活中的数学问题吗？ 比如，学校举办足球赛，共有5个班级的足球队参加比赛，每个队都要和其他各队比赛一场，根据积分排列名次．问学校一共要安排多少场比赛？ 我们画出5个点，每个点各代表一个足球队，两个队之间比赛一场就用一条线段把它们连接起来．由于每个队都要与其他各队比赛一场，这样每个点与另外4个点都会有一条线段连接（如图）． 现在我们只要数一数五边形的边数和它的对角线条数就可以了．由图可知，五边形的边数和对角线条数都是5，所以学校一共要安排10场比赛． 同学们，请用类似的方法来解决下面的问题： 姣姣、林林、可可、飞飞、红红和娜娜六人参加一次会议，见面时他们相互握手问好．已知姣姣已握了5次手，林林已握了4次手，可可已握了3次手，飞飞已握了2次手，红红握手1次，请推算出娜娜目前已和哪几个人握了手． 【答案】姣姣、林林和可可三人已与娜娜握过手 【分析】本题考查了多边形的对角线的问题，解题的关键是将实际问题与数学问题有机的结合起来． 先画出6个点，A、、、、、各个点依次代表姣姣、林林、可可、飞飞、红红和娜娜，凡是两人之间握过手，就把代表他们的这两点用1条线段连接起来即可得到答案． 【详解】解：先画出6个点，A、、、、、各个点依次代表姣姣、林林、可可、飞飞、红红和娜娜，凡是两人之间握过手，就把代表他们的这两点用1条线段连接起来（如图所示）． 先看姣姣（A）和红红（E）．姣姣已握手5次，说明姣姣与另外5人都握了手，因此代表姣姣的A点与、、、、这5点都有一条线段连接；红红握手1次，他只能是与姣姣握的手了，所以点只能与A点之间有线段连接，与其它各点再也不能有线段连接了． 其次分析林林（B）．林林已握手4次，由于他没有可能与红红握过手，所以只能是与剩下的四个人姣姣、可可、飞飞和娜娜握过手了，因此，点与A、、、四点之间有线段连接． 再看飞飞（D）．飞飞已握手2次，而代表飞飞的点已与A、两点有线段连接了，所以点与其它的点不能再有线段连接了． 最后考察可可（C）．可可与3人握了手，但已不能是与飞飞和红红握的手了，所以代表可可得点只能与A、、三点有线段连接． 现在观察图形，与代表娜娜的点连接的线段有3条、和，这说明姣姣、林林和可可三人已与娜娜握过手． 13．（2024七年级下·江苏·专题练习）连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线，如图（1），、是五边形的对角线．思考下列问题： (1)如图（2），边形中，过顶点可以画 条对角线，它们分别是 ；过顶点可以画 条对角线，过顶点可以画 条对角线． (2)过顶点的对角线与过顶点的对角线有相同的吗？过顶点的对角线与过顶点的对角线有相同的吗？ (3)在此基础上，你能发现边形的对角线条数的规律吗？ 【答案】(1)，，， (2)过点的和过点的没有重复的，但和过点的有重复的和重复） (3)边形的对角线条数的为 【分析】此题考查了多边形的对角线的知识． （1）过点和任意不相邻的两点连接可得出到一条对角线；同理可得过点、的情况． （2）过点的和过点的没有重复的，但和过点的有重复的和重复）； （3）过每一点有条对角线，除去重复的即可得出总对角线的条数． 【详解】（1）解：过顶点可以画条对角线，它们分别是； 过顶点可以画条对角线， 过顶点可以画条对角线； 故答案为：，，，； （2）解：过点的和过点的没有重复的，但和过点的有重复的和重复）； （3）解：边形的一个顶点不能与它本身及左右两个邻点相连成对角线，故可连出条， 共有个顶点，应为条，这样算出的数，正好多出了一倍，所以再除以2． 即边形的对角线条数的为． 14．（23-24八年级下·安徽六安·阶段练习）某数学兴趣小组为了研究多边形中从一个顶点可以作几条对角线，以及该多边形中对角线的总条数与边数的关系，他们决定从以下图形开始寻找规律． (1)在图5中画出从点出发的所有对角线； (2)根据探究，整理得到下面表格： 多边形的边数 4 5 6 7 8 …… 从一个顶点出发的对角线的条数 1 2 3 4 5 …… 多边形对角线的总条数 2 5 9 14 20 …… ①表格中______，______；（用含n的代数式表示） ②拓展应用： 若该校要举办足球比赛，总共有个班级参加比赛，规定每个班级都要和其他班级比赛一次，请计算总共要比赛多少场． 【答案】(1)见解析 (2)①，；②场 【分析】本题考查了多边形的对角线，根据表格信息寻求规律是解题的关键． （1）连接作图即可； （2）①根据所给数据规律解答即可； ②根据每班都需要和对手比赛一次，且一次比赛能满足2个班级的比赛需求列式运算即可． 【详解】（1）如图所示，即为所求； （2）解：①，； ②（场）， 答：共需要比赛场． 15．（22-23八年级上·河南商丘·阶段练习）如图1，在五边形中，．    (1)猜想与之问的位置关系，并说明理由； (2)如图2，连接，若平分，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】（1）根据可得，结合已知条件可得，进而可得结论； （2）根据角平分线的定义和平行线的性质可得，再根据平行线的性质可得关于的方程，求出即可解决问题． 【详解】（1）猜想：， 理由：， ， ， ， ； （2）平分， ， ， ， ， ， ， ， 解得， ．    【点睛】本题以多边形为载体，考查了平行线的判定和性质、角平分线的定义以及一元一次方程的应用等知识，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 多边形重难点题型专训（8大题型+15道拓展培优） 题型一 多边形的概念与分类 题型二 多边形截角后的边数问题 题型三 多边形的周长 题型四 网格中多边形面积比较 题型五 多边形对角线的条数问题 题型六 对角线分成的三角形个数问题 题型七 多边形中的多结论问题 题型八 多边形综合 知识点 1 多边形 （1） 多边形概念：在平面内，由一些线段首位顺次相接组成的图形叫做多边形。 （2）正多边形概念：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形 知识点2多边形的对角线 n 边形一个顶点的对角线数： n-3；n 边形的对角线总数： 知识点3 截角问题 n 边形截去一个角后得到 n/n-1/n-2边形 【经典例题一 多边形的概念与分类】 【例1】下列说法中，正确的是（    ） A．两点确定一条直线 B．作3厘米长的直线 C．两条射线组成的图形叫做角 D．三角形不是多边形 1．下列长度的三条线段与长度为5的线段能组成四边形的是（    ） A．1，1，1 B．1，1，8 C．1，2，2 D．2，2，2 2．若一个多边形的一条对角线将其分成两个四边形，则该多边形的边数是 ． 3．仔细数一数图中有几个直角三角形，几个正方形，几个长方形． 【经典例题二 多边形截角后的边数问题】 【例2】若一个多边形截去一个角后，变成五边形，则原来的多边形的边数可能为（   ） A．5或6 B．4或5 C．3或4或5 D．4或5或6 1．如图，从五边形纸片中剪去一个三角形，剩余部分是（    ） A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．以上都有可能 2．若一个多边形截去一个角后，得到的新多边形为十五边形，则原来的多边形边数为 ． 3．如图，四边形去掉后，剩下的新图形是几边形？请画出图形．    【经典例题三 多边形的周长】 【例3】若长方形的一边长为，另一边长为，则该长方形的周长为（　） A． B． C． D． 1．一个边长为2的正边形，过一个顶点的对角线有3条，则这个多边形的周长是（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 2．已知正六边形的周长是，则这个多边形的边长等于 ． 3．一个正多边形的周长为60，边长为a，一个外角为b°． (1)若，求b的值； (2)若，求a的值． 【经典例题四 网格中多边形面积比较】 【例4】如图，网格图中每个小正方形的边长均为1，以为半径的扇形经过平移到达扇形的位置，那么图中阴影部分的面积是（　　）．    A．8 B．6 C．6.5 D．7.5 1．如图所示的方格（每个小方格面积为1）中阴影部分为两个轴对称型的汉字，图①中汉字面积为，图②中汉字的面积为，则的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D． 2．如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D是网格线交点．若AB=1，则四边形ABCD的面积为 ． 3．如图，点在正方形网格的格点上，每个小方格的边长都为单位． 请按下述要求画图并回答问题： (1)作直线，过点作交直线于点； (2)在直线上求作一点，使点到两点的距离之和最小，作图依据是 ； (3)四边形的面积是 ． 【经典例题五 多边形对角线的条数问题】 【例5】若边形的每一个外角都是，则此边形的对角线总共有（    ） A．条 B．条 C．条 D．条 1．下列说法中，错误的有（    ） A．三角形是边数最少的多边形 B．等边三角形和长方形都是正多边形 C．边形有条边、个顶点、个内角、个外角 D．六边形从一个顶点出发可以画条对角线，所有的对角线共有条 2．填空： （1）从四边形的一个顶点出发，可以引 条对角线，将四边形分成 个三角形； （2）从五边形的一个顶点出发，可以引 条对角线，将五边形分成 个三角形； （3）从六边形的一个顶点出发，可以引 条对角线，将六边形分成 个三角形； （4）从边形的一个顶点出发，可以引 条对角形，将边形分成 个三角形． 3．某中学七年级数学课外兴趣小组在探究：“边形共有多少条对角线”这一问题时，设计了如下表格，请在表格中的横线上填上相应的结果： 多边形的边数 从多边形的一个顶点出发 ______ ______ 多边形对角线的总条数 ______ ______ ______ 应用得到的结果解决以下问题： ①求十二边形有多少条对角线？ ②过多边形的一个顶点的所有对角线条数与这些对角线分多边形所得的三角形个数的和可能为吗？若能，请求出这个多边形的边数；若不能，请说明理由． 【经典例题六 对角线分成的三角形个数问题】 【例6】过多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成4个三角形，那么这个多边形是（    ） A．六边形 B．七边形 C．八边形 D．九边形 1．某个人从多边形一个顶点出发引对角线可以把这个多边形分成八个三角形，这个多边形是（ ）边形 A．六 B．八 C．十 D．十一 2．已知：从边形的一个顶点出发共有6条对角线；从边形的一个顶点出发的所有对角线把边形分成6个三角形；正边形的边长为7，周长为49．则的值为 ． 3．探究归纳题： (1)试验分析： 如图1，经过一个顶点（如点）可以作___________条对角线，它把四边形分为___________个三角形； (2)拓展延伸： 运用（1）的分析方法，可得：图2过一个顶点作所有的对角线，把这个多边形分为___________个三角形；图3过一个顶点作所有的对角线，把这个多边形分为___________个三角形； (3)探索归纳：对于边形，过一个顶点的所有对角线把这个边形分为___________个三角形．（用含的式子表示） (4)特例验证：过一个顶点的所有对角线可把十边形分为___________个三角形． 【经典例题七 多边形中的多结论问题】 【例7】下列说法：①连接C，D两点的线段叫做C，D之间的距离；②，则C为中点；③n边形最多可以分成个三角形；④两点之间一条直线最短；⑤在同一平面内，过点M且平行于直线a的直线只有一条，正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 1．下列说法中正确的有（    ） ①过多边形的一个顶点的所有对角线把这个多边形分成8个三角形，则这个多边形的边数是11 ②在时刻8：30时，时钟上的时针与分针的夹角是75° ③线段AB的长度就是A，B两点间的距离 ④若点P使AP＝PB，则P是AB的中点 ⑤把一条弯曲的公路改直，可以缩短行程．这样做的依据是：两点之间线段最短 ⑥1°＝3600′ A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 2．有下列说法：①由许多条线段连接而成的图形叫做多边形；②从一个多边形（边数为）的同一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余与之不相邻的各顶点，可以把这个多边形分割成个三角形；③角的边越长，角越大；④一条射线就是一个周角．其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 3．下列说法正确的有（    ）个 ①把一个角分成两个角的射线叫做这个角的角平分线；②连接、两点的线段叫两点之间的距离；③两点之间直线最短；④射线上点的个数是直线上点的个数的一半；⑤边形从其中一个顶点出发连接其余各顶点，可以画出条对角线，这些对角线把这个边形分成了个三角形． A．3 B．2 C．1 D．0 【经典例题八 多边形综合】 【例8】（1）如图，线段上有三个点B，C，D，图中共有 条线段； （2）如果线段上有个点（包括线段的两个端点），则该线段上共有多少条线段？ （3）边形共有 条对角线． 1．随着科技的发展，在公共区域内安装“智能全景摄像头”成为保护人民生命财产安全的有效手段．如图1所示，这是某仓库的平面图，点是图形内任意一点，点是图形内的点，连接，若线段总是在图形内或图形上，则称是“完美观测点”，此处便可安装摄像头，而不是“完美观测点”．    (1)如图2，以下各点是完美观测点的是_______（只有一个选项是正确的）    A．    B．    C．    D． (2)如图3，在图形内作出两个完美观测点，并分别用字母、表示；    (3)图4是某景观大楼的平面图，请作出该图形中由所有“完美观测点”组成的图形，并用阴影表示．    2．夏夏和数学小组的同学们研究多边形对角线的相关问题，邀请你也加入其中，请仔细观察下面的图形和表格，并回答下列问题： 多边形的顶点数 4 5 6 7 8 …… 从一个顶点出发的对角线的条数 1 2 3 4 5 …… ①　　　　　　　 多边形对角线的总条数 2 5 9 14 20 …… ② 　　　　　 (1)观察探究：请自己观察上面的图形和表格，并用含n的代数式将上面的表格填写完整，其中①________；②________. (2)拓展应用： 有一个76人的代表团，由于任务需要每两人之间通1次电话（且只通1次电话），他们一共通了多少次电话? 3．【问题】用边形的对角线把边形分割成（个三角形，共有多少种不同的分割方案？ 【探究】为了解决上面的数学问题，我们采取一般问题特殊化的策略，先从最简单情形入手，再逐次递进转化，最后猜想得出结论．不妨假设n边形的分割方案有种． 探究一：用四边形的对角线把四边形分割成2个三角形，共有多少种不同的分割方案？如图①，图②，显然，只有2种不同的分割方案．所以，． 探究二：用五边形的对角线把五边形分割成3个三角形，共有多少种不同的分割方案？不妨把分割方案分成三类： 第1类：如图③，用点，与连接，先把五边形分割转化成1个三角形和1个四边形，再把四边形分割成2个三角形，由探究一知，有种不同的分割方案，所以，此类共有种不同的分割方案． 第2类：如图④，用点，与连接，把五边形分割成3个三角形，有1种不同的分割方案，可视为种分割方案． 第3类：如图⑤，用点，与连接，先把五边形分割转化成1个三角形和1个四边形，再把四边形分割成2个三角形，由探究一知，有f（4）种不同的分割方案，所以，此类共有f（4）种不同的分割方案． 所以，（种） 探究三：用六边形的对角线把六边形分割成4个三角形，共有多少种不同的分割方案？不妨把分割方案分成四类： 第1类：如图⑥，用，与连接，先把六边形分割转化成1个三角形和1个五边形，再把五边形分割成3个三角形，由探究二知，有种不同的分割方案，所以，此类共有种不同的分割方案． 第2类：如图⑦，用，与连接，先把六边形分割转化成2个三角形和1个四边形．再把四边形分割成2个三角形，由探究一知，有种不同的分割方案．所以，此类共有种分割方案． 第3类：如图⑧，用，与连接，先把六边形分割转化成2个三角形和1个四边形．再把四边形分割成2个三角形，由探究一知，有种不同的分割方案．所以，此类共有种分割方案． 第4类：如图，用，与连接，先把六边形分割转化成1个三角形和1个五边形，再把五边形分割成3个三角形，由探究二知，有种不同的分割方案．所以，此类共有种分割方案． 所以， （种） 探究四：用七边形的对角线把七边形分割成5个三角形，则与的关系为，共有______种不同的分割方案． …… 【结论】用边形的对角线把边形分割成个三角形，共有多少种不同的分割方案？（直接写出与之间的关系式，不写解答过程） 【应用】用九边形的对角线把九边形分割成7个三角形，共有多少种不同的分割方案？（应用上述结论中的关系式求解） 1．（24-25八年级上·云南昆明·期中）过七边形一个顶点可以引出的对角线将多边形分成了_____个三角形，这个多边形共有______条时角线（   ） A．5，21 B．5，14 C．4，28 D．4，21 2．（24-25八年级上·广东云浮·期中）学习了多边形后，我们知道过多边形的一个顶点可作若干条对角线（三角形除外）．如图，过一个顶点，四边形有1条对角线，五边形有2条对角线，六边形有3条对角线……按照此规律，过十二边形一个顶点的对角线有（   ） A．11条 B．10条 C．9条 D．8条 3．（23-24六年级下·山东济南·期末）下列说法：①连接C，D两点的线段叫做C，D之间的距离；②，则C为中点；③n边形最多可以分成个三角形；④两点之间一条直线最短；⑤在同一平面内，过点M且平行于直线a的直线只有一条，正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（23-24八年级下·山东临沂·期末）定义：有两个相邻的内角是直角，并且有两条邻边相等的四边形称为邻等四边形，如图1，，∴四边形是邻等四边形，如图2，在的方格纸中，三点均在格点上，若四边形是邻等四边形，点在图中的格点上，符合条件的点有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（21-22六年级下·山东烟台·期末）下列说法正确的是（    ） A．钟表的时间是10点30分，此时时针与分针所成的夹角是105° B．若经过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成八个三角形，则这个多边形是九边形 C．若，则点是线段的中点 D． 6．（2024七年级上·全国·专题练习）已知正六边形的周长是，则这个多边形的边长等于 ． 7．（24-25八年级上·江西新余·阶段练习）已知：从边形的一个顶点出发共有6条对角线；从边形的一个顶点出发的所有对角线把边形分成6个三角形；正边形的边长为7，周长为49．则的值为 ． 8．（23-24八年级上·湖北咸宁·期末）如图，一个四边形有2条对角线，一个五边形有5条对角线，一个六边形有9条对角线，则一个凸边形有 条对角线． 9．（2024八年级上·全国·专题练习）（1）若将边形内部任意取一点，将与各顶点连接起来，则可将多边形分割成 个三角形． （2）若点取在多边形的一条边上（不是顶点），在将与边形各顶点连接起来，则可将多边形分割成 个三角形． 10．（22-23八年级·全国·课堂例题）填空： （1）从四边形的一个顶点出发，可以引 条对角线，将四边形分成 个三角形； （2）从五边形的一个顶点出发，可以引 条对角线，将五边形分成 个三角形； （3）从六边形的一个顶点出发，可以引 条对角线，将六边形分成 个三角形； （4）从边形的一个顶点出发，可以引 条对角形，将边形分成 个三角形． 11．（23-24七年级下·河南开封·期末）请根据对话回答问题： (1)多加的外角是________°；这个凸多边形的边数是________． (2)求这个多边形的内角和及其对角线条数． 12．（2024七年级下·江苏·专题练习）同学们，你们会用画多边形的对角线来解决生活中的数学问题吗？ 比如，学校举办足球赛，共有5个班级的足球队参加比赛，每个队都要和其他各队比赛一场，根据积分排列名次．问学校一共要安排多少场比赛？ 我们画出5个点，每个点各代表一个足球队，两个队之间比赛一场就用一条线段把它们连接起来．由于每个队都要与其他各队比赛一场，这样每个点与另外4个点都会有一条线段连接（如图）． 现在我们只要数一数五边形的边数和它的对角线条数就可以了．由图可知，五边形的边数和对角线条数都是5，所以学校一共要安排10场比赛． 同学们，请用类似的方法来解决下面的问题： 姣姣、林林、可可、飞飞、红红和娜娜六人参加一次会议，见面时他们相互握手问好．已知姣姣已握了5次手，林林已握了4次手，可可已握了3次手，飞飞已握了2次手，红红握手1次，请推算出娜娜目前已和哪几个人握了手． 13．（2024七年级下·江苏·专题练习）连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线，如图（1），、是五边形的对角线．思考下列问题： (1)如图（2），边形中，过顶点可以画 条对角线，它们分别是 ；过顶点可以画 条对角线，过顶点可以画 条对角线． (2)过顶点的对角线与过顶点的对角线有相同的吗？过顶点的对角线与过顶点的对角线有相同的吗？ (3)在此基础上，你能发现边形的对角线条数的规律吗？ 14．（23-24八年级下·安徽六安·阶段练习）某数学兴趣小组为了研究多边形中从一个顶点可以作几条对角线，以及该多边形中对角线的总条数与边数的关系，他们决定从以下图形开始寻找规律． (1)在图5中画出从点出发的所有对角线； (2)根据探究，整理得到下面表格： 多边形的边数 4 5 6 7 8 …… 从一个顶点出发的对角线的条数 1 2 3 4 5 …… 多边形对角线的总条数 2 5 9 14 20 …… ①表格中______，______；（用含n的代数式表示） ②拓展应用： 若该校要举办足球比赛，总共有个班级参加比赛，规定每个班级都要和其他班级比赛一次，请计算总共要比赛多少场． 15．（22-23八年级上·河南商丘·阶段练习）如图1，在五边形中，．    (1)猜想与之问的位置关系，并说明理由； (2)如图2，连接，若平分，求的度数． 学科网（北京）股份有限公司 $$