专题03 二次函数的图象与性质（8基础题型+2提升题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年九年级数学上学期期末真题分类汇编（长沙专用）

专题03 二次函数的图象与性质 二次函数的定义 1．（2023秋•长沙县期末）下列函数是二次函数的是　　 A． B． C． D． 2．（2023春•开福区校级期末）下列函数中，是二次函数的是　　 A． B． C． D． 3．（2022春•岳麓区校级期末）若是二次函数，则的值为　 　． 二次函数的图象 4．（2022秋•岳麓区校级期末）如果二次函数的图象如图所示，那么一次函数的图象大致是　　 A． B． C． D． 5．（2023春•开福区校级期末）在同一平面直角坐标系中，函数和函数是常数，且的图象可能是　　 A． B． C． D． 6．（2021秋•雨花区期末）在同一平面直角坐标系中，函数与的图象大致如图　　 A． B． C． D． 7．（2021秋•雨花区期末）二次函数的图象如图所示，根据图象，写出三条关于，，的信息． 8．（2022春•芙蓉区校级期末）二次函数的图象如图所示，那么一次函数的图象大致是　　 A． B． C． D． 9．（2022春•开福区校级期末）当时，与的图象大致是　　 A． B． C． D． 二次函数的性质 10．（2022春•芙蓉区校级期末）要函数开口向上，则　　． 11．（2024春•长沙期末）函数的图象的顶点坐标是　　 A． B． C． D． 12．（2023秋•浏阳市期末）抛物线的对称轴方程是　　 A． B． C． D． 13．（2024春•雨花区期末）二次函数的顶点坐标为 　 　． 14．（2022秋•望城区期末）如图，函数的图象，若直线与该图象只有一个交点，则的取值范围为 　 　． 15．（2023春•雨花区校级期末）已知二次函数，当时，函数的最大值为 　 　． 16．（2024春•开福区校级期末）下列关于二次函数的说法正确的是　　 A．它的图象经过点 B．它的图象的对称轴是直线 C．当时，有最大值为0 D．当时，随的增大而减小 17．（2024春•雨花区校级期末）对于抛物线，下列说法正确的是　　 A．随的增大而减小 B．当时，有最大值 C．若点，都在抛物线上，则 D．经过第一、二、四象限 18．（2024春•雨花区期末）二次函数的图象如图所示．下列结论：①；②时，随的增大而增大；③；④不等式的解集是；其中正确的是 　 　 （填序号） 19．（2023春•长沙期末）已知点，是抛物线上的两点，则这条抛物线的对称轴为直线　 　． 20．（2022秋•雨花区期末）已知二次函数自变量与函数值之间满足下列数量关系．则代数式的值等于 　 　． 0 1 2 3 21．（2022秋•望城区期末）求抛物线分别与轴、轴的交点坐标，对称轴的方程，顶点的坐标，并在如图所示的平面直角坐标系中，画出的图象． 22．（2021秋•岳麓区校级期末）二次函数的对称轴为　　 A． B． C． D． 23．（2022春•岳麓区校级期末）已知抛物线，下列结论错误的是　　 A．抛物线开口向上 B．抛物线的对称轴为直线 C．抛物线的顶点坐标为 D．当时，随的增大而增大 24．（2022秋•浏阳市期末）关于抛物线的特征，下列说法错误的是　　 A．开口向上 B．对称轴为直线 C．顶点坐标是 D．当时，随的增大而增大 二次函数图象上点的坐标特征 25．（2023秋•开福区校级期末）若点，，在抛物线上，则，，的大小关系是　　 A． B． C． D． 26．（2024春•雨花区期末）已知，，是抛物线上的点，则　　 A． B． C． D． 27．（2023秋•浏阳市期末）若二次函数的图象经过点，则的值是 　 　． 28．（2024春•雨花区校级期末）抛物线与轴交点的坐标为 　 　． 29．（2024春•长沙期末）已知二次函数的图象与轴的一个交点的坐标为，则二次函数的图象与轴的另一个交点的坐标是 　 　． 30．（2023秋•浏阳市期末）已知抛物线经过点． （1）求的值； （2）当时，求值． 二次函数图象与几何变换 31．（2024春•长沙期末）将二次函数的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的函数图象的表达式是　　 A． B． C． D． 32．（2024春•雨花区校级期末）把抛物线向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为　　 A． B． C． D． 33．（2024春•雨花区期末）抛物线通过平移变换可以得到抛物线，以下变换过程正确的是　　 A．先向右平移1个单位，再向上平移3个单位 B．先向左平移1个单位，再向下平移3个单位 C．先向右平移1个单位，再向下平移3个单位 D．先向左平移1个单位，再向上平移3个单位 34．（2023秋•浏阳市期末）要得到函数的图象，可以将函数的图象向　 　平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度． 35．（2023秋•长沙县期末）将抛物线向左平移1个单位，再向下平移3个单位后所得抛物线的解析式为 　 　． 二次函数的最值 36．（2024春•岳麓区校级期末）函数的最小值是　　． 37．（2022秋•岳麓区校级期末）二次函数的最大值是　　 A． B． C．1 D．3 38．（2021秋•岳麓区校级期末）二次函数的最小值是　　 A．2 B． C．5 D． 待定系数法求二次函数解析式 39．（2023秋•长沙县期末）一个二次函数图象的顶点坐标是，且过另一点，则这个二次函数的解析式为　　 A． B． C． D． 40．（2024春•岳麓区校级期末）已知关于的二次函数的图象过点，． （1）求这个二次函数的解析式； （2）求当时，的最大值与最小值的差． 41．（2023秋•雨花区期末）已知二次函数的图象如图所示，求这个二次函数的解析式． 二次函数的三种形式 42．（2017春•岳麓区校级期末）将二次函数一般式化为顶点式为　 　． 43．（2017春•天心区校级期末）若二次函数配方后为，则、的值分别为　　 A．0，5 B．0，1 C．，5 D．，1 44．（2024秋•浏阳市期中）将二次函数化为一般形式后，正确的是　　 A． B． C． D． 45．（2023秋•芙蓉区校级月考）将二次函数化成的形式是 　　． 46．（2021春•天心区校级月考）把二次函数用配方法化成的形式时，应为　　 A． B． C． D． 47．（2017秋•长沙县校级月考）用配方法把二次函数化为的形式，再指出该函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标． 48．（2019春•岳麓区校级月考）将二次函数通过配方可化为的形式，结果为　　 A． B． C． D． 二次函数图象与系数的关系 49．（2024春•岳麓区校级期末）已知抛物线的图象如图所示，则下列结论中，正确的有　　 ①；②；③；④；⑤． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 50．（2023秋•浏阳市期末）在平面直角坐标系中，点，，的图象如图所示，则的值可以为　　 A．0.7 B．0.9 C．2 D．2.1 51．（2023春•长沙期末）某二次函数的部分图象如图所示，下列结论中一定成立的有　　 ①； ②； ③； ④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二次函数综合题 52．（2024春•开福区校级期末）如图，抛物线交轴于点和点，交轴于点． （1）求抛物线的表达式； （2）若点是直线下方抛物线上一动点，连接，，当△的面积最大时，求点的坐标及面积的最大值； （3）在（2）的条件下，若点是直线上的动点，在平面内的是否存在点，使得以为边、以、、、和顶点的四边形是菱形？若存在，请求出符合条件的所有点的坐标；若不存在，请说明理由． 53．（2024春•雨花区期末）如图，抛物线与轴交于、在的左边），与轴负半轴交于，且． （1）求，的值； （2）如图1，点是抛物线在第四象限内图象上一点，点是轴上一点，点坐标是，点是直线与该抛物线唯一的公共点，直线与该抛物线交于，两点，若， ①求出点的坐标； ②求出的值． （3）在（2）的条件下，如图2，连接和，在抛物线上是否存在点使，若存在，求出点坐标，若不存在请说明理由． 54．（2024春•开福区校级期末）不妨约定：若函数图象上存在一个点的纵坐标等于其横坐标的两倍，我们把这个点叫做该函数的“二极点”，例如：函数上存在“二极点” ． （1）判断在下列关于的函数中，是否存在“二极点”，存在的请在相应题目后的括号打“”，不存在的请在相应题目后的括号打“”； ① 　　；② 　　；③ 　　． （2）若抛物线上有两个“二极点” ， 和，，且． ①求的值； ②若时，函数有最大值1，求的值． （3）若关于的函数 的图象上存在两个“二极点” 和，且同时满足：①，②时，求线段长度的取值范围． 55．（2024春•雨花区校级期末）已知二次函数与轴交于点，、，，且． （1）若，求的值； （2）在（1）的条件下，若该函数在时，有最小值，求函数的表达式； （3）若该抛物线的顶点为点．与轴交于点，经过、两点的直线交轴于点．当，且时，请求出面积的取值范围． 56．（2024春•岳麓区校级期末）如图，在直角坐标系中，点的坐标为，连结，将线段绕原点顺时针旋转，得到线段． （1）求点的坐标； （2）求经过，，三点的抛物线的解析式； （3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点，使周长最小？若存在，求点出的坐标和的周长；若不存在，请说明理由； （4）如果点是（2）中的抛物线上的动点，那么是否存在点使得的面积为：；若有，求出此时点的横坐标；若没有，请说明理由． 57．（2024春•雨花区校级期末）对凸四边形我们进行约定： 若四边形对角线既不垂直也不相等，叫做“线无垂等”四边形； 若四边形对角线垂直但不相等，叫做“线垂不等”四边形； 若四边形对角线相等但不垂直，叫做“线等不垂”四边形； 若四边形对角线既相等又垂直，叫做“线垂且等”四边形； （1）判断下列说法的正确性，正确的请在括号内打“”；错误的打“” ①所有的平行四边形都是“线无垂等”四边形 　　 ②内角不是的菱形一定是“线垂不等”四边形 　　 ③邻边相等的矩形是“线垂且等”四边形 　　 （2）如图，在矩形中，是边上一点，若； ①连接，四边形是“　　”四边形； ②若，且，求的长． （3）二次函数的对称轴为直线，且与轴交于，两点在点左侧），且，点，，都在函数图象上，若四边形是“线垂且等”四边形，求点坐标． 58．（2024春•岳麓区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，两点，点是直线上一动点，过点作轴的垂线交抛物线于点、交轴于点．设点的横坐标为． （1）分别求直线和这条抛物线的解析式； （2）若点在第四象限，若，求此时点的坐标； （3）点是平面直角坐标系中的一点，当点在第四象限时，是否存在这样的点，使得以、、、为顶点组成的以为边的矩形？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 59．（2024春•雨花区期末）定义：若一个函数图象与直线有交点，该函数就称为“零和函数”，两个函数图象的交点称为“零和点”，例如：图象与的交点是，则是“零和函数”，交点是“零和点”． （1）以下两个函数：①，②，是“零和函数”的是 　①　（填写序号）； （2）一个“零和函数” ，均为常数）图象与轴有交点，顶点恰好是“零和点”，求该二次函数的解析式； （3）若二次函数，，均为常数，且的图象上有两个不同的“零和点” ，和，，且，该二次函数的图象与轴交点的纵坐标是，若已知，求的取值范围． 60．（2024春•长沙期末）如图，已知抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）点是第四象限内抛物线上的一个动点（与点，不重合），过点作轴于点，交直线于点，连接，若，求出点的坐标； （3）若为轴上一动点，为抛物线上一动点，是否存在点、，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出的坐标；若不存在，请说明理由． ( 12 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 二次函数的图象与性质 二次函数的定义 1．（2023秋•长沙县期末）下列函数是二次函数的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据二次函数的定义；形如，，为常数且，逐一判断即可解答． 【解答】解：、，是二次函数，故符合题意； 、，不是二次函数，故不符合题意； 、，不是二次函数，故不符合题意； 、，不是二次函数，故不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键． 2．（2023春•开福区校级期末）下列函数中，是二次函数的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据二次函数的定义：一般地，形如、、是常数，的函数，叫做二次函数进行分析即可． 【解答】解：、是一次函数，故此选项错误； 、符合二次函数定义，故此选项正确； 、右边不是整式，不是二次函数，故此选项错误； 、右边不是整式，不是二次函数，故此选项错误； 故选：． 【点评】此题主要考查了二次函数定义，判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件． 3．（2022春•岳麓区校级期末）若是二次函数，则的值为　3　． 【分析】根据二次函数的定义，令且即可解答． 【解答】解：当且时，为二次函数， （舍去），． 故答案为3． 【点评】本题考查了二次函数的定义，令最高次项为2，最高次项系数不为0即可． 二次函数的图象 4．（2022秋•岳麓区校级期末）如果二次函数的图象如图所示，那么一次函数的图象大致是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】先由抛物线的开口方向判断与0的关系，由抛物线与轴的交点判断与0的关系，再由一次函数的性质解答． 【解答】解：抛物线开口向下，与轴交于正半轴， ，， 一次函数的图象经过第一、二、四象限． 故选：． 【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，一次函数图象与系数的关系．用到的知识点： 二次函数，当时，抛物线开口向下；抛物线与轴交于，当时，与轴交于正半轴；当，时，一次函数的图象在一、二、四象限． 5．（2023春•开福区校级期末）在同一平面直角坐标系中，函数和函数是常数，且的图象可能是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】关键是的正负的确定，对于二次函数，当时，开口向上；当时，开口向下．对称轴为，与轴的交点坐标为． 【解答】解：．由函数的图象可知，即函数开口方向朝下，对称轴为，则对称轴应在轴右侧，与图象不符，故选项错误； ．由函数的图象可知，即函数开口方向朝下，开口方向朝下，与图象不符，故选项错误； ．由函数的图象可知，即函数开口方向朝上，对称轴为，则对称轴应在轴左侧，与图象不符，故选项错误； ．由函数的图象可知，即函数开口方向朝下，对称轴为，则对称轴应在轴右侧，与图象相符，故选项正确． 故选：． 【点评】主要考查了一次函数和二次函数的图象性质以及分析能力和读图能力，要掌握它们的性质才能灵活解题． 6．（2021秋•雨花区期末）在同一平面直角坐标系中，函数与的图象大致如图　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据每一选项中、的符号是否相符，逐一判断． 【解答】解：、由抛物线可知，，由直线可知，，故本选项错误； 、由抛物线可知，，，由直线可知，，，故本选项正确； 、由抛物线可知，，由直线可知，，故本选项错误； 、由抛物线可知，，，由直线可知，，，故本选项错误． 故选：． 【点评】本题考查了一次函数和二次函数的图象．解答该题时，一定要熟记一次函数、二次函数的图象的性质． 7．（2021秋•雨花区期末）二次函数的图象如图所示，根据图象，写出三条关于，，的信息． 【答案】，，．（答案不唯一） 【分析】根据二次函数图象与系数的关系求解． 【解答】抛物线开口向下， ， 抛物线对称轴在轴右侧， ，即， 抛物线与轴交点为， ． 【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数与方程的关系． 8．（2022春•芙蓉区校级期末）二次函数的图象如图所示，那么一次函数的图象大致是　　 A． B． C． D． 【分析】由的图象判断出，，于是得到一次函数的图象经过二，三，四象限，即可得到结论． 【解答】解：的图象的开口向下， ， 对称轴在轴的左侧， ， 一次函数的图象经过二，三，四象限． 故选：． 【点评】本题考查了二次函数和一次函数的图象，解题的关键是明确二次函数的性质，由函数图象可以判断、的取值范围． 9．（2022春•开福区校级期末）当时，与的图象大致是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据题意，，即、同号，分与两种情况讨论，分析选项可得答案． 【解答】解：根据题意，，即、同号， 当时，，开口向上，过原点，过一、二、三象限； 此时，没有选项符合， 当时，，开口向下，过原点，过二、三、四象限； 此时，选项符合， 故选：． 【点评】本题考查二次函数与一次函数的图象的性质，要求学生理解系数与图象的关系． 二次函数的性质 10．（2022春•芙蓉区校级期末）要函数开口向上，则　　． 【分析】已知函数开口向上，二次项系数，可求的范围． 【解答】解：函数开口向上， ，即． 【点评】主要考查了二次函数的性质．二次函数，，为常数，，决定函数的开口方向． 11．（2024春•长沙期末）函数的图象的顶点坐标是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】由函数解析式即可求得答案． 【解答】解： ， 函数图象顶点坐标为， 故选：． 【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在中，顶点坐标为，对称轴为． 12．（2023秋•浏阳市期末）抛物线的对称轴方程是　　 A． B． C． D． 【分析】直接根据抛物线的解析式进行解答即可． 【解答】解：抛物线的解析式为：， 抛物线的对称轴方程为：． 故选：． 【点评】本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的顶点坐标公式是解答此题的关键． 13．（2024春•雨花区期末）二次函数的顶点坐标为 　　． 【答案】． 【分析】先把进行配方得到抛物线的顶点式，根据二次函数的性质即可得到其顶点坐标． 【解答】解： ， 二次函数的顶点坐标为． 故答案为：． 【点评】本题主要考查二次函数的顶点坐标，掌握二次函数的顶点式是解题的关键． 14．（2022秋•望城区期末）如图，函数的图象，若直线与该图象只有一个交点，则的取值范围为 　或　． 【答案】或． 【分析】利用排除法，先求得直线与该图象有两个或三个交点时的取值，则可求得结论． 【解答】解：由题意，直线与函数的图象恒相交， ①当时，直线与直线恒相交，与抛物线至少有一个交点时，即方程有两个实数根， ， △， 解得：； 当时，直线与函数的图象有两个或三个交点， 当时，直线与函数的图象只有一个交点； ②当时，由图象可知，直线与函数的图象只有一个交点， 综上，若直线与该图象只有一个交点，则的取值范围为或． 故答案为：或． 【点评】本题主要考查了一次函数的图象的性质，二次函数图象的性质，一次函数图象上点的坐标的特征，二次函数图象上点的坐标的特征，图象的交点与一元二次方程根的判别式的关系，利用数形结合法解答是解题的关键． 15．（2023春•雨花区校级期末）已知二次函数，当时，函数的最大值为 　5　． 【答案】5． 【分析】先求出二次函数的对称轴为直线，然后根据二次函数开口向上确定其增减性，并结合图象解答即可． 【解答】解：二次函数， 对称轴是：， ， 时，随的增大而增大，时，随的增大而减小， 由图象可知：在内，时，有最大值，， 故答案为：5． 【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数的最值问题，二次函数的增减性，结合图象可得函数的最值是解题的关键． 16．（2024春•开福区校级期末）下列关于二次函数的说法正确的是　　 A．它的图象经过点 B．它的图象的对称轴是直线 C．当时，有最大值为0 D．当时，随的增大而减小 【答案】 【分析】根据题目中的函数解析式，可以求出当时，的值，从而可以判断；写出该函数的对称轴，即可判断；当时该函数取得最小值，即可判断；当时，随的增大如何变化，即可判断． 【解答】解：二次函数， 当时，，故选项不符合题意； 它的图象的对称轴是直线，故选项不符合题意； 当时，有最小值为0，故选项不符合题意； 当时，随的增大而减小，故选项符合题意； 故选：． 【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 17．（2024春•雨花区校级期末）对于抛物线，下列说法正确的是　　 A．随的增大而减小 B．当时，有最大值 C．若点，都在抛物线上，则 D．经过第一、二、四象限 【答案】 【分析】依据题意，由抛物线，又，从而当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大，故可判断；又抛物线开口向上，则当时，取最小值为，故可判断；依据题意得，抛物线上的点离对称轴越近函数值越小，结合抛物线的对称轴是直线，又，可得，故可判断；依据题意，当时，随的增大而减小，且当时，，则当时，，故图象不经过三象限，则可判断． 【解答】解：由题意，抛物线， 又， 当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大，故错误，不合题意． 抛物线开口向上， 当时，取最小值为，故错误，不合题意． 由题意得，抛物线上的点离对称轴越近函数值越小． 抛物线的对称轴是直线， 又， ，故错误，不合题意． 当时，随的增大而减小，且当时，， 当时，，故图象不经过三象限，故正确，符合题意． 故选：． 【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 18．（2024春•雨花区期末）二次函数的图象如图所示．下列结论：①；②时，随的增大而增大；③；④不等式的解集是；其中正确的是 　①　（填序号） 【答案】①． 【分析】根据二次函数的图象对各选项进行逐一分析即可． 【解答】解：①函数图象开口向上， ， 函数图象与轴的交点为，， 抛物线的对称轴， ， ， 抛物线与轴的交点在轴的负半轴， ， ，正确，符合题意； ②由①知，抛物线的对称轴， 时，随的增大而增大，原说法错误，不符合题意； ③由函数图象可知，当时，，原说法错误，不符合题意； ④由函数图象可知，不等式的解集是或，原说法错误，不符合题意． 故答案为：①． 【点评】此题主要考查了二次函数的性质，二次函数的图象与系数的关系，能利用函数图象正确判定，，的符号以及不等式解集是解题关键，体现了初中数学中的重要思想数形结合思想． 19．（2023春•长沙期末）已知点，是抛物线上的两点，则这条抛物线的对称轴为直线　　． 【答案】． 【分析】二次函数图象上两个点若关于对称轴对称，那么这两个点横坐标不同，纵坐标相同．利用抛物线的这个性质即可解答． 【解答】解：，横坐标不同，纵坐标相同， 点、关于对称轴对称， 对称轴为直线． 【点评】本题考查二次函数的性质、图象上点的坐标特征．本题不需要利用待定系数法求出抛物线的表达式，直接根据两点坐标的特征可直接写出对称轴． 20．（2022秋•雨花区期末）已知二次函数自变量与函数值之间满足下列数量关系．则代数式的值等于 　　． 0 1 2 3 【分析】由表格可得抛物线对称轴为直线，然后根据对称性可求时的值，进而求解． 【解答】解：由题可得抛物线经过点，， 抛物线对称轴为直线， 抛物线经过点， 时， 即． 故答案为：． 【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与一元二次方程的关系，通过抛物线上点的坐标的特征求解． 21．（2022秋•望城区期末）求抛物线分别与轴、轴的交点坐标，对称轴的方程，顶点的坐标，并在如图所示的平面直角坐标系中，画出的图象． 【答案】与轴的交点坐标为或，与轴的交点坐标为，对称轴为直线，顶点坐标为，画图见解析． 【分析】令代入二次函数中即可求出与轴的交点坐标，令代入二次函数中即可求出与轴的交点坐标，用配方法可以求二次函数的顶点坐标与对称轴，利用与轴的交点与轴的交点和顶点坐标即可画出二次函数的大致图象． 【解答】解：把代入， 则， 解得：，， 与轴的交点坐标为或， 把代入， 则， 与轴的交点坐标为， ， 二次函数的顶点坐标为，对称轴为直线； 图象如下： 【点评】本题主要考查抛物线与轴，轴的交点，二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象与性质． 22．（2021秋•岳麓区校级期末）二次函数的对称轴为　　 A． B． C． D． 【分析】根据二次函数的对称轴公式直接解答即可． 【解答】解：中， ，，， ． 故选：． 【点评】本题考查了二次函数的性质，熟悉二次函数的对称轴公式是解题的关键． 23．（2022春•岳麓区校级期末）已知抛物线，下列结论错误的是　　 A．抛物线开口向上 B．抛物线的对称轴为直线 C．抛物线的顶点坐标为 D．当时，随的增大而增大 【答案】 【分析】根据抛物线时，开口向上，时，开口向下判断选项；根据抛物线的对称轴为判断选项；根据抛物线的顶点坐标为判断选项；根据抛物线，时，随的增大而减小判断选项． 【解答】解：选项，， 抛物线开口向上，故该选项不符合题意； 选项，抛物线的对称轴为直线，故该选项不符合题意； 选项，抛物线的顶点坐标为，故该选项不符合题意； 选项，当时，随的增大而减小，故该选项符合题意； 故选：． 【点评】本题考查了二次函数的性质，掌握抛物线，时，随的增大而减小，时，随的增大而增大；时，时，随的增大而增大，时，随的增大而减小是解题的关键． 24．（2022秋•浏阳市期末）关于抛物线的特征，下列说法错误的是　　 A．开口向上 B．对称轴为直线 C．顶点坐标是 D．当时，随的增大而增大 【答案】 【分析】根据抛物线解析式和二次函数的性质，对选项逐一判断即可． 【解答】解：抛物线， 该抛物线的开口向上，故选项正确，不符合题意； 对称轴为直线，故选项正确，不符合题意； 顶点坐标为，故选项正确，不符合题意； 当时，随的增大而减小，故选项错误，符合题意； 故选：． 【点评】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 二次函数图象上点的坐标特征 25．（2023秋•开福区校级期末）若点，，在抛物线上，则，，的大小关系是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】先求出函数的对称轴，再结合函数的开口方向和增减性，即可进行解答． 【解答】解：抛物线， 对称轴为直线， 点到对称轴的距离为：， 点到对称轴的距离为：， 点到对称轴的距离为：， ， 函数开口向上， ， ． 故选：． 【点评】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握当函数开口向上时，离对称轴越远，函数值越大；当函数开口向下时，离对称轴越远，函数值越小． 26．（2024春•雨花区期末）已知，，是抛物线上的点，则　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】求出抛物线的对称轴为直线，利用图象法解决问题． 【解答】解：抛物线的对称轴为直线，图象如图所示， 观察图象可知：． 故选：． 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数的增减性和对称性，求出对称轴是解题的关键． 27．（2023秋•浏阳市期末）若二次函数的图象经过点，则的值是 　3　． 【答案】3． 【分析】把已知点的坐标代入解析式即可得解． 【解答】解：二次函数的图象经过点， ． 故答案为：3． 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，函数的图象经过点，则点的坐标满足函数的解析式． 28．（2024春•雨花区校级期末）抛物线与轴交点的坐标为 　　． 【分析】取，求出的值，即可得出答案． 【解答】解：设，则， 抛物线与轴的交点坐标为， 故答案为：． 【点评】本题主要考查二次函数的图象与性质，解答本题的关键是要牢记图象与轴的交点的求法． 29．（2024春•长沙期末）已知二次函数的图象与轴的一个交点的坐标为，则二次函数的图象与轴的另一个交点的坐标是 　　． 【答案】． 【分析】依据题意，由二次函数，可得对称轴是直线，又二次函数的图象与轴的一个交点坐标为，可得另一个交点的横坐标为：，进而可以判断得解． 【解答】解：由题意，二次函数， 对称轴是直线． 又二次函数的图象与轴的一个交点坐标为， 另一个交点的横坐标为：． 二次函数的图象与轴的另一个交点的坐标为． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 30．（2023秋•浏阳市期末）已知抛物线经过点． （1）求的值； （2）当时，求值． 【分析】（1）把点代入抛物线解析式，借助于方程可以求得的值； （2）把代入函数解析式即可求得相应的的值． 【解答】解：（1）把点代入抛物线，得 ， 解得； （2）由（1）知，，则该抛物线解析式为：． 把代入，得 ，即． 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征．二次函数图象上所有点的坐标均满足该函数解析式． 二次函数图象与几何变换 31．（2024春•长沙期末）将二次函数的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的函数图象的表达式是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可． 【解答】解：由“左加右减”的原则可知，将二次函数的图象先向右平移2个单位所得函数的解析式为：； 由“上加下减”的原则可知，将二次函数的图象先向下平移3个单位所得函数的解析式为：． 故选：． 【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象几何变换的法则是解答此题的关键． 32．（2024春•雨花区校级期末）把抛物线向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为　　 A． B． C． D． 【分析】根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行求解． 【解答】解：抛物线向左平移1个单位，得：； 然后向上平移3个单位，得：． 即， 故选：． 【点评】主要考查的是函数图象的平移，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式． 33．（2024春•雨花区期末）抛物线通过平移变换可以得到抛物线，以下变换过程正确的是　　 A．先向右平移1个单位，再向上平移3个单位 B．先向左平移1个单位，再向下平移3个单位 C．先向右平移1个单位，再向下平移3个单位 D．先向左平移1个单位，再向上平移3个单位 【答案】 【分析】直接根据函数图象平移的法则解答即可． 【解答】解：抛物线先向左平移1个单位，再向下平移3个单位的解析式为． 故选：． 【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解题的关键． 34．（2023秋•浏阳市期末）要得到函数的图象，可以将函数的图象向　右　平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度． 【答案】右． 【分析】分别求出两个二次函数的顶点坐标，然后根据顶点的变化解答． 【解答】解：抛物线的顶点坐标是，抛物线线的顶点坐标是， 所以将顶点向右平移1个单位，再向是平移3个单位得到， 即将函数的图象向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到函数的图象． 故答案为右． 【点评】主要考查了函数图象的平移，抛物线与坐标轴的交点坐标的求法，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式． 35．（2023秋•长沙县期末）将抛物线向左平移1个单位，再向下平移3个单位后所得抛物线的解析式为 　　． 【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可． 【解答】解：将向左平移1个单位所得直线解析式为：； 再向下平移3个单位为：． 故答案为． 【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键． 二次函数的最值 36．（2024春•岳麓区校级期末）函数的最小值是　　． 【分析】本题由于二次项的系数为1，可用配方法求解． 【解答】解：， ，由知，当时，函数取得最小值， 故答案为：． 【点评】本题主要考查二次函数的最值，求二次函数的最大（小值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法． 37．（2022秋•岳麓区校级期末）二次函数的最大值是　　 A． B． C．1 D．3 【答案】 【分析】根据二次函数的解析式是顶点式，即可得到结论． 【解答】解：二次函数的最大值是3， 故选：． 【点评】本题考查了二次函数的最值．求二次函数的最大（小值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法． 38．（2021秋•岳麓区校级期末）二次函数的最小值是　　 A．2 B． C．5 D． 【分析】根据二次函数的最值问题解答即可． 【解答】解：二次函数的最小值是5． 故选：． 【点评】本题考查了二次函数的最值问题，是基础题，掌握利用二次函数的顶点式求最值问题的方法是解题的关键． 待定系数法求二次函数解析式 39．（2023秋•长沙县期末）一个二次函数图象的顶点坐标是，且过另一点，则这个二次函数的解析式为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】设抛物线的表达式为，将代入上式，即可求解； 【解答】解：设抛物线的表达式为， 则抛物线表达式为， 将代入上式得，，解得， 故抛物线的表达式为． 故选：． 【点评】主要考查待定系数法求二次函数的解析式．当知道二次函数的顶点坐标时通常使用二次函数的顶点式来求解析式．顶点式：或 40．（2024春•岳麓区校级期末）已知关于的二次函数的图象过点，． （1）求这个二次函数的解析式； （2）求当时，的最大值与最小值的差． 【答案】（1）； （2）9． 【分析】（1）将、代入求解． （2）根据抛物线开口方向，将函数解析式化为顶点式可得时，取最小值，时取最大值，进而求解． 【解答】解：（1）将、代入得， ， ； （2）， 抛物线开口向上，顶点坐标为， 时，最小值为， ， 时，为最大值， 当时，的最大值与最小值的差为． 【点评】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数的解析式，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系． 41．（2023秋•雨花区期末）已知二次函数的图象如图所示，求这个二次函数的解析式． 【答案】． 【分析】设交点式，然后把代入求出即可． 【解答】解：二次函数图象经过点，， 二次函数解析式可设为， 把代入得， 解得， 二次函数解析式可设为， 即． 【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解． 二次函数的三种形式 42．（2017春•岳麓区校级期末）将二次函数一般式化为顶点式为　　． 【分析】等式的右边利用配方法加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式． 【解答】解： ， 故答案为：． 【点评】本题考查的是二次函数的解析式的三种形式，能够正确运用配方法把二次函数的一般式化为顶点式是解题的关键，注意二次函数的性质要熟练掌握． 43．（2017春•天心区校级期末）若二次函数配方后为，则、的值分别为　　 A．0，5 B．0，1 C．，5 D．，1 【答案】 【分析】可将的右边运用完全平方公式展开，再与比较，即可得出、的值． 【解答】解：， 又， ， ，． 故选：． 【点评】本题实际上考查了两个多项式相等的条件：它们同类项的系数对应相等． 44．（2024秋•浏阳市期中）将二次函数化为一般形式后，正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】通过去括号、合并同类项对等式的右边进行变形处理即可． 【解答】解：，即． 故选：． 【点评】本题主要考查了二次函数的三种形式： （1）一般式：，、、为常数）； （2）顶点式：； （3）交点式（与轴）． 45．（2023秋•芙蓉区校级月考）将二次函数化成的形式是 　　． 【分析】利用配方法再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式． 【解答】解：． 故答案为：． 【点评】此题主要考查了二次函数的解析式有三种形式： （1）一般式：，、、为常数）； （2）顶点式：； （3）交点式（与轴）． 46．（2021春•天心区校级月考）把二次函数用配方法化成的形式时，应为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式． 【解答】解：． 故选：． 【点评】本题考查了二次函数的解析式有三种形式： （1）一般式：，、、为常数）； （2）顶点式：； （3）交点式（与轴）． 47．（2017秋•长沙县校级月考）用配方法把二次函数化为的形式，再指出该函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标． 【分析】利用配方法把一般式化为顶点式，根据二次函数的性质解答． 【解答】解： ， 抛物线开口向上，对称轴是直线，顶点坐标是． 【点评】本题考查的是二次函数三种形式的转化、二次函数的性质，掌握配方法、二次函数的性质是解题的关键． 48．（2019春•岳麓区校级月考）将二次函数通过配方可化为的形式，结果为　　 A． B． C． D． 【分析】加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式． 【解答】解：， 即． 故选：． 【点评】本题考查了二次函数的三种形式，主要是配方法和平方数非负数的应用． 二次函数图象与系数的关系 49．（2024春•岳麓区校级期末）已知抛物线的图象如图所示，则下列结论中，正确的有　　 ①；②；③；④；⑤． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】 【分析】根据图上给的信息，结合二次函数的性质去判断对错即可． 【解答】解：①如图所示，图象开口向上， ， 图象与轴的交点在轴下方 ， 图象的对称轴在轴的左边，且， ， ，故①错误； ②根据图象可知，抛物线与轴有两个交点， ，即，故②正确； ③由图可得，当时，， ，故③正确； ④由图可得，， ， ， ，故④正确； ⑤当时，， ， ， ，解得：， ， ，故⑤正确； 综上所述，共有4个是正确的； 故选：． 【点评】本题考查的是二次函数图象与各系数之间的关系，解题关键：掌握二次函数的图象与基本性质． 50．（2023秋•浏阳市期末）在平面直角坐标系中，点，，的图象如图所示，则的值可以为　　 A．0.7 B．0.9 C．2 D．2.1 【分析】利用时，和当时，得到的范围，然后对各选项进行判断． 【解答】解：时，，即； 当时，，即，解得， 所以． 故选：． 【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数，二次项系数决定抛物线的开口方向和大小．当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置．当与同号时（即，对称轴在轴左； 当与异号时（即，对称轴在轴右． 51．（2023春•长沙期末）某二次函数的部分图象如图所示，下列结论中一定成立的有　　 ①； ②； ③； ④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】 【分析】由抛物线的开口方向判断与0的关系，由抛物线与轴的交点判断与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【解答】解：函数的对称轴在轴右侧， ， 图象交于轴的负半轴， ， ，故①正确； 函数的对称轴为，函数和轴的一个交点是，则另外一个交点为， 当时，，故②错误； 函数的对称轴为， ，故③错误； 由②③得，，，故，而，即，故，故④正确； 故选：． 【点评】主要考查二次函数图象与系数的关系，会利用对称轴的范围求与的关系，以及二次函数与方程之间的转换等． 二次函数综合题 52．（2024春•开福区校级期末）如图，抛物线交轴于点和点，交轴于点． （1）求抛物线的表达式； （2）若点是直线下方抛物线上一动点，连接，，当△的面积最大时，求点的坐标及面积的最大值； （3）在（2）的条件下，若点是直线上的动点，在平面内的是否存在点，使得以为边、以、、、和顶点的四边形是菱形？若存在，请求出符合条件的所有点的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）将点和点代入解析式，求出和即可得到抛物线表达式； （2）过点作轴交于点，设点，，，，得出当，即点时，△的面积取得最大值，最大值为4； （3），，，，分①以、为对角线，，②以、为对角线，，两种情况进行讨论． 【解答】解：（1）交轴于点和点， ， ， ； （2）当时，， ， 过点作轴交于点， ，， ， 设点，， ， ， ， 当，即点时，△的面积取得最大值，最大值为4； （3），，，， ①以、为对角线，， ， 或（舍， ； ②以、为对角线，， ， 或， ，或，； 综上所述：或，或，． 【点评】本题考查了二次函数的综合运用，掌握二次函数的性质，点的特征，分类讨论等是解题的关键． 53．（2024春•雨花区期末）如图，抛物线与轴交于、在的左边），与轴负半轴交于，且． （1）求，的值； （2）如图1，点是抛物线在第四象限内图象上一点，点是轴上一点，点坐标是，点是直线与该抛物线唯一的公共点，直线与该抛物线交于，两点，若， ①求出点的坐标； ②求出的值． （3）在（2）的条件下，如图2，连接和，在抛物线上是否存在点使，若存在，求出点坐标，若不存在请说明理由． 【答案】（1），； （2）①； ②，； （3）． 【分析】（1）先求出、两点的坐标，再将、两点的坐标代入中，利用待定系数法即可求出、的值； （2）①由，得抛物线的表达式为．设，联立和得一元二次方程，由△可求出的值，进而求出点的坐标． ②过点作轴的平行线交于点，求出点坐标是，则可得．设，两点的横坐标是，，联立和，可得，则可得，，进而可得的值，，即可求出的值． （3）由、、可得、，又由，，得，则可得，则，则可得．求出直线的表达式为，再与抛物线联立，求出交点坐标，即可得点的坐标． 【解答】解：（1）， ， ， ， ， 把，分别代入中得： ， 解得：，． （2）①，， 抛物线的表达式为：． 设：， 联立， 则， 两个函数只有唯一公共点， △， ， 解得：或， 点在第四象限， ， ， ， 解得，， ； ②过点作轴的平行线交于点， ， 点横坐标是2， 点坐标是， ， 设：，两点的横坐标是，， 联立， 得：， 则，， ， ， ， ， 两边平方得， ，； （3）延长交轴于点，过点作轴于点，设与轴的交点为点，如图2， 将代入直线的解析式中得：， 得， 由得：， ，， 又， ， ，， ，且， ， ，， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， 设直线的表达式为：， 则， 解得， 直线的表达式为：， 联立， 得，， ， ． 【点评】本题考查了二次函数与一次函数，二次数与几何的综合运用．用待定系数法求二次函数的表达式，求三角形面积，全等三角形的判定和性质，求一次函数表达式．正确的作出辅助线，掌握“三角形的面积水平宽铅垂高”是解题的关键． 54．（2024春•开福区校级期末）不妨约定：若函数图象上存在一个点的纵坐标等于其横坐标的两倍，我们把这个点叫做该函数的“二极点”，例如：函数上存在“二极点” ． （1）判断在下列关于的函数中，是否存在“二极点”，存在的请在相应题目后的括号打“”，不存在的请在相应题目后的括号打“”； ① 　　；② 　　；③ 　　． （2）若抛物线上有两个“二极点” ， 和，，且． ①求的值； ②若时，函数有最大值1，求的值． （3）若关于的函数 的图象上存在两个“二极点” 和，且同时满足：①，②时，求线段长度的取值范围． 【答案】（1）①；②；③； （2）①；②的值为或； （3）． 【分析】（1）根据“二极点”的定义解答即可； （2）①将代入抛物线整理得，由抛物线有2个二极点可知△，求出，由，进而可求出的值； ②由①知，抛物线为，对称轴为，分三中情况讨论，，，即可求出值． （3）由，可得，由“二极点”的定义得，整理得求出，，然后根据两点间的距离公式求解即可． 【解答】解：（1）①当时，， 存在“二极点”； ②当时，方程无解， 不存在“二极点”； ③当时，， △，方程无解． 不存在“二极点”； 故答案为：①；②；③； （2）①设抛物线的“二极点”坐标为， ， ， “二极点”为，和，， ，是方程的两个根， ，， ， ， 或， ， ， ， ； ②由①知， 抛物线为，对称轴为， 当时，此时有最大值， 即， 解得或（舍去）； 当时，即， 此时时有最大值， 即， 解得（舍去）或； 当时，最大值为当时，，不合题意； 综上，的值为或； （3）， ， ， 且， ， ， ， ，， ， ． 【点评】本题考查二次函数的综合应用，主要考查了新定义，一次函数、反比例函数、二次函数图象上点的坐标特征，一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，两点间的距离公式，理解二极点的含义是解答本题的关键． 55．（2024春•雨花区校级期末）已知二次函数与轴交于点，、，，且． （1）若，求的值； （2）在（1）的条件下，若该函数在时，有最小值，求函数的表达式； （3）若该抛物线的顶点为点．与轴交于点，经过、两点的直线交轴于点．当，且时，请求出面积的取值范围． 【答案】（1）0；（2）或；（3）． 【分析】（1）求出点、，可得抛物线的解析式为，即可求解； （2）先求出抛物线的对称轴为直线，再由该函数在时，有最小值，分两种情况：若，若，结合二次函数的性质，即可求解； （3）先求出顶点的坐标为，点的坐标为，再求出直线的解析式，然后结合，可得点的坐标为，，然后根据，可得，从而得到，进而得到，然后根据二次函数的性质解答即可． 【解答】解：（1）解：， 点、， 抛物线的解析式为， 抛物线的解析式为， ， ； （2）解：由（1）得：， 抛物线的对称轴为直线， 该函数在时，有最小值， 若， 当时，有最小值， ，即， 函数的表达式为； 若， ， 此时当时，有最小值， ，即， 函数的表达式为． 综上所述，函数的表达式为或； （3）解：， 顶点的坐标为， 当时，， 点的坐标为，即， 设直线的解析式为， ，解得：， 直线的解析式为， 对于，当时，， 点的坐标为，， ， ， ， 点的坐标为，，即，， ， ，， ， ， ， ， 当时，随的增大而减小， ， ， 当时，取得最大值，此时，当时，取得最小值，此时， ， ． 【点评】本题考查的是二次函数的综合题，熟练掌握配方法和构建二次函数是解题的关键． 56．（2024春•岳麓区校级期末）如图，在直角坐标系中，点的坐标为，连结，将线段绕原点顺时针旋转，得到线段． （1）求点的坐标； （2）求经过，，三点的抛物线的解析式； （3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点，使周长最小？若存在，求点出的坐标和的周长；若不存在，请说明理由； （4）如果点是（2）中的抛物线上的动点，那么是否存在点使得的面积为：；若有，求出此时点的横坐标；若没有，请说明理由． 【答案】（1）； （2）； （3），； （4）的横坐标为1或． 【分析】（1）根据旋转的性质，可得，，故可得，结合勾股定理即可求出点的坐标． （2）待定系数法求二次函数解析式即可． （3）因为点，关于抛物线对称轴对称，连接交对称轴于点，点即为所求，故待定系数法求直线的解析式，再根据点的横坐标值，求出纵坐标，即可得出点坐标，勾股定理可得的长，从而得出的周长的最小值． （4）过点作轴的平行线，交直线于点设点，设，则点坐标为，，即可求出，再分情况在上方和下方两种情况讨论即可． 【解答】解：（1）过点作轴的垂线，垂足为，如图， 将线段绕原点顺时针旋转，得到线段，点的坐标为， ，， ，， ， ， ， ； （2）设所求抛物线的解析式为， 将，，代入上式， 可得， 解得，，， 即抛物线的解析式为； （3）如图，连接交对称轴于点，点即为所求， 设直线的解析式为， 将，代入上式， 可得， 解得， 直线的解析式为， ，为抛线与轴的交点， 为抛物线的对称轴， 当 时，， 则， ， ， ， 则； （4）过点作轴的平行线，交直线于点设点，如图， 设，则点坐标为， 则， ， 则， ①当点在下方时，即时，， 即， 则△，无解； ②当在上方时，即或时，， 即， 解得， 的横坐标为1或． 【点评】本题考查了二次函数的综合应用，主要考查二次函数的性质，勾股定理，解直角三角形，含的直角三角形，旋转的性质，待定系数法求二次函数解析式和一次函数解析式，轴对称的应用，熟练掌握以上知识是解题的关键． 57．（2024春•雨花区校级期末）对凸四边形我们进行约定： 若四边形对角线既不垂直也不相等，叫做“线无垂等”四边形； 若四边形对角线垂直但不相等，叫做“线垂不等”四边形； 若四边形对角线相等但不垂直，叫做“线等不垂”四边形； 若四边形对角线既相等又垂直，叫做“线垂且等”四边形； （1）判断下列说法的正确性，正确的请在括号内打“”；错误的打“” ①所有的平行四边形都是“线无垂等”四边形 　　 ②内角不是的菱形一定是“线垂不等”四边形 　　 ③邻边相等的矩形是“线垂且等”四边形 　　 （2）如图，在矩形中，是边上一点，若； ①连接，四边形是“　　”四边形； ②若，且，求的长． （3）二次函数的对称轴为直线，且与轴交于，两点在点左侧），且，点，，都在函数图象上，若四边形是“线垂且等”四边形，求点坐标． 【答案】（1）；；； （2）①线垂不等； ②； （3）或． 【分析】（1）根据新定义，逐项判断，即可求解； （2）①设，交于点，根据三角形外角的性质以及，可得，从而得到，即可解答； ②证明，即可求解； （3）先求出该函数解析式，然后分两种情况，当再轴的下方时；当再轴的上方时，结合新定义，即可求解． 【解答】解：（1）①所有的平行四边形都是“线无垂等”四边形，错误； ②内角不是的菱形一定是“线垂不等”四边形，正确； ③邻边相等的矩形是“线垂且等”四边形，正确； 故答案为：；；； （2）①如图，设，交于点， 四边形是矩形， ， ，， ，， ， ， ， ， ， 即， 四边形是“线垂不等”四边形； 故答案为：线垂不等； ②四边形是矩形， ，， 设，则，， 由①得， ， ，， ， ， 即， 解得， ； （3）二次函数的对称轴为直线，与轴交于，两点在点左侧），且， ， 点，， ， 把代入得， 解得， 该函数解析式为， 当再轴的下方时，如图，设，交于点，直线分别交，于点，， 则， 点，，， 点，关于直线对称，， 即， 点在直线上，， ，， 四边形是“线垂且等”四边形， ， ，均为等腰直角三角形， ，， ， 点在函数图象上， ， 解得或（舍去）， 的坐标为； 当再轴的上方时，同理点的坐标为； 综上，点的坐标为或． 【点评】本题考查二次函数的综合应用，主要考查了二次函数的综合应用，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，理解新定义是解题的关键． 58．（2024春•岳麓区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，两点，点是直线上一动点，过点作轴的垂线交抛物线于点、交轴于点．设点的横坐标为． （1）分别求直线和这条抛物线的解析式； （2）若点在第四象限，若，求此时点的坐标； （3）点是平面直角坐标系中的一点，当点在第四象限时，是否存在这样的点，使得以、、、为顶点组成的以为边的矩形？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），； （2）； （3）． 【分析】（1）设，将，代入两个函数解析式即可求出答案； （2）设，，根据，则，即可解答； （3）分当时；，两种情况依次进行讨论即可． 【解答】解：设，将，代入， 得， 解得， 直线的解析式为， 抛物线经过点，两点，将，代入， ， 解得， ； （2）设，，，则， ， 整理得，，， ， ； （3），，， ①当时，即， ， ， ， ， ， 解得或（舍， （不在第四象限，舍去）； ②时，即， ， ， ， 而， ， ， 矩形， ， 综上，． 【点评】本题考查二次函数的综合应用，主要考查二次函数的图象和性质，待定系数法求函数解析式，二次函数与一次函数的交点问题，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键． 59．（2024春•雨花区期末）定义：若一个函数图象与直线有交点，该函数就称为“零和函数”，两个函数图象的交点称为“零和点”，例如：图象与的交点是，则是“零和函数”，交点是“零和点”． （1）以下两个函数：①，②，是“零和函数”的是 　①　（填写序号）； （2）一个“零和函数” ，均为常数）图象与轴有交点，顶点恰好是“零和点”，求该二次函数的解析式； （3）若二次函数，，均为常数，且的图象上有两个不同的“零和点” ，和，，且，该二次函数的图象与轴交点的纵坐标是，若已知，求的取值范围． 【答案】（1）①； （2）该二次函数的解析式或； （3）． 【分析】（1）由“零和函数”定义，列方程组求解即可得到答案； （2）由的顶点恰好是“零和点”，求出的顶点，再由，均为常数）图象与轴有交点，得到，联立方程组求解即可得到答案； （3）由“零和函数”定义，联立，得到，由根与系数关系及得到，从而将化为结合△，利用二次函数图象与性质即可得到答案． 【解答】解：（1）若一个函数图象与直线有交点，该函数就称为“零和函数”，两个函数图象的交点称为“零和点”，据此联立得： ， 解得，即函数的图象与直线有交点，为，由“零和函数”定义可得①是“零和函数”； 联立， 则，由△，得方程组无解，即函数的图象与直线无交点，由“零和函数”定义可得②不是“零和函数”； 故答案为：①； （2）一个“零和函数” ，均为常数）图象与轴有交点，顶点恰好是“零和点”， 的顶点为， ， ，均为常数）图象与轴有交点， ， 联立， 则，即，解得或，是“零和函数”， 或， 该二次函数的解析式或； （3）二次函数，，均为常数，且的图象上有两个不同的“零和点” ，和，， 联立， 则，即， ，， ， ， 二次函数的图象与轴交点的纵坐标是， ，则， ， 有两个不相等的实数根， △， ， ， ， ， 题中已知条件， ， 的取值范围是， 当时，随着的增大而增大，即的取值范围是． 【点评】本题考查函数综合，涉及新定义函数、二次函数图象与性质、解方程组等知识，熟练掌握二次函数图象与性质，理解“零和函数”定义是解决问题的关键． 60．（2024春•长沙期末）如图，已知抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）点是第四象限内抛物线上的一个动点（与点，不重合），过点作轴于点，交直线于点，连接，若，求出点的坐标； （3）若为轴上一动点，为抛物线上一动点，是否存在点、，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）点的坐标为； （3）存在点、，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，的坐标为或或或． 【分析】（1），设抛物线为，可得，解得，故抛物线的解析式为； （2）求出，直线的解析式为，设，则，，可得，，由，即，解出的值得点的坐标为； （3）设，，且，，①当，为对角线时，则，的中点重合，有，可解得；②当，为对角线时，，中点重合，可得或；③当，为对角线时，可得，从而得的坐标为、，、、． 【解答】解：（1）由抛物线与轴交于，两点，设抛物线为， ， ， 解得， 抛物线的解析式为； （2）在中，令得， ， 设直线的解析式为， 把、代入得： ， 解得， 直线的解析式为， 设，则，， ，， ， ， ， 解得： （不符合，舍去），， 点的坐标为； （3）存在点、，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，理由如下： 设，，且，， ①当，为对角线时，则，的中点重合， ， 解得：或（此时，重合，舍去）， ； ②当，为对角线时，，中点重合， 解得：或， 或； ③当，为对角线时， （舍去）或， ． 综上所述，的坐标为、，、、． 【点评】本题考查一次函数综合应用，涉及待定系数法，平行四边形的性质及应用，三角形面积等知识，解题的关键是分类讨论思想的应用． ( 12 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$