专题01 一元二次方程与解一元二次方程（7基础题型+3提升题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年九年级数学上学期期末真题分类汇编（长沙专用）

专题01 一元二次方程与解一元二次方程 一元二次方程的定义 1．（2024春•长沙期末）下列方程一定是一元二次方程的是　　 A． B． C． D． 2．（2024春•雨花区期末）下列方程中是一元二次方程的是　　 A． B． C． D． 3．（2023春•芙蓉区校级期末）下列方程中，一定是一元二次方程的是　　 A． B． C． D． 4．（2023春•长沙期末）当 　　时，关于的方程是一元二次方程． 5．（2023春•岳麓区校级期末）若方程是关于的一元二次方程，则等于 　　． 6．（2022秋•开福区校级期末）阅读与理解 已知是关于的多项式，记为．我们规定：的导出多项式为，记为．例如：若，则的导出多项式． 根据以上信息，回答问题： （1）若，则它的导出多项式　　； （2）设是的导出多项式． ①若，求关于的方程的解； ②已知是关于的二次多项式，且关于的方程的解为整数，求正整数的值． 一元二次方程的一般形式 7．（2023春•岳麓区校级期末）一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是　　 A．1，4，5 B．0，， C．1，，5 D．1，， 8．（2022春•长沙期末）写出一元二次方程的一般形式：　 　． 一元二次方程的解 9．（2023春•雨花区期末）已知是关于的一元二次方程的一个根，则的值是　　 A． B．0 C．1 D．2 10．（2023春•长沙期末）一元二次方程的一个根为2，则的值为　　 A．1 B．2 C． D． 11．（2023春•雨花区校级期末）已知是关于的一元二次方程的一个解，则的值为　　 A．0 B． C．1 D．2 12．（2023春•岳麓区校级期末）已知是方程的一个根，则代数式的值为　　 A．0 B．2 C． D．4 13．（2023春•芙蓉区校级期末）如果是一元二次方程的一个根，是一元二次方程的一个根，那么的值是　　 A．1或2 B．0或 C．或 D．0或3 14．（2024春•雨花区期末）若是方程的一个实数根，则代数式的值为 　　． 15．（2024春•岳麓区校级期末）若关于的方程的一个根是，则的值为 　 　． 16．（2023秋•长沙期末）已知关于的一元二次方程的一个根为1，则　 　． 17．（2023秋•岳麓区校级期末）已知是方程的一个根，则的值是 　 　． 18．（2022秋•芙蓉区校级期末）关于的一元二次方程有一个根是0，则的值是 　 　． 19．（2022秋•雨花区校级期末）若一个方程（组的解为整数，我们称它为“好看”方程（组． （1）下列哪个方程（组不是“好看”方程（组　 　 ．．．． （2）已知关于、的方程组为“好看”方程组，求正整数的值． （3）已知与互为相反数、为正整数），当关于的方程是“好看”方程时，求的最小值． 解一元二次方程-直接开平方法 20．（2024秋•浏阳市月考）方程的解为　　 A．或 B．或 C． D． 21．（2023春•长沙县期末）在等式□中，□内的数等于 　 　． 解一元二次方程-配方法 22．（2024春•岳麓区校级期末）一元二次方程配方后可化为　　 A． B． C． D． 23．（2024春•雨花区校级期末）用配方法解方程时，配方结果正确的是　　 A． B． C． D． 24．（2023春•长沙县期末）方程的解为 　 　． 25．（2023春•开福区校级期末）把方程变形为的形式后，　 　． 26．（2023春•长沙县期末）解方程：（1）； （2）． 27．（2022秋•长沙期末）解方程． （1）； （2）； 解一元二次方程-公式法 28．（2022春•岳麓区校级期末）一元二次方程的求根公式是　　 A． B． C． D． 29．（2023春•岳麓区校级期末）解方程：． 30．（2024春•长沙期末）选择适当的方法解下列方程： （1）； （2）． 解一元二次方程-因式分解法 31．（2024春•长沙期末）已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程的根，则该三角形的周长为 　 　． 32．（2023秋•浏阳市期末）解方程：． 33．（2024春•岳麓区校级期末）解方程： （1）； （2）． 34．（2024春•开福区校级期末）解方程： （1）； （2）． 35．（2024春•岳麓区校级期末）（1）解不等式：； （2）解方程：． 36．（2024春•雨花区校级期末）解方程： （1）； （2）． 37．（2024春•长沙期末）解下列方程： （1）； （2）． 38．（2024春•雨花区期末）解方程：． 换元法解一元二次方程 39．（2024春•雨花区期末）若实数、满足，则　 　． 40．（2023秋•内江期末）若，则的值为 　 　． 41．（2024春•濉溪县期末）若，则的值为 　 　． 42．（2024春•牟平区期末）如果实数，满足，则的值是 　 　． 根的判别式 43．（2024春•开福区校级期末）一元二次方程的根的情况是　　 A．有两个不相等的实数根 B．没有实数根 C．有两个相等的实数根 D．无法确定 44．（2024春•雨花区期末）已知关于的一元二次方程，则下列关于该方程根的判断，正确的是　　 A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．实根的个数与的取值有关 D．没有实数根 45．（2024春•雨花区期末）若关于的一元二次方程有两个实数根，，且，则　　 A．2或6 B．2或8 C．2 D．6 46．（2023秋•开福区校级期末）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 　 　． 47．（2023秋•长沙期末）已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是 　 　． 根与系数的关系 48．（2023秋•浏阳市期末）一元二次方程的两根之和是　　 A．2023 B．2024 C． D．2022 49．（2023秋•长沙期末）若，是一元二次方程的两个实数根，则的值是 　 　． 50．（2024春•长沙期末）已知关于的方程的一根是，则该方程的另一根为 　 　． 51．（2024春•雨花区校级期末）已知，是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于 　 　． 52．（2024春•开福区校级期末）已知一元二次方程的两个实数根为，，若，则实数　 　． 53．（2023秋•开福区校级期末）已知关于的一元二次方程有一个根是，则另外一个根是 　 　． 54．（2024春•岳麓区校级期末）已知、是一元二次方程的两根，则的值是 　 　． 55．（2024春•雨花区期末）如果关于的一元二次方程有两个实数根，其中一个实数根是另一个实数根的2倍，那么称这样的方程是“倍根方程”．例如一元二次方程的两个根是，，则方程是“倍根方程”． （1）通过计算，判断是否是“倍根方程”； （2）若关于的方程是“倍根方程”，求代数式的值； （3）已知关于的一元二次方程是常数）是“倍根方程”，请直接写出的值． 56．（2024春•长沙期末）若关于的方程有一个解为，那么称这样的方程为“明一方程”．例如方程：有解，所以为“明一方程”． （1）下列方程是“明一方程”的有 　 　； ①； ②； ③． （2）已知直线与轴交于点，与轴交于点，，且当时，关于的方程为“明一方程”，求该直线解析式； （3）已知，为“明一方程” ，，为常数，且的两个根，试求的取值范围． 57．（2024春•岳麓区校级期末）已知关于的一元二次方程． （1）若方程有实数根，求实数的取值范围； （2）若方程两实数根分别为，，且满足，求实数的值． 58．（2024春•长沙期末）已知关于的一元二次方程有实数根． （1）求的取值范围； （2）若两实数根分别为和，且，求的值． 59．（2024春•岳麓区校级期末）已知关于的一元二次方程有实数根． （1）若此方程的一个根为，求的值及另一个根； （2）求的取值范围． 60．（2024春•雨花区期末）已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）设方程的两根分别为，．若以，的值为对角线长的菱形面积为2，求的值． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/11/25 18:56:57；用户：15801716282；邮箱：15801716282；学号：31290231 ( 12 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 一元二次方程与解一元二次方程 一元二次方程的定义 1．（2024春•长沙期末）下列方程一定是一元二次方程的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的定义即可解答． 【解答】解：．该方程是分式方程，故本选项不合题意； ．该方程中含有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项不合题意； ．当时，该方程不是一元二次方程，故本选项不合题意； ．该方程是一元二次方程，故本选项符合题意． 故选：． 【点评】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程． 2．（2024春•雨花区期末）下列方程中是一元二次方程的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的定义，逐一分析四个选项中的方程，即可得出结论． 【解答】解：．该方程中未知数的最高次数是1，不是一元二次方程，不符合题意； ．该方程中含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； ．该方程符合一元二次方程的定义，符合题意； ．该方程不是整式方程，不符合题意， 故选：． 【点评】本题考查了一元二次方程的定义，牢记“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程”是解题的关键． 3．（2023春•芙蓉区校级期末）下列方程中，一定是一元二次方程的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的定义，只含有一个未知数，并且最高次项的次数是2次，并且得是整式方程，即可判断． 【解答】解：根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程． 选项符合题意； 选项未知数最高次数是2，不符合题意； 选项不是整式方程，不符合题意； 化简，得，不含有2次项， 选项不符合题意． 故选：． 【点评】本题考查了一元二次方程，对一元二次方程的定义的准确理解是解决本题的关键． 4．（2023春•长沙期末）当 　　时，关于的方程是一元二次方程． 【分析】根据一元二次方程的定义得到：且．由此求得的值． 【解答】解：关于的方程是一元二次方程， 且． 解得． 故答案为：． 【点评】本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是（且． 5．（2023春•岳麓区校级期末）若方程是关于的一元二次方程，则等于 　3　． 【分析】根据一元二次方程的一般形式，即可得到，并且，即可求得的值． 【解答】解：方程是关于的一元二次方程， ， 解得． 故答案为：3． 【点评】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，要特别注意二次项系数这一条件，当时，上面的方程就不是一元二次方程了． 6．（2022秋•开福区校级期末）阅读与理解 已知是关于的多项式，记为．我们规定：的导出多项式为，记为．例如：若，则的导出多项式． 根据以上信息，回答问题： （1）若，则它的导出多项式　　； （2）设是的导出多项式． ①若，求关于的方程的解； ②已知是关于的二次多项式，且关于的方程的解为整数，求正整数的值． 【答案】（1）； （2）①关于的方程的解为：； ②正整数的值为：1，3． 【分析】（1）利用题目已知的规定：的导出多项式为，记为，即可解答； （2）①根据题目已知的规定，求出导出的多项式，进行计算即可； ②根据题目已知的规定，求出导出的多项式，再根据关于的方程的解为整数，进行计算即可． 【解答】解：（1）， 它的导出多项式， 故答案为：， （2）①， 它的导出多项式， ， ， ， 关于的方程的解为：； ②， 它的导出多项式， ， ， ， 关于的方程的解为整数， ， ， 的值为：，，，， 的值为：2，1，，，0，3，，， 正整数的值为：2，1，3， 又， ， 正整数的值为：1，3， 【点评】本题考查了一元二次方程的定义，一元一次方程的解，根据题目的已知理解，是解题的关键． 一元二次方程的一般形式 7．（2023春•岳麓区校级期末）一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是　　 A．1，4，5 B．0，， C．1，，5 D．1，， 【答案】 【分析】一元二次方程的一般形式为：，其中称为二次项，为二次项系数，称为一次项，为一次项系数，为常数项，根据一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项的定义求解即可． 【解答】解：一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别为1，，，故正确． 故选：． 【点评】本题考查了一元二次函数的一般形式，想要求出二次项系数、一次项系数和常数项就需要把函数转变为一般式：，其中称为二次项，为二次项系数，称为一次项，为一次项系数，为常数项． 8．（2022春•长沙期末）写出一元二次方程的一般形式：　　． 【答案】． 【分析】先去括号得到，然后移项合并得到一元二次方程的一般式． 【解答】解：去括号得， 移项合并得． 故答案为：． 【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式：叫一元二次方程的一般式，其中叫二次项系数，叫一次项系数，叫常数项． 一元二次方程的解 9．（2023春•雨花区期末）已知是关于的一元二次方程的一个根，则的值是　　 A． B．0 C．1 D．2 【答案】 【分析】把代入方程，得出一个关于的方程，解方程即可． 【解答】解：把代入方程得：， 解得：． 故选：． 【点评】本题考查了一元二次方程的解和解一元一次方程，关键是能根据题意得出一个关于的方程． 10．（2023春•长沙期末）一元二次方程的一个根为2，则的值为　　 A．1 B．2 C． D． 【答案】 【分析】把代入方程得，然后解关于的方程即可． 【解答】解：把代入方程得， 解得． 故选：． 【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 11．（2023春•雨花区校级期末）已知是关于的一元二次方程的一个解，则的值为　　 A．0 B． C．1 D．2 【答案】 【分析】把方程的解代入方程，可以求出字母系数的值． 【解答】解：是方程的解， ， ． 故选：． 【点评】本题考查的是一元二次方程的解，把方程的解代入方程可以求出字母系数的值． 12．（2023春•岳麓区校级期末）已知是方程的一个根，则代数式的值为　　 A．0 B．2 C． D．4 【答案】 【分析】根据一元二次方程的解的定义得到，再把表示为，然后利用整体代入的方法计算． 【解答】解：是方程的一个根， ， ， ， 故选：． 【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 13．（2023春•芙蓉区校级期末）如果是一元二次方程的一个根，是一元二次方程的一个根，那么的值是　　 A．1或2 B．0或 C．或 D．0或3 【答案】 【分析】把代入方程得到，把代入方程得，然后把两式相加得到关于的方程，再解关于的方程即可． 【解答】解：根据题意得①，②， ①②得， 解得或． 故选：． 【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 14．（2024春•雨花区期末）若是方程的一个实数根，则代数式的值为 　2024　． 【答案】2024． 【分析】先根据一元二次方程解的定义得到，然后利用整体代入的方法计算代数式的值． 【解答】解：是一元二次方程的一个根， ， ， ． 故答案为：2024． 【点评】本题考查了解一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 15．（2024春•岳麓区校级期末）若关于的方程的一个根是，则的值为 　15　． 【分析】把代入得，然后解关于的方程即可． 【解答】解：把代入，得， 解得． 故答案为：15． 【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 16．（2023秋•长沙期末）已知关于的一元二次方程的一个根为1，则　2　． 【分析】把代入方程计算即可求出的值． 【解答】解：把代入方程得：， 去括号得：， 解得：， 故答案为：2 【点评】此题考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 17．（2023秋•岳麓区校级期末）已知是方程的一个根，则的值是 　8　． 【答案】8． 【分析】把代入方程就能求出的值． 【解答】解：是方程的一个根， 能使方程两边等式成立， 把代入方程有：， ， ， 故答案为：8． 【点评】本题考查方程的解的概念，只须把方程的解代入方程中，就能求出系数的值． 18．（2022秋•芙蓉区校级期末）关于的一元二次方程有一个根是0，则的值是 　2　． 【答案】2． 【分析】根据一元二次方程的解的定义得到，再解关于的方程，然后根据一元二次方程的定义确定的值． 【解答】解：把代入一元二次方程，得 ， 解得，， 而，即． 所以的值为2． 故答案为：2． 【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．也考查了一元二次方程的定义． 19．（2022秋•雨花区校级期末）若一个方程（组的解为整数，我们称它为“好看”方程（组． （1）下列哪个方程（组不是“好看”方程（组　　 ．．．． （2）已知关于、的方程组为“好看”方程组，求正整数的值． （3）已知与互为相反数、为正整数），当关于的方程是“好看”方程时，求的最小值． 【答案】（1）；（2）2；（3）4． 【分析】（1）分别解方程（组，根据“好看”方程（组的定义，进行判断即可； （2）用含的式子表示出方程组的解，根据“好看”方程组的定义，求出的值； （3）根据互为相反数的两数之和为0，得到的关系式，再代入分式方程求出方程的解，根据“好看”方程的定义，求出的最小值，即可得解． 【解答】解：（1）、，解得：，是“好看”方程，不符合题意； 、，解得：，是“好看”方程组，不符合题意； 、，解得：，是“好看”方程，不符合题意； 、，解得：，不是“好看”方程，符合题意． 故选：． （2）解方程组， 得， 方程组是好看方程组，是正整数 可能取值2、7， 当时，，符合要求； 当时，，不符合要求，舍去； ． （3）与互为相反数 ，即：， ， 方程转化为：， 解得：， 方程是“好看”方程，且、为正整数，最小时，最小， ， 最小为4． 【点评】本题考查解一元一次方程，二元一次方程组，分式方程以及一元二次方程．理解并掌握“好看”方程（组的定义，是解题的关键． 解一元二次方程-直接开平方法 20．（2024秋•浏阳市月考）方程的解为　　 A．或 B．或 C． D． 【答案】 【分析】两边开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． 【解答】解：， 开方，得， 解得：或， 故选：． 【点评】本题考查了解一元二次方程，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键． 21．（2023春•长沙县期末）在等式□中，□内的数等于 　2或　． 【答案】2或． 【分析】设□内的数为，利用直接开平方法解方程，求出即可． 【解答】解：设□内的数为，则等式□即为， 两边开平方得，或， 解得，或． 即□内的数等于2或． 故答案为：2或． 【点评】本题考查了解一元二次方程直接开平方法，形如或的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程． 解一元二次方程-配方法 22．（2024春•岳麓区校级期末）一元二次方程配方后可化为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据配方法即可求出答案． 【解答】解：， ， ， ， 故选：． 【点评】本题考查一元二次方程的配方法，解题的关键是熟练运用配方法，本题属于基础题型． 23．（2024春•雨花区校级期末）用配方法解方程时，配方结果正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】先把常数项移到方程右边，再把方程两边加上9，然后把方程左边写成完全平方形式即可． 【解答】解：， ， ， ． 故选：． 【点评】本题考查了解一元二次方程配方法，熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键． 24．（2023春•长沙县期末）方程的解为 　　． 【答案】． 【分析】先移项，再利用公式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于的一元一次方程，再进一步求解即可． 【解答】解：， ， 则， ， 则， 故答案为：． 【点评】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法． 25．（2023春•开福区校级期末）把方程变形为的形式后，　2　． 【答案】2． 【分析】根据解一元二次方程配方法，进行计算即可解答． 【解答】解：， ， ，， ， 故答案为：2． 【点评】本题考查了解一元二次方程配方法，熟练掌握解一元二次方程配方法是解题的关键． 26．（2023春•长沙县期末）解方程：（1）； （2）． 【分析】（1）利用直接开平方法求解可得； （2）利用配方法求解可得． 【解答】解：（1）， 或， 解得，； （2）， ，即， 则， ， 即，． 【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 27．（2022秋•长沙期末）解方程． （1）； （2）； 【答案】（1），； （2），． 【分析】（1）利用直接开平方法解方程得出答案； （2）利用配方法解方程解方程得出答案． 【解答】解：（1）， 则， 解得：，； （2）， 则， 故 则， ， 解得：，． 【点评】此题主要考查了直接开平方法以及配方法解方程，正确掌握相关运算法则是解题关键． 解一元二次方程-公式法 28．（2022春•岳麓区校级期末）一元二次方程的求根公式是　　 A． B． C． D． 【分析】根据求根公式即可求出答案． 【解答】解：一元二次方程的求根公式是， 故选：． 【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用求根公式，本题属于基础题型． 29．（2023春•岳麓区校级期末）解方程：． 【分析】观察原方程， 可用公式法求解， 首先确定，，的值， 然后检验方程是否有解， 若有解， 代入公式即可求解 ． 【解答】解： 因为，，， （1分） 所以， （2分） 代入公式， 得， （3分） 所以原方程的根为，． （每 个根各 1 分） （5分） 【点评】用公式法解一元二次方程的一般步骤是： ①把方程化为一般形式， 确定、、的值；②求出的值； ③若，则把、、及的值代入一元二次方程的求根公式，求出、；若，则方程没有实数根 ． 30．（2024春•长沙期末）选择适当的方法解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1），； （2），． 【分析】（1）利用直接开平方即可求解； （2）利用求根公式即可求解． 【解答】解：（1）， 或， 解得：，； （2），，， ， ， 则，． 【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 解一元二次方程-因式分解法 31．（2024春•长沙期末）已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程的根，则该三角形的周长为 　10　． 【答案】10． 【分析】先利用因式分解法解得到，，然后分类讨论：当三角形的腰为4，底为2时，易得三角形的周长；当三角形的腰为2，底为4时不符合三角形三边的关系，舍去． 【解答】解：， ， 或， 所以，， 当三角形的腰为4，底为2时，三角形的周长为， 当三角形的腰为2，底为4时不符合三角形三边的关系，舍去， 所以三角形的周长为10． 故答案为：10． 【点评】本题考查了解一元二次方程因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．也考查了三角形三边的关系． 32．（2023秋•浏阳市期末）解方程：． 【分析】利用因式分解法解方程． 【解答】解：， 或， 所以，． 【点评】本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． 33．（2024春•岳麓区校级期末）解方程： （1）； （2）． 【答案】（1），； （2），． 【分析】（1）方程整理后，利用直接开平方法求解即可； （2）方程利用因式分解法求解即可． 【解答】解：（1）， ， ， ， ，； （2）， ， 或， ，． 【点评】本题考查了解一元二次方程，掌握直接开平方法和因式分解法是解答本题的关键． 34．（2024春•开福区校级期末）解方程： （1）； （2）． 【答案】（1），；（2），． 【分析】（1）利用因式分解法求解即可； （2）利用配方法求解即可． 【解答】解：（1）， ， 则或， 解得，； （2）， ， 则，即， ， ，． 【点评】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程的常用方法有直接开平方法、公式法、因式分解法，解题的关键是根据方程的特点选择合适、简便的方法求解． 35．（2024春•岳麓区校级期末）（1）解不等式：； （2）解方程：． 【答案】（1）； （2），． 【分析】（1）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化成1即可； （2）整理后把方程的左边分解因式，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可． 【解答】解：（1）， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得； （2）， 原方程化为， ， 或， 解得：，． 【点评】本题考查了解一元二次方程和解一元一次不等式，能正确根据不等式的性质进行变形是解（1）的关键，能选择适当的方法解方程是解（2）的关键，注意：解一元二次方程的方法有直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法等． 36．（2024春•雨花区校级期末）解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2），． 【分析】（1）把原方程化为，则，再利用直接开平方法解方程即可； （2）把原方程化为，再利用因式分解的方法解方程即可． 【解答】解：（1）， ， ， 或， 解得． （2）， ， ， 或， ，． 【点评】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握配方法与因式分解的方法解一元二次方程是解本题的关键． 37．（2024春•长沙期末）解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1），； （2），． 【分析】（1）先变形，然后根据因式分解法即可解答此方程； （2）根据配方法即可解答此方程． 【解答】解：（1）， ， ， 或， ，； （2）， ， ，即， ， ，． 【点评】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解方程是解此题的关键，解一元二次方程的方法有直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法等． 38．（2024春•雨花区期末）解方程：． 【分析】方程左边利用平方差公式分解因式后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解． 【解答】解：方程变形得：， 即， 解得：，． 【点评】此题考查了解一元二次方程因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 换元法解一元二次方程 39．（2024春•雨花区期末）若实数、满足，则　3　． 【答案】3． 【分析】设，则原方程换元为，可得，，即可求解． 【解答】解：设，则原方程换元为， 整理得：， ， 解得：，， 即或（不合题意，舍去）， ． 故答案为：3． 【点评】本题考查了换元法解一元二次方程，正确掌握换元法是解决本题的关键． 40．（2023秋•内江期末）若，则的值为 　6　． 【答案】6． 【分析】运用乘法公式展开，变形，直接开方即可求解． 【解答】解：， ， ， ， ， ，， ， 故答案为：6． 【点评】本题主要考查乘法公式的运用，直接开方求代数式的值，掌握以上知识是解题的关键． 41．（2024春•濉溪县期末）若，则的值为 　5　． 【答案】5． 【分析】根据换元法，可得一元二次方程，根据解一元二次方程，可得答案． 【解答】解：设原方程等价于， 即， 解得，， ， ， 故答案为：5． 【点评】本题考查了换元法解一元一次方程，利用得出关于的一元二次方程是解题关键，注意平方都是非负数． 42．（2024春•牟平区期末）如果实数，满足，则的值是 　36　． 【答案】36． 【分析】设，可得，即可解得，从而得到答案． 【解答】解：设，则， 由已知得：， ， 解得或（舍去）， ， ； 故答案为：36． 【点评】本题考查换元法解一元二次方程和求代数式的值，解题的关键是掌握换元法，求出． 根的判别式 43．（2024春•开福区校级期末）一元二次方程的根的情况是　　 A．有两个不相等的实数根 B．没有实数根 C．有两个相等的实数根 D．无法确定 【答案】 【分析】把，，代入判别式△进行计算，然后根据计算结果判断方程根的情况． 【解答】解：，，， △， 方程有两个不相等的实数根． 故选：． 【点评】本题考查了一元二次方程，，，为常数）根的判别式△．掌握当△，方程有两个不相等的实数根；当△，方程有两个相等的实数根；当△，方程没有实数根是解题关键． 44．（2024春•雨花区期末）已知关于的一元二次方程，则下列关于该方程根的判断，正确的是　　 A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．实根的个数与的取值有关 D．没有实数根 【答案】 【分析】先计算出判别式的值，再根据非负数的性质判断△，然后利用判别式的意义对各选项进行判断． 【解答】解：△， 方程有两个不相等的实数根． 故选：． 【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与△有如下关系：当△时，方程有两个不相等的实数根；当△时，方程有两个相等的实数根；当△时，方程无实数根． 45．（2024春•雨花区期末）若关于的一元二次方程有两个实数根，，且，则　　 A．2或6 B．2或8 C．2 D．6 【答案】 【分析】利用根与系数的关系表示出与，已知等式整理后代入计算即可求出的值． 【解答】解：关于的一元二次方程有两个实数根，， △，即，且，， ， ，即， ，即， 解得：或． 故选：． 【点评】此题考查了根的判别式，以及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式与根与系数的关系是解本题的关键． 46．（2023秋•开福区校级期末）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 　　． 【答案】． 【分析】利用判别式的意义得到△，然后解的不等式即可． 【解答】解：根据题意得△， 解得：， 故答案为：． 【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与△有如下关系：当△时，方程有两个不相等的两个实数根；当△时，方程有两个相等的两个实数根；当△时，方程无实数根． 47．（2023秋•长沙期末）已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是 　　． 【答案】． 【分析】利用判别式的意义得到△，然后解关于的方程即可． 【解答】解：根据题意得△， 解得． 故答案为：． 【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与△有如下关系：当△时，方程有两个不相等的实数根；当△时，方程有两个相等的实数根；当△时，方程无实数根． 根与系数的关系 48．（2023秋•浏阳市期末）一元二次方程的两根之和是　　 A．2023 B．2024 C． D．2022 【答案】 【分析】先把方程化为一般式，然后利用根与系数的关系求解即可． 【解答】解：方程化为一般式为， 所以一元二次方程的两根之和为2023． 故选：． 【点评】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，． 49．（2023秋•长沙期末）若，是一元二次方程的两个实数根，则的值是 　6　． 【分析】利用一元二次方程的解，可得出，利用根与系数的关系，可得出，，再将其代入中，即可求出结论． 【解答】解：是一元二次方程的实数根， ， ． ，是一元二次方程的两个实数根， ，， ． 故答案为：6． 【点评】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，利用一元二次方程的解及根与系数的关系，找出，，是解题的关键． 50．（2024春•长沙期末）已知关于的方程的一根是，则该方程的另一根为 　1　． 【答案】1． 【分析】设另一根为，由题意，利用根与系数的关系求出两根之积，进而确定出即可． 【解答】解：关于的方程的一根是，另一根设为， ， 解得：． 故答案为：1． 【点评】此题考查了根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键． 51．（2024春•雨花区校级期末）已知，是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于 　　． 【答案】． 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系即可解决问题． 【解答】解：因为，是一元二次方程的两个实数根， 所以． 故答案为：． 【点评】本题主要考查考查了根与系数的关系，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 52．（2024春•开福区校级期末）已知一元二次方程的两个实数根为，，若，则实数　　． 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系分别求出，的值代入求解即可． 【解答】解：，， ， ． 故答案为：． 【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，若，为方程的两个根，则，与系数的关系式：，． 53．（2023秋•开福区校级期末）已知关于的一元二次方程有一个根是，则另外一个根是 　2　． 【答案】2． 【分析】把代入方程即可求得的值，然后把的值代入原方程代入原方程即可求得另一根． 【解答】解：关于的一元二次方程有一个根是， ， 解得， 原方程为， 解得，， 故方程的另一个根为2． 故答案为：2． 【点评】本题考查了一元二次方程的解，根据方程的一个根求出的值是解答本题的关键． 54．（2024春•岳麓区校级期末）已知、是一元二次方程的两根，则的值是 　　． 【答案】． 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系先求出两根的和、积，再整体代入求出代数式的值． 【解答】解：、是一元二次方程的两根， ，． ． 故答案为：． 【点评】本题考查了一元二次方程，掌握一元二次方程根与系数的关系是解决本题的关键． 55．（2024春•雨花区期末）如果关于的一元二次方程有两个实数根，其中一个实数根是另一个实数根的2倍，那么称这样的方程是“倍根方程”．例如一元二次方程的两个根是，，则方程是“倍根方程”． （1）通过计算，判断是否是“倍根方程”； （2）若关于的方程是“倍根方程”，求代数式的值； （3）已知关于的一元二次方程是常数）是“倍根方程”，请直接写出的值． 【答案】（1）是； （2）26或5； （3）13或． 【分析】（1）利用因式分解法解方程得到，，然后根据新定义进行判断； （2）利用因式分解法解方程得到，，再根据新定义或，然后把或代入所求的代数式中进行分式的运算即可； （3）设方程的根的两根分别为、，根据根与系数的关系得，，然后求出，再计算对应的的值． 【解答】解：（1），，或， 所以，， 则方程是“倍根方程”； （2），或， 解得，， 是“倍根方程”， 或， 当时，； 当时，， 综上所述，代数式的值为26或5； （3）根据题意，设方程的根的两根分别为、， 根据根与系数的关系得，， 解得，或，， 的值为13或． 【点评】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．也考查了阅读理解能力． 56．（2024春•长沙期末）若关于的方程有一个解为，那么称这样的方程为“明一方程”．例如方程：有解，所以为“明一方程”． （1）下列方程是“明一方程”的有 　①③　； ①； ②； ③． （2）已知直线与轴交于点，与轴交于点，，且当时，关于的方程为“明一方程”，求该直线解析式； （3）已知，为“明一方程” ，，为常数，且的两个根，试求的取值范围． 【答案】（1）①③；（2）或或；（3）． 【分析】（1）依据题意，根据“明一方程”定义逐个计算即可判断得解； （2）依据题意，由当时，关于的方程为“明一方程”，从而可得，再由，进而求出，即可判断得解； （3）依据题意，由为“明一”方程，则方程必有一个根是，故，结合，可得，，且，可得，又，为“明一方程” 的两个根，从而其中一个是，而另一个为，故，再由，进而计算可以得解． 【解答】解：（1）解方程得， 是“明一方程”； 解方程得，， 不是“明一方程”； 解方程得，， 是“明一方程”； 故答案为：①③； （2）由题意，当时，关于的方程为“明一方程”， 当时，． ． ． 又直线与轴交于点，与轴交于点， ，，． ． ． 又， ． 或． 或或． 直线解析式为或或． （3）由题意，为“明一”方程， 方程必有一个根是． ． 又， ，，且． ． ，为“明一方程” 的两个根， 其中一个是，而另一个为． ． ， ． ． 【点评】本题主要考查了根与系数的关系、一元二次方程的解、待定系数法求一次函数解析式、一次函数与一元一次方程，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 57．（2024春•岳麓区校级期末）已知关于的一元二次方程． （1）若方程有实数根，求实数的取值范围； （2）若方程两实数根分别为，，且满足，求实数的值． 【答案】（1）； （2）． 【分析】（1）根据根的判别式得出，求出不等式的解集即可； （2）将转化为，再代入计算即可解答． 【解答】解：（1）关于的一元二次方程有实数根， ， 解得：， 即的取值范围是； （2），， ， ， ，即， 解得或． ， ． 故的值为2． 【点评】本题考查了根与系数的关系、根的判别式以及解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当△时，方程有两个实数根”；（2）根据根与系数的关系结合、，找出关于的一元二次方程． 58．（2024春•长沙期末）已知关于的一元二次方程有实数根． （1）求的取值范围； （2）若两实数根分别为和，且，求的值． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）由关于的一元二次方程有实数根，即可得根的判别式△，即可得不等式，继而求得答案； （2）由根与系数的关系，即可得，，又由，即可得方程：，解此方程即可求得答案． 【解答】解：（1）关于的一元二次方程有实数根， △， 解得：． 故的取值范围是； （2）根据根与系数的关系得，， ， ， 解得：． 故的值是1． 【点评】此题考查了一元二次方程根的判别式与根与系数的关系．此题难度不大，注意掌握一元二次方程的根与△有如下关系：①当△时，方程有两个不相等的实数根；②当△时，方程有两个相等的实数根；③当△时，方程无实数根．，是方程的两根时，，． 59．（2024春•岳麓区校级期末）已知关于的一元二次方程有实数根． （1）若此方程的一个根为，求的值及另一个根； （2）求的取值范围． 【答案】（1），另一个根是5； （2）． 【分析】（1）利用根与系数的关系，先求出一元二次方程的另一个根，再求出； （2）利用根的判别式求出的取值范围． 【解答】解：（1）设一元二次方程的另一个根为． 关于的一元二次方程有实数根， ，． ，． 的值是，另一个根是5； （2）一元二次方程有实数根， △． △， ． ． 【点评】本题考查了一元二次方程，掌握一元二次方程根与系数的关系及根的判别式是解决本题的关键． 60．（2024春•雨花区期末）已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）设方程的两根分别为，．若以，的值为对角线长的菱形面积为2，求的值． 【答案】（1）见详解；（2）的值为3． 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式的符号即可得证； （2）根据一元二次方程根与系数的关系可得，又由菱形的面积为，即可求出的值． 【解答】（1）证明：△， 方程总有两个实数根． （2）解：根据根与系数的关系可得， 菱形面积为， ， 解得， 所以的值为3． 【点评】本题主要考查了一元二次方程根的判别式及根与系数的关系．熟练掌握一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题的关键． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/11/25 18:56:57；用户：15801716282；邮箱：15801716282；学号：31290231 ( 12 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$