专题05 二次函数的应用（6基础题型+2提升题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年九年级数学上学期期末真题分类汇编（长沙专用）

专题05 二次函数的应用 二次函数的最值问题 1．（2022秋•岳麓区校级期末）二次函数的最大值是　　 A． B． C．1 D．3 2．（2021秋•岳麓区校级期末）二次函数的最小值是　　 A．2 B． C．5 D． 3．（2024春•岳麓区校级期末）函数的最小值是　 　． 4．（2023春•芙蓉区校级期末）某学校航模组设计制作的火箭升空高度与飞行时间满足函数关系式为．如果火箭在点火升空到最高点时打开降落伞，那么降落伞将在离地面 　 　处打开． 喷泉问题 1．（2023春•长沙期末）为了使居住环境更加美观，某小区建造了一个小型喷泉，水流从地面上的点喷出，在各个方向上沿形状相同的抛物线落到地面，某方向上抛物线的形状如图所示，落点到点的距离为4，水流喷出的高度与水平距离之间近似满足函数关系式，则水流喷出的最大高度为　　 A． B． C． D． 2．（2024春•长沙期末）“一河诗画，满城烟花”，每逢过年过节，人们会在美丽的浏阳河边上手持网红烟花加特林进行燃放，当发射角度与水平面成45度角时，烟花在空中的高度（米与水平距离（米接近于抛物线，烟花可以达到的最大高度是 　 　米． 投球问题 1．（2023春•开福区校级期末）已知实心球运动的高度与水平距离之间的函数关系是，则该同学此次投掷实心球的成绩是　　 A． B． C． D． 2．（2024春•开福区校级期末）小华酷爱足球运动．一次训练时，他将足球从地面向上踢出，足球距地面的高度（单位：与足球被踢出后经过的时间（单位：之间的关系为：，则足球距离地面的最大高度为 　 　． 拱桥问题 1．（2023春•开福区校级期末）“卢沟晓月”是著名的北京八景之一，每当黎明斜月西沉，月色倒影水中，更显明媚皎洁．古时乾隆皇帝曾在秋日路过卢沟桥，赋诗“半钩留照三秋淡，一练分波平镜明”于此，并题“卢沟晓月”，立碑于桥头．卢沟桥主桥拱可以近似看作抛物线，桥拱在水面的跨度约为22米，若按如图所示方式建立平面直角坐标系，则主桥拱所在抛物线可以表示为，则主桥拱最高点与其在水中倒影之间的距离为　 　米． 2．（2023春•岳麓区校级期末）一座拱桥的轮廓是抛物线形，拱高10米，跨度为40米，如图所示，建立平面直角坐标系，则该抛物线的表达式为 　 　． 3．（2021秋•长沙县期末）如图，一抛物线形拱桥，当拱顶到水面的距离为2米时，水面宽度为4米；那么当水位上升1米后，水面的宽度为 　 　米． 4．（2024春•长沙期末）如图1，是抛物线形的拱桥，当拱顶高离水面2米时，水面宽4米，如图建立平面直角坐标系，解答下列问题： （1）如图2，求该抛物线的函数解析式． （2）当水面下降1米，到处时，水面宽度增加多少米？（保留根号） 几何面积问题 1．（2021秋•宁乡市期末）为了“创建文明城市，建设美丽家园”，某社区将辖区内的一块面积为的空地进行绿化，一部分种草，剩余部分栽花．设种草部分的面积为，种草所需费用（元与的函数解析式为，其图象如图所示，栽花所需费用（元与的函数解析式为． （1）求、、的值； （2）设这块空地的绿化总费用为（元，请利用与的函数解析式，求出的最大值； （3）若种草部分的面积不少于，栽花部分的面积不少于，请求出的最小值． 2．（2024·湖北武汉·期末）如图，某校准备利用现成的一堵“L”字形的墙面（粗线表示墙面，已知，米，米）和总长为米的篱笆围建一个“日”字形的小型农场（细线表示篱笆，小型农场中间也是用篱笆隔开），点D在线段上，设的长为x米． (1)请用含x的代数式表示的长； (2)若要求所围成的小型农场的面积为平方米，求的长； (3)求小型农场的最大面积． 3．（山东期末）用长为6米的铝合金条制成如图所示的框，若窗框的高为米，窗户的透光面积为平方米（铝合金条的宽度不计）． (1)与之间的函数关系式为______（不要求写自变量的取值范围）； (2)如何安排窗框的高和宽，才能使窗户的透光面积最大？并求出最大面积． 围墙问题 1．（2021春•雨花区校级期末）在综合实践活动中，同学们借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用长的篱笆围成一个矩形花园，则矩形花园的最大面积为　 　． 2．（2023秋•长沙县期末）在“校园劳动节”活动中，某劳动小组借助如图所示的直角墙角（墙角两边和足够长），用长的篱笆围成一个矩形劳动基地（篱笆只围和两边），设 ，则 ． （1）求与之间的关系式，并写出自变量的取值范围； （2）当矩形劳动基地的面积为时，求的长； （3）如果在点处有一棵树（不考虑粗细），它与墙和的距离分别是和，如果要将这棵树围在矩形劳动基地内部（含边界），试求矩形劳动基地面积的最大值． 3．（2023秋•雨花区期末）某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为，另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为的矩形，已知栅栏的总长度为，设较小矩形的宽为 （如图）． （1）若矩形养殖场的总面积为，求此时的值； （2）当为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？ 4．（2023秋•岳麓区校级期末）新时代对中小学劳动教育提出了明确要求：把劳动教育纳入人才培养全过程，与德育、智育、体育、美育相融合．为提高学生的综合素质，丰富学生的校园生活，湖南师大附中博才实验中学湘江校区的师生们要在一块一边靠墙（墙长15米）的空地上修建一个矩形劳动教育基地，劳动教育基地的一边靠墙，另三边用总长40米的栅栏围成（如图所示）．若设劳动教育基地的边长为米，面积为平方米． （1）求与之间的函数关系； （2）满足条件的劳动教育基地面积能否达到150平方米？若能，请求出的值；若不能，请说明理由； （3）当是多少时，劳动教育基地面积最大？最大面积是多少？ 5．（2022春•芙蓉区校级期末）某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园（如图所示），其中一边靠墙（墙长为，另外三边用的篱笆围成． （1）令苗圃园长（平行于墙的边长）为，宽为，写出关于的函数关系式，并写出的取值范围； （2）若苗圃园的面积为，求垂直于墙的一边长为多少米？ （3）苗圃园的面积能否达到？请说明理由；并写出苗圃园的面积最大值． 图形运动问题 1．（2024·吉林白城·期末）如图，在中，，．动点P从点A出发，沿方向以的速度向终点B运动，同时动点Q从点B出发，沿方向以的速度向终点A运动．以为一边向上作正方形，过点Q作，交于点F．设点P的运动时间为，正方形和重叠部分图形的面积为． (1)当点D落在上时，x的值为______． (2)当点D落在上时，求x的值． (3)求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围． 2．（2021·湖南岳阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于两点，其中点在轴上，已知点坐标，点是直线上方的抛物线上一动点（不与点重合）过作轴的平行线交直线于点，连接． （1）求直线的解析式及点的坐标； （2）当面积最大时，求点的坐标以及最大面积． 3．（2021·湖南长沙·期末）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝﹣1，且抛物线经过A（1，0），C（0，3）两点，与x轴交于点B． （1）求抛物线的解析式； （2）若点P从点B出发，沿着射线BC运动，速度每秒个单位长度，过点P作直线PM∥y轴，交抛物线于点M．设运动时间为t秒． ①在运动过程中，当t为何值时，使（MA+MC）（MA﹣MC）的值最大？并求出此时点P的坐标． ②若点N同时从点B出发，向x轴正方向运动，速度每秒v个单位长度，问：是否存在t使点B，C，M，N构成平行四边形？若存在，求出t，v的值；若不存在，说明理由． 4．（2021湖南长沙·期末）如图，已知抛物线y＝x2+bx+c与y轴交于点B（0，1），顶点为A．点F（2，1）在抛物线的对称轴上，点C（0，3）是y轴上一点．点P在抛物线上运动，过点P作PM⊥x轴于点M，连接PF和CF． （1）求抛物线的解析式； （2）求证：在点P运动的过程中，总有PF＝PM+1； （3）若将“使△PCF面积为2”的点P记作“巧点”，则存在多个“巧点”，请求出所有“巧点”的坐标．是否存在使△PCF的周长最小的“巧点”，若有，请直接写出“巧点”的坐标；若无，请说明理由． 销售问题 1．（2024春•雨花区校级期末）2024年是农历甲辰龙年，含有“龙”元素的饰品深受大众喜爱．商场购进一批单价为70元的“吉祥龙”公仔，并以每个80元售出．由于销售火爆，公仔的销售单价经过两次调整后，上涨到每个125元，此时每天可售出75个． （1）若销售单价每次上涨的百分率相同，求该百分率； （2）市场调查发现：销售单价每降低1元，其销售量相应增加5个．那么销售单价应降低多少，才能使每天所获销售利润最大？最大利润是多少？ 2．（2023春•芙蓉区校级期末）某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具． （1）不妨设该种品牌玩具的销售单价为元，请用的代数式来表示销售量为 　　件； （2）在（1）的条件下，若商场获得了10000元销售利润，求该玩具销售单价应定为多少元？ （3）在（1）的条件下，若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于44元，且商场要完成不少于540件的销售任务，求商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少？ 3．（2023春•开福区校级期末）近几年，越来越多的商家向线上转型发展，“直播带货”已经成为商家的一种促销的重要手段．某商家在直播间销售一种进价为每件10元的日用商品，经调查发现，该商品每天的销售量（件与销售单价（元满足关系式，设销售这种商品每天的利润为（元． （1）求与之间的函数关系式； （2）当销售单价不低于28元，且每天至少销售50件时，求的最大值． 4．（2022秋•岳麓区校级期末）大学生小李和同学一起自主创业开办了一家公司，公司对经营的盈亏情况在每月的最后一天结算一次，在月份中，该公司前个月累计获得的总利闻（万元）与销售时间（月之间满足二次函数关系． （1）求与函数关系式； （2）求9月份一个月内所获得的利润； （3）在前12个月中，哪个月该公司所获得利润最大？最大利润为多少？ 5．（2022秋•雨花区期末）2022年北京冬奥会举办期间，冬奥会吉祥物“冰墩墩”深受广大人民的喜爱．某特许零售店“冰墩墩”的销售日益火爆．每个纪念品进价40元，规定销售单价不低于44元，且不高于52元．销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300个，销售单价每上涨1元，每天销量减少10个．现商家决定提价销售，设每天销售量为个，销售单价为元． （1）直接写出与之间的函数关系式和自变量的取值范围； （2）将纪念品的销售单价定为多少元时，商家每天销售纪念品获得的利润元最大？最大利润是多少元？ （3）该店主热心公益事业，决定从每天的利润中捐出200元给希望工程，为了保证捐款后每天剩余利润不低于2200元，求销售单价的范围． 6．（2022春•长沙期末）2022年北京冬奥会吉祥物深受大家的喜欢．某特许零售店的冬奥会吉祥物销售量日益火爆．据统计，该店2022年1月的“冰墩墩”销量为1万件，2022年3月的“冰墩墩”销量为1.44万件． （1）求该店“冰墩墩”销量1月到3月的月平均增长率； （2）该零售店4月将采用提高售价的方法增加利润，根据市场调研得出结论：如果将进价78元的“冰墩墩”按每件98元出售，每天可销售600件，在此基础上售价每涨1元，那么每天的销售量就会减少10件，商店在确保盈利的情况下如何确定售价，才能使每天销售“冰墩墩”的利润最大？最大利润是多少元？ ( 12 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 二次函数的应用 二次函数的最值问题 1．（2022秋•岳麓区校级期末）二次函数的最大值是　　 A． B． C．1 D．3 【答案】 【分析】根据二次函数的解析式是顶点式，即可得到结论． 【解答】解：二次函数的最大值是3， 故选：． 【点评】本题考查了二次函数的最值．求二次函数的最大（小值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法． 2．（2021秋•岳麓区校级期末）二次函数的最小值是　　 A．2 B． C．5 D． 【分析】根据二次函数的最值问题解答即可． 【解答】解：二次函数的最小值是5． 故选：． 【点评】本题考查了二次函数的最值问题，是基础题，掌握利用二次函数的顶点式求最值问题的方法是解题的关键． 3．（2024春•岳麓区校级期末）函数的最小值是　　． 【分析】本题由于二次项的系数为1，可用配方法求解． 【解答】解：， ，由知，当时，函数取得最小值， 故答案为：． 【点评】本题主要考查二次函数的最值，求二次函数的最大（小值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法． 4．（2023春•芙蓉区校级期末）某学校航模组设计制作的火箭升空高度与飞行时间满足函数关系式为．如果火箭在点火升空到最高点时打开降落伞，那么降落伞将在离地面 　37　处打开． 【答案】37． 【分析】把二次函数配方为顶点式，写出最大值解题即可． 【解答】解： ， 点火升空的最高点距地面， 故答案为：37． 【点评】本题考查了二次函数的应用以及二次函数的最值，运用配方法配成顶点式是解题的关键． 喷泉问题 1．（2023春•长沙期末）为了使居住环境更加美观，某小区建造了一个小型喷泉，水流从地面上的点喷出，在各个方向上沿形状相同的抛物线落到地面，某方向上抛物线的形状如图所示，落点到点的距离为4，水流喷出的高度与水平距离之间近似满足函数关系式，则水流喷出的最大高度为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据点到点的距离为4，得到，把代入求得根据二次函数的解析式是解题的关键． 【解答】解：点到点的距离为4， ， 把代入得， ， ， ， 水流喷出的最大高度为， 故选：． 【点评】本题考查了二次函数的应用，二次函数的性质，正确地求出函数解析式是解题的关键． 2．（2024春•长沙期末）“一河诗画，满城烟花”，每逢过年过节，人们会在美丽的浏阳河边上手持网红烟花加特林进行燃放，当发射角度与水平面成45度角时，烟花在空中的高度（米与水平距离（米接近于抛物线，烟花可以达到的最大高度是 　12　米． 【答案】12． 【分析】依据题意，将变形为，再由二次函数的性质进行判断可以得解． 【解答】解：由题意，， 又， 当时，烟花可以达到的最大高度，最大高度是12米． 故答案为：12． 【点评】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 投球问题 1．（2023春•开福区校级期末）已知实心球运动的高度与水平距离之间的函数关系是，则该同学此次投掷实心球的成绩是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据该同学此次投掷实心球的成绩就是实心球落地时的水平距离，令，解方程即可． 【解答】解：在中，令得： ， 解得或（舍去）， 该同学此次投掷实心球的成绩是， 故选：． 【点评】本题考查二次函数的应用和一元二次方程的解法，理解题意，能把二次函数问题转化为一元二次方程问题是解决问题的关键． 2．（2024春•开福区校级期末）小华酷爱足球运动．一次训练时，他将足球从地面向上踢出，足球距地面的高度（单位：与足球被踢出后经过的时间（单位：之间的关系为：，则足球距离地面的最大高度为 　9　． 【分析】开口方向向下，最大值为顶点值，由公式可得答案． 【解答】解：， ，，， 足球距地面的最大高度是：， 故答案为：9． 【点评】此题主要考查了二次函数的应用，关键是掌握二次函数的顶点坐标公式． 拱桥问题 1．（2023春•开福区校级期末）“卢沟晓月”是著名的北京八景之一，每当黎明斜月西沉，月色倒影水中，更显明媚皎洁．古时乾隆皇帝曾在秋日路过卢沟桥，赋诗“半钩留照三秋淡，一练分波平镜明”于此，并题“卢沟晓月”，立碑于桥头．卢沟桥主桥拱可以近似看作抛物线，桥拱在水面的跨度约为22米，若按如图所示方式建立平面直角坐标系，则主桥拱所在抛物线可以表示为，则主桥拱最高点与其在水中倒影之间的距离为　26　米． 【答案】26． 【分析】把代入求出，根据镜面对称可得，即可求得结果． 【解答】解：由二次函数的图象可知，在抛物线上， 把代入得： ， 解得：， ， 和关于轴对称， （米， 故答案为：26． 【点评】本题主要考查了二次函数的应用，把代入函数解析式求出值是解决问题的关键． 2．（2023春•岳麓区校级期末）一座拱桥的轮廓是抛物线形，拱高10米，跨度为40米，如图所示，建立平面直角坐标系，则该抛物线的表达式为 　　． 【答案】． 【分析】先设抛物线的解析式为，再根据抛物线与的交点可得其对称轴为，从而可得顶点坐标为，代入即可得． 【解答】解：由题意，设抛物线的解析式为， 此抛物线的对称轴为， 则抛物线的顶点坐标为， 将点代入抛物线的解析式得：，解得， 则抛物线的解析式为，即， 故答案为：． 【点评】本题考查了利用待定系数法求二次函数的解析式，熟练掌握待定系数法是解题关键． 3．（2021秋•长沙县期末）如图，一抛物线形拱桥，当拱顶到水面的距离为2米时，水面宽度为4米；那么当水位上升1米后，水面的宽度为 　　米． 【答案】． 【分析】根据题意设抛物线解析式，求出解析式确定出水面的宽度即可． 【解答】解：建立如图所示的直角坐标系， 设抛物线解析式为， 把和代入得， ， 解得：，， 抛物线解析式为， 把代入得：， 则水面的宽度是米． 故答案为：． 【点评】此题考查了二次函数的应用，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． 4．（2024春•长沙期末）如图1，是抛物线形的拱桥，当拱顶高离水面2米时，水面宽4米，如图建立平面直角坐标系，解答下列问题： （1）如图2，求该抛物线的函数解析式． （2）当水面下降1米，到处时，水面宽度增加多少米？（保留根号） 【答案】（1）； （2）水面宽度增加米 【分析】（1）根据平面直角坐标系中的函数图象，可以设抛物线的解析式为，然后将代入，即可得到抛物线的解析式； （2）将代入解析式，求出对应的的值，即可得到的长，然后减去的长，即可得到水面宽度增加多少米． 【解答】解：（1）设该抛物线的函数解析式为， 由已知可得，点的坐标为且点在该抛物线上， ， 解得：， 即该抛物线的函数解析式为； （2）将代入， 得， 解得， ， ， ， 即水面宽度增加米． 【点评】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，利用数形结合的思想解答． 几何面积问题 1．（2021秋•宁乡市期末）为了“创建文明城市，建设美丽家园”，某社区将辖区内的一块面积为的空地进行绿化，一部分种草，剩余部分栽花．设种草部分的面积为，种草所需费用（元与的函数解析式为，其图象如图所示，栽花所需费用（元与的函数解析式为． （1）求、、的值； （2）设这块空地的绿化总费用为（元，请利用与的函数解析式，求出的最大值； （3）若种草部分的面积不少于，栽花部分的面积不少于，请求出的最小值． 【答案】（1），，； （2）34500； （3）29900． 【分析】（1）把、代入得，把、和、代入可求得、； （2）分和两种情况，根据绿化总费用种草所需总费用种花所需总费用结合二次函数的性质可得答案； （3）根据种草部分的面积不少于，栽花部分的面积不少于，求得的范围，根据二次函数的性质可得． 【解答】解：（1）把、代入得：， 把、和、代入得， 解得； （2）当时， ， 当时，取得最大值，最大值为34500． 当时， ． ， 当时，随的增大而减小． 当时，取得最大值，为34400． ．， 的最大值为34500． （3）由题意，得，解得， 又， ， 当时，随的增大而减小， 当时，取得最小值，最小值为29900． 【点评】本题主要考查一次函数与二次函数的应用，掌握待定系数法求函数解析式及分类讨论依据相等关系列出函数解析式是解题的关键． 2．（2024·湖北武汉·期末）如图，某校准备利用现成的一堵“L”字形的墙面（粗线表示墙面，已知，米，米）和总长为米的篱笆围建一个“日”字形的小型农场（细线表示篱笆，小型农场中间也是用篱笆隔开），点D在线段上，设的长为x米． (1)请用含x的代数式表示的长； (2)若要求所围成的小型农场的面积为平方米，求的长； (3)求小型农场的最大面积． 【答案】(1) (2)的长为米 (3)12平方米 【分析】此题主要考查的是二次函数的应用，掌握矩形的面积计算方法是解题的关键. （1）根据题意结合图形即可求解； （2）根据矩形的面积公式列方程求解即可； （3）设小型农场的面积为，求出关于的长的函数关系式，根据二次函数的性质即可解答. 【详解】（1）∵点在线段上， 米， （2）解：∵点在线段上， ，即， ； ∵的面积为平方米， ∴， 解得（舍去），， ∴的长为米； （3）解：设小型农场的面积为， 则， ∵ ∴在对称轴右侧，y随x的增大而减小， ∴当时，最大，最大为12平方米． 3．（山东期末）用长为6米的铝合金条制成如图所示的框，若窗框的高为米，窗户的透光面积为平方米（铝合金条的宽度不计）． (1)与之间的函数关系式为______（不要求写自变量的取值范围）； (2)如何安排窗框的高和宽，才能使窗户的透光面积最大？并求出最大面积． 【答案】(1) (2)窗框的高为1米，宽为米，才能使窗户的透光面积最大，最大面积是平方米 【分析】（1）根据题意，窗框的高为米，则宽为米，然后根据矩形面积公式列出函数关系式； （2）将函数解析式改为顶点式，然后求最大值. 本题主要考查了二次函数的应用，根据已知得出二次函数关系式并掌握将二次函数一般式转化为顶点式求最值是本题的解题关键． 【详解】（1）解：根据题意，窗框的高为米，则宽为米， 根据题意，得， 故答案为：． （2）解：根据题意，得， ∵， ∴当时，y有最大值，且最大值为， 即窗框的高为1米，宽为米，才能使窗户的透光面积最大，最大面积是平方米， 答：窗框的高为1米，宽为米，才能使窗户的透光面积最大，最大面积是平方米． 围墙问题 1．（2021春•雨花区校级期末）在综合实践活动中，同学们借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用长的篱笆围成一个矩形花园，则矩形花园的最大面积为　144　． 【分析】设： ，则，则，求面积的最大值即可． 【解答】解：设： ，则， ， 此函数的对称轴为：， ，故函数有最大值， 当时，函数取得最大值， 则：， 故：答案是144． 【点评】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案． 2．（2023秋•长沙县期末）在“校园劳动节”活动中，某劳动小组借助如图所示的直角墙角（墙角两边和足够长），用长的篱笆围成一个矩形劳动基地（篱笆只围和两边），设 ，则 ． （1）求与之间的关系式，并写出自变量的取值范围； （2）当矩形劳动基地的面积为时，求的长； （3）如果在点处有一棵树（不考虑粗细），它与墙和的距离分别是和，如果要将这棵树围在矩形劳动基地内部（含边界），试求矩形劳动基地面积的最大值． 【答案】（1）；（2）或；（3）196 ． 【分析】（1）依据题意，根据矩形面积长宽求解． （2）依据题意，令，解一元二次方程求解． （3）依据题意，由点在矩形内部可得的取值范围，将函数解析式化为顶点式求解． 【解答】解：（1）由题意，， ． ． ， ． 与的关系式为． （2）由题意，令，则， 解得或， 长为或． （3）由题意，点在矩形内部， ． 解得． ， 当时，随增大而增大， 时，取最大值为196． 答：花园面积最大值为196 ． 【点评】本题主要考查二次函数的应用，解题关键是根据题意列出等式，掌握二次函数求最值的方法． 3．（2023秋•雨花区期末）某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为，另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为的矩形，已知栅栏的总长度为，设较小矩形的宽为 （如图）． （1）若矩形养殖场的总面积为，求此时的值； （2）当为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？ 【分析】（1）根据题意知：较大矩形的宽为 ，长为，可得，解方程取符合题意的解，即可得的值为2； （2）设矩形养殖场的总面积是 ，根据墙的长度为10，可得，而，由二次函数性质即得当时，矩形养殖场的总面积最大，最大值为． 【解答】解：（1）根据题意知：较大矩形的宽为 ，长为， ， 解得或， 经检验，时，不符合题意，舍去， ， 答：此时的值为2； （2）设矩形养殖场的总面积是 ， 墙的长度为， ， 根据题意得：， ， 当时，取最大值，最大值为， 答：当时，矩形养殖场的总面积最大，最大值为． 【点评】本题考查一元二次方程和二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程及函数关系式． 4．（2023秋•岳麓区校级期末）新时代对中小学劳动教育提出了明确要求：把劳动教育纳入人才培养全过程，与德育、智育、体育、美育相融合．为提高学生的综合素质，丰富学生的校园生活，湖南师大附中博才实验中学湘江校区的师生们要在一块一边靠墙（墙长15米）的空地上修建一个矩形劳动教育基地，劳动教育基地的一边靠墙，另三边用总长40米的栅栏围成（如图所示）．若设劳动教育基地的边长为米，面积为平方米． （1）求与之间的函数关系； （2）满足条件的劳动教育基地面积能否达到150平方米？若能，请求出的值；若不能，请说明理由； （3）当是多少时，劳动教育基地面积最大？最大面积是多少？ 【答案】（1）； （2）当时，劳动教育基地面积能达到150平方米； （3）当时15米时，劳动教育基地面积最大，最大面积是187.5平方米． 【分析】（1）用含的式子表示和，结合矩形的面积公式即可求出函数表达式； （2）把代入，再根据的取值范围求出答案； （3）求出抛物线的对称轴，根据二次函数的增减性求出最值． 【解答】解：（1）由题可知的长为米， 由四边形是矩形，得， ； （2）劳动教育基地面积能达到150平方米，理由如下： 把代入， 得， 解得，， 由题意可知，得符合题意， 当时，劳动教育基地面积能达到150平方米； （3）由，得抛物线的对称轴为直线， ， 当时，随着的增大而增大， 当时，取得最大值，最大值为187.5， 答：当时15米时，劳动教育基地面积最大，最大面积是187.5平方米． 【点评】本题考查了二次函数的应用，矩形面积问题，解一元二次方程，二次函数求最值，本题的关键是根据题意得到自变量的取值范围，根据二次函数的增减性求最值． 5．（2022春•芙蓉区校级期末）某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园（如图所示），其中一边靠墙（墙长为，另外三边用的篱笆围成． （1）令苗圃园长（平行于墙的边长）为，宽为，写出关于的函数关系式，并写出的取值范围； （2）若苗圃园的面积为，求垂直于墙的一边长为多少米？ （3）苗圃园的面积能否达到？请说明理由；并写出苗圃园的面积最大值． 【答案】（1）关于的函数关系式为，的取值范围为； （2）垂直于墙的边长为； （3）苗圃园的面积不能达到；当平行于墙的边长为时，苗圃园的面积最大值． 【分析】（1）根据篱笆的长为32米．列出关于的函数关系式，并根据墙长为，矩形的边长大于0求出的取值范围； （2）设苗圃园的面积为，根据矩形的面积公式写出关于的函数解析式，令，解关于的一元二次方程，取在范围的解即可； （3）先令得到关于的一元二次方程，再根据△，可知苗圃园面积不能达到；根据二次函数的性质求最值即可． 【解答】解：（1）由题意得：， ， ， 关于的函数关系式为，的取值范围为； （2）设苗圃园的面积为， 由（1）知，， 令， 则， 解得：，（舍去）， 平行于墙的边长， 垂直于墙的边长为； （3）由（2）知， 令， 则， 整理得：， △， 方程无实数解， 苗圃园的面积不能达到； ， ， 当时，有最大值，最大值为128， 当平行于墙的边长为时，苗圃园的面积最大值． 【点评】此题考查了二次函数、一元二次方程的实际应用问题．解题的关键是根据题意构建二次函数模型，然后根据二次函数的性质求解即可． 图形运动问题 1．（2024·吉林白城·期末）如图，在中，，．动点P从点A出发，沿方向以的速度向终点B运动，同时动点Q从点B出发，沿方向以的速度向终点A运动．以为一边向上作正方形，过点Q作，交于点F．设点P的运动时间为，正方形和重叠部分图形的面积为． (1)当点D落在上时，x的值为______． (2)当点D落在上时，求x的值． (3)求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)当时，；当时，；当时， 【分析】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定及性质，动点问题，二次函数的应用，分类讨论是解题的关键． （1）根据正方形的性质及等腰直角三角形的判定及性质可得，进而即可求解； （2）根据正方形的性质及等腰直角三角形的判定及性质可得，进而即可求解； （3）分三种情况：当时，当时，当时，画出图形，结合图形即可求解． 【详解】（1）∵，， ∴， 当点在上时，如图所示，此时， ∵，四边形为正方形， ∴，， ∴，则， ∴，则， ∴， 故答案为：； （2）∵，， ∴， 当点在上时，如图所示，此时， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴，则， ∴，则， ∴； （3）由（1）可知，当点在上时，，当点在上时，， 当时，如图，正方形和重叠部分图形的面积为正方形的面积， ∴； 当时，如图， ∵， ∴，， ∴，则， 又∵是正方形， ∴，则， ∴，则， ∴； 当时，如图， ， ∴． 2．（2021·湖南岳阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于两点，其中点在轴上，已知点坐标，点是直线上方的抛物线上一动点（不与点重合）过作轴的平行线交直线于点，连接． （1）求直线的解析式及点的坐标； （2）当面积最大时，求点的坐标以及最大面积． 【答案】（1），B的坐标为；（2）点的坐标为，面积的最大值为． 【分析】（1）先求出抛物线与x轴交点A的坐标，再将A点坐标代入 ，利用待定系数法求出直线的解析式为，与抛物线的解析式联立，解方程组，即可求得B点的坐标； （2）设P（x，），则C（x， ），则PC=-x2-4x+5，利用三角形面积公式得到S△APB=PC•|xA-xB|=（-x2-4x+5）×（1+5），然后利用二次函数的性质解决问题． 【详解】解：点的坐标为，将代入， 得， 解得， 直线的解析式为 由 解得， 的坐标为 设，则， ， 当时，面积最大，最大值为， 此时点的坐标为． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，利用待定系数法求直线的解析式，函数图象上点的坐标特征，两函数交点坐标的求法，三角形的面积，难度适中． 3．（2021·湖南长沙·期末）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝﹣1，且抛物线经过A（1，0），C（0，3）两点，与x轴交于点B． （1）求抛物线的解析式； （2）若点P从点B出发，沿着射线BC运动，速度每秒个单位长度，过点P作直线PM∥y轴，交抛物线于点M．设运动时间为t秒． ①在运动过程中，当t为何值时，使（MA+MC）（MA﹣MC）的值最大？并求出此时点P的坐标． ②若点N同时从点B出发，向x轴正方向运动，速度每秒v个单位长度，问：是否存在t使点B，C，M，N构成平行四边形？若存在，求出t，v的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x+3；（2）①当时，使（MA+MC）（MA﹣MC）的值最大，此时点P的坐标为（，）；②存在t的值，t＝1，v＝2，或t＝2+，v＝5+． 【分析】（1）先根据对称轴求出点B坐标，再由待定系数法求抛物线解析式； （2）①根据题意表示出BA和BC的值，再利用平方差公式表示出，可得关于m的二次函数，继而根据顶点式求出最值即可； ②根据对角线的情况分三种情况进行讨论：若BC为对角线；若BM为对角线；若BN为对角线． 【详解】（1）∵抛物线的对称轴为x＝﹣1，A（1，0） ∴B（﹣3，0）， 设抛物线的解析式为， 代入C（0，3），得， 解得a＝﹣1， ∴； （2）①∵B（﹣3，0），C（0，3）， ∴直线BC的解析式为y＝x+3， 设P（m，m+3），则点M为（m，）， ∴ ， ， 当时，（MA+MC）（MA﹣MC）最大， 此时， 所以此时， ∴当时，使（MA+MC）（MA﹣MC）的值最大，此时点P的坐标为； ②存在t的值， 由题意得B（﹣3，0），C（0，3），M（t﹣3，），N（v﹣3，0）， 若BC为对角线，由中点坐标公式得： ， 解得：或（舍）， ∴t＝1，v＝2， 若BM为对角线，由中点坐标公式得： ， 解得：（舍）或者（舍）， ∴此种情况无满足的t，v， 若BN为对角线，由中点坐标公式得： ， 解得：（舍）或者， ∴，， 综上，t＝1，v＝2，或者，． 【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键熟练掌握二次函数的图象及其性质，用待定系数法求解析式，通过解析式可得二次函数与x轴交点，与y轴的交点，顶点坐标等等，在判断平行四边形时，需要考虑对角线的情况即可． 4．（2021湖南长沙·期末）如图，已知抛物线y＝x2+bx+c与y轴交于点B（0，1），顶点为A．点F（2，1）在抛物线的对称轴上，点C（0，3）是y轴上一点．点P在抛物线上运动，过点P作PM⊥x轴于点M，连接PF和CF． （1）求抛物线的解析式； （2）求证：在点P运动的过程中，总有PF＝PM+1； （3）若将“使△PCF面积为2”的点P记作“巧点”，则存在多个“巧点”，请求出所有“巧点”的坐标．是否存在使△PCF的周长最小的“巧点”，若有，请直接写出“巧点”的坐标；若无，请说明理由． 【答案】（1）y＝x2﹣x+1；（2）见解析；（3）有，“巧点”为P（0，1）或P（4，1）或P（﹣4，9）；△PCF的周长最小的“巧点”为P（0，1） 【分析】（1）由点F（2，1）确定对称轴为x＝2，从而求出b＝﹣1，再将点B（0，1）代入抛物线解析式可求c，即可求解； （2）设P（m，m2﹣m+1），由两点距离公式可得PF＝（m﹣2）2+1，因为PM＝（m﹣2）2，则可证明FP＝PM+1； （3）设直线PM与直线CF交于点K，由S△PCF＝×2×KP，求出KP＝2，再求出直线CF的解析式为y＝﹣x+3，设P（m，m2﹣m+1），K（m，﹣m+3），则KP＝|﹣m+3﹣（m2﹣m+1）|＝2，求出m＝±4或m＝0，则可求各“巧点”为（0，1）或（4，1）或（﹣4，9），因为△PCF的周长＝PC+PM+1+CF，当PC+PM取最小值时，即点C、P、M共线是，周长有最小值，所以当△PCF周长最小时存在“巧点”为P（0，1）． 【详解】解：（1）∵点F（2，1）在抛物线的对称轴上， ∴抛物线的对称轴为直线x＝2，即 ， 解得：b＝﹣1， ∵点B（0，1）在抛物线上， ∴c＝1， ∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x+1； （2）设P（m，m2﹣m+1），则PM＝（m﹣2）2， ∵F（2，1）， ∴PF＝ ＝（m﹣2）2+1， ∴FP＝PM+1； （3）当△PCF面积为2时，无论P点在何位置，如图，设直线PM与直线CF交于点K， 设直线CF的解析式为 将点C（0，3），点F（2，1）代入可得 ，解得：， ∴直线CF的解析式为y＝﹣x+3， 设P（m，m2﹣m+1），则K（m，﹣m+3）， ∴KP＝|﹣m+3﹣（m2﹣m+1）|， ∵ ， ∴， ∴S△PCF＝KP， ∵△PCF面积为2， ∴KP＝2， ∴KP＝|﹣m+3﹣（m2﹣m+1）|＝2， ∴m2﹣2＝2或2﹣m2＝2， ∴m＝±4或m＝0， ∴当△PCF面积为2时，各“巧点”为（0，1）或（4，1）或（﹣4，9）， ∵△PCF的周长＝PC+PF+CF， ∵PF＝PM+1， ∴△PCF的周长＝PC+PM+1+CF， ∵CF为定值， ∴当PC+PM取最小值时，即点C、P、M共线是，周长有最小值，此时点M与点O重合， ∴此时点P（0，1）； ∴使△PCF面积为2，存在“巧点”为P（0，1）或P（4，1）或P（﹣4，9）；当△PCF周长最小时存在“巧点”为P（0，1）． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合题——二次函数图象及其性质，解题的关键是熟练掌握次函数图象及其性质，理解新定义，灵活运用所学知识． 销售问题 1．（2024春•雨花区校级期末）2024年是农历甲辰龙年，含有“龙”元素的饰品深受大众喜爱．商场购进一批单价为70元的“吉祥龙”公仔，并以每个80元售出．由于销售火爆，公仔的销售单价经过两次调整后，上涨到每个125元，此时每天可售出75个． （1）若销售单价每次上涨的百分率相同，求该百分率； （2）市场调查发现：销售单价每降低1元，其销售量相应增加5个．那么销售单价应降低多少，才能使每天所获销售利润最大？最大利润是多少？ 【分析】（1）依据题意，设每次上涨的百分率为，再由题意列出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）依据题意，设每个售价为元，根据总利润单件利润销售数量，即可列出关于的二次函数，再由二次函数的性质进行判断计算可以得解． 【解答】解：（1）由题意，设每次上涨的百分率为， 依题意，得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：每次上涨的百分率为． （2）由题意，设每个售价为元， 每天的利润 ． 当时，每天的最大利润为6125． 每个应降价元，即每个应降价20元． 答：每个应降价20元，才能使每天利润达到最大，最大利润为6125元． 【点评】本题主要考查了一元二次方程的应用、二次函数的应用，解题时要能找准等量关系，正确列出一元二次方程及二次函数关系式是解题的关键． 2．（2023春•芙蓉区校级期末）某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具． （1）不妨设该种品牌玩具的销售单价为元，请用的代数式来表示销售量为 　　件； （2）在（1）的条件下，若商场获得了10000元销售利润，求该玩具销售单价应定为多少元？ （3）在（1）的条件下，若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于44元，且商场要完成不少于540件的销售任务，求商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少？ 【分析】（1）根据销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具，可知销售单价为元时，就会少售出件玩具，销量为； （2）结合（1）以及获得了10000元销售利润可得方程，解方程即可； （3）根据“销售单价不低于44元，且商场要完成不少于540件的销售任务”列不等式组求出的取值范围，再求出在该范围内的最大值即可． 【解答】解：（1）根据销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具， 可知销售单价为元时，销量为（件， 故答案为：； （2）依题意得：， 化简得：， ， 解得，， ， 销售价应定为50元或80元； （3）该品牌玩具销售单价不低于44元，且商场要完成不少于540件的销售任务， ， 解得：， 而， ， 二次函数的图象开口向下，有最大值， 对称轴为， 当时，随的增大而增大， 时，最大， （元． 答：该商场销售该品牌玩具获得的最大利润是8640元． 【点评】本题考查二次函数的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，解题的关键是根据题意正确列出二次函数关系式，会求二次函数的最值． 3．（2023春•开福区校级期末）近几年，越来越多的商家向线上转型发展，“直播带货”已经成为商家的一种促销的重要手段．某商家在直播间销售一种进价为每件10元的日用商品，经调查发现，该商品每天的销售量（件与销售单价（元满足关系式，设销售这种商品每天的利润为（元． （1）求与之间的函数关系式； （2）当销售单价不低于28元，且每天至少销售50件时，求的最大值． 【分析】（1）根据销售1件的利润乘以每天销售量等于每天的总利润，直接列式即可作答； （2）根据题意有：，解得：，将化为顶点式为：，即可知当时，函数值随着的增大而减小，问题随之得解． 【解答】解：（1）根据题意，得 ， 即， 又， 解得， （2）解：根据题意有：， 解得：， ， ， 当时，随着的增大而减小， 又， 当时，函数值最大，最大为：． 答：此时的最大值为2160元． 【点评】本题主要考查了二次函数的应用，根据已知的等量关系列出相应的函数关系式是是解答本题的关键． 4．（2022秋•岳麓区校级期末）大学生小李和同学一起自主创业开办了一家公司，公司对经营的盈亏情况在每月的最后一天结算一次，在月份中，该公司前个月累计获得的总利闻（万元）与销售时间（月之间满足二次函数关系． （1）求与函数关系式； （2）求9月份一个月内所获得的利润； （3）在前12个月中，哪个月该公司所获得利润最大？最大利润为多少？ 【答案】（1）；（2）11万元；（3）时，利润最大，最大利润为17万元． 【分析】（1）根据题意此抛物线的顶点坐标为，设出抛物线的顶点式，把代入即可求出的值，把的值代入抛物线的顶点式中即可确定出抛物线的解析式； （2）相邻两个月份的总利润的差即为某月利润． （3）根据前个月内所获得的利润减去前个月内所获得的利润，进而表示出第个月内所获得的利润为关于的一次函数，且为增函数，得到取最大为12时，把代入即可求出最多的利润． 【解答】解：（1）根据题意可设：， 当时，， 所以， 解得：， 所求函数关系式为：； （2）当时，，所以前9个月公司累计获得的利润为27万元， 又由题意可知，当时，，而（万， 所以9月份一个月内所获得的利润11万元． （3）设单月利润为万元，， ， ， 随增大而增大， 当时，利润最大，最大利润为17万元． 【点评】本题考查了二次函数的应用，主要考查学生会利用待定系数法求函数的解析式，灵活运用二次函数的图象与性质解决实际问题，是一道综合题． 5．（2022秋•雨花区期末）2022年北京冬奥会举办期间，冬奥会吉祥物“冰墩墩”深受广大人民的喜爱．某特许零售店“冰墩墩”的销售日益火爆．每个纪念品进价40元，规定销售单价不低于44元，且不高于52元．销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300个，销售单价每上涨1元，每天销量减少10个．现商家决定提价销售，设每天销售量为个，销售单价为元． （1）直接写出与之间的函数关系式和自变量的取值范围； （2）将纪念品的销售单价定为多少元时，商家每天销售纪念品获得的利润元最大？最大利润是多少元？ （3）该店主热心公益事业，决定从每天的利润中捐出200元给希望工程，为了保证捐款后每天剩余利润不低于2200元，求销售单价的范围． 【答案】（1）； （2）将纪念品的销售单价定为52元时，商家每天销售纪念品获得的利润元最大，最大利润是2640元； （3）捐款后每天剩余利润不低于2200元，销售单价的范围是． 【分析】（1）根据题意直接写出与之间的函数关系式和自变量的取值范围； （2）根据销售利润销售量（售价进价），列出平均每天的销售利润（元与销售价（元箱）之间的函数关系式，再依据函数的增减性求得最大利润； （3）根据题意得剩余利润为，利用函数性质求出时的的取值范围即可 【解答】解：（1）根据题意得：， 与之间的函数关系式为； （2）根据题意得：， ， 当时，随的增大而增大， ， 当时，有最大值，最大值为， 将纪念品的销售单价定为52元时，商家每天销售纪念品获得的利润元最大，最大利润是2640元； （3）依题意剩余利润为元， 捐款后每天剩余利润不低于2200元， ，即， 由得或， ，， 捐款后每天剩余利润不低于2200元，， 答：捐款后每天剩余利润不低于2200元，销售单价的范围是． 【点评】本题考查二次函数应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式． 6．（2022春•长沙期末）2022年北京冬奥会吉祥物深受大家的喜欢．某特许零售店的冬奥会吉祥物销售量日益火爆．据统计，该店2022年1月的“冰墩墩”销量为1万件，2022年3月的“冰墩墩”销量为1.44万件． （1）求该店“冰墩墩”销量1月到3月的月平均增长率； （2）该零售店4月将采用提高售价的方法增加利润，根据市场调研得出结论：如果将进价78元的“冰墩墩”按每件98元出售，每天可销售600件，在此基础上售价每涨1元，那么每天的销售量就会减少10件，商店在确保盈利的情况下如何确定售价，才能使每天销售“冰墩墩”的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）该店“冰墩墩”销量的月平均增长率为； （2）当售价为118元时，才能使每天销售“冰墩墩”的利润最大，最大利润是16000元． 【分析】（1）设该店“冰墩墩”销量的月平均增长率为，由题意可列方程为，求解即可； （2）设每件商品的涨价元，利润为元，根据利润每件的利润销量列出函数解析式，根据函数的性质求最值即可． 【解答】解：（1）设该店“冰墩墩”销量的月平均增长率为， 由题意可得，， 解得，（舍去）， 答：该店“冰墩墩”销量的月平均增长率为； （2）设每件商品的涨价元，利润为元， 则每件商品的销售利润为元，每天的销售量为件， 依题意可得， 由， ， ， ， 当，利润最大元， 即当售价为元时，利润最大为16000元． 【点评】本题考查二次函数和一元二次方程的应用，能根据已知条件列出函数解析式和方程是解答本题的关键． ( 12 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$