11.3多边形及其内角和 讲义 2024--2025学年人教版八年级数学上册

第三讲 11.3多边形及其内角和 核心要点 1. 多边形的定义 2. 正多边形的定义： 3. 多边形的内角和定理： 4.多边形的外交和定理 5.多边形的对角线： 考点梳理 【考点1】多边形的定义 例题1．下列说法中错误的是（  ） A．多边形是平面图形，平面图形不一定是多边形 B．四边形由四条线段组成，但四条线段组成的图形不一定是四边形 C．多边形是一个封闭图形，但封闭图形不一定是多边形 D．各边都相等的多边形是正多边形 【分析】本题考查多边形的有关知识，熟练掌握多边形的定义是解题关键．在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形，由此即可判断． 【详解】解：A．多边形是平面图形，平面图形不一定是多边形，正确，故该选项不符合题意； B．四边形由四条线段组成，但四条线段组成的图形不一定是四边形，正确，故该选项不符合题意； C．多边形是一个封闭图形，但封闭图形不一定是多边形，正确，故该选项不符合题意； D．各边都相等，各角都相等的多边形是正多边形，故该选错误，项符合题意． 【针对训练】 1.下列说法中，错误的有（    ） A．三角形是边数最少的多边形 B．等边三角形和长方形都是正多边形 C．边形有条边、个顶点、个内角、个外角 D．六边形从一个顶点出发可以画条对角线，所有的对角线共有条 【分析】本题考查了多边形，根据多边形的定义及性质逐项判断即可求解，掌握多边形的定义及性质是解题的关键． 【详解】解：．三角形是边数最少的多边形，该选项说法正确； ．长方形不是正多边形，该选项说法错误； ．边形有条边、个顶点、个内角和外角，正该选项说法确； ．六边形从一个顶点出发可以画条对角线，所有的对角线共有条，该选项说法正确； 2.下列图形是正多边形的是（   ） A．   B．   C．   D．   【分析】本题考查了正多边形，关键是掌握正多边形的定义． 根据正多边形的定义：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形可得答案． 【详解】根据正多边形的定义，得到C中图形是正五边形． 【考点2】多边形的内角和 例题1如果一个多边形的每一个内角都是，那么这个多边形是（    ） A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．七边形 【分析】本题考查了多边形的内角和问题，设这个多边形为边形，根据题意得出，计算即可得解． 【详解】解：设这个多边形为边形， 由题意得：， 解得：， 故这个多边形是六边形， 【方法总结】对于多边形的内角和问题，通常有三种考法，（1）求边数（2）求正多边形每个内角的度数（3）求正多边形每个内角的度数，都可以用公式求解 【针对训练】 1.已知一个正多边形的一个内角是，则这个正多边形的边数是（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】C 【分析】本题主要考查了多边形内角和公式，根据多边形内角和公式得出方程，求出解即可． 【详解】解：设正多边形的边数为x，根据题意，得 ， 解得． 所以这个正多边形的边数是10． 2．正八边形的一个内角的度数是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查了正多边形内角和定理，根据多边形内角和定理求出正八边形的内角和，再除以8即可得到答案． 【详解】解：， ∴正八边形的一个内角的度数是， 【考点3】与三角形的面积问题 例题1.八边形的对角线一共有（    ）条 A．20 B．24 C．28 D．40 【答案】A 【分析】本题考查了多边形对角线的条数问题，掌握多边形对角线条数的计算公式是解题的关键．根据n边形对角线条数计算公式计算，即得答案． 【详解】当时，， 所以八边形的对角线共有20条． 【方法总结】n多边形有条对角线，过一个顶点可以引n-3条对角线，这n-3条对角线把多边形分成了n-2个三角形. 【针对训练】 1.从六边形的一个顶点出发，可以画出m条对角线，它们将六边形分成n个三角形．则的值为 （     ） A．0 B．1 C．6 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了多边形对角线条数问题，对角线分三角形个数问题，代数式求值，从k边形的一个顶点出发可引条对角线，可将此多边形分成个三角形，据此求出m、n的值，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解：∵从六边形的一个顶点出发，可以画出m条对角线，它们将六边形分成n个三角形， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 2．过一个多边形的一个顶点可引2024条对角线，则这个多边形的边数为（　　） A．2021 B．2022 C．2026 D．2027 【答案】D 【分析】本题主要考查多边形对角线问题，熟练掌握多边形对角线条数公式是解题的关键；因此此题可根据过一个多边形的一个顶点可以引条对角线，进而问题可求解． 【详解】解：设这个多边形的边数为n，则有：， ∴； 【考点4】多边形的外角 例题1.一个边形的每个外角都是，则这个边形是（   ） A．正六边形 B．正七边形 C．正八边形 D．正五边形 【分析】本题考查了多边形的外角和，根据多边形的外角和为计算即可得解． 【详解】解：∵一个边形的每个外角都是， ∴这个边形的边数是，即这个边形是正八边形， 【针对训练】 2．一个多边形的每一个外角都等于，则这个多边形的边数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查多边形的外角和定理，解题的关键是掌握：多边形的外角和是360°．据此解答即可． 【详解】解：∵一个多边形的每一个外角都等于， ∴这个多边形的边数是：． 故选：D． 3．正六边形的每个外角的大小是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查正多边形的外角，正多边形的每个外角都相等，外角和等于． 【详解】解：正多边形的每个外角都相等，外角和等于， 所以每个外角的大小为， 故选：D． 4．一个多边形的每一个内角都等于，则这个多边形的外角和是（  ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查了多边形的外角和定理．掌握多边形的外角和定理是解题关键． 根据多边形的外角和是360度即可求得． 【详解】解：多边形的外角和是360度． 综合提升，强化能力 1.若一个多边形截去一个角后，变成五边形，则原来的多边形的边数可能为（   ） A．5或6 B．4或5 C．3或4或5 D．4或5或6 【答案】C 【分析】本题考查了多边形的知识，一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条．根据一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条，依此即可解决问题． 【详解】解：一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条，则多边形的边数是3或4或5， 2．五边形的对角线一共有（   ）条 A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】此题主要考查了多边形的对角线，关键是掌握多边形的对角线的算法． 利用边形从一个顶点出发可引出条对角线．而每条重复一次，所以边形对角线的总条数为：，且为整数)计算． 【详解】解：五边形的对角线共有， 3．过七边形一个顶点可以引出的对角线将多边形分成了_____个三角形，这个多边形共有______条时角线（   ） A．5，21 B．5，14 C．4，28 D．4，21 【答案】B 【分析】本题考查了多边形的对角线问题，根据过边形的一个顶点引出的对角线将该多边形分成个三角形分析即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：过七边形一个顶点可以引出的对角线将多边形分成个三角形， 七边形共有对角线条数为：（条）， 4．从多边形的一个顶点出发的对角线一共有条，则这个多边形是（   ） A．六边形 B．七边形 C．八边形 D．九边形 【答案】D 【分析】本题主要考查了多边形的对角线，根据边形从一个顶点出发可引出条对角线，得出，求出即可，掌握多边形的对角线是解题的关键． 【详解】解：设这个多边形的边数是， 由题意得，， 解得：，即这个多边形为九边形 5．过一个多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成11个三角形，则这个多边形的边数是（   ） A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】C 【分析】本题主要考查了多边形对角线分成三角形个数问题．经过n边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成个三角形，根据此关系式求解即可． 【详解】解：∵过边形的一个顶点的所有对角线，把边形分成了11个三角形， ∴， ∴， 故这个多边形的边数是13． 6．若一个多边形的内角和比外角和多，则这个多边形是（） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 【答案】C 【分析】本题考查了多边形的内角和公式与外角和定理，多边形的外角和与边数无关，任何多边形的外角和都是．根据多边形的内角和公式与外角和定理列出方程，然后求解即可． 【详解】解：设这个多边形是边形， 根据题意得，， 解得． 所以这个多边形是五边形 7.正八边形的每一个内角为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了正多边形内角和定理，正n边形的一个内角度数为．根据多边形内角和公式求解即可． 【详解】解：由题意得，正八边形的每一个内角的度数是， 8．一个多边形截去一个角后，形成的多边形的内角和是其外角和的5倍，则原来多边形的边数是（   ） A．12 B．13 C．12或13 D．11或12或13 【分析】本题考查的是多边形的内角和公式，本题的易错点在于忽略考虑截去一个角后多边形的边数可以不变、增加或者减少．先根据多边形的内角和公式求出截去一个角后的多边形的边数，再分情况说明求得原来多边形的解． 【详解】解：设多边形截去一个角的边数为，根据题意得： 又截去一个角后的多边形的边可以增加1、不变、减少1， 原多边形的边数为11或12或13． 9.．若一个多边形的内角和与外角和相等，则此多边形是（   ） A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．七边形 【答案】A 【分析】本题主要考查了多边形内角和和外角和综合，n边形的内角和为，外角和为，据此建立方程求解即可． 【详解】解：设这个多边形的边数为n， 由题意得，， 解得， ∴这个多边形是四边形， 故选：A． 10．若一个多边形的每一个内角都相等，且每个内角等于它相邻外角的3倍，则该多边形的边数是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】设它相邻的外角为，则内角度数为，根据题意，得，再根据公式解答即可． 本题考查了多边形的内角与外角的关系，外角和定理，熟练掌握定理是解题的关键． 【详解】解：设它相邻的外角为，则内角度数为，根据题意，得， 解得， 故多边形的边数为：． 11.已知正六边形的周长是，则这个多边形的边长等于 ． 【答案】6 【分析】本题考查正多边形的定义，根据每条边都相等，每个内角都相等的多边形叫正多边形求解即可得到答案，熟知在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形是解题的关键． 【详解】解：∵正六边形的周长是， ∴这个多边形的边长为， 12.正n边形一个外角度数为，则这个正n边形一共有 条对角线． 【分析】本题考查多边形的性质，由多边形外角和的求法，可求出n的值；再由多边形过一个顶点作对角线的条数与多边形顶点的关系，可以得出答案． 【详解】解：∵正n边形一个外角度数为， ∴， 13.一个多边形的对角线的条数等于它的边数的5倍，则这个多边形是 边形． 【答案】十三 【分析】边形的对角线有条，根据对角线条数是它边数的5倍列方程即可求得多边形的边数． 本题主要考查了多边形的对角线的条数与多边形的边数之间的关系． 【详解】解：设这个多边形的边数是． 根据题意得：， 解得：． 则多边形的边数是13． 14.若正多边形的一个外角是，则这个正多形的边数是 ． 【答案】九/9 【分析】本题考查了多边形的外角和，熟练掌握任意多边形的外角和都是360度是解答本题的关键．根据任意多边形的外角和都是360度求解即可． 【详解】解：， ∴这个多边形的边上是九． 15.如果一个正多边形的内角和为，那么这个正多边形的一个外角的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了正多边形的内角和与外角和，解决本题的关键是要熟练掌握多边形内角和公式和正多边形的性质． 首先设此正多边形为n边形，根据题意得：，即可求得，再由多边形的内角和除以11，根据多边形外角和为即可求得答案． 【详解】解：设此多边形为n边形， 根据题意得：， 解得：， ∵多边形外角和为，正多边形的每个外角相等， ∴这个正多边形的一个外角的度数为：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第三讲 11.3多边形及其内角和 核心要点 1. 多边形的定义 2. 正多边形的定义： 3. 多边形的内角和定理： 4.多边形的外交和定理 5.多边形的对角线： 考点梳理 【考点1】多边形的定义 例题1．1．下列说法中错误的是（  ） A．多边形是平面图形，平面图形不一定是多边形 B．四边形由四条线段组成，但四条线段组成的图形不一定是四边形 C．多边形是一个封闭图形，但封闭图形不一定是多边形 D．各边都相等的多边形是正多边形 【针对训练】 1.下列说法中，错误的有（    ） A．三角形是边数最少的多边形 B．等边三角形和长方形都是正多边形 C．边形有条边、个顶点、个内角、个外角 D．六边形从一个顶点出发可以画条对角线，所有的对角线共有条 2.下列图形是正多边形的是（   ） A．   B．   C．   D．   【考点2】多边形的内角和 例题1如果一个多边形的每一个内角都是，那么这个多边形是（    ） A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．七边形 【方法总结】对于多边形的内角和问题，通常有三种考法，（1）求边数（2）求正多边形每个内角的度数（3）求正多边形每个内角的度数，都可以用公式,求解 【针对训练】 1.已知一个正多边形的一个内角是，则这个正多边形的边数是（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 2．正八边形的一个内角的度数是（   ） A． B． C． D． 【考点3】与三角形的面积问题 例题1.八边形的对角线一共有（    ）条 A．20 B．24 C．28 D．40 【方法总结】n多边形有条对角线，过一个顶点可以引n-3条对角线，这n-3条对角线把多边形分成了n-2个三角形. 【针对训练】 1.从六边形的一个顶点出发，可以画出m条对角线，它们将六边形分成n个三角形．则的值为 （     ） A．0 B．1 C．6 D． 2．过一个多边形的一个顶点可引2024条对角线，则这个多边形的边数为（　　） A．2021 B．2022 C．2026 D．2027 【考点4】多边形的外角 例题1.一个边形的每个外角都是，则这个边形是（   ） A．正六边形 B．正七边形 C．正八边形 D．正五边形 【针对训练】 2．一个多边形的每一个外角都等于，则这个多边形的边数是（   ） A． B． C． D． 3．正六边形的每个外角的大小是（   ） A． B． C． D． 4．一个多边形的每一个内角都等于，则这个多边形的外角和是（  ） A． B． C． D． 综合提升，强化能力 1.若一个多边形截去一个角后，变成五边形，则原来的多边形的边数可能为（   ） A．5或6 B．4或5 C．3或4或5 D．4或5或6 2．五边形的对角线一共有（   ）条 A．2 B．3 C．4 D．5 3．过七边形一个顶点可以引出的对角线将多边形分成了_____个三角形，这个多边形共有______条时角线（   ） A．5，21 B．5，14 C．4，28 D．4，21 4．从多边形的一个顶点出发的对角线一共有条，则这个多边形是（   ） A．六边形 B．七边形 C．八边形 D．九边形 5．过一个多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成11个三角形，则这个多边形的边数是（   ） A．11 B．12 C．13 D．14 6．若一个多边形的内角和比外角和多，则这个多边形是（） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 7.正八边形的每一个内角为（   ） A． B． C． D． 8．一个多边形截去一个角后，形成的多边形的内角和是其外角和的5倍，则原来多边形的边数是（   ） A．12 B．13 C．12或13 D．11或12或13 9.．若一个多边形的内角和与外角和相等，则此多边形是（   ） A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．七边形 10．若一个多边形的每一个内角都相等，且每个内角等于它相邻外角的3倍，则该多边形的边数是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 11.已知正六边形的周长是，则这个多边形的边长等于 ． 12.正n边形一个外角度数为，则这个正n边形一共有 条对角线． 13.一个多边形的对角线的条数等于它的边数的5倍，则这个多边形是 边形． 14.若正多边形的一个外角是，则这个正多形的边数是 ． 15.如果一个正多边形的内角和为，那么这个正多边形的一个外角的度数为 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$