检测05第三次月考（基础卷） 2024-2025学年高二年级上学期数学月考检测（新高考人教A版专用）

检测05第三次月考（基础卷）（2019人教A版） 测试范围：空间向量与立体几何+直线和圆的方程+圆锥曲线的方程 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（24-25高二上·福建福州·期中）在四面体OABC中，，，，为BC的中点，且，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·广东广州·期中）设直线l的斜率为k，且，则直线l的倾斜角的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·黑龙江鸡西·期中）椭圆的焦点在轴上，焦距为2，则的值等于（    ） A．3 B．5 C．8 D．5或3 4．（24-25高二上·山东潍坊·期中）如图，在四面体中，为棱的中点，点，分别满足，，则（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·辽宁沈阳·期中）已知圆和两点，若圆上存在点，使得，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·河南南阳·期中）已知为曲线上任意一点，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高二上·安徽芜湖·期中）已知平行六面体.设，则平面的一个法向量为（   ）    A． B． C． D． 8．（24-25高二上·广西·期中）若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（ ） A．] B． C． D． 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（24-25高二上·河南·期中）已知方程，则（    ） A．当时，方程表示椭圆 B．当时，方程表示焦点在轴上的双曲线 C．存在，使得方程表示两条直线 D．存在，使得方程表示抛物线 10．（24-25高二下·湖南衡阳·期中）由正四棱锥P-ABCD和正方体ABCD-A1B1C1D1组成的多面体的所有棱长均为2，则（   ） A．平面 B．平面平面 C．与平面所成角的余弦值为 D．点P到平面的距离为 11．（24-25高二上·福建厦门·期中）下列命题中，正确的是（   ） A．如果且，那么直线不经过第三象限 B．若直线：与：平行，则与的距离为 C．圆C：关于直线对称的圆方程为 D．点为圆上任意一点，则的最大值为 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（24-25高二上·江苏徐州·期中）已知双曲线的左、右焦点分别为，，焦距为，在上，且，，则的离心率为 . 13．（24-25高二上·江苏常州·期中）已知圆，若圆与圆与圆恰有三条公切线，则实数的值是 . 14．（24-25高二上·广东汕头·期中）空间四边形ABCD中，，且异面直线AD与BC成，异面直线AB与CD所成角的正切值为 . 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （24-25高二上·天津滨海新·阶段练习）已知的三个顶点分别为. (1)求边所在直线的方程； (2)若的中点为，求边的垂直平分线的方程； (3)求的外接圆的方程. 16. (15分) （24-25高二上·北京顺义·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，．    (1)求证：平面； (2)求直线平面夹角的正弦值； (3)求点到平面的距离． 17. (15分) （24-25高二上·江苏徐州·期中）已知点是抛物线上的动点，过向轴作垂线段，垂足为，记垂线段PM的中点为． (1)求点的轨迹方程； (2)过点作直线与点的轨迹交于A，B两点，且的面积为（为坐标原点），求直线的方程． 18. (17分) （24-25高二上·河南郑州·期中）在如图所示的空间几何体中，四边形是平行四边形，平面平面，，，，为的中点. (1)求证：平面； (2)线段上是否存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 19. (17分) （24-25高二上·山东青岛·期中）已知椭圆C的中心为坐标原点O，焦点在x轴上，且椭圆C经过点，长轴长为. (1)求椭圆C的标准方程； (2)过点且斜率为1的直线l与椭圆C交于两点，求弦长； (3)若直线l与椭圆相交于两点，且弦的中点为，求直线l的方程. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 检测05第三次月考（基础卷）（2019人教A版） 测试范围：空间向量与立体几何+直线和圆的方程+圆锥曲线的方程 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（24-25高二上·福建福州·期中）在四面体OABC中，，，，为BC的中点，且，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·广东广州·期中）设直线l的斜率为k，且，则直线l的倾斜角的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·黑龙江鸡西·期中）椭圆的焦点在轴上，焦距为2，则的值等于（    ） A．3 B．5 C．8 D．5或3 4．（24-25高二上·山东潍坊·期中）如图，在四面体中，为棱的中点，点，分别满足，，则（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·辽宁沈阳·期中）已知圆和两点，若圆上存在点，使得，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·河南南阳·期中）已知为曲线上任意一点，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高二上·安徽芜湖·期中）已知平行六面体.设，则平面的一个法向量为（   ）    A． B． C． D． 8．（24-25高二上·广西·期中）若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（ ） A．] B． C． D． 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（24-25高二上·河南·期中）已知方程，则（    ） A．当时，方程表示椭圆 B．当时，方程表示焦点在轴上的双曲线 C．存在，使得方程表示两条直线 D．存在，使得方程表示抛物线 10．（24-25高二下·湖南衡阳·期中）由正四棱锥P-ABCD和正方体ABCD-A1B1C1D1组成的多面体的所有棱长均为2，则（   ） A．平面 B．平面平面 C．与平面所成角的余弦值为 D．点P到平面的距离为 11．（24-25高二上·福建厦门·期中）下列命题中，正确的是（   ） A．如果且，那么直线不经过第三象限 B．若直线：与：平行，则与的距离为 C．圆C：关于直线对称的圆方程为 D．点为圆上任意一点，则的最大值为 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（24-25高二上·江苏徐州·期中）已知双曲线的左、右焦点分别为，，焦距为，在上，且，，则的离心率为 . 13．（24-25高二上·江苏常州·期中）已知圆，若圆与圆与圆恰有三条公切线，则实数的值是 . 14．（24-25高二上·广东汕头·期中）空间四边形ABCD中，，且异面直线AD与BC成，异面直线AB与CD所成角的正切值为 . 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （24-25高二上·天津滨海新·阶段练习）已知的三个顶点分别为. (1)求边所在直线的方程； (2)若的中点为，求边的垂直平分线的方程； (3)求的外接圆的方程. 16. (15分) （24-25高二上·北京顺义·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，．    (1)求证：平面； (2)求直线平面夹角的正弦值； (3)求点到平面的距离． 17. (15分) （24-25高二上·江苏徐州·期中）已知点是抛物线上的动点，过向轴作垂线段，垂足为，记垂线段PM的中点为． (1)求点的轨迹方程； (2)过点作直线与点的轨迹交于A，B两点，且的面积为（为坐标原点），求直线的方程． 18. (17分) （24-25高二上·河南郑州·期中）在如图所示的空间几何体中，四边形是平行四边形，平面平面，，，，为的中点. (1)求证：平面； (2)线段上是否存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 19. (17分) （24-25高二上·山东青岛·期中）已知椭圆C的中心为坐标原点O，焦点在x轴上，且椭圆C经过点，长轴长为. (1)求椭圆C的标准方程； (2)过点且斜率为1的直线l与椭圆C交于两点，求弦长； (3)若直线l与椭圆相交于两点，且弦的中点为，求直线l的方程. 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B B D A D A A BC BD 题号 11 答案 ABC 1．B 【分析】运用空间向量的加减数乘运算，结合三角形法则和平行四边形法则可解. 【详解】, 即. 故选：B.    2．B 【分析】按照的正负分类讨论． 【详解】时，倾斜角的范围是，当时，倾斜角的范围是， 综上，倾斜角范围是． 故选：B． 3．B 【分析】根据椭圆焦距的计算列式得出答案. 【详解】由题意，椭圆的焦点在轴上，焦距为2， 则，即， 所以，即. 故选：B. 4．D 【分析】根据空间向量的线性运算法则求解． 【详解】由已知 . 故选：D． 5．A 【分析】由圆的方程可得到圆心坐标以及半径, 设，运用向量的数量积运算可得，从而，可知表示圆上的点到原点的距离，根据圆的性质即可得到答案. 【详解】圆的圆心，半径， 设，∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵点在圆上，∴表示圆上的点到原点的距离， 又，， ∴，即，得， 因此的取值范围为. 故选：A. 6．D 【分析】运用双曲线定义转化，再结合三点位置关系分析即可. 【详解】由，得，所以为双曲线的右支， 为该双曲线的左焦点．设右焦点为，则， 所以．所以， 当且仅当点在线段上时，等号成立，所以的最小值为． 故选：D. 7．A 【分析】令，求出，设出平面的一个法向量，利用空间向量数量积的运算律列式求解. 【详解】在平行六面体， 令，则， 设平面的法向量，而， 则，整理得，令，得， 所以平面的一个法向量为. 故选：A 8．A 【分析】画出图形，求出直线过定点，数形结合再由圆心到直线的距离等于半径和斜率的定义求解即可； 【详解】曲线即为半圆：， 其图象如图所示， 曲线与轴的交点为，而直线为过的动直线， 当直线与半圆相切时，有，解得， 当直线过时，有， 因为直线与半圆有两个不同的交点，故， 故选：A. 9．BC 【分析】根据椭圆、双曲线和抛物线的标准方程，结合选项依次验证即可. 【详解】当且时，方程为， 若，即，此时方程表示圆； 若，即， 当或时，，方程表示焦点在轴的双曲线，故A错误； 当时，，方程表示焦点在轴的双曲线，故B正确； 当时，方程为，表示两条直线； 当时，方程为，表示两条直线；故C正确； 方程不可能表示抛物线，故D错误. 故选：BC 10．BD 【分析】建立空间直角坐标系，判断与平面的一个法向量是否垂直即可判断A；根据平面和平面的法向量是否垂直判断出B；由线面夹角的正弦的公式及同角三角函数的平方关系即可判断C；由点到平面的距离公式即可判断D． 【详解】以为原点，以所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 连接，与交点为，连接，则平面， 因为正四棱锥和正方体的所有棱长均为， 所以，，点坐标为， 所以，则， 又，，，，， 对于A：，，， 设平面的一个法向量为， 则，即，取得， 因为，所以与平面不平行，故A错误； 对于B：由A得平面的一个法向量为， ，， 设平面的一个法向量为， 则，即，取得， 因为，即，所以平面平面，故B正确； 对于C：由A得平面的一个法向量为， ，设与平面所成角为， 则， 所以，即与平面所成角的余弦值为，故C错误； 对于D：由A得平面的一个法向量为， 因为， 所以点到平面的距离，故D正确； 故选：BD． 11．ABC 【分析】求出直线的斜率及纵截距判断A；利用平行线间距离公式计算判断B； 求出圆心关于已知直线的对称点求解判断C；利用目标函数的几何意义计算判断D. 【详解】对于A，由且，得直线的斜率，纵截距， 该直线不过第三象限，A正确； 对于B，直线：，当时，，它们的距离为，B正确； 对于C，令圆：的圆心关于直线的对称点为， 则，解得， 所求圆的方程为，C正确； 对于D，圆的圆心，半径，令原点为， 则，当且仅当三点共线时取等号，D错误. 故选：ABC 12． 【分析】由已知可求得，进而可得，可求离心率. 【详解】由，可得在双曲线的右支上，因为，， 所以，所以， 所以. 故双曲线的离心率为. 故答案为：. 13． 【分析】由两圆有三条公切线可得两圆外切，利用半径之和为圆心距可求实数的值. 【详解】因为两圆有三条公切线，故圆与圆相外切， 又圆的圆心为，半径为， 由，得到，则， 且圆的圆心为，半径为， 由题有，得到，解得， 故答案为：. 14． 【分析】由题设得，结合数量积的运算律及已知求，进而确定大小，即可得答案. 【详解】由，则， 两边平方，得， 由，异面直线AD与BC成， 所以，故， 即或（舍），易知， 所以. 故答案为： 15．(1) (2) (3) 【分析】（1）利用两直线垂直的斜率关系可求边所在直线的方程； （2）求得的中点坐标与直线的斜率，可求边的垂直平分线的方程； （3）设的外接圆的方程为，代入点的坐标，解方程组可求的外接圆的方程. 【详解】（1）由，由两点式可得边所在直线的方程为， 即边所在直线的方程； （2）由，可得的中点为， 又，所以边的垂直平分线的斜率为， 所以由点斜式可得边的垂直平分线的方程为，即. （3）设的外接圆的方程为， 则，解得， 所以的外接圆的方程为. 16．(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）由线线平行得到线面平行即可证明； （2）由线面垂直得到线线垂直，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出平面的法向量，由线面角的夹角向量公式求出直线平面夹角的正弦值； （3）在（2）基础上，由点到平面距离向量公式求出答案. 【详解】（1）因为底面为正方形，所以， 因为平面，平面， 所以平面； （2）因为平面，平面， 所以， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， ， 设平面的法向量为， 则， 令，则，则，    直线平面夹角的正弦值为； （3）由（2）知，平面的法向量为， 点到平面的距离为. 17．(1) (2) 【分析】（1）设的坐标为，则的坐标为，代入抛物线方程计算即可；（2）直曲联立，借助韦达定理和面积公式计算即可. 【详解】（1）设的坐标为，则的坐标为 又点在抛物线上，故即 （2）设直线的方程为， 联立方程组得：，有， 则， 解得： 所以直线的方程为，即： 18．(1)证明见解析； (2)存在，. 【分析】（1）根据给定条件，利用面面垂直的性质、线面垂直的判定推理即得. （2）以点为原点，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，再利用面面角的向量求列式计算即得. 【详解】（1）由平面平面，平面平面平面，， 得平面，而平面，则， 由，为的中点，得， 又平面， 所以平面. （2）过作直线，由平面，得平面，则直线两两垂直， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 由，，得，， 则，令， ， 由四边形是平行四边形，得， ，设平面的法向量为， 则，令，得， 由（1）知平面的法向量，设平面与平面的夹角为， 于是， 整理得，而，解得， 所以线段上存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为，此时. 19．(1) (2) (3) 【分析】（1）根据椭圆的长轴长及所经过点直接求出，得出椭圆C的标准方程. （2）直线l与椭圆方程联立，得出韦达定理，根据弦长公式得出结果. （3）设，根据“点差法”求出直线的斜率，由点斜式即可求解. 【详解】（1）由题意设椭圆C的方程为， 因为椭圆经过点且长轴长为， 所以， 所以椭圆C的标准方程为. （2）由已知设直线l的方程为，设，. 将直线代入， 得， 所以，， . （3）设，则中点是， 于是，即， 由于在椭圆上，故， 两式相减得到，即， 故，于是， 故直线的方程是， 整理得 学科网（北京）股份有限公司 $$