第03讲 离散型随机变量的均值与方差（2大考点4题型）-【帮课堂】2024-2025学年高二数学同步学与练（北师大版2019选择性必修第一册）

第03讲 离散型随机变量的均值和方差 课程标准 学习目标 1 理解离散型随机变量及其分布列、均值与方差的的基本概念； 2 熟练掌握如何计算离散型随机变量的均值和方差； 3 应通过具体实例进行练习，以加深理解并提高计算能力． 1. 理解离散型随机变量及其分布列、均值与方差的基本概念； 2. 能够掌握均值和期望的计算公式； 3. 掌强调培养学生利用离散型随机变量的均值和方差解决实际问题的能力． 知识点一、离散型随机变量均值和方差 若离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn (1)称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平． (2)称D(X)＝(xi－E(X))2pi为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度，其算术平方根为随机变量X的标准差． 知识点二、均值和方差的性质 (1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b； (2)D(aX＋b)＝a2D(X)(a，b为常数)． 题型01 离散型随机变量的期望 1.已知甲、乙两个不透明的箱子中分别装有个黑球和个白球（球之间除颜色外无差异），现规定从甲箱中任取球放入乙箱，摇匀后再从乙箱中任取球放入甲箱称为次操作.若已知次操作后，甲箱中仍有个黑球，则其第次操作后甲箱中仍有个黑球的概率为： ；设第次操作后甲箱中黑球个数为，则 . 【答案】 【详解】若甲箱中有个黑球， 则下一次操作后甲箱中仍有个黑球的概率为， 下一次操作后甲箱中有个黑球的概率为， 若甲箱中有个黑球， 则下一次操作后甲箱中仍有个黑球的概率为， 下一次操作后甲箱中有个黑球的概率为， 下一次操作后甲箱中有个黑球的概率为， 若甲箱中有个黑球， 则下一次操作后甲箱中仍有个黑球的概率为， 下一次操作后甲箱中有个黑球的概率为， 设次操作后，甲箱中仍有个黑球为事件， 第次操作后甲箱中仍有个黑球为事件， 则， ，则； 的可能取值为，，， ， ， ， 则； 故答案为：；. 2.（多选）甲、乙两选手进行象棋比赛，有3局2胜制、5局3胜制两种方案.设每局比赛甲获胜的概率为，且每局比赛的结果互不影响，则下列结论正确的有（    ） A．若采用3局2胜制，则甲获胜的概率是 B．若采用5局3胜制，则甲以3：1获胜的概率是 C．若，甲在5局3胜制中比在3局2胜制中获胜的概率大 D．若，采用5局3胜制，在甲获胜的条件下比赛局数的数学期望是3 【答案】AC 【详解】对于选项A: 若采用3局2胜制，甲获胜分为一二局甲胜，一三局甲胜，二三局甲胜三种情况， 则最终甲胜的概率为，故选项A正确； 对于选项B: 若采用5局3胜制，要让甲以3：1获胜，则前三局甲胜两局，最后一局甲胜， 则甲以3：1获胜的概率是，故选项B错误； 对于选项C: 因为，结合选项A可知，若采用3局2胜制， 最终甲胜的概率为， 若采用5局3胜制，甲获胜的比分为三种情况， 所以甲在5局3胜制中甲获胜的概率是 因为，所以甲在5局3胜制中比在3局2胜制中获胜的概率大，故选项C正确； 对于选项D: 因为，且采用5局3胜制，甲获胜的概率为 在甲获胜的条件下比赛局数 由条件概率公式可知：;; ; 所以在甲获胜的条件下比赛局数的数学期望是, 故选项D错误. 故选：AC. 3.甲、乙、丙三人射击的命中率分别为，，，现要求三人各射击一次，假设每人射击相互独立，则至少有一人命中的概率为 ；记三人命中总次数为，则 ． 【答案】 【详解】由题意得，至少有一人命中的概率， 由题意得的可能取值为 ， ， ， ， ． 故答案为：；． 3.在维空间中，以单位长度为边长的“立方体”的顶点坐标可表示为维坐标，其中.定义：在维空间中两点与的曼哈顿距离为.在维“立方体”的顶点中任取两个不同的顶点，记随机变量为所取两点间的曼哈顿距离，则 . 【答案】 【详解】对于维坐标，其中.即有两种选择， 故共有种选择，即维“立方体”的顶点个数是个顶点； 当时，在坐标与中有个坐标值不同，即有个坐标值满足，剩下个坐标值满足， 则满足的个数为. 所以. 故分布列为： 则. 故答案为：. 4.某医生在一次模拟手术中，成功率是失败率的9倍，记表示该医生在一次模拟手术中的得分，且有则 ． 【答案】 【详解】设模拟手术失败的概率为，即，则成功的概率为， 因为，解得， 则． 故答案为：. 5.“镜子迷宫”的原理主要是重复反射成像，当参与者进入迷宫时，身体经过多重镜面的反射，形成无数镜像，导致很难分清楚哪里是道路，哪里是镜面某大型商场有一“镜子迷宫”场地，每位参与者进入迷宫时都会经过红外线感应区，导致系统随机开启一个出路，若打开是A，B出路，则分别需要2小时和3小时才能走出迷宫，若打开是C，D出路，则分别会经过1小时和2小时再次重回红外线感应区，此时系统会重新打开一个未进入的通道，直到走出迷宫为止.则走出迷宫所需时间的数学期望为 . 【答案】 【详解】设为走出迷宫所需时间，则的可能取值为2，3，4，5，6， ，， ，， ， 所以的分布列为： 2 3 4 5 6 则. 故答案为：. 6.某志愿者社团计划在周一和周二两天各举行一次活动，分别由甲、乙两人负责活动通知，已知该社团共有n位同学，每次活动均需k位同学参加.假设甲和乙分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给该社团k位同学，且所发信息都能收到. (1)当，时，求该社团只有小明同学同时收到甲、乙两人所发活动通知信息的概率； (2)记至少收到一个活动通知信息的同学人数为X ①设，，求随机变量X的分布列和数学期望； ②求使取得最大值的整数m. 【答案】(1)；(2)①分布列见解析，数学期望为；②答案见解析. 【详解】（1）设事件“该社团只有小明同学同时收到甲、乙两人所发活动通知信息”， 所以. （2）①的可能取值为2，3，4， ， 所以的分布列为： 2 3 4 数学期望. ②当时，只能取，此时有； 当时，整数满足，其中是和中的较小者， 由甲和乙各自独立、随机地发送活动信息给k位同学，得所包含的基本事件总数为， 当时，同时收到甲乙两人所发信息的学生人数为， 仅收到李老师或张老师转发信息的学生人数为， 由分步乘法原理知，事件所包含的基本事件数为， ， 当时，， ， 因此取得最大值时，满足， 假如成立，则当能被整除时，在和处达到最大； 当不能被整除时，在处达到最大值（表示不超过的最大整数）， 下面证明： 由，得， ，则，显然， 因此. 7.新能源车性能测试，分为实验室检测和路面检测两个阶段.实验室检测通过后才能进入路面检测，路面检测合格后该车才可投入生产，这两个检测阶段能否通过相互独立.其中实验室检测阶段.包括环节I和环节II，两个环节都通过才能通过实验室检测，且这两个环节检测结果相互独立.某公司汽车研发组研发出甲、乙丙三种车型、现对其进行性能检测，实验室检测阶段中甲车通过.II环节的概率分别为，乙车通过I、II环节的概率分别为，丙车通过I、II环节的概率分别为.路面测试环节中三款车通过测试的概率分别为 (1)求甲、乙、丙三款车型中恰有一款车通过实验室检测的概率； (2)记随机变量为甲、乙、丙三种车型通过性能测试的种数，求的分布列和数学期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【详解】（1）设事件A表示甲车通过实验室测试，事件B表示乙车通过实验室测试，事件C表示丙车通过实验室测试， 则，，， 则甲、乙、丙中恰有一款车通过实验室测试的概率为； （2）随机变量可能的取值为：，1，2，3， ，， ，， X 0 1 2 3 P 所以数学期望． 题型02 离散型随机变量的方差 1.已知一组数据1，2，2，5，5，6的第60百分位数为，随机变量X的分布列为 2 m 14 0.3 0.6 0.1 （   ） A．5 B．6 C．9.8 D．10.8 【答案】D 【详解】∵，∴， ∴， ∴ 故选：D 2.已知离散型随机变量的分布列如下： 0 1 若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题可得，又，解得， 则． 故选：D 3.已知两个盒子中分别装有形状、大小、质量均相同的小球．其中，盒中有3个红球，1个白球；盒中有1个红球，3个白球，现从两个盒子中同时各取走一个小球，一共取三次，此时记盒中的红球个数为盒中的红球个数为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由已知， ， ， 则的分布列为： 0 1 可得，； 由已知， ， ， 则的分布列为： 0 1 可得，； 所以. 故选：A. 4.如图，一个质点在随机外力的作用下，从0出发，每次等可能地向左或向右移动一个单位，共移动3次，设质点最终所在位置的坐标为，则 ． 【答案】3 【详解】的可能取值为， 所以， ， ， ， 则， 所以． 故答案为：3 5.阿尔法围棋（AlphaGo）是第一个击败人类职业围棋选手的机器人，这是人工智能算法的重要突破．现某公司研发出了一款级3段围棋机器人，并开展了一项比赛，比赛规则为一人与机器人对弈三次，若获胜一次，则可以获得2千元奖金，若获胜两次，则可以获得5千元奖金，若获胜三次，则可以获得1万元奖金，若三次均未获胜，则无奖金，已知某围棋手每场比赛获胜的概率均为，记此人可获得的奖金为千元，则 ． 【答案】 【详解】依题意可知，的可能取值为， 则，，，， 所以， 又， 所以， 故答案为：. 6.北京冬奥会过后，迎来了一股滑雪运动的热潮，某滑雪场开展滑雪促销活动．该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过免费，超过的部分每小时收费标准为40元（不足的部分按计算）．有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过离开的概率分别为，；以上且不超过离开的概率分别为，；两人滑雪时间都不会超过3h．设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量，求的分布列与均值、方差． 【答案】分布列见解析，； 【详解】甲、乙两人以上且不超过离开的概率分别为，． 的所有可能取值为0，40，80，120，160， 则， ， ， ， ． 所以的分布列为 0 40 80 120 160 ． . 题型03 离散型随机变量的期望性质 1.已知离散型随机变量的分布列如下，若，则（    ） 0 2 A． B．1 C． D． 【答案】C 【详解】由题意知， 解得， 因为，所以，即，则， 解得，所以， 故选：C． 2.端午节是中国四大传统节日之一，风俗习惯形式多样，内容丰富多彩．某居民小区为了让业主度过愉快的端午节，业委会组织举办了一场现场抽奖游戏，规则如下：袋中共有张质地均匀的卡片，其中张卡片图案是粽子，另外张卡片图案是龙舟，业主从该袋子中不放回地随机抽取张卡片，如果张卡片图案相同，则获得元的购物卡；如果张卡片中有张图案相同，则获得元购物卡；其他情况，则不获得任何奖励．设是业主在一次抽奖活动中获得的购物卡金额，则 ． 【答案】 【详解】依题意，的可能取值是， 则，，， 故， 故． 故答案为：. 3.已知的分布列为： 0 1 P 设，则的值为（ ） A． B． C． D．5 【答案】A 【详解】由题意可知， ∵，∴. 故选：A 4.某工厂两条生产线分别生产甲、乙两种元件，元件质量按测试指标划分为：指标大于或等于76为正品，小于76为次品.现分别从两条生产线随机抽取元件甲和元件乙各100件进行检测，检测结果统计如下： 测试指标 元件甲 12 8 40 33 7 元件乙 17 8 40 28 7 (1)试分别估计生产一件元件甲、一件元件乙为正品的概率； (2)生产一件元件甲，若是正品则盈利90元，若是次品则亏损10元；生产一件元件乙，若是正品则盈利100元，若是次品则亏损20元，则在（1）的前提下： ①求生产5件元件乙所获得的利润不少于300的概率； ②记X，Y分别为生产1000件元件甲和1000件元件乙所得的总利润，试比较和的大小.（结论不要求证明） 【答案】(1)甲为正品的概率，乙为正品的概率 (2)①；② 【详解】（1）由已知100件甲元件的样本中正品的频率为， 100件乙元件的样本中正品的频率为， 所以生产一件元件甲为正品的概率为，      生产一件元件乙为正品的概率为； （2）①设生产的5件乙元件中正品件数为，则有次品件，由题意知得到， 设“生产5件乙元件所获得的利润不少于300元”为事件，则． ②设生产一件甲元件的利润为，则的所有取值为90,-10， 则，， 所以的分布列为： 90 -10 P ，所以 设生产一件乙元件的利润为，则的所有取值为100,-20， 则，， 所以的分布列为： 100 -20 P ，所以 所以 题型04 离散型随机变量的方差性质 1.已知随机变量的分布列为 4 5 0.4 0.6 则（    ） A．0.2 B．1.2 C．5 D．6 【答案】D 【详解】解：因为， 所以， 所以. 故选：D. 2.已知随机变量的分布列如下表所示： 若，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，得，， 则，， 由，得，所以. 故选：C 3.（多选）盒中有 3 个球， 其中 1 个红球， 2 个黄球.从盒中随机取球， 每次取 1 个， 不放回， 直到取出红球为止.设此过程中取到黄球的个数为 分别为随机变量 的均值与方差，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】 表示停止取球时没有取到黄球，所以 ，故 A 正确; 又随机变量 的所有可能取值为0，1，2，则 ， ， 故的分布列为 0 1 2 所以 ，故 B 正确; 由 ，故 C 错误; ，故 D 正确. 故选：ABD 4.（多选）设离散型随机变量X的分布列如下表 X 0 1 2 3 4 P 0.1 0.2 m 0.2 0.1 若离散型随机变量Y满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】由离散型随机变量X的分布列性质可得，A正确； ， ，B正确； 由于，故，C错误，D正确； 故选：ABD 5.为弘扬中华优秀传统文化，营造良好的文化氛围，增强文化自觉和文化自信，某区组织开展了中华优秀传统文化知识竞答活动，该活动有单人赛和PK赛，每人只能参加其中的一项.据统计，中小学生参与该项知识竞答活动的人数共计4.8万，其中获奖学生情况统计如下： 奖项 组别 单人赛 PK赛获奖 一等奖 二等奖 三等奖 中学组 40 40 120 100 小学组 32 58 210 100 (1)从获奖学生中随机抽取1人，若已知抽到的学生获得一等奖，求抽到的学生来自中学组的概率； (2)从中学组和小学组获奖者中各随机抽取1人，以表示这2人中PK赛获奖的人数，求的分布列和数学期望； (3)从获奖学生中随机抽取3人，设这3人中来自中学组的人数为，来自小学组的人数为，试判断与的大小关系.（结论不要求证明） 【答案】(1) (2)分布列见解析，期望为 (3)，理由见解析 【详解】（1）若事件表示抽到的学生获得一等奖，事件表示抽到的学生来自中学组， 所以抽到的1个学生获得一等奖，学生来自中学组的概率为， 由表格知：，则. （2）由题意，可能值为， ，，， 的分布列如下： 0 1 2 所以. （3）由题设知，所以. 1.（多选）设离散型随机变量X的分布列如下表； X 1 2 3 4 5 P m 0.1 0.3 n 0.3 若离散型随机变量，且，则正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】由题意知，所以， 因为，所以，即， 综上，解得，，故A不正确，B正确； 因为，所以，故C正确； ，，所以，故D正确. 故选：BCD. 2.（多选）高考数学试题第二部分为多选题，共个小题，每小题有个选项，其中有个或个是正确选项，全部选对得分，部分选对得部分分，有选错的得分.若正确答案是个选项，只选对个得分，有选错的得分；若正确答案是个选项，只选对个得分，只选对个得分，有选错的得分.小明对其中的一道题完全不会，该题有两个正确选项的概率是，记为小明随机选择个选项的得分，记为小明随机选择个选项的得分，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】由题意，，若该题有两个正确选项，则小明从两个错误选项中选择个；若该题有个正确选项，则小明从个错误选项中选择个， 概率为：； ，该题有个正确选项，则小明从个正确选项中选择个， 概率为：； ，该题有个正确选项，则小明从个正确选项中选择个， 概率为：； ，若该题有两个正确选项，则小明从两个错误选项中选择个或选择个错误选项；若该题有个正确选项，则小明从个错误选项中选择个，再从个正确选项中选一个，概率为：； ，该题有个正确选项，则小明从个正确选项中选择个， 概率为：； ，该题有个正确选项，则小明从个正确选项中选择个， 概率为：； 对于A选项，， A错误； 对于B选项，； ；所以， B正确； 对于C选项，， ，C正确； 对于D选项，，D正确. 故选：BCD. 3.（多选）从中随机取一个数记为a，从中随机取一个数记为b，则下列说法正确的是（    ） A．事件“为偶数”的概率为 B．事件“ab为偶数”的概率为 C．设，则X的数学期望为 D．设，则在Y的所有可能的取值中最有可能取到的值是12 【答案】ABD 【详解】从中随机取一个数记为a，从中随机取一个数记为b， 共有（种）可能； 对于A，当时，时，为偶数；当时，时，为偶数； 故共有4种可能，则事件“为偶数”的概率为，A正确； 对于B，当时，时，为偶数；当时，时，为偶数； 此时共有（种）可能，故事件“ab为偶数”的概率为，B正确； 对于C，的取值可能为， 则, 故，C错误； 对于D，的取值可能为， ， ， 故在Y的所有可能的取值中最有可能取到的值是12，D正确， 故选：ABD 4.随机变量的分布列如下表所示，则 . 1 2 3 【答案】 【详解】由题意可得，故，解得或（舍去）， 故随机变量的分布列如下：. 1 2 3 故，， 故答案为： 5.已知随机变量的分布列为：，若，且，则 . 【答案】5 【详解】由随机变量分布列的性质，得，解得， ，， ， ，. 故答案为：5 6.若从4道单选题、3道多选题、2道填空题中任选两道试题作答，记选出单选题的道数为，则 ． 【答案】 【详解】由题意可得的所有取值为， 则 所以． 故答案为： 7.某银行对某种理财产品作统计，若投资10万元，表示该理财产品的利润（单位：万元），其分布列如下表所示，则 ． 0 2 4 0.2 0.1 0.5 0.2 【答案】2.84 【详解】， 所以． 故答案为：2.84. 8.某校举办知识竞赛，已知学生甲是否做对每个题目相互独立，做对三道题目的概率以及做对时获得相应的奖金如表所示. 题目 A 做对的概率 获得的奖金/元 20 40 80 规则如下：按照的顺序做题，只有做对当前题目才有资格做下一题. [注：甲最终获得的奖金为答对的题目相对应的奖金总和.] (1)求甲没有获得奖金的概率； (2)求甲最终获得的奖金的分布列及期望； (3)如果改变做题的顺序，最终获得的奖金期望是否相同？如果不同，你认为哪个顺序最终获得的奖金期望最大？（不需要具体计算过程，只需给出判断） 【答案】(1) (2)分布列见解析，40（元） (3)不同，按照的顺序获得奖金的期望最大，理由见解析. 【详解】（1）甲没有获得奖金，则题目A没有做对， 设甲没有获得奖金为事件，则. （2）分别用表示做对题目的事件，则相互独立. 由题意，的可能取值为. ; . 所以甲最终获得的奖金的分布列为 0 20 60 140 （元）. （3）不同，按照的顺序获得奖金的期望最大，理由如下： 由（2）知，按照的顺序获得奖金的期望为40元， 若按照的顺序做题， 则奖金的可能取值为. ; . 故期望值为元； 若按照的顺序做题， 则奖金的可能取值为. ; . 故期望值为元； 若按照的顺序做题， 则奖金的可能取值为. ; . 故期望值为元， 若按照的顺序做题， 则奖金的可能取值为. ; . 故期望值为元， 若按照的顺序做题， 则奖金的可能取值为. ; . 故期望值为元， 显然按照的顺序获得奖金的期望最大. 10.甲袋中装有2个红球、2个白球，乙袋中装有1个红球、3个白球.抛掷一枚质地均匀的骰子，如果点数为1或2，从甲袋中随机摸出2个球；如果点数为3，4，5，6，从乙袋中随机摸出2个球. (1)记摸出红球的个数为X，求X的分布列和期望； (2)已知摸出的2个球是1红1白，求这2个球来自乙袋的概率. 【答案】(1)分布列见解析，期望为；(2)． 【详解】（1）由题意的可能值是， 甲袋2个红球、2个白球，分别编号为红1，红2 ，白1，白2， 任意抽取2球的可能情形是：红1红2，红1白1，红1白2，红2白1，红2白2，白1白2共6种， 因此抽取的两球均红的概率为，一红一白的概率为，两球均白的概率是， 乙袋1个红球、3个白球，3个白球编号为， 抽取2球的可能情形有：红1，红2，红3，12，13，23共6种， 抽取的两球均红的概率为0，一红一白的概率为，两球均白的概率是， 又抽取的球从甲袋抽取的概率为，从乙袋抽取的概率是， 所以，，， 的分布列为： 0 1 2 期望为； （2）由（1）知两球一红一白的概率是，一红一白两球是从乙袋中抽取的概率是， 所以在摸出的2个球是1红1白，这2个球来自乙袋的概率． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 离散型随机变量的均值和方差 课程标准 学习目标 1 理解离散型随机变量及其分布列、均值与方差的的基本概念； 2 熟练掌握如何计算离散型随机变量的均值和方差； 3 应通过具体实例进行练习，以加深理解并提高计算能力． 1. 理解离散型随机变量及其分布列、均值与方差的基本概念； 2. 能够掌握均值和期望的计算公式； 3. 掌强调培养学生利用离散型随机变量的均值和方差解决实际问题的能力． 知识点一、离散型随机变量均值和方差 若离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn (1)称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平． (2)称D(X)＝(xi－E(X))2pi为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度，其算术平方根为随机变量X的标准差． 知识点二、均值和方差的性质 (1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b； (2)D(aX＋b)＝a2D(X)(a，b为常数)． 题型01 离散型随机变量的期望 1.已知甲、乙两个不透明的箱子中分别装有个黑球和个白球（球之间除颜色外无差异），现规定从甲箱中任取球放入乙箱，摇匀后再从乙箱中任取球放入甲箱称为次操作.若已知次操作后，甲箱中仍有个黑球，则其第次操作后甲箱中仍有个黑球的概率为： ；设第次操作后甲箱中黑球个数为，则 . 2.（多选）甲、乙两选手进行象棋比赛，有3局2胜制、5局3胜制两种方案.设每局比赛甲获胜的概率为，且每局比赛的结果互不影响，则下列结论正确的有（    ） A．若采用3局2胜制，则甲获胜的概率是 B．若采用5局3胜制，则甲以3：1获胜的概率是 C．若，甲在5局3胜制中比在3局2胜制中获胜的概率大 D．若，采用5局3胜制，在甲获胜的条件下比赛局数的数学期望是3 3.甲、乙、丙三人射击的命中率分别为，，，现要求三人各射击一次，假设每人射击相互独立，则至少有一人命中的概率为 ；记三人命中总次数为，则 ． 3.在维空间中，以单位长度为边长的“立方体”的顶点坐标可表示为维坐标，其中.定义：在维空间中两点与的曼哈顿距离为.在维“立方体”的顶点中任取两个不同的顶点，记随机变量为所取两点间的曼哈顿距离，则 . 4.某医生在一次模拟手术中，成功率是失败率的9倍，记表示该医生在一次模拟手术中的得分，且有则 ． 5.“镜子迷宫”的原理主要是重复反射成像，当参与者进入迷宫时，身体经过多重镜面的反射，形成无数镜像，导致很难分清楚哪里是道路，哪里是镜面某大型商场有一“镜子迷宫”场地，每位参与者进入迷宫时都会经过红外线感应区，导致系统随机开启一个出路，若打开是A，B出路，则分别需要2小时和3小时才能走出迷宫，若打开是C，D出路，则分别会经过1小时和2小时再次重回红外线感应区，此时系统会重新打开一个未进入的通道，直到走出迷宫为止.则走出迷宫所需时间的数学期望为 . 6.某志愿者社团计划在周一和周二两天各举行一次活动，分别由甲、乙两人负责活动通知，已知该社团共有n位同学，每次活动均需k位同学参加.假设甲和乙分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给该社团k位同学，且所发信息都能收到. (1)当，时，求该社团只有小明同学同时收到甲、乙两人所发活动通知信息的概率； (2)记至少收到一个活动通知信息的同学人数为X ①设，，求随机变量X的分布列和数学期望； ②求使取得最大值的整数m. 7.新能源车性能测试，分为实验室检测和路面检测两个阶段.实验室检测通过后才能进入路面检测，路面检测合格后该车才可投入生产，这两个检测阶段能否通过相互独立.其中实验室检测阶段.包括环节I和环节II，两个环节都通过才能通过实验室检测，且这两个环节检测结果相互独立.某公司汽车研发组研发出甲、乙丙三种车型、现对其进行性能检测，实验室检测阶段中甲车通过.II环节的概率分别为，乙车通过I、II环节的概率分别为，丙车通过I、II环节的概率分别为.路面测试环节中三款车通过测试的概率分别为 (1)求甲、乙、丙三款车型中恰有一款车通过实验室检测的概率； (2)记随机变量为甲、乙、丙三种车型通过性能测试的种数，求的分布列和数学期望. 题型02 离散型随机变量的方差 1.已知一组数据1，2，2，5，5，6的第60百分位数为，随机变量X的分布列为 2 m 14 0.3 0.6 0.1 （   ） A．5 B．6 C．9.8 D．10.8 2.已知离散型随机变量的分布列如下： 0 1 若，则（    ） A． B． C． D． 3.已知两个盒子中分别装有形状、大小、质量均相同的小球．其中，盒中有3个红球，1个白球；盒中有1个红球，3个白球，现从两个盒子中同时各取走一个小球，一共取三次，此时记盒中的红球个数为盒中的红球个数为，则（    ） A． B． C． D． 4.如图，一个质点在随机外力的作用下，从0出发，每次等可能地向左或向右移动一个单位，共移动3次，设质点最终所在位置的坐标为，则 ． 5.阿尔法围棋（AlphaGo）是第一个击败人类职业围棋选手的机器人，这是人工智能算法的重要突破．现某公司研发出了一款级3段围棋机器人，并开展了一项比赛，比赛规则为一人与机器人对弈三次，若获胜一次，则可以获得2千元奖金，若获胜两次，则可以获得5千元奖金，若获胜三次，则可以获得1万元奖金，若三次均未获胜，则无奖金，已知某围棋手每场比赛获胜的概率均为，记此人可获得的奖金为千元，则 ． 6.北京冬奥会过后，迎来了一股滑雪运动的热潮，某滑雪场开展滑雪促销活动．该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过免费，超过的部分每小时收费标准为40元（不足的部分按计算）．有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过离开的概率分别为，；以上且不超过离开的概率分别为，；两人滑雪时间都不会超过3h．设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量，求的分布列与均值、方差 题型03 离散型随机变量的期望性质 1.已知离散型随机变量的分布列如下，若，则（    ） 0 2 A． B．1 C． D． 2.端午节是中国四大传统节日之一，风俗习惯形式多样，内容丰富多彩．某居民小区为了让业主度过愉快的端午节，业委会组织举办了一场现场抽奖游戏，规则如下：袋中共有张质地均匀的卡片，其中张卡片图案是粽子，另外张卡片图案是龙舟，业主从该袋子中不放回地随机抽取张卡片，如果张卡片图案相同，则获得元的购物卡；如果张卡片中有张图案相同，则获得元购物卡；其他情况，则不获得任何奖励．设是业主在一次抽奖活动中获得的购物卡金额，则 ． 3.已知的分布列为： 0 1 P 设，则的值为（ ） A． B． C． D．5 4.某工厂两条生产线分别生产甲、乙两种元件，元件质量按测试指标划分为：指标大于或等于76为正品，小于76为次品.现分别从两条生产线随机抽取元件甲和元件乙各100件进行检测，检测结果统计如下： 测试指标 元件甲 12 8 40 33 7 元件乙 17 8 40 28 7 (1)试分别估计生产一件元件甲、一件元件乙为正品的概率； (2)生产一件元件甲，若是正品则盈利90元，若是次品则亏损10元；生产一件元件乙，若是正品则盈利100元，若是次品则亏损20元，则在（1）的前提下： ①求生产5件元件乙所获得的利润不少于300的概率； ②记X，Y分别为生产1000件元件甲和1000件元件乙所得的总利润，试比较和的大小.（结论不要求证明） 题型04 离散型随机变量的方差性质 1.已知随机变量的分布列为 4 5 0.4 0.6 则（    ） A．0.2 B．1.2 C．5 D．6 2.已知随机变量的分布列如下表所示： 若，且，则（   ） A． B． C． D． 3.（多选）盒中有 3 个球， 其中 1 个红球， 2 个黄球.从盒中随机取球， 每次取 1 个， 不放回， 直到取出红球为止.设此过程中取到黄球的个数为 分别为随机变量 的均值与方差，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 4.（多选）设离散型随机变量X的分布列如下表 X 0 1 2 3 4 P 0.1 0.2 m 0.2 0.1 若离散型随机变量Y满足，则（    ） A． B． C． D． 5.为弘扬中华优秀传统文化，营造良好的文化氛围，增强文化自觉和文化自信，某区组织开展了中华优秀传统文化知识竞答活动，该活动有单人赛和PK赛，每人只能参加其中的一项.据统计，中小学生参与该项知识竞答活动的人数共计4.8万，其中获奖学生情况统计如下： 奖项 组别 单人赛 PK赛获奖 一等奖 二等奖 三等奖 中学组 40 40 120 100 小学组 32 58 210 100 (1)从获奖学生中随机抽取1人，若已知抽到的学生获得一等奖，求抽到的学生来自中学组的概率； (2)从中学组和小学组获奖者中各随机抽取1人，以表示这2人中PK赛获奖的人数，求的分布列和数学期望； (3)从获奖学生中随机抽取3人，设这3人中来自中学组的人数为，来自小学组的人数为，试判断与的大小关系.（结论不要求证明） 1.（多选）设离散型随机变量X的分布列如下表； X 1 2 3 4 5 P m 0.1 0.3 n 0.3 若离散型随机变量，且，则正确的是（   ） A． B． C． D． 2.（多选）高考数学试题第二部分为多选题，共个小题，每小题有个选项，其中有个或个是正确选项，全部选对得分，部分选对得部分分，有选错的得分.若正确答案是个选项，只选对个得分，有选错的得分；若正确答案是个选项，只选对个得分，只选对个得分，有选错的得分.小明对其中的一道题完全不会，该题有两个正确选项的概率是，记为小明随机选择个选项的得分，记为小明随机选择个选项的得分，则（    ） A． B． C． D． 3.（多选）从中随机取一个数记为a，从中随机取一个数记为b，则下列说法正确的是（    ） A．事件“为偶数”的概率为 B．事件“ab为偶数”的概率为 C．设，则X的数学期望为 D．设，则在Y的所有可能的取值中最有可能取到的值是12 4.随机变量的分布列如下表所示，则 . 1 2 3 5.已知随机变量的分布列为：，若，且，则 . 6.若从4道单选题、3道多选题、2道填空题中任选两道试题作答，记选出单选题的道数为，则 ． 7.某银行对某种理财产品作统计，若投资10万元，表示该理财产品的利润（单位：万元），其分布列如下表所示，则 ． 0 2 4 0.2 0.1 0.5 0.2 8.某校举办知识竞赛，已知学生甲是否做对每个题目相互独立，做对三道题目的概率以及做对时获得相应的奖金如表所示. 题目 A 做对的概率 获得的奖金/元 20 40 80 规则如下：按照的顺序做题，只有做对当前题目才有资格做下一题. [注：甲最终获得的奖金为答对的题目相对应的奖金总和.] (1)求甲没有获得奖金的概率； (2)求甲最终获得的奖金的分布列及期望； (3)如果改变做题的顺序，最终获得的奖金期望是否相同？如果不同，你认为哪个顺序最终获得的奖金期望最大？（不需要具体计算过程，只需给出判断） 10.甲袋中装有2个红球、2个白球，乙袋中装有1个红球、3个白球.抛掷一枚质地均匀的骰子，如果点数为1或2，从甲袋中随机摸出2个球；如果点数为3，4，5，6，从乙袋中随机摸出2个球. (1)记摸出红球的个数为X，求X的分布列和期望； (2)已知摸出的2个球是1红1白，求这2个球来自乙袋的概率. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$