3.1 离散型随机变量的均值-课后达标检测-【优学精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册教用Word(北师大版)

1．已知随机变量X的分布列为，则EX＝(　　) A． B． C． D． 解析：选C．由题意得EX＝－1×＋0×＋1×＝.故选C． 2．若随机变量X的分布列为 X 0 1 2 P a b 且EX＝1，则b＝(　　) A． B．0 C． D． 解析：选A．由题意可得＋a＋b＝1，EX＝0×＋1×a＋2×b＝1，联立两式，解得a＝b＝.故选A． 3．(2024·陕西宝鸡高二期末)某人共有三发子弹，他每次射击命中目标的概率均为，击中目标后射击停止，射击次数X为随机变量，则EX＝(　　) A． B．1 C． D． 解析：选A．由题意知X＝1，2，3，P(X＝1)＝，P(X＝2)＝×＝，P(X＝3)＝××1＝.则随机变量X的分布列为 X 1 2 3 P EX＝1×＋2×＋3×＝.故选A． 4．(2024·湖南衡阳高二期中)一袋中装有编号分别为1，2，3，4的4个球，现从中随机取出2个球，用X表示取出球的最大编号，则EX＝(　　) A．2 B．3 C． D． 解析：选C．由题意得，随机变量X的所有可能取值为2，3，4.且P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝.因此随机变量X的分布列为 X 2 3 4 P 则EX＝2×＋3×＋4×＝.故选C． 5．某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为上海世博会志愿者，若用随机变量ξ表示选出的志愿者中女生的人数，则Eξ＝ (　　) A． B． C． D． 解析：选B．由题意可知，随机变量ξ的可能取值有0，1，2，且P＝＝，P＝＝，P＝＝，因此Eξ＝0×＋1×＋2×＝.故选B． 6．(多选)设p为非负实数，随机变量X的分布列为 X 0 1 2 P －p p 则下列说法正确的是(　　) A．p∈ B．EX无最大值 C．p∈ D．EX最大值为 解析：选AB．由分布列的性质可得解得0<p<，即p∈，均值EX＝0×＋1×p＋2×＝1＋p.故选AB． 7．某节日期间，某种鲜花的进价是每束2.5元，售价是每束5元，节后对没有卖出的鲜花以每束1.6元进行处理．根据前四年的销售情况预测，节日期间这种鲜花的需求量ξ(单位：束)的分布列如表所示，若进这种鲜花500束，则利润的均值是________元． ξ 200 300 400 500 P 0.20 0.35 0.30 0.15 解析：节日期间这种鲜花需求量的均值为Eξ＝200×0.20＋300×0.35＋400×0.30＋500×0.15＝340 (束).设利润为Y，则Y＝5ξ＋1.6×(500－ξ)－500×2.5＝3.4ξ－450，所以EY＝3.4Eξ－450＝3.4×340－450＝706(元). 答案：706 8．在某次篮球比赛中，运动员甲有两次定点投篮的机会，每次定点投篮投中得2分，投不中得0分．已知甲在第一次定点投篮中投中的概率为0.8，受心理素质的影响，若甲第一次投中，则第二次投中的概率将增加0.1；若甲第一次未投中，则第二次投中的概率将减少0.2.记这两次定点投篮中，甲的总得分为ξ，则P(ξ＝2)＝________，Eξ＝________． 解析：由题意可知，ξ的所有可能取值为0，2，4，其中P(ξ＝0)＝(1－0.8)×[1－(0.8－0.2)]＝0.08，P(ξ＝2)＝0.8×[1－(0.8＋0.1)]＋(1－0.8)×(0.8－0.2)＝0.2，P(ξ＝4)＝0.8×(0.8＋0.1)＝0.72，故Eξ＝0×0.08＋2×0.2＋4×0.72＝3.28. 答案：0.2　3.28 9．(2024·江苏常州北郊高级中学月考)一个口袋里装有大小相同的6个小球，其中红色、黄色、绿色的球各2个．现从中任意取出3个小球，若取到红球得2分，取到黄球得3分，取到绿球得4分，记随机变量ξ为取出的三个小球得分之和，则ξ的均值为____________． 解析：依题设，ξ的所有可能取值为7，8，9，10，11.则P＝＝，P＝＝，P＝＝，P＝＝，P＝＝，所以Eξ＝7×＋8×＋9×＋10×＋11×＝9. 答案：9 10．某高校在今年的自主招生考试中制定了如下的规则：笔试阶段，考生从6道备选试题中一次性抽取3道题，并独立完成所抽取的3道题，至少正确完成其中2道试题则可以进入面试．已知考生甲能正确完成6道试题中的4道题，另外2道题不能完成． (1)求考生甲能通过笔试进入面试的概率； (2)记所抽取的三道题中考生甲能正确完成的题数为ξ，求ξ的分布列和均值． 解：(1)考生从6道备选试题中一次性抽取3道题所包含的样本点总数为C＝20，考生甲能通过笔试进入面试所包含的样本点个数为C＋CC＝16，所以考生甲能通过笔试进入面试的概率为＝. (2)随机变量ξ的所有可能取值为1，2，3.则P＝＝，P＝＝，P＝＝，所以ξ的分布列为 ξ 1 2 3 P 故Eξ＝1×＋2×＋3×＝2. 11．(2024·安徽亳州检测)已知随机变量ξ满足P(ξ＝0)＝1－p，P(ξ＝1)＝p，且0<p<.令随机变量η＝|ξ－Eξ|，则(　　) A．Eη<Eξ B．Eη>Eξ C．Eη＝Eξ D．Eη≥Eξ 解析：选B．由题意，Eξ＝0×(1－p)＋1×p＝p，由η＝|ξ－Eξ|，当ξ＝0时，η＝p；当ξ＝1时，η＝1－p.所以P＝1－p，P＝p，Eη＝p×(1－p)＋(1－p)×p＝2p(1－p)，Eξ－Eη＝p，由0<p<，则p<0，所以Eη>Eξ.故选B． 12．(多选)将5个质地和大小均相同的小球分别装在甲、乙两个口袋中，甲口袋中装有1个黑球和1个白球，乙口袋中装有2个黑球和1个白球．采用不放回的抽取方式，先从甲口袋中每次随机抽取一个小球，当甲口袋中的1个黑球被取出后再用同一方式在乙口袋中进行抽取，直到将乙口袋中的2个黑球全部取出后停止．记总抽取次数为X，下列说法正确的是(　　) A．P(X＝3)＝ B．EX＝ C．已知从甲口袋第一次就取到了黑球，则P(X＝4)＝ D．若把这5个球放进一个口袋里去，每次随机抽取一个球，取后不放回，直到将口袋中的黑球全部取出后停止，记总抽取次数为Y，则EY<EX 解析：选AB．设从甲口袋第一次就取到了黑球为事件A，则P(A)＝，设X＝4为事件B，则P(AB)＝×＝，所以P(B|A)＝＝＝，选项C错误；X的所有可能取值为3，4，5，则P(X＝3)＝×＝，P(X＝4)＝×＋×＝，P(X＝5)＝×＝，所以EX＝3×＋4×＋5×＝，选项A，B正确；Y的所有可能取值为3，4，5，P＝××＝，P＝C××××＝，P＝C××＝，所以EY＝3×＋4×＋5×＝，EY>EX，选项D错误．故选AB． 13．(2024·广西北海期末)设口袋中有白球3个，黑球若干个，从中任取2个球，设抽到的球中白球个数为X，且EX＝，则口袋中共有黑球________个． 解析：设黑球有n个，当n＝1时，X可取1，2，则P＝＝，P＝＝，则EX＝1×＋2×＝≠，故n＝1与题意矛盾，所以n≥2，当n≥2时，X可取0，1，2，则P＝＝，P＝＝，P＝＝，则EX＝2×＋1×＋0×＝，解得n＝4，即口袋中共有黑球4个． 答案：4 14．(2024·河南焦作期末)为弘扬中国传统文化，山东电视台举行国宝知识大赛，先进行预赛，规则如下： ①有易、中、难三类题，共进行四轮比赛，每轮选手自行选择一类题，随机抽出该类题中的一个回答；②答对得分，答错不得分；③四轮答题中，每类题最多选择两次．四轮答题得分总和不低于10分进入决赛．选手甲答对各题是相互独立的，答对每类题的概率及得分如下表： 容易题 中等题 难题 答对概率 0.7 0.5 0.3 答对得分 3 4 5 (1)若甲前两轮都选择了中等题，并只答对了一个，你认为他后两轮应该怎样选择答题，并说明理由； (2)甲四轮答题中，选择了一个容易题、两个中等题、一个难题，若容易题答对，记甲预赛四轮得分总和为X，求随机变量X的均值． 解：(1)依题意，甲前两轮都选择了中等题，只答对了一个，则甲得分为4分，要进入决赛，还需要得6分，所以甲后两轮的选择有三种方案：方案一：都选择容易题，则总得分不低于10分的概率为P1＝0.7×0.7＝0.49；方案二：都选择难题，则总得分不低于10分的概率为P2＝0.3×0.3＝0.09；方案三：选择一个容易题，一个难题，则总得分不低于10分的概率为P3＝0.7×0.3＝0.21.因为P1>P3>P2，所以甲后两轮应该都选择容易题进行答题． (2)依题意，X的可能取值为3，7，8，11，12，16，则P(X＝3)＝××＝，P(X＝7)＝C×××＝，P(X＝8)＝××＝，P(X＝11)＝××＝，P(X＝12)＝C×××＝，P(X＝16)＝××＝，所以X的分布列为 X 3 7 8 11 12 16 P 所以EX＝3×＋7×＋8×＋11×＋12×＋16×＝. 15．将3个相同的红球，2个相同的白球，1个黄球随机排成一排，设3个红球中相邻的个数为ξ1(若互不相邻，则ξ1＝0；若有且仅有2个相邻，则ξ1＝2；若3个连在一起，则ξ1＝3)，2个白球中相邻的个数为ξ2(若不相邻，则ξ2＝0；若相邻，则ξ2＝2)，记ξ＝则Eξ＝________． 解析：根据题意，可得随机变量ξ1的所有可能取值为0，2，3 ，可得P(ξ1＝0)＝＝，P(ξ1＝2)＝＝，P(ξ1＝3)＝＝，则P(ξ＝0)＝P(ξ1＝ξ2＝0)＝＋＝，P(ξ＝2)＝P(ξ1＝2)＋P(ξ1＝0且ξ2＝2)＝＋＝，P(ξ＝3)＝P(ξ1＝3)＝，所以Eξ＝0×＋2×＋3×＝. 答案： 学科网（北京）股份有限公司 $