专题03 反比例函数K的几何意义与面积之间的关系（8大题型+过关训练）-2024-2025学年九年级数学下册章节同步实验班培优题型变式训练（人教版）

专题03 反比例函数K的几何意义与面积之间的关系 目录 【题型一 由反比例函数的K的几何意义求三角形的面积】 1 【题型二 由反比例函数的K的几何意义求四边形的面积】 2 【题型三 由反比例函数的K的几何意义判断面积的大小关系】 3 【题型四 由反比例函数的K的几何意义求阴影部分的图形的面积】 4 【题型五 由三角形的面积求反比例函数的比例系数】 5 【题型六 由四边形的面积求反比例函数的比例系数】 6 【题型七 由阴影部分图形的面积求反比例函数的比例系数】 7 【题型八 由面积之间关系求反比例系数】 8 【题型一 由反比例函数的K的几何意义求三角形的面积】 例题：（2023八年级下·河南驻马店·学业考试）如图，点A在反比例函数的图象上，点B在x轴上，且，则的面积是（    ） A．6 B．4 C．3 D．2 【变式训练】 1．（24-25八年级上·吉林长春·期中）如图，直线与轴平行且与反比例函数与的图象分别交于点和点，点是轴上一个动点，则的面积为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·湖南邵阳·阶段练习）如图，反比例函数的图象上有两点、，则的面积为 ． 【题型二 由反比例函数的K的几何意义求四边形的面积】 例题：（2024·云南文山·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点P在反比例函数的图象上，过点P作轴，轴，垂足分别为A、B，则矩形的面积是（   ） A．12 B．9 C．6 D．3 【变式训练】 1．（23-24八年级下·四川巴中·期末）如图，点A是反比例函数的图象上的一点，过点A作平行四边形，使B、C在x轴上，点D在y轴上，则平行四边形的面积为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 2．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，过点分别作x轴、y轴的垂线与反比例函数的图象交于A ，B两点，连接，则四边形的面积为 ．    【题型三 由反比例函数的K的几何意义判断面积的大小关系】 例题：（24-25七年级上·上海闵行·期中）如图所示，在平面直角坐标系中，点A、B、C为反比例函数上不同的三点，连接、、，过点A作轴于点D，过点B、C分别作，垂直x轴于点、，与相交于点M，记、、四边形的面积分别为、、，则（   ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·浙江金华·阶段练习）如图，点P，Q，R为反比例函数图象上从左到右的三个点，分别过这三个点作x轴，y轴的垂线，与y轴的交点分别为点C，B，A，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次记为，其中，若，则（　　） A．15 B．12 C．10 D．18 2．（23-24九年级上·湖南岳阳·期中）如图，点A、B是双曲线上的点，分别经过A、B两点向x轴、y轴作垂线段，若，则 ． 【题型四 由反比例函数的K的几何意义求阴影部分的图形的面积】 例题：（23-24八年级下·江苏南京·期末）如图，和均为正三角形，且顶点B、D均在双曲线上，与相交于点P，则图中的面积为（    ） A． B．6 C． D．5 【变式训练】 1．（23-24八年级下·河南南阳·期中）若反比例函数图象如图，则图中阴影部分面积为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 2．（2024·安徽六安·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边分别在轴、轴上，点的坐标为，双曲线分别与边交于点，则阴影部分的面积是 ． 【题型五 由三角形的面积求反比例函数的比例系数】 例题：（24-25九年级上·重庆·期中）如图，点A是反比例函数在第一象限内的图象上任意一点，过点A作轴于点B，若的面积是1，则k的值是（   ） A．1 B． C．2 D． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·安徽马鞍山·期中）如图，点在双曲线上，点在双曲线上，轴，点是轴上一点，连接、，若的面积是4，则的值（    ） A． B．7 C． D． 2．（24-25九年级上·四川成都·期中）如图，点A是反比例函数的图象上一点，轴于点B，C为y轴上一点，若的面积为3，则的值为 ．    【题型六 由四边形的面积求反比例函数的比例系数】 例题：1．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，点为反比例函数的图象上一点，过点分别向轴、轴作垂线，垂足分别为、，若矩形的面积为6，则的值为（    ） A．6 B． C．3 D． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·山东泰安·阶段练习）如图，点在的图象上，轴交反比例函数的图象于点，轴，垂足为点，连接，四边形的面积等于，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·重庆·期中）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的边在轴上，若反比例函数上经过点和线段的中点，平行四边形的面积为4，则的值为 ． 【题型七 由阴影部分图形的面积求反比例函数的比例系数】 例题：（23-24九年级上·广东深圳·期末）如图，点A是函数（）图象上一点，点B是（，）图象上一点，点C在x轴上，连结，，．若轴，，则（    ）． A．4 B．2 C．2.5 D．5 【变式训练】 1．（23-24九年级上·吉林长春·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，若将点向右平移后，其对应点恰好落在反比例函数的图象上，已知点，连接、，则图中阴影部分的面积为4则该函数的解析式中的k值是（    ） A．4 B．8 C． D． 2．（24-25九年级上·山东淄博·阶段练习）如图所示，点是反比例函数的图象上一点，过点分别向轴、轴作垂线．若，则函数表达式为 ． 【题型八 由面积之间关系求反比例系数】 例题：（23-24八年级下·山西长治·期末）如图，点A、B是反比例函数 图象上任意两点，且轴于点D，轴于点C，和 面积之和为6，则k的值为（    ） A． B． C．6 D．12 【变式训练】 1．（2023九年级下·全国·专题练习）矩形中，，，以O为原点，分别以，所在直线为x轴和y轴，建立如图所示的直角坐标系，双曲线的图象分别交，于点E，F，连接，，，，则（    ） A． B．1 C． D． 2．（24-25九年级上·山东济南·期中）如图，点P，Q，R在反比例函数的图象上，分别过这三个点作轴、轴的平行线．图中所构成的阴影部分面积从左到右依次为，，．若，，则 ． 一、单选题 1．（24-25九年级上·全国·单元测试）如图，反比例函数在第一象限，的面积是，则反比例函数中，是（   ） A． B． C．3 D． 2．（2024·山东济宁·模拟预测）如图，矩形的对角线经过坐标原点，矩形的边分别平行于坐标轴，点C在反比例函数的图象上，若点A的坐标为，则k的值为（    ） A．2 B． C．4 D． 3．（2024九年级上·全国·专题练习）下列图形中，阴影部分面积为1的有（   ） 个． 　　　　　 A．4 B．3 C．2 D．1 4．（24-25九年级上·安徽阜阳·阶段练习）如图，直线与轴平行且与反比例函数与的图象分别交于点和点，点是轴上一个动点，则的面积为（   ） A．8 B．6 C．4 D．3 5．（23-24九年级下·吉林长春·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A、C分别在y轴、x轴的正半轴上，点D在边上，且，函数的图象经过点D及矩形的对称中心M，连结、、．若的面积为2，则k的值为（    ） A．2 B．3 C． D． 二、填空题 6．（2024·湖北·模拟预测）如图，点A在双曲线上，点B在双曲线上，且轴，则的面积等于 ． 7．（23-24九年级上·广东清远·阶段练习）如图所示、点是双曲线上的三点、过这三点分别作轴的垂线，得到三个三角形，，，则它们的面积的大小关系为 ． 8．（24-25九年级上·辽宁锦州·期中）如图，点是反比列函数图象上的两点，过点A，B分别作轴于点轴于点，连接、，已知，则 ． 9．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）如图，反比例函数的图象经过平行四边形的顶点，在轴上，若点，，则实数的值为 ． 10．（2024·贵州遵义·二模）如图，点分别是反比例函数和图象上的点，轴，点P为y轴上动点，连接，若的面积为2，则k的值为 ．    三、解答题 11．（22-23八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，两个反比例函数和在第一象限内的图象依次是和，设点P在上，轴于点C，交于点A，轴于点D，交于点B，若四边形的面积为5，求k的值． 12．（22-23九年级上·广西贵港·期末）如图，点在双曲线上，点在轴的正半轴上，点在双曲线上，过点作轴，过点作轴，垂足分别为，．    (1)求阴影部分的面积； (2)若四边形是平行四边形，求的值； (3)在（2）的条件下，若，直接写出点的坐标． 13．（23-24九年级上·四川成都·阶段练习）如图，正方的边在x轴的正半轴上，点，反比例函数的图象分别交于点E，F，已知 (1)求反比例函数的解析式． (2)连接 求的面积． 14．（23-24九年级上·吉林辽源·期末）如图，已知点A在正比例函数图象上，过点A作轴于点B，四边形是正方形，点D是反比例函数图象上． (1)若点A的横坐标为，求k的值； (2)若设正方形的面积为m，试用含m的代数式表示k值． 15．（24-25九年级上·湖南邵阳·期中）如图，的顶点是双曲线与直线在第二象限的交点，轴于且，直线与双曲线的另一个交点为点． (1)求的值和的面积． (2)若在双曲线上有一点（在第二象限），使的面积等于4，请直接写出点的坐标． 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 反比例函数K的几何意义与面积之间的关系 目录 【题型一 由反比例函数的K的几何意义求三角形的面积】 1 【题型二 由反比例函数的K的几何意义求四边形的面积】 4 【题型三 由反比例函数的K的几何意义判断面积的大小关系】 6 【题型四 由反比例函数的K的几何意义求阴影部分的图形的面积】 9 【题型五 由三角形的面积求反比例函数的比例系数】 12 【题型六 由四边形的面积求反比例函数的比例系数】 15 【题型七 由阴影部分图形的面积求反比例函数的比例系数】 17 【题型八 由面积之间关系求反比例系数】 20 【题型一 由反比例函数的K的几何意义求三角形的面积】 例题：（2023八年级下·河南驻马店·学业考试）如图，点A在反比例函数的图象上，点B在x轴上，且，则的面积是（    ） A．6 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【分析】根据等腰三角形的性质和反比例函数系数的几何意义即可求得．本题考查等腰三角形的性质以及反比例函数的几何意义，理解反比例函数的几何意义是正确解答问题的关键． 【详解】解：过点作，垂足为， ， ， ， ， ， 故选：A． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·吉林长春·期中）如图，直线与轴平行且与反比例函数与的图象分别交于点和点，点是轴上一个动点，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数的几何意义，连接、，得，进而根据反比例函数的几何意义，即可求解．解题的关键是掌握反比例函数中比例系数的几何意义：过反比例函数图象上任意一点作轴、轴的垂线，所得的矩形的面积为． 【详解】解：如图所示，连接、，设交轴于点， ∵轴，且与反比例函数与的图象分别交于点和点， ∴， ∴的面积为． 故选：C． 2．（24-25九年级上·湖南邵阳·阶段练习）如图，反比例函数的图象上有两点、，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例系数的几何意义，得出是解题的关键． 根据反比例系数的几何意义，得出，然后根据求解即可． 【详解】解：反比例函数的图象上有两点、， ， ， 分别过点A、B作轴于点D，作轴于点E， ， ， 故答案为：． 【题型二 由反比例函数的K的几何意义求四边形的面积】 例题：（2024·云南文山·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点P在反比例函数的图象上，过点P作轴，轴，垂足分别为A、B，则矩形的面积是（   ） A．12 B．9 C．6 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义：从反比例函数图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为．因为过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积S是个定值，即，据此解答即可． 【详解】解：∵点P在反比例函数的图象上，过点P作轴，轴， ∴矩形的面积． 故选：C． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·四川巴中·期末）如图，点A是反比例函数的图象上的一点，过点A作平行四边形，使B、C在x轴上，点D在y轴上，则平行四边形的面积为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义：从反比例函数图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为．作于H，根据平行四边形的性质得，则，再根据反比例函数系数k的几何意义得到，所以有． 【详解】解：作于H，如图， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵点A是反比例函数的图象上的一点， ∴， ∴． 故选：B． 2．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，过点分别作x轴、y轴的垂线与反比例函数的图象交于A ，B两点，连接，则四边形的面积为 ．    【答案】8 【分析】本题考查的是反比例函数系数的几何意义，反比例函数中的几何意义：图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积的关系即．根据反比例函数中的几何意义分别求出的面积和的面积，根据坐标特征求出四边形的面积，结合图形计算即可． 【详解】如图，∵ 反比例函数的图象过点A ， B，轴， 轴，    ∴． ∵ ， ∴， ∴． 故答案为：8． 【题型三 由反比例函数的K的几何意义判断面积的大小关系】 例题：（24-25七年级上·上海闵行·期中）如图所示，在平面直角坐标系中，点A、B、C为反比例函数上不同的三点，连接、、，过点A作轴于点D，过点B、C分别作，垂直x轴于点、，与相交于点M，记、、四边形的面积分别为、、，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的几何问题，掌握反比例函数的性质是解题的关键． 根据反比例函数系数k的几何意义即可得到结论． 【详解】∵点A、B、C为反比例函数y＝（）上不同的三点，轴，过点B、C分别作，垂直x轴于点E、F ∴，， ∴ ∴ 故答案为：B． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·浙江金华·阶段练习）如图，点P，Q，R为反比例函数图象上从左到右的三个点，分别过这三个点作x轴，y轴的垂线，与y轴的交点分别为点C，B，A，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次记为，其中，若，则（　　） A．15 B．12 C．10 D．18 【答案】A 【分析】此题考查了反比例函数的几何意义，设反比例函数为，设，得到，，，求出，得到，求出，得到，，列得，得到，进而求出，即可得到． 【详解】解：设反比例函数为, ∴， ∵，， ∴设， ∴， ∴，，， ∴，， ∴ ∴， ∴，， ∴， 得 ∴ ∵ ∴． 故选A． 2．（23-24九年级上·湖南岳阳·期中）如图，点A、B是双曲线上的点，分别经过A、B两点向x轴、y轴作垂线段，若，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查的是反比例函数系数k的几何意义，欲求，只要求出过A、B两点向x轴、y轴作垂线段求出与坐标轴所形成的矩形的面积即可，结合反比例函数系数k的几何意义即可求出，熟知在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值是解答此题的关键． 【详解】解：点A、B是双曲线上的点，分别经过A、B两点向x轴、y轴作垂线段， 则根据反比例函数的图象的性质得： ， ， 故答案为：4． 【题型四 由反比例函数的K的几何意义求阴影部分的图形的面积】 例题：（23-24八年级下·江苏南京·期末）如图，和均为正三角形，且顶点B、D均在双曲线上，与相交于点P，则图中的面积为（    ） A． B．6 C． D．5 【答案】B 【分析】本题考查了等边三角形的性质及反比例函数系数k的几何意义等知识，难度适中．通过平行线的性质利用面积法找出面积相等的三角形是关键．根据等边三角形的性质可得，从而得到，进而得到，过点B作于点E，则，由反比例函数系数k的几何意义，可得，即可求解． 【详解】解：∵和均为正三角形， ∴， ∴， ∴， 过点B作于点E，则， ∵点B在反比例函数的图象上， ∴， ∴． 故选B． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·河南南阳·期中）若反比例函数图象如图，则图中阴影部分面积为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】本题考查值的几何意义，如图，连接，得到阴影部分的面积等于的面积，根据值的几何意义，即可得出结果． 【详解】解：如图，连接， 由图可知轴， ∴阴影部分的面积等于的面积， ∵点在反比例函数图象上， ∴阴影部分的面积等于的面积， 故选C． 2．（2024·安徽六安·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边分别在轴、轴上，点的坐标为，双曲线分别与边交于点，则阴影部分的面积是 ． 【答案】7 【分析】本题考查反比例函数的几何意义，解题的关键是正确理解的几何意义，本题属于中等题型．先 出，再求出阴影部分的面积． 【详解】解：矩形中，， 点A与点P的横坐标相同，点B与点P的纵坐标相同， 将代入得：，将代入得：， ， ， ． 故答案为：7． 【题型五 由三角形的面积求反比例函数的比例系数】 例题：（24-25九年级上·重庆·期中）如图，点A是反比例函数在第一象限内的图象上任意一点，过点A作轴于点B，若的面积是1，则k的值是（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】根据反比例函数系数的几何意义进行解答即可．本题考查反比例函数系数的几何意义，掌握反比例函数系数的几何意义是正确解答的关键． 【详解】解：∵过点A作轴于点B， 的面积是1， ∴， ∴， ∵点A是反比例函数在第一象限内的图象上任意一点， ∴， 故选：C． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·安徽马鞍山·期中）如图，点在双曲线上，点在双曲线上，轴，点是轴上一点，连接、，若的面积是4，则的值（    ） A． B．7 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义，反比例函数的图象，连接，设与轴交点为，得到，再利用反比例函数系数的几何意义，得到，，然后根据列方程求出的值，再结合函数图象即可得到答案，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，设与轴交点为， ∵轴， ∴轴，， ∵点在双曲线上，点在双曲线上， ∴，， ∴， 解得， ∵双曲线分布在二、四象限， ∴， ∴， 故选：． 2．（24-25九年级上·四川成都·期中）如图，点A是反比例函数的图象上一点，轴于点B，C为y轴上一点，若的面积为3，则的值为 ．    【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的比例系数的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向轴和轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值．连接，如图，利用三角形面积公式得到，再根据反比例函数的比例系数的几何意义得到，然后去绝对值即可得到满足条件的的值． 【详解】解：连接，如图，   轴， ∴， ， 而， ， ∵由图像可知， ． 故答案为：． 【题型六 由四边形的面积求反比例函数的比例系数】 例题：1．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，点为反比例函数的图象上一点，过点分别向轴、轴作垂线，垂足分别为、，若矩形的面积为6，则的值为（    ） A．6 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了反比例函数的几何意义，读懂图形，理解点在第二象限是解答关键．先利用矩形的面积公式得到，结合点在第二象限来求解． 【详解】解：矩形的面积为6， ． 过点分别向轴、轴作垂线，垂足分别为、，点在第二象限， ． ． 故选：B． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·山东泰安·阶段练习）如图，点在的图象上，轴交反比例函数的图象于点，轴，垂足为点，连接，四边形的面积等于，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数的几何意义，设与轴的交点为，由点在上， 则四边形的面积为，的面积为，再通过反比例函数的几何意义即可求解，正确理解反比例函数的几何意义是解题的关键． 【详解】解：如图，设与轴的交点为， ∵点在上， ∴四边形的面积为， ∵四边形的面积为， ∴的面积为， ∴， 故选：． 2．（24-25九年级上·重庆·期中）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的边在轴上，若反比例函数上经过点和线段的中点，平行四边形的面积为4，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了反比例函数比例系数的几何意义，平行四边形的性质．过作轴于，作轴于，如图，设的坐标为，由平行四边形的面积为4，得到，得到，根据点是线段的中点，求得，，再把，代入计算即可． 【详解】解：过作轴于，作轴于，如图， 设的坐标为，则， 平行四边形的面积为4， ，， ∴，， 点是线段的中点， ∴， 反比例函数经过点和线段的中点， ， ， ， 故答案为：． 【题型七 由阴影部分图形的面积求反比例函数的比例系数】 例题：（23-24九年级上·广东深圳·期末）如图，点A是函数（）图象上一点，点B是（，）图象上一点，点C在x轴上，连结，，．若轴，，则（    ）． A．4 B．2 C．2.5 D．5 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数的几何意义，读懂题意，数形结合是解决问题的关键． 连接，如图所示，得到，再结合反比例函数的几何意义即可得到，解方程即可得到答案． 【详解】解：连接，如图所示： 轴， ， ， ，解得， 故选：D． 【变式训练】 1．（23-24九年级上·吉林长春·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，若将点向右平移后，其对应点恰好落在反比例函数的图象上，已知点，连接、，则图中阴影部分的面积为4则该函数的解析式中的k值是（    ） A．4 B．8 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是平移的性质，反比例函数图象的性质.如图，过作于，由将点向右平移后，其对应点恰好落在反比例函数的图象上，可得，从而可得答案． 【详解】解：如图，过作于， ∵将点向右平移后，其对应点恰好落在反比例函数的图象上， ∴ ∴， 故选：B. 2．（24-25九年级上·山东淄博·阶段练习）如图所示，点是反比例函数的图象上一点，过点分别向轴、轴作垂线．若，则函数表达式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义的应用．根据反比例函数的几何意义解答即可． 【详解】解：与坐标轴围成的矩形部分面积为3， 由反比例函数的几何意义得，， ， 图象位于第二、四象限， ． 函数表达式为． 故答案为：． 【题型八 由面积之间关系求反比例系数】 例题：（23-24八年级下·山西长治·期末）如图，点A、B是反比例函数 图象上任意两点，且轴于点D，轴于点C，和 面积之和为6，则k的值为（    ） A． B． C．6 D．12 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数系数k的几何意义，用含k的式子表示出和 面积之和，即可求解． 【详解】解：点A、B是反比例函数图象上任意两点， 设，， 轴于点D，轴于点C， ，，，， 和 面积之和为6， ， ， 故选A． 【变式训练】 1．（2023九年级下·全国·专题练习）矩形中，，，以O为原点，分别以，所在直线为x轴和y轴，建立如图所示的直角坐标系，双曲线的图象分别交，于点E，F，连接，，，，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的性质，反比例函数中的面积问题，割补法表示面积；由三角形面积得，割补法表示面积得，即可求解；能通过两种方法表示面积是解题的关键. 【详解】解：∵矩形中，，， ，，， ∵双曲线()的图象分别交，于点E，F， ，， ， 根据图示： , 又， , 整理得：， 解得：，（不合题意舍去）， ； 故选：A． 2．（24-25九年级上·山东济南·期中）如图，点P，Q，R在反比例函数的图象上，分别过这三个点作轴、轴的平行线．图中所构成的阴影部分面积从左到右依次为，，．若，，则 ． 【答案】30 【分析】本题考查反比例函数系数k的几何意义．根据以及反比例函数系数k的几何意义得到，，，列方程即可得到结论． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：30． 一、单选题 1．（24-25九年级上·全国·单元测试）如图，反比例函数在第一象限，的面积是，则反比例函数中，是（   ） A． B． C．3 D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数中与几何图形面积的计算，根据题意，，由此即可求解． 【详解】解：根据反比例函数图象与几何图形的面积的关系可得，，且反比例函数图象在第一象限，即， ∴， 解得，， 故选：C ． 2．（2024·山东济宁·模拟预测）如图，矩形的对角线经过坐标原点，矩形的边分别平行于坐标轴，点C在反比例函数的图象上，若点A的坐标为，则k的值为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了矩形的判定和性质，反比例函数比例系数的几何意义．设分别于x轴交于点E，G，与y轴交于点F，H，可得边形，均是矩形，从而得到，进而得到，再由反比例函数比例系数的几何意义，即可求解． 【详解】解：如图，设分别于x轴交于点E，G，与y轴交于点F，H， ∵四边形是矩形，矩形的边分别平行于坐标轴， ∴，， ∴四边形是矩形， 同理四边形均是矩形， ∴， ∴， ∵点C在反比例函数的图象上，点A的坐标为， ∴， 解得：． 故选：B 3．（2024九年级上·全国·专题练习）下列图形中，阴影部分面积为1的有（   ） 个． 　　　　　 A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数比例系数的几何意义，一般的，从反比例函数（k为常数，）图象上任一点P，向x轴和y轴作垂线，以点P及点P的两个垂足和坐标原点为顶点的矩形的面积等于常数，以点P及点P的一个垂足和坐标原点为顶点的三角形的面积等于．据此逐项分析即可． 【详解】解：左起第一个图．阴影部分面积为 此选项符合题意； 第二个图．阴影部分的面积为 此选项符合题意； 第三个图．阴影部分的面积为 此选项不符合题意； 第四个图．阴影部分的面积为 ，此选项符合题意； 所以正确的个数共有3个． 故选：B． 4．（24-25九年级上·安徽阜阳·阶段练习）如图，直线与轴平行且与反比例函数与的图象分别交于点和点，点是轴上一个动点，则的面积为（   ） A．8 B．6 C．4 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，连接，得出，进而根据反比例函数的几何意义，即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵轴， ∴， 故选：C． 5．（23-24九年级下·吉林长春·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A、C分别在y轴、x轴的正半轴上，点D在边上，且，函数的图象经过点D及矩形的对称中心M，连结、、．若的面积为2，则k的值为（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查反比例函数和矩形的性质，连接，根据题意得点在一条直线上，则，那么，，根据线段的比例可得，设点，则，结合三角形面积即可求得答案． 【详解】解：矩形的对称中心是， 连接，则点在一条直线上， 则， ∵的面积为2， ∴， ， ， ， 设点，则， ∴， ． 故选：D． 二、填空题 6．（2024·湖北·模拟预测）如图，点A在双曲线上，点B在双曲线上，且轴，则的面积等于 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了反比例函数中的几何意义，理解的几何意义是解题的关键． 延长交轴于，连接、，可求，，即可求解． 【详解】解：如图，延长交轴于，连接、， 轴， ， ， ， 故答案：． 7．（23-24九年级上·广东清远·阶段练习）如图所示、点是双曲线上的三点、过这三点分别作轴的垂线，得到三个三角形，，，则它们的面积的大小关系为 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数系数k的几何意义．过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于，而围成的三角形的面积为． 由于是同一双曲线的点，则围成的三角形虽然形状不同，但是面积均为． 【详解】设双曲线的解析式为, 则，，， ∴． 故答案为：． 8．（24-25九年级上·辽宁锦州·期中）如图，点是反比列函数图象上的两点，过点A，B分别作轴于点轴于点，连接、，已知，则 ． 【答案】21 【分析】本题主要考查反比例函数与几何的综合，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键；由题意可设，则有，然后根据三角形的面积可进行求解． 【详解】解：由题意可设，则有， ∵，， ∴，即， ∴； 故答案为21． 9．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）如图，反比例函数的图象经过平行四边形的顶点，在轴上，若点，，则实数的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数，根据，的纵坐标相同以及点在反比例函数上得到的坐标，进而用代数式表示的长度，然后根据列出一元一次方程求解即可． 【详解】四边形是平行四边形， ,的纵坐标相同， ， 的纵坐标是， 点在反比例函数图象上， 将代入函数表达式中，得到， ， ， ，的纵坐标是， ， 即， 解得． 故答案为：． 10．（2024·贵州遵义·二模）如图，点分别是反比例函数和图象上的点，轴，点P为y轴上动点，连接，若的面积为2，则k的值为 ．    【答案】7 【分析】本题考查了反比例函数值的几何意义，熟练掌握反比例函数的几何意义是关键． 延长交轴于点，连接、，根据值的几何意义求出面积即可计算出值． 【详解】解：延长交轴于点，连接、，   点在反比例函数的图象上， ， 轴， ， ， 点在反比例函数上， ． 故答案为：7． 三、解答题 11．（22-23八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，两个反比例函数和在第一象限内的图象依次是和，设点P在上，轴于点C，交于点A，轴于点D，交于点B，若四边形的面积为5，求k的值． 【答案】8 【分析】本题主要考查了反比例函数中k的几何意义，根据反比例函数系数k的几何意义得到，然后利用四边形的面积进行计算，熟练掌握图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即是解决此题的关键． 【详解】∵轴，轴，两个函数图象都在第一象限， ∴， ∴四边形的面积． 解得． 12．（22-23九年级上·广西贵港·期末）如图，点在双曲线上，点在轴的正半轴上，点在双曲线上，过点作轴，过点作轴，垂足分别为，．    (1)求阴影部分的面积； (2)若四边形是平行四边形，求的值； (3)在（2）的条件下，若，直接写出点的坐标． 【答案】(1)5 (2) (3)点 【分析】本题是反比例函数综合题，考查了反比例函数的性质，平行四边形的性质，掌握反比例函数的性质是解题的关键． （1）由反比例函数的性质可求和的面积，即可求解； （2）由平行四边形的性质可求点，点的横坐标互为相反数，可求，的长，即可求解； （3）先求出点，点坐标，由中点坐标公式可求点坐标，由平行四边形的性质可求解． 【详解】（1）解：由题意得，，， 阴影部分的面积； （2）解：如图所示，连接交于点，   四边形是平行四边形， ，即点H为的中点， ， ，， ； （3）解：，， ∴， 在中，当时， ，， ， 点， ， 四边形是平行四边形， ， ， 点． 13．（23-24九年级上·四川成都·阶段练习）如图，正方的边在x轴的正半轴上，点，反比例函数的图象分别交于点E，F，已知 (1)求反比例函数的解析式． (2)连接 求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】 题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数系数k的几何意义，正方形的性质，求得点的坐标是解题的关键． （1）根据正方形的性质得到，，而，则，可得到E点坐标为，从而确定； （2）首先求得F的坐标，然后根据，利用梯形的面积公式即可求得． 【详解】（1）解：∵正方的边在x轴的正半轴上，点， ∴，， ∵ ∴， ∴E点坐标为， ∵的图象经过点， ∴ ∴反比例函数的解析式为； （2）解：连接，作于P， ∵， 把代入，求得， ∴ ∵， ∴． 14．（23-24九年级上·吉林辽源·期末）如图，已知点A在正比例函数图象上，过点A作轴于点B，四边形是正方形，点D是反比例函数图象上． (1)若点A的横坐标为，求k的值； (2)若设正方形的面积为m，试用含m的代数式表示k值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了反比例函数和一次函数图象上点的坐标特征，利用正方形的边长相等来表示各个点坐标是解题的关键； （1）先求A的横坐标，就可以得到D的坐标，即可得出结论； （2）由正方形的面积为m，得出边长，可表示出D和A的纵坐标，进而求出D的坐标，代入反比例函数即可． 【详解】（1）点A的横坐标为，在正比例函数图象上， 当时，， A的坐标为：， 点A作轴于点B，四边形是正方形， ， ， D的坐标为：， 点D是反比例函数图象上 ， （2）正方形的面积为m， ， 点D和A得纵坐标为， A的坐标为：， ， D的坐标为：， 代入得： 15．（24-25九年级上·湖南邵阳·期中）如图，的顶点是双曲线与直线在第二象限的交点，轴于且，直线与双曲线的另一个交点为点． (1)求的值和的面积． (2)若在双曲线上有一点（在第二象限），使的面积等于4，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)；4 (2)点坐标为或 【分析】（1）由结合反比例函数图象在第二、四象限，得出，联立反比例函数和一次函数求出点、的坐标分别是，，令直线与轴的交点，求出点的坐标，再结合计算即可得解； （2）分两种情况：当点在点的左侧时，作轴于；当点在的右侧时，作轴于，轴于；分别求解即可． 【详解】（1）解：∵， ， 而反比例函数图象在第二、四象限，即， ， 反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为， 根据题意得：， 解得或， 点、的坐标分别是，． 如图：令直线与轴的交点， 对于，令，解得， 则直线与轴的交点的坐标为， ； （2）解：如图，当点在点的左侧时，作轴于，设点坐标为， ，，而， ， ， ， ， 解得（舍去），， 当时，， 点坐标为． 如图，当点在的右侧时，作轴于，轴于，设点坐标为， ，，而， ， ∴， ， ， 解得，（舍去）， 当时，， ∴点坐标为， 综上所述，点坐标为或． 【点睛】本题考查饿了反比例函数与一次函数的交点问题、反比例函数的的几何意义，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 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