精品解析：江苏省盐城市东台市第一中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题

2024~2025学年度第一学期期中考试 高二数学试题 考试时间120分钟，总分150分 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的方程是，则直线的纵截距是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，令代入计算，即可得到结果. 【详解】因为直线的方程是，令，则， 所以直线的纵截距是. 故选：D 2. 直线，若，则实数的值为（ ） A. 0 B. 3 C. 0或 D. 0或3 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线垂直的充要条件列方程求解即可. 【详解】因为，， 所以，即，解得或. 故选：C. 3. 若方程表示的曲线为焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可得，解之即可得解. 【详解】解：因为方程表示的曲线为焦点在轴上的椭圆， 所以，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：C. 4. 已知直线l：y＝k(x＋)和圆C：，若直线l与圆C相切，则k＝（ ） A. 0 B. C. 或0 D. 或0 【答案】D 【解析】 【分析】 根据直线与圆相切的条件建立方程，可得选项． 【详解】因为直线l与圆C相切，所以圆心C到直线l的距离d＝＝1，解得k＝0或k＝.故选：D. 5. 设点，，若直线与线段有交点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】因为直线过定点,直线与线段有交点,转化为过定点的直线与线段有公共点,画出图像,结合图像,即可求得答案. 【详解】解： 直线与线段有交点，即直线与线段有交点， 对于直线，令，则，则直线恒过点， 根据题意，作出如下图像： , 根据两点求斜率公式可得：直线的斜率为， , 根据两点求斜率公式可得：直线的斜率为， 直线的斜率为，若直线与线段有交点，则， 故选：A. 6. 已知双曲线经过点，且与椭圆有相同的焦点，则双曲线的标准方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据椭圆方程可求出焦点，将代入双曲线，结合，解方程即可求解. 【详解】椭圆焦点为， 双曲线焦点为，且， 将代入双曲线， 得， 又， 解得，， 故双曲线的方程为， 故选：D. 7. 设是抛物线上一点，若点A到抛物线的焦点距离为3，则抛物线的准线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合抛物线的定义求得，由此求得抛物线的准线方程. 【详解】抛物线的准线方程为， 因点在抛物线上，∴， 由A到抛物线的焦点距离为3得.解得， 所以抛物线的准线方程为. 故选：C 8. 设椭圆的左、右焦点分别为，其焦距为，点在椭圆的外部，点是椭圆上的动点，且恒成立，则椭圆离心率的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由点在椭圆外部得一不等关系，变形后得离心率的一个范围，恒成立，利用椭圆定义变形后，结合平面上两点间距离的性质得一不等关系，从而以得的一个范围，两者再结合椭圆的性质可得结论． 【详解】∵点在椭圆的外部,则，可化为， ∴，即． 由椭圆定义得 ， , ∵恒成立， ∴， 解得，即． 所以椭圆离心率的取值范围是． 故选：D． 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知是椭圆：上一点，，是其左右焦点，则下列选项中正确的是（ ） A. 椭圆的焦距为2 B. 椭圆的离心率 C. D. 的面积的最大值是4 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据椭圆的性质同、定义计算出焦距、离心率、焦点三角形面积并判断各选项． 【详解】由椭圆方程得，，所以， 焦点为，A错；离心率为，B正确；，C正确；当短轴端点时，的面积的最大，最大值为，D正确． 故选：BCD． 10. 已知直线与圆，若点为直线l上的一个动点，下列说法正确的是（ ） A. 直线l与圆相交 B. 若点Q为圆上的动点，则的取值范围为 C. 与直线l平行且截圆的弦长为2的直线为或 D. 圆C上存在两个点到直线的距离为 【答案】BD 【解析】 【分析】根据圆心到直线的距离即可求解ABD，由平行的斜率关系，结合弦长公式即可求解C. 【详解】对于A:圆心到直线的距离为，故直线与圆相离，A错误， 对于B，圆上的点到直线的最小距离为，故的取值范围为，B正确， 对于C，设与平行的直线为， 由于圆心到直线的距离为，所以， 故直线为或，故C错误， 对于D，由于圆上的点到直线的最小距离为，最大距离为， 而，故圆C上存在两个点到直线的距离为，D正确， 故选：BD 11. 已知直线过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点，过两点分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为，则下列结论正确的是（ ） A. 抛物线的方程为 B. 线段的长度为 C. D. 线段的中点到轴的距离为 【答案】AC 【解析】 【分析】求出抛物线焦点坐标得，即可判断A；联立方程求出坐标得，判断B；确定坐标计算，判断C；求出线段的中点坐标，即可判断D. 【详解】由题意，不妨设点A在B点上方，直线与x轴交点， 又经过的焦点，可得，即抛物线方程为，A正确． 由，可得，解得或， 可得交点分别为，所以或4，B错误． 由上，若，可知， 可得，则，即，C正确． 由上，线段的中点为，则线段的中点到轴的距离为，D错误. 故选：AC 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知圆：，圆：，圆与圆的位置关系是____________. 【答案】外切 【解析】 【分析】求出两圆的圆心和半径，根据圆心距等于两半径之和得到答案. 【详解】圆：的圆心为，半径为2， 圆：变形为， 圆心为，半径为3， 故， 故圆与圆相外切. 故答案为：外切 13. 若与平行，则两直线之间的距离为______. 【答案】 【解析】 【分析】先根据直线与平行求出参数，再由两平行直线间的距离公式可得答案. 【详解】∵直线与平行，∴，解得， ∴直线，直线， ∴直线与之间的距离， 故答案为：. 14. 已知双曲线）的左､右焦点分别是是双曲线右支上的两点，.记的周长分别为，若，则双曲线的右顶点到直线的距离为___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，结合双曲线的定义爹 【详解】解：根据双曲线的定义，. 所以，故双曲线右顶点， 因为， 所以在上，在上，即直线方程为：， 所以双曲线的右顶点到直线的距离为 故答案为： 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15. 已知直线过点，且其倾斜角是直线的倾斜角的 （1）求直线的方程； （2）若直线与直线平行，且点到直线的距离是，求直线的方程． 【答案】（1）；（2）或． 【解析】 【分析】（1）先求得直线的倾斜角，由此求得直线的倾斜角和斜率，进而求得直线的方程； （2）设出直线的方程，根据点到直线的距离列方程，由此求解出直线的方程． 【详解】解（1）直线的倾斜角为， ∴直线的倾斜角为，斜率为， 又直线过点， ∴直线的方程为，即； （2）设直线的方程为，则点到直线的距离 ， 解得或 ∴直线的方程为或 16. 已知中心在原点的双曲线的两焦点之间的距离为，离心率为，直线经过双曲线在轴上的右焦点，且与双曲线相交于两点． （1）求双曲线标准方程； （2）若直线与该双曲线的渐近线垂直，求线段的长度． 【答案】（1） （2）3 【解析】 【分析】（1）由离心率得出，进而由题意解出的值，确定焦点所在位置写出双曲线方程即可； （2）直曲联立解出一元二次方程，再利用弦长公式解出弦长即可. 【小问1详解】 因为直线经过双曲线的右焦点，所以该双曲线的焦点在轴上．因为双曲线的两焦点之间的距离为，所以. 又因为离心率为，所以，解得，可得， 故双曲线的标准方程为. 【小问2详解】 由（1）可知，该双曲线的渐近线方程为，所以直线的斜率为，由于双曲线和两条直线都关于轴对称，所以两条直线与双曲线的相交弦相等．又因为直线斜率的绝对值小于渐近线斜率的绝对值，所以直线与双曲线交于左、右两支，因此不妨设直线的斜率为，则其方程为， 设， 联立消去得， 则有， . 17. 已知抛物线上任意一点到直线的距离比到焦点的距离大1. （1）求C的标准方程； （2）若倾斜角为30°的直线l经过C的焦点并与C相交于A，B两点，求以AB为直径的圆的标准方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意可得点P到直线的距离等于到焦点的距离，然后利用抛物线的定义进行求解即可； （2）将直线的方程与抛物线的方程联立，利用韦达定理结合抛物线的焦点弦长公式和中点坐标公式可求得结果. 【小问1详解】 由抛物线可得， 故点P到直线的距离比到焦点的距离大1，即点P到直线的距离等于到焦点的距离， 所以，即，所以C的标准方程 【小问2详解】 抛物线的焦点为，设点、， 直线的方程为，联立，可得， ，所以， 所以，， 所以线段的中点为， 所以以AB为直径的圆的标准方程为 18. 如图，圆内有一点，为过点且倾斜角为的弦. （1）当时，求的长； （2）是否存在弦被点平分？若存在，写出直线的方程；若不存在，请说明理由. （3）是过点的另一条弦，当与始终保持垂直时，求的最大值. 【答案】（1）； （2）存在，； （3）22. 【解析】 分析】（1）应用点斜式写出直线方程，再应用点线距离和弦长公式求相交弦长； （2）假设存在，当弦被点平分时，点是的中点，根据已知及点斜式写出符合要求的直线方程即可； （3）记点到的距离分别为，有，根据弦长公式有，应用基本不等式求目标式的最大值. 【小问1详解】 当时，直线为，故， 由圆的圆心为原点且半径为，则圆心到距离为， 所以. 【小问2详解】 假设存在，当弦被点平分时，点是中点， 连接，则，故，又，即， 所以直线为，则. 【小问3详解】 记点到的距离分别为，有， 又， ， 当且仅当时等号成立， 综上，的最大值为. 19. 已知椭圆C：的左、右顶点分别为A，B，O为坐标原点，直线l：与C的两个交点和O，B构成一个面积为的菱形. （1）求C的方程； （2）圆E过O，B，交l于点M，N，直线AM，AN分别交C于另一点P，Q. ①求的值； ②证明：直线PQ过定点. 【答案】（1） （2）①；②证明见解析 【解析】 【分析】（1）由题意可知点坐标得，设为直线l与C的一个交点，由菱形面积求出点坐标代入椭圆方程求出即可得解； （2）①设，，由题意可得，再由斜率公式即可求解； ②设直线PQ的方程为，联立椭圆方程，根据根与系数的关系求出直线直线PQ的方程为，即可求出直线过定点. 【小问1详解】 因为直线l：与C的两个交点和O，B构成的四边形是菱形， 所以l垂直平分OB，所以，. 设为直线l与C的一个交点，则菱形的面积为. 因为菱形的面积为，所以，解得，即， 将点代入，得，又因为，所以. 故C的方程为. 【小问2详解】 ①由题意，得OB为圆E的一条弦，且直线垂直平分该弦， 故直线经过圆心E，所以MN为圆E的直径，因此，即. 设，，则. 注意到，，则. 又因为，，所以. ②易知直线PQ不可能平行于x轴，则设直线PQ的方程为，，. 由，得. ，（*） ，.① 因为，，所以， 即， 即. 将①代入上式得， 化简得，解得，满足（*）， 所以直线PQ的方程为， 故直线PQ过定点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024~2025学年度第一学期期中考试 高二数学试题 考试时间120分钟，总分150分 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线方程是，则直线的纵截距是（ ） A. B. C. D. 2. 直线，若，则实数的值为（ ） A. 0 B. 3 C. 0或 D. 0或3 3. 若方程表示的曲线为焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 4. 已知直线l：y＝k(x＋)和圆C：，若直线l与圆C相切，则k＝（ ） A. 0 B. C. 或0 D. 或0 5. 设点，，若直线与线段有交点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知双曲线经过点，且与椭圆有相同的焦点，则双曲线的标准方程为（ ） A. B. C. D. 7. 设是抛物线上一点，若点A到抛物线的焦点距离为3，则抛物线的准线方程是（ ） A. B. C. D. 8. 设椭圆的左、右焦点分别为，其焦距为，点在椭圆的外部，点是椭圆上的动点，且恒成立，则椭圆离心率的取值范围是（　　） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知是椭圆：上一点，，是其左右焦点，则下列选项中正确的是（ ） A. 椭圆的焦距为2 B. 椭圆的离心率 C. D. 面积的最大值是4 10. 已知直线与圆，若点为直线l上的一个动点，下列说法正确的是（ ） A. 直线l与圆相交 B. 若点Q为圆上的动点，则的取值范围为 C. 与直线l平行且截圆弦长为2的直线为或 D. 圆C上存在两个点到直线的距离为 11. 已知直线过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点，过两点分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为，则下列结论正确的是（ ） A. 抛物线的方程为 B. 线段的长度为 C. D. 线段中点到轴的距离为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知圆：，圆：，圆与圆的位置关系是____________. 13. 若与平行，则两直线之间的距离为______. 14. 已知双曲线）的左､右焦点分别是是双曲线右支上的两点，.记的周长分别为，若，则双曲线的右顶点到直线的距离为___________. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15. 已知直线过点，且其倾斜角是直线的倾斜角的 （1）求直线的方程； （2）若直线与直线平行，且点到直线的距离是，求直线的方程． 16. 已知中心在原点的双曲线的两焦点之间的距离为，离心率为，直线经过双曲线在轴上的右焦点，且与双曲线相交于两点． （1）求双曲线的标准方程； （2）若直线与该双曲线的渐近线垂直，求线段的长度． 17. 已知抛物线上任意一点到直线的距离比到焦点的距离大1. （1）求C的标准方程； （2）若倾斜角为30°的直线l经过C的焦点并与C相交于A，B两点，求以AB为直径的圆的标准方程. 18. 如图，圆内有一点，为过点且倾斜角为的弦. （1）当时，求的长； （2）是否存在弦被点平分？若存在，写出直线的方程；若不存在，请说明理由. （3）是过点的另一条弦，当与始终保持垂直时，求的最大值. 19. 已知椭圆C：的左、右顶点分别为A，B，O为坐标原点，直线l：与C的两个交点和O，B构成一个面积为的菱形. （1）求C的方程； （2）圆E过O，B，交l于点M，N，直线AM，AN分别交C于另一点P，Q. ①求的值； ②证明：直线PQ过定点 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$