精品解析：江西省抚州市南城县2024-2025学年八年级上学期期中数学试卷

南城县2024-2025学年上学期期中考试 八年级数学试卷 (本试题满分120分，考试时间120分钟) 命题∶ 敖洪光 审题：潘彬 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．每小题只有一个正确选项）   1. 在平面直角坐标系中，点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．根据各象限内点的坐标特征解答． 【详解】解：点的横坐标小于0，纵坐标大于0， 点在第二象限． 故选：B． 2. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】最简二次根式必须满足两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 【详解】解：A．，故不是最简二次根式； B．，故不是最简二次根式； C．，故不是最简二次根式； D．是最简二次根式； 故选D． 【点睛】本题考查了最简二次根式的知识，熟练掌握最简二次根式的定义是解答本题的关键． 3. 下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（ ） A. 3，4，4 B. 3，4，5 C. 3，4，6 D. 3，4，8 【答案】B 【解析】 【分析】利用勾股定理的逆定理：如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形．最长边所对的角为直角．由此判定即可． 【详解】解：A、∵，∴三条线段不能组成直角三角形，错误； B、∵，∴三条线段能组成直角三角形，正确； C、∵，∴三条线段不能组成直角三角形，错误； D、∵，∴∴三条线段不能组成直角三角形，错误； 故选B． 【点睛】此题考查了勾股定理逆定理的运用，判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可，注意数据的计算． 4. 一次函数的图像不经过的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的图像与性质，理解并掌握一次函数的性质是解题关键．根据题意可知，，可知该一次函数的图像经过第一、二、四象限，不经过第三象限，即可获得答案． 【详解】解：对于一次函数， ∵，， ∴该一次函数的图像经过第一、二、四象限，不经过第三象限． 故选：C． 5. 如图，在数轴上的A，B两点表示的数分别为和5.1，则A，B两点之间表示整数的点共有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了无理数的估算、实数与数轴，掌握无理数的估算方法是解题关键．先得出， 然后再根据实数与数轴可得出答案． 【详解】解：∵ ∴， ∴和5.1之间有整数，2，3，4，5一共4个， 故选：C． 6. 如图，在平面直角坐标系中，轴，轴，点D、C、P、H在x轴上，，，，，，把一条长为2024个单位长度且没有弹性的细线（粗细忽略不计）的一端固定在点A处，并按A﹣B﹣C﹣D﹣E﹣F﹣G﹣H﹣P﹣A…的规律紧绕在图形“凸”的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形，以及坐标找规律，先根据题意得到图形“凸”各边的长，进而得到周长，再利用2024整除周长找出细线另一端所在位置，即可解题． 【详解】轴，轴，且，，，，， ，，，，， 绕“凸”一圈，线长个单位长度， ，， 细线另一端在点， 细线另一端所在位置的点的坐标是， 故选：B． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．） 7. 的立方根是__________． 【答案】-2 【解析】 【分析】根据立方根的定义进行求解即可得． 【详解】解：∵（﹣2）3=﹣8， ∴﹣8的立方根是﹣2， 故答案为﹣2． 【点睛】本题考查了立方根的定义，熟练掌握立方根的定义是解题的关键． 8. 点在一次函数的图象上，则a的值为_______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查求一次函数自变量的值，将代入即可求解． 【详解】解：点在一次函数的图象上， ， 解得， 故答案为：1． 9. 点与点关于x轴对称，则___________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了轴对称的性质．根据关于x轴对称对称的两个点横坐标相同，纵坐标互为相反数得出m，n的值即可求解． 【详解】解：∵点与点关于x轴对称， ∴，， ∴， 故答案为：5． 10. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以点为圆心，长为半径画弧，交轴的正半轴于点，则点的坐标是__________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形，勾股定理求出的长，由作图可知，结合点的位置即可得出结论． 【详解】解：∵点，， ∴， 由作图可知：， ∵点在轴的正半轴上， ∴； 故答案为：． 11. 如图，有两棵树，一棵高12米，另一棵高5米，两树相距24米．一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，小鸟至少飞行_____________米． 【答案】25 【解析】 【分析】本题考查正确运用勾股定理．根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出即可． 【详解】解：如图，设大树高为米，小树高为米， 连接，平移到，则米，，两树相距米， ∴（米）， 在中，（米）， 故小鸟至少飞行米． 故答案为：25． 12. 如图，在长方形ABCD中，AB＝2，BC＝4，点P在AD上，若△PBC为直角三角形，则CP的长为_____． 【答案】2或2或2 【解析】 【分析】分情况讨论：①当∠PBC＝90°时，P与A重合，由勾股定理得CP＝；②当∠BPC＝90°时，由勾股定理得22+AP2+22+（4﹣AP）2＝16，求出AP＝2，DP＝2，由勾股定理得出CP＝；③当∠BCP＝90°时，P与D重合，CP＝CD＝2． 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD＝2，AD＝BC＝4，∠A＝∠ABC＝∠BCD＝∠D＝90°， 分情况讨论：①当∠PBC＝90°时，P与A重合， 由勾股定理得：CP＝； ②当∠BPC＝90°时， 由勾股定理得：BP2＝AB2+AP2＝22+AP2，CP2＝CD2+DP2＝22+（4﹣AP）2，BC2＝BP2+CP2＝42， ∴22+AP2+22+（4﹣AP）2＝16， 解得：AP＝2， ∴DP＝2， ∴CP＝； ③当∠BCP＝90°时，P与D重合，CP＝CD＝2； 综上所述，若△PBC为直角三角形，则CP的长为或或2； 故答案为：2或2或2． 【点睛】本题考查了矩形的性质、勾股定理、解一元二次方程以及分类讨论等知识；熟练掌握勾股定理和分类讨论是解题的关键． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则，是解题的关键： （1）先进行乘法运算，化简二次根式，再合并即可； （2）先利用乘法公式进行计算，再合并即可． 【小问1详解】 解：原式 ， ； 【小问2详解】 原式 ． 14. 求满足下列各式的未知数x∶ （1）； （2）． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】此题考查了利用平方根和立方根解方程． （1）根据平方根的意义得到，即可得到方程的解； （2）利用立方根的意义得到，即可得到方程的解． 【小问1详解】 解：， ∴； 【小问2详解】 解：， ∴， 解得． 15. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，以格点为顶点按下列要求画图． （1）在图①中画一条线段，使； （2）在图②中画一个直角，使三边长都为无理数，且各边都不相等． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查网格作图，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解答的关键． （1）根据网格特点和勾股定理画图即可； （2）根据网格特点，先利用勾股定理求解，然后根据勾股定理的逆定理判断得到直角三角形即可． 【小问1详解】 解：如图1，，则线段即为所求作； 【小问2详解】 解：如图2，，，， ∵， ∴是直角三角形，即即为所求作． 如图3，同理，即为所求作． 16. 在计算时， 小明的解题过程如下： 解：原式① ② ③ ④ （1）小明的解法有错，请你指出小明从第______步开始出错的； （2）请你给出正确的解题过程． 【答案】（1）③ （2） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的运算法则，解题的关键是熟练运用二次根式的运算法则． （1）指出二次根式运算错误的步骤即可； （2）根据二次根式的运算法则计算即可． 【小问1详解】 小明从第③步开始出错的； 故答案为：③； 【小问2详解】 原式 ． 17. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【解析】 【分析】此题考查了整式的混合运算-化简求值，二次根式的乘法．原式中括号第一项利用平方差公式化简，合并后利用多项式除以单项式法则计算得到最简结果，将x与y的值代入计算即可求出值． 【详解】解： ， 当，时，原式． 四、简答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 已知函数． （1）若该函数是正比例函数，则m的值为__________； （2）若这个函数图象过点，求这个函数的表达式，并判断点是否在该函数图象上？ 【答案】（1）2 （2），不在该函数图象上 【解析】 【分析】本题主要考查了正比例函数的定义，待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握待定系数法，是解题的关键． （1）根据正比例函数定义可得，求出m的值即可； （2）利用待定系数法求出函数解析式即可． 【小问1详解】 解：∵函数是正比例函数， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：将点代入函数解析式，得：， 解得：， 因此函数解析式为：． 把代入得， ∴不在该函数图象上． 19. 小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为15米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米（小明的身高忽略不计）． （1）求风筝的垂直高度； （2）在小明收风筝线的过程中，若风筝沿方向下降的高度与未收回的风筝线的长度相等，求风筝下降的高度为多少米． 【答案】（1）20米 （2）米 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的实际应用，解题的关键是掌握勾股定理“直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方”． （1）直接利用勾股定理求解； （2）在上取点D，使得，设米，则（米），利用勾股定理解即可． 【小问1详解】 解：在Rt中，由勾股定理可得： （米）， 答：风筝的垂直高度为20米； 【小问2详解】 解：如图，在上取点D，使得， 设米，则（米）， 在中，由勾股定理可得：， 即， 解得：， 答：风筝下降的高度为米． 20. 已知：，，． （1）在坐标系中描出各点，画出． （2）的面积是 ； （3）设点P在y轴上，且与的面积相等，求点P的坐标． 【答案】（1）见解答 （2）4 （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查的是点的坐标与图形的性质，明确的面积四边形的面积的面积的面积的面积是解题的关键． （1）确定出点、、的位置，连接、、即可； （2）过点向、轴作垂线，垂足为、，的面积四边形的面积的面积的面积的面积； （3）当点在轴上时，的面积，解得：．所以点的坐标为或． 【小问1详解】 解：如图所示： 【小问2详解】 解：过点向、轴作垂线，垂足为、． 四边形的面积，的面积，的面积，的面积． 的面积四边形的面积的面积的面积的面积 ． 故答案为：4； 【小问3详解】 点在轴上， 的面积， 即， 解得：． 所以点的坐标为或． 五、解答题 (本大题共2小题，每小题9分， 共18分) 21. 如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点在第一象限，点，且实数a，b满足 （1）求点A，B的坐标； （2）若点以2个单位长度/秒的速度从点出发，沿轴的负半轴运动，当运动时间为1秒钟时，求：三角形的面积． 【答案】（1）， （2）6 【解析】 【分析】本题考查了坐标图图形、算术平方根的非负性、根据题意列关系式等知识，熟知相关知识，求出a、b的值是解题关键． （1）根据得到，，即可得到点A，B的坐标为，； （2）过点作轴于点，得到，当运动时间为1秒时，，根据题意得，根据三角形面积公式即可求解． 【小问1详解】 解：∵a，b满足，，． ∴， ∴，， ∴，； 【小问2详解】 解：过点作轴于点，则 当运动时间为1秒时， ∵沿着x轴负半轴运动 ∴P点坐标为 ∴ ∴三角形的面积． 22. 如图，反映了某品牌汽车一天的销售收入与销售量之间的函数关系，反映了该品牌汽车一天的销售成本与销售量之间的函数关系．请根据图象，回答下列问题： （1）分别求出所对应的函数表达式； （2）当销售量为15辆时，该品牌汽车所获利润为多少？（利润=销售收入一销售成本） 【答案】（1）所对应的函数表达式为，所对应的函数表达式为； （2）5.5万元． 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象的运用，待定系数法求一次函数的解析式的运用，由函数值求自变量的值的运用，解答时求出函数的解析式是关键． （1）设与x的关系式为， 与x的关系式为，由待定系数法求出其解即可； （2）设销售利润为w，根据利润=销售收入-销售成本就可以得出解析式，当时代入解析式期初其解即可． 【小问1详解】 设所对应的函数表达式为． 把代入，得， 解得k=1， ∴所对应的函数表达式为． 设所对应的函数表达式为， 把代入，得， 解得， ∴所对应的函数表达式为． 【小问2详解】 设销售利润为w． 由题意，得． 当时，（万元）． 答：当销售量为15辆时，该品牌汽车所获利润为5.5万元． 六、简答题（本大题共12分） 23. 探究式学习是新课程提倡的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究． 【初步感知】 (1)如图1，在三角形纸片中，，，将沿折叠，使点A与点B重合，折痕和交于点E，，求的长； 【深入探究】 (2)如图2，将长方形纸片沿着对角线折叠，使点C落在处，交于E，若，，求的长(注：长方形的对边平行且相等)； 【拓展延伸】 (3)如图3，在长方形纸片中，，，点E为射线上一个动点，把沿直线折叠，当点A的对应点F刚好落在线段的垂直平分线上时，求的长(注：长方形的对边平行且相等)． 【答案】(1；(2；(3)的长为或10 【解析】 【分析】（1）求出，再由折叠的性质得，然后由勾股定理求出的长即可； （2）由长方形的性质得，，，再证，得，设，则，然后在中，由勾股定理得出方程，解方程即可； （3）分两种情况，①当点在长方形内部时，由折叠的性质得，，再由勾股定理得，设，则，然后在中，由勾股定理得出方程，解方程即可； ②当点在长方形外部时，折叠的性质得，，同①得，设，则，然后在中，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【详解】解：（1），， ， 由折叠的性质得：， 在中，由勾股定理得：， 即的长为； （2）四边形是长方形， ，，， ， 由折叠的性质得：， ， ， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 即的长为； （3）解：四边形是长方形， ，， 设线段的垂直平分线交于点，交于点， 则， 分两种情况： ①如图，当点在长方形内部时， 点在线段的垂直平分线上， ，， 由折叠的性质得：，， 在中，由勾股定理得：， ， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 即的长为； ②如图，当点在长方形外部时， 由折叠的性质得：，， 同①得：， ， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 即的长为； 综上所述，点刚好落在线段的垂直平分线上时，的长为或． 【点评】本题是四边形综合题，考查了长方形的性质、折叠的性质、等腰三角形的判定、勾股定理、线段垂直平分线的性质以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握长方形的性质、折叠的性质和勾股定理是解题的关键，属于中考常考题型． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南城县2024-2025学年上学期期中考试 八年级数学试卷 (本试题满分120分，考试时间120分钟) 命题∶ 敖洪光 审题：潘彬 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．每小题只有一个正确选项）   1. 在平面直角坐标系中，点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 3. 下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（ ） A. 3，4，4 B. 3，4，5 C. 3，4，6 D. 3，4，8 4. 一次函数的图像不经过的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 5. 如图，在数轴上的A，B两点表示的数分别为和5.1，则A，B两点之间表示整数的点共有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 6. 如图，在平面直角坐标系中，轴，轴，点D、C、P、H在x轴上，，，，，，把一条长为2024个单位长度且没有弹性的细线（粗细忽略不计）的一端固定在点A处，并按A﹣B﹣C﹣D﹣E﹣F﹣G﹣H﹣P﹣A…的规律紧绕在图形“凸”的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是（　　） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．） 7. 的立方根是__________． 8. 点在一次函数的图象上，则a的值为_______． 9. 点与点关于x轴对称，则___________． 10. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以点为圆心，长为半径画弧，交轴的正半轴于点，则点的坐标是__________________． 11. 如图，有两棵树，一棵高12米，另一棵高5米，两树相距24米．一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，小鸟至少飞行_____________米． 12. 如图，在长方形ABCD中，AB＝2，BC＝4，点P在AD上，若△PBC为直角三角形，则CP的长为_____． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 计算： （1）； （2）． 14. 求满足下列各式的未知数x∶ （1）； （2）． 15. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，以格点为顶点按下列要求画图． （1）在图①中画一条线段，使； （2）在图②中画一个直角，使三边长都为无理数，且各边都不相等． 16. 在计算时， 小明的解题过程如下： 解：原式① ② ③ ④ （1）小明的解法有错，请你指出小明从第______步开始出错的； （2）请你给出正确的解题过程． 17. 先化简，再求值：，其中，． 四、简答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 已知函数． （1）若该函数是正比例函数，则m的值为__________； （2）若这个函数图象过点，求这个函数的表达式，并判断点是否在该函数图象上？ 19. 小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为15米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米（小明的身高忽略不计）． （1）求风筝的垂直高度； （2）在小明收风筝线的过程中，若风筝沿方向下降的高度与未收回的风筝线的长度相等，求风筝下降的高度为多少米． 20. 已知：，，． （1）在坐标系中描出各点，画出． （2）的面积是 ； （3）设点P在y轴上，且与的面积相等，求点P的坐标． 五、解答题 (本大题共2小题，每小题9分， 共18分) 21. 如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点在第一象限，点，且实数a，b满足 （1）求点A，B的坐标； （2）若点以2个单位长度/秒的速度从点出发，沿轴的负半轴运动，当运动时间为1秒钟时，求：三角形的面积． 22. 如图，反映了某品牌汽车一天的销售收入与销售量之间的函数关系，反映了该品牌汽车一天的销售成本与销售量之间的函数关系．请根据图象，回答下列问题： （1）分别求出所对应的函数表达式； （2）当销售量为15辆时，该品牌汽车所获利润为多少？（利润=销售收入一销售成本） 六、简答题（本大题共12分） 23. 探究式学习是新课程提倡的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究． 【初步感知】 (1)如图1，在三角形纸片中，，，将沿折叠，使点A与点B重合，折痕和交于点E，，求的长； 【深入探究】 (2)如图2，将长方形纸片沿着对角线折叠，使点C落在处，交于E，若，，求的长(注：长方形的对边平行且相等)； 【拓展延伸】 (3)如图3，在长方形纸片中，，，点E为射线上一个动点，把沿直线折叠，当点A的对应点F刚好落在线段的垂直平分线上时，求的长(注：长方形的对边平行且相等)． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $