专题09 一元一次方程的实际应用（八大题型突破练）压轴题常考题型突破分类专练-2024-2025学年人教版（2024）数学七年级上册

专题09 一元一次方程的实际应用(八大题型突破练) 【压轴题常考题型突破练】 【题型梳理】 【题型1】 配套问题(课本教材例1类型) 【题型2】 工程问题(课本教材例2类型) 【题型3】 销售盈亏问题(课本教材探究1类型) 【题型4】 比赛积分问题(课本教材探究2类型) 【题型5】 费用比较问题(课本教材探究3类型) 【题型6】 阶梯计价问题(课本教材数学活动1类型) 【题型7】 行程问题(课本教材习题类型) 【题型8】 和差倍分比问题(课本教材习题类型) 【题型1】 配套问题 【例1】某车间为提高生产总量,在原有16名工人的基础上,新调入若干名工人,使得调整后车间的总人数是调入工人人数的3倍多4人. (1)求调入多少名工人; (2)在(1)的条件下,每名工人每天可以生产240个螺栓或400个螺母,1个螺栓需要2个螺母,为使每天生产的螺栓和螺母刚好配套,应该安排生产螺栓和螺母的工人各多少名? 【变式1-1】某工厂接受了 20 天内生产1200 台GH 型电子产品的总任务。已知每台GH 型产品由 4 个G 型装 置和3 个 H 型装置配套组成。工厂现有80 名工人,每个工人每天能加工6 个G 型装置或3 个 H 型装置。工厂将所有工人分成两组同时开始加工,每组分别加工一种装置,并要求每天加工的G 、H 型装置数量正好组成GH 型产品. (1)按照这样的生产方式,工厂每天能配套组成多少套GH 型电子产品? (2)工厂补充 40名新工人,这些新工人只能独立进行G 型装置的加工,且每人每天只能加工 4个G型装置,则补充新工人后每天能配套生产多少产品?补充新工人后20天内能完成总任务吗? 【变式1-2】列方程解应用题 劳动课上王老师带领七(1)班45名学生制作圆柱形小鼓,其中男生人数比女生人数少7人,并且每名学生每小时可制作2个鼓身或剪6个鼓面. (1)男生有_人,女生有_人. (2)①老师组织全班学生制作小鼓,要求一个鼓身配两个鼓面,为了使每小时制作的鼓身与剪出的鼓面刚好配套,应该分配多少名学生制作鼓身?多少名学生剪鼓面? ②若想每小时制作78个小鼓,且制作的鼓身与剪出的鼓面刚好配套,应再加入多少名学生?请你思考此问题,直接写出结果和新加入人员具体的分配方案. 【变式1-3】在社会与实践的课堂上,刘老师组织七(1)班的全体学生用硬纸板制作圆柱体(图1).七(1)班共有学生50人,其中男生人数比女生人数少2人,并且每名学生每小时剪20个圆柱侧面(图2)或剪10个圆柱底面(图3). (1)七(1)班有男生、女生各多少人? (2)原计划男生负责剪圆柱侧面,女生负责剪圆柱底面,要求一个圆柱侧面配两个圆柱底面,那么每小时剪出的筒身与筒底能配套吗?如果不配套,那么男生应向女生支援多少人时,才能使每小时内剪出的侧面与底面配套. 【变式1-4】某家具厂专业生产学生座椅,其中每把学生座椅由4条椅腿、4根撑杆、2个扶手、1个椅面和1个靠背组成.根据实际生产能力,每个工人每天能够生产椅腿20条,或撑杆40根,或扶手30个,或椅面30个,或靠背30个. (1)若安排35名工人专门生产椅腿和椅面,那么应该安排多少人生产椅腿,才能使每天生产出的椅腿和椅面正好配套? (2)若安排全厂91名工人生产这种学生座椅,那么应该安排多少人生产椅腿,才能使每天生产出的椅腿、撑杆、扶手、椅面和靠背正好配套? 【变式1-5】某工厂车间有60个工人生产A零件和B零件,每人每天可生产A零件15个或B零件20个(每人每天只能生产一种零件),一个A零件配两个B零件,且每天生产的A零件和B零件恰好配套.工厂将零件批发给商场时,每个A零件可获利10元,每个B零件可获利5元. (1)求该工厂有多少工人生产A零件? (2)因市场需求,该工厂每天要多生产出一部分A零件供商场零售使用,现从生产B零件的工人中调出多少名工人生产A零件,才能使每日生产的零件总获利比调动前多600元? 【题型2】 工程问题 【例2】某学校举行物理知识竞赛,学校打印室有A、B两台一体机可以印刷试卷.如果单独用A机器需要45分钟印刷完,如果单独用B机器需要30分钟印刷完,为了保密起见不能过早印刷试卷,为保障学生按时开始竞赛,学校决定在考试前用两台机器同时印刷. (1)两台机器同时印刷,共需多少分钟才能印完? (2)若两台机器同时印刷,10分钟后,B机器出了故障,暂时不能印刷,此时离发卷还有13分钟(老师领试卷的时间忽略不计).如果由A机器单独完成剩下的印刷任务,会不会影响按时发卷考试? (3)在(2)的问题中,B机器经过紧急抢修,2分钟后修好恢复正常使用,则学校能否按时发卷考试? 【变式2-1】一个水池有甲、乙、丙三个水管,单开甲管6小时可以将空池注满;单开乙管4小时可以将空池注满;单开丙管12小时可以把满池的水放完;现在水池里有的水,开放乙、丙两管2小时后,三管齐开,求再过多少小时可以把水池注满? 【变式2-2】风华中学利用暑假期间对教室内墙粉刷,现有甲,乙两个工程队都想承包这项工程,已知甲工程队每天能粉刷2个教室,乙工程队每天能粉刷3个教室,若单独粉刷所有教室,甲工程队比乙工程队要多用20天,在粉刷过程中,该学校要付甲工程队每天费用1600元,付乙工程队每天费用2600元. (1)求风华中学一共有多少个教室? (2)若先由甲,乙两个工程队合作一段时间后,甲工程队停工了,乙工程队单独完成剩余部分.且乙工程队的全部工作时间是甲工程队的工作时间的2倍还多16天,求乙工程队共粉刷多少天? 【变式2-3】甲、乙两工程队承接某段隧道挖掘工程,已知甲工程队每天的挖掘长度是乙工程队每天挖掘长度的1.5倍,若甲、乙两工程队一起挖掘200米长度的隧道时,共用时间4天. (1)求甲、乙两个工程队每天分别可挖掘隧道多少米? (2)已知该段隧道挖掘工程为600米,甲工程队每天的挖掘费用为6万元,乙工程队每天的挖掘费用为3万元.若安排甲工程队先单独挖掘若干天后,剩下的工程再由乙工程队单独完成,总费用刚好102万元,求甲工程队应先单独挖掘多少天? 【变式2-4】哈佳高铁建设工程中,有一路段由甲、乙两个工程队负责完成.甲工程队单独完成此项工程需天,比乙工程队单独完成此项工程多用天,若甲先施工天,再由甲、乙合作完成剩余工程. (1)甲、乙还需要合作多少天完成? (2)如果甲工程队每天需工程费元,乙工程队每天需工程费元,若甲队先单独工作若干天再由乙工程队完成剩余的任务,支付工程队总费用元,求甲队工作的天数. 【变式2-5】为打造安全环保的某河流公园,某市设立若干河流排污治理点(每个治理点需安装相同长度的排污治理管道).一天,甲队3名工人去完成5个治理点的管道铺设,但还有60米管道没有完成;同一天,乙队4名工人完成5个治理点的管道铺设后,仍多铺设了40米管道.已知每名甲队工人比每名乙队工人每天多铺设20米管道. (1)求每个排污治理点需铺设的管道长度; (2)已知每名甲队工人每天需支付费用500元,每名乙队工人每天需支付400元,该市某处共设立27个排污治理点,现有甲队3名工人,乙队4名工人来安装管道,方案一:全部由甲队安装;方案二:全部由乙队安装;(不到一天需按一天费用算).请通过计算说明选择哪种方案可使总费用最少? 【题型3】 销售盈亏问题 【例3】华联超市第一次用7000元购进甲、乙两种商品,其中甲商品的件数是乙商品件数的2倍,甲、乙两种商品的进价和售价如表:(注:获利售价进价) 甲 乙 进价/(元/件) 20 30 售价/(元/件) 25 40 (1)该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部卖完后一共可获得多少利润? (2)该超市第二次以第一次的进价又购进甲、乙两种商品,其中甲商品的件数不变,乙商品的件数是第一次的3倍.甲商品按原价销售,乙商品打折销售,第二次两种商品都售完以后获得的总利润比第一次获得的总利润多800元,求第二次乙商品是按原价打几折销售? 【变式3-1】某服装商店因换季准备将某种服装打折销售,每件服装如果按标价的五折出售将亏20元,而按标价的八折出售将赚40元.求: (1)每件服装的标价是多少? (2)为保证不亏本,最多能打几折? 【变式3-2】某商场用36000元购进了A、B两种型号的家用净水器共160台,这两种净水器的进价、标价如下表所示: A型 B型 进价(元/台) 150 350 标价(元/台) 400 600 (1)这两种净水器各购进多少台? (2)若A型净水器按标价的8折出售,B型净水器按标价的9折出售,将这批净水器全部出售完后,商场共获利多少元? 【变式3-3】红光水果加工厂收购了29吨雪梨.经市场预测,若直接销售,每吨可获利0.05万元;若经过加工包装后销售,每吨可获利0.4万元;若制成雪梨罐头出售,每吨可获利0.6万元.该工厂的加工能力是:每天可包装5吨或制成罐头3吨,受人员限制,同一天内两种加工方式不能同时进行,受气温限制,这些雪梨必须在7天内全部销售或加工完毕,为此,工厂研制了二种方案: 方案一:尽可能多的做成罐头,余下的直接销售; 方案二:部分制成罐头,其余进行加工包装,并恰好7天完成. (1)请比较说明哪种方案可使工厂所获利润最多? (2)水果加工厂欲将(1)问中获利最多方案制成的所有雪梨罐头由加工厂运到市场售卖,已知有甲、乙两家运输公司都可以承担此次运输,要收取的费用如下表: 运输公司 运输单价(元/吨・千米) 每吨装卸费(元) 甲 5 50 乙 6 30 经水果加工厂计算发现乙运输公司总费用比甲运输公司总费用多243元,求水果加工厂到市场的距离. 【变式3-4】平价商场经销甲、乙两种商品,甲种商品每件进价40元,售价60元;乙种商品每件进价50元,利润率为. 打折前一次性购物总金额 优惠措施 不超过380元 不优惠 超过380元,但不超过500元 售价打九折 超过500元 售价打八折 (1)若该商场同时购进甲、乙两种商品共60件,恰好总进价为2600元,求购进甲乙两种商品各多少件? (2)在“元旦”期间,该商场只对甲乙两种商品进行如表的优惠促销活动:按上述优惠条件,若小聪第一天只购买乙种商品,实际付款320元,第二天只购买甲种商品实际付款432元,求小聪这两天在该商场购买甲、乙两种商品一共多少件? 【变式3-5】某商场用元同时购进两种新型节能日光灯共盏,型日光灯每盏进价为元,型日光灯每盏进价为元. (1)求两种新型节能日光灯各购进多少盏? (2)由于型日光灯的需求量增大,商场为了节省采购成本决定直接找厂家再购进一些型日光灯.已知型日光灯的出厂价为每盏元,厂家给出了如下优惠措施: 出厂总金额 返现金 不超过元 元 超过元,但不超过元 返现元 超过元 返现元 已知该商场第一次在厂家加购型日光灯支付元,第二次在厂家加购型日光灯支付元,若将两次购买改由一次性购买,则一次性购买时支付的总金额比两次分开购买时支付的总金额少多少元? 【题型4】 比赛积分问题 【例4】下表为某篮球比赛过程中部分球队的积分榜(篮球比赛没有平局). 球队 比赛场次 胜场 负场 积分 (1)观察积分榜,求出球队胜一场、负一场积分分别是多少? (2)根据积分规则,请求出E队已经进行了的11场比赛中胜、负各多少场? (3)若此次篮球比赛共18轮(每个球队各有18场比赛),D队希望最终积分达到32分,你认为有可能实现吗?请说明理由. 【变式4-1】某地举办了一次足球热身赛,其计分规则及奖励方案(每人)如下表: 胜一场 平一场 负一场 积分 3 1 0 奖金(元/人) 1500 700 0 当比赛进行到每队各比赛12场时,A队共积20分,并且没有负一场. (1)试判断A队胜、平各几场? (2)若每比赛一场每名队员均得出场费500元,A队的某一名队员参加了全部比赛,那么他所得奖金与出场费的和是多少? 【变式4-2】某校组织学生参加2022年冬奥知识问答,问答活动共设有20道选择题,每题必答,每答对一道题加分,答错一道题减分,下表中记录了三名学生的得分情况: 参赛学生 答对题数 答错题数 得分 A 20 0 100 B 18 2 86 C 15 5 65 请结合表中所给数据,回答下列问题: (1)本次知识问答中,每答对一题加_分,每答错一题减_分; (2)若小明同学答对16题,请计算小明的得分; (3)若小刚同学参加了本次知识问答,下列四个选项中,哪一个可能是小刚的得分_(填写选项); A.75; B.63; C.56; D.44 并请你计算他答对了几道题,写出解答过程,(列一元一次方程解决问题) 【变式4-3】某次篮球联赛部分球队积分表 队名 比赛场次 胜场 平场 负场 积分 (1)由表中数据可知,胜一场积_分,平一场积_分,负一场积_分; (2)直接写出_,_,_; (3)设一个队胜场,负场是平场的倍,则平_场(用含的式子表示); (4)队平了场,该队队长声称他们队的积分是分,你认为可能吗?为什么? 【变式4-4】阳光体育季,赛场展风采.七年级组织迎新拔河比赛,每班代表队都需比赛10场,如图是此次拔河比赛积分榜的部分信息,请解决下列问题: (1)由积分榜可知,胜一场得_分,负一场得_分; (2)已知积分榜中4班的积分是24分,求4班胜了几场比赛. 【变式4-5】2022年11月21日,万众瞩目的卡塔尔世界杯足球赛开幕,为了迎接世界杯足球赛的到来,足球协会举办了一次足球赛,其中得分规则及奖励方案如下表: 胜一场 平一场 负一场 积分 3 1 0 人均奖金 1500元 700元 0 当比赛进行到每队比赛完12场时,A队共积分20分,并且没有负一场. (1)试判断A队胜,平各几场? (2)每赛一场,A队每名队员均得出场费500元,那么比赛完12场后,A队的某一名队员所得奖金与出场费累计为多少元? 【题型5】 费用比较问题 【例5】甲地欲往外地运输一批水果,有火车和汽车两种运输方式,运输过程中的损耗均为元/时,其它主要参考数据如下: 运输工具 途中平均速度(千米/时) 运费(元/千米) 装卸费(元) 火车 汽车 (1)如果运往乙地,汽车的费用比火车的费用多元,求甲、乙两地间的路程;(费用包含损耗、运费和装卸费) (2)如果运往丙地,已知甲、丙两地间的路程为千米,通过计算选择哪种运输方式比较合算. 【变式5-1】七年级某班因参加校园运动会为学生购置运动装.经了解,某服装店男款运动装每套100元,女款运动装每套120元,原价购买50套运动装共需5520元.为吸引顾客,该店推出两种优惠方案: 方案一:全部运动装八五折销售; 方案二:一次性购买40套运动装(男女运动装均可)及以上免费赠送10套男款运动装,其余的按原价销售. (1)该班购买的男款运动装和女款运动装各多少套? (2)请通过计算说明该班购买50套运动装应选择哪种优惠方案更合算? 【变式5-2】根据以下素材,探索完成任务. 素材1: 某家具厂生产一种课桌和椅子,课桌每张定价200元,椅子每把定价80元,厂方在开展促销活动期间,向客户提供两种优惠方案: 方案一:每买一张课桌就赠送一把椅子; 方案二:课桌和椅子都按定价的付款. 素材2: 学校计划添置 100张课桌和x把椅子. 问题解决 【任务1】(1)请用含x的代数式分别表示出两种方案的费用. 【任务2】(2)若,分别计算两种方案的费用. 【任务3】在(2)的条件下,如果两种方案可以同时使用,请帮助学校设计一种最省钱的方案. 【变式5-3】当今社会,随着生活水平的提高,人们越来越重视自己的身心健康,开始注重锻炼身体.某公司计划购买50个羽毛球拍和个羽毛球,某体育用品商店每个羽毛球拍定价80元,每个羽毛球定价5元,经协商拟定了如下两种优惠方案(两种优惠方案不可混用): 方案一:每买一个羽毛球拍就赠送2个羽毛球; 方案二:羽毛球拍和羽毛球都按定价的付款. (1)若,请计算哪种方案划算; (2)若,请用含的代数式分别把两种方案的费用表示出来; (3)请你帮助公司写出取值不同时的所有划算的购买方案. 【变式5-4】元旦节期间,长沙市各大商场纷纷推出优惠政策吸引顾客,下面是德思勤和奥特莱斯各自推出的优惠办法: 德思勤:1.若一次购物不超过500元(不含500),不予优惠.2.若一次购物满500元(含500),但不超过1000元(不含1000),所有商品享受9折优惠.3.若一次购物超过1000元(含1000),超过部分享受6折,其余的一律9折; 奥特莱斯:1、若一次购物不超过500元,不予优惠.2、若一次购物满500元,则所有商品享受8折.问: (1)小雄哥想到德思勤买件标价为1800元的衣服,他应该付多少钱? (2)请问当我们购买多少钱的商品时,在两个商场可以享受相同的优惠? (3)小雄哥元旦节打算消费3000元购买自己想要的商品,已知这些商品德思勤和奥特莱斯都有,没有说一定去哪个商场,只是倘若去两个商场各买一部分的话,去德思勤购买商品的原价是奥特菜斯购买商品原价的2倍.请帮小雄哥预算一下,他能买到原价为多少的商品,并指出哪种方案最香. 【变式5-5】学校10月19日举办体育文化艺术节活动,准备单色圆珠笔、双色圆珠笔、三色圆珠笔三种圆珠笔共1000支作奖励(每种圆珠笔都要有),其中双色圆珠笔的单价比单色圆珠笔的单价贵0.2元,买5支双色圆珠笔和8支单色圆珠笔共需要6.2元. (1)双色圆珠笔和单色圆珠笔的单价分别是多少元? (2)若某超市的三色圆珠笔根据球珠直径有两个级别,学校只能从中选择一个级别.价格如下表: 三色圆珠笔级别 球珠直径 球珠直径 单价 1元 1.5元 现在学校用880元去购买这三种圆珠笔,且单色圆珠笔和三色圆珠笔的数量是相同的,应该选样哪种级别的三色圆珠笔比较合适?购买方案是什么?请说明理由. (3)若要求购买三色圆珠笔的数量是单色圆珠笔的一半,单色圆珠笔和双色圆珠笔单价不变,其中三色圆珠笔单价为a元,在总数量不变的前提之下,无论这三种圆珠笔的数量如何分配,总费用始终不变.求此时a的值和总费用. 【题型6】 阶梯计价问题 【例6】为鼓励人们节约用水,合肥市居民使用自来水实行阶梯式计量水价,按如下标准缴费(水费按月缴纳): 用户月用水量 单价 不超过的部分 a元 超过但不超过的部分 元 超过的部分 2a元 (1)当时,芳芳家月份用水量为,则该月需交水费_元;月份芳芳家交了水费元,则月份用水量为_(直接写出答案); (2)当时,亮亮家一个月用了的水,求亮亮家这个月应缴纳的水费; (3)设某用户月用水量为(),该用户这个月应缴纳水费多少元?(用含,的式子表示) 【变式6-1】某市对居民生活用电实行阶梯电价,具体收费标准如下表: 档次 月用电量 电价(元/度) 第1档 不超过240度的部分 第2档 超过240度但不超过400度的部分 第3档 超过400度的部分 已知10月份该市居民老李家用电200度,交电费120元;9月份老李家交电费183元. (1)表中的值为_; (2)求老李家9月份的用电量; (3)若8月份老李家用电的平均电价为元/度,求老李家8月份的用电量. 【变式6-2】某城市自来水收费实行阶梯水价,收费标准如下表所示: 月用水量 不超过12吨 的部分 超过12吨但 不超过18吨的部分 超过18吨 的部分 收费标准(元/吨) 2.00 2.50 3.00 (1)若小明家3月份用水量是15吨,则需交水费 元; (2)若小明家3月份交水费60元,求小强家3月份用水量是多少吨? 【变式6-3】某市电力部门对居民用电按月收费,标准如下:①用电不超过100度的,每度收费0.5元;②用电超过100度的,超过部分每度收费0.8元. (1)小明家2月份用电86度,应缴费_元;3月份用电140度,应缴费_元; (2)小明家4月份电费为90元,则他家4月份用了多少度电? (3)小明家5月份和6月份共用电260度,共缴费154元,并且6月份的用电量超过5月份的用电量,那么,他家5、6月份各用了多少度电? 【变式6-4】某市居民年用天然气阶梯价格方案如下: 第一档 第二档 第三档 年用天然气量为及以下,价格为2元/. 年用天然气量超出不足时,超出的部分价格为元/. 年用天然气量超出的部分价格为3元/. 依此方案请回答: (1)若小明家2023年使用天然气则需缴纳天然气费为_元; (2)某户2022年和2023年共用天然气,两年共缴纳天然气费用1780元,且2023年用气量比2022年多,求该户2022年和2023年的天然气用量各是多少. 【变式6-5】移动公司推出A、B两种话费与流量套餐,套餐详情如表. 月基本费/元 主叫限定时长(min) 主叫超时费(元/min) 被叫 免费数据流量() 流量超额费(元/) 套餐A 79 200 免费 15 3 套餐B 99 300 免费 20 2 套餐补充说明:①月结话费月基本费主叫超时费流量超额费: ②流量超额后以为单位计费(例如:套餐A流量超额,需另付元). (1)若贝贝的爸爸使用套餐A,10月主叫时长为300分钟,使用的流量为,求他的月结话费为多少? (2)若贝贝的爸爸11月份主叫时长为350分钟,使用的流量为(),贝贝通过计算发现,按A、B两种套餐计费的月结话费刚好相同,求a的值: (3)若贝贝的爸爸12月份主叫时长不足200分钟,请你根据他流量使用情况计算说明选用哪种套餐更省钱. 【题型7】 行程问题 【例7】一辆快车从A地匀速驶往B地,同时一辆慢车从B地匀速驶往A地,两车行驶时相遇,相遇地点距B地.相遇后再行驶,快车到达B地,休息后立即以原速返回,驶往A地. (1)快车的速度是_,慢车的速度是_;A、B两地的距离是_; (2)从两车出发直至慢车到达A地的过程中,经过几小时两车相距? 【变式7-1】某学校七年级学生组织步行到郊外旅行,701班学生组成前队,速度为每小时4千米, 702班同学组成后队,速度为每小时6千米,前队出发1小时后,后队才出发,同时,后队派出一名联络员骑自行车在两队之间不断地来回进行联络,骑车的速度是每小时12千米(队伍长度忽略不计). (1)后队出发后多长时间可以追上前队? (2)后队刚好追上前队时,联络员共骑行了多少千米? (3)联络员出发到他第一次追上前队的过程中,何时联络员离前队的距离与他离后队的距离相等? 【变式7-2】综合与实践:如图,这是我市某校校园内的环形跑道,跑道是由线段,及半圆,组成的,已知跑道的周长为400米,半圆,的长都为88米,,和分别是线段和的中点.(请用方程的相关知识解决下列问题). (1)求线段的长; (2)小明和小英在如图所示的环形跑道上练习跑步,已知小明、小英两人分别从点,两处同时沿着箭头方向出发,小明的速度是6米秒,小英的速度是4米秒. ①多长时间后,两人首次相遇? ②在第二次相遇前,经过多长时间两人在跑道上相距100米? 【变式7-3】一艘快艇从A码头到B码头顺流行驶,同时一艘游船从B码头出发顺流而下.已知,A、B两码头相距140千米,快艇在静水中的平均速度为67千米/小时,游船在静水中的平均速度为27千米/小时,水流速度为3千米/小时. (1)请计算两船出发航行30分钟时相距多少千米? (2)如果快艇到达B码头后立即返回,试求两船在航行过程中需航行多少时间恰好相距100千米? 【变式7-4】如图,水平跑道和的长度分别为米和米,斜坡跑道的长度为米.小明从点出发沿跑道慢跑到达点,小东同时从点出发沿跑道慢跑到达点.他们在水平跑道慢跑的速度都是米分,小明在上坡跑道慢跑速度是水平跑道速度的一半,小东在下坡跑道慢跑速度是水平跑道速度的倍. (1)小明在上坡跑道的慢跑速度是_米/分. (2)当小明和小东相遇时,求小明慢跑的路程. (3)当小明和小东相距米时,求小明慢跑的时间. 【变式7-5】如图,在射线上有三点,,,满足,,(如 图所示),点从点出发,沿方向以的速度匀速运动,点从点出发在线段上向 点匀速运动,两点同时出发. (1)当在线段上,且时,点运动到的位置恰好是线段的三等分点,求点运动的速度; (2)若点运动的速度为,经过多长时间、两点相距; (3)当点运动到线段上时,分别取和的中点,,求的值. 【题型8】 和差倍分比问题 【例8】A站有公共汽车26辆,B站有公共汽车30辆.每小时由A站向B站开出汽车12辆,B站向A站开出汽车8辆,都是经过1小时到达.几小时后B站的公共汽车辆数是A站的3倍? 【变式8-1】父亲和女儿现在的年龄和是40,当父亲的年龄是女儿现在年龄的3倍的时候,女儿的年龄是父亲现在年龄的 ,女儿现在的年龄 岁. 【变式8-2】有525名同学,分为三组进行活动,第一组的是第二组的,第二组的是第三组的.问三个组各有多少人? 【变式8-3】植树节这一天,七年级(2)班的同学计划种植一批树苗,小康每小时可以种植5棵树苗,小英每小时可以种植4棵树苗,小康和小英两位同学同时种植树苗. (1)经过多长时间他俩一共可以种植27棵树苗? (2)小英对小康说:“你种得太快了,你比我多种植了5棵树苗了.”请问小康此时种植了多少棵树苗? 【变式8-4】(浓度问题)瓶中装有浓度为的酒精溶液1800克,现在又分别倒入300克和400克的A、B两种酒精溶液,瓶里的酒精溶液浓度变为.已知A种酒精溶液的浓度是B种酒精溶液浓度的2倍,那么A种酒精溶液的浓度是多少? 【变式8-5】大江东产业集聚区某中学李老师为学校开展的“迎峰会”演讲比赛购买奖品,回到学校向总务处王主任交账时说:“我买了两类书,共本,单价分别为元和元,买书前我领取了元,现还剩余元,”王主任算了算觉得不对,就说:老师你搞错了. (1)请同学们用所学知识解释李老师为什么搞错了? (2)李老师急忙拿出发票,发现原来还多买了一支水笔,但水笔的单价写得模糊不清,李老 师只记得水笔价格为小于的正整数,则这支水笔单价应为多少元? 学科网(北京)股份有限公司 $$ 专题09 一元一次方程的实际应用（八大题型突破练） 【压轴题常考题型突破练】 【题型梳理】 【题型1】 配套问题（课本教材例1类型） 【题型2】 工程问题（课本教材例2类型） 【题型3】 销售盈亏问题（课本教材探究1类型） 【题型4】 比赛积分问题（课本教材探究2类型） 【题型5】 费用比较问题（课本教材探究3类型） 【题型6】 阶梯计价问题（课本教材数学活动1类型） 【题型7】 行程问题（课本教材习题类型） 【题型8】 和差倍分比问题（课本教材习题类型） 【题型1】 配套问题 【例1】某车间为提高生产总量，在原有16名工人的基础上，新调入若干名工人，使得调整后车间的总人数是调入工人人数的3倍多4人． (1)求调入多少名工人； (2)在（1）的条件下，每名工人每天可以生产240个螺栓或400个螺母，1个螺栓需要2个螺母，为使每天生产的螺栓和螺母刚好配套，应该安排生产螺栓和螺母的工人各多少名？ 【答案】(1)调入6名工人 (2)10名工人生产螺栓，12名工人生产螺母，可使每天生产的螺栓和螺母刚好配套 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读㯵题意，找到等量关系列方程． （1）设调入名工人，根据“调整后车间的总人数是调入工人人数的3倍多4人”得：，可解得答案； （2）设名工人生产螺栓，由“1个螺栓需要2个螺母”，可列方程，即可解得答案． 【解答】（1）解：设调入名工人， 根据题意得：， 解得， ∴调入6名工人； （2）解：设名工人生产螺栓，则名工人生产螺母， ∵每天生产的螺栓和螺母刚好配套， ∴， 解得， ， 答：10名工人生产螺栓，12名工人生产螺母，可使每天生产的螺栓和螺母刚好配套． 【变式1-1】某工厂接受了 20 天内生产1200 台GH 型电子产品的总任务。已知每台GH 型产品由 4 个G 型装 置和3 个 H 型装置配套组成。工厂现有80 名工人，每个工人每天能加工6 个G 型装置或3 个 H 型装置。工厂将所有工人分成两组同时开始加工，每组分别加工一种装置，并要求每天加工的G 、H 型装置数量正好组成GH 型产品. （1）按照这样的生产方式，工厂每天能配套组成多少套GH 型电子产品？ （2）工厂补充 40名新工人，这些新工人只能独立进行G 型装置的加工，且每人每天只能加工 4个G型装置，则补充新工人后每天能配套生产多少产品？补充新工人后20天内能完成总任务吗？ 【答案】（1）48；（2）64，能． 【分析】（1）设安排x名工人生产G型装置，则安排（80﹣x）名工人生产H型装置，根据“生产的装置总数=每人每天生产的数量×人数”结合每台GH型产品由4个G型装置和3个H型装置配套组成，即可得出关于x的一元一次方程，解之可得出x的值，再将其代入中即可求出结论； （2）设安排y名工人生产H型装置，则安排（80﹣y）名工人及40名新工人生产G型装置，同（1）可得出关于y的一元一次方程，解之可得出y的值，再将其代入中即可求出补充新工人后每天能配套生产的套数，进而求出20天生产的总数，与1200比较即可得出结论． 【解答】（1）设安排x名工人生产G型装置，则安排（80﹣x）名工人生产H型装置， 根据题意得：， 解得：x=32，∴48． 答：按照这样的生产方式，工厂每天能配套组成48套GH型电子产品． （2）设安排y名工人生产H型装置，则安排（80﹣y）名工人及40名新工人生产G型装置， 根据题意得：， 解得：y=64，∴y=64． ∵64×20=1280＞1200，∴补充新工人后20天内能完成总任务． 答：补充新工人后每天能配套生产4套产品，补充新工人后20天内能完成总任务． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用以及二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程． 【变式1-2】列方程解应用题 劳动课上王老师带领七（1）班45名学生制作圆柱形小鼓，其中男生人数比女生人数少7人，并且每名学生每小时可制作2个鼓身或剪6个鼓面． (1)男生有______人，女生有______人． (2)①老师组织全班学生制作小鼓，要求一个鼓身配两个鼓面，为了使每小时制作的鼓身与剪出的鼓面刚好配套，应该分配多少名学生制作鼓身？多少名学生剪鼓面？ ②若想每小时制作78个小鼓，且制作的鼓身与剪出的鼓面刚好配套，应再加入多少名学生？请你思考此问题，直接写出结果和新加入人员具体的分配方案． 【答案】(1)19，26 (2)①分配27名学生制作鼓身，18名学生剪鼓面；②新加入20人，其中12人制作鼓身，8人制作鼓面． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，掌握配套问题的等量关系是解题的关键． （1）设男生有x人，则女生有人，根据男生人数比女生人数少7人列方程求解即可； （2）①设分配m名学生制作鼓身，则名学生剪鼓面，根据每名学生每小时可制作2个鼓身或剪6个鼓面，且每小时制作的鼓身与剪出的鼓面刚好配套列方程求解即可； ②根据①可知45名学生1小时可制作小鼓54个，则若要每小时制作78个小鼓，需增加24个小鼓，则制作鼓身需要人，制作鼓面需要人，即可求解． 【解答】（1）解：设男生有x人，则女生有人， 根据题意，得， 解得， ∴， 故答案为：19，26； （2）解：①设分配m名学生制作鼓身，则名学生剪鼓面， 由题意，得， 解得， 则， 答：应分配27名学生制作鼓身，18名学生剪鼓面； ②由①知分配27名学生制作鼓身，18名学生剪鼓面，则1小时可制作小鼓个，还需制作个小鼓， 所以应再加入制作鼓身人，制作鼓面人． 则新加入人，其中12人制作鼓身，8人制作鼓面． 【变式1-3】在社会与实践的课堂上，刘老师组织七（1）班的全体学生用硬纸板制作圆柱体（图1）.七（1）班共有学生50人，其中男生人数比女生人数少2人，并且每名学生每小时剪20个圆柱侧面（图2）或剪10个圆柱底面（图3）. （1）七（1）班有男生、女生各多少人？ （2）原计划男生负责剪圆柱侧面，女生负责剪圆柱底面，要求一个圆柱侧面配两个圆柱底面，那么每小时剪出的筒身与筒底能配套吗？如果不配套，那么男生应向女生支援多少人时，才能使每小时内剪出的侧面与底面配套. 【答案】（1）七年级（1）班有男生24人，女生26人；（2）原计划男生负责剪圆柱侧面，女生负责剪圆柱底面，每小时剪出的筒身与筒底不能配套；男生应向女生支援14人时，才能使每小时剪出的筒身与筒底配套． 【分析】（1）设七年级（1）班有男生有x人，则女生有（x+2）人，根据“男生人数+女生人数=50”列出方程，求解即可； （2）分别计算出24名男生和26名女生剪出的筒身和筒底的数量，可得不配套；设男生应向女生支援y人，根据制作筒底的数量=筒身的数量×2，根据等量关系列出方程，求解即可． 【解答】解：（1）设七年级（1）班有男生有x人，则女生有（x+2）人，由题意得： x+x+2=50， 解得：x=24， 女生：24+2=26（人）， 答：七年级（1）班有男生24人，女生26人； （2）男生剪筒身的数量：24×20=480（个）， 女生剪筒底的数量：26×10=260（个）， 因为一个筒身配两个筒底，480：260≠1：2， 所以原计划男生负责剪圆柱侧面，女生负责剪圆柱底面，每小时剪出的筒身与筒底不能配套． 设男生应向女生支援y人，由题意得： 20（24-y）×2=10（26+y），解得：y=14， 答：男生应向女生支援14人时，才能使每小时剪出的筒身与筒底配套． 【点评】此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，再列出方程． 【变式1-4】某家具厂专业生产学生座椅，其中每把学生座椅由4条椅腿、4根撑杆、2个扶手、1个椅面和1个靠背组成．根据实际生产能力，每个工人每天能够生产椅腿20条，或撑杆40根，或扶手30个，或椅面30个，或靠背30个． (1)若安排35名工人专门生产椅腿和椅面，那么应该安排多少人生产椅腿，才能使每天生产出的椅腿和椅面正好配套？ (2)若安排全厂91名工人生产这种学生座椅，那么应该安排多少人生产椅腿，才能使每天生产出的椅腿、撑杆、扶手、椅面和靠背正好配套？ 【答案】(1)30 (2)42 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，明确题意，准确得到数量关系是解题的关键． （1）根据题意，找到正确的数量关系列出方程求解即可． （2）设安排x人生产椅腿，撑杆人数为y，扶手的人数为m，椅面的人数为n，靠背的人数为z才能使每天生产出的椅腿和椅面正好配套，根据题意列出各岗位工人与生产椅腿工人的数量关系，根据全厂91名工人列方程求解即可． 【解答】（1）解：设安排x人生产椅腿，才能使每天生产出的椅腿和椅面正好配套． 解得， 答：安排30人生产椅腿，才能使每天生产出的椅腿和椅面正好配套． （2）解：设安排x人生产椅腿，撑杆人数为y，扶手的人数为m，椅面的人数为n，靠背的人数为z才能使每天生产出的椅腿和椅面正好配套． ∴，，， 解得，，，． ∴， ， 答：应该安排42人生产椅腿，才能使每天生产出的椅腿、撑杆、扶手、椅面和靠背正好配套 【变式1-5】某工厂车间有60个工人生产A零件和B零件，每人每天可生产A零件15个或B零件20个（每人每天只能生产一种零件），一个A零件配两个B零件，且每天生产的A零件和B零件恰好配套．工厂将零件批发给商场时，每个A零件可获利10元，每个B零件可获利5元． (1)求该工厂有多少工人生产A零件？ (2)因市场需求，该工厂每天要多生产出一部分A零件供商场零售使用，现从生产B零件的工人中调出多少名工人生产A零件，才能使每日生产的零件总获利比调动前多600元？ 【答案】(1)24 (2)12 【分析】（1）设该工厂有x名工人生产A零件，根据“一个A零件配两个零件，且每天生产的A零件和零件恰好配套”，列出方程，即可求解； （2）设从生产零件的工人中调出y名工人生产A零件，根据“每日生产的零件总获利比调动前多600元”，列出方程，即可求解． 【解答】（1）设该工厂有x名工人生产A零件，则生产B零件有 名，根据题意得： 解得： ， 答：该工厂有24名工人生产A零件； （2）由（1）知：生产零件原有名， 设从生产零件的工人中调出y名工人生产A零件． ， 解得： ， 答：从生产零件的工人中调出12名工人生产A零件． 【点评】本题主要考查一元一次方程的实际应用，根据等量关系，列出方程是解题的关键． 【题型2】 工程问题 【例2】某学校举行物理知识竞赛，学校打印室有A、B两台一体机可以印刷试卷．如果单独用A机器需要45分钟印刷完，如果单独用B机器需要30分钟印刷完，为了保密起见不能过早印刷试卷，为保障学生按时开始竞赛，学校决定在考试前用两台机器同时印刷． (1)两台机器同时印刷，共需多少分钟才能印完？ (2)若两台机器同时印刷，10分钟后，B机器出了故障，暂时不能印刷，此时离发卷还有13分钟（老师领试卷的时间忽略不计）．如果由A机器单独完成剩下的印刷任务，会不会影响按时发卷考试？ (3)在（2）的问题中，B机器经过紧急抢修，2分钟后修好恢复正常使用，则学校能否按时发卷考试？ 【答案】(1)18分钟 (2)会影响按时发卷考试 (3)学校能按时发卷考试 【分析】本题考查一元一次方程的应用，理解题意，正确列出方程是解答的关键． （1）两台机器同时印刷，共需x分钟才能印完，根据题意列方程求解即可； （2）设B机器出了故障后，A机器需要m分钟单独完成剩下的印刷任务，根据题意列方程求得m值，再与13比较即可得出结论； （3）设B机器修好后，两台机器又用y分钟印刷完剩余，根据题意列方程求得y值，再与13比较即可得出结论． 【解答】（1）解：设两台机器同时印刷，共需x分钟才能印完， 根据题意，得， 解得， 答：两台机器同时印刷，共需18分钟才能印完； （2）解：设B机器出了故障后，A机器需要m分钟单独完成剩下的印刷任务， 根据题意，， 解得， ∵， ∴由A机器单独完成剩下的印刷任务，会影响按时发卷考试； （3）解：设B机器修好后，两台机器又用y分钟印刷完剩余试卷， 根据题意，得， 解得， ∵， ∴学校能按时发卷考试． 【变式2-1】一个水池有甲、乙、丙三个水管，单开甲管6小时可以将空池注满；单开乙管4小时可以将空池注满；单开丙管12小时可以把满池的水放完；现在水池里有的水，开放乙、丙两管2小时后，三管齐开，求再过多少小时可以把水池注满？ 【答案】1.25 【分析】考查了一元一次方程的应用，把这一水池水看作单位1，根据工作效率工作总量工作时间，可得甲、乙、丙的工作效率分别为、、，据此结合题意列方程求解即可． 【解答】解： 设再过小时后便可将水池注满水，依题意有 ， 解得． 答：三管齐开，再过1.25小时后便可将水池注满水． 【变式2-2】风华中学利用暑假期间对教室内墙粉刷，现有甲，乙两个工程队都想承包这项工程，已知甲工程队每天能粉刷2个教室，乙工程队每天能粉刷3个教室，若单独粉刷所有教室，甲工程队比乙工程队要多用20天，在粉刷过程中，该学校要付甲工程队每天费用1600元，付乙工程队每天费用2600元． (1)求风华中学一共有多少个教室？ (2)若先由甲，乙两个工程队合作一段时间后，甲工程队停工了，乙工程队单独完成剩余部分．且乙工程队的全部工作时间是甲工程队的工作时间的2倍还多16天，求乙工程队共粉刷多少天？ 【答案】(1)风华中学一共有120个教室 (2)乙工程队共粉刷34天 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意找出等量关系，列出方程求解． （1）设风华中学一共有x个教室，根据“甲工程队比乙工程队要多用20天”，列出方程求解即可； （2）设乙工程队共粉刷y天，则甲工程队粉刷了，根据（1）中求出的教室总数，列出方程求解即可． 【解答】（1）解：设风华中学一共有x个教室， ，解得：， 答：风华中学一共有120个教室． （2）解：设乙工程队共粉刷y天，则甲工程队粉刷了， ， 解得：， 答：乙工程队共粉刷34天． 【变式2-3】甲、乙两工程队承接某段隧道挖掘工程，已知甲工程队每天的挖掘长度是乙工程队每天挖掘长度的1.5倍，若甲、乙两工程队一起挖掘200米长度的隧道时，共用时间4天． (1)求甲、乙两个工程队每天分别可挖掘隧道多少米？ (2)已知该段隧道挖掘工程为600米，甲工程队每天的挖掘费用为6万元，乙工程队每天的挖掘费用为3万元．若安排甲工程队先单独挖掘若干天后，剩下的工程再由乙工程队单独完成，总费用刚好102万元，求甲工程队应先单独挖掘多少天？ 【答案】(1)甲工程队每天可挖掘隧道30米，乙工程队每天可挖掘隧道20米 (2)8天 【分析】本题考查一元一次方程的应用．理解题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． （1）设乙工程队每天可挖掘隧道x米，则甲工程队每天可挖掘隧道米，根据甲、乙两工程队一起挖掘200米长度的隧道，共用时间4天，列方程求解即可； （2）设甲工程队应先单独挖掘y天，则乙工程队单独挖掘天，根据总费用刚好102万元，列方程求解即可． 【解答】（1）解：设乙工程队每天可挖掘隧道x米，则甲工程队每天可挖掘隧道米，根据题意，得 解得： ∴ 答：甲工程队每天可挖掘隧道30米，乙工程队每天可挖掘隧道20米． （2）解：设甲工程队应先单独挖掘y天，则乙工程队单独挖掘天，根据题意，得 解得： 答：甲工程队应先单独挖掘8天． 【变式2-4】哈佳高铁建设工程中，有一路段由甲、乙两个工程队负责完成．甲工程队单独完成此项工程需天，比乙工程队单独完成此项工程多用天，若甲先施工天，再由甲、乙合作完成剩余工程． (1)甲、乙还需要合作多少天完成？ (2)如果甲工程队每天需工程费元，乙工程队每天需工程费元，若甲队先单独工作若干天再由乙工程队完成剩余的任务，支付工程队总费用元，求甲队工作的天数． 【答案】(1)甲、乙还需要合作30天完成 (2)甲队工作20天 【分析】此题考查了一元一次方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系，列出方程是解决问题的关键． （1）设甲、乙还需要合作天完成，根据“甲先施工天，再由甲、乙合作完成剩余工程”列出方程即可求解； （2）设甲队工作的天数为，则乙工作的天数为，根据“支付工程队总费用元”列出方程即可求解． 【解答】（1）解：设甲、乙还需要合作天完成， 由题意得，， 解得：， 答：甲、乙还需要合作18天完成； （2）设甲队工作的天数为，则乙工作的天数为， 由题意得，， 解得：， 答：甲队工作20天． 【变式2-5】为打造安全环保的某河流公园，某市设立若干河流排污治理点（每个治理点需安装相同长度的排污治理管道）．一天，甲队3名工人去完成5个治理点的管道铺设，但还有60米管道没有完成；同一天，乙队4名工人完成5个治理点的管道铺设后，仍多铺设了40米管道．已知每名甲队工人比每名乙队工人每天多铺设20米管道． (1)求每个排污治理点需铺设的管道长度； (2)已知每名甲队工人每天需支付费用500元，每名乙队工人每天需支付400元，该市某处共设立27个排污治理点，现有甲队3名工人，乙队4名工人来安装管道，方案一：全部由甲队安装；方案二：全部由乙队安装；（不到一天需按一天费用算）．请通过计算说明选择哪种方案可使总费用最少？ 【答案】(1)每个排污治理点需铺设的管道长度为120米 (2)应选择方案一 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、解一元一次方程等知识点，明确题意、正确的列出一元一次方程是解答本题的关键． （1）设每个排污治理点需铺设的管道长度为x米，然后根据题意列方程解答即可； （2）先分别求出甲、乙队工人一天可铺设管道的长度，再分别按两种方案求得总费用，最后比较即可解答． 【解答】（1）解：设每个排污治理点需铺设的管道长度为米， 根据题意，得， 解这个方程，得． 所以，每个排污治理点需铺设的管道长度为120米． （2）解：每名甲队工人每天铺设管道米数：． 方案一需要天数：． 方案一需要费用：． 每名乙队工人每天铺设管道米数：． 方案二需要费用天数：． 方案二需要费用：． 因为， 所以，应选择方案一． 【题型3】 销售盈亏问题 【例3】华联超市第一次用7000元购进甲、乙两种商品，其中甲商品的件数是乙商品件数的2倍，甲、乙两种商品的进价和售价如表：（注：获利售价进价） 甲 乙 进价/（元/件） 20 30 售价/（元/件） 25 40 (1)该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部卖完后一共可获得多少利润？ (2)该超市第二次以第一次的进价又购进甲、乙两种商品，其中甲商品的件数不变，乙商品的件数是第一次的3倍．甲商品按原价销售，乙商品打折销售，第二次两种商品都售完以后获得的总利润比第一次获得的总利润多800元，求第二次乙商品是按原价打几折销售？ 【答案】(1)可获利2000元 (2)第二次乙商品是按原价打9折销售 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，正确理解题意，根据题意找出等量关系，列出方程求解是解题的关键． （1）设购进甲商品x件，则购进乙商品件，根据“用7000元购进甲、乙两种商品”列出方程确定购进甲商品150件，购进乙商品100件，然后求利润即可； （2）先得出第二次购进甲商品200件，乙商品300件，设第二次乙商品是按原价打y折销售，根据“第二次两种商品都销售完以后获得的总利润比第一次获得的总利润多800元”列出方程求解即可． 【解答】（1）解：设购进甲商品x件，则购进乙商品件， ， 解得：， ∴， ∴购进甲商品200件，购进乙商品100件； ∴（元）， 答：可获利2000元； （2）解：第二次购进甲商品200件， 第二次购进乙商品（件）， 设第二次乙商品是按原价打y折销售， ， 解得：， 答：第二次乙商品是按原价打9折销售． 【变式3-1】某服装商店因换季准备将某种服装打折销售，每件服装如果按标价的五折出售将亏20元，而按标价的八折出售将赚40元．求： （1）每件服装的标价是多少？ （2）为保证不亏本，最多能打几折？ 【答案】（1）200元； （2）六折． 【分析】本题考查了列一元一次方程解实际问题，解答时根据销售问题的数量关系建立方程是关键． （1）设每件服装的标价是x元，则分别表示出售价，再根据成本不变建立方程求出其解即可； （2）根据（1）的标价求出售价就可以求出成本；设打y折就可以不亏本，建立方程求出其解即可． 【解答】（1）解：设每件服装的标价是x元，依题意，得 ， 解得：． 答：每件服装的标价是200元； （2）解：每件衣服的成本价为： （元）． 设打y折就可以不亏本，由题意，得 ， 解得：． 答：为保证不亏本，最多能打六折． 【变式3-2】某商场用36000元购进了A、B两种型号的家用净水器共160台，这两种净水器的进价、标价如下表所示： A型 B型 进价（元/台） 150 350 标价（元/台） 400 600 (1)这两种净水器各购进多少台？ (2)若A型净水器按标价的8折出售，B型净水器按标价的9折出售，将这批净水器全部出售完后，商场共获利多少元？ 【答案】(1)A种净水器购进100台，B种净水机购进60台 (2)商场共获利28400元 【分析】此题考查了一元一次方程的应用，是利用方程求解实际问题的题目，解题的关键是找到等量关系． （1）设A种净水器购进x台，B种净水机购进台，根据总金额36000元，列方程即可求解； （2）根据题意列出算式进行解答即可． 【解答】（1）解：设A种净水器购进x台，B种净水机购进台， 依题意可得：， 解得：， ． 答：A种净水器购进100台，B种净水机购进60台； （2）解：（元）． 答：商场共获利28400元． 【变式3-3】红光水果加工厂收购了29吨雪梨．经市场预测，若直接销售，每吨可获利0.05万元；若经过加工包装后销售，每吨可获利0.4万元；若制成雪梨罐头出售，每吨可获利0.6万元．该工厂的加工能力是：每天可包装5吨或制成罐头3吨，受人员限制，同一天内两种加工方式不能同时进行，受气温限制，这些雪梨必须在7天内全部销售或加工完毕，为此，工厂研制了二种方案： 方案一：尽可能多的做成罐头，余下的直接销售； 方案二：部分制成罐头，其余进行加工包装，并恰好7天完成． (1)请比较说明哪种方案可使工厂所获利润最多？ (2)水果加工厂欲将（1）问中获利最多方案制成的所有雪梨罐头由加工厂运到市场售卖，已知有甲、乙两家运输公司都可以承担此次运输，要收取的费用如下表： 运输公司 运输单价（元/吨・千米） 每吨装卸费（元） 甲 5 50 乙 6 30 经水果加工厂计算发现乙运输公司总费用比甲运输公司总费用多243元，求水果加工厂到市场的距离． 【答案】(1)方案二可使工厂所获利润最多； (2)加工厂到市场的距离为47千米． 【分析】本题考查一元一次方程的运用，解题的关键在于根据题意得到等量关系． （1）分别算出方案一和方案二所获利润，再进行比较即可解题； （2）设加工厂到市场的距离为x千米，根据题意建立方程求解，即可解题． 【解答】（1）解：方案一：（万元）， 方案二：设吨制成罐头，则吨进行加工包装， ， 解得， 获利：（万元）， ， 方案二可使工厂所获利润最多； （2）解：设加工厂到市场的距离为x千米， ， 解得， 答：加工厂到市场的距离为47千米． 【变式3-4】平价商场经销甲、乙两种商品，甲种商品每件进价40元，售价60元；乙种商品每件进价50元，利润率为． 打折前一次性购物总金额 优惠措施 不超过380元 不优惠 超过380元，但不超过500元 售价打九折 超过500元 售价打八折 （1）若该商场同时购进甲、乙两种商品共60件，恰好总进价为2600元，求购进甲乙两种商品各多少件？ （2）在“元旦”期间，该商场只对甲乙两种商品进行如表的优惠促销活动：按上述优惠条件，若小聪第一天只购买乙种商品，实际付款320元，第二天只购买甲种商品实际付款432元，求小聪这两天在该商场购买甲、乙两种商品一共多少件？ 【答案】（1）甲40件，乙20件； （2）12或13件． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键． （1）设购进甲种商品件，则购进乙种商品件，然后根据题意列一元一次方程求解即可； （2）根据利润率等于利润除以进价，直接算出乙的售价；设第一天购买乙种商品件，设第二天购买甲种商品件，然后分别列方程求得、，最后求和即可． 【解答】（1）解：设购进甲种商品件，则购进乙种商品件， 由题意得，， 解得：， 则． 答：购进甲商品40件，乙商品20件． （2）解：设第一天购买乙种商品件， 依题意得，或， 解得或（舍去）， 所以第一天购买乙种商品5件． 元， 每件乙种商品售价为80元． 设第二天购买甲种商品件， 依题意得，或， 解得或9， 所以第二天购买甲种商品8或9件， 件或件． 答：小聪这两天在该商场购买甲、乙两种商品一共12或13件． 【变式3-5】某商场用元同时购进两种新型节能日光灯共盏，型日光灯每盏进价为元，型日光灯每盏进价为元． (1)求两种新型节能日光灯各购进多少盏？ (2)由于型日光灯的需求量增大，商场为了节省采购成本决定直接找厂家再购进一些型日光灯．已知型日光灯的出厂价为每盏元，厂家给出了如下优惠措施： 出厂总金额 返现金 不超过元 元 超过元，但不超过元 返现元 超过元 返现元 已知该商场第一次在厂家加购型日光灯支付元，第二次在厂家加购型日光灯支付元，若将两次购买改由一次性购买，则一次性购买时支付的总金额比两次分开购买时支付的总金额少多少元？ 【答案】(1)购进种新型节能日光灯盏，购进种新型节能日光灯盏； (2)少元． 【分析】（）设购进种新型节能日光灯盏，根据题意列出方程即可求解； （）由，可得第一次加购型日光灯出厂总金额低于元，第二次加购型日光灯出厂总金额高于元，即得第一次加购型日光灯出厂总金额为元，加购了盏节能日光灯，设第二次加购型日光灯盏，分出厂总金额不超过元和超过元两种情况解答即可求解； 本题考查了一元一次方程的应用，根据题意正确列出方程是解题的关键． 【解答】（1）解：设购进种新型节能日光灯盏， 由题意可得，， 解得， ∴， 答：购进种新型节能日光灯盏，购进种新型节能日光灯盏； （2）解：∵， ∴第一次加购型日光灯出厂总金额低于元，第二次加购型日光灯出厂总金额高于元， ∴第一次加购型日光灯出厂总金额为元，加购了盏节能日光灯， 设第二次加购型日光灯盏， 当出厂总金额不超过元时， 由题意得，， 解得， ∴两次购买了节能日光灯盏， ∴一次性购买出厂总金额为元， ∴元； 当出厂总金额超过元时， 由题意得，， 解得，不合题意； 综上，一次性购买时支付的总金额比两次分开购买时支付的总金额少元． 【题型4】 比赛积分问题 【例4】下表为某篮球比赛过程中部分球队的积分榜（篮球比赛没有平局）． 球队 比赛场次 胜场 负场 积分 (1)观察积分榜，求出球队胜一场、负一场积分分别是多少？ (2)根据积分规则，请求出E队已经进行了的11场比赛中胜、负各多少场？ (3)若此次篮球比赛共18轮（每个球队各有18场比赛），D队希望最终积分达到32分，你认为有可能实现吗？请说明理由． 【答案】(1)球队胜一场积2分，负一场积1分． (2)队胜场，负场； (3)不可能实现，理由见解析 【分析】此题考查了一元一次方程的应用； （1）观察积分榜由球队和球队即可求解； （2）设设队胜场，则负场，根据等量关系：队积分是分列出方程求解即可； （3）设后场胜场，根据等量关系：队积分是分列出方程求解即可． 【解答】（1）解：观察积分榜，，，，…… ∴球队胜一场积2分，负一场积1分． （2）设队胜场，则负场，可得 ， 解得． 队胜场，负场； （3）不可能实现，理由如下： 队前场得分， 设后场胜场， ， ， 不可能实现． 【变式4-1】某地举办了一次足球热身赛，其计分规则及奖励方案（每人）如下表： 胜一场 平一场 负一场 积分 3 1 0 奖金（元/人） 1500 700 0 当比赛进行到每队各比赛12场时，A队共积20分，并且没有负一场． (1)试判断A队胜、平各几场？ (2)若每比赛一场每名队员均得出场费500元，A队的某一名队员参加了全部比赛，那么他所得奖金与出场费的和是多少？ 【答案】(1)A队胜4场，平8场 (2)出场费加奖金一共17600元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，本题中根据总场数和总积分不变，设队胜利场，列出方程求解是解题的关键． （1）设队胜利场，则平了场，根据总积分为20分列出方程即可求解； （2）根据（1）中求得胜场数和平场数计算每名队员的奖金和出场费的总和即可解题． 【解答】（1）解：设队胜利场， 一共打了12场， 平了场， ， 解得：； ， 队胜4场，平8场； （2）解：每场比赛出场费500元，12场比赛出场费共6000元， 赢了4场，奖金为元， 平了8场，奖金为元， 奖金加出场费一共17600元； 答：一共赢了4场，出场费加奖金一共17600元． 【变式4-2】某校组织学生参加2022年冬奥知识问答，问答活动共设有20道选择题，每题必答，每答对一道题加分，答错一道题减分，下表中记录了三名学生的得分情况： 参赛学生 答对题数 答错题数 得分 A 20 0 100 B 18 2 86 C 15 5 65 请结合表中所给数据，回答下列问题： （1）本次知识问答中，每答对一题加______分，每答错一题减______分； （2）若小明同学答对16题，请计算小明的得分； （3）若小刚同学参加了本次知识问答，下列四个选项中，哪一个可能是小刚的得分_____（填写选项）； A．75； B．63； C．56； D．44 并请你计算他答对了几道题，写出解答过程，（列一元一次方程解决问题） 【答案】（1）5，2；（2）72分；（3）D，12道题． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解． （1）根据A的得分可求出每答对一题的加分，根据B或C的得分可求出每打错一题的减分； （2）按照（1）中的答题得分计算即可； （3）设小刚答对x道题，则答错道题，列方程对每个选项分析即可； 【解答】（1）解：答对一题加：分， 答错一题减：分， 故答案为：5，2； （2）小明的得分：分， （3）D，答对了12道题． 设他答对道题，则答错道题． A．若，解得，故不符合题意； B．若，解得，故不符合题意； C．若，解得，故不符合题意； D．若，解得，符合题意； 答：小刚同学答对了12道题． 【变式4-3】某次篮球联赛部分球队积分表 队名 比赛场次 胜场 平场 负场 积分 （1）由表中数据可知，胜一场积______分，平一场积______分，负一场积______分； （2）直接写出______，______，______； （3）设一个队胜场，负场是平场的倍，则平______场（用含的式子表示）； （4）队平了场，该队队长声称他们队的积分是分，你认为可能吗？为什么？ 【答案】（1），，；（2），，；（3）；（4）不可能 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，列代数式，根据题意找到等量关系，列出方程是解题的关键． （1）根据表格即可求解； （2）根据表格即可求解； （3）由胜场，可得平场和负场共场，再根据负场是平场的倍，即可求解； （4）不可能．设胜了场，则负了场，由故意可得，解方程得到，不合题意，即可说明. 【解答】（1）解：由队得到，平一场积分， 由队可得，胜了场，即， ∴负一场积分， ∴由队可得，胜一场积分， 故答案为：，，； （2）解：由（）可知，， 由队可得，， ∴， 故答案为：，，； （3）解：∵胜场， ∴平场和负场共场， ∵负场是平场的倍， ∴平了场， 故答案为：； （4）解：不可能，理由如下： 若平了场，积分是分，则胜场和负场积分为分， 设胜了场，则负了场， 由题意可得，， 解得，不合题意， ∴队平了场，积分是分是不可能的． 【变式4-4】阳光体育季，赛场展风采．七年级组织迎新拔河比赛，每班代表队都需比赛10场，如图是此次拔河比赛积分榜的部分信息，请解决下列问题： (1)由积分榜可知，胜一场得__________分，负一场得__________分； (2)已知积分榜中4班的积分是24分，求4班胜了几场比赛． 【答案】(1)3，1 (2)4班胜了7场比赛 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用： （1）先由6班的胜和负场情况，得出负一场得1分，接着由5班的胜和负场情况，胜一场得3分，即可作答． （2）设4班胜了场比赛，根据场数10，积分24分，进行列式计算，即可作答． 【解答】（1）解：依题意，负一场得分：（分）； 胜一场得分：（分）； 故答案为：3，1； （2）解：设4班胜了场比赛，则负了场比赛， 解得 答：4班胜了7场比赛 【变式4-5】2022年11月21日，万众瞩目的卡塔尔世界杯足球赛开幕，为了迎接世界杯足球赛的到来，足球协会举办了一次足球赛，其中得分规则及奖励方案如下表： 胜一场 平一场 负一场 积分 3 1 0 人均奖金 1500元 700元 0 当比赛进行到每队比赛完12场时，A队共积分20分，并且没有负一场． (1)试判断A队胜，平各几场？ (2)每赛一场，A队每名队员均得出场费500元，那么比赛完12场后，A队的某一名队员所得奖金与出场费累计为多少元？ 【答案】(1)A队胜4场，平8场 (2)17600元 【分析】（1）根据题意找出等量关系式列出方程即可解得． （2）由（1）可得，根据题意列式计算可得． 【解答】（1）解：设A队胜利x场， ∵一共打了12场， ∴平了场， ∴， 解得：， （场）． 答：A队胜4场，平8场． （2）∵每场比赛出场费500元， ∴12场比赛出场费共6000元， 又∵赢了4场，奖金为（元）， 平了8场，奖金为（元）， ∴ （元）． 答：A队的某一名队员所得奖金与出场费累计为17600元． 【点评】此题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是根据题意找出等量关系式列出方程． 【题型5】 费用比较问题 【例5】甲地欲往外地运输一批水果，有火车和汽车两种运输方式，运输过程中的损耗均为元/时，其它主要参考数据如下： 运输工具 途中平均速度（千米/时） 运费（元/千米） 装卸费（元） 火车 汽车 （1）如果运往乙地，汽车的费用比火车的费用多元，求甲、乙两地间的路程；（费用包含损耗、运费和装卸费） （2）如果运往丙地，已知甲、丙两地间的路程为千米，通过计算选择哪种运输方式比较合算． 【答案】（1）千米； （2）汽车运输 【分析】（1）设甲、乙两地间的路程为千米，根据题意列出方程即可求解； （2）分别求出两种方式的运输费用，再比较即可求解； 本题考查了一元一次方程的应用，根据题意正确列出一元一次方程是解题的关键． 【解答】（1）解：设甲、乙两地间的路程为千米， 由题意得，， 解得， 答：甲、乙两地间的路程为千米； （2）解：选择火车运输的费用为元， 选择汽车运输的费用为元， ∵， ∴选择汽车运输比较合算． 【变式5-1】七年级某班因参加校园运动会为学生购置运动装．经了解，某服装店男款运动装每套100元，女款运动装每套120元，原价购买50套运动装共需5520元．为吸引顾客，该店推出两种优惠方案： 方案一：全部运动装八五折销售； 方案二：一次性购买40套运动装（男女运动装均可）及以上免费赠送10套男款运动装，其余的按原价销售． （1）该班购买的男款运动装和女款运动装各多少套？ （2）请通过计算说明该班购买50套运动装应选择哪种优惠方案更合算？ 【答案】（1）24 （2）方案二 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据已知的等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）设该班购买的男款运动装套，由总共需要5520元列方程，解出即可． （2）按方案一购买需：（元）；按方案二可以购买14套男运动装和26套女运动装加赠送10套男款运动装，费用为：（元），比较大小即可． 【解答】（1）解：设该班购买的男款运动装套，则购买的女款运动装各多少套为套，根据题意得 答：该班购买的男款运动装套． （2）按方案一购买需：（元） 按方案二购买需：按原价购买14套男运动装和26套女运动装加赠送10套男款运动装 （元） ∵ ∴按方案二购买更合算． 【变式5-2】根据以下素材，探索完成任务． 素材1： 某家具厂生产一种课桌和椅子，课桌每张定价200元，椅子每把定价80元，厂方在开展促销活动期间，向客户提供两种优惠方案： 方案一：每买一张课桌就赠送一把椅子； 方案二：课桌和椅子都按定价的付款． 素材2： 学校计划添置 100张课桌和x把椅子． 问题解决 【任务1】(1)请用含x的代数式分别表示出两种方案的费用． 【任务2】(2)若，分别计算两种方案的费用． 【任务3】在(2)的条件下，如果两种方案可以同时使用，请帮助学校设计一种最省钱的方案． 【答案】【任务1】方案一：元，方案二：元； 【任务2】该校选择方案二更省钱； 【任务3】100张桌子全部用方案一买，剩下的椅子用方案二买． 【分析】（1）根据各自的优惠方案，用代数式表示所需费用； （2）当时，分别求出（1）中两个代数式的值，通过比较即可求解； （3）按以下三种方式分别计算出各自所需费用并进行比较即可： ①全按方案一购买； ②全按方案二购买； ③先按方案一购买100张课桌，同时送100把椅子，再按方案二购买200把椅子． 【解答】解：（1）方案一：（元）， 方案二：（元）． （2）当时， 方案一：（元）， 方案二：（元）， ，∴该校选择方案二更省钱； （3）当时，由（2）可知，①全按方案一购买：元； ②全按方案二购买：元； ③先按方案一购买100张课桌，同时送100把椅子；再按方案二购买200把椅子， ， ， ∴先按方案一购买100张桌子，同时送100把椅子；再按方案二购买200把椅子最省． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，列代数式，代数式求值等知识，理解两种优惠方案，从而正确写出代数式是解决问题的关键． 【变式5-3】当今社会，随着生活水平的提高，人们越来越重视自己的身心健康，开始注重锻炼身体．某公司计划购买50个羽毛球拍和个羽毛球，某体育用品商店每个羽毛球拍定价80元，每个羽毛球定价5元，经协商拟定了如下两种优惠方案（两种优惠方案不可混用）： 方案一：每买一个羽毛球拍就赠送2个羽毛球； 方案二：羽毛球拍和羽毛球都按定价的付款． （1）若，请计算哪种方案划算； （2）若，请用含的代数式分别把两种方案的费用表示出来； （3）请你帮助公司写出取值不同时的所有划算的购买方案． 【答案】（1）方案一；（2）元，元；（3）当时，方案二划算；当时，方案一划算；当时，方案一和方案二一样划算；当时，方案二划算． 【分析】本题考查了有理数混合运算的实际应用，列代数式，一元一次方程的应用，理解题意是解题关键． （1）分别求出时，两种优惠方案的费用，比较即可求解； （2）根据两种优惠方案分别列式即可； （3）若方案一和方案二的费用相等，当时，方案一不需要单独再购买羽毛球，列方程求得；当时，方案一和方案二都需要单独购买羽毛球，列方程求得，再进行讨论即可求解． 【解答】（1）解：当时， 方案一：（元）． 方案二：（元）． 因为， 所以当时，方案一划算． 答：若，方案一划算． （2）解：当时， 方案一：元． 方案二：元． 答：方案一、方案二的费用用代数式分别表示为元，元． （3）解：若方案一和方案二的费用相等， 当时，方案一不需要单独再购买羽毛球，可得， 解得． 因为， 所以，当时，方案二划算；当时，方案一划算； 当时，方案一和方案二都需要单独购买羽毛球，可得， 解得． 所以，当时，方案一划算；当时，方案一和方案二一样划算；当时，方案二划算． 综上可知，当时，方案二划算；当时，方案一划算；当时，方案一和方案二一样划算；当时，方案二划算． 【变式5-4】元旦节期间，长沙市各大商场纷纷推出优惠政策吸引顾客，下面是德思勤和奥特莱斯各自推出的优惠办法： 德思勤：1．若一次购物不超过500元（不含500），不予优惠．2．若一次购物满500元（含500），但不超过1000元（不含1000），所有商品享受9折优惠．3．若一次购物超过1000元（含1000），超过部分享受6折，其余的一律9折； 奥特莱斯：1、若一次购物不超过500元，不予优惠．2、若一次购物满500元，则所有商品享受8折．问： （1）小雄哥想到德思勤买件标价为1800元的衣服，他应该付多少钱？ （2）请问当我们购买多少钱的商品时，在两个商场可以享受相同的优惠？ （3）小雄哥元旦节打算消费3000元购买自己想要的商品，已知这些商品德思勤和奥特莱斯都有，没有说一定去哪个商场，只是倘若去两个商场各买一部分的话，去德思勤购买商品的原价是奥特菜斯购买商品原价的2倍．请帮小雄哥预算一下，他能买到原价为多少的商品，并指出哪种方案最香． 【答案】（1）1380（元）；（2）当我们购买不超过500元或购买1500元钱的商品时，在两个商场可以享受相同的优惠；（3）全部去德思勤买可买到的原价为4500元，全部去奥特莱斯买可买到的原价为3750元，两个商场各买一部分可买到的原价为4050元；∵4500＞4050＞3750，∴应选择全部去德思勤买 【分析】（1）根据德思勤的优惠办法即可求解； （2）分两种情况：一次购物不超过500元；一次购物超过1000元；进行讨论即可求解； （3）分别求出三种打算的原价，进行比较即可求解． 【解答】解：（1）1000×0.9＋（1800−1000）×0.6＝1380（元）． 答：她应该付1380元钱； （2）一次购物不超过500元，在两个商场可以享受相同的优惠； 一次购物超过1000元，设当我们购买x元钱的商品时，在两个商场可以享受相同的优惠，依题意有 1000×0.9＋0.6（x−1000）＝0.8x， 解得x＝1500． 综上所述，当我们购买不超过500元或购买1500元钱的商品时，在两个商场可以享受相同的优惠； （3）分三种情况讨论： ①全去德思勤买 设他能买到原价为x元的商品 根据题意的：1000×0.9+0.6（x-1000）=3000，解得：x=4500； ②全去奥特莱斯买，3000÷0.8＝3750（元）； ③两个商场各买一部分的话，去德思勤购买商品的原价是奥特菜斯购买商品原价的2倍 设去奥特菜斯购买商品原价为y元，德思勤购买商品的原价为2y元 根据题意的：0.8y+1000×0.9+0.6(2y-1000)=3000 解得：y=1350 1350×2=2700（元） 1350+2700=4050（元）； ∵4500＞4050＞3750， ∴应选择第①种打算．全部去德思勤买 【点评】考查了一元一次方程的应用，本题主要是应用题中的销售类，此题考查了关于优惠下的实际消费问题． 【变式5-5】学校10月19日举办体育文化艺术节活动，准备单色圆珠笔、双色圆珠笔、三色圆珠笔三种圆珠笔共1000支作奖励（每种圆珠笔都要有），其中双色圆珠笔的单价比单色圆珠笔的单价贵0.2元，买5支双色圆珠笔和8支单色圆珠笔共需要6.2元． （1）双色圆珠笔和单色圆珠笔的单价分别是多少元？ （2）若某超市的三色圆珠笔根据球珠直径有两个级别，学校只能从中选择一个级别．价格如下表： 三色圆珠笔级别 球珠直径 球珠直径 单价 1元 1.5元 现在学校用880元去购买这三种圆珠笔，且单色圆珠笔和三色圆珠笔的数量是相同的，应该选样哪种级别的三色圆珠笔比较合适？购买方案是什么？请说明理由． （3）若要求购买三色圆珠笔的数量是单色圆珠笔的一半，单色圆珠笔和双色圆珠笔单价不变，其中三色圆珠笔单价为a元，在总数量不变的前提之下，无论这三种圆珠笔的数量如何分配，总费用始终不变．求此时a的值和总费用． 【答案】（1）0.6，0.4；（2）购买单色圆珠笔和三色圆珠笔各支，双色圆珠笔支； （3）的值为，总费用为元． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，整式的应用，根据题意列出方程和整式是解题的关键． （1）设单色圆珠笔单价为元，双色圆珠笔单价为元，根据列出方程求解即可； （2）设购买单色圆珠笔支，三色圆珠笔支，则双色圆珠笔支，然后分购买球珠直径、球珠直径三色圆珠笔的总费用等于列方程，解方程取符合题意的值即可； （3）设购买支三色圆珠笔，则单色圆珠笔支，双色圆珠笔支，总费用为元，由题意列出方程，根据总费用始终不变，求出和的值即可． 【解答】（1）解：设单色圆珠笔单价为元，双色圆珠笔单价为 元， 由题意得：， 解得， ∴， 答：单色圆珠笔单价为元，双色圆珠笔单价为元； （2）解：设购买单色圆珠笔支，三色圆珠笔支，则双色圆珠笔支， 当选球珠直径三色圆珠笔购买时， 则， 解得，不合题意； 当选球珠直径三色圆珠笔购买时， 则， 解得， ∴，符合题意， 答：购买单色圆珠笔和三色圆珠笔各支，双色圆珠笔支； （3）解：设购买支三色圆珠笔，则单色圆珠笔支，双色圆珠笔支，总费用为元， 由题意得： ， ∵与无关， ∴， 解得：， ∴， 答：此时的值为，总费用始终不变，总费用为元． 【题型6】 阶梯计价问题 【例6】为鼓励人们节约用水，合肥市居民使用自来水实行阶梯式计量水价，按如下标准缴费（水费按月缴纳）： 用户月用水量 单价 不超过的部分 a元 超过但不超过的部分 元 超过的部分 2a元 (1)当时，芳芳家月份用水量为，则该月需交水费________元；月份芳芳家交了水费元，则月份用水量为________（直接写出答案）； (2)当时，亮亮家一个月用了的水，求亮亮家这个月应缴纳的水费； (3)设某用户月用水量为（），该用户这个月应缴纳水费多少元？（用含，的式子表示） 【答案】(1)； (2)亮亮家这个月应缴纳的水费为元 (3)该用户这个月应缴纳水费元 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算及整式的加减及一元一次方程的应用，正确理解题干所给计算公式是解题的关键． （1）根据题干所给计算公式即可求得芳芳家月份需交水费，设芳芳家月份用水量为，列一元一次方程求解即可得月份用水量； （2）根据题干所给计算公式即可求解； （3）根据所给计算公式列式计算即可． 【解答】（1）解：当，芳芳家月份用水量为时，该月需交水费为 元； 设芳芳家月份用水量为， ∵，， ∴， 则由题意，得， 解得， ∴芳芳家月份用水量为． 故答案为：；； （2）解： 元， 答：亮亮家这个月应缴纳的水费为元． （3）解：户月用水量为（）， ∴该用户应缴纳的水费为 元， 答：该用户这个月应缴纳水费元． 【变式6-1】某市对居民生活用电实行阶梯电价，具体收费标准如下表： 档次 月用电量 电价（元/度） 第1档 不超过240度的部分 第2档 超过240度但不超过400度的部分 第3档 超过400度的部分 已知10月份该市居民老李家用电200度，交电费120元；9月份老李家交电费183元. (1)表中的值为________； (2)求老李家9月份的用电量； (3)若8月份老李家用电的平均电价为元/度，求老李家8月份的用电量. 【答案】(1) (2)300 (3)800 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，正确理解分档用电量的计算是解题的关键． （1）利用电费=电价×月用电量，即可得出关于a的一元一次方程，解之即可求出a的值． （2）设老李家9月份的用电量为x度，先求出月用电量为240度时的电费，由该值小于183，可得出，再利用电费超过240度的部分，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． （3）设老李家8月份的用电量为y度，根据8月份老李家用电的平均电价为元/度，即可得出关于y的一元一次方程，解之即可得出结论． 本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 【解答】（1）依题意得：， 解得：． 故答案为：． （2）设老李家9月份的用电量为x度， ∵（元），， ∴． 依题意得：， 解得：． 答：老李家9月份的用电量为300度． （3）．∵三个档次的平均价格为（元），8月份老李家用电的平均电价为元/度， ∴老李家8月份用电量一定超过400度， 设老李家8月份的用电量为y度， 依题意得：， 解得：． 答：老李家8月份的用电量为800度． 【变式6-2】某城市自来水收费实行阶梯水价，收费标准如下表所示： 月用水量 不超过12吨 的部分 超过12吨但 不超过18吨的部分 超过18吨 的部分 收费标准（元/吨） 2.00 2.50 3.00 (1)若小明家3月份用水量是15吨，则需交水费 元； (2)若小明家3月份交水费60元，求小强家3月份用水量是多少吨？ 【答案】(1)31.5 (2)小明家3月份的用水量是25吨 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，有理数的加减和乘法混合运算，解题要先把区间划分出来，先计算出极限数值，这样有利于解题． （1）根据收费标准列式求解即可； （2）首先判断出3月份的用水量超过了18吨，设小明家3月份用水量为吨，依题意列出方程求解即可． 【解答】（1）（元）； （2）解：如果一个月用水12吨，则需水费：（元） 如果一个月用水18吨，则需水费：（元） 3月份的用水量超过了18吨． 设小明家3月份用水量为吨， 依题意可得： 解得： 答：小明家3月份的用水量是25吨． 【变式6-3】某市电力部门对居民用电按月收费，标准如下：①用电不超过100度的，每度收费0.5元；②用电超过100度的，超过部分每度收费0.8元． (1)小明家2月份用电86度，应缴费________元；3月份用电140度，应缴费________元； (2)小明家4月份电费为90元，则他家4月份用了多少度电？ (3)小明家5月份和6月份共用电260度，共缴费154元，并且6月份的用电量超过5月份的用电量，那么，他家5、6月份各用了多少度电？ 【答案】(1)43，82 (2)小明家4月份用了150度电 (3)小明家5月份用了80度电，6月份用了180度电 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及有理数的混合运算的应用： （1）利用总价=单价×数量，结合该市的收费标准，即可求出结论； （2）设小明家4月份用了x度电，根据设小明家4月份用了x度电，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论； （3）设小明家5月份用了y度电，则6月份用了度电，分及两种情况考虑，根据小明家5月份和6月份共缴电费154元，可列出关于y的一元一次方程，解之即可得出结论． 【解答】（1）解：根据题意得：（元）； （元）． ∴小明家2月份用电86度，应缴费43元；3月份用电140度，应缴费82元． 故答案为：43，82； （2）解：设小明家4月份用了x度电， 根据题意得：， 解得：． 答：小明家4月份用了150度电； （3）解：设小明家5月份用了y度电，则6月份用了度电． 当时，， 解得：， ∴（度）； 当时，， 方程无解，舍去． 答：小明家5月份用了80度电，6月份用了180度电． 【变式6-4】某市居民年用天然气阶梯价格方案如下： 第一档 第二档 第三档 年用天然气量为及以下，价格为2元/． 年用天然气量超出不足时，超出的部分价格为元/． 年用天然气量超出的部分价格为3元/． 依此方案请回答： （1）若小明家2023年使用天然气则需缴纳天然气费为______元； （2）某户2022年和2023年共用天然气，两年共缴纳天然气费用1780元，且2023年用气量比2022年多，求该户2022年和2023年的天然气用量各是多少． 【答案】（1）765； （2）年用气量为，年用气量为． 【分析】本题考查了一元一次方程在实际生活中的应用，关键理解题意，找到等量关系并正确列出一元一次方程． （1）按照第二档天然气用量的价格方案计算：按每立方米2元计算，超过的按每立方米元计算，两部分相加即可； （2）根据2022年和2023年共用天然气，2023年用气量比2022年多，得出年超过，年不足，设年用气量为，则年用气量为，分两种情况：当时，当时，列出方程，解方程即可． 【解答】（1）解：（元）， 故答案为：765． （2）解：∵2022年和2023年共用天然气，2023年用气量比2022年多， ∴年超过，年不足， 设年用气量为，则年用气量为， 当时， ， 解得：（不符合题意舍去）； 当时， ， 解得：； ， 答：年用气量为，则年用气量为． 【变式6-5】移动公司推出A、B两种话费与流量套餐，套餐详情如表． 月基本费/元 主叫限定时长（min） 主叫超时费（元/min） 被叫 免费数据流量（） 流量超额费（元/） 套餐A 79 200 免费 15 3 套餐B 99 300 免费 20 2 套餐补充说明：①月结话费月基本费主叫超时费流量超额费： ②流量超额后以为单位计费（例如：套餐A流量超额，需另付元）． （1）若贝贝的爸爸使用套餐A，10月主叫时长为300分钟，使用的流量为，求他的月结话费为多少？ （2）若贝贝的爸爸11月份主叫时长为350分钟，使用的流量为（），贝贝通过计算发现，按A、B两种套餐计费的月结话费刚好相同，求a的值： （3）若贝贝的爸爸12月份主叫时长不足200分钟，请你根据他流量使用情况计算说明选用哪种套餐更省钱． 【答案】（1）元；（2）（3）当使用流量小于或大于且小于时，使用A套餐更省钱；当使用流量等于或等于时，使用两种套餐一样省钱；当使用流量大于且小于等于或大于时，使用B套餐更省钱． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，有理数四则混合运算的实际应用： （1）根据所给的收费标准列式计算即可； （2）分别计算出两种方式的收费，再根据费用相同建立方程求解即可； （3）当时，套餐A的费用为79元，套餐B的费用为99元，则选择套餐A更省钱；当且套餐A的费用和套餐B的费用相同时，则， 解得，则当时，选择套餐A更省钱；当时，两种套餐一样省钱；当时，选择套餐B更省钱；当且套餐A的费用和套餐B的费用相同时，则，解得，则当时，选择套餐A更省钱；当时，两种套餐一样省钱；当时，选择套餐B更省钱；据此可得答案． 【解答】（1）解： 元， ∴他的月结话费为元； （2）解；由题意得，， 解得； （3）解：设贝贝的爸爸使用流量， 当时，套餐A的费用为79元，套餐B的费用为99元， ∵， ∴选择套餐A更省钱； 当且套餐A的费用和套餐B的费用相同时，则， 解得， ∴当时，选择套餐A更省钱； 当时，两种套餐一样省钱； 当时，选择套餐B更省钱； 当且套餐A的费用和套餐B的费用相同时，则， 解得， ∴当时，选择套餐A更省钱； 当时，两种套餐一样省钱； 当时，选择套餐B更省钱； 综上所述，当使用流量小于或大于且小于时，使用A套餐更省钱；当使用流量等于或等于时，使用两种套餐一样省钱；当使用流量大于且小于等于或大于时，使用B套餐更省钱． 【题型7】 行程问题 【例7】一辆快车从A地匀速驶往B地，同时一辆慢车从B地匀速驶往A地，两车行驶时相遇，相遇地点距B地．相遇后再行驶，快车到达B地，休息后立即以原速返回，驶往A地． （1）快车的速度是_____，慢车的速度是_____；A、B两地的距离是_____； （2）从两车出发直至慢车到达A地的过程中，经过几小时两车相距？ 【答案】（1）；；；（2）小时或小时或小时 【分析】本题考查一元一次方程在行程问题中的应用，有理数四则混合计算的实际应用： （1）根据两车同时出发，行驶2h时相遇，相遇地点距地，可知慢车的速度，再根据相遇后再行驶，快车到达地，可得快车的速度，则两地距离可得； （2）设从两车出发直至慢车到达地的过程中，经过小时两车相距，则分三种情况列方程求解即可：①两车相遇前；②两车相遇后；③快车到达地，休息后，此时快车再次驶向地，两车有一个相距的时间，根据题意列方程求解即可； 明确行程问题的基本关系式并理清题中的数量关系是解题的关键． 【解答】（1）解：∵两车同时出发，行驶时相遇，相遇地点距地， ∴慢车的行驶速度为：， 又∵相遇后再行驶，快车到达地， ∴快车行驶了， ∴快车的速度为， ∴、两地的距离是： 故答案为：；；； （2）解：设从两车出发直至慢车到达地的过程中，经过小时两车相距，则有三种情况： ①两车相遇前：， 解得：； ②两车相遇后：， 解得：； ③时，快车行驶了， ∴快车到达地，休息后，时， 此时两车已经相距：， ∴， 解得：． 答：经过小时或小时或小时两车相距． 【变式7-1】某学校七年级学生组织步行到郊外旅行，701班学生组成前队，速度为每小时4千米， 702班同学组成后队，速度为每小时6千米，前队出发1小时后，后队才出发，同时，后队派出一名联络员骑自行车在两队之间不断地来回进行联络，骑车的速度是每小时12千米（队伍长度忽略不计）． （1）后队出发后多长时间可以追上前队？ （2）后队刚好追上前队时，联络员共骑行了多少千米？ （3）联络员出发到他第一次追上前队的过程中，何时联络员离前队的距离与他离后队的距离相等？ 【答案】（1）2小时；（2）；（3）小时 【分析】（1）本题主要考查一元一次方程的实际应用，解答本题的关键在于找到题目中的等量关系列式求解，根据后队追上前队所走路程一样可列方程． （2）解答本题的关键在于明确联络员骑行的总时间本题即可求解．当后队刚好追上前队时，联络员共骑行的时间为后队刚好追上前队的时间，根据（1）追及时间可知，联络员共骑行的距离也即可求出． （3）解答本题的关键在于正确表示出联络员与前后两队伍之间的距离，用前面队伍所走的路程减去联络员所骑行的距离等于联络员骑行的距离减去后面队伍所走的路程，列式求解即可． 【解答】（1）解：设后队追上前队所用时间为小时，则前队被追上时所走时间为小时， 根据“路程=时间速度”，两队伍追上时路程一样，可列方程为： 解得，． ∴后队出发后2小时可以追上前队． （2）∵当后队刚好追上前队时，联络员共骑行的时间等于后队刚好追上前队的时间， ， ∴联络员骑行距离为： ． ∴联络员共骑行了． （3）设联络员出发后小时与前队和后队的距离相等为 ， 联络员出发后小时，前队所走的路程为：； 后队所走的路程为：； 联络员所走的路程为：， 联络员与前队距离为：； 联络员与后队距离为：， 根据联络员与前后队距离相等得到， 解得：， ∴联络员骑行小时后离前队的距离与他离后队的距离相等． 【变式7-2】综合与实践：如图，这是我市某校校园内的环形跑道，跑道是由线段，及半圆，组成的，已知跑道的周长为400米，半圆，的长都为88米，，和分别是线段和的中点．（请用方程的相关知识解决下列问题）．    (1)求线段的长； (2)小明和小英在如图所示的环形跑道上练习跑步，已知小明、小英两人分别从点，两处同时沿着箭头方向出发，小明的速度是6米秒，小英的速度是4米秒． ①多长时间后，两人首次相遇？ ②在第二次相遇前，经过多长时间两人在跑道上相距100米？ 【答案】(1)56米 (2)①20秒后，两人首次相遇；②在首次相遇后、第二次相遇前，经过30秒或50秒两人在跑道上相距100米 【分析】此题考查了一元一次方程的应用，理解题意，找出题中的等量关系是解本题的关键； （1）由跑道的周长减去半圆m，n的长，可 （米），再由E是线段AC的中点即可求解： （2）①设x秒后，两人首次相遇，根据首次相遇时两人的路程和是周长的列出方程，解方程即可：②设在第二次相遇前，经过x秒两人在跑道上相距100米，根据两人的路程和减去或两人的路程和减去列出方程，解方程即可． 【解答】（1）解：（米， 是线段的中点， （米， 答：线段的长为56米； （2）①设秒后，两人首次相遇， 根据题意得， 解得， 答：20秒后，两人首次相遇； ②设在第二次相遇前，经过秒两人在跑道上相距100米， 根据题意得或， 解得或， 答：在第二次相遇前，经过30秒或50秒两人在跑道上相距100米． 【变式7-3】一艘快艇从A码头到B码头顺流行驶，同时一艘游船从B码头出发顺流而下．已知，A、B两码头相距140千米，快艇在静水中的平均速度为67千米/小时，游船在静水中的平均速度为27千米/小时，水流速度为3千米/小时． （1）请计算两船出发航行30分钟时相距多少千米？ （2）如果快艇到达B码头后立即返回，试求两船在航行过程中需航行多少时间恰好相距100千米？ 【答案】（1）120；（2）1个小时或小时 【分析】（1）利用游船在顺水中的速度为静水速+水速，直接表示出两船的实际水速，即可求出； （2）分两种情况讨论①两船都在顺流而下时②快艇到B码头返回后两船相背而行时；得出两个方程，解出即可． 本题考查一元一次方程的应用，根据题意找出等量关系列方程是解题的关键． 【解答】（1）解：千米． 即在航行30分钟时两船相距120千米； （2）解：设在出发x小时后两船相距100千米． 第一种情况：两船都在顺流而下时，则 ， 理整得， 解得， 即两船都在顺流而下时，在航行1小时时两船相距100千米． 第二种情况：快艇到B码头返回后两船相背而行时． ∵快艇从A码头到B码头需回时小时． 于是由题意有， 整理得， 解得． 即两船都在相背而行时，在航行小时时两船相距100千米． 综上所述，两船从出发在航行1个小时或小时都恰好相距100千米． 【变式7-4】如图，水平跑道和的长度分别为米和米，斜坡跑道的长度为米．小明从点出发沿跑道慢跑到达点，小东同时从点出发沿跑道慢跑到达点．他们在水平跑道慢跑的速度都是米分，小明在上坡跑道慢跑速度是水平跑道速度的一半，小东在下坡跑道慢跑速度是水平跑道速度的倍． （1）小明在上坡跑道的慢跑速度是______米/分． （2）当小明和小东相遇时，求小明慢跑的路程． （3）当小明和小东相距米时，求小明慢跑的时间． 【答案】（1）；（2）米；（3）分钟或分钟． 【分析】（1）根据题意，小明在上坡跑道慢跑速度是水平跑道速度的一半，即可求解； （2）根据题意，24秒后小东在上，相遇点在上，设相遇时，用时分，根据题意列出一元一次方程即可求解； （3）依题意，当小明和小东相距米时，设小明慢跑的时间为分，分相遇前后两种情况分别讨论，列出一元一次方程，解方程即可求解． 【解答】（1）解：依题意，米分， 故答案为：． （2）解：∵（分），（分）， ∴24秒后小东在上，相遇点在上， 设相遇时，用时分，依题意得： 解得： ∴（米） 答：当小明和小东相遇时，求小明慢跑的路程为米； （3）解：由（2）可知相遇点距离点（米） 依题意，当小明和小东相距米时，设小明慢跑的时间为分， ①两人相遇前，小明在线段上，小东在线段上， 依题意：， 解得：， ②两人相遇后，则小明在线段上，小东在线段上， 依题意，， 解得：， 综上所述，当小明和小东相距米时，求小明慢跑的时间为分钟或分钟． 【变式7-5】如图，在射线上有三点，，，满足，，（如 图所示），点从点出发，沿方向以的速度匀速运动，点从点出发在线段上向 点匀速运动，两点同时出发． (1)当在线段上，且时，点运动到的位置恰好是线段的三等分点，求点运动的速度； (2)若点运动的速度为，经过多长时间、两点相距； (3)当点运动到线段上时，分别取和的中点，，求的值． 【答案】(1)点运动的速度为或； (2)经过或两点相距； (3)2 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，掌握分类讨论思想、数形结合思想以及用含字母的代数式表示相关线段的长度成为解答本题的关键. （1）由于点P及Q是运动的，当时实际上是P正好到了的三等分点上，分二种情况讨论，当和时，由此就可求出它的速度； （2）若点Q运动速度为，经过多长时间P、Q两点相距，这也有两种情况即当它们相向而行时，和它们直背而行时，此题可设运动时间为，运用速度公式求解即可； （3）先画出图形，然后可以把它当成一个静止的线段问题来求解即可． 【解答】（1）解：当P在线段上时，由及， 可求得，， 故点P运动时间为． 若时，则，， 故点Q的运动速度为； 若时，则，， 故点Q的运动速度为； 答：点运动的速度为或； （2）解：设运动时间为， 由题意得， 解得或40， ∵点Q运动到O点时停止运动， ∴点Q最多运动，当点Q运动到点O时，，之后点P继续运动即，则 ，此时， 故经过或两点相距； （3）解：如图， 设，点P在线段上，，， ， ∴． 【题型8】 和差倍分比问题 【例8】A站有公共汽车26辆，B站有公共汽车30辆．每小时由A站向B站开出汽车12辆，B站向A站开出汽车8辆，都是经过1小时到达．几小时后B站的公共汽车辆数是A站的3倍？ 【答案】3 【分析】本题考查一元一次方程的应用，设小时后B站的公共汽车辆数是A站的3倍，表示出变化后A站和B站的车辆数，据此列方程即可． 【解答】解：设小时后B站的公共汽车辆数是A站的3倍，此时A站车辆数为辆，B站的车辆数辆， 由题意得，， 解得， 答：3小时后B站的公共汽车辆数是A站的3倍． 【变式8-1】父亲和女儿现在的年龄和是40，当父亲的年龄是女儿现在年龄的3倍的时候，女儿的年龄是父亲现在年龄的 ，女儿现在的年龄 岁． 【答案】10 【分析】本题考查一元一次方程的应用，设女儿现在的年龄是x岁，则父亲现在的年龄是岁，根据父女的年龄差不变列一元一次方程求解即可． 【解答】解：设女儿现在的年龄是x岁，则父亲现在的年龄是岁， 由题意得，， 解得， 即女儿现在的年龄是10岁， 故答案为：10． 【变式8-2】有525名同学，分为三组进行活动，第一组的是第二组的，第二组的是第三组的．问三个组各有多少人？ 【答案】第一组有120人，第二组有180人；第三组人数225人． 【分析】本题主要考查了比的应用和一元一次方程等知识点，设第一组有人，则第二组有人；第三组人数，然后列出方程，解方程即可得解，设出未知数，用未知数表示出各组的人数是解题关键． 【解答】解：依题意设第一组有人，则第二组有人；第三组人数； ∵三组人共525人， ∴， 解方程得，， ∴（人），（人），（人）， ∴第一组有120人，则第二组有180人；第三组人数225人． 【变式8-3】植树节这一天，七年级（2）班的同学计划种植一批树苗，小康每小时可以种植5棵树苗，小英每小时可以种植4棵树苗，小康和小英两位同学同时种植树苗． （1）经过多长时间他俩一共可以种植27棵树苗？ （2）小英对小康说：“你种得太快了，你比我多种植了5棵树苗了．”请问小康此时种植了多少棵树苗？ 【答案】（1）3小时；（2）25 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意正确列出一元一次方程是解决问题的关键． （1）设小时他俩一共可以种植27棵树苗，根据两人的工作总量是种植27棵树苗，列出一元一次方程，解方程即可得出答案； （2）设小英种植了棵树苗，则小康种植了棵树苗，根据两人的工作时间相同，列出一元一次方程，解方程即可得出答案． 【解答】（1）解：设小时他俩一共可以种植27棵树苗， 由题意得：， 解得：3， 答：经过3小时他俩一共可以种植27棵树苗； （2）设小英种植了棵树苗，则小康种植了棵树苗， 由题意得：， 解得：， 则， 答：小康此时种植了25棵树苗． 【变式8-4】(浓度问题)瓶中装有浓度为的酒精溶液1800克，现在又分别倒入300克和400克的A、B两种酒精溶液，瓶里的酒精溶液浓度变为．已知A种酒精溶液的浓度是B种酒精溶液浓度的2倍，那么A种酒精溶液的浓度是多少？ 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的应用，设B种酒精溶液的浓度为，则A种酒精溶液的浓度为，根据题意，列出方程进行计算即可． 【解答】解：设B种酒精溶液的浓度为，则A种酒精溶液的浓度为，由题意，得： ， 解得：， ∴； 答：A种酒精溶液的浓度是． 【变式8-5】大江东产业集聚区某中学李老师为学校开展的“迎峰会”演讲比赛购买奖品，回到学校向总务处王主任交账时说：“我买了两类书，共本，单价分别为元和元，买书前我领取了元，现还剩余元，”王主任算了算觉得不对，就说：老师你搞错了． (1)请同学们用所学知识解释李老师为什么搞错了？ (2)李老师急忙拿出发票，发现原来还多买了一支水笔，但水笔的单价写得模糊不清，李老师只记得水笔价格为小于的正整数，则这支水笔单价应为多少元？ 【答案】(1)理由见解析 (2)元或元 【分析】本题考查一元一次方程的知识，解题的关键是根据题意，列出方程，进行解答，即可． （1）设元的买了本，元的是本，则，解出方程，即可； （2）设元的买了本，元的是本，水笔为元，则，解出方程，即可． 【解答】（1）解：理由，如下： 设元的买了本，元的是本， ∴， 解得： ∵取正整数 ∴不符合题意； ∴李老师搞错了． （2）设元的买了本，元的是本，水笔为元， ∴， 解得：， ∵为正整数，且为小于的正整数； ∴必须被整除， ∴，， ∴这支水笔单价应为元或元． 学科网（北京）股份有限公司 $$