专题03 实数（八大题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学上学期期末真题分类汇编（北师大版）

专题03 实数 实数的分类 1．（23-24 八年级上·山东青岛·期末）若a为有理数，则a的倒数（　　） A．一定是实数 B．是无理数 C．不存在 D．当时，一定是有理数 2．（23-24 八年级上·湖北十堰·期末）在，，，0，，，中，无理数的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（23-24 八年级上·天津蓟州·期末）下列说法中，正确的是（　　） A．无限不循环小数都是无理数 B．分数都是无理数 C．无理数都是循环小数 D．无限小数都是无理数 4．（23-24 八年级上·江苏泰州·期末）下列各数中，是有理数的是（   ） A． B． C． D． 5．（23-24 八年级上·西藏林芝·期末）把下列各数分别填入相应的集合中： ，，，，，，，，，相邻的两个之间依次多一个． (1)无理数集合：________________________________________ (2)有理数集合：________________________________________． (3)分数集合：_______________________． (4)负无理数集合：_____________． 实数的大小比较 6．（23-24 八年级上·广东江门·期末）实数1，0，，中，最大的数是（　　） A．1 B．0 C． D． 7．（23-24 八年级上·安徽安庆·期末）下列各数中，最小的数是（    ） A． B． C．32 D． 8．（23-24 八年级上·江苏南京·期末）比较大小： （填“”、“”或“”）． 9．（23-24 八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）比较与的大小，其结果是M N．（填“>”，“<”或“=”） 10．（23-24 八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）比较大小： ． 平方根与算术平方根 11．（23-24 八年级上·安徽六安·期末）若，则的平方根是（   ） A． B． C． D． 12．（23-24 八年级上·河北石家庄·期末）下列各等式中正确的是（   ） A． B． C． D． 13．（23-24 八年级上·吉林长春·期末）实数4的算术平方根为 ． 14．（23-24 八年级上·黑龙江鹤岗·期末）如果，是2024的两个平方根，那么 ． 15．（23-24 八年级上·广东汕头·期末）已知一个正数的两个平方根分别是和，则这个正数为 ． 16．（23-24 八年级上·四川南充·期末）下列各个图形中，“●”的个数用a表示，“○”的个数用b表示，如时，，；时，，；……根据图形的变化规律，当时，的值为 ． 17．（23-24 八年级上·河南商丘·期末）已知的算术平方根是5，的平方根是，c是的整数部分，求的平方根． 立方根 18．（23-24 八年级上·贵州毕节·期末）下列说法正确的是（   ） A．的立方根是 B．的平方根是 C．的算术平方根是4 D．的立方根是 19．（23-24 八年级上·广东广州·期末）若，则 ， ． 20．（23-24 八年级上·湖南永州·期末）若，则 ． 21．（23-24 八年级上·贵州毕节·期末）解方程 (1)； (2)． 22．（23-24 八年级上·广东东莞·期末）已知：一个正数的两个平方根分别是和 (1)求的值； (2)求的立方根 23．（23-24 八年级上·吉林松原·期末）已知正数的两个不同的平方根分别为和．求的立方根． 实数的混合运算 24．（23-24 八年级上·广西南宁·期末）在信息技术课上，好学的小明制作了一个关于实数的运算程序如图所示，若输出的y值为时，则输入的实数x可取的负整数值是 ． 25．（23-24 八年级上·河南安阳·期末）计算： (1)； (2)． 26．（23-24 八年级上·黑龙江鹤岗·期末）计算： (1) (2) 27．（23-24 八年级上·云南红河·期末）计算： (1)； (2) 28．（23-24 八年级上·广西百色·期末）计算： 二次根式的概念及同类二次根式 29．（23-24 八年级上·湖北省直辖县级单位·期末）已知是正整数，是整数，则的最小值为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 30．（23-24 八年级上·辽宁抚顺·期末）下列二次根式中，可以与合并的是（    ） A． B． C． D． 31．（23-24 八年级上·广西百色·期末）最简二次根式与是同类二次根式，则（   ） A． B． C． D． 32．（2024八年级上·广东·期末）若实数m满足，则m的取值范围是 ． 33．（23-24 八年级上·河南信阳·期末）若，则的值为 ． 34．（23-24 八年级上·安徽黄山·期末）与最简二次根式是同类二次根式，则 ． 35．（23-24 八年级上·湖南郴州·期末）若最简二次根式与可以合并，则 ， ． 二次根式的混合运算 36．（23-24 八年级上·四川眉山·期末）化简的结果是（    ） A． B． C． D． 37．（23-24 八年级上·重庆荣昌·期末）估计的值在（    ） A．4和5之间 B．3和4之间 C．2和3之间 D．1和2之间 38．（23-24 八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）设，N是M的小数部分，则的值为 ． 39．（23-24 八年级上·山东济宁·期末）计算： (1)； (2)． 40．（23-24 八年级上·湖北襄阳·期末）计算： (1)； (2)已知，，求代数式 的值． 41．（23-24 八年级上·重庆荣昌·期末）计算下列各题． (1)； (2)． 二次根式的化简求值 42．（23-24 八年级上·湖南岳阳·期末）若，则代数式的值是（   ）． A．2006 B．2005 C．2004 D．2003 43．（23-24 八年级上·湖北武汉·期末）已知，且，则的值是（    ） A． B． C． D． 44．（23-24 八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）已知，则式子的值是 ． 45．（23-24 八年级上·四川成都·期末）已知，，则的值为 ． 46．（23-24 八年级上·湖北宜昌·期末）已知，，则代数式的值为 ． 47．（23-24 八年级上·江苏南京·期末）（1），，求代数式的值． （2）先化简，再求值． ，其中，． 48．（23-24 八年级上·山东烟台·期末）已知，先化简再求的值． 一、单选题 1．（23-24 八年级上·云南大理·期末）判断下列说法正确的是（    ） A．是的立方根 B．是的算术平方根 C．的平方根是 D．算术平方根等于本身的数是 2．（23-24 八年级上·浙江金华·期末）将中根号外的移到根号里后得到的式子为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24 八年级上·四川眉山·期末）下列说法：①数轴上没有点表示这个无理数；②；③在两个连续整数和之间，那么；④若正实数的平方根是和，则；⑤1的立方根是．正确的有（    ） A．①②③ B．②③⑤ C．③④⑤ D．②③④ 4．（23-24 八年级上·江苏南通·期末）下列各式①；②；③；④；⑤；其中一定是最简二次根式的有（   ） A．4 个 B．3 个 C．2个 D．1个 5．（23-24 八年级上·江苏南通·期末）若函数存在，设此时y的值为，的平方根是（  ） A． B．5 C． D． 6．（23-24 八年级上·黑龙江牡丹江·期末）已知，为实数，，那么的值为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 7．（23-24 八年级上·广东肇庆·期末）如果和互为相反数，那么的平方根是 ． 8．（23-24 八年级上·甘肃陇南·期末）已知是整数，则满足条件的最小自然数的值为 ； 9．（23-24 八年级上·安徽黄山·期末）观察分析，探求规律，然后填空：， （在横线上写出第50个数）． 10．（23-24 八年级上·安徽合肥·期末）如果三角形三边长分别为，k ，，则化简 得 三、解答题 11．（23-24 八年级上·贵州毕节·期末）计算题 (1)； (2)； (3)； (4)． 12．（23-24 八年级上·浙江丽水·期末）已知的立方根是，的绝对值是的整数部分是． (1)求的值； (2)求的平方根． 13．（23-24 八年级上·云南普洱·期末）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题： (1)线段的长为 ，线段的长为 ， 线段的长为 ； (2)的面积是 ． 14．（23-24 八年级上·浙江金华·期末）如图，有一只蚂蚁从点B沿数轴向左爬了2个单位长度到达点A，若点B表示数，设点A所表示的数为m． (1)实数m的值是______． (2)求的值． (3)在数轴上还有C，D两点分别表示实数c和d，且有与互为相反数，求的平方根． 15．（23-24 八年级上·内蒙古包头·期末）喜欢探索数学知识的小明遇到一个新的定义：对于三个互不相等的正整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“老根数”，其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”．例如：，，这三个数，，，，其结果分别为，，，都是整数，所以，，这三个数称为“老根数”，其中“最小算术平方根”是，“最大算术平方根”是． (1)试说明：，，这三个数是“老根数”，并求出它们的最小算术平方根与最大算术平方根； (2)已知，，，这三个数是“老根数”，且它们的最大算术平方根是最小算术平方根的倍，求的值． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 实数 实数的分类 1．（23-24八年级上·山东青岛·期末）若a为有理数，则a的倒数（　　） A．一定是实数 B．是无理数 C．不存在 D．当时，一定是有理数 【答案】D 【详解】解：若a是0，则a没有倒数，所以A、B错误； 当时，存在且一定是有理数，所以C错误，D正确， 故选：D． 2．（23-24八年级上·湖北十堰·期末）在，，，0，，，中，无理数的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】解：、0、、都是整数，属于有理数； 、是分数或者有限小数，属于有理数； 无理数有、，共2个． 故选：B． 3．（23-24八年级上·天津蓟州·期末）下列说法中，正确的是（　　） A．无限不循环小数都是无理数 B．分数都是无理数 C．无理数都是循环小数 D．无限小数都是无理数 【答案】A 【详解】解：A、无限不循环小数都是无理数，该说法正确，选项符合题意； B、分数都是有理数，该说法错误，选项不符合题意； C、无理数是无限不循环的小数，该说法错误，选项不符合题意； D、无限循环小数是有理数，该说法错误，选项不符合题意； 故选：A． 4．（23-24八年级上·江苏泰州·期末）下列各数中，是有理数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A．是无理数； B．是无理数； C．是分数，属于有理数； D．是无理数． 故选：C． 5．（23-24八年级上·西藏林芝·期末）把下列各数分别填入相应的集合中： ，，，，，，，，，相邻的两个之间依次多一个． (1)无理数集合：________________________________________ (2)有理数集合：________________________________________． (3)分数集合：_______________________． (4)负无理数集合：_____________． 【答案】(1)，，，，相邻的两个之间依次多一个 (2)，，，， (3)，， (4)， 【详解】（1）无理数集合：，，，，相邻的两个之间依次多一个， 故答案为：，，，，相邻的两个之间依次多一个， （2）有理数集合：，，，，， 故答案为：，，，，， （3）分数集合：，，， 故答案为：，，， （4）负无理数集合：，， 故答案为：，， 实数的大小比较 6．（23-24八年级上·广东江门·期末）实数1，0，，中，最大的数是（　　） A．1 B．0 C． D． 【答案】C 【详解】解：，， ， 即最大， 故选：C． 7．（23-24八年级上·安徽安庆·期末）下列各数中，最小的数是（    ） A． B． C．32 D． 【答案】A 【详解】解：∵，，， ∴， ∴最小的数是． 故选：A 8．（23-24八年级上·江苏南京·期末）比较大小： （填“”、“”或“”）． 【答案】 【详解】解：，，， ， 故答案为：． 9．（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）比较与的大小，其结果是M N．（填“>”，“<”或“=”） 【答案】 【详解】解：，， ∴， 故答案为：． 10．（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）比较大小： ． 【答案】 【详解】解：， ， ， ， 故答案为： 平方根与算术平方根 11．（23-24八年级上·安徽六安·期末）若，则的平方根是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的平方根为， 故选：B． 12．（23-24八年级上·河北石家庄·期末）下列各等式中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】A. ，故选项正确，符合题意；     B. ，故选项错误，不符合题意； C. ，故选项错误，不符合题意；     D. ，故选项错误，不符合题意； 故选：A 13．（23-24八年级上·吉林长春·期末）实数4的算术平方根为 ． 【答案】 【详解】实数4的算术平方根为， 故答案为：． 14．（23-24八年级上·黑龙江鹤岗·期末）如果，是2024的两个平方根，那么 ． 【答案】4048 【详解】解：∵是2024的两个平方根， ， 故答案为：4048． 15．（23-24八年级上·广东汕头·期末）已知一个正数的两个平方根分别是和，则这个正数为 ． 【答案】 【详解】解：由题意得， 解得：， 所以这个正数是． 故答案为：． 16．（23-24八年级上·四川南充·期末）下列各个图形中，“●”的个数用a表示，“○”的个数用b表示，如时，，；时，，；……根据图形的变化规律，当时，的值为 ． 【答案】4047 【详解】解：时，，， 时，，， 时，，， …… ∴，， 当时，，， ∴， 故答案为：． 17．（23-24八年级上·河南商丘·期末）已知的算术平方根是5，的平方根是，c是的整数部分，求的平方根． 【答案】 【详解】解：的算术平方根是5， ， 解得：． ∵的平方根是， ， 解得：． 是的整数部分，而， ， ， 的平方根为． 【点睛】此题题目主要考查算术平方根及平方根，估算算术平方根的整数部分，求代数式的平方根，熟练掌握这些基本运算是解题关键． 立方根 18．（23-24八年级上·贵州毕节·期末）下列说法正确的是（   ） A．的立方根是 B．的平方根是 C．的算术平方根是4 D．的立方根是 【答案】C 【详解】解：A、的立方根是，故此选项错误，不符合题意； B、没有平方根，故此选项错误，不符合题意； C、16的算术平方根是4，故此选项正确，符合题意； D、0.01的立方是0.000001，0.01的立方根不是0.000001，故此选项错误，不符合题意； 故选：C． 19．（23-24八年级上·广东广州·期末）若，则 ， ． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ， 故答案为：12；． 20．（23-24八年级上·湖南永州·期末）若，则 ． 【答案】或 【详解】解：， ，解得或， 故答案为或． 21．（23-24八年级上·贵州毕节·期末）解方程 (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2) 【详解】（1）解： ∴ ∴， 解得或； （2） ， 解得 22．（23-24八年级上·广东东莞·期末）已知：一个正数的两个平方根分别是和 (1)求的值； (2)求的立方根 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵一个正数的两个平方根分别是和， ∴， 解得； （2）解：由（1）可得， ∴， ∵8的立方根是2， ∴的立方根是2． 23．（23-24八年级上·吉林松原·期末）已知正数的两个不同的平方根分别为和．求的立方根． 【答案】4 【详解】解：根据题意，得， 解得：， ， ． 实数的混合运算 24．（23-24八年级上·广西南宁·期末）在信息技术课上，好学的小明制作了一个关于实数的运算程序如图所示，若输出的y值为时，则输入的实数x可取的负整数值是 ． 【答案】或 【详解】解：若1次运算输出的值是时， ， ， 解得：或； 若2次运算输出的值是时， ， ， 解答：或； 若3次运算输出的值是时， ， ， 解答：或； ，且取负整数， 或， 故答案为：或． 25．（23-24八年级上·河南安阳·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：； （2） 26．（23-24八年级上·黑龙江鹤岗·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：； （2）解： ． 27．（23-24八年级上·云南红河·期末）计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2)8 【详解】（1）解： （2） 28．（23-24八年级上·广西百色·期末）计算： 【答案】4 【详解】解： ． 二次根式的概念及同类二次根式 29．（23-24八年级上·湖北省直辖县级单位·期末）已知是正整数，是整数，则的最小值为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【详解】解：是正整数，是正整数， 是一个完全平方数， ， 是一个完全平方数， 的最小值为2， 故选：A． 30．（23-24八年级上·辽宁抚顺·期末）下列二次根式中，可以与合并的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A．，不能与合并，故本选项不符合题意； B．的被开方数是，不能与合并，故本选项不符合题意； C．，其被开方数是，能与合并，故本选项符合题意； D．，其被开方数是，不能与合并，故本选项不符合题意； 故选：C． 31．（23-24八年级上·广西百色·期末）最简二次根式与是同类二次根式，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：最简二次根式与是同类二次根式， ， ， 故选：A． 32．（2024八年级上·广东·期末）若实数m满足，则m的取值范围是 ． 【答案】/ 【详解】解：由题意可知：， 解得：， 故答案为：． 33．（23-24八年级上·河南信阳·期末）若，则的值为 ． 【答案】8 【详解】解：由题意得，，， ， ， ． 故答案为：8． 34．（23-24八年级上·安徽黄山·期末）与最简二次根式是同类二次根式，则 ． 【答案】 【详解】∵， ∵与最简二次根式是同类二次根式， ∴， 解得：， 故答案为：7． 35．（23-24八年级上·湖南郴州·期末）若最简二次根式与可以合并，则 ， ． 【答案】 1 1 【详解】解：∵最简二次根式与可以合并， ∴与为同类二次根式， ∴，解得：， 故答案为：1，1 二次根式的混合运算 36．（23-24八年级上·四川眉山·期末）化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解： ， 故选：A． 37．（23-24八年级上·重庆荣昌·期末）估计的值在（    ） A．4和5之间 B．3和4之间 C．2和3之间 D．1和2之间 【答案】B 【详解】解：∵， 又∵，即， ∴， ∴的值在3和4之间． 故选：B． 38．（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）设，N是M的小数部分，则的值为 ． 【答案】1 【详解】解：， ∵，且 ∴，则 ∵是的小数部分， ∴， 则 ， 故答案为：1． 39．（23-24八年级上·山东济宁·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 40．（23-24八年级上·湖北襄阳·期末）计算： (1)； (2)已知，，求代数式 的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： 原式∶ （2） ， 41．（23-24八年级上·重庆荣昌·期末）计算下列各题． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 二次根式的化简求值 42．（23-24八年级上·湖南岳阳·期末）若，则代数式的值是（   ）． A．2006 B．2005 C．2004 D．2003 【答案】A 【详解】解：∵， ∴； ∴ ． 故选：A． 43．（23-24八年级上·湖北武汉·期末）已知，且，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选A． 【点睛】本题考查了二次根式的求值，完全平方公式，解题的关键是灵活运用完全平方公式建立两个式子之间的关系． 44．（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）已知，则式子的值是 ． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴代数式的值为24． 故答案为：24． 45．（23-24八年级上·四川成都·期末）已知，，则的值为 ． 【答案】15 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， 故答案为：15． 46．（23-24八年级上·湖北宜昌·期末）已知，，则代数式的值为 ． 【答案】/ 【详解】∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 47．（23-24八年级上·江苏南京·期末）（1），，求代数式的值． （2）先化简，再求值． ，其中，． 【答案】（1） （2）， 【详解】解：（1），， ， ， ； （2），， ， 当，时， ， 原式． 48．（23-24八年级上·山东烟台·期末）已知，先化简再求的值． 【答案】， 【详解】解：由题意得， 解得， 原式 ， 当，时， 原式 一、单选题 1．（23-24八年级上·云南大理·期末）判断下列说法正确的是（    ） A．是的立方根 B．是的算术平方根 C．的平方根是 D．算术平方根等于本身的数是 【答案】B 【详解】解：、是的立方根，该选项说法错误，不合题意； 、是的算术平方根，该选项说法正确，符合题意； 、的平方根是，该选项说法错误，不合题意； 、算术平方根等于本身的数是和，该选项说法错误，不合题意； 故选：． 2．（23-24八年级上·浙江金华·期末）将中根号外的移到根号里后得到的式子为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由题意可知：， ， 故选：A． 3．（23-24八年级上·四川眉山·期末）下列说法：①数轴上没有点表示这个无理数；②；③在两个连续整数和之间，那么；④若正实数的平方根是和，则；⑤1的立方根是．正确的有（    ） A．①②③ B．②③⑤ C．③④⑤ D．②③④ 【答案】D 【详解】解：①实数与数轴一一对应，则数轴上有点能表示这个无理数，故①说法不正确； ②∵，∴， ∴，故②说法正确； ③∵， ∴， ∴，则，故③说法正确； ④∵和是m的平方根， ∴， 解得：， ∴， ∴，故④说法正确； 综上：正确的有②③④， 故选：D． 4．（23-24八年级上·江苏南通·期末）下列各式①；②；③；④；⑤；其中一定是最简二次根式的有（   ） A．4 个 B．3 个 C．2个 D．1个 【答案】C 【详解】解：①， 故①不符合题意； ②，故②不符合题意； ③，故③不符合题意； ④是最简二次根式，故④符合题意； ⑤是最简二次根式，故⑤符合题意； ∴最简二次根式的有两个， 故选：C． 5．（23-24八年级上·江苏南通·期末）若函数存在，设此时y的值为，的平方根是（  ） A． B．5 C． D． 【答案】C 【详解】解：由题意，得：， ∴， ∴， ∴的平方根是； 故选C． 6．（23-24八年级上·黑龙江牡丹江·期末）已知，为实数，，那么的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵， ∴分情况讨论， 当，时， ∴； 当，时， ∴， 综上，的值为． 故选：D． 二、填空题 7．（23-24八年级上·广东肇庆·期末）如果和互为相反数，那么的平方根是 ． 【答案】； 【详解】解：∵，，且和互为相反数， ∴，， 解得：，， ∴， ∴的平方根是：， 故答案为：． 8．（23-24八年级上·甘肃陇南·期末）已知是整数，则满足条件的最小自然数的值为 ； 【答案】 【详解】解：根据二次根式有意义的条件可得，则． 根据是整数，且是自然数， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，不符题意． 所以自然数的值可以为2、9、14、17、18， 故满足条件的最小自然数为2． 故答案为：2． 9．（23-24八年级上·安徽黄山·期末）观察分析，探求规律，然后填空：， （在横线上写出第50个数）． 【答案】 【详解】解：第一个数为：， 第二个数为：， 第三个数为：， 第四个数为：， ∴若n是奇数，则第n个数为：；若n是偶数，：则第n个数为：， ∴第50个数为：， 故答案为：． 10．（23-24八年级上·安徽合肥·期末）如果三角形三边长分别为，k ，，则化简 得 【答案】/ 【详解】解：∵一个三角形的三边长分别为、、， ∴， ∴， ∴ . 故答案为： 三、解答题 11．（23-24八年级上·贵州毕节·期末）计算题 (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： （2） （3） （4） 12．（23-24八年级上·浙江丽水·期末）已知的立方根是，的绝对值是的整数部分是． (1)求的值； (2)求的平方根． 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）解：的立方根是，的绝对值是的整数部分是， ， ； （2）解：由（1）知， 当时，，则的平方根为； 当时，，则的平方根为； 综上所述，的平方根为或． 【点睛】本题考查立方根定义、平方根定义、绝对值定义、夹逼法估算无理数方法及代数式求值，熟记相关定义是解决问题的关键． 13．（23-24八年级上·云南普洱·期末）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题： (1)线段的长为 ，线段的长为 ， 线段的长为 ； (2)的面积是 ． 【答案】(1)，，； (2) 【详解】（1）解：由网格知识可得： ， ， ， 故答案为：，，； （2）解：， 故答案为：． 14．（23-24八年级上·浙江金华·期末）如图，有一只蚂蚁从点B沿数轴向左爬了2个单位长度到达点A，若点B表示数，设点A所表示的数为m． (1)实数m的值是______． (2)求的值． (3)在数轴上还有C，D两点分别表示实数c和d，且有与互为相反数，求的平方根． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【详解】（1）解：根据题意，得， 故答案为：． （2）解：根据，代入，得 原式= ． （3）解：根据题意，得， 解得，代入， 故 ． 【点睛】本题考查了点的坐标的平移规律，已知字母的值求代数式的值，有理数的非负性，相反数的应用，平方根的意义，熟练掌握平移，非负性，平方根是解题的关键． 15．（23-24八年级上·内蒙古包头·期末）喜欢探索数学知识的小明遇到一个新的定义：对于三个互不相等的正整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“老根数”，其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”．例如：，，这三个数，，，，其结果分别为，，，都是整数，所以，，这三个数称为“老根数”，其中“最小算术平方根”是，“最大算术平方根”是． (1)试说明：，，这三个数是“老根数”，并求出它们的最小算术平方根与最大算术平方根； (2)已知，，，这三个数是“老根数”，且它们的最大算术平方根是最小算术平方根的倍，求的值． 【答案】(1)理由见解析，最小算术平方根是，最大算术平方根是 (2)或 【详解】（1）解：∵，，， ∴，，这三个数是“老根数”；其中最小算术平方根是，最大算术平方根是； （2）当时， ∵，，，这三个数是“老根数”，且它们的最大算术平方根是最小算术平方根的倍， ∴， ∴， 解得：； 当时， 依题意，得：， ∴， ∴， 解得：，不合题意舍去； 当时， 依题意，得：， ∴， 解得：， 综上所述，的值为或． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$